S µ ⋅ = I

Μαγνητική ροπή
µ
µ
Ι
Ι
µ = I ⋅S
SI: Am2
µ
Ι
Μαγνητική ροπή
Η µαγνητική διπολική ροπή είναι µια βασική ποσότητα για
τον µαγνητισµό (όπως είναι το φορτίο για τον ηλεκτρισµό)
γιατί καθορίζει: (α) το µαγνητοστατικό πεδίο που παράγει το
µαγνητικό υλικό που περιέχει µαγνητικές ροπές στον
περιβάλλοντα χώρο και (β) την επίδραση που θα έχει ένα
µαγνητικό πεδίο στο µαγνητικό υλικό. Ένας επίπεδος βρόχος
ρεύµατος αντιστοιχεί σε µαγνητική διπολική ροπή ίση µε το
γινόµενο του ρεύµατος Ι επί το εµβαδόν του S. Το S ορίζεται
σαν διάνυσµα που έχει µέτρο ίσο µε το εµβαδόν του βρόχου,
διεύθυνση κάθετη στο επίπεδο του βρόχου και φορά που
καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία. Στο
σύστηµα SI η µαγνητική ροπή έχει µονάδες A·m2.
Προσανατολισµός µαγνητικής ροπής
σε µαγνητικό πεδίο
E = −µ ⋅ B = − µ ⋅ B cos ϕ
φ=0
E=-|µ|·|Β| (ελάχιστο)
Β
µ
B (Tesla), µ (Am2=Joule/Tesla)
φ=180
E=|µ|·|Β| (µέγιστο)
Β
Ι
µ
Β
µ Ι
Ι
Η επίδραση ενός µαγνητικού πεδίου σε µια µαγνητική διπολική
ροπή (προσανατολισµός µαγνητικής ροπής προς την κατεύθυνση
του πεδίου) µπορεί να περιγραφεί από τον όρο της δυναµικής
ενέργειας της µαγνητικής ροπής µέσα στο πεδίο ως Ε=-µ·Β
H µαγνητόνη του Bohr
Ηλεκτρόνιο µάζας m και φορτίου –e που κινείται σε κυκλική
τροχιά ακτίνας r γύρω από τον πυρήνα. Η τροχιακή στροφορµή θα
είναι L=mυr. Ο χρόνος για µια περιστροφή θα είναι 2πr/υ και
εποµένως µπορούµε να θεωρήσουµε ότι αντιστοιχεί σε ρεύµα
Ι=φορτίο/χρόνος=q/t.
Σύµφωνα µε την κβαντική θεωρία η στροφορµή των ατόµων
είναι κβαντωµένη και η συνιστώσα της σε µια συγκεκριµένη
διεύθυνση είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του ħ=h/2π. Συνεπώς η
µαγνητικής ροπής ενός ηλεκτρονίου θα είναι πολλαπλάσιο της
ποσότητας eħ/2m. Αυτή η ποσότητα που ονοµάζεται µαγνητόνη
του Bohr.
H µαγνητόνη του Bohr
υ
L=mυr
r
πυρήνας
I=
q
q
eυ
=
=−
t 2πr υ
2πr
1
e
⎛ − eυ ⎞ 2
µ = IS = ⎜
L
⎟ πr = − eυr = −
2
2m
⎝ 2πr ⎠
( )
eh
− 24
2
µB =
= 9.274 × 10 Am
2m
Τι είναι µαγνήτιση;
Ένα υλικό εµφανίζεται σαν µαγνητισµένο όταν
µικροσκοπικές στοιχειώδεις µαγνητικές ροπές που
αντιστοιχούν στο κάθε του άτοµο (ας τις φανταστούµε σαν
µικροσκοπικές πυξίδες) προσανατολίζονται έτσι ώστε να
παράγουν σε µακροσκοπικό επίπεδο, µαγνητικό πεδίο. Ένα
βασικό χαρακτηριστικό των µαγνητικών υλικών που τα
καθιστά χρήσιµα είναι ότι, χάρη στις αλληλεπιδράσεις
µεταξύ των ατόµων, το πεδίο που παράγουν οι µαγνητικές
ροπές, όταν αυτές προσανατολιστούν, είναι πολύ µεγαλύτερο
από αυτό που χρειάζεται για να προσανατολισθούν
Τι είναι µαγνήτιση;
dµ
M=
dV
Μ=0
SI :
Am 2 A
=
3
m
m
Μ=ΜS
α-Fe, ΜS=1707000 A/m µε H=1000 A/m
Μαγνήτιση, Βρόχος Υστέρησης
B = µ0 H + µ0 M
Tesla A m A m
4
B=µ0(H+M)
B,µ0M (Tesla)
2
M
HC
MS
MR
H
B C
BH
0
-2
-4
-2000 -1500 -1000 -500
0
500 1000 1500 2000
H (kA/m)
dM
χ=
dH
dB
1 dB
µ=
, µr =
dH
µ 0 dH
B = µ0 (H + M ) ⇒
µ = µ 0 (1 + χ ) = µ 0 µ r
Επιδεκτικότητα και Μαγνητική Ροή
χ<0
χ≈0
χ>0
χ>>0
Παραµαγνητικά Υλικά
αποτελούνται από άτοµα έχουν µόνιµες µαγνητικές
ροπές οι οποίες όµως δεν αλληλεπιδρούν
µB << kT
µB >> kT
B
kT
Η απλούστερη περίπτωση παραµαγνητισµού:
Ν άτοµα ανά µονάδα όγκου µε S=1/2 σε πεδίο Β
(µ=-2µΒSz).
Β//z
1
S z = , µ = −µ B
2
1
SZ = − , µ = +µB
2
E = µB B
1
⎛ µ B⎞
exp⎜ − B ⎟
Z
⎝ kT ⎠
1
⎛µ B⎞
p↑ = exp⎜ B ⎟
Z
⎝ kT ⎠
p↓ =
E = −µ B B
⎛ µB B ⎞
⎛ µB B ⎞
Z = exp⎜ +
⎟ + exp⎜ −
⎟
⎝ kT ⎠
⎝ kT ⎠
⎛ ⎛ 1⎞
1
⎛ µB B ⎞
⎛ 1 ⎞⎞
S = ⎜⎜ p↑ ⎜ − ⎟ + p↓ ⎜ + ⎟ ⎟⎟ = − tanh⎜
⎟
2
⎝ kT ⎠
⎝ 2 ⎠⎠
⎝ ⎝ 2⎠
Μαγνήτιση για Ν άτοµα ανά µονάδα όγκου µε
S=1/2 σε πεδίο Β.
µ B B〈〈 kT
e ±0
1
p↑ ≈ p↓ ≈ + 0 −0 ≈
e +e
2
M
e∞
e −∞
p↑ ≈ ∞ −∞ ≈ 1, p↓ ≈ ∞ −∞ ≈ 0
e +e
e +e
µ B B〉〉 kT
B
⎛ µB B ⎞
M = N ( p↑ µ B + p↓ (− µ B )) = Nµ B tanh⎜
⎟
⎝ kT ⎠
Καµπύλες Μαγνήτισης Παραµαγνητικού Υλικού
5K
10 K
50 K
300 K
1.0
0.6
0.8
M/MS
M/MS
0.8
1.0
0.4
0.6
0.2
0.2
0.0
0.0
0.0
0.5
1.0
1.5
µ0H (Tesla)
2.0
5K
10 K
50 K
300 K
0.4
0.0
0.1
0.2
0.3
µ0H/T (Tesla/K)
0.4
0.5
Νόµος Curie: χ=C/Τ
Για τα συνήθη πεδία που µπορούµε να πετύχουµε στο εργαστήριο (1-5
Τesla) ο λόγος µΒ/kΤ είναι αρκετά µικρός (εκτός βέβαια αν κατεβούµε
σε θερµοκρασίες της τάξης των µερικών Κ).
⎛µ B⎞
M = Nµ = N 2 µ B S = Nµ B tanh⎜ B ⎟
⎝ kT ⎠
µB B
kT
=
(9.274 ×10
)
J T (1T )
= 0.0022 << 1
- 23
1.38 × 10 J K (300 K )
(
-24
)
e x − e − x 1 + x − (1 − x) 2 x
tanh( x) = x − x ≈
=
=x
1 + x + (1 − x) 2
e +e
2
2
⎛ µ B B ⎞ Nµ B B Nµ B µ 0 H εξ
=
M = Nµ B tanh⎜
⎟≈
kT
kT
kT
⎝
⎠
dM
Nµ B2 µ 0 C
=
=
χ=
dH εξ
kT
T
Εποµένως στον υπολογισµό της µαγνήτισης µπορούµε να
χρησιµοποιούµε την προσέγγιση tanh(x)=x ώστε να δείξουµε ότι
η µαγνήτιση είναι ανάλογη του λόγου Ηεξ/Τ.
Τα Παραµαγνητικά ως Υλικά
⎛µ B⎞
M = Nµ B tanh⎜ B ⎟ ⇒ M ( B = 0) = 0
⎝ kT ⎠
∆εν Παραµένουν Μαγνητισµένα Απουσία Πεδίου
χ=N
µ B2 µ 0
kT
T
(9.274 ×10 Am ) ⎛⎜ 4π ⋅10 Am
⎝
(1.38 ×10 J K )(300K )
m)
2 2
- 24
=
1
(3 ⋅10
−10
3
- 23
Έχουν πολύ χαµηλή επιδεκτικότητα
=>
∆εν είναι χρήσιµα
−7
⎞
2 ⎟
⎠ = 0.00096
Χαµιλτονιανή του Heisenberg
Eex = −2 J ij S i S j
Si
Jij>0
Sj
Si
Jij<0
Sj
Jij = ολοκλήρωµα ανταλλαγής
ΣιδηρΟµαγνητικό
Αντι-ΣιδηρΟµαγνητικό
ΣιδηρΙµαγνητικό
Χαµιλτονιανή του Heisenberg
Eex = −2 J ij S i S j
Jij = ολοκλήρωµα ανταλλαγής
Οι αλληλεπιδράσεις ανταλλαγής µπορούν να οδηγήσουν στην
ύπαρξη διαφορετικών ειδών µαγνητικής τάξης αλλά και
αυθόρµητης µαγνήτισης σε µηδενικό πεδίο. Χωρίς αυτές όλα τα
µαγνητικά υλικά θα ήταν διαµαγνητικά ή παραµαγνητικά και δεν θα
µπορούσαν να έχουν καµία εφαρµογή. Πάνω από µια κρίσιµη
θερµοκρασία η θερµική ενέργεια υπερισχύει της ενέργειας
ανταλλαγής και τα υλικά συµπεριφέρονται σαν παραµαγνητικά.
Σιδηροµαγνητική τάξη
Jex>0
M
kTC ∝ zJ
FM
PM
ΤC
Fe
Co
Ni
µ0MS (T)
2.16
1.79
0.6
1/χ
C
χ=
T - TC
ΤC
Τc (0C)
770
1131
358
Τ
Θεωρία Μέσου Πεδίου
Θεωρώ ότι το αποτέλεσµα των αλληλεπιδράσεων
ανταλλαγής µπορεί να περιγραφεί από ένα υποθετικό
«µοριακό πεδίο» γΜ.
•Πως δικαιολογείται η προσέγγιση;
•Πως συνδέεται το γ µε το ολοκλήρωµα ανταλλαγής.
•Πως προβλέπει την αυθόρµητη µαγνήτιση.
•Πως προβλέπει την θερµοκρασία Curie.
•Πως προβλέπει τον νόµο Curie-Weiss.
Προσέγγιση Μέσου Πεδίου
5
4
3
1
2
6
⎛ z ⎞
Eex = −2 J exS ⋅ ⎜⎜ ∑ S j ⎟⎟
⎝ j =1 ⎠
z
Προσέγγιση
Sj ≈ z S
∑
Μέσου Πεδίου j =1
Πως συνδέεται το γ µε το ολοκλήρωµα ανταλλαγής;
⎫
⎪
Eex ≈ −2 zJ exS S
⎪⎪
zJ ex
c
⎬⇒γ =
2
2
N
µ
B µ0
⎪
E = −(2µ B S )(µ0γM ) = −(2µ B S )(µ0γN 2µ B S )
123 123
⎪
⎪⎭
µ
B
Η εξίσωση αυτή είναι γραµµένη στην ειδική περίπτωση του S=1/2
Αυθόρµητη µαγνήτιση
Σιδηροµαγνητικό=Παραµαγνητικό σε πεδίο Η=Η0+γΜ
Θερµοκρασιακή εξάρτηση
της αυθόρµητης µαγνήτισης
M=
1.0
M/MS
γ
H
T<TC
1
2
3
M
T=TC
4
0.5
T>TC
5
6
0.0
0.0
1
0.5
⎛µ µ H ⎞
M = M S tanh ⎜ B 0 ⎟
⎝ kT ⎠
1.0
H
1.5
1
2
3
4
5
2.0
ΤC
6
Υπολογισµός ΤC
M
M=
1
γ
H
1
⎛µ µ H ⎞
M = M S tanh ⎜ B 0 ⎟
⎝ kT ⎠
M ≈
γ
=
C
⇒ TC = Cγ
TC
C
H
TC
H
⎛ Nµ B2 µ 0 ⎞ ⎛ zJ ex ⎞ zJ ex
⎟⎟ =
⎟⎟ ⋅ ⎜⎜
TC = ⎜⎜
2
k ⎠ ⎝ 2 Nµ B µ 0 ⎠ 2 k
⎝142
4
3 14243
C
γ
Νόµος Curie-Weiss
Curie
M=
M
C
=χ =
H
T
C
(H 0 + γM ) ⇒ M = C H 0 ⇒
T − Cγ
T
χ=
M
C
=
⇒
H 0 T − Cγ
Curie - Weiss
C
χ=
T − TC
Curie – Curie Weiss
Curie
1/χ
C
χ=
T
TC
Curie - Weiss
C
χ=
T − TC
Τ
Βρόχος Β(Η) και Συνεκτικό πεδίο
Υλικού µε τετραγωνικό βρόχο υστέρησης
)
R
M
+
BR=µ0MR
(H
=µ 0
)
B(H M(H)=M
R
HC
M
HC=MR
B
H
B (H ) = µ 0 (H + M R ) = µ 0 (H + H C )
B ( B H C ) = 0 = µ 0 ( B H C + M R )⇒ B H C = − M R
Το Μαγνητικό Κύκλωµα
Το Μαγνητικό Κύκλωµα
B 1 A 1 = B 2 A 2 = ... = B n A n
∫
Hdl
= NI
Το Μαγνητικό Κύκλωµα
B 1 A 1 = B 2 A 2 = ... = B n A n
∫
Hdl
= NI
(α) Η τιµή της µαγνητικής ροής Φ=Β·Α είναι σταθερή
σε κάθε σηµείο τα διαδροµής.
(β) Εφαρµογή του νόµου του Ampére: Το
επικαµπύλιο ολοκλήρωµα του Η είναι ίσο µε τον
γινόµενο του αριθµού των σπειρών επί το ρεύµα του
πηνίου.
Το Μαγνητικό Κύκλωµα
(γ) η σύνδεση µεταξύ του Β και το Η σε κάθε υλικό
δίνεται από τις καµπύλες υστέρησης του Β(Η).
Φ = ΑB1 (Η1 ) = ΑB2 (Η 2 ) = ΑB3 (Η 3 ) = ΑB4 (Η 4 )
Απλές εκφράσεις Β(Η) για διάφορα υλικά
∆ιάκενο
B = µ0 H
Μαλακό Μαγνητικό Μακριά από τον κόρο
B = µH = µ r µ 0 H
Τεταρτηµόριο αποµαγνήτισης
ενός σκληρού µαγνητικού
B (H ) = µ 0 (H + M R ) = µ 0 (H + H C )
Ηλεκτροµαγνήτης
Φ = Αµ r µ 0 Η = Αµ 0 Η g ⎫⎪
⎬⇒
HL + H g Lg = NI
⎪⎭
Hg
L + H g Lg = NI ⇒
µr
NI
NI
Hg =
≈
(L µ r + Lg ) Lg
Σκληρό µαγνητικό υλικό παράγει πεδίο σε διάκενο
Ενέργεια Μαγνητοστατικού πεδίου
Φ = Bm A = µ 0 Η g A⎫⎪ Bm A = µ 0 Η g A⎫⎪
⎬⇒
⎬⇒
H m t + H g Lg = 0 ⎪⎭ H m t = − H g Lg ⎪⎭
Bm H m At = − µ 0 H g2 ALg ⇒ − Bm H mVm = µ 0 H g2 ⋅ Vg
Lg
Bm
t
t
H mt +
Lg = 0 ⇒ Bm = − µ 0 H m
µ0
Lg
Σκληρό µαγνητικό υλικό παράγει πεδίο σε διάκενο
Ενέργεια Μαγνητοστατικού πεδίου
(α) Η ενέργεια του µαγνητοστατικού πεδίου µ0(Ηg)2 που
παράγεται στον όγκο του διάκενου είναι ίση µε το
γινόµενο –µ0ΒΗ µέσα στο όγκο του υλικού.
− Bm H mVm = µ 0 H g2 ⋅ Vg
(β) Μέσα στο υλικό υπάρχει πεδίο αποµαγνήτισης που
αντιστοιχεί στην σχέση
Bm
t
H mt +
Lg = 0 ⇒ Bm = − µ 0 H m
µ0
Lg
Σκληρό µαγνητικό υλικό παράγει πεδίο σε διάκενο:
Σηµείο λειτουργίας
BR=µ0MR
B=(-t/Lg)µ0H
C
B=
0
µ
(H
+H
)
P
HC
H
Η τοµή του δεύτερου
τεταρτηµόριου του βρόχου
υστέρησης
Β=µ0(Η+Μ)
µε την ευθεία που ορίζεται από το
πεδίο αποµαγνήτισης
Β=-(t/Lg)µ0H
δίνει το σηµείο λειτουργίας του
µαγνήτη πάνω στον βρόχο. (σηµείο
P) που καθορίζει το πεδίο στο
διάκενο.
Σκληρό µαγνητικό υλικό παράγει πεδίο σε διάκενο:
Σηµείο λειτουργίας
BR=µ0MR
B=(-t/Lg)µ0H
⎞
⎛ − Lg + t + Lg
⎛ − Lg
⎟
⎜
µ0 ⎜
H C + H C = µ0 H C ⎜
⎟
⎜
t + Lg
⎠
⎝
⎝ t + Lg
⎞
⎛
⎟ = BR ⎜ t
⎟
⎜t +L
g
⎠
⎝
C
B=
0
µ
(H
+H
)
P
L
H
−t
µ0 H m = H m + H C ⇒ H m = − C = − g H C
t
Lg
Lg + t
1+
Lg
Bm = µ 0 (H m + H C ) =
HC
Lg
t
t
t
Hg = − Hm =
⋅
HC =
(t + Lg ) H C
Lg
Lg (t + Lg )
Energy = − Bm H mVm = µ 0 H g2 ⋅ Vg = µ 0 H C2
H
t 2 Lg
(t + L )
Η ανά όγκο ενέργεια του µαγνητικού πεδίου που παράγεται
από το υλικό είναι ανάλογη του γινοµένου ΒΗ στο σηµείο Ρ.
2
g
⎞
⎟
⎟
⎠
Σκληρό µαγνητικό υλικό παράγει πεδίο
σε διάκενο µέσω οπλισµών
Φ A = Bm = µ r µ 0 Η = µ 0 Η g ⎫⎪
⎬⇒
H mt + HL + H g Lg = 0
⎪⎭
Bm
Bm
H mt +
L+
Lg = 0 ⇒
µr µ0
µ0
⎞
1 ⎛ L
⎜⎜ + Lg ⎟⎟ = 0 − H mt ⇒
Bm
µ0 ⎝ µ r
⎠
− H mt
− tH m
Bm = µ 0
≈ Bm = µ 0
(L µr + Lg )
Lg
Μικτή ∆ιέγερση
(Ηλεκτρικό Ρεύµα + Μόνιµος Μαγνήτης)
Φ A = Bm = µ r µ 0 Η = µ 0 Η g ⎫⎪
⎬⇒
H mt + HL + H g Lg = NI
⎪⎭ *
Bm
Bm
H mt +
L+
Lg = NI ⇒
µ r µ0
µ0
⎞
1 ⎛ L
⎜⎜ + Lg ⎟⎟ = NI − H mt ⇒
Bm
µ0 ⎝ µ r
⎠
NI − H mt
NI − tH m
Bm = µ 0
≈ Bm = µ 0
(L µr + Lg )
Lg
*Αντικαθεστώ στην δεύτερη τα Η και Ηg σαν f(Βm) από τις πρώτες
Μικτή ∆ιέγερση
(Ηλεκτρικό Ρεύµα + Μόνιµος Μαγνήτης)
B=µ0(NI-tH)/Lg
P
BR=µ0MR
NI − tH m = Lg H m + Lg H C ⇒
C
)
NI − Lg H C = Lg H m + tH m
B=
µ
0
(H
+H
NI − tH m
= µ 0 (H m + H C ) ⇒
µ0
Lg
NI/t
HC
Hm =
NI − H C Lg
t + Lg
H
⎛ NI − H C Lg H C t + H C Lg
+
Bm = µ 0 (H m + H C ) = µ 0 ⎜
⎜ t+L
t+L
g
⎝
⎞
⎛ NI + H C t ⎞
⎟ = µ0 ⎜
⎟(= µ 0 H g )
⎟
⎜ t+L ⎟
g
⎠
⎝
⎠
Το Μαγνητικό Κύκλωµα
Φ = Αµ1Η1 = Αµ 2 Η 2 = Αµ3Η 3 = Αµ 4 Η 4
H 1 L1 + H 2 L2 + H 3 L3 + H 4 L4 = NI
Αναλογία Με Ηλεκτρικό Κύκλωµα
⎛ L1
L3
L2
L4 ⎞
⎟⎟ = NI
Φ⎜⎜
+
+
+
⎝ Aµ1 Aµ 2 Aµ 3 Aµ 4 ⎠
L
NI = Φ (R1 + R2 + R3 + R4 ), Ri = i
µi A
Vm = I m (R1 + R2 + R3 + R4 ), Ri =
Li
σi A
NI
R=
=
Φ
V
R= =
I
∫ Hdl
∫∫ BdA
∫ Edl
∫∫ JdA

Download Report