ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ Μαθηµατικός ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΚΑΤΑ ΜΕΡΗ β ∫α β f ′( x) g ( x)dx =[ f ( x) g ( x)]αβ − ∫ f ( x) g ′( x)dx α ∫ f ′( x) g ( x)dx = f ( x) g ( x) − ∫ f ( x) g ′( x)dx ΠΙΝΑΚΑΣ α ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ α ∫ P ( x)e κx 1 dx, P ( x) πολυώνυµο ΥΠΟ ΜΟΡΦΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ eκ x eκ x = κ ′ συνλ x ′ λ 2 ∫ P( x)ηµλ xdx ηµλ x = − 3 ∫ P( x)συνλ xdx συνλ x = 4 ∫ P( x) ln g ( x)dx P ( x) το πολυώνυµο ηµλ x ′ λ Εφαρµόζουµε 2 φορές την παραγοντική ολοκλήρωση, 5 ΚΥΚΛΙΚΑ γράφοντας κατά I = ∫ eλ xσυνκ xdx προτίµηση υπό µορφή I = ∫ eλ xηµλ xdx παραγώγου την εκθετική και φτιάχνουµε εξίσωση µε άγνωστο το ολοκλήρωµα Ι. ∫ εφ 6 ν xdx , ∫ σφν xdx ν ν ∫ηµ xdx , ∫ συν xdx 1 εφν −1 x − Iν − 2 , ν ≥ 2 ν −1 • Iν = ∫ εφν xdx = • ηµν −1 x ⋅ συν x ν − 1 Iν = ∫ηµ xdx = I + ν ν ν −2 ν Υπολογίζονται από αναδροµικές σχέσεις για µεγάλο ν. ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ Μαθηµατικός Η µέθοδος της παραγοντικής ολοκλήρωσης, περιγράφεται και µε τον παρακάτω πίνακα. Π.χ. Ι = ∫ x3συν xdx x3 συν x 3x 2 ηµ x 6x −συν x 6 −ηµ x συν x Το I = + ( x3 )ηµ x − 3 x 2 ( −συν x ) + 6 x ( −ηµ x ) − 6συν x + c ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ Μαθηµατικός ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΑΛΛΑΓΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ α α 1 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ( I = ∫ f x, ν1 φ ( x), ν 2 φ ( x),...ν κ φ ( x) ) ν φ ( x) = t , ν = Ε.Κ.Π.(ν 1 ,ν 2 ,...,ν κ ) φ ( x)dx = vt v −1 ⋅ dt 1 dx, ν ∈ ℕ ( x − ρ )ν 2 I =∫ 3 I = ∫ f x, ρ − x ( 2 2 x − ρ = u , dx = du π π x = ρηµ t , t ∈ − , 2 2 ) dx dx = ρσυν t ( ) ( ) x= 4 I = ∫ f x, x 2 − ρ 2 dx 5 I = ∫ f x, x 2 + ρ 2 dx ρ ηµ t , dx = dt συν t συν 2t π t ∈ 0, 2 π π x = ρ ⋅ εφ t , t ∈ − , 2 2 α > 0 : ax 2 + β x + γ = t ± x a 6 ) ( I = ∫ f x, ax 2 + β x + γ dx α < 0 και c > 0 : ax 2 + β x + γ = t ⋅ x ± x c Μετ/µοί Fuler → α < 0 και ∆ > 0 : ax 2 + β x + γ = t ⋅ ( x − x0 ) x0 ρίζα i) Περιττή ως προς ηµ x , θέτω I = ∫ f ( x,ηµ x, συν x ) dx συν x = t (κ περιττός) ii) Περιττή ως προς συν x , I = ∫ ηµ x ⋅ συν xdx, κ,λ ∈ ℕ κ 7 π.χ. λ I =∫ 1 + ηµ x ηµ x + συν x θέτω ηµ x = t (λ περιττός) iii) Η f άρτια: θέτουµε εφ x = t I = ∫ ηµ 3 x ⋅ συν 2 xdx dx = dt 1+ t2 συν 2 x = 1 1 + εφ 2 x εφ 2 x ηµ x = 1 + εφ 2 x 2 ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ Μαθηµατικός Αν δεν ισχύει καµιά από τις iv) προηγούµενες περιπτώσεις x , 2 dx = 2dt 1+ t2 1− t2 , 1+ t2 ηµ x = 2t 1+ t2 t = εφ συν x = ν = 2κ + 1: θέτουµε συν x = t 8 ∫ηµ v xdx, v ∈ ℕ ν = 2κ : ηµ 2κ κ 1 − συν 2 x = 2 = (ηµ x ) 2 κ ν = 2κ + 1: θέτουµε ηµ x = t 9 ∫ συν v xdx, v ∈ ℕ κ 1 + συν 2 x ν = 2κ : συν x = (συν x) = 2 2κ 2 κ Γράφουµε 10 1 ∫ ηµ κ x ⋅συν λ xdx 1 = ηµ 2 x + συν 2 x και κάνουµε διάσπαση σε 2 κλάσµατα ∫ηµκ x ⋅συνλ xdx 11 12 Κάνουµε χρήση 2ηµασυνβ = ηµ (α + β ) + ηµ (α − β ) ∫ συνλ x ⋅συνκ xdx 2συνασυνβ = συν (α + β ) + συν (α − β ) ∫ηµκ x ⋅ηµλ xdx 2ηµαηµβ = συν (α − β ) − συν (α + β ) ηµ κ x ∫ συν λ x dx Προσπαθούµε να γράψουµε τον αριθµητή συν λ x ∫ ηµ κ x dx ως τριγωνοµετρική παράσταση του παρονοµαστή ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ Μαθηµατικός ΕΠΙΣΗΣ ΙΣΧΎΟΥΝ 1 ∫ dx = τοξηµχ + c = −τοξσυνχ + c 1 − x2 1 ∫ 1 + x 2 dx = τοξεφχ + c = −τοξσφχ + c χ 1 dx = τοξ + c α a 2 − x2 ∫ 1 χ 1 ∫ a 2 + x 2 dx = a τοξεφ (α ) + c ∫ 1 x +a 2 2 dx = ln( x + x 2 + a 2 ) + c
© Copyright 2024 Paperzz
