close

Enter

Log in using OpenID

13. Γραμμές μεταφοράς

embedDownload
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
13.1 Γενικά
Για τη µεταφορά και οδήγηση της ηλεκτροµαγνητικής ενέργειας από µια θέση σε κάποια άλλη χρησιµοποιούνται ειδικές διατάξεις που ονοµάζονται γραµµές µεταφοράς. Μια
οµοιόµορφη γραµµή µεταφοράς είναι ένα σύστηµα δύο ή περισσότερων αγωγών που έχουν
την ίδια εγκάρσια διατοµή σ’ όλο το µήκος. Πρακτικά παραδείγµατα γραµµών µεταφοράς
αποτελούν οι γραµµές παράλληλων συρµατόµορφων αγωγών, τα οµοαξονικά καλώδια και
οι ταινιωτές γραµµές.
Η µορφή του ηλεκτροµαγνητικού πεδίου σε µια γραµµή µεταφοράς, προκύπτει από
την επίλυση των εξισώσεων Maxwell µε ικανοποίηση των σχετικών οριακών συνθηκών.
Κοινό χαρακτηριστικό των διατάξεων αυτών είναι η δυνατότητα µεταφοράς εγκάρσιων
κυµάτων (ρυθµοί ΤΕΜ). Στις γραµµές µεταφοράς χωρίς απώλειες η ταχύτητα διάδοσης είναι ανεξάρτητη της συχνότητας και ίση µε την ταχύτητα διάδοσης του ηλεκτροµαγνητικού
κύµατος στο περιβάλλοντα τη γραµµή διηλεκτρικό µέσο.
Εκτός από τις γραµµές χωρίς απώλειες στις οποίες οι αγωγοί θεωρούνται ότι έχουν
άπειρη αγωγιµότητα και ενώ το µέσο που τους περιβάλλει θεωρείται ότι είναι τέλειο διηλεκτρικό, διακρίνουµε και τις γραµµές µεταφοράς µε απώλειες. Στις γραµµές µεταφοράς µε
677
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
απώλειες θεωρούµε ότι ή οι αγωγοί έχουν πεπερασµένη αγωγιµότητα ή ο περιβάλλων τη
γραµµή χώρος δεν είναι τέλειο διηλεκτρικό ή ότι συµβαίνουν και τα δύο. Στις γραµµές αυτές η ταχύτητα διάδοσης εξαρτάται από τη συχνότητα του διαδιδόµενου κύµατος.
Υπό την ευρεία έννοια, στις γραµµές µεταφοράς υπάγονται και τα συστήµατα µικροκυµατικών διατάξεων (κυµατοδηγοί). Στα συστήµατα αυτά, τουλάχιστον ένα από τα διανύσµατα E και H έχει µη µηδενική συνιστώσα κατά τη διεύθυνση της κυµατοδήγησης. Η
µελέτη των κυριότερων ιδιοτήτων των κυµατοδηγών, λόγω του ιδιαίτερου ενδιαφέροντος,
θα γίνει σε επόµενο κεφάλαιο.
13.2 Χαρακτηριστικά γραµµής µεταφοράς ΤΕΜ
Όπως, ήδη, αναφέρθηκε, αν z είναι η διεύθυνση µιας γραµµής µεταφοράς, οι συνιστώσες Ez και H z στο εγκάρσιο ηλεκτροµαγνητικό κύµα (ΤΕΜ) είναι µηδενικές.
Στην περίπτωση αυτή, από τις εξισώσεις Maxwell προκύπτει ότι το εγκάρσιο αυτό
κύµα διαδίδεται κατά µήκος της γραµµής µε ταχύτητα
1
,
µε
v=
(13.1)
που είναι ανεξάρτητη της γεωµετρίας και της συχνότητας (µηδενική συχνότητα αποκοπής).
Επίσης, επειδή κάθε µια από τις συνιστώσες E x , Ey , H x , H y ικανοποιεί την εξίσωση
Laplace, τα διανύσµατα E και H , µπορούν να παρασταθούν µε την κλίση δύο βαθµωτών
συναρτήσεων.
Έτσι, µπορούµε να ορίσουµε τη συνάρτηση
V (z, t ) =
∫
c
E ⋅ dl =
∫
c
(−∇φ ) ⋅ dl = φ1 − φ2 ,
(13.2)
όπου ο δρόµος ολοκλήρωσης c , είναι οποιαδήποτε καµπύλη πάνω στο θεωρούµενο εγκάρσιο επίπεδο, που συνδέει τους αγωγούς 1 και 2 (σχήµα 13-1).
Η συνάρτηση V (z, t ) που εξαρτάται από την απόσταση z και τη χρονική στιγµή t ,
περιγράφει τη διαφορά δυναµικού µεταξύ των δύο αγωγών.
678
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
C
2
1
H
y
C΄
E
x
z
Σχήµα 13-1
Ακόµη, αν c ′ είναι οποιοσδήποτε κλειστός δρόµος πάνω στο εγκάρσιο επίπεδο που
περικλείει τον αγωγό 1, µπορούµε να ορίσουµε µια βαθµωτή συνάρτηση I (z, t ) για το
ρεύµα του αγωγού
I (z, t ) =
∫
c′
H ⋅ dl
(13.3)
Οι εκφράσεις των διανυσµάτων E και H του πεδίου για ηµιτονοειδή χρονική µεταβολή είναι της µορφής
E+ = ET+e − j βz ,
H+ =
(13.4)
1
(z 0 × ET+ )e− j βz ,
η
(13.5)
E− = ET−e j βz ,
(13.6)
1
H− = − (z 0 × ET− )e j βz ,
η
(13.7)
όπου η = µ / ε είναι η χαρακτηριστική αντίσταση του µέσου, ενώ ο δείκτης
T
υποδη-
λώνει ότι το πεδίο είναι εγκάρσιο (transversal).
Από τις πιο πάνω σχέσεις είναι φανερό ότι τα διανύσµατα E και H είναι ορθογώνια
στο χώρο.
Μια άλλη δυνατή περιγραφή του πεδίου είναι και η
E+ = ET+0g (x , y ) ,
679
(13.8)
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
E− = ET−0g (x , y ) ,
H+ =
(13.9)
1 +
ET 0 [z 0 × g (x , y )] ,
η
1
H− = − ET−0 [z 0 × g (x , y )] ,
η
(13.10)
(13.11)
όπου οι βαθµωτές συναρτήσεις ET+0 και ET−0 που εξαρτώνται µόνο από την απόσταση z
έχουν εκφράσεις της µορφής
+
ET+0 (z ) = E+ e j φ e − j βz
(13.12)
και
−
ET−0 (z ) = E− e j φ e j βz ,
(13.13)
ενώ η g (x , y ) είναι µια κατάλληλα κανονικοποιηµένη αδιάστατη διανυσµατική συνάρτηση
των εγκάρσιων συντεταγµένων x , y .
Αν θεωρήσουµε ότι και οι συναρτήσεις V (z, t ) και I (z, t ) εµφανίζουν ηµιτονοειδή
χρονική µεταβολή, οπότε
V (z, t ) = Re {V (z )e j ωt }
(13.14)
I (z, t ) = Re {I (z )e j ωt } ,
(13.15)
και
τότε, από τις (13.2), (13.8), (13.9) και (13.14) έχουµε
V(z, t ) =
∫ (E
C
+
T0
+ ET−0 ) g (x , y )d l = ET ∫ g (x , y )d l = ET F1 ,
C
(13.16)
όπου
ET = ET+0 + ET−0
(13.17)
και
F1 =
∫
C
g (x , y ) ⋅ d l
(13.18)
Αντίστοιχα, από τις (13.3), (13.10), (13.11) και (13.15), έχουµε
I (z ) =
∫
C′
H [z 0 × g(x , y )] ⋅ d l = HT F2 ,
όπου
680
(13.19)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
HT =
1 +
(ET 0 + ET−0 )
η
(13.20)
[z 0 × g(x, y )] ⋅ d l
(13.21)
και
∫
F2 =
C′
Είναι προφανές ότι, οι F1 και F2 εξαρτώνται µόνο από τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά της γραµµής.
Αν οι (13.16) και (13.19) ξαναγραφούν ως
V (z ) = V + (z ) +V − (z ) = ⎡⎢ET+ (z ) + ET− (z )⎤⎥ F1 ,
⎣
⎦
I (z ) = I + (z ) + I − (z ) =
(13.22)
1⎡ +
ET (z ) − ET− (z )⎤⎥ F2 ,
⎦
η ⎣⎢
ή
I (z ) =
⎡ F2 +
⎤
⎢ V (z ) − F1 V − (z )⎥ ,
⎢F
⎥
F2
⎣ 1
⎦
(13.23)
1 F2 +
1
V (z ) = V + (z )
Z0
η F1
(13.24)
1 F2 −
1
V (z ) = − V − (z ) ,
Z0
η F1
(13.25)
1
η
τότε, από την (13.23), προκύπτει
I + (z ) =
και
I + (z ) = −
όπου
Z0 =
F1
η,
F2
(13.26)
είναι η χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση της γραµµής µεταφοράς που η τιµή της εξαρτάται
µόνο από τα γεωµετρικά χαρακτηριστικά της γραµµής και τις διηλεκτρικές ιδιότητες του
µέσου.
Στη συνέχεια υπολογίζουµε τη χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση µιας οµοαξονικής
γραµµής µεταφοράς.
681
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
13.3 Οµοαξονική γραµµή µεταφοράς
Ας θεωρήσουµε την οµοαξονική γραµµή του σχήµατος 13-2. Επειδή οι συνιστώσες
E z και H z είναι µηδενικές (µορφή ΤΕΜ), από τις δύο πρώτες εξισώσεις Maxwell εύκολα
προκύπτουν – σε κυλινδρικές συντεταγµένες– οι κυµατικές εξισώσεις
∂ 2E ρ
∂z 2
∂ 2E ϕ
∂z 2
∂ 2H ρ
∂z 2
∂ 2H ϕ
∂z 2
− µε
− µε
− µε
− µε
∂2E ρ
∂t 2
∂ 2E ϕ
∂t 2
∂ 2H ρ
∂t 2
∂ 2H ϕ
∂t 2
=0,
(13.27)
=0,
(13.28)
= 0,
(13.29)
=0,
(13.30)
όπου – λόγω της κυλινδρικής συµµετρίας — οι συνιστώσες E ρ , Eϕ , H ρ , H ϕ εξαρτώνται
µόνο από την ακτινική απόσταση ρ .
Από τις πιο πάνω εξισώσεις προκύπτει κατά τα γνωστά ότι τα διανύσµατα E και H
είναι ορθογωνικά και ικανοποιούν τις σχέσεις
ET+
ET−
=
η
,
= −η
HT+
HT−
(13.31)
Οι αποδεκτές λύσεις για διάδοση κατά τα θετικά z είναι της µορφής
E ρ+ =
κ1
κ
κ
κ
, Eϕ+ = 2 , H ρ+ = 3 , H ϕ+ = 4 ,
ρ
ρ
ρ
ρ
(13.32)
όπου κ1, κ2 , κ3 , κ4 σταθερές. Ανάλογες εκφράσεις προκύπτουν και για τα κύµατα που οδεύουν κατά τα αρνητικά z .
Από τη συνθήκη µηδενισµού της εφαπτοµενικής συνιστώσας Eϕ και της κάθετης συνιστώσας H ρ στις διαχωριστικές αγώγιµες οριακές επιφάνειες ( ρ = a, ρ = b ), προκύπτει
ότι κ2 = κ3 = 0 , οπότε – λαµβάνοντας υπόψη και τη (13.31) – η (13.32) δίνει
E ρ+ =
κ+
ρ
και
682
(13.33)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
b
b
ρ
ρ
a
z
a
c
Σχήµα 13-2
H ϕ+ =
1 κ+
η ρ
(13.34)
Η τάση V + (z ) και το ρεύµα I + (z ) είναι, αντίστοιχα,
b
+
b
⌠ κ
V + (z ) = ⎮
d ρ = κ + ln = ET+ (z )F1
⌡a ρ
a
(13.35)
και
2π
I + (z ) =
∫
C
H ϕ ρd ϕ =
1 ⌠ κ+
2πκ +
2π V + (z )
=
ρdϕ =
⎮
η ⌡0 ρ
η
η ln(b / a )
(13.36)
Από τις (13.24) και (13.36) προκύπτει η τιµή της χαρακτηριστικής αντίστασης Z 0
µιας οµοαξονικής γραµµής χωρίς απώλειες
Z0 =
V + (z )
ln(b / a )
=η
.
I + (z )
2π
(13.37)
Η (13.37), αν λάβουµε υπόψη την (11.14) και ότι οι ανά µονάδα µήκους τιµές της χωρητικότητας C και της αυτεπαγωγής L της γραµµής δίνονται, αντίστοιχα, από τις σχέσεις
C =
2πε
ln(b / a )
(13.38)
L=
µ
b
ln ,
2π a
(13.39)
και
µπορεί, επίσης, να γραφεί και µε τη µορφή
683
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
I(z,t)
dz
I (z + dz , t ) = I (z, t ) +
Ldz
V(z,t)
Cdz
∂I
dz
∂z
V (z + dz , t ) = V (z , t ) +
∂V
dz
∂z
z
Σχήµα 13-3
Z0 =
ln(b / a )
L
=η
C
2π
(13.40)
Το ίδιο αποτέλεσµα µπορεί, επίσης, να προκύψει και από το ισοδύναµο κυκλωµατικό
πρόβληµα µε διανεµηµένα στοιχεία του σχήµατος 13-3. Πράγµατι, από την εφαρµογή των
δύο νόµων του Kirchhoff σ’ ένα στοιχειώδες µήκος dz της γραµµής, προκύπτουν εύκολα
οι διαφορικές εξισώσεις
∂V
∂I
= −L
∂z
∂t
(13.41)
∂I
∂V
= −C
∂z
∂t
(13.42)
και
Οι (13.41) και (13.42) οδηγούν στις κυµατικές εξισώσεις
∂ 2V
∂ 2V
−
LC
=0
∂z 2
∂t 2
(13.43)
∂2I
∂ 2I
− LC 2 = 0 ,
2
∂z
∂t
(13.44)
και
που έχουν γενικές λύσεις της µορφής
V (z, t ) = V + (z − υt ) +V − (z + υt )
και
684
(13.45)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
I (z, t ) = I + (z − υt ) + I − (z + υt ) ,
(13.46)
1
=
LC
(13.47)
όπου
υ=
1
µε
Με αντικατάσταση των (13.45) και (13.46) στις (13.41) και (13.42), καταλήγουµε και
πάλι στις
V + (z, t )
L
= Z0 =
I + (z, t )
C
(13.48)
V − (z, t )
L
= −Z 0 = −
−
I (z, t )
C
(13.49)
και
13.4 Γραµµή µεταφοράς χωρίς απώλειες
Οι διαφορικές εξισώσεις (13.43) και (13.44), στην περίπτωση ηµιτονοειδούς χρονικής
µεταβολής, µε χρησιµοποίηση µιγαδικών µεγεθών, γράφονται
d 2V
+ ω 2LCV = 0
dz 2
(13.50)
d 2I
+ ω 2LCI = 0 ,
dz 2
(13.51)
και
Η λύση των εξισώσεων αυτών είναι της µορφής
V (z ) = V +e − j βz +V −e j βz
(13.52)
και
I (z ) =
1
(V +e − j βz −V −e j βz ) ,
Z0
(13.53)
όπου
β=
2π
ω
= = ω LC = ω µε
λ
υ
και
Z0 =
Η σύνθετη αντίσταση Z (z ) της γραµµής σε κάθε θέση είναι
685
L
C
(13.54)
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
Z (z ) =
V (z )
V +e − j βz +V −e + j βz
,
= Z 0 + − j βz
−V −e + j βz
V e
I (z )
(13.55)
ή
Z (z ) = Z 0
1 + Γ 0e j 2 βz
,
1 − Γ 0e j 2 βz
(13.56)
όπου
Γ0 =
V−
= Γ 0 e jϕ0
V+
(13.57)
είναι ο συντελεστής ανάκλασης της γραµµής και ϕ0 η φασική διαφορά µεταξύ του ανακλωµένου κύµατος V − και του προσπίπτοντος V + στη θέση z = 0 .
Συνήθως, οι γραµµές µεταφοράς συνδέουν µια γεννήτρια VS µε ένα φορτίο Z L , όπως
φαίνεται στο σχήµα 13-4. Αν η θέση του φορτίου ληφθεί ως αρχή των συντεταγµένων z , η
(13.56), συναρτήσει της θετικής απόστασης s = −z από το φορτίο, γράφεται
Z (s ) = Z 0
1 + Γ 0e − j 2 βs
1 − Γ 0e − j 2 βs
(13.58)
ZS
VS
+
-
ZL
z
s
z=0
s=0
Σχήµα 13-4
Επίσης, επειδή η χαρακτηριστική αντίσταση Z 0 είναι σταθερή για κάθε γραµµή, ενδείκνυται στη σχετική ανάλυση η χρησιµοποίηση της ανηγµένης (κανονικοποιηµένης)
σύνθετης αντίστασης
686
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
z n (s ) =
Z (s ) 1 + Γ 0e − j 2 βs
=
= r (s ) + jx (s )
Z0
1 − Γ 0e − j 2 βs
(13.59)
Η µέση ισχύς P που αποδίδει η πηγή σ’ ένα παθητικό φορτίο είναι
P=
(
)
2
2
1
1
Re (VI ∗ ) =
V+ −V− ≥ 0
2
2Z 0
(13.60)
Από τις (13.57) και (13.60), φαίνεται, αµέσως, ότι ισχύει η
Γ0 =
V−
≤1
V+
(13.61)
Άρα, ο γεωµετρικός τόπος του γενικευµένου συντελεστή ανάκλασης Γ που ορίζεται
από τη σχέση
Γ = Γ 0e − j 2 βs = Γ 0 e j (ϕ0 −2 βs ) = Γ 0 e j ψ = p + jq ,
(13.62)
σ’ ένα µιγαδικό επίπεδο, είναι κύκλος µε ακτίνα Γ 0 ≤ 1 (σχήµα 13-5).
q
+j
Γ0
| Γ0 |
ϕ0 2βs
+1 p
-1
Γ 0e − j 2 βs
-j
Σχήµα 13-5
Η σύνθετη αντίσταση εισόδου της γραµµής µπορεί να υπολογισθεί γραφικά µε τη βοήθεια του διαγράµµατος Smith (Smith chart). Για την κατανόηση του διαγράµµατος Smith,
από τις (13.59) και (13.62) έχουµε
687
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
1 + (p + jq )
1+Γ
=
1−Γ
1 − (p + jq )
r + jx =
(13.63)
Η (13.63), µετά από µερικές απλές αλγεβρικές πράξεις, οδηγεί στο σύστηµα των εξισώσεων
2
⎛
⎞
1
⎜⎜p − r ⎟⎟ + q 2 =
⎟
⎜⎝
⎠
r +1
(r + 1)2
(13.64)
και
2
⎛
1⎞
1
(p − 1)2 + ⎜⎜q − ⎟⎟⎟ = 2
⎝
x⎠
x
1.0
0.9
0.8
0
0.2
0.
1.0
15
0°
0.3
9
5.0
x=5/3
0.4
0.5
0.6
00. .7
7
50
20
10
3.0
2.0
1.0
0.9
0.8
0.7
0.5
0.4
0.3
0.3
0.2
1.5
10
0.6
0.0
0.0
.7
−0
0.48
20
0.1
0.1
.7
−0
0.27
0.6 7
00. .7
0.
9
1.
0
0°
22
0
0°
21
4.0
45
0.
5.0
3.
0.37
1.0
0.9
0.38
0.39
0.
43
0.6
1.7
0.36
260°
270°
0.7
1.5
0.35
280°
0.8
°
290
0.
2.0
5
4
0.3
0°
23
0.7
3
0.3
688
0°
30
Σχήµα 13-6
0°
31
0.0
32
0.
0.1
0.
31
0.2
x=−2/3
0.3
0
x=−1
32
0°
0.4
0.3
0.3
0.2
9
0.5
4
0.
0.28
x=−5/3
0.6
33
0°
1.
0
0.9
0.8
0.7
340
°
8
0.
0.2
0.26
r=1
350°
0.3
0.4
0.5
0.3
50
50
0.1
0.25
r=3
5.0
0.1
0.2
0.3
20
.7
−0
0.0
4.0
0.02
8
0.
10
0.24
170°
4.0
0.23
.7
−0
0.1
250
°
0.40
24
0°
0.4
1
0.4
2
44
0.
°
200
3.0
0.7
0.8
0.9
1.0
0°
0.0
6
0.4
x=1
0.6
10°
0.0
1.5
0.5
20°
0.01
0.
19
2
0.2
0.00
2.
0.5
0.
06
14
0°
0.0
5
4
0.
0.0
4
0.4
1
0.2
0.03
0.3
0.3
°
30
180°
0.1
8
50
°
20
0.
0.49
0.1
7
0.2
r=1/3
190°
60
°
°
40
160
°
x=2/3
0.2
7
0.4
0.1
6
70°
0.1
°
0
13
0.15
80°
0.0
1.7
07
0.
0°
12
0.6
8
0.0
°
110
0.14
90°
100°
0.7
0.7
9
0.0
Im{Γ}
0.13
0.12
0.11
0.10
(13.65)
Re{Γ}
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
Στο διάγραµµα Smith (σχήµα 13-6) σχεδιάζονται οι γεωµετρικοί τόποι του Γ για
r = const. και x = const. Από την (13.64) παρατηρούµε ότι οι r = const. παριστάνουν
κύκλους µε ακτίνες 1/(r + 1) που τα κέντρα τους βρίσκονται στις θέσεις [r /(r + 1), 0]
του πραγµατικού άξονα. Επίσης, από την (13.65) παρατηρούµε ότι οι x = const. παριστάνουν κύκλους που τα κέντρα τους βρίσκονται στις θέσεις (1,1/ x ) και έχουν ακτίνες 1/ x .
Στο διάγραµµα Smith είναι σχεδιασµένες οι γραµµές (περιφέρειες) r = const. και
x = const. που ονοµάζονται και συντεταγµένες του διαγράµµατος. Ο συντελεστής Γ
προσδιορίζεται γραφικά για κάθε r + jx από την τοµή των αντιστοίχων κύκλων r και x .
Επίσης, η γωνία ψ αναγράφεται στο περίγραµµα του µοναδιαίου κύκλου σε µοίρες και σε
µήκη κύµατος (2βs = 4πs / λ) ‘προς τη γεννήτρια’ και ‘προς το φορτίο’.
Ας επανέλθουµε, τώρα, στην εξίσωση (13.55). Αν αντί του z χρησιµοποιηθεί η απόσταση s ( s = −z ), η σύνθετη αντίσταση Z (s ) δίνεται από την
Z (s ) =
V (s )
V +e j βs +V −e − j βs
= Z 0 + + j βs
V e
−V −e − j βs
I (s )
(13.66)
Για s = 0 (θέση φορτίου, σχήµα 13-4), έχουµε
Z L = Z (0) =
V (0)
V + +V −
= Z0 +
V −V −
I (0)
(13.67)
Από την (13.67), παρατηρούµε ότι για
ZL = Z 0 ,
το ανακλώµενο κύµα V
−
(13.68)
−
έχει µηδενική τιµή (V = 0 ), οπότε από την (13.66) προκύπτει
ότι
Z (s ) = Z L = Z 0
(13.69)
Στην περίπτωση αυτή λέµε ότι έχουµε προσαρµογή, ή ότι η γραµµή είναι προσαρµοσµένη.
Αν, τώρα, η (13.52) εκφραστεί συναρτήσει του s και ληφθεί το µέτρο και στα δύο
µέλη της έχουµε
V (s ) = V +e j βs (1 + Γ 0e − j 2 βs )
689
(13.70)
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
Όπως, εύκολα, φαίνεται από την (13.70) η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή της V (s ) είναι, αντίστοιχα
V (s )
max
= V + (1 + Γ 0
)
(13.71)
= V + (1 − Γ 0
)
(13.72)
και
V (s )
min
Ο λόγος
S=
V (s )
V (s )
max
=
min
1 + Γ0
1 − Γ0
,
(13.73)
που ονοµάζεται λόγος τάσεων στάσιµου κύµατος (ή σύντοµα VSWR από το voltage standing wave ratio), µπορεί εύκολα να µετρηθεί σε µια γραµµή µεταφοράς, οπότε από τη
(13.73) υπολογίζεται το Γ 0 , που δίνεται από τη σχέση
Γ0 =
S −1
S +1
(13.74)
Ας σηµειώσουµε, ακόµη, ότι όπως προκύπτει από την (13.60) η µέγιστη ισχύς που
παρέχει µια γραµµή µεταφοράς σ’ ένα φορτίο – και που συµβαίνει στην περίπτωση της
προσαρµογής (V − = 0 ) – είναι
Pmax =
V+
2
2Z 0
(13.75)
13.5 Γραµµή µεταφοράς µε απώλειες
Στη γραµµή µεταφοράς µε απώλειες, εκτός από την αυτεπαγωγή L και τη χωρητικότητα C έχουµε την αντίσταση R και την αγωγιµότητα G ανά µονάδα µήκους της γραµµής (διανεµηµένα κυκλωµατικά στοιχεία σχήµατος 13-7).
690
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
I(z,t)
V(z,t)
z
Ldz
Rdz
Cdz
Gdz
I (z + dz, t ) = I (z, t ) +
∂I
dz
∂z
V (z + dz, t ) = V (z, t ) +
∂V
dz
∂z
dz
Σχήµα 13-7
Στην περίπτωση αυτή, µε εφαρµογή των δύο νόµων του Kirchhoff σ’ ένα απειροστό
µήκος dz της γραµµής, προκύπτουν οι εξισώσεις
∂V
∂I
= −RI − L
,
∂z
∂t
(13.76)
∂I
∂V
,
= −GV − C
∂z
∂t
(13.77)
∂ 2V
∂ 2V
∂V
=
+ (RC + LG )
+ RGV ,
LC
2
2
∂z
∂t
∂t
(13.78)
∂ 2I
∂ 2I
∂I
=
+ (RC + LG )
+ RGI
LC
2
2
∂z
∂t
∂t
(13.79)
Οι πιο p;anv εξισώσεις, για ηµιτονοειδή χρονική µεταβολή, γράφονται ως
dV
= −(R + j ωL)I ,
dz
(13.80)
dI
= −(G + j ωC )V ,
dz
(13.81)
d 2V
= γ 2V ,
dz 2
(13.82)
d 2I
= γ 2I ,
dz 2
(13.83)
όπου
691
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
γ = (R + j ωL)(G + j ωC ) = α + j β
(13.84)
είναι η σταθερά διάδοσης της γραµµής, α η σταθερά απόσβεσης και β η φασική σταθερά.
Οι γενικές λύσεις των (13.82) και (13.83) είναι της µορφής
V (z ) = V +e −γz +V −e + γz ,
(13.85)
I (z ) = I +e −γz + I −e + γz
(13.86)
Οι σταθερές V + , I + ,V − , I − συνδέονται µε τις σχέσεις
I+ =
V+
,
Z0
(13.87)
I− =
V−
,
Z0
(13.88)
όπου
1/ 2
⎛ R + j ωL ⎞⎟
⎟
Z 0 = ⎜⎜
⎜⎝G + j ωC ⎠⎟⎟
,
(13.89)
είναι η χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση της γραµµής.
Με αντικατάσταση των (13.85) και (13.86) στις (13.80) και (13.81) προκύπτει η έκφραση της σύνθετης αντίστασης της γραµµής σε κάθε θέση
Z (z ) =
V (z )
V +e −γz +V −e γz
= Z 0 + −γ z
V e −V +e γz
I (z )
(13.90)
Στη γραµµή µε απώλειες η διάδοση γίνεται µε (φασική) ταχύτητα
υp =
ω
,
β
(13.91)
και παρατηρείται απόσβεση, για µεν τα µεγέθη V + , I + κατά τον παράγοντα e −αz (το κύµα οδεύει κατά τα θετικά z ) για δε τα µεγέθη V − , I − κατά τον παράγοντα e αz (το κύµα
οδεύει προς τα αρνητικά z ). Ας σηµειωθεί ότι η ταχύτητα υp εξαρτάται, εν γένει, από τη
συχνότητα.
Με αναφορά στο σχήµα 13-3, στη θέση του φορτίου Z L (z = s = 0) η τάση VL και
το ρεύµα I L , λόγω των (13.85), (13.86), (13.87), (13.88) συνδέονται µε τις σχέσεις
VL = V + + V −
692
(13.92)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
και
IL =
1
(V + −V − )
Z0
(13.93)
Επίσης, η τάση V (s ) , η ένταση I (s ) και η σύνθετη αντίσταση εισόδου Z (s ) σε µια
απόσταση s από το φορτίο δίνονται από τις εκφράσεις
V (s ) = V +e γs +V −e −γs ,
1
(V +e γs −V −e −γs ) ,
Z0
(13.95)
V (s )
V +e γs +V −e −γs
= Z 0 + γs
V e −V −e −γs
I (s )
(13.96)
I (s ) =
Z (s ) =
(13.94)
Η (13.96), µε εισαγωγή του συντελεστή ανάκλασης
Γ0 =
Z − Z0
V−
,
= L
+
V
ZL + Z 0
(13.97)
γράφεται και µε τη µορφή
Z (s ) = Z 0
1 + Γ 0e −2 γs
Z + Z 0 tanh γs
= Z0 L
Z 0 + Z L tanh γs
1 − Γ 0e −2 γs
(13.98)
Μερικές ενδιαφέρουσες ειδικές περιπτώσεις είναι οι ακόλουθες:
α) Γραµµή βραχυκυκλωµένη (Z L = 0)
Στην περίπτωση αυτή ισχύουν οι σχέσεις:
Γ 0 = −1 ,
V − = −V + ,
VL = 0 ,
I + = I − = IL / 2 ,
(13.99)
ενώ η αντίσταση εισόδου δίνεται από την
Z β (s ) = Z 0 tanh γs
(13.100)
β) Ανοιχτή γραµµή (Z L → ∞)
Στην ανοικτή γραµµή ισχύουν οι σχέσεις
Γ0 = 1 ,
V − = V + = VL / 2 ,
I + = I − = VL /(2Z 0 ) ,
I L = 0 (13.101)
Η αντίσταση εισόδου στην ανοικτή γραµµή υπολογίζεται από την
Z α (s ) =
Z0
Z0
1 + j tanh αs tanh βs
=
= Z0
tanh γs
tanh(α + j β )s
tanh αs + j tanh βs
693
(13.102)
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
Από τις (13.100) και (13.101) εύκολα προκύπτει ότι οι Z α και Z β συνδέονται µε τη
σχέση
Z α (s )Z β (s ) = Z 02
(13.103)
γ) Προσαρµοσµένη γραµµή (Z L = Z 0 )
Στη γραµµή αυτή, οι αντίστοιχες, προς τις δύο προηγούµενες περιπτώσεις, σχέσεις είναι οι
Γ0 = 0 ,
V− = 0 ,
V + = VL ,
I− = 0 ,
I + = IL
(13.104)
και
Z π (s ) = Z 0
(13.105)
Στην προσαρµοσµένη γραµµή δεν παρατηρείται ανάκλαση στο τέλος της γραµµής
(θέση φορτίου), όλη δε η ενέργεια του προσπίπτοντος κύµατος καταναλίσκεται στο φορτίο.
δ) Γραµµή χωρίς παραµόρφωση
Ιδιαίτερο ενδιαφέρον εµφανίζει η περίπτωση γραµµής στην οποία τα µεγέθη R , L ,
C , G συνδέονται µε τη σχέση (συνθήκη Heaviside)
L C
= ,
R G
(13.106)
για κάθε τιµή της συχνότητας ω .
Λόγω της (13.106), οι (13.89) και (13.84) καταλήγουν στις
Z0 =
L
R
=
C
G
(13.107)
και
γ = RG + j ω LC ,
(13.108)
α = RG ,
(13.109)
β = ω LC
(13.110)
ω
=
β
(13.111)
οπότε
και
υp =
694
1
LC
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
Από τις (13.107) και (13.111), παρατηρούµε ότι η χαρακτηριστική αντίσταση Z 0 , και
η φασική ταχύτητα υp είναι ανεξάρτητες της συχνότητας και έχουν τιµές ίσες µε τις αντίστοιχες τιµές στη γραµµή χωρίς απώλειες. Η ανεξαρτησία της ταχύτητας από τη συχνότητα, εξηγεί και την ονοµασία της γραµµής, ως γραµµής χωρίς παραµόρφωση, αφού σ’ αυτήν
µια οποιαδήποτε κυµατοµορφή (σήµα – παλµός) µεταδίδεται χωρίς παραµόρφωση.
ε) Γραµµή µε χαµηλές απώλειες
Μια άλλη περίπτωση µε ξεχωριστό ενδιαφέρον είναι η “γραµµή µε χαµηλές απώλειες”, στην οποία ισχύουν οι σχέσεις
ωL >> R
(13.112)
ωC >> G
(13.113)
και
Στην περίπτωση αυτή, µετά από µερικές απλές πράξεις, προκύπτουν εύκολα οι εκφράσεις
L
,
C
Z0 ≅
α≅
R C
G
+
2 L
2
(13.144)
L
,
C
β ≅ ω LC ,
⎛R C
G
+
γ ≅ ⎜⎜⎜
⎜⎝ 2 L
2
L ⎞⎟
⎟⎟ + j ω LC
C ⎠⎟
(13.115)
(13.116)
(13.117)
και
υp ≅
1
LC
(13.118)
Από τη (13.118) παρατηρούµε ότι και στην περίπτωση της γραµµής µε χαµηλές απώλειες η ταχύτητα είναι σταθερή και ανεξάρτητη της συχνότητας.
Η ανάλυση της γραµµής µε απώλειες µπορεί να γίνει και µε τη βοήθεια του διαγράµµατος Smith. Στην περίπτωση αυτή, η αντίστοιχη προς τη (13.59) σχέση είναι η
z n (s ) =
Z (s ) 1 + Γ 0e −2αse − j 2 βs
,
=
1 − Γ 0e −2αse − j 2 βs
Z0
695
(13.119)
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
από την οποία φαίνεται ότι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων που περιγράφεται από την
Γ (s) = Γ 0e −2αse − j 2 βs ,
(13.120)
είναι µια εκθετικά (λογαριθµικά) φθίνουσα καµπύλη (και όχι κύκλος όπως είδαµε στη
γραµµή χωρίς απώλειες). Το διάγραµµα Smith δίνει και πάλι το πραγµατικό και το φανταστικό µέρος της z n (s ) για Γ (s) ≤ 1 .
696
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
13.6 Παραδείγµατα
13.1 Γραµµή µεταφοράς µε απώλειες µήκους l = 2 m, χαρακτηριστικής αντίστασης
Z 0 = 60 + j 40 Ω, κυκλικής συχνότητας λειτουργίας ω = 106 rad/s, σταθεράς απόσβεσης
α = 8 dB/m, φασικής σταθεράς β = 1 rad/m, τροφοδοτείται στο αριστερό άκρο από πηγή
τάσης Vg = 10∠0° V και εσωτερικής αντίστασης Z g = 40 Ω. Στο δεξιό άκρο η γραµµή τροφοδοτεί φορτίο ΖL = 20 + j 50 Ω. Ζητούνται:
α) Η αντίσταση εισόδου στην αρχή της γραµµής.
β) Η ένταση του ρεύµατος I 0 στην αρχή της γραµµής.
γ) Η ένταση του ρεύµατος στο µέσο της γραµµής.
α) Επειδή 1 Np = 8,686 dB, η σταθερά απόσβεσης a και η σταθερά διάδοσης γ είναι, αντίστοιχα,
α=
8
= 0, 921 Np/m,
8, 686
γ = α + j β = 0, 921 + j 1 m-1
(1)
(2)
Προκειµένου, να υπολογίσουµε την αντίσταση εισόδου στην αρχή της γραµµής
( z = -l, s = l ), όπου
γl = 2(0, 921 + j 1) = 1, 842 + j 2 ,
(3)
υπολογίζουµε αρχικά το συντελεστή ανάκλασης από τις γνωστές αντιστάσεις Z 0 και Z L
Γ0 =
Z − Z0
(20 + j 50) − (60 + j 40)
V−
,
= L
=
V+
ZL + Z 0
(20 + j 50) + (60 + j 40)
(4)
ή
Γ0 = −0,1586 + j 0, 3034 = 0, 3424e j 2,0524
Η ζητούµενη αντίσταση εισόδου Z in = Z (s = l ) , υπολογίζεται από τη σχέση
Z in = Z (s = l ) = Z 0
1 + Γ0e −2 γl
1 + 0, 3424e j 2,0524e −3,684e − j 4
(60
40)
,
=
+
j
1 − Γ0e −2 γl
1 − 0, 3424e j 2,0524e −3,684e − j 4
ή
697
(5)
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
Z in = 60, 25 + j 38, 79 Ω
(6)
β) Το ρεύµα I 0 = I (s = l ) στην αρχή της γραµµής, µετά τον υπολογισµό της αντίστασης εισόδου, υπολογίζεται εύκολα από την
I0 =
Vg
Z in + Z g
=
10
= 93, 03e − j 0,369 ,
60, 25 + j 38, 79 + 40
ή
I 0 = 93, 03∠ − 21,15° mA
(7)
Από τη σχέση
I (s ) =
1
(V +e γs −V −e −γs )
Z0
που δίνει την ένταση του ρεύµατος σε απόσταση s από το φορτίο, προκύπτουν οι ακόλουθες εκφράσεις για τα ρεύµατα της γραµµής στην αρχή
( s = l ) και στο µέσο ( s = 2l ) α-
ντίστοιχα
I 0 = I (l ) =
1
(V +e γl −V −e −γl )
Z0
(8)
και
I (s = 2l ) =
1
γl
−γ l
V +e 2 −V −e 2
Z0
(
)
(9)
γ) Με κατά µέλη διαίρεση των (8), (9), έχουµε
+ γ l2
− −γ l 2
I (s = 2l ) V e −V e
=
I0
V +e γl −V −e −γl
γl
⎛V − ⎞ − γl
e 2 − ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟e 2
⎝V ⎠
,
=
⎛V − ⎞
γl
e − ⎜⎜⎜ + ⎟⎟⎟e −γl
⎝V ⎠
ή
γl
−
γl
γl
−
I (s = 2l ) e 2 − Γ0e 2
1 − Γ0e −γl
2
,
= γl
=
e
I0
e − Γ0e −γl
1 − Γ0e −2 γl
ή
I (s = 2l ) = I 0e
−
γl
2
j 2,052 −1,842− j 2
1 − Γ0e −γl
e
− j 0,369 −0,921− j 1 1 − 0, 3424e
=
93,
03
e
e
,
1 − Γ0e −2 γl
1 − 0, 3424e j 2,052e −3,684e − j 4
ή
698
(10)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
I (s = 2l ) = 35,1e − j 1,38 = 35,1∠ − 79, 07° mA
(11)
13.2 Η ανηγµένη χαρακτηριστική αντίσταση z n µιας γραµµής µεταφοράς χωρίς απώλειες,
δίνεται από τη σχέση
z n = r + jx =
1 + Γ 0 e jψ
1 − Γ 0 e jψ
Με τη βοήθεια του διαγράµµατος Smith, ζητούνται να υπολογιστούν:
α) Το µέτρο Γ 0
του γενικευµένου συντελεστή ανάκλασης Γ και η φασική γωνία
ψ = ϕ0 − 2βs , αν δίνεται ότι r = 2 και x = 3 .
β) Οι τιµές των r και x όταν δίνεται ότι Γ 0 = 1/ 3 και ψ = 90 .
γ) Η µέγιστη και η ελάχιστη τιµή του µέτρου z n , για όλες τις δυνατές τιµές του ψ , όταν και
πάλι είναι Γ 0 = 1/ 3 .
α) Από την τοµή των κύκλων x = 3 και r = 2 , προσδιορίζεται το σηµείο P στο
διάγραµµα Smith που αντιστοιχεί στην ανηγµένη χαρακτηριστική αντίσταση z n = 2 + j 3 .
Η προέκταση της OP καθορίζει το σηµείο P′ στον κύκλο των γωνιών ψ .
Έτσι, από το διάγραµµα Smith προκύπτει
ψ = 26
(1)
και
Γ = Γ 0 = OP =
OP
= 0, 745
OP′
(2)
β) Αν σχεδιάσουµε τον κύκλο Γ 0 = 1/ 3 και την ευθεία γραµµή ψ = 90 , η τοµή
τους (σηµείο Q στο σχήµα), όπως φαίνεται από το διάγραµµα Smith έχει συντεταγµένες
r = 0, 8 και x = 0, 6 . ∆ηλαδή, η ανηγµένη χαρακτηριστική αντίσταση z n , στην περίπτωση αυτή, είναι
z n = 0, 8 + j 0, 6
699
(3)
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
1.5
2.
0
0.4
9
0.
1.0
0.4
0.5
0.6
10
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.1
0.2
1.5
0°
15
0.1
0.2
0.3
0.1
0.25
0°
50
20
0.48
10
0.
9
1.
0
4.0
3.
0
2.0
1.5
0.35
280°
260°
270°
0.36
0.37
0.8
°
290
1.0
4
0.3
0.9
0°
30
0.38
0.7
3
0.3
0.39
250
°
24
0°
44
0.
23
0°
0.
43
0.6
0°
31
0.1
32
0.
0.2
0.
31
0.
5
0.2
9
0°
22
0.28
r=0.8
0.3
0.3
0
0.4
32
0°
4
0.26
0.27
0.5
0.
33
0°
0.6
340
°
r=2
1.
0
0.9
0.8
0.7
0.3
350°
0.6
7
0.
8
0.
S
0.2
0°
21
50
0.2
0.3
0.4
0.5
45
0.
0.24
20
T
5.0
0.0
4
7
0.
160
°
0.2
8
0.
0.03
0.3
0.02
0.23
10
10°
170°
20°
°
200
5.0
R
ψ
0.1
0.1
6
0.4
P
2
180°
P’4.0 ψ=260
0.2
O
3.0
50
4
0.7
0.8
0.9
1.0
1
0 .2
0.01
x=3
0.5
0.
19
°
30
0.00
0.1
8
50
°
0.6
K
ψ=1800
0.49
0.1
7
60
°
0.3
Q
190°
0.1
6
0.2
|Γ0|=1/3
7
0.4
70°
20
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
x=0.6
0.
5
ψ=90
0.15
20
0.
0 .0
0
°
40
14
0°
0.
06
0°
13
0.14
80°
0.1
0.5
07
0.
0°
12
0.13
90°
100°
°
110
8
0.0
0.12
0.11
0.10
9
0.0
0.4
2
0.4
1
0.40
Σχήµα 13-8
γ) Από τις εκφράσεις της z n (σχέσεις (13.59) και (13.62)), εύκολα συµπεραίνουµε ότι
η µέγιστη τιµή z n
max
και η ελάχιστη τιµή z n
min
του µέτρου z n , προκύπτουν, όταν
ψ = 0 και ψ = π , αντίστοιχα.
Έτσι, έχουµε
zn
max
zn
min
=
1 + Γ0
1 − Γ0
=
1 + 1/ 3
=2
1 − 1/ 3
(4)
=
1 − 1/ 3
1
=
1 + 1/ 3 2
(5)
και
=
1 − Γ0
1 + Γ0
Τα ίδια αποτελέσµατα µπορούν να προκύψουν και από το διάγραµµα Smith.
Πράγµατι, για την τυχούσα γωνία ψ (σηµείο R στον κύκλο Γ 0 = 1/ 3 ), έχουµε
700
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
zn =
(KR)
(KS)
(6)
Όταν το σηµείο R συµπέσει µε τα σηµεία T και Y , έχουµε, αντίστοιχα
zn
max
zn
min
=
(KT) 1 + 1/ 3
=
=2
(KY) 1 − 1/ 3
(7)
=
(KY) 1 − 1/ 3
1
=
=
(KT) 1 + 1/ 3 2
(8)
και
Επίσης, παρατηρούµε ότι η z n για ψ = 0 και ψ = π είναι πραγµατική.
13.3 Μια γεννήτρια συνδέεται µε παθητικό φορτίο, µέσω γραµµής µεταφοράς χαρακτηριστικής αντίστασης Z 0 = 50 Ω. Η σύνθετη αντίσταση της γραµµής στη θέση αναφοράς των
αποστάσεων s = 0 είναι
Z (0) =
V (0)
= 100 + j 50 Ω
I (0)
(1)
Ζητείται να βρεθεί η σύνθετη αντίσταση της γραµµής σε µια απόσταση 0, 2λ , από τη θέση
αναφοράς προς τη γεννήτρια.
Αρχικά, εκφράζουµε το πρόβληµα σε συντεταγµένες του διαγράµµατος Smith, παίρνοντας την κανονικοποιηµένη χαρακτηριστική αντίσταση
z n (0) =
Z (0) 100 + j 50
=
= 2 + j = r + jx
Z0
50
(2)
Από το διάγραµµα Smith παρατηρούµε ότι το σηµείο αναφοράς (σηµείο P στο σχήµα 13-9 που προκύπτει από την τοµή των κύκλων x = 1 και r = 2 ), αντιστοιχεί σε µια
απόσταση 0, 213λ ‘προς τη γεννήτρια’ (ή, ψ = 26, 2 ). Για τη χρησιµοποίηση του διαγράµµατος Smith επειδή η αρχή δεν είναι η ίδια στις δύο κλίµακες, πρέπει να θεωρήσουµε
την απόσταση
s ′ = 0, 213λ + 0, 2λ = 0, 413λ ,
‘προς τη γεννήτρια’ (ή, ψ = −117, 8 ).
701
(3)
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
1.0
0.8
0.6
0.
4
5
1.5
0.5
4
0.7
0.8
0.9
1.0
r=0.5
0.213λ
(ψ =26.2o)
0
5.0
0.2
0.
20°
9
4.0
1.0
15
0°
0.
19
3.0
0.6
0.3
50
20
10
5.0
1.5
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.1
0.4
0.1
0.2
0.3
0.5
4.0
0.4
0.5
0.6
0.3
3.0
7
0.
0.2
50
0.25
0.1
0.24
20
0°
0.1
10
10°
180°
P
|
|Γ 0
ψ
0
2.0
0.02
8
0.23
O
0.
0.0
0
0.4
0.
14
0°
x=1
0.3
50
°
2
0.03
0.1
8
0.2
0.2
160
°
°
1
0.2
170°
0.1
7
60
°
30
50
0.01
0.1
6
20
0.
0 .0
70°
°
40
0.00
0.15
2.
0°
13
0.14
80°
0.1
0.5
0
06
0°
12
7
.0
0.7
8
0.0
0.9
°
110
0.13
90°
100°
9
0.0
0.12
0.11
0.10
9
0.
0°
22
0
0.
2.0
0.36
0.9
260°
270°
0.37
0.38
0.7
1.5
280°
0.39
°
200
0.48
1.
0.35
1.0
4
0.3
°
290
0.8
3
0.
43
0.6
0°
30
0.3
23
0°
250
°
24
0°
2
0.4
0.413λ o
(ψ0=−117.8 )
0°
31
0.1
32
0.
0.2
31
5
0.
0.3
0
0.4
0.
0.3
0°
21
0
3.
0.5
4
32
0°
45
0.
9
0.6
0.2
0.4
1
0.40
44
0.
6
0.4
4.0
0.4
r=2
0.7
x=−0.5
33
0°
0.3
5.0
190°
10
1.
0
0.9
0.8
Q
0.28
0.2
340
°
7
20
0.27
0.6
7
0.
8
0.
Σχήµα 13-9
G
ZL
s
0,213λ
0, 2λ
Σχήµα 13-10
702
0.26
0.3
0.4
0.5
350°
0.49
0.2
0.1
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
Στη συνέχεια, γράφουµε περιφέρεια µε κέντρο O και ακτίνα r0 = (OP) , οπότε, ορίζεται το σηµείο Q , που αντιστοιχεί στην απόσταση s = 0, 2λ , δηλαδή στην απόσταση
s ′ = 0, 413λ ‘προς τη γεννήτρια’.
Το σηµείο Q , όπως φαίνεται από το διάγραµµα Smith, είναι σηµείο τοµής των δύο
κύκλων r = 0, 5 και x = −0, 5 και προσδιορίζει την ανηγµένη χαρακτηριστική αντίσταση, σε µια απόσταση s = 0, 2λ από το σηµείο αναφοράς,
z n = 0, 5 − j 0, 5
(4)
Έτσι, η ζητούµενη σύνθετη αντίσταση Z , είναι
Z = z n Z 0 = (0, 5 − j 0, 5)50 ,
ή
Z = 25 − j 25 Ω
(5)
13.4 Ο λόγος τάσεων S του στάσιµου κύµατος (VSWR) σε µια ιδανική γραµµή µεταφοράς
είναι 3 . ∆εδοµένου ότι το πρώτο ελάχιστο της vn (s ) (ή της V (s ) ) παρατηρείται σε απόσταση 5 cm από το φορτίο και ότι η απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών σηµείων ελαχίστου είναι 20 cm, να βρεθεί η σύνθετη αντίσταση του φορτίου. ∆ίνεται ότι η χαρακτηριστική αντίσταση της γραµµής είναι ίση προς 50 Ω.
Αρχικά παρατηρούµε – όπως εύκολα φαίνεται από το σχήµα 13.11 – ότι η απόσταση
d µεταξύ δύο διαδοχικών σηµείων ελαχίστου (ή µεγίστου) της vn (s ) (ή της V (s ) ), όπου
vn είναι η ανηγµένη (κανονικοποιηµένη) τάση, που σύµφωνα µε την (13.70) δίνεται από
την
vn =
V (s )
= 1 + Γ 0e − j 2βs ,
V+
(1)
είναι ίση µε µισό µήκος κύµατος:
d = λ /2
703
(2)
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
νn
λ /2
λ /2
νn
l
d = λ /2
| Γ0 |
ϕ0 = 2βs
s
Σχήµα 13-11
Από τη σχέση
Γ0 =
S −1
S +1
(3)
για S = 3 , προκύπτει
Γ 0 = 1/ 2
(4)
∆ίνεται ότι το µήκος κύµατος λ είναι διπλάσιο της απόστασης d = 20 cm µεταξύ
δύο διαδοχικών σηµείων ελαχίστου, δηλαδή
λ = 40 cm
(5)
Συνεπώς, η απόσταση ∆s = 5 cm του φορτίου από το πρώτο ελάχιστο, συναρτήσει
του µήκους κύµατος, είναι
∆s =
5
λ = 0,125λ ,
40
(6)
‘προς το φορτίο’.
Αν µε κέντρο το κέντρο O του διαγράµµατος Smith και ακτίνα ίση προς Γ 0 = 1/ 2 ,
γράψουµε περιφέρεια, η τοµή της περιφέρειας αυτής µε την ευθεία ∆s = 0,125λ ‘προς το
φορτίο’, προσδιορίζει το σηµείο P (σχήµα 13-12), που αντιστοιχεί στους κύκλους µε “συντεταγµένες” r = 0, 6 και x = −0, 8 . Έχουµε δηλαδή
z n (0) = r + jx = 0, 6 − j 0, 8 ,
(7)
Z L = Z (0) = z n (0)Z 0 = 50(0, 6 − j 0, 8) = 30 − j 40 Ω
(8)
οπότε
704
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
1.0
0.9
0.8
0.6
1.5
0
50
°
2.
0.5
0.
06
8
0.3
0.5
3.0
0.7
1
°
0.3
0.8
0.9
1.0
4.0
2
0.2
20°
5.0
9
0.
1.0
0°
0.6
15
0.
19
r=0.6
0.4
4
14
0°
0.1
0.2
0.
0.0
5
7
°
0.2
0.2
0.02
0.23
0.4
0.5
0.6
0.
7
0.
8
0.0
4
0.1
60
30
10
0.1
50
20
10
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
0.9
0.8
0.7
0.5
0.6
0.4
0.3
0.2
1.5
50
0.00
0.1
180°
50
0.25
0.1
0°
0.1
0.2
0.3
20
O
0.24
10°
170°
0.1
6
°
0.03
70°
20
0.
0.01
0.15
0.1
°
0
13
0.14
80°
40
160
°
0°
12
7
0
0.
°
110
0.13
90°
100°
0.7
8
0.0
0.12
0.11
0.10
9
0.0
0°
21
0.
9
0
°
200
0.48
1.
0
3.
6
0.4
4.0
0.4
5.0
190°
10
7
20
9
0°
22
0.4
0.35
1.0
280°
0.36
260°
270°
0.37
5
2.0
1.5
4
0.9
°
0.3
0.8
290
0.38
0.39
250
°
0.
0°
24
0.7
0°
3
44
0.
23
0°
43
0.6
30
0.3
0.
0°
∆S=0.125 λ
31
0.2
0.1
32
0.
x=0.8
0.
31
0.3
0.3
0
4
32
0°
45
0.
0.5
0.
0.2
0.6
33
0°
zn=0.6−j0.8
0.7
0.3
0.28
1.
0
0.9
0.8
340
°
P
0.2
0.27
0.5
0.6
7
0.
8
0.
0.26
0.3
0.4
350°
0.49
0.2
0.1
2
0.4
1
0.4
0.40
Σχήµα 13-12
13.5 Γραµµή µεταφοράς µήκους l = 58 cm ( l < λ / 2 ), είναι ανοικτή στο ένα της άκρο
ενώ στο άλλο εµφανίζει αντίσταση εισόδου Z (s ) ίση µε
Z (s ) = Z 0 (0, 20 + j 0, 25) Ω
Ζητείται ο προσδιορισµός της σταθεράς απόσβεσης α , της φασικής σταθεράς β και του µήκους κύµατος λ .
Αφού η γραµµή είναι ανοικτή ( Z (0) = ∞ ), στο ανοικτό άκρο ισχύουν, προφανώς, οι
σχέσεις
I + (0) + I − (0) = 0 ,
705
(1)
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
V + (0) = V − (0) ,
(2)
Γ0 = 1
(3)
Η ανηγµένη σύνθετη αντίσταση z n (s ) για s = l , σύµφωνα µε τη σχέση (13.119), είναι
z n (l ) =
Z (l ) 1 + 1 ⋅ e −2αle − j 2βl
=
= 0, 20 + j 0, 25
Z0
1 − 1 ⋅ e −2αle − j 2 βl
(4)
Από την (4) προκύπτει ότι
e −2αle − j 2 βl = 0, 684e − j 3,65 ,
(5)
οπότε οι τιµές των α και β είναι
α = 0, 327 Np/m,
(6)
β = 3,147 rad/m
(7)
Το µήκος κύµατος λ , λόγω της (7), είναι
λ=
2π
= 1, 997 m,
β
(8)
ή
λ = 3, 443l
(9)
Τα ίδια αποτελέσµατα µπορούν να προκύψουν και από το διάγραµµα Smith. Πράγµατι, όπως φαίνεται και στο σχήµα 13-13, αρχικά προσδιορίζουµε το σηµείο P από την τοµή
των κύκλων r = 0, 2 και x = 0,25 ( z n = r + jx ). Επειδή, το µήκος (OP) , όπως προκύπτει από το διάγραµµα, είναι 0, 685 , έχουµε
Γ (l ) = 0, 685 ,
(10)
e −2αl = 0, 685 ,
(11)
α = 0, 327 Np/m
(12)
ή
οπότε προκύπτει και πάλι
Αν, στη συνέχεια, προεκτείνουµε την OP µέχρι την εξωτερική περιφέρεια, έχουµε
l = 0, 041λ + 0, 25λ = 0, 291λ ,
706
(13)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
1.0
0.9
0.8
1.5
2.
0
0 .5
0.
06
0.3
50
°
0.4
4
14
0°
0.1
8
0.2
0.
0.0
5
°
0.5
3.0
0.6
0.041λ
0.7
0.3
0.8
0.9
1.0
9
0.
1.0
5.0
20°
0.3
8
0.23
7
0.
0.2
x=0.25
0.02
4.0
2
0.2
P
0.
15
0°
0.
19
1
0.2
0.0
4
0.1
7
60
°
0.03
0.1
6
30
10
0.4
0.5
0.6
0.1
50
20
10
5.0
4.0
3.0
2.0
1.5
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.00
180°
0.49
0.48
0.
9
1.
0
0
3.
0°
21
4.0
°
200
5.0
6
0.4
10
7
0.4
20
190°
0.1
0.1
0.2
0.3
0.3
50
0°
22
0.4
2.0
280°
0.36
0.9
2
0.38
0.39
0°
24
50°
260°
270°
0.37
0.8
1.5
0.35
1.0
4
0.3
°
290
44
0.
0.
43
0.6
0°
30
0°
23
0.7
3
0.3
0.
5
0°
31
32
0.
0.2
0.1
0.
31
0.3
0.3
0
32
0°
45
0.
0.26
0.2
9
0.5
r=0.2
0.28
0.6
33
0°
0.7
0.3
4
0.25
0.27
1.
0
0.9
0.8
0.3
340
°
0.2
350°
0.5
0.6
7
0.
8
0.
0.
50
0°
0.2
0.3
0.3
−2βλ
0.4
0.1
0.24
20
0.1
0.5λ
10°
170°
70°
20
0.
0.01
0.15
0.1
°
0
13
0.14
80°
°
40
160
°
0°
12
0.6
07
0.
°
110
0.13
90°
100°
0.7
8
0.0
0.12
0.11
0.10
9
0.0
0.4
2
1
0.4
0.40
Σχήµα 13-13
ή
λ=
l
= 1, 99 m
0, 291
(14)
Τέλος, λόγω της (14), η φασική σταθερά β είναι
β=
2π
= 3,15 rad/m
λ
(15)
Όπως παρατηρούµε από τη σύγκριση των (12), (14), (15) και (6), (7), (8), οι τιµές των
α, λ, β που προέκυψαν µε τους δύο τρόπους είναι ίδιες.
707
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
13.6 Γραµµή µεταφοράς µε απώλειες µήκους l = 58 cm ( l < λ / 2 ) τροφοδοτεί φορτίο
Z L , που η µιγαδική σύνθετη αντίστασή του είναι
Z L = Z (0) = (1, 0 + j 2, 0)Z 0
Αν η χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση της γραµµής είναι
Z 0 = 50 + j 5 Ω,
να υπολογιστεί η σύνθετη αντίσταση στην αρχή (είσοδο) της γραµµής. ∆ίνεται η τιµή της σταθεράς
απόσβεσης
της
α = 0, 327 Np/m,
γραµµής
και
της
φασικής
σταθεράς
β = 3,147 rad/m.
Από τη σχέση (13.119)
Z (s ) = Z 0
1 + Γ 0e −2αse − j 2 βs
,
1 − Γ 0e −2αse − j 2 βs
(1)
για s = 0 , έχουµε
z n (0) =
Z (0) 1 + Γ 0
=
= 1 + j2 ,
Z0
1 − Γ0
(2)
ή
Γ 0 = 0, 5 + j 0, 5 = 0, 707e j π / 4
(3)
Η (1), για s = l , µε αντικατάσταση της (3), γράφεται
Z (l ) = Z 0
1 + 0, 707e −2αle − j (2βl −π / 4)
,
1 − 0, 707e −2αle − j (2 βl −π / 4)
ή
Z (l ) = (50 + j 5)
1 + 0, 484e − j 2,865
= 18, 783e − j 0,232 Ω,
1 − 0, 484e − j 2,865
δηλαδή
Z (l ) = 18, 278 − j 4, 326 Ω
(4)
Και το πρόβληµα αυτό µπορεί να επιλυθεί µε τη βοήθεια του διαγράµµατος Smith.
Προς το σκοπό αυτό, αρχικά προσδιορίζουµε το σηµείο P , στην τοµή των κύκλων
r = 1, 0 και x = 2, 0 , που αντιστοιχεί στην ανηγµένη σύνθετη αντίσταση
708
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
1.5
2.
0
|=
0.
71
=|
0
Γ
9
0.
1.0
0.4
0.5
0.6
(O
P)
7
0.
2.0
1.5
4
0.35
1.0
0.3
°
290
280°
0.36
250
°
260°
270°
0.37
0.8
3
0.9
0°
30
0.3
0.7
32
0.38
24
0°
0°
22
0.
44
23
0°
43
0.6
0°
31
0.
5
0.
31
0.2
0.1
0.
45
50
0
3.
°
200
0.
9
1.
0
4.0
0.4
5.0
0.
20
3.0
2.0
1.0
0.9
0.7
0.8
0.6
0.5
0.3
0.4
0.3
0.1
0.2
0.1
0.1
0.1
0.1
0.2
0.3
1.5
10
0.2
9
0°
21
10
0.9
0.8
0.7
0.6
4
0°
0.0
15
0.2
8
0.
0.03
160
°
0.3
50
0.26
0.28
340
°
0°
0.4
0.3
0.3
0.3
0
32
4
33
0°
0.7
0.6
0.5
0.
0.25
0.27
1.
0
0.9
0.8
r=0.35
350°
r=1
0.3
50
0°
x=−0.12
0.5
0.6
7
0.
8
0.
P’
0.24
20
0.1
0.1
0.2
0.478λ
0.2
10°
10
5.0
0.
06
0°
4
0.
14
1.0
0.23
0.02
5.0
20°
170°
4.0
x=2.0
0.3
6
0.4
3.0
2
0.01
P
0.7
0.8
0.9
1.0
0.2
0.00
19
1
0 .2
180°
0.188λ
0.
°
30
0.49
0.1
8
50
°
20
190°
7
0.
0.5
2β l=0.29λ
0.4
0.48
0.1
60
°
0.3
0.3
0.4
0.6
0.1
0.1
0.1
6
°
40
0 .0
5
70°
0.2
Q
7
0.15
4.0
0°
13
0.14
80°
0.1
0.5
07
0.
0°
12
°
110
0.13
90°
100°
20
8
0.0
0.12
0.11
0.10
9
0.0
0.
0.4
2
1
0.4
0.40
0.39
Σχήµα 13-14
zn = 1 + j 2
(5)
Από το διάγραµµα Smith µετρούµε, αρχικά, την απόσταση (OP)
Γ 0 = (OP) = 0, 71 ,
(6)
και στη συνέχεια, επειδή η απόσταση l είναι
l = 0, 58 =
0,58
0, 58
λ=
λ = 0, 29λ ,
λ
2π / β
(7)
περιστρέφουµε την OP κατά (0, 29λ) ‘προς τη γεννήτρια’ γράφοντας την εστιγµένη περιφέρεια του σχήµατος, οπότε η OP καταλήγει στην OP′ (0, 29λ + 0,188λ = 0, 478λ) .
Ακολούθως, πάνω στην OP′ , ορίζουµε το σηµείο Q έτσι, ώστε
(OQ) = Γ 0 e −2αl = 0, 71 ⋅ 0, 684 = 0, 486
Το σηµείο Q έχει ‘συντεταγµένες’ r = 0, 35 και x = −0,12 , και συνεπώς έχουµε
709
(8)
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
z n (l ) =
Z (l )
= 0, 35 − j 0,12
Z0
(9)
Από την (9) προκύπτει η
Z (l ) = (50 + j 5)(0, 35 − j 0,12) = 18,1 − j 4, 25 Ω,
(10)
που, όπως αναµένονταν, είναι ίδια µε την (4)
13.7 Οι κυκλωµατικές παράµετροι προσαρµοσµένης οµοιόµορφης γραµµής µεταφοράς µε
απώλειες είναι
R = 10 mΩ/m, G = 1 µS/m, L = 1 µH/m και C = 1 nF/m
Αν η συχνότητα λειτουργίας της γραµµής είναι f = 3,18 KHz, ζητούνται
α) Ο υπολογισµός της χαρακτηριστικής αντίστασης της γραµµής.
β) Η φασική ταχύτητα µε την οποία διαδίδεται το κύµα πάνω στη γραµµή.
γ) Η εκατοστιαία πτώση τάσης σε απόσταση 10 km της γραµµής.
α) Η χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση Z 0 της γραµµής σύµφωνα µε τη (13.89) είναι
Z0 =
R + j ωL
=
G + j ωC
= 33, 42e
− j 11,87 o
0, 01 + j 2π ⋅ 3,18 ⋅ 103 ⋅ 10−6
10−6 + j 2π ⋅ 3,18 ⋅ 103 ⋅ 10−9
(1)
= 32, 71 − j 6, 87 Ω
β) Από τη σχέση (13.84), υπολογίζεται η σταθερά διάδοσης γ , η σταθερά απόσβεσης
α και η φασική σταθερά β της γραµµής:
γ = α + j β = (R + j ωL)(G + j ωC ) = 0,17 ⋅ 10−3 + j 0, 65 ⋅ 10−3 ,
(2)
α = 0,17 ⋅ 10−3 Np/m
(3)
β = 0, 65 ⋅ 10−3 rad/m
(4)
και
Η φασική ταχύτητα, υp λόγω της (4), είναι
υp =
ω
= 30, 9 ⋅ 106 m/s
β
710
(5)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
γ) Η ζητούµενη εκατοστιαία πτώση τάσης σε απόσταση l = 104 m, λόγω της (3), είναι
e% =
V (l )
V (0)
100% = 100e −αl = 18, 64%
(6)
13.8 Γραµµή µεταφοράς χωρίς παραµόρφωση έχει χαρακτηριστική αντίσταση Z 0 = 60 Ω,
σταθερά απόσβεσης α = 20 mNp/m,και φασική ταχύτητα υp = 0, 6c , όπου c είναι η ταχύτητα διάδοσης του φωτός στο κενό. Να βρεθούν οι παράµετροι R, L,G,C και το µήκος κύµατος λ αν η συχνότητα λειτουργίας της γραµµής είναι f =100 MHz.
Στη γραµµή χωρίς παραµόρφωση, οι παράµετροι R,G, L,C συνδέονται, ως γνωστόν,
µε τη συνθήκη Heaviside
L C
=
R G
(1)
για κάθε τιµή της συχνότητας λειτουργίας f .
Ισχύουν, επίσης, στη γραµµή αυτή, οι σχέσεις
Z0 =
L
R
=
C
G
α = RG = R
υp =
ω
=
β
(2)
C
R
=
L
Z0
(3)
1
LC
(4)
Συνεπώς, έχουµε
R = αZ 0 = 60(20 ⋅ 10−3 ) = 1, 2 Ω/m
(5)
Z0
60
=
= 333 nH/m
0, 6(3 ⋅ 108 )
υp
(6)
α2
a
20 ⋅ 10−3
=
=
= 333 µS/m
60
R
Z0
(7)
L=
G=
711
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
C =
1
1
=
= 92, 59 pF/m
0, 6(3 ⋅ 108 )60
υp Z 0
(8)
και
λ=
υp
f
=
0, 6(3 ⋅ 108 )
= 1, 8 m
108
(9)
13.9 Πηγή σταθερής τάσης Vg = 12 V και εσωτερικής αντίστασης Z g = 100 Ω, συνδέεται
µε γραµµή µεταφοράς χωρίς απώλειες χαρακτηριστικής αντίστασης Z 0 = 50 Ω και µήκους
l = 100 m, που στο δεξιό άκρο της τροφοδοτεί ωµικό φορτίο ΖL = 200 Ω. Αν η ταχύτητα
διάδοσης στη γραµµή είναι υp = 108 m/s, ζητείται ο υπολογισµός και η σχεδίαση της τάσης
και της έντασης του ρεύµατος στα δύο άκρα της γραµµής κατά το χρονικό διάστηµα
0 < t < 6 µs.
Zg=100 Ω
Z0=50 Ω
υp=108 m/s
Vg=12 V
ZL=200 Ω
l =100 m
z=l
Σχήµα 13-15
Κατά τη στιγµή κλεισίµατος του διακόπτη ( t = 0 ), η πηγή συνεχούς ρεύµατος “βλέπει” µόνον τις Z g και Z 0 . Έτσι, το ρεύµα εκκίνησης I 1+ και η αρχική τάση V1+ τη χρονική στιγµή t = 0+ είναι, αντίστοιχα
712
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
I 1+ =
Vg
Zg + Z 0
= I0
(1)
και
V1+ =
Z0
Vg = V0
Zg + Z 0
(2)
l
υp
είναι ο χρόνος που απαιτείται για να φθάσει το κύµα από το αριστερό άκρο (πλευρά πηγής)
Ας παρακολουθήσουµε αρχικά τη χρονική εξέλιξη του κύµατος τάσης. Αν T =
στο δεξιό άκρο (πλευρά φορτίου), την στιγµή t = T , επειδή Z L ≠ Z 0 , παρατηρείται ανάκλαση και ένα ανακλώµενο κύµα
V1− = ΓLV1+
(3)
αρχίζει να οδεύει από το φορτίο προς την πηγή (δηλαδή κατά τα αρνητικά z ), όπου
ΓL = Γ 0 =
ZL − Z0
ZL + Z 0
(4)
είναι ο συντελεστής ανάκλασης στη θέση του φορτίου.
Το ανακλώµενο αυτό κύµα φθάνει στη πλευρά της πηγής ( z = 0 ) τη χρονική στιγµή
t = 2T , όπου ανακλάται και πάλι (επειδή Z g ≠ Z 0 ). Έτσι, το νέο αυτό ανακλώµενο κύµα
V2+ = ΓGV1− = ΓL ΓGV1+ , οδεύει και πάλι κατά τα θετικά Z προς το φορτίο όπου φθάνει
την χρονική στιγµή t = 3T . Ας σηµειωθεί ότι ο συµβολισµός ΓG (κατ’ αναλογίαν προς
τον ΓL ) αναφέρεται στο συντελεστή ανάκλασης
ΓG =
Zg − Z0
Zg + Z 0
(5)
στη θέση ( z = 0 ) της πηγής.
Συνεχίζοντας την παρακολούθηση της όδευσης και των διαδοχικών ανακλάσεων του
κύµατος τάσης στα δύο άκρα και µετά την χρονική στιγµή 3T , παρατηρούµε ότι το στο
φορτίο ανακλώµενο κύµα V2− = ΓLV2+ = ΓL2 ΓGV1+ φθάνει στην πηγή τη χρονική στιγµή
t = 4T , όπου ανακλώµενο ξαναοδεύει προς το φορτίο ως προσπίπτον κύµα
V3+ = ΓGV2− = ΓL2 ΓG2V1+ . Είναι αυτονόητο ότι το φαινόµενο εξελίσσεται κατά παρόµοιο
τρόπο και στα επόµενα χρονικά βήµατα. Με βάση τα προηγούµενα η εξέλιξη του µεταβατικού φαινοµένου στα άκρα της γραµµής δίνει τις ακόλουθες τάσεις:
713
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
ƒ
Τάση VS (t ) στη θέση της πηγής ( z = 0 )
VS (t ) = V1+ = V0
VS (t ) = V1+ +V1− +V2+ = V0+ (1 + ΓL + ΓL ΓG )
2
L
2
L
2
G
2
L
2
L
2
G
(0 < t < 2T )
(2T < t < 4T )
VS (t ) = V0 (1 + ΓL + ΓL ΓG + Γ ΓG + Γ Γ )
(4T < t < 6T )
3
L
2
G
3
L
(6)
3
G
VS (t ) = V0 (1 + ΓL + ΓL ΓG + Γ ΓG + Γ Γ + Γ Γ + Γ Γ ) (6T < t < 8T )
"""""""""""""""""""""""""""
ƒ
Τάση VL (t ) στη θέση της πηγής ( z = l )
VL (t ) = 0
+
1
(0 < t < T )
−
1
VL (t ) = V +V = V0 (1 + ΓL )
(T < t < 3T )
2
L
VL (t ) = V0 (1 + ΓL + ΓL ΓG + Γ ΓG )
(3T < t < 5T )
2
L
2
L
2
G
3
L
2
G
VL (t ) = V0 (1 + ΓL + ΓL ΓG + Γ ΓG + Γ Γ + Γ Γ )
"""""""""""""""""""""""
(7)
(5T < t < 7T )
Οι εκφράσεις των VS (t ) και VL (t ) κατά την τυχούσα χρονική στιγµή προκύπτουν εύκολα
από τις (6) και (7), οι οποίες για το “n-στό χρονικό βήµα” γράφονται ως:
VS (t ) = V0 (1 + ΓL ΓG + Γ2L ΓG2 +
⎧VL (t ) = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪VL (t ) = V0 (1 + ΓL ΓG + Γ2L ΓG2 +
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
+ ΓnL ΓGn ) + V0 ΓL (1 + ΓL ΓG +
⎛⎜ 2nT < t < 2(n + 1)T ⎞⎟
+ ΓnL−1ΓGn −1 ) ⎜⎜
⎟⎟⎟
⎜⎜⎝
n = 0,1, 2, …
⎠⎟
(8)
(0 < t < T )
+ ΓnL ΓGn ) + V0 ΓL (1 + ΓL ΓG +
⎛(2n + 1)T < t < (2n + 3)T ⎞⎟
⎜
⎟
+ ΓnL ΓGn ) ⎜⎜
⎟⎟
n = 0,1, 2, …
⎜⎜⎝
⎠⎟
(9)
Οι (8), (9), αν παρατηρήσουµε ότι οι εντός των παρενθέσεων όροι αποτελούν τους όρους
γεωµετρικής προόδου µε λόγο ΓL ΓG , γράφονται συνοπτικά ως εξής
⎡ (1 + ΓL ) − ΓL (1 + ΓG )ΓnL ΓGn ⎤
⎥
VS (t ) = V0 ⎢
⎢
⎥
1 − ΓL ΓG
⎣
⎦
⎧
⎪
1 − ΓnL+1ΓGn +1
⎪
VL (t ) = V0 (1 + ΓL )
⎪
⎪
1 − ΓL ΓG
⎨
⎪
⎪
=
(
)
0
V
t
⎪
⎪
⎩ L
( 2nT < t < 2(n + 1)T
((2n + 1)T < t < (2n + 3)T
)
(n = 0,1, 2, …) (10)
)
(n = 0,1,2, …)
(11)
(0 < t < T )
Οι σχέσεις (10) και (11) για τις δοθείσες αριθµητικές τιµές επειδή από τις (1), (2), (4) και
(5) έχουµε
I 0 = 80 mA,
ΓL =
3
,
5
ενώ το χρονικό βήµα T είναι
714
ΓG =
1
,
3
V0 = 4 V
(12)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
T =
l
100
= 8 = 1 µs,
υp
10
(13)
γράφονται
⎡
⎛1⎞
VS (t ) = 4 ⎢2 − ⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎝5⎠
⎢⎣
n
⎤
⎥ V
⎥⎦
(2n < t < 2(n + 1) (t σε µs)
⎧VL (t ) = 0 V
⎪
⎪
⎪
⎪
⎡ ⎛ 1 ⎞n +1 ⎤
⎨
⎪
VL (t ) = 8 ⎢1 − ⎜⎜ ⎟⎟⎟ ⎥ V
⎪
⎢ ⎝5⎠ ⎥
⎪
⎣
⎦
⎪
⎩
)
(n = 0,1, 2, …)
(14)
(0 < t < 1 µs)
(2n + 1 < t < 2n + 3
)
(n = 0,1, 2, …)
(15)
Από τις (14) και (15), προκύπτουν οι ακόλουθες τιµές των VS και VL για το διάστηµα
0 < t < 6 µs
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
VS (t ) = ⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪⎧⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
VL (t ) = ⎨⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎩
4, 0 V
0 < t < 2 µs
7, 2 V
2 < t < 4 µs
7, 84 V
4 < t < 6 µs
8, 0 V
t→∞
0, 0
V
0 < t < 1 µs
6, 4
V
1 < t < 3 µs
7, 68 V
3 < t < 5 µs
7, 936 V
5 < t < 7 µs
8, 0
t→∞
V
(16)
(17)
Οι γραφικές παραστάσεις των VS (t ) και VL (t ) φαίνονται στο σχήµα 13-16.
Επειδή τα µέτρα των συντελεστών ανάκλασης (εκτός των περιπτώσεων βραχυκυκλωµένου ή ανοικτού κυκλώµατος) είναι µικρότερα της µονάδας, οι εκφράσεις των (10), (11)
κατά την ολοκλήρωση του µεταβατικού φαινοµένου ( t → ∞ ) οδηγούν στην κοινή ασυµπτωτική τιµή V∞ των VS (t ) και VL (t )
V∞ = V0
1 + ΓL
1 − ΓL ΓG
715
(18)
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
Με αντικατάσταση των V0 , ΓL , ΓG από τις (2), (4) και (5) στην (18) προκύπτει ότι
V∞ =
ZL
Vg = 8 V
ZL + Zg
(19)
Vs(t) (V)
Vs(t) (V)
8
7,84
7,2
8
6,4
4
0
7,936
7,68
2
4
6
0
t (µs)
1
3
7
5
t (µs)
(β)
(α)
Σχήµα 13-16
Παρατηρούµε, δηλαδή, ότι η (19) επαληθεύει την τιµή που προκύπτει πολύ εύκολα από το
παρακάτω ισοδύναµο κύκλωµα (σχήµα 13-17) για ( t → ∞ )
Zg
+
Vg
V∞
I∞
ZL
_
Σχήµα 13-17
Η πορεία για τον υπολογισµό του ρεύµατος είναι παρόµοια µε αυτήν του υπολογισµού της τάσης, αφού φυσικά λάβουµε υπόψη ότι, τώρα, οι συντελεστές ανάκλασης στη
θέση του φορτίου ( z = l ) και της πηγής ( z = 0 ) είναι αντίστοιχα −ΓL και −ΓG .
Στην περίπτωση αυτή, οι αντίστοιχες προς τις (10) και (11) εκφράσεις της έντασης
του ρεύµατος στα δύο άκρα της γραµµής είναι
716
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
I S (t ) = I 0
⎛2nT < t < 2(n + 1)T ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜n = 0,1, 2, …
⎟
⎜⎝
⎠⎟
(1 − ΓL ) + ΓL (1 − ΓG )ΓnL ΓGn
1 − ΓL ΓG
(20)
(0 < t < T )
⎧
I L (t ) = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
1 − ΓnL+1ΓGn +1
⎪
I L (t ) = I 0 (1 − ΓL )
⎪
⎪
1 − ΓL ΓG
⎪
⎩
⎛(2n + 1)T < t < (2n + 3)T ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜n = 0,1, 2, …
⎟
⎜⎝
⎠⎟
(21)
Η ασυµπτωτική τιµή του ρεύµατος κατά την ολοκλήρωση του µεταβατικού φαινοµένου
( t → ∞ ) δίνεται από την
I∞ = I0
Vg
1 − ΓL
=
1 − ΓL ΓG
Zg + ZL
(22)
Οι τιµές των δύο εντάσεων για τις δοθείσες αριθµητικές τιµές, κατά την τυχούσα χρονική
στιγµή t και για το διάστηµα 0 < t < 6 µs είναι οι εξής:
⎡
⎛1⎞
I S (t ) = 40 ⎢1 + ⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎝5⎠
⎢⎣
n
⎛2nT < t < 2(n + 1)T ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜n = 0,1,2, …
⎟
⎝
⎠⎟
⎤
⎥ mA
⎥⎦
(0 < t < T )
⎧I L (t ) = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎡ ⎛ 1 ⎞n +1 ⎤
⎨
⎪
⎪⎪I L (t ) = 40 ⎢⎢1 − ⎜⎜⎝ ⎠⎟⎟⎟ ⎥⎥ mA
5
⎪
⎣
⎦
⎩
⎧⎪80, 0
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪48, 0
⎪
I S (t ) = ⎪⎨41, 6
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪40, 0
⎪⎩
⎧ 0, 0
⎪
⎪
⎪
⎪
32, 0
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪38, 4
I L (t ) = ⎪
⎨
⎪
39, 68
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
40, 0
⎪
⎪
⎩
(23)
⎛(2n + 1)T < t < (2n + 3)T ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜n = 0,1, 2, …
⎟
⎝
⎠⎟
mA
0 < t < 2 µs
mA
2 < t < 4 µs
mA
4 < t < 6 µs
mA
t→∞
mA
0 < t < 1 µs
mA
1 < t < 3 µs
mA
3 < t < 5 µs
mA
5 < t < 7 µs
mA
t→∞
I ∞ = 40 mA
717
(24)
(25)
(26)
(27)
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
Οι γραφικές παραστάσεις της χρονικής µεταβολής των δύο ρευµάτων φαίνονται στο σχήµα
13-18.
Is(t) (mA)
Is(t) (mA)
80
48
41,6
40,32
40
40
39,68
38,4
32
0
4
2
6
8
0
t (µs)
1
3
5
7
t (µs)
(β)
(α)
Σχήµα 13-18
Η παρακολούθηση της µεταβολής της τάσης και της έντασης στις διάφορες θέσεις της
γραµµής κατά τις διαδοχικές ανακλάσεις µπορεί να γίνει εύκολα και µε τη βοήθεια των
“διαγραµµάτων ανάκλασης” τάσης και ρεύµατος του σχήµατος 13-19.
t
t5
4T
t4
t3
2T
t2
t1
0
t
P5
P4
t5
4T
t4
Γ G2 Γ L2V1+
Γ GΓ L2V1+
−Γ GΓ L2I 1+
t3
2T
t2
Γ GΓ LV1+
Γ LV1+
P1
t1
0
V1+
z
3T
P3
Γ GΓ LI 1+
P2
T
Z1
Γ G2 Γ L2I 1+
P4
3T
P3
P2
P5
−Γ LI 1+
P1
T
I 1+
Z1
(β) ∆ιάγραµµα ανάκλασης ρεύµατος
(α) ∆ιάγραµµα ανάκλασης τάσης
Σχήµα 13-19
718
z
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
Αν, για παράδειγµα, ζητείται η χρονική µεταβολή της τάσης σε µια θέση z 1 (0 ≤ z 1 ≤ l )
της γραµµής, από τον ορισµό των σηµείων P1, P2 , P3 , P4 , … και των αντίστοιχων χρονικών τιµών t1, t2 , t3 , … στα διαγράµµατα προκύπτουν οι τιµές του παρακάτω πίνακα.
t
0 ≤ t < t1
(t1 = z 1 υp )
Ασυνέχεια τάσης
V (z1, t )
0
0
+
1
t1 ≤ t < t2 (t2 = 2T − t1 )
V
V1+ για t = t1
t2 ≤ t < t3 (t3 = 2T + t1 )
V1+ (1 + ΓL )
ΓLV1+ για t = t2
t3 ≤ t < t4 (t4 = 4T − t1 )
V1+ (1 + ΓL + ΓG ΓL )
ΓG ΓLV1+ για t = t3
t4 ≤ t < t5 (t5 = 4T + t1 )
V1+ (1 + ΓL + ΓG ΓL + ΓG ΓL2 )
ΓG Γ2LV1+ για t = t4
13.10 Γραµµή µεταφοράς χαρακτηριστικής αντίστασης Z 0 = 75 Ω και µήκους l = 60 m
τερµατίζεται µε φορτίο ΖL = 100 Ω. Αν ένας ορθογωνικός παλµός τάσης πλάτους 5 µs και
ύψους 4 V, που παράγεται από γεννήτρια εσωτερικής αντίστασης Z g = 25 Ω στο αριστερό
άκρο της γραµµής, διαδίδεται κατά µήκος της γραµµής, να παρασταθούν γραφικά – συναρτήσει του χρόνου t – τα ρεύµατα I S (t ) και I L (t ) στα δύο άκρα της γραµµής. Η ταχύτητα διάδοσης δίνεται ίση προς υp = 0,1c = 3 ⋅ 107 m/s.
Στην προηγούµενη άσκηση εξετάσαµε το µεταβατικό φαινόµενο στη γραµµή µεταφοράς όταν η τάση της πηγής είχε τη µορφή
υg = V0U (t )
(1)
όπου U (t ) είναι η µοναδιαία βηµατική συνάρτηση
⎧⎪0, t < 0
U (t ) = ⎪⎨
⎪⎪1, t > 0
⎩
(2)
Στην παρούσα άσκηση όπου η πηγή “στέλνει” στη γραµµή έναν ορθογώνιο παλµό
πλάτους T0 = 5 µs και ύψους V0 = 4 V, µπορούµε να θεωρήσουµε ότι ο παλµός αυτός
προκύπτει από τη διαφορά δύο βηµατικών συναρτήσεων
719
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
υg (t ) = V0 [U (t ) −U (t − T0 )]
(3)
Έτσι, το όλο µεταβατικό φαινόµενο µπορεί να µελετηθεί από την υπέρθεση των δύο συνεχών τάσεων V0U (t ) και V0U (t − T0 ) , όπως εξετάσθηκε στην προηγούµενη άσκηση.
Με βάση τα δεδοµένα της άσκησης, οι συντελεστές ανάκλασης ΓG , ΓL , ο χρόνος
µετάβασης T , η αρχική τάση V0 = VS (t = 0) , και η αρχική ένταση του ρεύµατος
I 0 = I S (t = 0) = 0 , έχουν τις ακόλουθες τιµές
ΓG =
Zg − Z 0
Zg + Z 0
1
2
(4)
ZL − Z 0
1
=
ZL + Z 0
7
(5)
l
60
=
= 2 µs
υp
3 ⋅ 107
(6)
Z0
75
Vg =
⋅4 = 3V
Z 0 + Zg
100
(7)
ΓL =
T =
V0 =
=−
I0 =
Vg
Zg + Z 0
=
4
= 40 mA
100
(8)
Από την τιµή του χρόνου µετάβασης προκύπτει ότι ο χρόνος 2T = 4 µs που χρειάζεται το
κύµα να ξαναεπιστρέψει στην πηγή, αφού εν τω µεταξύ ανακλαστεί στο φορτίο, είναι µικρότερος από τη διάρκεια T0 = 5 µs του παλµού. Θα υπάρξει, συνεπώς, επικάλυψη των
δύο παλµών στη θέση της πηγής. Αν οι δείκτες i και r αναφέρονται, αντίστοιχα, στα
προσπίπτοντα και ανακλώµενα κύµατα, επειδή οι συντελεστές ανάκλασης του ρεύµατος είναι −ΓL = −1/ 7 και −ΓG = 1/ 2 , για τα διαδοχικά χρονικά βήµατα στην πλευρά της
γεννήτριας έχουµε
0 < t < 5 µs
4 < t < 9 µs
8 < t < 13 µs
I r = I 0 = 40 mA
1
I i = − (40) = −5, 714 mA
7
1
I r = (−5, 714) = −2, 857 mA
2
1
I i = − (−2, 857) = 0, 4082 mA
7
720
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
1
I r = (0, 4082) = 0, 2041 mA
2
1
I i = − (0, 2041) = −0, 0292 mA
7
1
I r = (−0, 0292) = −0, 0146 mA
2
12 < t < 17 µs
Κατά τον ίδιο τρόπο υπολογίζονται τα ρεύµατα και στα επόµενα βήµατα. Οι πιο πάνω τιµές
αποτυπώνονται γραφικά στο σχήµα 13-20.
Is(t) (mA)
40
31,43
0,6123 0,5685
0
8 9
4
-8,571
12
-0,0438
16
20
t (µs)
-7,959
Σχήµα 13-20
Παρόµοια, προς την πλευρά του φορτίου έχουµε τις ακόλουθες τιµές για τα διαδοχικά
χρονικά διαστήµατα
0 < t < 2 µs
I = 0 mA
2 < t < 7 µs
I i = I 0 = 40 mA
6 < t < 11 µs
10 < t < 14 µs
1
I r = − (40) = −5, 714 mA
7
1
I i = (−5, 714) = −2, 857 mA
2
1
I r = − (−2, 857) = 0, 408 mA
7
1
I i = (0, 408) = 0, 204 mA
2
721
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
1
I r = − (0, 204) = −0, 029 mA
7
κ.ο.κ. για τα υπόλοιπα χρονικά βήµατα. Οι τιµές παρίστανται γραφικά στο σχήµα 13-21.
IL(t) (mA)
31,43
34,3
31,9
0,176
0
2
4
6
-2,46
20
16
-2,28
t (µs)
Σχήµα 13-21
Είναι, αυτονόητο, ότι τα παραπάνω αποτελέσµατα θα µπορούσαν, επίσης, να προκύψουν και από τη γενική ανάλυση της προηγούµενης άσκησης αν θεωρήσουµε την υπέρθεση των δύο βηµατικών συναρτήσεων της σχέσης (3).
Σύµφωνα, λοιπόν, µε τις σχέσεις (20) και (21) της προηγούµενης άσκησης τα ρεύµατα
I S′ (t ) και I L′ (t ) που οφείλονται στη βηµατική τάση υg′ (t ) = V0U (t ) δίνονται από τις σχέ-
σεις
I S′ (t ) = 40
n
⎡
(1 − 71 ) + 71 (1 + 21 )(− 141 )n
⎛ 1 ⎞⎟ ⎤
⎜− ⎟ ⎥ mA
⎢
=
+
8
4
⎜⎝ 14 ⎠⎟ ⎥
⎢⎣
1 − ( 141 )
⎦
και
⎧
I L′ (t ) = 0
⎪
⎪
⎪
⎪
n +1
⎡ ⎛ 1 ⎞n +1 ⎤
⎨
⎛
1 ⎞⎟ 1 − (− 141 )
⎪
⎢1 − ⎜− ⎟⎟ ⎥ mA
⎜
′
=
−
=
(
)
40
1
32
I
t
⎪
⎟
L
⎟
⎜
⎢ ⎝⎜ 14 ⎠⎟ ⎥
⎪
⎝
7 ⎠ 1 − (− 141 )
⎪⎩
⎣
⎦
Αντίστοιχα, τα ρεύµατα I S′′
και I L′′
υg′′(t ) = −V0U (t − T0 ) δίνονται από τις σχέσεις
722
⎛2nT < t < 2(n + 1)T ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟ (9)
⎜⎜n = 0,1, 2, …
⎝
⎠⎟⎟
(0 < t < T )
⎛(2n + 1)T < t < (2n + 3)T ⎞⎟ (10)
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜n = 0,1, 2, …
⎝
⎠⎟⎟
που οφείλονται στη βηµατική τάση
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
⎧0
⎪
⎪
⎪
n
I S′′(t ) = ⎨⎪ ⎡
⎤ mA ,
⎪⎪−8 ⎢ 4 + ⎛⎜− 1 ⎞⎟⎟⎥
⎜⎝ 14 ⎠⎟⎥
⎪
⎦
⎪
⎩ ⎣⎢
(0 < t < T0 )
0
⎧
⎪
⎪
⎪
n +1 ⎤
⎡
I L′′(t ) = ⎨⎪
mA ,
⎪−32 ⎢1 − ⎜⎜⎛− 1 ⎞⎟⎟ ⎥
⎪
⎢ ⎝ 14 ⎠⎟ ⎥
⎪
⎪
⎣
⎦
⎩
(0 < t < T
⎛2nT + T0 < t < 2(n + 1)T + T0 ⎞⎟
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜n = 0,1, 2, …
⎝
⎠⎟⎟
(11)
+ T0 )
⎛(2n + 1)T + T0 < t < (2n + 3)T + T0 ⎞⎟ (12)
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜n = 0,1, 2, …
⎝
⎠⎟⎟
Τελικά τα ζητούµενα ρεύµατα I S (t ) και I L (t ) είναι
I S (t ) = I S′ (t ) + I S′′(t )
(13)
I L (t ) = I L′ (t ) + I L′′(t )
(14)
και
όπου οι εκφράσεις των I S′ , I S′′ , I L′ και I L′′ δίνονται από τις (9), (10), (11) και (12).
723
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
13.7 Ασκήσεις
13/1 Γεννήτρια ηλεκτρικών σηµάτων εσωτερικής αντίστασης Z g = 1 Ω, και τάσης ανοικτού κυκλώµατος υg = 0, 3 cos 2π108 t V συνδέεται σε γραµµή µεταφοράς άνευ απωλειών
χαρακτηριστικής αντίστασης Z 0 = 50 Ω. Το µήκος της γραµµής είναι l = 4 m και η φασική ταχύτητα διάδοσης σ’ αυτήν υp = 2, 5 × 108 m/s. Αν στο άλλο άκρο της γραµµής τοποθετηθεί φορτίο τέτοιο, ώστε να επιτευχθεί ηλεκτρική προσαρµογή, ζητούνται:
(α) Η µιγαδική τιµή της τάσης και η στιγµιαία τιµή του ρεύµατος σε µια απόσταση z από
τη γεννήτρια.
(β) Η στιγµιαία τιµή της τάσης και η µιγαδική τιµή του ρεύµατος στη θέση του φορτίου.
(γ)
Η µέση χρονική ισχύς που µεταφέρεται στο φορτίο.
13/2 Οι σύνθετες αντιστάσεις εισόδου στην αρχή γραµµής µεταφοράς άνευ απωλειών
µήκους l = 1, 5 m που είναι µικρότερο του τετάρτου µήκους κύµατος (l < λ / 4) για τις
δύο περιπτώσεις ανοικτού και βραχυκυκλωµένου κυκλώµατος είναι, αντίστοιχα,
Z α = −j 54, 6 Ω και Z β = j 103 Ω. Ζητούνται:
(α) Να βρεθεί η χαρακτηριστική αντίσταση Z 0 και η φασική σταθερά β της γραµµής.
(β) Για την ίδια συχνότητα λειτουργίας να υπολογισθεί η αντίσταση εισόδου µιας βραχυκυκλωµένης γραµµής διπλάσιου µήκους.
(γ)
Ποιο θα έπρεπε να είναι το µήκος της βραχυκυκλωµένης γραµµής ώστε η αντίσταση
εισόδου να ήταν ίδια µε εκείνη της ανοικτής γραµµής.
13/3 Γραµµή
µεταφοράς
µήκους
l = 40 m
και
χαρακτηριστικής
αντίστασης
Z = 30 + j 60 Ω τροφοδοτείται στο αριστερό της άκρο από πηγή εναλλασσόµενης τάσης
ενδεικνύµενης
(ενεργού)
τιµής
Vg = 15∠0° V
και
εσωτερικής
αντίστασης
Z g = Z = 30 + j 60 Ω. Η τάση της γραµµής (ενδεικνύµενη τιµή) στο άλλο άκρο, όπου
τροφοδοτεί φορτίο Z L , είναι VL = 5∠ − 48° V. Αν η γραµµή είναι προσαρµοσµένη στο
φορτίο, ζητείται να υπολογισθούν
724
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
(α) Η αντίσταση εισόδου στην αρχή της γραµµής.
(β) Η ενδεικνύµενη τιµή της έντασης και της τάσης στην αρχή της γραµµής.
(γ)
Η σταθερά διάδοσης γ .
13/4 Ιδανική γραµµή µεταφοράς χαρακτηριστικής σύνθετης αντίστασης Z 0 = 50 Ω,
τροφοδοτεί στο ένα άκρο της φορτίο Z L = 100 + j 100 Ω. Ζητούνται
(α) Να υπολογιστεί η σύνθετη αντίσταση Z της γραµµής σε µια θέση που απέχει απόσταση 3λ / 8 από το φορτίο.
(β) Να βρεθεί ο λόγος τάσεων S του στάσιµου κύµατος (VSWR) της γραµµής.
(γ)
Να προσδιοριστεί ο συντελεστής ανάκλασης Γ 0 .
(δ) Να γίνει επαλήθευση των προηγούµενων αποτελεσµάτων µε τη χρησιµοποίηση του
διαγράµµατος Smith.
13/5 Γεννήτρια εναλλασσόµενου ρεύµατος συχνότητας f0 , συνδέεται µε χωρητικότητα
C 0 , µέσω ιδανικής γραµµής µεταφοράς. Μετά από µετρήσεις βρέθηκε ότι η µέγιστη τάση
στη γραµµή είναι Vm και η τάση στον πυκνωτή 0, 707Vm . Ζητούνται:
(α) Σε ποια θέση παρατηρείται το πρώτο (πλησίον του πυκνωτή) ελάχιστο της τάσης;
(β) Σε ποια θέση παρατηρείται το πρώτο ελάχιστο του ρεύµατος;
13/6
Πηγή εναλλασσόµενης τάσης ενεργού τιµής Vs = 261∠0 V, τροφοδοτεί το φορ-
τίο Z L = 100 + j 57, 74 Ω, µέσω γραµµής µεταφοράς άνευ απωλειών (σχήµα 13-22), χαρακτηριστικής αντίστασης Z 0 = 100 Ω. ∆ίνεται το µήκος της γραµµής l = 43 m, η εσωτερική σύνθετη αντίσταση της πηγής Z s = 10 + j 120 Ω και το µήκος κύµατος λ = 6 m. Αν
(1) είναι η αρχή της γραµµής (s1 = l = 43 m) , (2) η θέση της γραµµής που απέχει από το
φορτίο απόσταση s2 = 17, 2 m και (3) η θέση του φορτίου (πέρας της γραµµής, s = 0 ),
ζητείται να υπολογιστούν:
(α) Ο συντελεστής ανάκλασης Γ στις θέσεις (1), (2) και (3).
725
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
(β) Η σύνθετη αντίσταση Z στις θέσεις (1) και (2).
(γ)
Η τάση V της γραµµής στις θέσεις (1), (2) και (3).
(δ) Η V + .
(ε)
Το ρεύµα I (z ) στις θέσεις (1) και (2).
(στ) Η µέση χρονική τιµή της ισχύος που µεταφέρεται δια της γραµµής.
ZS
(1)
(2)
(3)
VS
ZL
s = 17, 2 m
s1 = l = 43 m
s
s=0
Σχήµα 13-22
13/7 Γραµµή µεταφοράς άνευ απωλειών, µήκους l = 0, 7λ και χαρακτηριστικής αντίστασης Z 0 = 50 Ω, τροφοδοτεί φορτίο Z L = 15 − j 70 Ω. Με τη βοήθεια του διαγράµµατος Smith ζητείται να υπολογιστούν:
(α) Η σύνθετη αντίσταση Z (l ) στην αρχή της γραµµής.
(β) Ο συντελεστής ανάκλασης Γ (l ) στην αρχή της γραµµής.
13/8 Στη γραµµή µεταφοράς του σχήµατος 13-23 (χαρακτηριστική αντίσταση Z 0 = 10
Ω) βρέθηκε µε µετρήσεις ότι
V + (s1 ) = 30∠30 V
και
726
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 13
I − (s1 ) = −1∠ − 30 A
Ζητείται να υπολογιστεί η σύνθετη αντίσταση Z και η στιγµιαία τιµή του ρεύµατος
στην είσοδο (ακροδέκτες A , B ) της γραµµής.
Α
z=0
Z
Z 0 = 10 Ω
ZL
V(s1)
Β
s1 = 1,1173 λ
3, 75 λ
Σχήµα 13-23
13/9 Σε µια γραµµή µεταφοράς µε απώλειες, που λειτουργεί στη συχνότητα
ω = 1, 5 ⋅ 107 (rad/s), η σταθερά απόσβεσης α , η φασική σταθερά β και η χαρακτηριστική
αντίσταση Z 0 έχουν, αντίστοιχα, τις τιµές:
α = 0, 0866 Np/m,
β = 0, 05 rad/m,
Z 0 = 100 Ω
Να υπολογιστούν οι παράµετροι R , G , L , C της γραµµής.
13/10 Οι παράµετροι R , G , L , C µιας γραµµής µεταφοράς µε απώλειες είναι, αντίστοιχα, R = 10−2 Ω/m, G = 1 µS/m, L = 1 µH/m και C = 1 nF/m. Αν η γραµµή λειτουργεί στη συχνότητα f = 1590 Hz, ζητούνται
(α) Η χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση της γραµµής.
(β) Η ταχύτητα διάδοσης του κύµατος.
(γ)
Η εκατοστιαία πτώση τάσης σε απόσταση l = 1 km.
727
ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
13/11 Να δειχτεί ότι η στιγµιαία τιµή P (z, t ) της ισχύος, µε την οποία µια γραµµή µεταφοράς χωρίς απώλειες τροφοδοτεί ένα καθαρά ωµικό φορτίο, δίνεται από τη σχέση
2
+
1V
P (z, t ) =
[(1 − Γ 02 ) + cos 2(ωt − βz ) − Γ 02 cos 2(ωt + βz )]
2 Z0
+
1V
Ας παρατηρηθεί ότι η µέση χρονική τιµή της ισχύος είναι ίση προς Pav . =
(1 − Γ 02 ) ,
2 Z0
επαληθεύοντας έτσι την (13.60).
13/12 Σε µια γραµµή µεταφοράς χωρίς παραµόρφωση, χαρακτηριστικής αντίστασης
Z 0 = 50 Ω και χωρητικότητας C = 0,1 nF/m, η σταθερά διάδοσης α είναι 0,01 dB/m.
Ζητούνται:
(α) Να υπολογισθούν οι τιµές των παραµέτρων R , L , και G (ανά µονάδα µήκους της
γραµµής).
(β) Να βρεθεί η φασική ταχύτητα υp διάδοσης.
(γ)
Να βρεθεί η εκατοστιαία µείωση του πλάτους της τάσης ενός κύµατος που διαδίδεται
σε απόσταση (α) 1 km, και (β) 2 km.
13/13 Ορθογωνικός παλµός ύψους 15 V και διάρκειας 1 µs εφαρµόζεται, µέσω αντίστασης σειράς 25 Ω, στους ακροδέκτες εισόδου µιας οµοαξονικής γραµµής χωρίς απώλειες
χαρακτηριστικής αντίστασης 50 Ω. Η γραµµή, που έχει µήκος 400 m, είναι βραχυκυκλωµένη στο αποµακρυσµένο άκρο. Να βρεθεί η τάση στο µέσο της γραµµής, ως συνάρτηση
του χρόνου, για το διάστηµα 0 < t < 8 µs. ∆ίνεται ότι η τιµή της σχετικής διηλεκτρικής
σταθεράς του διηλεκτρικού υλικού του οµοαξονικού καλωδίου είναι εr = 2, 25 .
728
Author
Document
Category
Uncategorized
Views
0
File Size
3 589 KB
Tags
1/--pages
Report inappropriate content