Να διατυπώσετε το θεώρημα Gauss Markov, ποιες υποθέσεις θεωρούμε και να περιγράψετε τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων Θεώρημα Gauss-Markov. Οι εκτιμητές της μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων εφόσον ισχύουν οι κάτωθι υποθέσεις είναι γραμμικοί, αμερόληπτοι και άριστοι (BLUE). Οι υποθέσεις έχουν ως εξής (1) E ()  0, (2) E( ') 2 I , (3) E( X ' )  0, (4) X ' X  0 και ισχύει η κανονικότητα των τυχαίων σφαλμάτων Περιγραφή Μεθόδου, Η αλγεβρική μορφή του υποδείγματος είναι Y  X B Όπου Υ =….. (δίνουμε αναλυτικά τις μήτρες) Η εκτιμηθείσα μορφή είναι Yˆ  X  Bˆ και ο στόχος είναι να ελαχιστοποίσουμε την ποσότητα ˆ ' ˆ όπου ˆ  (Y  Yˆ ) . Αυτό γινεται εφόσον η 1η παράγωγος και η 2η παράγωγος ως προς την εκτίμηση των συντελεστών είναι μηδε΄ν και αρνητική αντίστοιχα. Έχουμε, min  ˆ ' ˆ   (Y  Yˆ ) ' (Y  Yˆ )  min f ( Bˆ )   f ( Bˆ )  (Y  Yˆ ) ' (Y  Yˆ )  (Y  X  Bˆ ) ' (Y  X  Bˆ )  Y ' ( X  Bˆ ) ' (Y  X  Bˆ )  Y ' Y  Y ' X  Bˆ  ( X  Bˆ ) ' Y  ( X  Bˆ ) '( X  Bˆ )  Y ' Y  Y ' X  Bˆ  Bˆ ' X 'Y  Bˆ ' X ' XBˆ f  (Y ' X ) ' ( X ' Y )  2 X ' XBˆ  2 X ' Y  2 X ' XBˆ  0  X ' XBˆ  X ' Y  ˆ B Bˆ  ( X ' X ) 1 X ' Y 2 f  2X ' X  0 Bˆ 2 Να δ.ο. το διάνυσμα της εκτίμησης Bˆ είναι αμερόληπτος εκτιμητής (μέρος του θεωρήματος Gauss-Markov) και να υπολογίσετε τη διακύμανση του. Bˆ  ( X ' X ) 1 X ' Y  ( X ' X ) 1 X '( XB  )  ( X ' X ) 1 X ' X B  ( X ' X ) 1 X '   I 1 B  ( X ' X ) X ' , E ( Bˆ )  B  ( X ' X ) E ( X ' )  B 1 0 Var ( Bˆ )  E ( Bˆ  B)2  E  ( X ' X ) 1 X '  ' X ( X ' X ) 1   ( X ' X ) 1 X ' E ( ') X ( X ' X ) 1  ( X ' X ) 1 X ' 2 IX ( X ' X ) 1  2 ( X ' X ) 1 X ' X ( X ' X ) 1  2 ( X ' X ) 1 I