Επανάληψη: Κρούσεις και φαινόμενο Doppler (Φ24) 1. Μια σφαίρα με μάζα m1 συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με μια ακίνητη σφαίρα μάζας m2. Ποια πρέπει να είναι η σχέση της μάζας m1 με τη μάζα m2 ώστε: α. Η μάζα m2 να αποκτήσει τη μεγαλύτερη ορμή. β. Η μάζα m2 να αποκτήσει τη μεγαλύτερη ταχύτητα. γ. Η μάζα m2 να αποκτήσει τη μεγαλύτερη κινητική ενέργεια. 2. Ακίνητο σώμα μάζας Μ εκρήγνυται με εσωτερικό μηχανισμό σε ένα αριστερό (L) και σε ένα δεξιό (R) κομμάτι. Τα δύο κομμάτια κινούνται αρχικά σε λείο οριζόντιο δάπεδο και μετά εισέρχονται σε περιοχές που παρουσιάζουν τριβή. Το κομμάτι L, μάζας m=2 kg συναντά πάτωμα με συντελεστή τριβής ολίσθησης μL=0,4 και σταματά μετά από διάστημα dL=2 m. Το κομμάτι R συναντά πάτωμα με συντελεστή τριβής ολίσθησης μR=0,5 και σταματά μετά από διάστημα dR=0,4 m. Να βρείτε τη μάζα Μ του σώματος. (g=10 m/s2) (6 kg) 3. Στο διπλανό σχήμα, σώμα Σ1 μάζας m1=6,6 kg είναι ακίνητο πάνω σε ένα μακρύ λείο οριζόντιο τραπέζι που στη μία του άκρη υπάρχει ένας τοίχος. Σώμα Σ2 μάζας m2 είναι τοποθετημένο ανάμεσα στο σώμα Σ1 και τον τοίχο και κινείται προς το σώμα Σ1 με ταχύτητα v2i. Να βρείτε την τιμή της μάζας m2 για την οποία τα δύο σώματα κινούνται με την ίδια ταχύτητα, αφού το σώμα Σ2 έχει συγκρουστεί μία φορά με το σώμα Σ1 και μία φορά με τον τοίχο. Υποθέστε ότι όλες οι συγκρούσεις είναι κεντρικές και ελαστικές. (2,2 kg) 4. Σώμα Σ1 με μάζα m1=1 kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο α.α.τ. που έχουν την ίδια διεύθυνση και γίνονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Οι εξισώσεις των δύο ταλαντώσεων είναι x1 = 0,1ημ20t (SI) και x2 = 0,1√3ημ(20t + π/2) (SI). α. Να γράψετε την εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης. β. Όταν το σώμα Σ1 βρίσκεται στη θέση xΣ=0,1√3 m, κινούμενο προς τη θετική κατεύθυνση, συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα Σ2 μάζας m1=m2. Να υπολογίσετε: i. το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ1, όταν βρίσκεται στη θέση xΣ. ii. το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος Σ1 μετά την κρούση. iii. το λόγο Ε1/Ε2, όπου Ε1 και Ε2 οι τιμές της συνολικής ενέργειας της ταλάντωσης του σώματος Σ1 πριν και μετά την κρούση. ( x=0,2ημ(20t+π/3) (SI), 2 m/s, 0,1√3 m, 4/3) 5. Βλήμα μάζας m=0,1 kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ και διαπερνά ακαριαία ακίνητο ξύλινο σώμα μάζας Μ=4 kg που είναι στερεωμένο στην άκρη κατακόρυφης ράβδου μήκους ℓ=0,5 m και αμελητέας μάζας, το άλλο άκρο της οποίας είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Το βλήμα διαπερνά το ξύλινο σώμα και βγαίνει με οριζόντια ταχύτητα υ/2. Πόση πρέπει να είναι η ελάχιστη ταχύτητα υ του βλήματος ώστε το ξύλινο σώμα μόλις να κάνει ανακύκλωση; (g=10 m/s2) (160√5 m/s) 6. Μικρή σφαίρα Σ1 μάζας m1 κρέμεται στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου νήματος μήκους ℓ 1=0,8 m. Δεύτερη μικρή σφαίρα Σ2 μάζας m2 κρέμεται στο ελεύθερο άκρο ενός άλλου κατακόρυφου νήματος μήκους ℓ2=0,5 m. Αρχικά, οι δύο σφαίρες εφάπτονται και τα κέντρα τους βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο. Εκτρέπουμε τη σφαίρα Σ1, ώστε το νήμα να είναι οριζόντιο και τεντωμένο και την αφήνουμε ελεύθερη. Μετά την κρούση των δύο σφαιρών, η οποία είναι κεντρική και ελαστική, η σφαίρα Σ2 μόλις εκτελεί ανακύκλωση. Να βρεθούν: α. το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας Σ1 τη στιγμή που συγκρούεται με τη σφαίρα Σ2. β. το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας Σ2 αμέσως μετά την κρούση. 1 γ. το λόγο m1/m2 των μαζών των δύο σφαιρών. δ. το μέτρο της μεταβολής της ορμής της Σ1 κατά την κρούση, αν η μάζα της είναι m1=0,5 kg. Δίνεται g=10 m/s2 καθώς και ότι η μάζα του κάθε νήματος είναι αμελητέα. (4 m/s, 5 m/s, 5/3, 1,5 kg.m/s) 7. Από την κορυφή λείου κεκλιμένου επιπέδου (φ=30ο) στερεώνεται μέσω ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=300 N/m σώμα μάζας m2=30 g και το σύστημα ισορροπεί πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο. Από τη βάση του εκτοξεύεται προς τα πάνω σώμα μάζας m1=10 g και αρχικής ταχύτητας υο=10 m/s που έχει τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου. Η αρχική απόσταση των σωμάτων είναι s=3,6 m. Τα σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά και η διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα. Να βρείτε: (g=10 m/s2) α. το μέτρο της ταχύτητας της μάζας m1 ακριβώς πριν συγκρουστεί με τη μάζα m2. β. τις ταχύτητες των δύο μαζών αμέσως μετά την κρούση. γ. το μέτρο της ταχύτητας της μάζας m1, όταν θα επιστρέψει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. δ. το ποσοστό % της ενέργειας της μάζας m1 που μεταβιβάζεται στη μάζα m2 κατά την κρούση. ε. το πλάτος της ταλάντωσης της μάζας m2. (8 m/s, -4 m/s, 4 m/s, √52 m/s, 75%, 0,04 m) 8. Ξύλινο σώμα μάζας Μ=0,95 kg είναι δεμένο στην άκρη κατακόρυφου νήματος, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο Ο. Η απόσταση του κέντρου μάζας του σώματος από το σημείο Ο είναι ℓ=0,72 m. Βλήμα μάζας m=0,05 kg κινείται οριζόντια με ταχύτητα υο και σφηνώνεται ακαριαία στο κέντρο μάζας του σώματος. Το συσσωμάτωμα που προκύπτει από την κρούση μόλις κάνει ανακύκλωση. Να υπολογίστε: (g=10 m/s2) α. το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. β. το μέτρο της ταχύτητας υο του βλήματος. γ. το ποσοστό % της αρχικής κινητικής ενέργειας του βλήματος που μετατρέπεται σε θερμότητα κατά την κρούση. δ. τη μέγιστη τιμή του μέτρου του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του συσσωματώματος, ως προς άξονα που διέρχεται από το Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο της τροχιάς, κατά την κίνηση του συσσωματώματος από την κατώτερη έως την ανώτερη θέση του. (6m/s,120m/s,95%, 7,2kg.m2/s2) 9. Σώμα Σ1 μάζας m1=1 kg εκτελεί α.α.τ. πλάτους Α=0,2 m 2 δεμένο στην άκρη οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100 N/m. Ακριβώς πάνω από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης του σώματος Σ1 και σε ύψος h συγκρατείται σώμα Σ2 μάζας m2=1 kg, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το σώμα Σ2 αφήνεται ελεύθερο τη χρονική 1 στιγμή που το σώμα Σ1 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του, κινούμενο κατά την αρνητική φορά. Τα δύο σώματα συγκρούονται πλαστικά τη στιγμή που το σώμα Σ1 επανέρχεται για πρώτη φορά στη θέση ισορροπίας του, κινούμενο κατά τη θετική φορά. Η χρονική διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα καθώς και η αντίσταση του αέρα. Δίνεται g=10 m/s2 και π2≈10. Να υπολογίσετε: α. την περίοδο ταλάντωσης του σώματος Σ1. β. το ύψος h από το οποίο αφέθηκε το σώμα Σ2. γ. το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος. δ. την απώλεια ενέργειας του συστήματος των δύο σωμάτων εξαιτίας της κρούσης. Σ k (+) h Σ (π/5 s, 0,5 m, 0,1√2 m, 6 J) 10. Σώμα μάζας m=5 kg ισορροπεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=100 N/m, το πάνω άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Ξαφνικά, λόγω εσωτερικής έκρηξης, το σώμα διασπάται σε δύο τμήματα Α και Β, από τα οποία το Α, μάζας m1=3 kg μένει συνδεδεμένο στο ελατήριο, ενώ το Β πέφτει κατακόρυφα προς τα κάτω με αρχική ταχύτητα υ 2=3 m/s. Αν g=10 m/s2, α. Γιατί η αρχική θέση του τμήματος Α μετά τη διάσπαση δεν είναι ακραία θέση ταλάντωσης; β. Να υπολογιστεί το πλάτος των ταλαντώσεων του τμήματος Α. γ. Να υπολογιστούν η μέγιστη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης και η μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου. (0,4 m, 8 J, 24,5 J) 2 11. Μικρή σφαίρα Σ1 μάζας m1=0,2 kg ισορροπεί δεμένη στο άκρο κατακόρυφου αβαρούς νήματος μήκους ℓ=0,55 m. Μικρό σώμα Σ2 μάζας m2=0,3 kg, που είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο ιδανικού κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k=160 N/m, εκτελεί α.α.τ. πλάτους Α=0,1 m. Δίνουμε στη σφαίρα Σ1 m2 οριζόντια ταχύτητα υo=6 m/s. Όταν το νήμα γίνει οριζόντιο, η σφαίρα Σ1 συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Σ2, το οποίο εκείνη τη στιγμή βρίσκεται στην ανώτερη θέση της L ταλάντωσής του. Δίνεται g=10 m/s2. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της ταχύτητας της σφαίρας Σ1, όταν το νήμα γίνεται m1 οριζόντιο. β. το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ2, ακριβώς μετά τη σύγκρουση. γ. το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος Σ2 μετά τη σύγκρουση. δ. το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ2, αμέσως μετά την κρούση. (5 m/s, 4 m/s, 0,2 m, -64 J/s) 12. Τα σώματα Σ1 και Σ2, αμελητέων διαστάσεων, με μάζες m1=1 kg και m2=3 kg αντίστοιχα είναι τοποθετημένα σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα Σ1 είναι δεμένο στη μία άκρη οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100 N/m. Η άλλη άκρη του ελατηρίου, είναι ακλόνητα στερεωμένη. Το ελατήριο με τη βοήθεια νήματος είναι συσπειρωμένο κατά 0,2m, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το Σ2 ισορροπεί στο οριζόντιο επίπεδο στη θέση που αντιστοιχεί στο φυσικό μήκος ℓο του ελατηρίου. Κάποια χρονική στιγμή κόβουμε το νήμα και το Σ1 κινούμενο προς τα δεξιά συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το Σ2. Θεωρώντας ως αρχή μέτρησης των χρόνων τη στιγμή της κρούσης και ως θετική φορά κίνησης την προς τα δεξιά, να υπολογίσετε (ΗΜΕΡΗΣΙΑ 2006) α. την ταχύτητα του σώματος Σ1 λίγο πριν την κρούση του με το σώμα Σ2. β. τις ταχύτητες των σωμάτων Σ1 και Σ2, αμέσως μετά την κρούση. γ. την απομάκρυνση του Σ1, μετά την κρούση, σε συνάρτηση με το χρόνο. δ. την απόσταση μεταξύ των Σ1 και Σ2 όταν το σώμα Σ1 ακινητοποιείται στιγμιαία για 2η φορά. Δεχθείτε την κίνηση του Σ1 τόσο πριν, όσο και μετά την κρούση ως α.α.τ. σταθεράς k. π=3,14. (υ1=2 m/s, 1 =-1 m/s,  2 =+1m/s, x=0,1ημ(10t+π) (SI), Δx=0,371 m) 13. I. Αν η ταχύτητα της πηγής είναι μικρότερη από την ταχύτητα του παρατηρητή και κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση με την πηγή να ακολουθεί τον παρατηρητή, τότε η συχνότητα που ακούει ο παρατηρητής είναι: α. μικρότερη από τη συχνότητα της πηγής. β. μεγαλύτερη από τη συχνότητα της πηγής. γ. ίδια με τη συχνότητα της πηγής. II. Αν η ταχύτητα της πηγής είναι μικρότερη από την ταχύτητα του παρατηρητή και κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση με τον παρατηρητή να ακολουθεί την πηγή, τότε η συχνότητα που ακούει ο παρατηρητής είναι: α. μικρότερη από τη συχνότητα της πηγής. β. μεγαλύτερη από τη συχνότητα της πηγής. γ. ίδια με τη συχνότητα της πηγής. 14. Μια αμαξοστοιχία απομακρύνεται από το σταθμό με σταθερή ταχύτητα και η σειρήνα της παράγει ήχο συχνότητας fS=3 kHz. Αν υηχ=330 m/s, πόση πρέπει να είναι η ταχύτητά της ώστε ένας παρατηρητής στο σταθμό να ακούει ήχο συχνότητας ίση με τα 11/12 της fS; (30 m/s) 15. Δύο αυτοκίνητα Α, Β τη χρονική στιγμή t=0 απέχουν μεταξύ τους 400 m και κινούνται ευθύγραμμα και ομαλά σε αντίθετη κατεύθυνση, ώστε να πλησιάζουν. Ο οδηγός του αυτοκινήτου Α κορνάρει 3 συνεχώς. Τη χρονική στιγμή t=10 s τα αυτοκίνητα διασταυρώνονται και συνεχίζουν να απομακρύνονται μεταξύ τους. Τη χρονική στιγμή της διασταύρωσης τους, ο οδηγός του αυτοκινήτου Β διαπιστώνει ότι ο ήχος που άκουγε αλλάζει απότομα και γίνεται βαρύτερος. Αν ο λόγος των συχνοτήτων που ακούει ο οδηγός του αυτοκινήτου Β είναι 209/273 και η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι υηχ=300 m/s, να υπολογίσετε την ταχύτητα της πηγής (αυτοκίνητο Α) και την ταχύτητα του παρατηρητή (αυτοκίνητο Β). (25 m/s, 15 m/s ή 15 m/s, 25 m/s) 16. Ένα αυτοκίνητο Α κατευθύνεται με ταχύτητα μέτρου υ Α=20 m/s προς ένα άλλο αυτοκίνητο Β, το οποίο είναι ακίνητο. Οι οδηγοί των δύο αυτοκινήτων πατάνε ταυτόχρονα τις κόρνες τους που είναι ολόιδιες και εκπέμπουν ήχο συχνότητας fs=340 Hz. Ο κάθε οδηγός ακούει ταυτόχρονα δύο ήχους, τον ήχο της κόρνας του και τον ήχο της κόρνας του άλλου αυτοκινήτου. α. Να υπολογίσετε τις συχνότητες των δύο ήχων που ακούει ο κάθε οδηγός. (A: 340/360 Hz, B: 340/361,25 Hz) β. Ο σύνθετος ήχος που ακούει ο κάθε οδηγός παρουσιάζει αυξομειώσεις στην ένταση. Μπορείτε να βρείτε για κάθε οδηγό το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο διαδοχικών μεγίστων; (A: 0,05 s, B:0,047 s) Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι υηχ=340 m/s. 17. Μια πηγή ήχου παράγει αρμονικό ήχο συχνότητας fs=845 Hz και είναι προσαρμοσμένη πάνω σε σώμα Σ. Το σώμα Σ είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο k (+) οριζόντιου ελατηρίου και εκτελεί α.α.τ. πάνω σε Π ☺ λείο δάπεδο με γωνιακή συχνότητα ω=20 rad/s. Τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα Σ βρίσκεται στη θέση x1=√3/10 m του θετικού ημιάξονα της ταλάντωσης και κινείται κατά τη θετική φορά με ταχύτητα μέτρου υ1. Ο ήχος που εκπέμπει η πηγή τη χρονική στιγμή t=0 γίνεται αντιληπτός από παρατηρητή με συχνότητα fA=850 Hz. α. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας υ1. β. Πόσο είναι το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος Σ; γ. Να γράψετε την εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος Σ από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο. Πότε ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται συχνότητα ίση με την fs; δ. Πόσο είναι και πότε αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής το μέγιστο και το ελάχιστο μήκος κύματος; ε. Ο παρατηρητής αρχίζει να απομακρύνεται από την πηγή με σταθερή ταχύτητα μέτρου υ Α=4 m/s. κατά μήκος του άξονα της ταλάντωσης. Να βρείτε τη θέση και την κατεύθυνση του σώματος Σ, όταν ο ήχος που εκπέμπει η πηγή γίνεται αντιληπτός από τον παρατηρητή με συχνότητα ίση με fs. Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι υηχ=340 m/s. (2 m/s, 0,2 m, x=0,2ημ(20t+π/3) (SI), π/120 s, 344/845 m όταν x=0 και υ<0, 336/845 m όταν x=0 και υ>0, x=0 και υ>0) 18. Μια πηγή ήχου βρίσκεται μπροστά από κατακόρυφο τοίχο σε απόσταση d=11,25 m και παράγει ήχο συχνότητας fs=68 Hz. Ένας παρατηρητής Α που διατρέχει την απόσταση πηγής-τοίχου, αντιλαμβάνεται ότι υπάρχουν 4 σημεία ανάμεσα στην πηγή και στον τοίχο στα οποία δεν ακούγεται ήχος. α. Να εξηγήσετε το φαινόμενο. β. Να βρείτε την ταχύτητα του ήχου στην περιοχή του πειράματος. γ. Κάποια στιγμή η πηγή αρχίζει να κινείται σε διεύθυνση κάθετη στον τοίχο με σταθερή ταχύτητα μέτρου υS=1 m/s. Ένας άλλος παρατηρητής που στέκεται σε κάποιο σημείο της ευθείας πάνω στην οποία κινείται η πηγή και πίσω από αυτήν, ακούει ήχο που επίσης αυξομειώνεται. Να εξηγήσετε το φαινόμενο. δ. Πόσες φορές ανά δευτερόλεπτο αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής Β τον ήχο να σβήνει; ε. Αν ο παρατηρητής Β στεκόταν ανάμεσα στην πηγή και τον τοίχο θα αντιλαμβανόταν αυξομείωση της έντασης του ήχου; (340 m/s, 0,4 Hz, όχι) 19. Αυτοκίνητο είναι ακίνητο σε απόσταση 100 m από μια ακίνητη ηχητική πηγή που παράγει αρμονικό ήχο συχνότητας 850 Hz. Τη χρονική στιγμή to=0 ο οδηγός του αυτοκινήτου αρχίζει να το κινεί προς την πηγή με σταθερή επιτάχυνση. Η συχνότητα του ήχου που ακούει ο οδηγός τη χρονική στιγμή που φτάνει στην πηγή είναι 900 Hz. 4 α. Με ποια επιτάχυνση κινείται το αυτοκίνητο; β. Σε ποια απόσταση από την πηγή ο οδηγός ακούει ήχο συχνότητας 750 Hz; γ. Να κάνετε τη γραφική παράσταση: i. του μήκους κύματος του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής σε συνάρτηση με το χρόνο. ii. της συχνότητας του ήχου που ακούει ο παρατηρητής σε συνάρτηση με το χρόνο. Θεωρείστε ότι ο ήχος διαδίδεται στον αέρα με ταχύτητα 340 m/s. (Απ. α. 2 m/s2, β. 300 m) 20. Σώμα Α μάζας m1=2 kg αφήνεται να γλιστρήσει από απόσταση ℓ=20 m από τη βάση λείου κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ=30 o. Ταυτόχρονα δεύτερο σώμα Β μάζας m2=m1 βάλλεται με αρχική ταχύτητα υo=10 m/s από τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Τα σώματα συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά. Να υπολογίσετε: α. τις ταχύτητες των σωμάτων λίγο πριν την κρούση. β. την ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση. γ. το μέτρο της μεταβολής της ορμής του σώματος Α κατά τη διάρκεια της κρούσης. δ. την ταχύτητα με την οποία το συσσωμάτωμα θα επανέλθει στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Δίνεται g=10 m/s2. (Απ. 10 m/s, 0, 5 m/s, 30 kg.m/s, 55 m/s) 21. Ένα σώμα μάζας m1=4 kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α=5/4 m πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο δεμένο στην άκρη οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=16 N/m. Την χρονική στιγμή to=0 που βρίσκεται στη θέση x1=1 m και κινείται από τη θέση ισορροπίας προς τη θέση μέγιστης απομάκρυνσης συγκρούεται ελαστικά με δεύτερο σώμα μάζας m2=12 kg που κινείται με ταχύτητα μέτρου υ2=1 m/s αντίθετης φοράς από αυτή της υ1. Να υπολογίσετε: α. το μέτρο της ταχύτητας του σώματος m1 ελάχιστα πριν την κρούση. β. τις ταχύτητες των σωμάτων αμέσως μετά την ελαστική κρούση. γ. το νέο πλάτος της ταλάντωσης του σώματος m1. δ. το στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του m1 όταν αυτό βρίσκεται στην νέα ακραία θέση της ταλάντωσής του. (Απ. 1 m/s, 2 m/s, 0, 2 m, 0) 22. Στο σχήμα το σώμα μάζας m1=5 kg συγκρούεται ελαστικά και κεντρικά με το σώμα μάζας m2=5 kg. Αν είναι γνωστό ότι το ιδανικό ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό μήκος του, ότι η μάζα του σώματος m3 είναι m3=10 kg, η σταθερά του ελατηρίου είναι k=10 N/m, ο συντελεστής τριβής μεταξύ σωμάτων και επιπέδου είναι μ=0,4 και ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=10 m/s2, να υπολογίσετε: α. τη μέγιστη επιτρεπτή παραμόρφωση του ελατηρίου ώστε να μην κινηθεί το m3. β. τη μέγιστη ταχύτητα που μπορεί να έχει το m1 ώστε να συμβεί αυτό. γ. το μέτρο της μεταβολής της ορμής του m1 στη διάρκεια της κρούσης. δ. τη θερμότητα που αναπτύχθηκε κατά την διάρκεια του φαινομένου. (Απ. 4 m, 8 m/s, 40 kg.m/s, 80 J) 23. Ένα βλήμα μάζας m=1 kg, βάλλεται με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υο=1002 m/s και διαπερνά ένα κιβώτιο μάζας Μ=8 kg που ήταν αρχικά ακίνητο στη θέση x=0 μη λείου οριζόντιου δαπέδου. Το βλήμα εξέρχεται από το κιβώτιο με ταχύτητα υ=202 m/s. Αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ δαπέδου και κιβωτίου είναι μ=0,5+x, όπου x η θέση του κιβωτίου, να υπολογίσετε: α. Την ταχύτητα του κιβωτίου αμέσως μετά την κρούση. β. Το ποσοστό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του βλήματος κατά τη διάρκεια της κρούσης. γ. Το διάστημα που θα διανύσει το κιβώτιο μέχρι να σταματήσει. δ. Το μέτρο του στιγμιαίου ρυθμού μεταβολής της ορμής του κιβωτίου στη θέση x=2 m. ε. Τη συνολική θερμότητα που μεταφέρθηκε στο περιβάλλον στη διάρκεια του φαινομένου. Δίνεται η επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s2. (Απ. 102 m/s, -96%, 4 m, 200 N, 9600 J) 24. Ένα ξύλινο σώμα μάζας m2=0,96kg είναι ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ένα βλήμα μάζας m1=40 g κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ 1=200 m/s και σφηνώνεται στο σώμα, σε βάθος d=7,68 cm. Να υπολογιστεί: α. το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος μετά την κρούση. 5 β. το ποσοστό της μηχανικής ενέργειας που μετατρέπεται σε θερμότητα (να θεωρήσετε ότι όλη η απώλεια της μηχανικής ενέργειας του συστήματος γίνεται θερμότητα και ότι το επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας είναι το οριζόντιο επίπεδο). γ. η μέση δύναμη που ασκεί η σφαίρα στο ξύλο καθώς εισχωρεί σε αυτό. δ. η μετατόπιση του συστήματος ξύλο-βλήμα μέχρι να σφηνωθεί το βλήμα στο ξύλο. (Απ. 8 m/s, 96%, 10000 N, 0,3 cm) 25. Σώμα μάζας m1 κινούμενο σε οριζόντιο επίπεδο συγκρούεται με ταχύτητα μέτρου υ 1=15 m/s κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m2. Η χρονική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα. Αμέσως μετά την κρούση, το σώμα μάζας m1 κινείται αντίρροπα με ταχύτητα μέτρου υ1΄=9m/s. (Ημερήσια 2008) α. Να προσδιορίσετε το λόγο των μαζών m1/m2 . β. Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m2 αμέσως μετά την κρούση. γ. Να βρεθεί το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας m1 που μεταβιβάστηκε στο σώμα μάζας m2 λόγω της κρούσης. δ. Να υπολογισθεί πόσο θα απέχουν τα σώματα όταν σταματήσουν. Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του επιπέδου και κάθε σώματος είναι μ=0,1 και g=10m/s2. 26. Μια ξύλινη ράβδος μήκους ℓ=0,4 m και μάζας M=0,04 kg ισορροπεί ελεύθερη σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Ένα σώμα Σ μάζας m=0,01 kg που κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ=4 m/s χτυπά κάθετα στο άκρο Α της ράβδου. Μετά την κρούση το σώμα Σ ακινητοποιείται. Nα βρείτε: α. την ταχύτητα του κέντρου μάζας της ράβδου αμέσως μετά την κρούση. β. τον άξονα γύρω από τον οποίο θα περιστραφεί η ράβδος και τη γωνιακή ταχύτητα που θα αποκτήσει. γ. τον αριθμό των περιστροφών που θα εκτελέσει η ράβδος στο χρονικό διάστημα που απαιτείται για να μετατοπιστεί το κέντρο μάζας της κατά 1m. δ. Την ταχύτητα του πάνω άκρου της ράβδου (Β), όταν αυτή θα έχει συμπληρώσει 1,5 περιστροφές. Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που είναι κάθετος σε αυτήν και διέρχεται από το κέντρο μάζας της: Ιcm=1/12Mℓ2. 6