Μαθηµατικά Β΄Λυκείου ∆ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ∆ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Θεµα 1 − Να αποδείξετε ότι κάθε διάνυσµα → α του επιπέδου γράφεται κατά µοναδικό τρόπο στη µορφή → − → − → − → − → − α = χ i + y j µε x, y< και i , j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων χ΄χ και ψ΄ψ αντίστοιχα. Α.1. Α.2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α Ισχύει (χ1 , y1 ) • (x2 , y2 ) = (x1 x2 , y1 y2 ) µε x1 , x2 , y1 , y2 <. → − → − → − − − − ϐ Για δύο διανύσµατα → α , β του επιπέδου ισχύει |→ α + β ≥ || β | − |→ α || γ Αν ϕ η γωνία που σχηµατίζει ένα διάνυσµα µε τον άξονα χ΄χ τότε o ≤ ϕ ≤ 2π . −−→ −→ −−→ δ Ισχύει πάντα AB = AO − BO ε Στο εσωτερικό γινόµενο διανυσµάτων ισχύει η αντιµεταθετική ιδιότητα. Β.1 Να δοθεί ο ορισµός του εσωτερικού γινοµένου διανυσµάτων. Β.2 Σε κάθε διάνυσµα της Στήλης Α να αντιστοιχίσετε τη γωνία της Στήλης Β που σχηµατίζει µε τον άξονα χ΄χ . Στήλη Α ∆ιάνυσµα Στήλη Β Γωνία 1.(3,3) α. 2.(0,-4) ϐ. 3.(1,-1) γ. √ 4. (-1, 3) 3π 2 π π6 2 π δ. 4 7π ε. 4 √ 5. (- 3, 0) (1) στ. 0 2π 3 η. π Ϲ. www.kaslis.gr 1 Κωνσταντίνος Ν. Κασλής Μαθηµατικά Β΄Λυκείου Θέµα 2 → − → − → − π − − − Για τα διανύσµατα → α , β δίνεται ότι |→ α | = 1, | β | = 2 και (→ α , β ) = . ΄Εστω τα διανύσµατα → − − → − → − − − u = 2→ α +3β, → v =→ α − 2 β . Να υπολογίσετε : α 3 → − − το εσωτερικό γινόµενο → α • β − − − − ϐ τα µέτρα |→ u |, |→ v | των διανυσµάτων → u και → ν. γ − − το εσωτερικό γινόµενο → u •→ v − − δ το συνηµίτονο της γωνίας των διανυσµάτων → u και → v . Θέµα 3 ← − − − Α ∆ίνονται τα µη συγραµµικά διανύσµατα → α , β µε → α = 6 0 . Να αποδείξετε ότι : → − → − − Α.1 Υπάρχει λ< ώστε πρoβ→ α β = λα −−−→ → − → − α• β → → − Α.2 πρoβ α β = ( → )− α − α2 − Α.3 Να αναλυθεί το διάνυσµα → ν = (1, 2) σε δύο κάθετες συνιστώσες από τις οποίες η µία να έχει → − τη διεύθυνση του u = (−3, 4) Β ∆ίνεται οξυγώνιο τρίγωνο ΑΒΓ µε ύψος Α∆ και πλευρές (ΑΒ)=γ , (ΑΓ)=β. Να αποδείξετε ότι : −−→ −→ → − (βσυνΓ)B∆ + (γσυνB)Γ∆ = 0 Θέµα 4 → − → − → − − − − ∆ίνονται τα διανύσµατα → α και β , τέτοια ώστε να είναι : (2µ→ α + ν β ) ⊥ (ν → α − µ β ) για κάθε µ, ν< . α → − − α ⊥ β Να αποδείξετε ότι → √ → − − α| = 2 ϐ Αν | β | = 2 να δεχθεί ότι |→ γ → − − Να ϐρεθεί το |→ α − 2 β |. • Κάθε Θέµα ϐαθµολογείται µε 25 µονάδες. • Κάθε επιστηµονικά τεκµηριωµένη λύση ειναι σωστή • ∆εν αντιγράφουµε !!! Καλή Επιτυχία ! www.kaslis.gr 2 Κωνσταντίνος Ν. Κασλής
© Copyright 2024 Paperzz
