1 TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ ● Ορισμοι ⊲ ημω = β α ⊲ συνω = ⊲ εφω = β γ ⊲ σφω= γ α γ β 3π/2 Γ α β ω Β Α γ Τριγωνομετρικος κυκλος Αξονας συνεφαπτομενων yE B(0,1) Αξονας ημιτονων y ρ=1 II Α’(-1,0) Αξονας συνημιτονων Ο ΙΙΙ Ι ω + x xΣ ΙV Α(1,0) - Αξονας εφαπτομενων Β’(0,-1) H Εννοια του διανυσματος Τριγωνομετρικος κυκλος ειναι ο κυκλος με κεντρο την αρχη ενος ορθοκανονικου συστηματος αξονων και ακτινα ρ=1. Ειναι ● ημω = x και ● συνω = y Επισης ● -1 ≤ ημω ≤ 1 και ● -1 ≤ συνω ≤ 1 Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ ● Τ ρ ι γ ω ν ο μ ε τ ρ ι κ ο ι Α ρ ι θ μ ο ι 2Ο ρ ι σ μ ο ι 3. Να δειχτει οτι α + 110  20α. Ποτε π/2ισχυει το ισον; ● Ονομαζουμε ημx την τεταγμενη 2. Aν α, β θετικοι , να συγκρινεται τους αριθμους Α = α 3 + β 3 , Β = α 2 β + αβ 2 . του Μ (εντονο μπλε) ● Ονομαζουμε συνx την τετμημεΜ Μ νη του Μ (εντονο κοκκινο) συνx ημx ● Η εφx = και σφx = x συνx ημx π 0 x 0 ● Tα ημx, συνx είναι αριθμοι και: -1 ≤ ημx ≤ 1 και -1 ≤ συνx ≤ 1 ● Οι εφx, σφx είναι αριθμοι και μπορουν να παρουν οποιαδηποτε πραγματικη τιμη. 2 TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Βασικες Τριγωνομετρικες Ταυτοτητες Μετροπη μοιρων σε ακτινια ω • ημ2ω + συν2ω = 1 • εφω = ημω συνω ω  , συνω  0 • σφω = συνω ημω ω  , ημω  0 ω  , συνω  0 1 1 + εφ2ω ω  , συνω  0 π α μ μ 1 μ  36 =   = = π 180 π 180 36 180 180 μ=  μ = 50 36 540 μοιρων. Mετατρεψετε σε rad τη γωνια π 540 α μ α α 540 = 1 =  = π  π 180 π 180 π 180 π α= 540  α = 3 rad 180 Πινακας Τρ. Αριθμων Βασικων Γωνιων 0 0 30 0 45 0 60 0 π rad. 36 90 0 80 0 70 0 60 ημ 0 1 2 2 2 3 2 1 0 -1 0 συν 1 3 2 2 2 1 2 0 -1 0 1 εφ 0 3 3 1 3 - 0 - 0 σφ - 3 1 3 3 0 - 0 - 0 Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ εφ2ω 1 + εφ2ω • συν 2ω = Mετατρεψετε σε μοιρες τη γωνια ω  , ημω  συνω  0 • εφω  σφx = 1 • ημ2ω = α μ = π 180 α σε rad και μ σε μοιρες Tυπος μετροπης: 3 TΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Mεθοδος (Βασικες Τριγ/κες Ταυτοτητες) 3 π Αν εφx = και < x < π, τοτε να υπολογισετε τους αλλους τριγωνομετρικους 3 2 αριθμους. 1ο Βημα : Βρισκουμε ευκολα την σφ απ'το τυπο : εφx  σφx = 1. • σφx = 1 = εφx 1 3 3 =- 3 3 . 3 = 3 2ο Βημα : Βρισκουμε το συν απ'το τυπο : συν 2 x = • συν2x = 1 = 1 + εφ2x 3 συνx = ± 2 π <x <π 2 1  3 1 +  3     συνx = - συνx <0 2 = 1 1+ 3 9 = 1 1+ 3 . 2 1 3 = 1 . 1 + εφ 2 x 1 3 3 =  συνx = ±  4 4 4 3 ημx η ημ 2 x + συν 2 x = 1. συνx ημx 3 3 3 1 • εφx =  ημx = εφxσυνx  ημx =    ημx =  ημx = συνx 3  2  6 2 3ο Βημα : Βρισκουμε το ημ απ'το τυπο : εφx = Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ Αναγωγη στο 1ο τεταρτημοριο π Εστω 0 < α < . 2 ● 1ος κανονας Όταν εχουμε τριγωνομετρικο αριθμο του (2π±α) η (π±α), διαγραφουμε το 2π η π, ο τριγωνομετρικος αριθμος δεν αλλαζει και στο δευτερο μελος της ισοτητας βαζουμε το προσημο του αρχικου τριγωνομετρικου αριθμου στο τεταρτημοριο που κατεληγε. ● 2ος κανονας π 3π π 3π Όταν εχουμε τριγωνομετρικο αριθμο του ( ±α) η ( ±α), διαγραφουμε το η , 2 2 2 2 ο τριγωνομετρικος αριθμος αλλαζει και στο δευτερο μελος της ισοτητας βαζουμε το προσημο του αρχικου τριγωνομετρικου αριθμου στο τεταρτημοριο που κατεληγε. Αλλαγη: ημ→συν, συν→ημ, εφ→σφ, σφ→εφ. Παρατηρηση Ισχυουν για κ   : ημ(2κπ+α) =η μα, συν(2κπ+α) = συνα, εφ(κπ+α) = εφα, σφ(κπ+α) = σφα Αν η γωνια δεν εχει μια απ’τις πιο πανω μορφες, την τροποποιουμε καταλληλα ωστε να αποκτησει μια απ’αυτες τις μορφες. 4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Mεθοδος (Αναγωγη στο 1ο τεταρτημοριο ) Να υπολογισετε τους παρακατω τριγωνομετρικους αριθμους :  21π  • εφ  +θ  2  1ο Βημα : Μετασχηματιζουμε τις γωνιες : • σε αθροισμα η διαφορα "γνωστων" γωνιων. • συν135 0 • συν2007π π π  21π    • εφ  + θ  = εφ  5  4 + + θ  2 2  2    2ο Βημα : Χρησιμοποιουμε τους τυπους αναγωγης στο 1ο τεταρτημοριο. 2 2 0 • συν(2007π + 30 ) = συν(2006π + π + 30 0 ) = συν(1003  2π + π + 30 0 ) = • συν1350 = συν(900 + 450 ) = -ημ450 = - = συν(π + 30 0 ) = - συν30 0 = - 3 2 π  21π    π  • εφ  + θ  = εφ  10π + + θ  = εφ  + θ  = -σφθ 2  2    2  Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ συν(900 + 450 ) • συν1350 =  0 0 συν(180 - 45 ) π • σε πολλαπλασιο του 2π η 4 2 0 • συν(2007π + 30 ) = συν(1003  2π + π + 30 0 ) 5 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 3π και π < x < , τοτε να υπολογισετε τη τιμη της παραστασης : 5 2 ημx + συνx Α= εφx - σφx Ειναι Αν ημx = - 2 9 9  3 + συν2x = 1  συν2x = 1  • ημ x + συν x = 1   -  + συν2x = 1  25 25  5 2 2 π<x< 3π 3 4 7 12 Α= 5 5 = 5 = 3 4 7 5 4 3 12 - Αν εφx = αριθμους. 3 π και < x < π, τοτε να υπολογισετε τους αλλους τριγωνομετρικους 3 2 Ειναι • σφx = 1 = εφx • συν2 x = 1 3 3 1 = 1 + εφ2 x π =- 3 3 . 3 = 3 1  3 1 +  3    2 = 1 1+ 3 9 = 1 1+ 1 3 = 1 3 3 =  συνx = ±  4 4 4 3 <x <π 3 2 3 συνx = ±  συνx = 2 συνx <0 2 • εφx = 1 ημx 3 3 3  ημx = εφxσυνx  ημx =    ημx =  ημx = συνx 3  2  6 2 Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ 2 4 16 16 συν2x =  συνx = ±  συνx = 25 25 συνx<0 5 3 ημx 3 • εφx = = 5 = 4 4 συνx 5 1 1 4 • σφx = = = εφx 3 3 4 Οποτε 6 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αν x > Eιναι 1 π , 0 <α< και ημα = 2 2 x> 2x - 1 , τοτε να δειξετε οτι : εφα = 2x 1 2x - 1 . 2x - 1 2 2 2x - 1 2x 1 1 ημ α+συν x=1 ημα =  ημ α =  ημ2α =  ημ2α = 1  2x 2x 2x 2x 2x 2 x> 2 1 1 1 2 1  συν2x =  συνx = ημ2α = ημ2α + συν2x 2x 2x 2x Οποτε ημα = συνα 2x - 1 2x 2x 1 = 2x - 1 = 2x - 1 1 2x Αν x1 , x2 ειναι ριζες της εξισωσης (1 - συνα)x 2 - (1 - συν 2 α)x - ημ 2 α - συνα + 1 = 0, με α  2κπ, να δειξετε οτι : x1 + x2 + x1  x2 = 1. Eιναι 1 - συν2α ( 1 - συνα )(1 + συνα) • x1 + x2 = = = 1 + συνα συνα  1 1 - συνα 1 - συνα α  2κπ 1 - ημ2α - συνα συνα  1 1 - συνα α  2κπ • x1  x2 = Οποτε 1 - ημ2α - συνα 1-ημ α=συν α x1 + x2 + x1  x2 = 1 + συνα + = 1 - συνα (1 + συνα)(1 - συνα) + συν2α - συνα = = 1 - συνα 1 - συν2α + συν2α - συνα 1 - συνα = = =1 1 - συνα 1 - συνα 2 2 Aν ημx + 3συνx = 3, τοτε να δειξετε οτι : (3ημx - συνx) 2 = 1 Ειναι ημx + 3συνx = 3  (ημx + 3συνx)2 = 32  ημ2x + 6συνx + 9συν 2x = 9  ημ x + 6συνx + συν x + 8συν x = 9  1 2 2 2 ημ2 x +συν2x=1  1 + 6συνx + 8συν x = 9  (ημ x + συν x)  2 2 2 1 + 6συνx + 8συν2x = 9ημ2x + 9συν2x  9ημ2x + συν2x - 6συνx = 1  (3ημx - συνx) 2 = 1 Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ εφα = 2x - 1 2x = 1 7 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να δειξετε οτι για οποιαδηποτε γωνια α, ισχυει : 1 - σφ 2 α - 1 = 2ημ 2 α 1 + σφ 2 α Ειναι συν2α ημ2α - συν2α συν2α=1-ημ2 α 1 - σφ 2 α ημ2α ημ2α 1 = 1 = 1 = ημ2 α+συν2 α=1 1 + σφ 2 α συν2α ημ2α + συν2α 1+ ημ2α ημ2α 1- ημ2α - (1 - ημ2α) = - 1 = ημ2α - 1 + ημ2α - 1 = 2ημ 2 α 1 • εφ1 0  εφ2 0  ...  εφ89 0 = 1  5π  2ημ150 0 + εφ   συν330 0   6  • =1 5π  23π  σφ + ημ   4  6  •εφ1 0  εφ2 0  ...  εφ89 0 = = (εφ10  εφ890 )  (εφ20  εφ880 )  ...  (εφ440  εφ460 )  εφ450 =    44 ζευγη = [εφ1  εφ(90 - 1 )]  [εφ20  εφ(900 - 20 )]  ...  [εφ440  εφ(900 - 44 0 )]  εφ450 = 0 εφ(900 -α)=σφα = 0 0 (εφ10  σφ10 )  (εφ20  σφ20 )  ...  (εφ440  σφ44 0 )  εφ450 εφασφα=1  ...  11 =1 = 1 1 44 οροι • ημ150 0 = ημ(900 + 60 0 ) = συν60 0 = 1 2 π π 3  5π   εφ  = εφ  π -  = -εφ =  6 6 3  6   συν330 0 = συν(3600 - 30 0 ) = συν30 0 = π π 5π  = σφ  π +  = σφ = 1 4 4 4  π π 1  23π   ημ  = ημ  4π -  = -ημ =  6 6 2  6   = εφ450 =1 3 2 σφ Οποτε 1  3 3  5π  0 1 1 2  +   2ημ150 0 + εφ  συν330 1   2 3 2  6    2 = 2 =1 = = 1 1 5π  23π   1 σφ + ημ  1 + -   2 2 4  6   2 Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ Να αποδειξετε οτι : 8 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ν α β ρ ειτε τη μ εγισ τη κ α ι ελα χ ιστη τιμη τω ν π α ρα σ τα σ εω ν : 2 • Α = 1 + 2 η μα •Β = 3 - σ υνα Ε ινα ι .2 +1 • - 1  η μα  1  - 2  2 η μα  2  1 - 2  1 + 2 η μα  2 + 1  -1  Α  3 Α ρ α, Αm in = -1 κ α ι Αm ax = 3 .(-1) • - 1  σ υνα  1  1  -σ υνα  -1  Να αποδειξετε οτι : • σε καθε τριγωνο ΑΒΓ ισχυει : ημ 2 Α+ Γ Β + ημ 2  2  2  = 1  • σε ισοσκελες τριγωνο ΑΒΓ (ΑΒ = ΑΓ = α) η βαση του ΒΓ = 2αημ Ειναι •Α+Β +Γ = π  Α Β Γ π Α Γ π Β + + =  + = -  2 2 2 2 2 2 2 2 Α+Γ π Β ημ   = ημ  -   2  2 2 Οποτε π  ημ  -α  =συνα 2   Α+Γ Β ημ  (1)  = συν 2  2  2 2 ημ α+συν α=1  Α + Γ  (1) 2 Β Β 2 Β ημ + ημ2  = ημ + συν = 1  2 2 2  2  2 • Στο ορθογωνιο τριγωνο ΑΒΔ, απ'τον ορισμο του ημιτονου ειναι : ΒΓ ΒΓ A ΒΔ A 2 A 2  ημ = ημ =  ημ =  2 ΑΒ 2 ΑΒ 2 α A ΒΓ A αημ =  ΒΓ = 2αημ 2 2 2 A . 2 Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ α ντισ τρ οφ η +3 - 1  -σ υνα  1  3 - 1  3 - σ υνα  3 + 1  2  3 - σ υνα  4  1 1 1 1 1 1 .2 2 2 2 1           Β  1. 2 3 - σ υνα 4 4 3 - σ υν α 2 4 3 - σ υνα 2 2 1 Α ρ α, Βm in = κ α ι Βm a x = 1 2 9 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ • Δινονται τα συστηματα : -x - y = 1 (Σ1 ) :  και (-κ - 1)x + λy = -1 (κ + 4)x + y = κ2 - 3κλ (Σ2 ) :  5 3 (3κ + 8)x - (κ + λ)y = κ - λ Δειξτε οτι αν το (Σ1 ) εχει απειρες λυσεις, τοτε το (Σ2 ) ειναι αδυνατο. • Αν D  0 τοτε το (Σ) εχει τη μοναδικη λυση :  D Dy  (x, y) =  x ,  . D D    • Αν D = 0 και : • Dx  0 η Dy  0 τοτε το (Σ) αδυνατο. • Dx = Dy = 0 και ... • Δινονται τα συστηματα : • Δινονται τα συστηματα : 2x - λy = 8 x - y = 1 (Σ5 ) :  και (Σ6 ) :  2x + 3y = 8 3x + λy = 2 Δειξτε οτι αν το (Σ5 ) ειναι αδυνατο, τοτε το (Σ6 ) εχει απειρες λυσεις. Σ'ενα συστημα (Σ1 ) δυο γραμμικων εξισωσεων με α - • Αν D  0 τοτε το (Σ) εχει τη γνωστους x, y ισχυει : μοναδικη λυση : Dx2 + 2DxDy + Dy2 = 0 και 2x - y = 3 Aν το (Σ1 ) εχει μοναδικη λυση, τοτε να βρεθει η λυση του. • Σ'ενα συστημα (Σ2 ) δυο γραμμικων εξισωσεων με αγνωστους x, y ισχυει :  D Dy  (x, y) =  x ,  . D D    • Αν D = 0 και : • Dx  0 η Dy  0 τοτε το (Σ) αδυνατο. • Dx = Dy = 0 και ... Aν το (Σ2 ) εχει μοναδικη λυση, τοτε να βρεθει η λυση του. • Σ'ενα συστημα (Σ3 ) δυο γραμμικων εξισωσεων με αγνωστους x, y ισχυει : Dx + Dy = D και Dx - Dy = 3D D2 + Dx2 + Dy2 = 4(D - Dx + Dy ) - 12 Nα βρεθει η λυση του. ● Να δειξετε οτι: Να λυθουν τα συστηματα : 2x-7y + 7z = 4 x + y +z =2   ● (Σ) : x +3y -2z =5 (Σ2) : 2x + y -z =3 1 4x- y +3z = 7 x-2y +3z = -6   x + y +2z =2  (Σ3) : 2x +2y + 4z = 4 3x +3y +6z =1  x + y + 2z = 6  (Σ4 ) : 2x - y - z = 0 x - y - z = 2  • Απαλοιφουμε τον ιδιο αγνω στο απ'τις τρεις εξισωσεις (μεθοδος αντιθετων συντελε στων). • Λυνουμε το συστημα 2Χ2 που προκυπτει. • Αντικαθιστουμε τη λυση του πιο πανω συστηματος ... Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ 2x - y = 3 x + 2y = 5 (Σ3 ) :  και (Σ4 ) :  κx + λy = -1 -κx + (λ + 1)y = 2 Δειξτε οτι αν το (Σ3 ) και το (Σ3 ) ειναι συγχρονως αδυνατα. 10 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ●Το αθροισμα των ψηφιων ενος τριψηφιου αριθ- Ενας τριψηφιος αριθμος συμβο μου ειναι 6 και των ψηφιων των μοναδων ειναι λιζεται : xyz = 100x + 10y + z 0. Αν αλλαξουμε τη θεση των ψηφιων των εκατονταδων και των δεκαδων του αριθμου, προκυπτει αριθμος κατά 180 μεγαλυτερος. Να βρεθει ο τριψηφιος αριθμος. ● Δυο θετικοι ακεραιοι εχουν αθροισμα 87. Αν προσθεσουμε το 12 σε καθε εναν απ’ αυτους, ο ενας γινεται διπλασιος του αλλου. Βρειτε τους αριθμους. Να λυθει το συστημα : 2x - 3y - z = 0  6x - 13y - 6z = 0 4x - 2y + z = 0  To ομογενες συστημα εχει προ φανη λυση : (x, y,z) = (0,0,0) Οποτε εξεταζουμε, κατα τα γνω στα, αν εχει και αλλες λυσεις. Να λυθουν τα συστηματα : κ + λ + μ = 7  λ + μ + ν = 9 (Σ1 ) :  μ + ν + κ = 8 ν + κ + λ = 7  • Προσθετουμε κατα μελη τις x + 2y = 5 (5) εξισωσεις του συστηματος  και (Σ2 ) :  y + 2z = 8 (6) • Συνδιαζουμε την εξισωση που (3) z + 2x = 5 (7) προεκυψε με καθεμια απ'τις αρ  (4) χικες εξισωσεις του συστηματος. (1) (2) Να λυθουν τα συστηματα : 1 1 5 α + β = 6  1 1 7 (Σ1 ) :  + = β γ 12 1 1 3  + = γ α 4  αβγ 6 (1)  αγ + βγ = 5  12  αβγ (2) και (Σ2 ) :  =  αβ + αγ 7  αβγ 4 (3) =  βγ + αβ 3 1 = x ,... α • Προσθετουμε κατα μελη τις εξισωσεις του συστηματος ... • Συνδιαζουμε την εξισωση που προεκυψε με καθεμια ... • Θετουμε : Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ ● Μια ομαδα μαθητων εγραψε, σ’ ενα μαθημα, δια• Θεωρουμε x, y,... τους αγνω γωνισμα που εχει 20 ερωτησεις. Για καθε σωστους του προβληματος. στη απαντηση ο μαθητης επαιρνε 5 μοναδες ε• Σχηματιζουμε τις καταλληλες νω για καθε λαθος απαντηση εχανε 3 μοναδες. Ενας μαθητης εγραψε 52 μοναδες σ’ αυτο το δια- εξισωσεις που προκυπτουν γωνισμα. Βρειτε ποσες απαντησεις του ηταν σω- απ'τα δοσμενα. • Λυνουμε το συστημα των πιο στες και ποσες λαθος. πανω εξισωσεων, που .... ● Οι μαθητες Α και Β ρωτουν τον καθηγητη στο ου τελος του 2 τετραμηνου ποσες απουσιες εχουν και εκεινος απαντα: Ο λογος των απουσιων του Α προς τις απουσιες του Β ειναι 4/7 ενω χωρις τις τελευταιες 9 απουσιες ειναι ισος με 1/2. ● Βρειτε τις απουσιες των Α, Β. ● Ποσες πρεπει να δικαιολογησουν αν το οριο ειναι 50. 11 ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να λυθουν τα συστηματα : αβ = 2  (Σ1 ) : βγ = 1 γα = 8  και Να λυθουν τα συστηματα : x - 2 y - 3 z - 1 = =  (Σ2 ) :  3 4 5 5x + 3y - 2z = 51  Να λυθουν τα συστηματα : (x - 1)2 + y2 = 2 • (Σ1 ) :  x + y = 3 2 2 x + y = 2 • (Σ3 ) :  xy = -1 Πολλαπλασιαζουμε κατα μελη τις εξισωσεις του συστηματος. Βρισκουμε τη τιμη του γινομε νου που προκυπτει. Διαιρουμε την εξισωση που προεκυψε με ... • Θετουμε τους ισους λογους λ. • Βρισκουμε x, y,z σε συναρτη ση με το λ. • Αντικαθιστουμε τα x, y,z στην δευτερη εξισωση και βρισκουμε το λ. ● Πολλαπλασιαστε με καταλλη- 3(x - 1)2 + y2 = 1 λη παρασταση, αριθμητη και • (Σ2 ) :  παρονομαστη, ωστε να προ2x + y = 3 2 2 κυψει οπαρονομαστης ρητος. x + y = 5 • (Σ4 ) :  ● Κανετε χρηση δυναμεων και xy = 2 ταυτοτητων. Κανε την επισκεψη σου στο : http://drmaths58.blogspot.com/ x y z  = = (Σ1 ) :  2 4 5 3x + y - z = 15  αβγ = 2  βγδ = 1 (Σ2 ) :  γδα = 8 δαβ = 4 