2014 ςΕΔς ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ  ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ  ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ  ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρόν φυλλάδιο είναι ένα τμήμα μιας προσωπικής δουλειάς στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ της Α Λυκείου. Έχουν γραφεί βασικά θέματα εξισώσεων ,αλλά και πολλά νέα θέματα πέραν των ορίων του σχολικού βιβλίου ,για να δοθεί η δυνατότητα εξάσκησης στον Αλγεβρικό λογισμό με άμεση συνέπεια φυσικά την ενδυνάμωση της λυτικής ικανότητας . ΠΗΓΕΣ  ΘΕΜΑΤΟΓΡΑΦΙΑ-ΑΡΧΕΙΟ (Βαγγέλη Α Νικολακάκη)  Σχολικό Βιβλίο  MATHEMATICA  Μιλτ. Παπαγρηγοράκης (Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου)  Λάζαρος Ζαχαριάδης (Ασκήσεις Άλγεβρας Α Λυκείου) Υ.Γ. Το παρόν φυλλάδιο μπορεί να δημοσιευτεί ή να εκτυπωθεί και να διανεμηθεί ως έχει. Σε κάθε περίπτωση δεν επιτρέπεται η κάθε μορφής αντιγραφή και η εκ του πονηρού κλεψίτυπη εμπορική του χρήση. Κάθε κριτική , σχόλιο ,παρατήρηση ή διόρθωση είναι ευπρόσδεκτη. Με εκτίμηση Βαγγέλης Α Νικολακάκης 1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 1. Να λυθεί η εξίσωση εξίσωση 7x  3  2x  1  2x  20 2. Να λυθεί η εξίσωση 9  4x  4  x  2   1 3. Να λυθεί η εξίσωση 9  3x  3  x  2   1 4. Να λυθεί η εξίσωση x  2 1  2x x 1    4 8 13 3 5. Να λυθεί η ανίσωση 1  2x x  3 x   2 4 6 6. Να λυθεί η ανίσωση x  10 x 3    x 1 2 3 4 7. Να λυθεί η εξίσωση x  2 1 x x 1    2 5 10 5 8. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 4  3x  1  6  2x  1  7 ii) 2x  2  4x 5 7x  7   3 3 3 9. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 2(x  1)  3x  5  2(4  2x ) 2x  3 4  5x 4x  11 β)   2 4 3 x 2 x 3 x 4 x 5 10. Να λύσετε την εξίσωση  x 2  1      49  0 60  11. Να λύσετε τις εξισώσεις:  x  x  1  α) 1    x  1  0  2  3  x x  x  1  β)    2   2x  3   0 2 3  3    γ)  2x  6  x 2  9  0 12. Αν x  2 είναι λύση της εξίσωσης να δείξετε ότι α  β 2α 2  x  1  5 5x  αβ  x  2    β 2  x  1 2 2 13. Αν x  2 είναι λύση της εξίσωσης 2x  3λ 3  λ  x   7   3x  2 , να 2 3 βρείτε τον λ . 14. Αν x  1 είναι λύση της εξίσωσης x  2λ 3  λ  x   4   x  2 , να 4 2 βρείτε τον λ . 15. Να δείξετε ότι δεν υπάρχει λ  R ,ώστε η εξίσωση έχει λύση την x  2 . x  2λ  λ  1  2x  7 , να 2 16. Αν x  1 είναι λύση της εξίσωσης α 2  4αβ  4β 2   2x  1  β 2  5x  4   2βx  τους α,β  R . x 1   0 , να βρείτε 2 2 17. Αν x  1 είναι λύση της εξίσωσης α 2  6αβ  9β 2   2x  1  β 2  4x  3  2βx  x  0 , να βρείτε τους α,β  R . 18. Δίνονται οι εξισώσεις 2x – 5x 5 7x =– + και 3 3 3 8  λ  1  4x  4  2  x   λ  7 . Να δείξετε ότι για λ  1 οι δύο εξισώσεις έχουν άπειρες κοινές λύσεις ΣΥΝΑΛΗΘΕΥΟΥΣΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 19. Να βρείτε την κοινή λύση των εξισώσεων 3  x  1  x  3 και 2  x  1  x  2x  1 20. Να βρείτε την κοινή λύση των εξισώσεων 3  x  1  x  7 και x2 x  x  3  x  1  2 2 21. Δίνονται οι εξισώσεις λ  4x x  1 x  4λ 5    . 5 4 20 4 Να βρείτε τον λ  R ,ώστε η ρίζα της πρώτης εξίσωσης να είναι πενταπλάσια από την αντίθετη της ρίζας της δεύτερης. 4x – 3(2x – 1) = 7x – 42 και 22. Να δείξετε ότι δεν υπάρχει λ  R ώστε οι εξισώσεις λ  2x  3  2  x  2λ  3 και 5  κοινή λύση την x  2 x λ  2  x  1   x  λ  2  να έχουν 3 3 23. Αν x  1 είναι λύση των εξισώσεων : α 2  2αβ  β 2   4x  3  β 2  3x  2   4βx  4x  0 και  α  β  x  2x  3α  2  2 , να βρείτε τους α,β  R . 24. Να βρείτε τον λ  R ώστε οι εξισώσεις λ  x  1  1  x  2λ  5  και 2  2x  1  2λx  2 1  λx   4 να έχουν κοινή ρίζα 2 ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΕΠΙΛΥΣΗ – ΔΙΕΡΕΥΝΗΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) (λ2 + 1)x = λ + 1, β) (λ2 + 4)x = λ4 – 16. 2. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) (λ – 1)x = λ – 1, γ) μx + μ = x  1, β) (λ – 1)x = λ δ) (μ + 1)x = μ  1. 3. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) λ2x  λ2 = x  4λ + 3, β) (λ + 1)x + 9 = 2(λ + 2x) + λ(λ  2), γ) λ3x  λ = 4λx + 2, δ) xλ2 – λ = λx – 1, ε) μ2x  4x = μ2  4μ + 4. 4. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) (λ3 – 4λ)x = λ2 + 2λ, β) (λ + 3)x = 2λ + 5, λ2  4x λx  5 2λx  1 8λ  x  5 2x γ)   x  3λ , δ)   . 3 2 4 3 3 5. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) λ2(x – 1) = 4(4x + 1) – 5λ, β) λ2(x – 1) = x – 1, γ) λ(λx + 6) = x + 12 + λ(λ – 1), δ) λ2(λ6x + λ4 – λ2 – 1) = x – 1 – λ4(1 – λ2). 6. Να λύσετε τις ακόλουθες εξισώσεις για κάθε τιμή των λ, μ : α) (λ – μ)x = λ + μ, β) (λ2 – 4μ2)x = λ2 + 2μλ, γ) λx + μ2 = μx + 3λ(x + 2), ) (λ + 3)x + μ = μx + (2λ – 1)(2x – 3), x  λ 2x  μ ε)  x. 2 5 7. Να λύσετε τις εξισώσεις για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ   . i) iii)  λ  2  x  λ  3 λ2   x  1  5  5x  λ  ii) iv)  λ  1  x  λ  λ  1 λ2  x  1  2  2  λx  8. Να λύσετε τις εξισώσεις για τις διάφορες τιμές της παραμέτρου λ   . i) λ  x  1  x iii) λ3   x  1  4λx  8 ii) iv) λ  λx  λ 1  λ  1 x  2λ  3  λ 2 2 2  3  x  1 9. Να λυθούν οι παραμετρικές εξισώσεις i) λ2 (x  1)  2  λ(x  1) ii) (2α  1)x  3α  (α  2)x iii) λ2 (x  μ)  μ 2 (μ  x )  2λμx x x 1 1 iv ) μ 1 μ  μ μ 1  μ  μ , με α,β  0,μ  * . α β α β β α x  20 x  30 x  40 x  80 x  70 x  60      80 70 60 20 30 40 (Υπόδειξη: να θέσετε όπου χ = ω+….) 10. Να λύσετε την εξίσωση ΑΠΑΙΤΗΣΗ – ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΕΙΔΟΥΣ ΛΥΣΕΩΝ 11. Αν η εξίσωση (4  α)x + α2 = 16 έχει δύο λύσεις, να βρείτε τον α. 12. Να προσδιορίσετε τον λ   ώστε η εξίσωση: (λ + 4)x – 2λ  4 = 5(x  λ) + λ(λ  2) να έχει μοναδική λύση το μηδέν. 13. Να προσδιορίσετε τον πραγματικό αριθμό λ ώστε η εξίσωση: λ(3x – 2)  5 = 3(x + 2) + 2(λ + 1) να έχει λύση τον αριθμό x = –2. 14. Να βρείτε το λ αν η εξίσωση: λ  λx  1  x  3λ  2   λ2 i) είναι αόριστη ii) είναι αδύνατη. 15. Να αποδείξετε ότι αν η εξίσωση 3λ(5  x) = 7μ  3x + 1 είναι ταυτότητα, η εξίσωση μ(3x – 2) + 4λx = 3(2λ – μ) + 10x είναι αδύνατη. 16. Αν η εξίσωση (4λ2 – 1)x = 3λ – 1 έχει μοναδική λύση, να βρείτε τις λύσεις της εξίσωσης 2λx – 3 = x + 2. 17. Να βρείτε τις τιμές της παραμέτρου λ   , ώστε η εξίσωση  λ  3 x  λ2  5λ  6 να έχει μοναδική ρίζα την x  0 . 18. Αν η εξίσωση λ2  x  1  2  2x  λ  , λ   είναι ταυτότητα, τότε: i) να βρείτε την τιμή του λ ii) αν λ  2 να αποδείξετε ότι η εξίσωση λ2  x  1  λ  5x  1  6x  0 θα είναι αδύνατη. 19. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση:  λ  2  x   λ  2    λ  2  να έχει μοναδική λύση-ρίζα το 2. 20. Αν η εξίσωση  λ2  3λ  x  λ2  9 είναι αδύνατη, να δείξετε ότι η εξίσωση  λ  1 x  λ  5 έχει μοναδική λύση. 21. Να βρεθούν οι ακέραιες και θετικές λύσεις της παραμετρικής εξίσωσης λx = λ – 5 όπου λ ακέραιος . 22. Αν η εξίσωση  λ2  9  x  λ3  27 είναι ταυτότητα, να βρείτε το μ ώστε η εξίσωση  λ  μ 2  4  x  μ 2  μ να είναι αδύνατη. 23. Αν η εξίσωση λ2  x  2   1  λ  x  λ  είναι ταυτότητα ,να δείξετε ότι η εξίσωση λ  λx  1  x  λ2 είναι αδύνατη  λ  R  24. Αν η εξίσωση λx  2λ  λ2  x  3 είναι ταυτότητα  λ  R  ,να υπολογίσετε την  λ  2 τιμή της παράστασης Π  2009  λ2010 λ2008 25. Να βρεθούν οι ακέραιες και θετικές λύσεις της εξίσωσης (λ – 1)x = 2λ – 1 όταν λ ακέραιος . 26. Να βρεθούν οι τιμές των α, β, γ για τις οποίες η εξίσωση (α 2 – 4α)x = - 4x + β 2 – 6β + γ 2 – 10γ + 34, είναι αόριστη. 27. Να βρεθούν οι τιμές του λ για τις οποίες η εξίσωση λ 2 x – λ 2 = 9x –6λ + 9 i) είναι αδύνατη ii) έχει μοναδική λύση. 28. Να βρεθούν οι τιμές του λ, ώστε η εξίσωση λx + 5λ = λ 2 + 2x + 6 i) Να έχει μοναδική ρίζα το 1 ii) Να έχει ρίζα το 1. 29. Να βρεθούν οι τιμές του λ ώστε η εξίσωση λ 2 x = 4x + λ 2 – 3λ + 2 i) Να έχει λύση το 5 . ii) Να έχει μοναδική λύση το 5 . 30. Έστω οι εξισώσεις (1) αx + β = 0 , (2) βx + γ = 0 όπου α, β, γ θετικοί πραγματικοί αριθμοί .Να αποδείξετε την ισοδυναμία. Οι εξισώσεις (1) και (2) έχουν κοινές λύσεις  β 2 = αγ. 31 Δίνονται οι εξισώσεις  2λ  6  x  μ 2  4 1 και  λ  3 x  μ  2λ  4  2  Αν η (1) είναι ταυτότητα και η (2) είναι αδύνατη ,να βρείτε τις τιμές των λ , μ . 32. Να δείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν λύση για κάθε τιμή των παραμέτρων α,β   i) α 2x  α 2  αβx  β 2 ,α  0 ii) (x  α) 2  (x  β)2  2α(α  β) ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΕΣ 3 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) x2(x – 4) + 2x(x – 4) + (x – 4) = 0, γ) (x + 1)2 + x2 – 1 = 0, β) x(x2 – 1) – x3 + x2 = 0, δ) x(x – 2)2 = x2 – 4x + 4 2. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) (x – 2)2 – (2 – x)(4 + x) = 0, γ) x3 – 2x2 – x + 2 = 0, β) (x2 – 4)(x – 1) = (x2 – 1)(x – 2), δ) x3 – 2x2 – (2x – 1)(x – 2) = 0. 3. Να λύσετε τις εξισώσεις α) x 3  4x 2  3x  0 β) x 3  5x 2  6x  0 4. Να λύσετε τις εξισώσεις α) x 3  4x 2  4x  0 β) x 3  8x 2  16x  0 5. Να λύσετε τις εξισώσεις α)  x 2  9   x  1   x 2  1  x  3  β)  3x  1  3x  1  0 2 6. Να λύσετε τις εξισώσεις α)  x  3   x  4   2  x 2  5  β)  3x  2  2x  6    6x  1 x  10x 2 2 7. Να λύσετε τις εξισώσεις α) (2x  1) 2  (2x – 3)(2x  5)  7x β) (x  2) 2  (x – 1)(x  4)  3x 8. Να λύσετε τις εξισώσεις α) x  x 2  4   x 3  4x  0 β)  x  1  x 2  1  0 γ) x  x 2  4   x 4  2x 3  0 2 9. Να λύσετε τις εξισώσεις α) x  x  3  x 2  6x  9 β)  x 2  9   x  1   x 2  1  x  3 2 10. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) x 2  5x  6    x 2  7x  12   0 ii)  x 2  x  2    x 2  2x  1  0 2 2 2 11. Να λύσετε τις εξισώσεις: i)  x 2  4   x  1   x 2  1  x  2  ii)  2x  1 2 v)  x  1 2 2  x 1  0 vi) x 3  4x  0  2x  1  0 vii) x  x  2    x  1 2  x   0 iii) 4x 3  9x  0 iv)  x  1 2 viii) x  x 2  1  x 3  x 2  0  x2 1  0 12. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: i) ii) iii) iv) x 2  3x  0 x 2  36  0 x3  x2  x  1  0 x 2  2x  1  0 v) x 2  5x  6  0 vi) 8x 4  18x 2  0 vii) 9  4x 2  0 viii) x 2  3x  2  0 13. Να λύσετε τις εξισώσεις α)  x 2  3x  2    x 2  4x  3   0 β)  x 2  4x  3   x11  x10  2   0 2 2 2 14. Να λύσετε: i)  5  2x    8  5x    7x  12  3 3 15. Να λύσετε την εξίσωση 3  0 ii) 16. Να λύσετε την εξίσωση  x  1   3x  2    3  4x  3  x  1   x  2    x  3 3 3 3 3  x  1   x  2    3  2x  3 2 3 17. Να βρείτε τις κοινές λύσεις των εξισώσεων 0  3  x  1 x  2  x  3  3  3  x  1 x  2  3  2x  x  x  1  x 2  2x  1 και  x 2  1  x  2    x  1  x 2  9  2 3 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 18. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 1 3 1   2 x  1 3x  2 3x  5x  2 ii) x  2 2x  1  3x  1 6x  1 19. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 1 x  x  x x 1 x 1 ii)  2 x 4 x2 x 1 2 iii) 2  2 0 x  1 x  2x  1 9x  1 1 2 iv)   2 9x  1 1  3x 3x  1 x 2  7x 2x  1 3 v) 2  2   x 1 x 1 1 x i) 2 20. Να λύσετε τις εξισώσεις: 2x  3 3 5 3 7 1 3  , β)   , γ) 1   . 2 1 x2 4 x 1 x 1 1  x x 1 x 1 1 x x 1 1 21. Να λύσετε τις εξισώσεις: α)  2 , β) 1   , x2 x 4 x x α) x 3  27 x 2  18x  81 22. Να λύσετε τις εξίσωση:  . x 3 x9 23. Να λύσετε τις εξισώσεις: 3 5 x x2  , β)  , x  1 2x  1 x 1 x  3 x 1 2 3 2 6 γ) 2  2  0 , δ)   2 . x  1 x  2x  1 x2 x2 x 4 α) 24. Να λύσετε τις εξισώσεις: α) 1 3 5  2  , 2x  3 2x  3x x β) 3 5 1   , x  x  2 x 1 x  2 2 γ) 3 1 5   2 , 4x  4 3(x  1) 6x  6 δ) x 1  2 . x 1 x  x 25. Να λύσετε τις εξισώσεις: x2  x  1 x  x2  1 α) 2    0, x 1 x 1 1 3 3 x4  6 β) 2  3 2 3 2  4 2. x 1 x  x x  x x x ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ - ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ 26. Να λυθεί ο τύπος 1V1  2 V2  ως προς V2 T1 T2 1 2 27. Να λυθεί ο τύπος x  0 t  t2 ως προς 0 28. Να λυθεί ο τύπος F   m1m2 ως προς m1 r2 29. Να λυθεί ο τύπος F   q1q2 ως προς r r2 30. Να λυθεί ο τύπος m  m11  m2  2 ως προς  31. Να επιλύσετε τους ακόλουθους τύπους: α) P  V  n  R  T ως προς P και ως προς R, β) Q = m∙c∙Δθ ως προς Δθ. 32. Να επιλύσετε τους ακόλουθους τύπους: α) d  β) υ = υ0 + αt ως προς t, γ) F  G  m ως προς m και ως προς V, V m1  m2 ως προς m1 και d. d2 1 2 33. Με τη βοήθεια των τύπων S  0 t   t2 και υ = υ0 + αt, να αποδείξετε ότι: S   t. 2 34. Έστω τετράγωνο ΑΒΓΔ με πλευρά μήκους 4cm. Να βρείτε εσωτερικό σημείο Μ της πλευράς ΑΔ, τέτοιο ώστε: α) EABM + EMΒΓ = 2ΕΜΓΔ , β) ΕΑΒΜ = 2ΕΜΓΔ. 35. Το μήκος και το πλάτος ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι 10 m και 6 m αντίστοιχα. Αν αυξηθεί το μήκος του κατά 5 m, να βρείτε πόσο πρέπει να αυξηθεί το πλάτος του ώστε να διπλασιαστεί το εμβαδόν του. 36. Μία μητέρα είναι 34 ετών και η κόρη της είναι 7 ετών. Μετά από πόσα χρόνια η μητέρα θα έχει τριπλάσια ηλικία από την κόρη της. 37. Καταθέτουμε σε μια τράπεζα δύο κεφάλαια, που διαφέρουν κατά 2.500 ευρώ, με επιτόκιο 5% για το μεγαλύτερο κεφάλαιο και 7% για το μικρότερο. Αν μετά από ένα χρόνο τα δύο κεφάλαια εξισώνονται, να βρείτε τα αρχικά ποσά που καταθέσαμε. 38. Ένας χημικός πρέπει να αναμίξει δύο διαλύματα του ίδιου οξέος, το Α΄ περιεκτικότητας 7% και το Β΄ περιεκτικότητας 42% σε οξύ, για να προκύψει ένα μείγμα 50 λίτρων περιεκτικότητας 35% σε οξύ. Πόσα λίτρα από το κάθε διάλυμα πρέπει να χρησιμοποιήσει. 39. Ένα τμήμα της Α΄ Λυκείου που αποτελείται από 30 αγόρια και κορίτσια έγραψε ένα τεστ στα Μαθηματικά, με μέσο όρο βαθμολογίας 15,56.Αν ο μέσος όρος των γραπτών των κοριτσιών ήταν 14,6 και των αγοριών 17, να βρείτε πόσα ήταν τα κορίτσια και πόσα τα αγόρια. 40. Σε μία γιορτή βρίσκονται 40 άτομα. Αν φύγουν 8 αγόρια και έρθουν 2 κορίτσια, τότε ο αριθμός των αγοριών είναι ίσος με τον αριθμό των κοριτσιών. Να βρείτε τον αρχικό αριθμό των αγοριών και κοριτσιών. 41. Δύο αυτοκίνητα ξεκινάνε από το ίδιο σημείο και κινούνται ευθύγραμμα και ομαλά, το ένα ανατολικά με ταχύτητα u1 = 60 km/h και το άλλο δυτικά με ταχύτητα u2 = 80 km/h. Να βρείτε μετά από πόση ώρα τα αυτοκίνητα θα έχουν απόσταση 770 km. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ 42. Να λύσετε τις εξισώσεις α) x  4 β) x  2  5  0 γ) 2x  6  10 δ) 3 x  2 1 8 2 43. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 2x  4  2  6  2  x β) x  3  6  2x  12 γ) x  2 4  2x 2  x 1  x  8 2x  2  1    8 δ)  2 3 6 4 2 44. Να λύσετε τις εξισώσεις 2x  3 1 x 1 2x  5  3 x  1  2 γ) 2x  3  x  1  6  4x δ)  3 2 α) 2x  7  x  1 β) 45. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 3x  5  x  1 β) 2x  1  3x  9  2  4x 46. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 2 x  1  5 β) 4x  2  3  2x  1  8 47. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 1  2 x  2  9 β)  2x  1  5   1  2x  7 48. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 2 x  3  11 β) 2x  4  3  x  2  8 49. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 2 2x  1  x 6  x 6  10 β) x 2  3  x 2  4x  4  5 50. Να λύσετε τις εξισώσεις α) x  x  x  x  4 β) 8  x 2  4x  4  x 2  9  6x  12 51. Να λύσετε την εξίσωση | 3  x |  6  2x 7 x  3   3 2 4 52. Να λύσετε την εξίσωση 3 x  1  5  x 1  10 2 53. Να λύσετε την εξίσωση 2x  2  3  2  x  3x 54. Να λύσετε την εξίσωση 2x  x  1  x  2 , όπου x  R 55. Να λύσετε την εξίσωση 2x  2x  1  6  4x  2x  3  2  4x , όπου x  R 56. Να λύσετε τις εξισώσεις α) 2x  3  2x  3 β) x  2  4  2x  3x  6 57. Να λύσετε τις εξισώσεις α) x  1  x 2  x  0 β) x 2  4  x 2  2x  0 58. Να λύσετε τις εξισώσεις α) x 2  2x  1  2x  1  0 β) 2 x 2  4x  4  x  1  2 x 2  2x  1  x  2 59. Να λύσετε τις εξισώσεις α) d  3x,1  d  2x,1 β) d  3x,1  d  2x,1 60. Να λύσετε τις εξισώσεις α) x 2  2x  1  3d  3x,1  3d  x,1  9x 2  6x  1 β) d  2x  1 ,1   x  1 ,1 61. Να λύσετε τις εξισώσεις α) x 2  6 x  9  0 β) x  1  4  x 2  2x  1  0 3 62. Να λύσετε τις εξισώσεις α) x 2  2x  2 x  2  0 β)  4x 2  4x  1  x  x 2  2x  1  x  1   0 63. Να λύσετε την εξίσωση  x  12 x  1  3  x  12  3 1  x  1 ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 64. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 92 x 3  1 81 iii) 25 x 1  2 2 x  125 ii) 32x 1  815x 65. Να λύσετε τις εξισώσεις  3 i)    2 2 x 5  8 27 2 2  ii) x 1 iii) 3 2 x 1  312 x  54  8x  2  2 x 1 x  x 1     2 x 3   2  2  3  66. Να λύσετε την εξίσωση 5 1 67. Να λύσετε την εξίσωση 2 3x5  16 68. Να λύσετε τις εξισώσεις  α) 3 x2  2 x  2 x 2   2  1  2x 2 4  2  1  0 β) 3 x  2  3 2x  18 69. Να λύσετε τις εξισώσεις i) 5 x2 4x 4   1 3x 2  2 x 1  1  0 ii) 8 x 1   4x  2  9 x 1  27 x 2 70. Να λυθούν οι εξισώσεις: 3 α)   5 γ) 7 x 2 2 x 1  2 x 1 5 3 2  5  x 1  β) 9 x 1  27  3 x  0 δ)    1 ε) 6 2 x  4  27 x  2 x 8 ζ) 3  16 x  2  81x  5  36 x θ) 3 2 x 5  3 x 2  2 x 2 1     1 στ) 4 x  10  2 x 1  24 η) 4 x  2 x  2  32  0 x 3 , 1 0 4 ΔΙΩΝΥΜΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις : (α) x 3  64 (β) x 3  64 (γ) x 3  8 (δ) x 3  1 8 2. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) x 3  125  0 ii) x 5  243  0 iii) x 7  1  0 3. Να λυθούν οι εξισώσεις : (α) x 4  64 (β) x 6  2012 (γ) x 5  32 (δ) x 2  9 4. Να λυθούν οι εξισώσεις : (α)  x  2   27 (β)  2x  3  16 3 4 (γ)  x  3  8 (δ)  x  1  7 3 14 5. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) x 3  125  0 ii) x 5  243  0 iii) x 7  1  0 6. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) x 2  64  0 ii) x 4  81  0 iii) x 6  64  0 7. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) x 3  27  0 ii) x 2  49  0 3 iii)  x  1  27 v) x11  1  0 vi) x 4  16  0 vii) 8x 3  1  7 1 0 32 viii) x 3  64  0 iv) x5  8. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) ii) 5x 8  1  0 x 5  125x 2  0 iii)  3x  2  iv)  x  1 7 4  128  0  16  0 v) x 5  81x  0 10 vi)  x  1  1024  0 vii) viii)  2x  1  8  0 5  3x  1  32  0 3 9. Να λύσετε τις εξισώσεις: i) 3x 4  81x  0 ii) 3x 6  10  0 3 iii) 8  x  1  27  0 v) 5x 6  40x 3  0 vi) 2x 6  18x 4  0 4 vii)  x  2   8  x  2   0  2x  3    viii)  x  1   2 3 2 2    iv) 1  0 7 4 3 10. Να λύσετε τις εξισώσεις : i) x 5  8x 2  0 ii) x4  x  0 iii) x 5  16x  0 11. Να λυθούν οι εξισώσεις : (α) x 4  8x  0 (β) x 4  x  0 (γ) x 4  2x 2  0 (δ) x 6  16x 2  0 12. Να λυθούν οι εξισώσεις : (α)  x  1  3  27 (β)  x  1  7   16 3   4   (γ) x  2  3  32 (δ) x  1  8  8x 3  27   0 5 13. Να λυθούν οι εξισώσεις : (α) 3 x5  2 x6  3  2 (β) 1 x3  1 4x 4  3 λ 14. Να βρείτε τον λ  R ,ώστε η εξίσωση 2  λ  x 3   λ 2  1 x 2 να είναι αόριστη x2  x 0 15. Να βρείτε τον λ  R , ώστε η εξίσωση  λ5  λ 2  x 3   λ3 -λ 2  x 2  0 να έχει λύση την x=1 17. Αν  α 2013  1  2α  β  α  β  γ  0 να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς 2 α,β και γ. 18. Να λυθεί η εξίσωση  x 8  44    x15  275   0 .. 5 3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΕΛΛΕΙΠΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις i) x 2  4  0 iii) 2x 2  6x  0 ii) x 2  16  0 iv) x 2  x  0 2. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις. i) x 2  4x  0 2 2 iii)  2x  1  6x  1   x  1 v) x 2  x ii) 3x 2  4x iv) 4x 2  1  0 vi) 3x 2  x  0 3. Να λυθούν οι εξισώσεις i) x  x  1  x  x  3  2x  2  0 ii) 2x  x  2   3x  x  3  13x  20  0 4. Να λυθούν οι εξισώσεις i)  x  1  x  x  3  3x  1 2 ii)  x  2   3x  x  3  3  x  1  4 2 2 ΠΛΗΡΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ 5. Να λυθούν οι εξισώσεις i) x 2  4x  3  0 ii) x 2  4x  4  0 iii) x 2  x  3  0 iv) x 2  5x  6  0 6. Να λυθούν οι εξισώσεις i) x 2  4x  3  0 ii) 2x 2  12x  10  0 iii) x 2  4x  4  0 iv) 2x 2  12x  10  0 7. Να λυθούν οι εξισώσεις i) x 2   x  1  9x  1   x  1  x  4 2 2 ii)  2x  1   x  1  8x   x  2   3x 2  x  4 2 2 2 8. Να λύσετε τις εξισώσεις: i. 2x 2 – 5x = (2x – 5)(2x + 4) ii. (4x 2 – 9) = 3(2x + 3) 2 iii. (x – 3) 2 – 1 = 2(x – 2) 2 iv. 5(x + 3) 2 (x – 1) – (x + 3)(x – 1) 2 = 0 v. (7x + 3) 2 – 4(3x – 2) 2 = 0. 9. Να λυθούν οι εξισώσεις i) 3x 2  2 6x  2  0 iii) x 2    3 2 x 6 0 iv) x 2 10. Να λυθούν οι εξισώσεις i) x 2  2 3x  3  0 iii) x 2  2     3  1 x  ii) x 2  ii) x 2   3 2 x2 6 0   3 1 x  3  0 3 2 x 6 0 iv) x 2  11. Να λυθούν οι εξισώσεις α)  x  2   x  4 2 12. Να λυθούν οι εξισώσεις i) x  3x  10   3  x  2  iii) 3  7 1  x   2  x  2  x  2   30 β) x  x  3    32 x2 3 0 3x 1 4 ii) 2x  1   x  6  x  6  iv) 4  x  2    x  3 x  3  4 13. Να λυθούν οι εξισώσεις i) iii) x 2 10  3x 2x   6 4 3 2 x  2 x  2 x  x  2 x  6  x     2 3 6 6 2x  3 x  3 x 2  1   ii) 6 2 3 2 x 10  6x x iv)  5 5 14. Να λυθούν οι εξισώσεις 2  3x  2  x  6 2   2x  1  1 i) 3 2 6 2 2  3x  2  x  6 2x  1    1 ii) 3 2 6 2 15. Να λυθούν οι εξισώσεις i)  x  x 2  x 2  4   0 ii)  x 2  2x  x 2  5x  6   0 iii)  x 2  9  x 2  4x  3  0 iv)  x 2  5x  x 2  4x  4   0 16. Να λυθούν οι εξισώσεις i) x 2  4x  5  x 2  2  x 2  4 ii) 2x 2  4x  6  x 2  2  2x 2  4 17. Να λυθούν οι εξισώσεις i) x 2  4x  5  5 ii) x 2  4x  4 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 18. Ένα ορθογώνιο παρ/μμο έχει μήκος 8cm και πλάτος 4cm.Αν αυξήσουμε συγχρόνως τις δύο διαστάσεις κατά xcm ,τότε το εμβαδόν του θα αυξηθεί κατά 28cm2.Να βρείτε το x 19. Δύο αδέλφια είναι σήμερα 3 και 7 ετών.Σε πόσα χρόνια το γινόμενο των ηλικιών τους θα είναι 60 ; 20. Το 2012 η ηλικία τοτ πατέρα είναι το τετράγωνο της ηλικίας του γιυού του Δύο αδέλφια είναι σήμερα 3 και 7 ετών.Σε πόσα χρόνια το γινόμενο των ηλικιών τους θα είναι 60 ; 6 3 ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1. Να λυθεί η εξίσωση x 2   2α  β  x  2αβ  0 2. Να λυθεί η εξίσωση x 2   α  β  γ  x α  β  γ   0 3. Να λυθούν οι εξισώσεις i) x 2   2α  β  γ  x  2αβ  2αγ  0 ii) x 2   α  2β  x 2αβ  0 4. Δίνεται η εξίσωση  α  2β  γ  x 2  2αx  α  γ  2β  0 ,όπου α,β, γ είναι ρητοί με α  2β  γ i) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικός ρητός d ώστε d Δ ii) Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει ρητές ρίζες ,τις οποίες και να υπολογίσετε. 5. Αν α-β+γ=0, να λυθεί η εξίσωση: αχ2+βχ+γ=0 6. Nα βρείτε τους ρητούς αριθμούς α , β ώστε η εξισωση: χ2+αχ+β=0 , να έχει ρίζα τον αριθμό 2+ 3 . Ποια είναι η άλλη ρίζα της; 7. Να λυθούν οι εξισώσεις: 2 2 α) 3λx -(2λ+3μ)x+2μ=0 β) α(β-γ)x +β(γ-α)x+γ(α-β)=0 8. Να λυθούν οι εξισώσεις 2 2 α) (λ-3)x -2(λ+1)x+λ-4=0 , λ3 β) 3λx -(6λ+2)x+3λ-5=0 9. Αν ρ είναι ρίζα της εξίσωσης x2+αx+β=0 να αποδειχθεί ότι |ρ|2 | α | |ρ||β| . 10. Δίνεται η εξίσωση x 2  λx+1=0 . Να βρείτε, για τις διάφορες τιμές του πραγματικού αριθμού λ, το πλήθος των ριζών της. 11. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) x 2   2α  β  x  α  α  β   0 ii) x 2   2α  3β  x 6αβ  0 iii) 2x 2   α  2β  x α  α  2β   0 12. Να λυθούν οι εξισώσεις: 1 i) x 2   α  1 x  α 2  α  1  0 2 ii) x 2   α  γ  x αγ  β 2  0 13. Να λυθούν οι εξισώσεις: i) α 2 x 2  2α 2βx  α 2β 2  1  0 ii)  α 2  β 2  x 2  2  α 2  β 2  x  α 2  β 2  0 14. Να βρείτε τις τιμές του λ  R ,ώστε η εξίσωση x 2   2λ  1 x  λ2  3λ  8  0 έχει ριζα το 2 . ΑΠ ( λ  2,3 ) 15. Να βρείτε τις τιμές των α,β  R ,ώστε η εξίσωση α 2  3  x 2   β 2  2  x 2  α  2β   0 έχει ριζα το 2 . ΑΠ ( α  1,β  2 ) 16. Δίνεται ότι το x  ρ είναι ρίζα της εξίσωσης x 2  βx  γ  0 με α  0 Να δείξετε ότι ρ  1  β  γ 17. Δίνονται οι εξισώσεις αx 2  βx  γ  0 , αx 2  βx  2γ  0 και α x 2  βx  γ  0 , όπου α  0 ,οι οποίες έχουν διακρίνουσες αντίστοιχα Δ1 , Δ 2 ,Δ 3 με Δ1  Δ 2  Δ 3  0 .Να βρείτε τον β  R . 18. Να λυθεί η εξίσωση x 2  2αβ   x  α  x  β  19.Δίνεται η εξίσωση x 2  2x  2(αβ  1)  0 . Αν η εξίσωση έχει ως ρίζα τον αριθμό α+β , τότε να αποδείξετε ότι α = β = 1. 20.Αν η μια ρίζα της εξίσωσης x 2  2(3λ  1)x  5λ2  4  0 είναι το 13, να βρεθεί ο ακέραιος λ καθώς και η άλλη ρίζα. 21.Nα λυθεί η εξίσωση x 2  Δ·x  2Δ  0 όπου Δ η διακρίνουσά της. 22.Για ποιες τιμές του κ ε R, η εξίσωση: x 2  9x  2κ 2  κ  9  0 έχει ρίζα το -1. Για κάθε μία από τις τιμές του κ που βρήκατε , να λύσετε την εξίσωση. 23.Για ποιες τιμές των κ , λ , η εξίσωση: 5x 2   2κ  1 x  λ  4  0 , έχει μοναδική ρίζα το 0 . 24.Για τις διάφορες τιμές του α ε R, να λυθεί η εξίσωση:  α  1 x 2  2 1  2α  x  3  4α  0. 25.Να βρεθεί ο λεR , ώστε ο αριθμός -2 , να είναι ρίζα της εξίσωσης: λ 2  2λ  2  x 2   4λ  7  x  2λ2  0 . 26.Για ποιες τιμές του κ ε R, η εξίσωση: x 2  9x  2κ 2  κ  9  0 έχει ρίζα το -1. Για κάθε μία από τις τιμές του κ που βρήκατε , να λύσετε την εξίσωση. 27.Να λυθούν οι επόμενες εξισώσεις. i) αβ  x 2   αγ  β   x  γ  0 ,α β  0 2 ii) αβ  x   α  β   x  1  0 ,α β  0 iii) β2  x 2  2αβ 2  x  α 2β2  1  0 28.Δίνεται η εξίσωση x 2  2x  2  αβ  1  0 . Αν η εξίσωση έχει ρίζα τον αριθμό α+β,να αποδείξετε ότι α=β. 29.Ένας μαθητής αντί της εξίσωσης x 2  α  x  β  0 1 , έλυσε την εξίσωση x 2  β  x  α  0 και βρήκε δύο ρίζες. Από αυτές, η μία ήταν ίση με μία ρίζα της (1) και η δεύτερη ήταν μικρότερη κατά 3 της άλλης ρίζας της (1). Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α και β. 30. Για ποιες τιμές του α   οι εξισώσεις x 2  α  x  1  0 και x 2  x  α  0 έχουν μία κοινή ρίζα; ΠΛΗΘΟΣ ΡΙΖΩΝ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ αx 2  βx  γ  0 31.Αν η εξίσωση αx 2  2βx  γ  0 έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες ,να δείξετε ότι και η εξίσωση β 2x 2  αγ  x  1  αγ  1 έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες. 2 ΑΠ ( Δ 2  4α 2 γ 2  Δ1 ) 32. Αν η εξίσωση x 2  2βx  γ  0 έχει δύο ίσες ρίζες ,να δείξετε ότι και η εξίσωση x 2  2x  γ  2β  x  1  1  0 έχει δύο ίσες ρίζες και αντίστροφα.   ΑΠ ( Δ 2  Δ1  4 β 2  γ ) 33. Αν η εξίσωση x 2  2  α  β  γ  x   2αβ  2βγ  3αγ   0 δεν έχει πραγματικές ρίζες ,να δείξετε ότι και η εξίσωση x 2  2βx  γα  0 δεν έχει πραγματικές ρίζες.       ΑΠ (ισχύει ότι Δ1  4 α 2  γ 2  4 β 2  αγ  0 και Δ 2  4 β 2  αγ  0 ) 34. Nα αποδείξετε ότι οι παρακάτω εξισώσεις έχουν πραγματικές ρίζες i) x 2  2αx  α 2  β 2  2β  1  0 ii) x 2   2α  β  x α 2αβ  2β 2  0 iii)  α 2  β 2  x 2  2αβ 2 x α 2 β 2  0 με α 2  β 2 35. Nα βρείτε το πλήθος των ριζών των παρακάτω εξισώσεων i) x 2   β  2  x  β  0 ii) αx 2   2α  β  x α  β  0 με α  0 iii)  κ  3 x 2  2  κ  1 x  κ  3  0 με κ  R β   , γ  0 έχει δύο ρίζες άνισες, συμπληρώστε δίπλα από κάθε εξίσωση το πλήθος των ριζών της: i) x 2  β  x  γ  0 iv) γ  x 2  β  x  1  0 36. Αν η εξίσωση x 2  β  x  γ  0 ii) x 2  β  x  γ  0 iii)  γ  x 2  β  x  1  0 v) γ  x 2  β  x  1  0 37. Αν η εξίσωση x 2  2x  α  1 έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες ,να δείξετε ότι και η εξίσωση x 2   2α  1 x  α 2  9  0 είναι αδύνατη. 4 38. Nα αποδείξετε ότι η εξίσωση  α  β  γ  x 2  2  α  β  x   α  β  γ   0 με α  β  γ  0 έχει πραγματικές ρίζες. ΑΠ ( Δ  4γ 2  0 ) 39. Αν α,β, γ είναι πλευρές τριγώνου ,να αποδείξετε ότι η εξίσωση β 2 x 2   β 2  γ 2  α 2  x  γ 2  0 δεν έχει πραγματικές ρίζες. 40.Δίνεται η εξίσωση  λ2  3λ  2  x 2   λ  2  x  3  0 . Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε: α) να έχει μία μόνο ρίζα β) να έχει διπλή ρίζα γ) να είναι αδύνατη. 41. Nα βρείτε τις τιμές του λ  R για τις οποίες η εξίσωση 2λx 2   5λ  2  x   4λ  1  0 έχει δύο ίσες πραγματικές ρίζες. 2 ΑΠ ( λ  2, ) 7 42. Δίνεται η εξίσωση x 2  2x  3-λ  0 .Να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ ώστε: α) να έχει δύο ρίζες άνισες β) να είναι αδύνατη. 43. Nα βρείτε τις τιμές του λ  R για τις οποίες η εξίσωση λx 2   λ  1 x   λ  5   0 έχει διπλή ρίζα.Στη συνέχεια να βρείτε την ρίζα αυτή. 44.Nα βρείτε τις τιμές του λ  R για τις οποίες η εξίσωση  λ  1 x 2  2  λ  2  x  λ  0 είναι αδύνατη. 45.Δίνεται η εξίσωση x 2  2λx  λ2  1  0 . i) Να αποδείξετε ότι για κάθε λ  R η εξίσωση έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες ii) Να βρείτε τις τιμές του λ  R ,ώστε και οι δύο ρίζες της εξίσωσης να ανήκουν στο διάστημα  2, 4  46.Δίνεται η εξίσωση x 2   2λ  1 x  6  3λ  0 . i) Να βρείτε τον λ  R ,ώστε η εξίσωση να έχει ρίζα το 1 ii) Για την μεγαλύτερη τιμή του λ που βρήκατε ,να βρείτε τον κ  R ,ώστε η εξίσωση x 2  λx  κ 2  0 να έχει διπλή πραγματική ρίζα. γ2 α 47.Αν α0 και   γ  0 , να δείξετε ότι η εξίσωση: αx 2  βx  γ  0 , έχει δύο 2α 2 ρίζες πραγματικές και άνισες. 2 2 48.Να δείξετε ότι η εξίσωση:  αx  β    γx  δ  0 (αγ0) , έχει μία διπλή ρίζα όταν αδ=βγ. 49.Για ποιες τιμές των α, β η εξίσωση : x 2   α  β  x  4  0 , έχει μία διπλή ρίζα η οποία επαληθεύει και την εξίσωση: βx 2  3βx  α  0 . 50.Να δείξετε ότι, αν η εξίσωση:  2 α  β  x 2 -4αx  4β  0 , έχει διπλή ρίζα , τότε η   εξίσωση: α 2  β2 x 2  3x  2  α  β   0 , έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. 51.Αν η εξίσωση: αx 2  2βx  γ  0 , (α0) έχει ρίζες πραγματικές , να δείξετε ότι η εξίσωση: αx 2  2βx  γ  κ  αx  β   0 , έχει ρίζες πραγματικές για κάθε κ ε R. 52.Αν η εξίσωση: 4x 2  2  α  β  1 x  α  β  0 , έχει μία διπλή ρίζα , να δείξετε ότι: α  β  1 . 53.Δίνεται η εξίσωση  λ2  3λ  2  x 2  2  λ  2  x  1  0 , λ . i) Για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση είναι δευτέρου βαθμού; ii) Για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση έχει πραγματικές; Ρίζες 54.Δίνεται η εξίσωση λ  x 2  x  5  0 , λ . i) Για ποιες τιμές του λ η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζα το 1; ii) Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει διπλή ρίζα; iii) Να βρεθεί η διπλή ρίζα του παραπάνω ερωτήματος. 2 iv) Αν ρ είναι η διπλή ρίζα, να υπολογίσετε την τιμή του Α  x    x  ρ  , x   , λ   . Να βρεθεί η τιμή του λ   σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις. i) Η εξίσωση να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. ii) Η εξίσωση να έχει ρίζα διπλή. iii) Η εξίσωση να μην έχει πραγματικές ρίζες. 55.Δίνεται η εξίσωση x 2  2λ  x  λ2  λ  1  0 56.Να βρεθεί ο αριθμός λ   ώστε η εξίσωση  λ2  3λ  2  x 2   λ  2   x  3  0 i) Να έχει μόνο μία ρίζα. ii) Να έχει διπλή ρίζα. 57. Αν η εξίσωση λ2  x 2   5λ  2   x  λ  2  0 , λ   έχει ρίζα τον αριθμό -1, να βρείτε το λ και μετά να δείξετε ότι το -1 είναι διπλή ρίζα. 58.Να βρεθούν οι α , β   για να είναι ρίζες της εξίσωσης x 2  α  x  β  0 ίσες με τα α και β. , λ. 59.Δίνεται η εξίσωση λ  x 2  5x  10  0 i) Για ποια τιμή του λ έχει μία μόνο λύση; ii) Για ποια τιμή του λ έχει μία ρίζα διπλή; iii) Να βρεθεί η διπλή ρίζα της εξίσωσης. 60.Να αποδείξετε ότι η εξίσωση 3x 2  2  α  β  γ  x   αβ  βγ  αγ   0 , α , β, γ   έχει μία διπλή ρίζα, αν και μόνο αν α=β=γ. ,μ   . Να βρεθεί η τιμή του μ   σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις. 61. Δίνεται η εξίσωση 2x 2  2x  μ  3  0 i) Η εξίσωση να έχει διαφορετικές ρίζες. ii) Η εξίσωση να έχει μία διπλή ρίζα. 62.Να δείξετε ότι αν η εξίσωση  2α  β  x 2  4α  x  4β  0 , α , β,   0 έχει διπλή ρίζα, τότε η εξίσωση  α 2  β2  x 2  2x  3  α  β   0 έχει δύο ρίζες άνισες. , κ , μ   έχει διπλή ρίζα, να αποδείξετε ότι το ίδιο θα συμβαίνει και για την εξίσωση  μ2  2 μ2  1  κ  2  x  μ 1  κ   x  κ  κ  1  2  0 .   63.Αν η εξίσωση x 2  μ  x  κ  0 64.Αν η εξίσωση x 2  2β  x  2 γ  0 , β , γ   δεν έχει καμία ρίζα, να δείξετε ότι 2 η εξίσωση x  3β  x  5 γ  0 δεν έχει πραγματικές ρίζες. 65. Αν η εξίσωση x 2  2β  x  β2  β  2  0 , β   έχει διακρίνουσα ίση με 4 ,τότε : Α.Να βρείτε τις τιμές του β  R . Β.Για την μικρότερη από τις τιμές του β που βρήκατε ,να λύσετε την παραπάνω εξίσωση. 66.Κάθε μία από τις παρακάτω εξισώσεις x 2   λ  3 x  3  2λ  0 και x 2   λ  1 x  λ  7  0 Α.Να βρείτε τις τιμές του λ  R . Β.Να λύσετε τις παραπάνω εξισώσεις.. 67.Οι παραπάτω εξισώσεις x 2   λ  3 x  4λ  2  0 και x 2  1  2λ  x  3λ  4  0 έχει μια διπλή ρίζα. έχουν την ίδια διακρίνουσα. Α.Να βρείτε τις τιμές του λ  R . Β.Για την μικρότερη από τις τιμές του λ που βρήκατε ,να λύσετε τις δύο εξισώσεις. 68. Δίνεται ότι η εξίσωση λx 2   λ  1 2 x  λ  1  0 , λ   . έχει δύο άνισες πραγματικές ρίζες ,από τις οποίες η μία είναι η x  1 . Α.Να βρεθεί η τιμή του λ   . Β.Να βρεθεί η άλλη ρίζα της εξίσωσης. 69. Δίνεται ότι η εξίσωση 2x 2  2  λ  μ  έχει μια διπλή πραγματική ρίζα. Α.Να βρείτε τους αριθμούς λ ,μ   . Β.Να βρεθεί η διπλή ρίζα της εξίσωσης. 2 x   λ  2 μ  4   2  0 , λ, μ   . 7 3 ΣΧΕΣΕΙΣ VIETTA ΕΥΡΕΣΗ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΟΣ-ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ ΡΙΖΩΝ 1.Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο ριζών των παρακάτω εξισώσεων i) 3x 2  x  2  0 ii) 3x 2  x +4  0 2.Να βρείτε το άθροισμα και το γινόμενο ριζών των παρακάτω εξισώσεων i) 4x 2  4x  1  0 ii) x 2  5x +4  0 2 3.Να προσδιορίσετε τον λ  R ώστε η εξίσωση x 2  2x   λ  2  =0 να έχει ρίζες τις x1 , x 2 με x1  x 2  2  x1  x 2  4.Αν για τις ρίζες της εξίσωσης x 2  2αx  α 2  β 2  γ 2  2βγ  0 ισχύει ότι x1  x 2  x1  x 2  1 , να δείξετε ότι : β  γ  α  1 ΤΙΜΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Π(x1 , x2) 5.Δίνεται η εξίσωση x 2  x  2  0 α) Να δείξετε ότι έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων i) x1  x 2 ii) x1  x 2 iii) x12  x 2 2 iv ) x13x 2  x1x 23 v) x 2 x1  x1 x 2 6.Δίνεται η εξίσωση x 2  3x  2  0 α) Να δείξετε ότι έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων x x 2 2 i) x1  x 2 ii) x1  x 2 iii) 1  2 iv )  2x1  x 2    2x 2  x1  x 2 x1 7.Δίνεται η εξίσωση x 2  4x  3  0 α) Να δείξετε ότι έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. β) Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων 1 1 i) x1  x 2 , x1  x 2 ii) x12x 2  x1x 2 2 iii)  x1  3 x 2  3 iv ) x1  x 2 8.Αν x1 , x2 είναι οι ρίζες της 2x 2  3x  1  0 , να υπολογίσετε τις παραστάσεις: Α=x1+x2 , Β=x1x2 , Γ=x12+x22 , Δ=x13+x23 , Ε=x1+ 1 1  x2  x1 x2 9.Aν x1 , x2 είναι οι ρίζες της αx2+βx+γ=0 (α 0 ) , να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Α  4x1x 2 2  x13  2x1x 2  4x12 x 2  x 23 . 2 10.Aν x1,x2 ρίζες της εξίσωσης x -3x-2=0 να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων : x2 x2 1 1 2 α) 2  2 β)  x1  x 2  γ) 1  2 x 2 x1 x1 x 2 2 11.Αν x1,x2 είναι ρίζες της εξίσωσης x -3x+1=0 να υπολογιστεί η παράσταση : 2x13  3x12 x 2  3x1x 22  2x 32 A= x12  3x1x 2  x 22 2 12.Αν x1, x2 είναι οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης x -3x-2=0 να υπολογιστούν οι τιμές των παραστάσεων : α) x12  x 22 β) 1 1 γ)  3x1  4 3x 2  4 (2x1  x 2 )x1  (2x 2  x1 )x 2 (3x1  4)(3x 2  4) ,β , γ   , γ  0 με ρίζες x1 , x 2 . Χωρίς να υπολογιστούν οι ρίζες να βρεθούν: i) Το S  x1  x 2 και το P  x1  x 2 . 13.Δίνεται η εξίσωση x 2  β  x  γ  0 ii) Οι τιμές των x12  x 2 2 , x13  x 2 3 , x1  x2 x 2  1 x1  1 , x1  x1  3   x 2  x 2  3  ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 14.Δίνεται η εξίσωση: x2-5x+6 , (1) . Γράψτε την εξίσωση που έχει ρίζες: i) αντίθετες ii) αντίστροφες iii) διπλάσιες , από τις ρίζες της (1). 15.Να κατασκευάσετε την εξίσωση ,η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς : i) x1  2 και x 2  3 ii) x  3 διπλή ρίζα 3 2 3 2 , x2  2 2 iii) x1  iv ) x1  2α  3β , x 2  2α  3β 16.Να κατασκευάσετε την εξίσωση ,η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς : ii) x  2 διπλή ρίζα i) x1  2 και x 2  3 2 1 2 1 , x2  2 2 iii) x1  iv ) x1  α  β , x 2  α  β 17.Δίνεται ότι οι αριθμοί x1 , x 2 είναι ρίζες της εξίσωσης x 2  x  2  0 Να κατασκευάσετε την εξίσωση ,η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς : x x i) 2x1 και 2x 2 ii) 1 και 2 iii) 2x1  1 και 2x 2  1 x2 x1 18.Αν x1 , x 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης x 2  5x  7  0 να βρεθεί εξίσωση που να έχει ρίζες τις: i) ρ1  2x1  1 και ρ 2  2x 2  1 ii) ρ1  x1 x2 και ρ 2  x2 x1 iii) ρ1  x1  x 2 και ρ 2  x1  x 2 19.Έστω x1 , x2 ρίζες της 2x2+10x+5=0. Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες ρ1 , ρ2 , όταν : i) ρ1=x12 , ρ2=x22 ii) ρ1=x1+3 , ρ2=x2+3. 20.Να κατασκευασθεί εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες : α) ρ1= 3 5 3 5 20 4 4 , ρ2= β) ρ1=  , ρ2= 52 6 5 2 6 5 3 5 3 5 2 2 21.Αν ρ1 , ρ2 είναι οι ρίζες της x +7x+8=0 και x1 , x2 οι ρίζες της x -3x+2=0 να σχηματισθεί εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες x1 ρ1+ x2 ρ2 και ρ1 x2+x1 ρ2 2 22.Αν x1,x2 οι πραγματικές ρίζες της x +3x+1=0 να κατασκευασθεί εξίσωση 2ου βαθμού με ρίζες : α) ρ1=x1+ 1 1 2 2 , ρ2=x2+ β) ρ1= , ρ2= x2 x1 x1  3 x2  3 23.Δίνεται ότι οι αριθμοί x1 , x 2 είναι ρίζες της εξίσωσης αx 2  βx  γ  0 ,αγ  0 Α.Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων S  x1  x 2 , P=x1  x 2 Β.Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων 2 2 2 2 S   αx1  β    αx 2  β  και P   αx1  β    αx 2  β  Γ.Να γράψετε την εξίσωση ,η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς : 1 1 ρ1  2 2 , ρ 2  2 2 2 α x1  2αβx1  β α x 2  2αβx 2  β 2 24.Δίνεται ότι οι αριθμοί x1 , x 2 είναι ρίζες της εξίσωσης αx 2  βx  γ  0 ,αγ  0 Α.Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων S  x1  x 2 , P=x1  x 2 Β.Να υπολογίσετε τις τιμές των παραστάσεων 3 3 3 3 S   αx1  β    αx 2  β  και P   αx1  β    αx 2  β  Γ.Να γράψετε την εξίσωση ,η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς : 1 1 ρ1  3 3 , ρ2  3 3 2 2 2 3 2 α x1  3α βx1  3αβ x1  β α x 2  3α βx 2 2  3αβ 2 x 2  β3 25.Δίνεται ότι οι αριθμοί x1 , x 2 είναι ρίζες της εξίσωσης x 2  3x  2  0 Να κατασκευάσετε την εξίσωση ,η οποία έχει ρίζες τους αριθμούς : 3 3  x1  3 και  x 2  3 26.Αν ρ1 ,ρ 2 είναι οι ρίζες της α  x 2  β  x  γ  0 ,α ,β , γ   ,α  0 και x1 , x 2 οι ρίζες της εξίσωσης κ  x 2  λ  x  μ  0 , κ , λ ,μ   , κ  0 , να βρεθεί η εξίσωση που θα έχει για ρίζες της τους αριθμούς x1  ρ1  x 2  ρ 2 και x1  ρ 2  x 2  ρ1 . ΕΥΡΕΣΗ ΡΙΖΩΝ Β/ΘΜΙΑΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΧΩΡΙΣ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ 27.Να βρείτε τις ρίζες των παρακάτω εξισώσεων ,με βάση το άθροισμα και το γινόμενο τους i) x 2  5x  6  0 ii) x 2  2x  8  0 iii) x 2  6x  5  0 28.Να βρεθεί το πρόσημο των ριζών των εξισώσεων: i) x2-x-6=0 ii) x2+2x+3=0 iii) x2-4x+3=0, χωρίς να λυθούν οι εξισώσεις. 29.Να βρείτε δύο αριθμούς x, y ώστε: i) x  y  6 και x  y  5 ii) x  y  4 και x  y  5 30.Να βρείτε δύο αριθμούς x, y ώστε: i) x  y  5 2 και x  y  12 ii) x 3  y 3  6 και x  y  2 31.΄Ένα ορθογώνιο παρ.μμο έχει εμβσδό 16cm2 και περίμετρο 20 cm . Να βρείτε τις διαστάσεις του. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ 32.Να βρεθούν οι τιμές του λ   για τις οποίες η x 2  2  x   λ  2   0 έχει: i) Δύο ρίζες ετερόσημες. ii) Δύο ρίζες θετικές και άνισες. iii) Δύο ρίζες αρνητικές. iv ) Δύο ρίζες αντίστροφες. 33.Να βρεθούν οι τιμές του α   για τις οποίες η αx 2  2α  x  α  3  0 έχει: i) Δύο ρίζες ετερόσημες. ii) Δύο ρίζες θετικές . iii) Δύο ρίζες αρνητικές και άνισες. iv ) Δύο ρίζες αντίθετες. 34.Αν οι ρίζες της εξίσωσης : x 2   5λ  6μ  x  1  0 είναι αντίθετες και οι ρίζες της εξίσωσης: λx 2  13x  λμ  λ2  0 , (λ 0) είναι αντίστροφεςτότε : i) να βρεθούν οι τιμές των λ , μ ε R ii) να λυθούν οι εξισώσεις για τις τιμές των λ , μ , που βρήκατε. 35.Δίνεται η εξίσωση: (μ-1)x2-2μx+μ+1=0 , (μ1) με ρίζες x1 , x2 ε R . Για ποια τιμή του μ η εξίσωση: i) έχει ρίζες αντίθετες iι) έχει ρίζες αντίστροφες. 36.Δίνεται η εξίσωση :  λ  2  x 2   λ2  3λ  2  x  λ2  λ  6  0 . Για ποιες τιμές του λ έχει ρίζες α) αντίθετες β) αντίστροφες 37.Αν Δ είναι η διακρίνουσα της εξίσωσης x 2   2 Δ  6  x  3  0 ,τότε: Να δείξετε ότι η εξίσωση έχει 2 άνισες πραγματικές ρίζες ,οι οποίες μάλιστα είναι θετικές. 38.Δίνεται η εξίσωση λ  x 2   λ  1  x  2λ  2  0 ,λ  . i) Να βρείτε τις τιμές του λ   ώστε να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. ii) Αν λ  0, 25 και x1 , x 2 οι δύο ρίζες της εξίσωσης, να βρείτε την τιμή της παράστασης Α  39.Έστω η εξίσωση 6 x1  6 x2  x 1 2  x 2  x1  x 2 2 . α  x2    α β x β  0 , α ,β   , α  0 . i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει δύο ρίζες για οποιεσδήποτε τιμές των α ,β   . ii) Αν x1 , x 2 οι δύο ρίζες της εξίσωσης, να αποδείξετε ότι θα ισχύει x1  x 2  x1  x 2   1 . iii) Αν μία ρίζα της εξίσωσης είναι ο αριθμός  α με α  1 , δείξετε ότι α=β. 40.Έστω η εξίσωση x 2   λ  1 x  λ  0 i) Για ποιες τιμές του λ   η εξίσωση έχει ρίζες άνισες; ii) Να βρεθεί ο λ   ώστε οι ρίζες της να είναι αντίθετες. iii) Να λυθεί η ανίσωση d  x , λ   5  λ , όταν η εξίσωση έχει μία διπλή ρίζα. 41.Αν x1 , x 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης x 2  2x  λ  1  0 , λ   , να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός λ, έτσι ώστε 3x12  8x1  x 2 2  8x12  x 2  3x 2 2  192 . 42.Αν x1 , x2 οι ρίζες της x2-3x+λ=0, να βρεθεί ο λ ε R ώστε οι ρίζες να επαληθεύουν την παράσταση: 5x13 x 2  4x1x 2 2  4x12 x 2  5x1x 23  2λ  3. 43.Αν για τους αριθμούς α, β, γ ισχύει γ  α  β  γ   0 , α  0 να αποδείξετε ότι: i) Η εξίσωση α  x 2  β  x  γ  0 δεν μπορεί να έχει ρίζες τους αριθμούς 0 και 1. ii) Η εξίσωση α  x 2  β  x  γ  0 έχει δύο ρίζες άνισες. iii) Αν x1 , x 2 οι ρίζες της εξίσωσης να δείξετε ότι:  x1  x 2   1  x1   1  x 2   0 . 44.Αν x1 , x 2 είναι οι ρίζες της α  x 2  β  x  γ  0 ,α ,β , γ   ,α  0 και ρ1 ,ρ 2 οι 2 2 ρίζες της εξίσωσης x1  x  x 2   x 2  x  x1   0 , να αποδειχθεί ότι αν οι x1 , x 2 είναι ετερόσημες, τότε και οι ρ1 ,ρ 2 θα είναι ετερόσημες. 45.Αν x1 , x2 oι ρίζες της εξίσωσης : (x  1) 2  λ(2x  3)  0 , να δείξετε ότι η παράσταση : Α  (x1  4)(x 2  4) είναι ανεξάρτητη του λ . 46.Δίνονται οι εξισώσεις x 2  4αx  20  0 (1) και x 2  2x  α  1  0 (2). Να βρείτε τα αR αν γνωρίζουμε ότι η μία ρίζα της (1) είναι ίση με το άθροισμα των τετραγώνων των ριζών της (2) 2 2 47.Δίνονται οι εξισώσεις x -2x-λ=0 (1) και x +λx+1=0 (2) και οι ρίζες τους x1,x2 και ρ1,ρ2 αντίστοιχα. Να προσδιορισθεί ο λ έτσι ώστε η μία ρίζα της πρώτης να είναι ίση με το τετράγωνο της διαφοράς των ριζών της δεύτερης 2 48.Δίνεται η εξίσωση x +2λx-3=0, λR. i) Αν οι ρίζες x1 ,x2 της εξίσωσης ικανοποιούν την σχέση x1(x1+2x2)=4-x 22 να βρεθεί το λΝ ii) Για τις τιμές του λ που θα βρείτε να λύσετε την ανίσωση x  λ  x1x 2  x12  x 2 2 49.Αν ρ1 , ρ2 ρίζες της εξίσωσης x 2  2x  λ  0 να προσδιοριστεί ο λR ώστε ο λόγος των ριζών να είναι 2. 50.Αν ρ1 , ρ2 ρίζες της εξίσωσης 2x 2   λ  1 x  λ  3  0 να προσδιοριστεί ο λR ώστε ρ1  ρ 2  1 51.Αν x1 , x2 ρίζες της x 2  3x  λ  0 να υπολογιστεί η τιμή του λ ώστε : 5x13 x 2  4x1x 2  4x1x 2 2  5x1 x 23  2λ  3 2 52.Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση 2x +(2λ-3)x+2-λ=0 έχει ρίζες πραγματικές που ικανοποιούν την σχέση : 0<ρ1+ρ2+ρ1 ρ2<2 2 53.Αν x1, x2 ρίζες της εξίσωσης  x  1  α  2x  3 , δείξτε ότι η παράσταση 3 3 (x1  )(x 2  ) είναι ανεξάρτητη του α χωρίς να λύσετε την εξίσωση. 2 2 54.Έστω η εξίσωση 2  x 2  4x  1  0 και ρ1 ,ρ 2 οι ρίζες της. Να βρεθούν οι τιμές των παρακάτω παραστάσεων: i) ρ  ρ 2 3 1 3 , ρ12 ρ2  ρ2 2 ρ1 , ρ13  ρ 2  ρ1  ρ 2 3  1 ρ12  2ρ1  ρ 2  ρ 2 2 , ρ1  ρ 2 ii) ρ1  ρ 2 iii) Να σχηματίσετε εξίσωση β’ βαθμού με ρίζες τις x1 , x 2 των παραστάσεων του ερωτήματος ii) και μετά να υπολογίσετε το x12  x 2 2 . 55.Δίνεται η εξίσωση x 2  β  x  γ  0 ,γ  0. i) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ρίζες άνισες. ii) Αν x1 , x 2 οι δύο ρίζες της εξίσωσης, να γράψετε συναρτήσει των αριθμών β, γ τις παραστάσεις x1  x 2 , x1  x 2 , x12  x 2 2 . iii) Οι ρίζες της εξίσωσης είναι ομόσημοι ή ετερόσημοι αριθμοί; iv ) Να αποδείξετε ότι d  x1 , x 2   Δ , όπου Δ η διακρίνουσα της εξίσωσης. 2 56.Δίνεται η εξίσωση x 2  2  λ  1 x   λ  1  8  0 . Να βρείτε τις τιμές του λ  R η εξίσωση έχει δύο ρίζες τέτοιες ώστε το άθροισμα τους να ισούται με το γινόμενο τους. 57.Δίνονται οι εξισώσεις x 2  5x  2α  0 και x 2  7x  4α  0 .Να βρείτε τον α  R ,ώστε μια ρίζα της δεύτερης εξίσωσης να είναι διπλάσια από μια ρίζα της πρώτης.  AΠ : α  12  8 4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΕΣ ΔΙΤΕΤΡΑΓΩΝΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 1. Να λυθούν οι εξισώσεις i) x 4  10x 2  9  0 ii) x 4  6x 2  9  0 iii) x 4  8x 2  9  0 iv ) x 4  13x 2  36  0 2. Να λυθούν οι εξισώσεις i) x 4  x 2  4  0 ii) x 4  4x 2  3  0 iii) x 4  4x 2  4  0 iv ) x 4  13x 2  36  0 3. Δίνεται η εξίσωση x4 + (λ– 4)x2 + (λ + 1) = 0 , λ ακέραιος αριθμός . Να βρείτε τον λ ώστε η παραπάνω εξίσωση να έχει τέσσερις διαφορετικές πραγματικές ρίζες ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΙΔΙΑΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ 2 4. Να λύσετε την εξίσωση  2x  3  3 2x  3  4  0 2 5. Να λύσετε την εξίσωση  x  3  3  3  x   10 6. Να λύσετε την εξίσωση  x 2  3x   3  x 2  3x   2  0 2 7. Να λύσετε την εξίσωση  2x 2  3x  1  5  2x 2  3x  3  24  0 2 2 2 2 8. Να λύσετε την εξίσωση  x   – 3  x   + 2 = 0 x x   2 2 2 9. Να λύσετε την εξίσωση  x   – 5  x   + 6 = 0 x x   2 6 6 10. Να λύσετε την εξίσωση  x    7  x    6  0 x x   2 1 1  11. Να λύσετε την εξίσωση  2     10 x x  x x  2 13 12. Να λύσετε την εξίσωση + = x2 x 6 13. Να λύσετε την εξίσωση x 6 - 9 x3 + 8 = 0 8 4 14. Να λύσετε την εξίσωση  x  2   15  x  2   16  0 6 x 15. Να λύσετε την εξίσωση (x  ) 2  4x  24 5 x 16. Να λυθούν οι εξισώσεις i) x 2  1 1  3(x  )  0 2 x x ii) x 2  4 2  5(x  )  10  0 2 x x ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ αΦ 2  x   β Φ  x   γ  0 17. Να λυθούν οι εξισώσεις i) x 2  x  4  0 iii) x 2  5 x  4  0 ii) x 2  4 x  4  0 iv ) x 2  x  2  0 18. Να λυθούν οι εξισώσεις i) x 2  x  3  0 ii) x 2  4 x  3  0 iv )  3 x  1  1 2  5 x  1  8x 2  16x  11 iii)  2 x  1  5 x  3x 2  3 2 19. Να λυθούν οι εξισώσεις i) x 2  2 2x  3  0 ii) 1  x   3 x  1  2  0 2 20. Να λυθούν οι εξισώσεις i) 9 x   3  x  x  3 ii)  x  2   x  x  4   7 x  1 2 21. Να λυθούν οι εξισώσεις i) 10 x  2   3  x  x  3 ii)  x  1   x  1  x  8 2 2 2 22. Να λύσετε την εξίσωση  2x  1  4 2x  1  3  0 2 23. Να λύσετε την εξίσωση  2x  3  3 2x  1  2x  6 24. Να λύσετε την εξίσωση x 2  1  4 x  1  2x  3 25. Να λύσετε την εξίσωση x 2  4x  3 x  2  6  0 26. Να λύσετε την εξίσωση x 2  6x  2 6  2x  2 x  3  14  0 27. Να λύσετε την εξίσωση x 2  x  3  2x  13 2 28. Να λύσετε την εξίσωση  x  3  4 x  3  5 29. Αν η εξίσωση  2x  3   3  2 2 έχει ρίζα τον αριθμό 2, να υπολογιστεί ο λ. 30. Να λυθούν οι εξισώσεις i) x 2  2 x  2  4  0 ii)  X  3  2 x  1  4  0 2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΡΙΖΙΚΑ 31. Να λύσετε την εξίσωση x 2  3  x  1 32. Να λύσετε την εξίσωση x 2  3x  2  x  1 33. Να λύσετε την εξίσωση x 4  4x 2  5x  10  1  x 2 34. Να λυθούν οι εξισώσεις i) x  3  4 x iii) x  2013  x ii) x  4  4 x iv ) x  5  6 x  4 35. Να λυθούν οι εξισώσεις i) x  2  4 x  1 ii) x  4  4 x  3 iv ) x 2  2  4 x 2  1 iii) x 2  1  4 x 2  2 36. Να λυθούν οι εξισώσεις x 2  6x  9  15 i) iii) x 2  3 x  1  1  0 ii) x 2  2x  1  3 x  2  x 2  2  x 37. Να λυθούν οι εξισώσεις i) x  x  1  7 ii) x  1  x  7 38. Να λυθούν οι εξισώσεις 9x 2  6x  1  x  1 i) ii) x 2  4x  4  2x  1 iii) iv ) x 2  6x  9  x  2 x 2  6x  9  4x 2  24x  36  3x  6 39. Να λυθούν οι εξισώσεις x 2  4x  4  x 2  2x  1 i) ii) x 2  6x  9  x 2  4x  4 iii) iv ) 4x 2  4x  1  x 2  6x  9 4x 2  4x  1  x 2  6x  9  4x 2  24x  36 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 2x  3 x 2  2 40. Να λύσετε την εξίσωση + - 2 =0 x x2 x  2x 2x x5 4   2 41. Να λύσετε την εξίσωση 3  x  2  2  x  1 x  x  2 42. Να λύσετε την εξίσωση 4x  2 x  9 7 7  x  13    2 x 3 x 3 2 x 9 x2  1 x 19x  2  43. Να λύσετε την εξίσωση x x  1 12 44. Να λύσετε την εξίσωση 45. Να λύσετε την εξίσωση x x2  2  x2  2 2x x2  x  1 2 10 x2   9  x  12 x 2  3x  2 2 3x 2  1  2  46. Να λύσετε την εξίσωση 2 x x x 1 47. Να λύσετε την εξίσωση x 1 5  2  x  2 x  2x x 48. Να λύσετε την εξίσωση 6 3  1 x  2x x  2 49. Να λύσετε την εξίσωση 2x 4 11  2  x 1 x 1 x  1 50. Να λύσετε την εξίσωση 2 1 1 1 x  4 x 1 x  5 4 ΕΙΔΙΚΕΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ - ΣΥΝΘΕΤΑ ΘΕΜΑΤΑ 4 51. Να λύσετε την εξίσωση  x  1  16x  4  0 52. Να λύσετε την εξίσωση x  x  2   x 2  2x  1  42 53. Να λύσετε την εξίσωση  x  2  x  3 x  4  x  5  2 54. Να λυθούν οι εξισώσεις i) x  1   x 2  3x  2   0 2 ii) x  1  x 2  x   x 2  4x  3  0 2 55. Να λυθούν οι εξισώσεις i) x 2  2x  x 2  3x  2  0 ii) x 2  3 x  2  x 2  4 x  3  0 56. Να λυθούν οι εξισώσεις i) 2x  1  1  x 2  4x  3  x 4  10x 2  9  0 ii) x  1   x 2  1 2014 0 57. Να λυθούν οι εξισώσεις 1 1 x  4 2 x x 1 1 ii) x 2  2  x   4 x x 58. Να λυθούν οι εξισώσεις i) x 2  3x  2 x 2  3x  0 i) x 2   ii)  x 2   3x  2  x 2   3x   8 59. i) Για τους μη μηδενικούς πραγματικούς αριθμους ,  ισχύει ότι : 1 1   0.   Να δείξετε ότι οι αριθμοί  ,  είναι ίσοι ή αντίστροφοι . ii) Να λύσετε την εξίσωση   x 2  6x  8 x 2  6x  8 x 2  4x  3 x 2  4x  3    x 2  6x  8 x 2  6x  8 x 2  4x  3 x 2  4x  3 44 45