4. IL MOTO DEI SATELLITI 11 LA GRAVITAZIONE LA DEDUZIONE DELLE LEGGI DI KEPLERO Le tre leggi di Keplero sono state ricavate come leggi sperimentali, ma sono ora comprese come una conseguenza dei princìpi della dinamica e della legge di gravitazione universale. La prima legge di Keplero Consideriamo un pianeta su cui agisce la forza di gravitazione universale esercitata da un corpo celeste molto più massivo. Partendo da Fv ϭ m a si dimostra matematicamente che, in questa condizione, valgono due proprietà: 1. la traiettoria descritta dal pianeta può essere soltanto un’ellisse, una parabola o un’iperbole; 2. le traiettorie chiuse, lungo cui il pianeta orbita attorno alla stella, hanno soltanto la forma di ellisse (o di circonferenze come caso particolare). La prima legge di Keplero è quindi spiegata dalle proprietà matematiche della legge di gravitazione universale, in particolare dal fatto che questa forza decresce con il quadrato della distanza. La seconda legge di Keplero Si può anche dimostrare che la seconda legge di Keplero è una conseguenza della conservazione del momento angolare. vA rP P rA A vP Per esempio, consideriamo la Terra quando si trova nel punto di perielio P (cioè alla minima distanza dal Sole) e nel punto di afelio A (cioè alla massima distanza dal Sole). Come si vede dalla figura 1, in questi due punti il vettore velocità è perpendicolare al raggio vettore, per cui il modulo del momento angolare è dato dalla formula L ϭ MT rv. Momento angolare Stiamo parlando del momento angolare della Terra (pensata come punto materiale) calcolato rispetto al centro del Sole. MT è la massa della Terra: MT ϭ 5,98 ϫ 10 24 kg. Per il momento angolare vedi l'approfondimento web «Il momento angolare e il momento dínerzia». Figura 1 Vettori velocità di un pianeta al perielio e all’afelio. (1) Gli astronomi hanno misurato i seguenti valori: 1 Copyright © 2012 Zanichelli editore S.p.A. , Bologna [5913der] Questo file è un’estensione online del corso Amaldi, Le traiettorie della fisica.azzurro © Zanichelli 2012 4. IL MOTO DEI SATELLITI 11 LA GRAVITAZIONE Dati astronomici Afelio Perielio Distanza dal Sole rA ϭ 1,52 ϫ 10 m rP ϭ 1,47 ϫ 1011 m Velocità vA ϭ 2,93 ϫ 104 m/s vP ϭ 3,03 ϫ 104 m/s 11 Da questi possiamo calcolare, usando la formula (1), il valore del momento angolare LA all’afelio e di quello LP al perielio: L A = M T rA v A = ^5,98 # 10 24 kgh # ^1,52 # 10 11 m h # ^2,93 # 10 4 m/sh = = 2,66 # 10 40 J # s. L P = M T rP v P = ^ 5,98 # 10 24 kg h # ^ 1,47 # 10 11 m h # ^ 3,03 # 10 4 m/s h = = 2,66 # 10 40 J # s. Come si vede, i due valori del momento angolare sono uguali. Quindi, come previsto dalla seconda legge di Keplero, all’afelio la Terra è più lenta e al perielio è più veloce; questo cambiamento di velocità è proprio quello che permette di conservare il momento angolare. La terza legge di Keplero Periodo T Nel moto circolare uniforme vale la relazione v= Il simbolo T indica il periodo del satellite che orbita attorno al pianeta o del pianeta che orbita attorno a una stella. 2␲ R . T Sostituendo questa formula nell’espressione (6) del capitolo «La gravitazione», otteniamo la relazione: G M 4␲ 2 R 2 , = R T2 che possiamo riscrivere come: R 3 GM = . T 2 4␲ 2 (2) Al membro di destra di questa uguaglianza compaiono soltanto quantità costanti: G è una costante fisica universale, la massa M non varia nel tempo e 4␲2 è una coR3 stante matematica. Quindi il rapporto 2 è costante e la terza legge di Keplero è T verificata: le proprietà della legge di gravitazione universale spiegano la terza legge di Keplero. Si dimostra che questa affermazione è vera nel caso generale delle orbite ellittiche, e non soltanto nel caso semplice di orbita circolare in cui abbiamo potuto verificarla. 2 Copyright © 2012 Zanichelli editore S.p.A. , Bologna [5913der] Questo file è un’estensione online del corso Amaldi, Le traiettorie della fisica.azzurro © Zanichelli 2012 4. IL MOTO DEI SATELLITI 11 LA GRAVITAZIONE ESERCIZI DOMANDE SUI CONCETTI 1 La distanza tra Marte e il Sole nel punto di afelio e nel punto di perielio è rispettivamente di 2,46 ϫ 1011 m e 2,05 ϫ 1011 m. ᭤ Calcola il rapporto tra le velocità del pianeta nei punti di afelio e di perielio. ᭤ Quando la velocità è maggiore? Perché? [0,83] 2 PROBLEMA SVOLTO h ᭤ Calcola l’altezza, rispetto alla superficie terrestre, dell’orbita di un satellite geostazionario. Grandezze Dati Incognite 24 M = 5,98 × 10 kg RT = 6,38 × 106 m h=? Simboli Valori R RT Commenti Massa della Terra M 5,98 ϫ 1024 kg Raggio terrestre RT 6,38 ϫ 106 m Altezza del satellite geostazionario rispetto al suolo h ? Strategia e soluzione • Prima di tutto occorre esprimere in secondi il periodo T del satellite stazionario, che è uguale a 24 h. Otteniamo: min s 4 T = ^24 hh # c 60 k = 8,64 # 10 s. m # a 60 h min • Isoliamo R3 nella formula (2), che si può riscrivere come: GM 2 R3 = T . 4␲ 2 • Dalla formula precedente possiamo ricavare la distanza R tra il satellite geostazionario e il centro della Terra: R=3 G 2 5,98 # 10 24 kg # ^8,64 # 10 4 sh2 MT 2 3 -11 Nm 6 67 10 , = # # = 4,22 # 10 7 m. 39,48 kg 2 4␲ 2 • Infine, l’altezza h cercata è la differenza tra il valore di R e il raggio terrestre: h ϭ R Ϫ RT ϭ (42,2 ϫ 106 Ϫ 6,38 ϫ 106) m ϭ 35,8 ϫ 106 m. Discussione Nella teoria abbiamo affermato che i satelliti geostazionari orbitano a 35 800 km sopra la superficie terrestre. Il calcolo che abbiamo svolto conferma questo dato. 3 Copyright © 2012 Zanichelli editore S.p.A. , Bologna [5913der] Questo file è un’estensione online del corso Amaldi, Le traiettorie della fisica.azzurro © Zanichelli 2012 4. IL MOTO DEI SATELLITI 3 La velocità di Marte all’afelio è 21 972 m/s, mentre al perielio è 26 449 m/s. Consulta la tabella in fondo al libro per conoscere la massa di Marte e usa i dati dell’esercizio 1. 4 ᭤ Verifica la conservazione del momento angolare di Marte calcolato rispetto al centro del Sole, da cui si può ricavare la seconda legge di Keplero. 11 Con buona approssimazione l’orbita ellittica descritta dalla Terra intorno al Sole si può trattare come se fosse una circonferenza di raggio 1,49 ϫ 1011 m. La Terra impiega 365,26 d per completare un’orbita intorno al Sole. ᭤ Con questi dati, calcola la massa del Sole. [1,97 ϫ 1030 kg] 4 Copyright © 2012 Zanichelli editore S.p.A. , Bologna [5913der] Questo file è un’estensione online del corso Amaldi, Le traiettorie della fisica.azzurro © Zanichelli 2012 LA GRAVITAZIONE