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Allegato 1 Puglia - Servizio Civile Nazionale

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Corso di Laurea a ciclo Unico in Ingegneria Edile-Architettura
Geotecnica e Laboratorio
Teoria della consolidazione monodimensionale
Prof. Ing. Marco Favaretti
e-mail: [email protected]
website: www.marcofavaretti.net
1
Che cos’é la consolidazione?
Quando un’argilla satura è soggetta ad un carico esterno
p.c.
cedimento
Argilla satura
L’acqua viene espulsa dallo strato
argilloso. La durata del fenomeno
dipende dalla permeabilità del
terreno e dallo spessore dello strato.
Il fenomeno può durare da pochi
giorni a molti anni.
tempo
2
cedimento
Consolidazione nei terreni granulari
tempo
A causa della elevata permeabilità delle terre granulari (ghiaie e sabbie) la
dissipazione dell’eccesso di pressione neutrale causata dal carico esterno
avviene pressoché istantaneamente.
Anche il cedimento dello strato granulare avviene immediatamente dopo
l’applicazione del carico.
3
Durante la consolidazione …
A causa del carico q (uniforme e infinitamente esteso), applicato sul piano
campagna, le tensioni totali, neutrali ed efficaci su un generico punto A variano nel
tempo.
q (kPa)
u
p.c.
A
u
’
Argilla satura
’
’
q
u
Immediatamente dopo l’applicazione del carico esterno q, la pressione neutra u
aumenta di un valore pari a q. La tensione efficace ’ inizialmente non varia. Nel
corso del processo di consolidazione si assiste ad un graduale trasferimento del
carico esterno q dalla fase liquida (u) alla fase solida ( ’). Al termine della
consolidazione l’eccesso di pressione neutrale u sarà completamente annullato.4
Consolidazione monodimensionale
Il drenaggio dell’acqua e le deformazioni si sviluppano esclusivamente lungo la
direzione verticale.
Non sono considerati fenomeni di filtrazione e di deformazione in orizzontale.
q (kPa)
p.c.
Acqua espulsa
Argilla satura
La semplificazione è
accettabile quanto più
il carico è esteso
rispetto allo spessore H
dello strato argilloso
5
Consolidazione monodimensionale
e
eo
H
H0
e
1 e0
1
Tempo = 0+
Tempo =
q kPa
p.c.
H
q kPa
p.c.
Ho
Argilla satura
e = eo
tempo = 0+
Argilla satura
e = eo - e
tempo =
6
Teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi
carico
valvola
pistone
t = 0+
t=
acqua
dei pori
tempo
molle
acqua
solido
acqua
solido
7
Teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi
Carico uniforme
Piano di falda
sabbia
argilla
sabbia
8
Teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi
Portata uscente
Portata entrante
9
Teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi
Equazione generale di un problema di flusso confinato e monodirezionale.
Portata entrante dalla faccia inferiore dell’elemento di dimensioni dx dy dz
qz
k i dy dx
k
h
dy dx
z
Portata uscente dalla faccia superiore dell’elemento di dimensioni dx dy dz
qz
dq z
k
h
dy dz k
z
2
h
z
2
dz dy dx
k
h
z
2
h
z
2
2
Differenza di flusso attraverso l’elemento:
dq z
k
h
dz
dx dx
dx
dy
dz
z2
10
Teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi
Il volume di acqua nell’elemento è pari a:
Vw
S n Vtot
S e
dx dy dz
1 e
Vw
t
La variazione del volume
dell’acqua Vw nell’intervallo di
tempo dt è pari a:
Se il volume occupato dai
grani di terreno (costante nel
tempo) è pari a:
E scrivendo una relazione
di continuità si ottiene:
Vs
2
h
z
2
k
S e
dx dy dz
t 1 e
dx dy dz
1 e
dx dy dz
costante
dx dy dz
1 e
t
S e
11
Teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi
2
k
z
h
1
2
1 e
e
Se entrambi l’indice dei vuoti “e” ed il grado di
saturazione “S” sono costanti nel tempo,
l’equazione è quella di un flusso stazionario
unidirezionale e diventa:
S
S
t
2
k
z
h
2
e
t
0
Se “S” è costante nel tempo mentre “e” varia, il problema
diventa quello di un flusso transitorio (consolidazione).
12
Teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi
IPOTESI
• Terreno omogeneo e completamente saturo
• Flusso di acqua e deformazione solo in direzione z
• Particelle di acqua e di terreno incompressibili
• Validità della Legge di Darcy
• Assenza di deformazioni di tipo viscoso
• Coefficiente di permeabilità costante nell’ambito dell’intervallo di tensioni considerato
• Compressibilità del terreno costante nell’ambito dell’intervallo di tensioni considerato e
definita tramite la relazione seguente:
V
V0
2
k
H
H0
h
z2
1
1 e
mv
e
e
1 e0
'
z
S
S
t
e
t
2
h
z
2
k
1
1 e0
mv
e
t
'
z
'
z
mv
t
13
Teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi
h
u
z
cv
w
Se
'
u
z
2
u
t
t
è costante nel tempo
u
k
2
w
z2
cv
2
u
mv
k
w mv
t
u
t
2
cv
z
u
2
u
t
1
La [1] vale anche per gli incrementi di
stato tensionale
’ e u indotti dal carico
applicato. Nel seguito si indicano con , ’
ed u gli incrementi di stato tensionale.
14
Teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi
t = 0+
q
t=0
v,
’v
z
H
dz
’H
wH
satH
15
Teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi
t=0
u/
w
t>0
q
u + ’v =
u0 =
z
v
u
v
’v
dz
16
Teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi
t=0
u0/
w
q
v
u0 =
z
v
dz
t>0
u/
w
q
u + ’v =
v
z
u
v
’v
dz
17
Teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi
t=∞
q
’v =
u=0
z
v
’v
dz
18
Teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi
Nel caso di isocrona iniziale rettangolare e con drenaggio alla base e in sommità,
esiste una soluzione analitica (estendibile al caso di drenaggio solo in sommità).
Ponendo Z = z/H (con Z e z misurate dalla
sommità dello strato) e T = cv t/H2, ossia
adimensionalizzando le variabili spaziale
e temporale, l’equazione della consolidazione diviene:
con soluzione
(Taylor, 1948):
u Z, T
dove:
M
2
u
T
2
u
Z
2
2 u0
M2 T
sen M Z e
m 0 M
2
2 m 1
19
Teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi
Il progresso della consolidazione può
essere mostrato plottando una serie di
curve “u vs. z” per differenti valori di t.
Queste curve sono chiamate ISOCRONE.
La loro forma dipenderà dalla distribuzione iniziale dell’eccesso di pressione
neutrale e dalle condizioni di drenaggio
al contorno dello strato argilloso.
Uno strato che possa drenare da ambo i
lati (superiore e inferiore) viene detto
“strato aperto” (o a doppio drenaggio),
mentre qualora lo strato possa drenare
da un solo lato esso viene detto “strato
mezzo chiuso” (o a singolo drenaggio).
H
strato impermeabile
2H
strato drenante
20
Teoria della consolidazione
Esempi di isocrone sono riportate nella
figura a fianco.
(a) Distribuzione iniziale di u0
costante; per strato aperto di spessore
2H l’isocrona è simmetrica rispetto alla
linea mediana. La parte superiore
dell’isocrona rappresenta il caso di
strato mezzo chiuso di spessore H. La
pendenza dell’isocrona a qualsiasi
profondità fornisce il gradiente
idraulico in quel punto e la direzione
del flusso dell’acqua.
(b) e (c) distribuzione iniziale di u0
triangolare nei casi di strato aperto e
mezzo chiuso.
(c) il lato inferiore è impermeabile; per
un certo intervallo di tempo si manifesta un fenomeno di rigonfiamento
nella parte inferiore dello strato.
21
Teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi
u Z, T
Uv t
2 u0
M2 T
sen M Z e
m 0 M
u0 u t
u0
ut
1
u0
2
M
2
2 m 1
m = 0, 1, 2, ...
3
Il GRADO DI CONSOLIDAZIONE Uv alla profondità z ed al tempo t può essere ottenuto
sostituendo il valore di u (eq.2) nella eq.3:
2
Uv 1
m 0M
M z
sen
H
e
M2 T
22
Teoria della consolidazione
Durante la consolidazione l’incremento di
tensione verticale efficace è in valore
assoluto uguale alla diminuzione della
pressione neutrale dell’acqua.
'
1
'
0
u0
' u
Grado di consolidazione U
Uv t
u0 u t
u0
ut
1
u0
In fase di consolidazione
3
23
Teoria della consolidazione monodimensionale di Terzaghi
Uv
1
m
2
Mz
sen
H
0M
e
M2 T
Questa soluzione di U è riportata in forma grafica in figura in funzione dei parametri
adimensionale Z e T. Le curve sono dette isocrone.
Subito dopo l’applicazione del carico
esterno il gradiente idraulico è:
1) elevato alle estremità dello strato
2) pressoché nullo nella parte interna
dello strato
3) sempre nullo a metà strato, con
assenza di flusso attraverso il piano
mediano.
24
25
Teoria della consolidazione
Il GRADO DI CONSOLIDAZIONE alla profondità z ed al tempo t può essere espresso in
termini di indice dei vuoti (e0, e1, e rispettivamente indice dei vuoti iniziale, finale e
intermedio):
Uv
e0 e
e0 e1
oppure in termini di tensione efficace, qualora le relazione “e vs. ” sia lineare nello
intervallo di tensioni considerato, ( ’0, ’1 e ’ rispettivamente tensione efficace iniziale,
finale e intermedia):
' '0
Uv
'
'
1
0
26
Teoria della consolidazione
E’ di interesse la diminuzione di spessore totale sct in ogni fase del processo di
consolidazione.
Tale diminuzione può essere determinata sommando le deformazioni verticali alle varie
profondità.
Può essere opportuno e conveniente conoscere come varia nel tempo il rapporto tra sct e il
cedimento totale sc alla fine della consolidazione.
Tale rapporto, definito GRADO DI CONSOLIDAZIONE MEDIO, può essere così espresso:
Um 1
2
m 0M
2
e
M2 T
4
Il significato geometrico di Um è indicato nella figura a
fianco. L’area ABCE = diminuzione di u nel tempo –
L’area ABCD = pressione iniziale.
Um = ABCE/ABCD
27
Teoria della consolidazione
La funzione Um = f(Tv) per strato aperto (doppio drenaggio) è graficata come curva (a). Le
curve b e c si riferiscono rispettivamente a strato di notevole spessore con drenaggio solo
superiore e a strato aperto che consolida sotto l’azione del peso proprio.
28
Teoria della consolidazione
La funzione Um = f(Tv) per strato aperto (doppio drenaggio) è riportata in tabella per alcuni
gradi di consolidazione medi.
Um (%)
Tv
10
0.008
20
0.031
30
0.071
40
0.126
50
0.197
60
0.287
70
0.403
80
0.567
90
0.848
100
29
Teoria della consolidazione
L’equazione (4) può essere rappresentata quasi esattamente attraverso le due seguenti
equazioni empiriche:
Tv
Tv
4
U 2v
1.781 0.933 log 1 U v
Uv
0.53
Uv
0.53
Se la distribuzione delle u0 è non costante con la profondità, il grado di consolidazione
medio è dato da (per strato mezzo chiuso integrare tra 0 e H):
2H
u dz
Uv
1
0
2H
u 0 dz
0
Area posta al
disotto dell’isocrona
al generico tempo t
Area posta al
disotto dell’isocrona
iniziale
30
Teoria della consolidazione
La variazione iniziale di u in eccesso
in uno strato argilloso viene
generalmente considerata lineare.
(i)
Prova edometrica
Variazione livello falda
(innalzamento + abbassamento -)
(ii)
Consolidazione vergine
(iii)
Carico applicato in superficie
31
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