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04 Esercizi sui gruppi spaziali

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ESERCIZI SUI
GRUPPI SPAZIALI
Vediamo come è possibile rappresentare graficamente la simmetria completa di un gruppo spaziale facendo uso
delle convenzioni internazionali stabilite nelle International Tables for X-Ray Crystallography.
Il diagramma del gruppo spaziale è una proiezione della faccia C della cella elementare. Gli assi a e b sono
nella pagina (b orizzontale diretto verso destra, a verticale diretto verso il basso. La direzione di c va dalla
b
pagina all’osservatore.
a
g
L’origine della scelta è di solito fissato sul centro di simmetria quando è presente o su qualche elemento di
simmetria
Per definire le posizioni degli elementi di simmetria conviene eseguire le seguenti operazioni:
• Tracciare gli elementi di simmetria presenti nel simbolo del gruppo spaziale.
• Si applica ad un oggetto P, definito da coordinate frazionarie (x, y, z) gli operatori di simmetria
opportunamente posizionati. P sarà trasferito nei suoi «equivalenti di simmetria» P’, P’’, …,
attraverso una trasformazione del tipo:
11
′
 ′ = ′ = 21
31
′
12
22
32
13 
1
23  + 2 = CX = RX + T
33 
3
dove la matrice R è la «componente rotazionale» (propria o impropria) dell’operazione di
simmetria. I suoi elementi sono interi e assumono i valori 0, +1, -1, inoltre il det(R) = ±1. La
matrice T è la componente traslazionale dell’operazione di simmetria.
Se P’, P’’, …, cadono al di fuori della cella è bene riportarli all’interno di essa attraverso una
opportuna traslazione.
• Si individuano e posizionano nuovi elementi di simmetria (se generati) attraverso l’analisi della
figura così ottenuta.
Prodotto tra matrici
Sia A una matrice m x n e B una matrice n x k, si definisce prodotto tra le matrici A e B la matrice
C = A·B il cui generico elemento cij è la somma dei prodotti degli elementi della i-esima riga di A per i
corrispondenti elementi della j-esima colonna di B, ovvero:

 =
 ∙ 
=1
La matrice prodotto C ha tante righe quante sono le righe di A e tante colonne quante sono le colonne di B.
Il prodotto tra matrici è anche detto prodotto riga per colonna .
Per verificare la possibilità di poter moltiplicare la matrice A di ordine p x q con la matrice B di ordine r x s conviene
scrivere:
(p x q)(r x s)
Si hanno così quattro numeri: 2 esterni (p ed s) e 2 interni (q e r). E' possibile effettuare il prodotto A·B se e solo se
gli interni coincidono, cioè q = r.
Da ricordare:
Il prodotto tra matrici NON E' SEMPRE eseguibile.
Se è possibile eseguire il prodotto A B non è detto che si possa eseguire il prodotto B A e quindi bisogna stare attenti
all'ordine in cui si deve eseguire la moltiplicazione.
Determinazione della matrice R
Per determinare la matrice di rotazione e/o trasformazione di una operazione di simmetria, seguire la
procedura seguente: posizionare l’operatore di simmetria al centro di quattro celle attigue ed
individuare le direzioni mostrate in figura:
[110]
[100]
[110]
Far operare l’operatore di
simmetria sulle direzioni [100],
[010] e [001].
Centro di simmetria
[010]
[110]
[100]
[010]
[110]
Riportare nella prima colonna
della matrice 3x3 gli indici di
arrivo della direzione [100],
nella seconda colonna gli indici di
arrivo della direzione [010] e
nella terza colonna gli indici di
arrivo della direzione [001].
Per es. l’operazione inversione trasforma la direzione [100] → [100], la direzione [010] → [010] e
1 0 0
la direzione [001]→ [001]. Per tanto la matrice di trasformazione sarà: 1 = 0 1 0 .
0 0 1
Determinazione della matrice R
[110]
[010]
[110]
[100]
[110]
Asse binario // b
[100]
[010]
[110]
Per es. un asse binario coincidente con l’asse b, trasforma la direzione [100] → [100],
la direzione resterà invariata [010] → [010] e modifica la direzione [001] → [001].
1 0
Per tanto la matrice di rotazione sarà: 2 = 0 1
0 0
0
0 .
1
Determinazione della matrice R
[110]
[010]
[110]
[100]
Asse binario // c
[100]
[110]
[010]
[110]
Per es. un asse binario coincidente con l’asse c, trasforma la direzione [100] → [100],
la direzione [010] → [010] e non modifica la direzione [001] → [001].
1 0
Per tanto la matrice di rotazione sarà: 2 = 0 1
0 0
0
0 .
1
Determinazione della matrice R
[100]
[110]
[110]
120°
[010]
[110]
60°
Asse ternario // c
[100]
[010]
g = 120°
[110]
Per es. un asse ternario coincidente con l’asse c, trasforma la direzione [100] → [010],
la direzione [010] → [110] e non modifica la direzione [001] → [001].
0 1
Per tanto la matrice di rotazione sarà: 3 = 1 1
0 0
0
0 .
1
Determinazione della matrice R
[100]
[110]
[010]
Asse senario // c
[110]
60°
[010]
g = 120°
60°
[110]
[100]
[110]
Per es. un asse senario coincidente con l’asse c, trasforma la direzione [100] → [110],
la direzione [010] → [100] e non modifica la direzione [001]→ [001].
1 1
Per tanto la matrice di rotazione sarà: 6 = 1 0
0 0
0
0 .
1
Sistema Triclino
Ci sono 2 gruppi spaziale per il sistema triclino.
I cristalli di questo sistema appartengono alle classi cristalline 1, o 1. Qui
considereremo il gruppo spaziale 1.
La metrica della cella unitaria nel sistema triclino è: a ≠ b ≠ c
b
a
g
a≠b≠g
Classe di simmetria: 1
Classe di Laue:1
Sistema triclino
1 No.2
b
a
,
,
+
,
-
+
,
-
+
+
Z = 2; , , 
(, , )
Centrico, non-enantiomorfo
1 No.2
b
a
,
Unità asimmetrica
,
-
-
z
+
+
y
,
-
,
+
x
-
+
Z = 2: Vunità asimmetrica = ½ Vcella unitaria
Unità asimmetrica: 0 < x < ½; 0 < y < 1; 0 < z < 1.
1 No.2
Una vista prospettica della cella unitaria in 1, dove tutti i centri di simmetria
sono mostrati. Gli otto centri di simmetria (quelli NON correlati dall’ operatore
di simmetria del gruppo spaziale) sono mostrati in celeste.
1 No.2
b
a
,
,
-
-
+
,
-
+
,
+
-
+
Gli otto centri di simmetria indipendenti hanno coordinate:
(0,0,0) (½, 0, 0) (0, ½, 0) (½, ½, 0) (0,0, ½) (½, 0, ½) (0, ½, ½) (½, ½, ½)
b
a
,
,
-
+
,
-
1 No.2
+
-
,
+
+
Questi otto centri di simmetria indipendenti corrispondono alle otto distinte posizioni speciali per 1,
ciascuna con una molteplicità (Msp) pari a 1
Msp
Coordinate
1
(0, 0, 0)
(½, 0, 0)
(0, ½, 0)
(½, ½, 0)
1
(0, 0, ½)
(½, 0, ½)
(0, ½, ½)
(½, ½, ½)
b
a
,
-
(, , )
,
+
-
+
(, , )
,
1 No.2
-
,
+
+
1: , ,  → (, , )
1
R1 = 0
0
0 0
1 0
0 1
0
T1 = 0
0
1: , ,  → (, , )
1
1 = 0
0
0
1
0
0
1 = 0
0
0
0
1
Sistema Monoclino
Ci sono 13 gruppi spaziale per il sistema monoclino.
I cristalli di questo sistema appartengono alle classi cristalline 2, m or 2/m. Qui
considereremo I gruppi spaziali P2, C2, e P21.
Primitive Monoclinic (Click to rotate) 1
C-Centered Monoclinic (Click to rotate)1
Nel sistema monoclino, a  b  c; a = g = 90º, and b  90º. L’asse b è
perpendicolare ad a e c, e viene detto asse unico.
E’ solamente possibile posizionare l’asse 2 lungo l’asse b, e il piano di simmetria (m)
perpendicolare all’asse b.
1http://phycomp.technion.ac.il/~sshaharr/intro.html
Classe di simmetria:2
P2 No.3
b
2
-
-
+
+
-
-
+
+
a
Z=2;
( x, y , z )
( x, y , z )
Acentrico - Enantiomorfo
Classe di Laue:

Sistema monoclino
P2 No.3
Unità asimmetrica
b
-
-
+
+
z
a
y
-
-
+
+
x
Z = 2: Vunità asimmetrica = ½ Vcella unitaria
Unità asimmetrica: 0 < x < ½; 0 < y < 1; 0 < z < 1.
P2 No.3
b
-
-
+
+
-
-
+
+
a
1: , ,  → (, , )
1
R1 = 0
0
0 0
1 0
0 1
2//b: , ,  → (, , )
1 0
2 = 0 1
0 0
0
0
1
0
T1 = 0
0
0
2 = 0
0
P2 No.3
b
Z=2;
-
-
+
+
-
-
+
+
a
( x, y , z )
( x, y , z )
Si noti che ci sono due molecole per cella unitaria, e che altri assi binari sono
generati a a/2 e c/2 quando atomi o gruppi di atomi sono aggiunti per simmetria.
Ci sono quattro assi di rotazioni indipendenti: dove sono?
(0, y, 0); (0, y, ½); (½, y, 0); (½, y, ½)
c
b
0
a
Una vista prospettica della cella unitaria in P2, dove tutti gli assi binari sono
mostrati. I quattro assi binari indipendenti (quelli NON correlati dall’ operatore
di simmetria del gruppo spaziale) sono mostrati in blu.
P2 No.3
b
Z=2;
-
-
+
+
-
-
+
+
a
( x, y , z )
( x, y , z )
Questi quattro assi binari indipendenti corrispondono alle quattro distinte posizioni speciali
per P2, ciascuna con una molteplicità (Msp) pari a 1
Msp
1
Coordinate
(0, y, 0)
(0, y, ½)
(½, y, 0)
(½, y, ½)
Il gruppo spaziale numero 4 è il P21. Il simbolo 21 è il simbolo
dell’elicogira; in questo caso essa deve essere ancora disposta lungo b
(perché?). L’elicogira 21 è una operazione di simmetria che si articola in due
passi (dal simbolo MN, una rotazione di (360/M)º seguito da una
traslazione pari a N/M in coordinate frazionarie parallelo all’asse).
1/2+
Simbolo: 21 ┴ pag.
c
+
Simbolo: 21 || pag. c
b
-
b=1
b=0
+
0.5
a
Questa operazione prende un punto da (x, y, z) e lo sposta a (-x, ½+y,-z), cioè fa una
rotazione di +360o/2 e uno spostamento di +½ dell’unità di traslazione.
Classe di simmetria:2
P 21 No.4
b
2
Classe di Laue:

Sistema monoclino
-
-
+
+
a
-
+
Z=2;
( x, y , z )
-
+
( x, y  1 2 , z )
Enantiomorfo - acentrico
Unità asimmetrica
b
P 21 No.4
z
-
+
+
a
y
-
+
x
+
Z = 2: Vunità asimmetrica = ½ Vcella unitaria
Unità asimmetrica: 0 < x < ½; 0 < y < 1; 0 < z < 1.
P 21 No.4
b
-
+
+
a
-
+
+
1: , ,  → (, , )
1
R1 = 0
0
21//b: , ,  → (,  + , )
1 0
2 = 0 1
0 0
1
2
0 0
1 0
0 1
0
0
1
0
T1 = 0
0
0
2 =
1
2
0
Classe di simmetria: m
Pm No.6
2
Classe di Laue:

Sistema monoclino
b
+
+
+
‘
‘
a
+
+
+
+
+
Simbolo piano
di simmetria
perpendicolare
alla pagina
‘
‘
Z=2;
( x, y , z )
( x, y , z )
E’ questo gruppo spaziale enantiomorfo o non-enantiomorfo?
Non-enantiomorfo
Pm No.6
b
+
+
Z=2;
‘
+
‘
‘
‘
a
+
( x, y , z )
+
+
+
+
( x, y , z )
E’ questo gruppo spaziale centrosimmetrico o
non-centrosimmetrico?
Non-centrosimmetrico
Pm No.6
b
+
+
+
‘
‘
Z=2
a
+
+
+
+
+
( x, y , z )
( x, y , z )
‘
‘
Si noti che ci sono due molecole per cella unitaria, e che un altro piano di simmetria
perpendicolare a b è stato generato a b/2 quando atomi o gruppi di atomi sono aggiunti per
simmetria.
Ci sono due paini di simmetria indipendenti: dove sono?
(x, 0, z); (x, ½,z);
Pm No.6
Unità asimmetrica
z
b
+
‘
‘
+
+
y
x
+
+
‘
‘
a
+
+
+
Z = 2: Vunità asimmetrica = ½ Vcella unitaria
Unità asimmetrica: 0 < x < 1; 0 < y < ½; 0 < z < 1.
Pm No.6
b
+
+
‘
+
‘
‘
‘
a
+
+
+
+
+
1: , ,  → (, , )
1
R1 = 0
0
0 0
1 0
0 1
//ac: , ,  → (, , )
1
 = 0
0
0 0
1 0
0 1
0
T1 = 0
0
0
 = 0
0
Il prossimo gruppo spaziale è C2, numero 5. la simmetria rotazionale è identica a
quella vista per il gruppo spaziale P2, ma qui la differenza è nel reticolo cristallino.
Il Simbolo “C” indica una cella C-centrata, cioè, con un nodo al centro della faccia
ab; ricordiamo che l’operazione di centratura C esegue una traslazione a (½, ½,
0)+ applicata a tutti I punti del reticolo primitivo.
Per costruire il diagramma del gruppo spaziale C2, conviene partire dal diagramma
del gruppo spaziale P2, visto precedentemente, e aggiungere le molecole generate
dall’operazione di simmetria della centratura C.
Classe di simmetria:2
C 2 No.5
b
2
-
-
+
+
Classe di Laue:

Sistema monoclino
a
Generati dalla
centratura C
-
+
Z=4;
-
-
+
+
( x, y , z )
( x, y , z )
(0, 0, 0) 
(1 2 ,1 2 , 0) 
(1 2  x,1 2  y, z )
(1 2  x,1 2  y, z )
Questo gruppo spaziale è enantiomorfo o non-enantiomorfo?
Enantiomorfo - acentrico
C 2 No.5
b
-
-
+
+
a
-
+
-
-
+
+
I quattro assi binari indipendenti sono le quattro posizioni speciali per C2, ciascuna
con Msp = 2 e distinte coordinate
Msp Element
2
2
Coordinates
(0, y, 0)
(0, y, ½)
Unità asimmetrica
b
C 2 No.5
z
-
-
+
+
a
-
y
+
-
-
+
+
x
Z = 4: Vunità asimmetrica = ¼ Vcella unitaria
Unità asimmetrica: 0 < x < ½; 0 < y < ½; 0 < z < 1.
b
-
-
+
+
C 2 No.5
a
-
+
Operatore identità
1: , ,  → (, , )
Asse binario
2//b: , ,  → (, , )
-
-
+
+
1
R1 = 0
0
0 0
1 0
0 1
1 0
2 = 0 1
0 0
0
T1 = 0
0
0
0
1
0
2 = 0
0
Operatore di centratura C
1
1
, ,  → ( + ,  + , )
2
2
1
1
, ,  → ( + ,  + , )
2
2
1
Rc = 0
0
0
1
0
0
0
1
Tc =
1
2
1
2
0
La molteplicità delle posizioni speciali in C2, Msp = 2 ci dice che c’è un altra
posizione simmetricamente equivalente per ciascuna delle posizioni elencate nella slide
precedente: (½,½ +y,0) con (0,y,0) e (½,½ +y,½) con (0,y,½).
Il gruppo spaziale C2, è un altro esempio … molto significativo … del processo di
costruzione di un set di operazioni di simmetria: sono, infatti, stati generati un
numero di assi 21 posti a ¼ lungo l’asse a, rispetto a quelli binari presenti nella
cella unitaria, per esempio (¼,y,0), (¼,y,½) etc.
Classe di simmetria:
P 21 / c No.14
¼
-
½+
+
‘
Z=4
‘
½-
¼
-
¼
½+
+
(, , ) (, , z + ½)
+
¼
(,  + ½, )
Non enantiomorfo - Centrosimmetrico
‘
‘
¼
½+
¼
‘
a
½+
½-
‘
b
2
Classe di Laue:

Sistema monoclino
(,  + ½, )
+
2

Generalmente però, si preferisce fissare l’origine della cella in un
centro di simmetria
P 21 / c No.14
b
Nuova cella con origine traslata
su un centro di simmetria
a
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
¼
Per questo cambio di origine bisogna traslare tutto di ¼ b e ¼ c ….
P 21 / c No.14
+
a
½+
‘
‘
¼
½-
-
‘
b
-
¼
+
¼
½-
-
Z=4
(, , )
(, , )
½+
‘
‘
+
(,  + ½,  + ½)
Non enantiomorfo - Centrosimmetrico
‘
¼
¼
-
¼
+
(,  + ½,  + ½)
P 21 / c No.14
½-
-
+
½+
‘
‘
a
‘
¼
b
-
¼
+
¼
½-
-
½+
Unità asimmetrica
z
-
¼
‘
‘
+
‘
¼
¼
+
Z = 4: Vunità asimmetrica = ¼ Vcella unitaria
y
Unità asimmetrica: 0 < x < 1; 0 < y < ¼; 0 < z < 1.
x
P 21 / c No.14
1: , ,  → (, , )
8 centri di simmetria:
1
R1 = 0
0
0 0
1 0
0 1
0
T1 = 0
0
0, 0,0 (½, 0, 0) (0, ½, 0) (½, ½, 0)
0, 0, ½ (½, 0, ½) (0, ½, ½) (½, ½, ½)
1: , ,  → (, , )
1 0
2 = 0 1
0 0
0
0
1
0
2 = 0
0
4 assi 21∕∕ : , 0, ¼ (x, ½, ¼) (x, 0, ¾) (x, ½, ¾)
0
0
1
0
3 = ½
½
2 slittopiani ∕∕ : , ¼,  (x, ¾, z)
1 0 0
4 = 0 1 0
∕∕ : , ,  → (,  + ½,  + ½)
0 0 1
0
4 = ½
½
21∕∕ : , ,  → (,  + ½,  + ½)
1 0
3 = 0 1
0 0
Le posizioni speciali coincidono con gli otto centri di simmetria
Gruppi spaziali non standard
Vi sono diversi gruppi spaziali che sembrano non corrispondere alla lista "standard" ,
ad es: P21/n, P21/a and I2/a. Come mai?
Sulle International Tables for Crystallography, Volume A, Space Group Symmetry vi sono
i cosiddetti alternative settings (scelta di “celle diverse") rispetto ai gruppi standard.
Per esempio P21/a è in realtà P21/c con scelta della cella 3, mentre P21/n prevede la
scelta n 2; I2/a è in realtà C2/c con cella n.3.
In particolare, P21/a si ottiene partendo da P21/c: scambiamo a e c, invertiamo b (per
mantenerci in un sistema destrorso). Lo slittopiano, prima di tipo c sarà ora di tipo a.
Questo non è un nuovo gruppo spaziale ma una versione alternativa, appunto, nonstandard, di P21/c.
Sistema ortorombico
In questo sistema sono presenti 59 gruppi spaziale.
I simboli degli elementi di simmetria del gruppo spaziale per questo sistema si
riferiscono alle direzioni a, b, c nell'ordine (gli elementi sono paralleli ad essi se
assi propri, perpendicolari se piani):
b
c
a
Pca21
La classe si simmetria la deriviamo dal simbolo ca21 eliminando da ciascun
elemento le componenti traslazionali, quindi sarà mm2.
Ortorombica Primitiva1
Ortorombica Corpo-Centrato (I)1
Ortorombica-Centrata (A- or B- or C- )1
Ortorombica Facce-Centrate (F)1
(Click on any green label above to rotate)
Nel sistema ortorombico, a  b  c; a = b = g = 90º.
Sono possibili tre classi cristalline o gruppi puntuali: 222, mm2 or mmm.
Classe di simmetria:222
P2 2 2 No.16
b
2 2 2
Classe di Laue:

Sistema ortorombico
a
+
-
+
-
-
+
-
+
+
-
+
-
-
+
-
+
Z=4;
(, , )
(, , ) (, , )
(, , )
Enantiomorfo - acentrico
P2 2 2 No.16
b
a+
-
+
-
-
+
-
+
Unità asimmetrica
z
+
-
+
-
-
+
-
+
y
Z = 4: Vunità asimmetrica = ¼ Vcella unitaria
Unità asimmetrica: 0 < x < ½; 0 < y < ½; 0 < z < 1.
x
P2 2 2 No.16
1: , ,  → (, , )
1
R1 = 0
0
0 0
1 0
0 1
0
T1 = 0
0
4 assi 2∕∕ : 0, 0,  (½, 0, z) (0, ½, z) (½, ½, z)
2∕∕ : , ,  → (, , )
1 0
2 = 0 1
0 0
0
0
1
0
2 = 0
0
4 assi 2∕∕ : , 0,0 (x, ½, 0) (x, 0, ½) (x, ½, ½)
2∕∕ : , ,  → (, , )
1 0
3 = 0 1
0 0
0
0
1
0
3 = 0
0
4 assi 2∕∕ : 0, , 0 (½, y, 0) (0, y, ½) (½, y, ½)
2∕∕ : , ,  → (, , )
1 0
4 = 0 1
0 0
0
0
1
0
4 = 0
0
P2 2 2 No.16
b
a
+
-
+
-
-
+
-
+
+
-
+
-
-
+
-
+
Msp
Coordinate
2
(x, 0, 0)
(0, y, 0)
(x, ½, 0)
(½, y, 0)
2
(x, 0, ½)
(0, y, ½)
(x, ½, ½)
(½, y, ½)
2
(0, 0, z)
(½, 0, z)
(0, ½, z)
(½, ½, z)
1
(0,0,0)
(½,0,0)
(0, ½, 0)
(½, ½, 0)
1
(0,0, ½)
(½,0, ½)
(0, ½, ½)
(½, ½, ½)
P2 2 21 No.17
Combinando oggetti con componente traslazionale
questi non si incontrano in un punto!
Sappiamo che la coesistenza di sue assi binari semplici ortogonali e passanti per un punto O,
comporta la formazione di un terzo asse binario semplice, perpendicolare ai primi due e
passante per O:
+
cioè
-
+
+
-
-
+
1) Se uno dei due assi binari è un’elicogira 21 allora esisterà un altro asse 2 dislocato ad un ¼ da O e
intersecante perpendicolarmente l’elicogira
+
-
½
+
+
cioè
-
¼
+
-
2) Se una coppia di elicogire 21 normali passano per O consegue la presenza di un altro asse 2,
perpendicolare ai primi due e passante ad (¼, ¼) da O.
+
-
-
½
½
+
cioè
-
+
+
¼
½
+
+
-
3) Se una coppia di elicogire 21 normali è separato da ¼ di periodo allora esiste un asse 21 che
l’interseca normalmente.
½+
½+
½-
+
¼
cioè
½-
-
+
¼
4) Se un’asse 2 e un’asse 21 sono separati da ¼ di periodo allora esiste un nuovo asse 21 normale ad entrambi e
intersecante l’altro asse 21 ad ¼ dall’asse 2
½+
-
½+
½cioè
½
+
¼
-
¼
+
½¼
5) Se esistono due elicogire ortogonali e distanti di ¼ di periodo allora sarà presente un’altra elicogira
normale alle prime due e passante ad (¼, ¼) da esse.
½+
-
½-
½
½
+
¼
cioè
½-
½+
½+
¼
½
+
½+
-
Classe di simmetria:222
P2 2 21 No.17
b
2 2 2
Classe di Laue:

Sistema ortorombico
a
+½
-½
+½
¼
¼
-
+
-
-½
+½
¼
-
Z=4;
+
¼
¼
+½
-½
-½
¼
+
(, , )
-
(, , )
(, ,  + ½)
Enantiomorfo - acentrico
(, ,  + ½)
+
P2 2 21 No.17
b
a +½
-½
+½
¼
¼
-
-½
+
-
+
Unità asimmetrica
¼
¼
z
+½
-½
+½
¼
-
-½
¼
+
-
+
y
Z = 4: Vunità asimmetrica = ¼ Vcella unitaria
Unità asimmetrica: 0 < x < ½; 0 < y < ½; 0 < z < 1.
x
P2 2 21 No.17
1: , ,  → (, , )
1
R1 = 0
0
0 0
1 0
0 1
0
T1 = 0
0
4 assi 21∕∕ : 0, 0,  (½, 0, z) (0, ½, z) (½, ½, z)
21∕∕ : , ,  → (, ,  + ½)
1 0
2 = 0 1
0 0
0
0
1
0
2 = 0
½
4 assi 2∕∕ : , 0,0 (x, ½, 0) (x, 0, ½) (x, ½, ½)
21∕∕ : , ,  → (, , )
1 0
3 = 0 1
0 0
0
0
1
0
3 = 0
0
4 assi 2∕∕ : 0, , ¼ (½, y,¼) (0, y, ¾) (½, y, ¾)
21∕∕ : , ,  → (, ,  + ½)
1 0
4 = 0 1
0 0
0
0
1
0
4 = 0
½
P2 2 21 No.17
b
a
+½
-½
-½
+½
¼
¼
+
-
+
-
¼
¼
+½
-½
-½
+½
¼
-
¼
+
Msp
+
-
Coordinate
2
(x, 0, 0)
(x, ½, 0)
(x, 0, ½)
(x, ½, ½)
2
(0, y, ¼)
(½, y, ¼ )
(0, y, ¾)
(½, y, ¾)
Classe di simmetria:222
P 21 21 2 No.18
b
2 2 2
Classe di Laue:

Sistema ortorombico
a
+
+
+
-
-
+
+
Generalmente si preferisce fissare l’origine della cella sull’asse binario. Per far questo è
necessario traslare tutto di ¼a e ¼b …
Cella con origine
sull’asse binario
P 21 21 2 No.18
b
a
+
+
+
+
-
+
+
+
Z=4;
(, , )
+
(, , )
( + ½,  + ½, )
Enantiomorfo - acentrico
( + ½,  + ½, )
P 21 21 2 No.18
b
a
Unità asimmetrica
+
+
+
+
-
+
+
+
+
Z = 4: Vunità asimmetrica = ¼ Vcella unitaria
Unità asimmetrica: 0 < x < ½; 0 < y < ½; 0 < z < 1.
P 21 21 2 No.18
1: , ,  → (, , )
1
R1 = 0
0
0 0
1 0
0 1
0
T1 = 0
0
4 assi 2∕∕ : 0, 0,  (½, 0, z) (0, ½, z) (½, ½, z)
2∕∕ : , ,  → (, , )
1 0
2 = 0 1
0 0
0
0
1
0
2 = 0
0
4 assi 21∕∕ : , ¼, 0 (x, ¾, 0) (x, ¼, ½) (x, ¾, ½)
21∕∕ : , ,  → ( + ½,  + ½, )
1 0
3 = 0 1
0 0
0
0
1
½
3 = ½
0
4 assi 21∕∕ : ¼, , 0 (¾, y, 0) (¼, y, ½) (¾, y, ½)
21∕∕ : , ,  → ( + ½,  + ½, )
1 0
4 = 0 1
0 0
0
0
1
½
4 = ½
0
P 21 21 21 No.19
b
a
Classe di simmetria:222
2 2 2
Classe di Laue:

Sistema ortorombico
½-
¼
¼
+
+
½+
½+
½-
¼
¼
+
Z=4;
(, , )
+
( + ½, ,  + ½)
( + ½,  + ½, )
Enantiomorfo - acentrico
(,  + ½,  + ½)
P 21 21 21 No.19
b
a
½-
¼
¼
+
+
Unità asimmetrica
½+
½+
½-
z
¼
¼
+
+
y
Z = 4: Vunità asimmetrica = ¼ Vcella unitaria
Unità asimmetrica: 0 < x < ½; 0 < y < ½; 0 < z < 1.
x
P 21 21 21 No.19
1: , ,  → (, , )
1
R1 = 0
0
0 0
1 0
0 1
0
T1 = 0
0
4 assi 21∕∕ : ¼, 0,  (¾, 0, z) (¼, ½, z) (¾, ½, z)
21∕∕ : , ,  → ( + ½, ,  + ½)
1 0
2 = 0 1
0 0
0
0
1
½
2 = 0
½
4 assi 21∕∕ : , ¼, 0 (x, ¾, 0) (x, ¼, ½) (x, ¾, ½)
21∕∕ : , ,  → ( + ½,  + ½, )
1 0
3 = 0 1
0 0
0
0
1
½
3 = ½
0
4 assi 21∕∕ : 0, , ¼ (0, y, ¾) (½, y, ¼) (½, y, ¾)
21∕∕ : , ,  → (,  + ½,  + ½)
1 0
4 = 0 1
0 0
0
0
1
0
4 = ½
½
b
a
Classe di simmetria: mm2
Pca 21 No.29
2 2 2
Classe di Laue:

Sistema ortorombico
½+
½+
+
+
‘
‘
+
½+
½+
‘
½+
+
+
Z=4;
‘
+
½+
(, , ) (+ ½, , z)
(, ,  + ½) ( + ½, ,  + ½)
Non enantiomorfo - acentrico
Pca 21 No.29
Unità asimmetrica
b
½+
½+
a
+
+
‘
+
‘
‘
‘
+
½+
½+
z
½+
½+
+
Z = 4: Vunità asimmetrica = ¼ Vcella unitaria
Unità asimmetrica: 0 < x < ¼; 0 < y < 1; 0 < z < 1.
+
x
y
Pca 21 No.29
1: , ,  → (, , )
1
R1 = 0
0
0 0
1 0
0 1
0
T1 = 0
0
4 assi 21∕∕ : 0, 0,  (½, 0, z) (0, ½, z) (½, ½, z)
21∕∕ : , ,  → (, ,  + ½)
1 0
2 = 0 1
0 0
0
0
1
0
2 = 0
½
0
0
1
0
3 = 0
½
0
0
1
½
4 = 0
½
2 slittopiani ⊥ : , 0,  (x, ½, z)
⊥ : , ,  → (+ ½, , z)
1 0
3 = 0 1
0 0
2 slittopiani ⊥ : ¼, , z (¾, y, z)
⊥ : , ,  → ( + ½, ,  + ½)
1 0
4 = 0 1
0 0
Non esistono posizioni speciali in questo gruppo spaziale
Classe di simmetria: mmm
Pmmm No.47
2 2 2
Classe di Laue:

Sistema ortorombico
b
+
Z=8;
+
+
- -
+
+
-
+
+
- -
+
+
‘ ‘
‘ ‘
+
-
-
-
-
-
+
- -
+
‘ ‘
‘ ‘
+
‘ ‘
‘ ‘
+
‘ ‘
‘ ‘
a
-
+
- -
+
-
(, , ) (, , ) (, , ) (, , ) (, , ) (, , ) (, , ) (, , )
Non enantiomorfo - Centrosimmetrico
Pmmm No.47
b
+
‘ ‘
‘ ‘
+
-
-
+
+
- -
+
+
‘ ‘
‘ ‘
-
+
- -
+
-
Unità asimmetrica
z
+
‘ ‘
‘ ‘
+
-
-
+
+
- -
+
+
‘ ‘
‘ ‘
a
-
-
+
- -
+
y
Z = 8: Vunità asimmetrica = 1/8 Vcella unitaria
Unità asimmetrica: 0 < x < ½; 0 < y < ½; 0 < z < ½.
x
Pmmm No.47
1: , ,  → (, , )
1
R1 = 0
0
0 0
1 0
0 1
0
T1 = 0
0
4 assi 2∕∕ : 0, 0,  (½, 0, z) (0, ½, z) (½, ½, z)
2∕∕ : , ,  → (, , )
1 0
2 = 0 1
0 0
0
0
1
0
2 = 0
0
4 assi 2∕∕ : , 0,0 (x, ½, 0) (x, 0, ½) (x, ½, ½)
2∕∕ : , ,  → (, , )
1 0
3 = 0 1
0 0
0
0
1
0
3 = 0
0
4 assi 2∕∕ : 0, , 0 (½, y, 0) (0, y, ½) (½, y, ½)
2∕∕ : , ,  → (, , )
1 0
4 = 0 1
0 0
0
0
1
0
4 = 0
0
Pmmm No.47
8 centri di simmetria i: 0, 0, 0 (0, 0, ½) ½, 0, 0 (½, 0, ½) 0, ½, 0 (0, ½, ½) ½, ½, 0
(½, ½, ½)
1: , ,  → , , 
1
R1 = 0
0
0 0
1 0
0 1
0
T1 = 0
0
2 piani di simmetria ∕∕: , , 0 (, , ½)
∕∕ : , ,  → (, , )
1 0
2 = 0 1
0 0
2 piani di simmetria ∕∕c: 0, , 
∕∕ : , ,  → (, , )
0
0
1
0
2 = 0
0
½, , 
1 0
3 = 0 1
0 0
0
0
1
0
3 = 0
0
2 piani di simmetria ∕∕bc: , 0,  , ½, 
2∕∕ : , ,  → (, , )
1 0
4 = 0 1
0 0
0
0
1
0
4 = 0
0
Pmmm No.47
Posizioni speciali
Msp
Coordinate
4
m
(, , ½)
(, , ½)
(, , ½)
(, , ½)
4
m
(, , 0)
(, , 0)
(, , 0)
(, , 0)
4
m
(, ½, )
(, ½, )
(, ½, )
(, ½, )
4
m
(, 0, )
(, 0, )
(, 0, )
(, 0, )
4
m
(½, , )
(½, , )
(½, , )
(½, , )
4
m
(0, , )
(0, , )
(0, , )
(0, , )
2
mm
(½, ½, )
(½, ½, )
(½, 0, )
(½, 0, )
2
mm
(0, ½, )
(0, ½, )
(0,0, )
(0,0, )
2
mm
(½, , ½)
(½, , ½)
(½, , 0)
(½, , 0)
2
mm
(0, , ½)
(0, , ½)
(0, , 0)
(0, , 0)
2
mm
(, ½, ½)
(, ½, ½)
(, ½, 0)
(, ½, 0)
2
mm
(, 0, ½)
(, 0, ½)
(, 0,0)
(, 0,0)
1
mmm
(½, ½, ½)
(0, ½, ½)
(½, ½, 0)
(½, 0, ½)
1
mmm
(0, ½, 0)
(0, 0, ½)
(½, 0,0)
(0,0,0)
Sistema tetragonale
I simboli degli elementi di simmetria del gruppo spaziale per questo sistema si
riferiscono alle direzioni c, a, (a+b) nell'ordine (gli elementi sono paralleli ad essi
se assi propri, perpendicolari se piani):
42
c
a
(a+b)
L’asse di rotazione 4 trovandosi in prima posizione sarà parallelo all’asse c, il
piano m trovandosi in seconda posizione sarà perpendicolare all’asse a, mentre
l’asse binario trovandosi in terza posizione sarà parallelo alla diagonale di faccia
(a+b).
La classe di simmetria la deriviamo dal simbolo eliminando da ciascun elemento le
componenti traslazionali (assenti in questo esempio), quindi sarà 42.
Sistema tetragonale
Tetragonale Primitiva
(Click to rotate)1
Tetragonale Corpo-centrato (I)
(Click to rotate)1
Nel sistema tetragonale, a = b  c; a = b = g = 90º.
Le possibili classi di simmetria o gruppi puntuali sono: 4, 4
4/m, 422, 4mm, 42, and 4/mmm.
b
Classe di simmetria: 4
P 4 No.75
a
+
4
Classe di Laue:

Sistema tetragonale
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Z=4; (, , ) (, , ) (, , ) (, , )
Enantiomorfo - acentrico
Unità asimmetrica
P 4 No.75
b
a
+
+
+
+
z
+
+
+
+
y
+
+
+
x
+
+
+
+
+
Z = 4: Vunità asimmetrica = ¼ Vcella unitaria
Unità asimmetrica: 0 < x < ½; 0 < y < ½; 0 < z < 1.
P 4 No.75
1: , ,  → (, , )
1
R1 = 0
0
0 0
1 0
0 1
0
T1 = 0
0
2 assi 4∕∕ : 0, 0,  (½, ½, )
4∕∕ : , ,  → , ,  → , ,  → (, , )
0 1
2 = 1 0
0 0
0
0
1
2 assi 2∕∕ : (½, 0, ) (0, ½, )
Posizioni speciali
Msp
Coordinate
1
4
(0, 0, )
(½, ½, )
2
2
(0, ½, )
(½, 0, )
0
2 = 0
¼
b
a
¼+
½+
¼+
P41 No.76
½+
+
+
¾+
¾+
Classe di simmetria: 4
4
Classe di Laue:

Sistema tetragonale
¼+
½+
¼+
½+
+
¾+
+
¾+
Z=4; (, , ) (, , ¼ + ) (, , ½ + )
(, , ¾ + )
Enantiomorfo - acentrico
Unità asimmetrica
P41 No.76
b
¼+
a
½+
¼+
½+
+
¾+
z
+
¾+
y
¼+
½+
¼+
½+
+
¾+
x
+
¾+
Z = 4: Vunità asimmetrica = ¼ Vcella unitaria
Unità asimmetrica: 0 < x < ½; 0 < y < ½; 0 < z < 1.
P41 No.76
1
R1 = 0
0
1: , ,  → (, , )
0 0
1 0
0 1
0
T1 = 0
0
2 assi 41∕∕ : 0, 0,  (½, ½, )
41∕∕ : , , 
2
, ,  + ¼
2
0 1
2 = 1 0
0 0
, ,  + ½
0
0
1
2
(, ,  + ¾)
0
2 = 0
¼
2 assi 21∕∕ : (½, 0, ) (0, ½, )
Non esistono posizioni speciali in questo gruppo spaziale
Sistema trigonale
I simboli degli elementi di simmetria del gruppo spaziale per questo sistema si
riferiscono alle direzioni c, a, (a-b) nell'ordine (gli elementi sono paralleli ad essi se
assi propri, perpendicolari se piani):
31 12
c
a
(a-b)
L’asse di rotazione 31 trovandosi in prima posizione sarà parallelo all’asse c, l’asse
di ordine 1 in seconda posizione sarà parallelo all’asse a, mentre l’asse binario
trovandosi in terza posizione sarà parallelo alla diagonale di faccia (a-b).
La classe di simmetria la deriviamo dal simbolo eliminando da ciascun elemento le
componenti traslazionali, quindi sarà 312.
Sistema trigonale
La cella trigonale convenzionale ha l’asse ternario lungo c, rapporti a:b:c = a:a:c
e angoli a=b=90° e g = 120°.
I diagrammi del gruppo spaziale con cella P si rappresentano con una forma
romboedrica:
origine
b
g = 120°
a
Sistema trigonale
I diagrammi dei gruppo spaziali con
cella R si rappresentano come mostrato
di fianco.
Setting «obverse» del romboedro Robs e corrispondente
cella unitaria esagonale non primitiva Rh
br
cr
Setting «reverse» del romboedro Robs e corrispondente
cella unitaria esagonale non primitiva Rh
cr
bH
bH
ar
br
ar
aH
Gli assi romboedrici posso essere
orientati in due modi relativamente ai
corrispondenti assi esagonali. Diversi
termini sono stati usati per definire
queste due orientazioni: «obverse» e
«reverse», «positivo» e «negativo» o
«diretto» e «reverse», rispettivamente.
aH
Negli esempi seguenti il setting
adottato sarà quello «obverse».
Proiezione planare del setting «obverse» (---- spigoli
inferiori, —— spigoli superiori del romboedro.
Proiezione planare del setting «reverse» (---- spigoli
inferiori, —— spigoli superiori del romboedro.
Classe di simmetria: 3
Classe di Laue: 3
Sistema trigonale
P3 No.143
b
+
+
+
a
+
+
+
+
+
Z=3
+
+
+
+
(, , ) (,  + , ) ( + , , )
Enantiomorfo - Acentrico
P3 No.143
b
(0, 0, 0)
4
a
3
4
3
1
(1/3 ,2/3, 0)
2
4
2
3
(½, 0, 0)
1
(2/3 ,1/3, 0)
1
(0, ½, 0)
2
Unità asimmetrica
Z = 3: Vunità asimmetrica = 1/3 Vcella unitaria
Unità asimmetrica:
Vertici:
P3 No.143
1
R1 = 0
0
1: , ,  → (, , )
Tre assi 3∕∕ : 0, 0, 
3∕∕ : , , 
3
2 1
, ,
3 3
,  + , 
0 1
3 = 1 1
0 0
0
0
1
3
0 0
1 0
0 1
0
T1 = 0
0
1 2
, ,
3 3
( + , , )
0
3 = 0
0
I punti sull’asse tre sono in posizione speciale
2
+
3
2
+
3
1
+
3
Classe di simmetria: 3
Classe di Laue: 3
Sistema trigonale
R3 No.146
1
+
3
2
+
3
1
+
3
1
+
3
+
1
+
3
+
1
+
3
+
2
+
3
2
+
3
+
2
+
3
+
1
+
3
2
+
3
+
2
+
3
2
+
3
1
+
3
+
+
+
+
+
Assi Romboedrici: (, , ) (, , )
Assi Esagonali:
Le quote si riferiscono al
sistema degli assi esagonali
+
1
+
3
(, , )
[regola permutazione asse ternario]
(, , ) (,  + , ) ( + , , ) [Matrice di rotazione asse ternario]
1
3
2
,
3
2
3
1
,
3
Assi Esagonali:
 + , + , +
(Centratura Rh)
+
+
+
2
3
1
3
1
3
1
,
3
2
3
2
,
3
 + , +  + , +
+
+ +
+
2
3
2
3
1
3
1
,
3
2
3
2
,
3
 +  + , + , +
+ +
+
+
2
3
2
3
Assi romboedrici
R3 No.146
cr
br
(0, 1, 0)
bH
(0, 0, 0)
(1 ,1, 0)
ar
(1, 0, 0)
aH
Unità asimmetrica
Z = 3: Vunità asimmetrica = 1/3 Vcella unitaria
Unità asimmetrica:
Vertici:
Assi esagonali
R3 No.146
cr
br
(0, 0, 0)
(½, 0, 0)
ar
(2/3 ,1/3, 0)
bH
(0, ½, 0)
(1/3 ,2/3, 0)
Unità asimmetrica
aH
Z = 9: Vunità asimmetrica = 1/9 Vcella unitaria
Unità asimmetrica:
Vertici:
R3 No.146
1
R1 = 0
0
1: , ,  → (, , )
0 0
1 0
0 1
Assi romboedrici
Un assi 3∕∕(++): , , 
41∕∕ : , , 
3
, , 
0 0
3 = 1 0
0 1
1
0
0
3
, , 
0
3 = 0
0
I punti sull’asse 3 sono in posizione speciale.
0
T1 = 0
0
R3 No.146
1
R1 = 0
0
1: , ,  → (, , )
0 0
1 0
0 1
0
T1 = 0
0
Assi esagonali
Tre assi 3∕∕ : 0, 0, 
3∕∕ : , , 
3
1 2
, ,
3 3
,  + , 
3
0 1
3 = 1 1
0 0
0
0
1
1
3
1
, 0, 
3
2
0, , 
3
Tre assi 32∕∕ : 0, , 
Tre asse 31∕∕ :
2
, 0, 
3
2 1
, ,
3 3
 + , , 
0
3 = 0
0
2 2
, ,
3 3
1 1
, ,
3 3
I punti sull’asse 3 sono in posizione speciale.
R3 No.146
Assi esagonali
Centratura della cella R
, , 
1
,  + , 
 + , , 
, , 
2
,  + , 
 + , , 
1
2
2
 + , + , +
;
3
3
3
1
1
+
1
,
3
2
,
3
2
3
+ +
+ ;
1
2
2
 +  + , + , +
;
3
3
3
2
1
1
 + , + , +
;
3
3
3
2
2
+
2
,
3
1
,
3
1
3
+ +
+ ;
2
1
1
 +  + , + , +
;
3
3
3
1
R1 = 0
0
0 0
1 0
0 1
1
R2 = 0
0
0 0
1 0
0 1
1
T1 =
2
2
2
T2 =
1
1
3
3
3
3
3
3
Sistema esagonale
I simboli degli elementi di simmetria del gruppo spaziale per questo sistema si
riferiscono alle direzioni c, a, (a-b) nell'ordine (gli elementi sono paralleli ad essi se
assi propri, perpendicolari se piani):
63 
c
a
(a-b)
L’asse di rotazione 63 trovandosi in prima posizione sarà parallelo all’asse c, il
piano di simmetria  in seconda posizione sarà perpendicolare all’asse a, mentre
lo slittopiano  trovandosi in terza posizione sarà perpendicolare alla diagonale di
faccia (a-b).
La classe di simmetria la deriviamo dal simbolo eliminando da ciascun elemento le
componenti traslazionali, quindi sarà 6.
Sistema esagonale
La cella esagonale convenzionale ha l’asse senario lungo c, rapporti a:b:c = a:a:c e
angoli a=b=90° e g = 120°.
I diagrammi del gruppo spaziale si rappresentano con una forma romboedrica:
origine
b
g = 120°
a
Classe di simmetria: 6
Classe di Laue: 6
Sistema esagonale
P6 No.168
b
+
a
+
+
+
Z=6
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
(, , ) ( + , , ) (,  + , ) (, , ) ( + , , ) (,  + , )
Enantiomorfo - Acentrico
P6 No.168
b
2
a
1
2
1
1
2
2
2
1
1
1
2
Unità asimmetrica
Z = 6: Vunità asimmetrica = 1/6 Vcella unitaria
Unità asimmetrica:
Vertici:
P6 No.168
½
1
R1 = 0
0
1: , ,  → (, , )
2 1
, ,
3 3
Un asse 6∕∕ : 0, 0, 
6∕∕ : , , 
6
( + , , )
6
(,  + , )
1 1
6 = 1 0
0 0
0
0
1
Due assi 3∕∕ :
Tre assi 2: 0, ½, 
6
0 0
1 0
0 1
0
T1 = 0
0
1 2
, ,
3 3
(, , )
6
( + , , )
0
6 = 0
0
2 1
, ,
3 3
1 2
, ,
3 3
½, 0, 
½, ½, 
I punti sugli assi 6, 3 e 2 sono in posizione speciale
6
(,  + , )
Tavole Internazionali di Cristallografia
La simmetria completa di un gruppo spaziale si rappresenta graficamente usando le convenzioni
internazionali stabilite nelle International Tables for X-Ray Crystallography, vol. 1 (1983).
Il diagramma di un gruppo spaziale è una proiezione lungo c. L'origine della cella (in alto a sinistra) è posta su un
centro di simmetria, se è presente, altrimenti su qualche altro elemento di simmetria o alla loro intersezione, o in
altra posizione comunque indicata. Accanto ai simboli grafici degli elementi di simmetria paralleli al piano del
diagramma è scritta la quota (come frazione del periodo c).
Le posizioni atomiche sono espresse in termini di coordinate
frazionarie (x, y, z), cioè come frazioni della lunghezza
degli assi cristallografici a, b e c.
Nelle Tabelle viene riportata la lista delle posizioni
equivalenti generali o speciali (numero e tipo). Queste ultime
si applicano ad atomi che occupano posizioni speciali,
giacciono cioè su elementi di simmetria (piani, assi propri,
centri e loro combinazioni).
molteplicità
Estinzioni sistematiche
Le posizioni equivalenti generali nel gruppo P21/c sono
quattro:
1) , , ; 2) , , ; 3) , ½ + , ½ + ;
4) , ½ + , ½ + 
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