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Corso di
Tecnica delle costruzioni
Prof. Gianmarco de Felice
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI ROMA TRE
Dipartimento di Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Civile
Anno Accademico 2013/2014
ESERCITAZIONE N°1
ANALISI STRUTTURALE:
COMBINAZIONE DEI CARICHI E CALCOLO DELLE SOLLECITAZIONI
AZIONI DI NEVE E VENTO
SOLUZIONI
1. Indicare quale affermazione relativa al metodo degli stati limite è sbagliata
1
prende in considerazione sia i problemi di collasso che quelli di esercizio
2
applica un coefficiente di sicurezza sia ai carichi che alle resistenze
3
consiste nel verificare le sole tensioni a livello locale
L’affermazione sbagliata è la terza.
2. Cos’è il coefficiente di carico q? Che cosa ne determina il valore?
Il coefficiente si carico q è il moltiplicatore dei carichi accidentali; il suo valore è determinato dal tipo di
verifica che si intende eseguire e dalle condizioni di carico. Nel dettaglio può assumere i seguenti valori (cfr.
Tab. 2.6.I. NTC 2008):
o
1 se la verifica da effettuare è allo stato limite di esercizio;
o
1.5 se la verifica da effettuare è allo stato limite ultimo ed il carico risulta agire a sfavore di sicurezza;
o
0 se la verifica da effettuare è allo stato limite ultimo ed il carico risulta agire a favore di sicurezza.
3. Determinare la massima sollecitazione (momento flettente) di progetto in una verifica allo SLU nelle
sezioni di appoggio A ed in campata B della trave in figura, per effetto delle seguenti azioni:
- carichi permanenti
Gk = 20 kN/m
- carichi variabili (di esercizio)
Qk = 30 kN/m
Momento massimo all’appoggio A
La condizione di carico più gravosa si ottiene caricando lo sbalzo con il carico permanente Gk ed il carico
accidentale Qk, amplificati dai rispettivi coefficienti 
Gd  Gk  g  1.3  20  26 kN/m
Qd  Qk  q  1.5  30  45 kN/m
MA  
(Gd  Qd )22
(26  45)  22

 142 kNm
2
2
Corso di
Tecnica delle costruzioni
Prof. Gianmarco de Felice
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI ROMA TRE
Dipartimento di Ingegneria
Corso di Laurea in Ingegneria Civile
Anno Accademico 2013/2014
ESERCITAZIONE N°1
Momento massimo in mezzeria della campata AC (in B)
La condizione di carico più gravosa si ottiene caricando l’intera trave con il carico permanente Gk
(moltiplicato per 1.3 nella campata centrale e per 1 sugli sbalzi visto che agisce a favore di sicurezza
riducendo il momento in mezzeria) e la sola campata AC con il carico accidentale Qk (amplificato dal
coefficiente γq).
Gd _ sbalzo  Gk   g  20  1  20 kN / m
Gd _ campata  Gk   g  20  1.3  26 kN / m
Qd _ sbalzo  Gk   g  30  0  0 kN / m
Qd _ campata  Gk   g  30  1.5  45 kN / m
Calcolo delle reazioni vincolari in corrispondenza degli appoggi A e C:
RA=RC =
Qd_campata  6  Gd_campata  6  Gd_sbalzo  4
2
 253
Calcolo del momento flettente nella sezione B
In B (sezione di mezzera della campata) il momento flettente vale
MB  -20  2  (1  3)  253  3-
(26+45) 2
 3  279.5 kNm
2
4. Determinare il valore dello sforzo normale di progetto nel pilastro CD del telaio in figura per effetto delle
seguenti azioni:
carico permanente sulla trave BC:
Gk = 10 kN/m
carico variabile (di esercizio) sulla trave BC:
Qk = 20 kN/m
azione del vento distribuita sul pilastro AB
p
= 8 kN/m
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Prof. Gianmarco de Felice
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Dipartimento di Ingegneria
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Anno Accademico 2013/2014
ESERCITAZIONE N°1
Azioni di calcolo
Gd  Gk  g  10  1.3  13 kN/m
Qd  Qk  q  20  1.5  30 kN/m
pd  p  q    8  1.5  0.6  7.2 kN/m
(vedi tabella 2.5.I)
Calcolo delle reazioni vincolari in corrispondenza degli appoggi A e D
xA  pd  L  0
xA  - 7.2L
[KN]
yA  yD-(Gd  Qd ) L  0
L2
L2
 yD  L-pd 
0
2
2
yD  25.35L kN
yA  18.15L kN
Lo sforzo normale nell'asta CD è pari alla reazione vincolare in D:
NCD  25.35 L kN
-(Gd  Qd )
5. Determinare la massima sollecitazione (momento flettente) di progetto nelle sezioni B, C della trave in
figura, per effetto delle seguenti azioni:
- carichi permanenti (incluso il peso proprio della trave) Gk = 20 kN/m
- carichi variabili (di esercizio)
Qk = 30 kN/m
D
Momento massimo in mezzeria della campata AC
La condizione di carico più gravosa si ottiene caricando l’intera trave con il carico permanente Gk (amplificato
dal coefficiente γg e considerato favorevole sugli sbalzi) e la sola campata AC con il carico accidentale Qk
(amplificato dal coefficiente γq)
Gd  Gk  g  1.3  20  26 kN/m sfavorevoli
Qd  Qk  q  1.5  30  45 kN/m sfavorevoli
Gd 1  Gk  g  20  1  20 kN/m favorevoli
Calcolo delle reazioni vincolari in A e C:
RA + RC = (26+45)x8 + 20x3 = 636 KN
RC = ((26+45)x8x4 + 20x3x(8+3/2))/8 = 355.25 KN
RA = 272.75 KN
Andamento della funzione taglio T(x) in campata
T(x) = -273+71x
T=0 per x=273/72=3.84m
Valore del momento in x=3.84m (sezione di momento massimo in campata)
M(3.84) = 273x3.84 – 71*3.842/2 = 524.2 KN*m
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ESERCITAZIONE N°1
Momento massimo all’appoggio C
La condizione di carico più gravosa si ottiene caricando lo sbalzo con il carico permanente Gk ed il carico
accidentale Qk, amplificati dai rispettivi coefficienti 
(Gd  Qd )32
(26  45)  32
MC  

 319.5 KNm
2
2
6. Nel seguente schema, determinare il valore di calcolo del massimo momento flettente positivo in mezzeria
per verifica allo stato limite ultimo.
carico permanente: gk = 25 kN m-1
g
q1
carico variabile (neve): q1k = 10 kN m-1
F2
forza concentrata variabile: F2k = 20 kN
l = 4.00 m
1 56 kNm
2 70 kNm
3 79 kNm
4 95 kNm
5 dati insufficienti
Nelle verifiche allo stato limite ultimo il valore di calcolo del carico deve in generale essere valutato mediante
l’espressione
n
Q = G k   g +Q k1   q +
Q
ki
  q   0i
i=2
Il valore caratteristico gk del carico permanente deve quindi essere moltiplicato per il coefficiente γg=1.3; per
quanto riguarda i carichi variabili, quello che riduce il momento in mezzeria (la forza F2k) non deve essere
preso in considerazione, mentre il valore caratteristico dell’altro deve essere incrementato mediante il
coefficiente γq=1.5.
Il carico totale da considerare è pertanto pari a
p [KN/m] = 251.3+101.5= 47.5 KN/m
e provoca un momento:
M = pl2/8 = 95 KNm
La risposta esatta è quindi la quarta.
7. Una trave semplicemente appoggiata è soggetta ai seguenti carichi distribuiti (valori caratteristici):
- peso proprio 10 kN m-1;
- altri carichi permanenti 20 kN m-1;
- carico variabile per abitazione 20 kN m-1;
- carico da neve 8 kN m-1.
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ESERCITAZIONE N°1
Qual è il valore totale del carico q (arrotondato all’unità) da utilizzare per la verifica allo stato limite ultimo?
-1
1 84 kNm
-1
2 80 kNm
-1
3 76 kNm
-1
4 58 kNm
-1
5 69 kNm
Nelle verifiche allo stato limite ultimo il valore di calcolo del carico deve essere valutato mediante
l’espressione
n
Q = G k   g +Q k1   q +
Q
ki
  q   0i
i= 2
Il valore caratteristico gk di tutti i carichi permanenti (sia il peso proprio che gli altri carichi permanenti) deve
quindi essere moltiplicato per il coefficiente γg=1.3; per quanto riguarda i carichi variabili, è necessario fare
le seguenti considerazioni.

Il carico da neve generalmente non deve essere sommato ad altri carichi variabili se questi agiscono
sulla stessa superficie.

Se, dunque, si considera che il carico da neve ed il carico accidentale per civile abitazione agiscano
sulla medesima superficie, si deve scegliere l’azione che massimizzi la sollecitazione, in questo caso
si tratta, ovviamente, del carico accidentale relativo alla destinazione d’uso dell’elemento strutturale.
Il carico da considerare è pertanto pari a:
q = (10+20)1.3 + 201.5 = 69 KN/m.
La risposta esatta è quindi la quinta.
8. Con riferimento al solaio in figura, realizzato con profilati metallici di tipo IPE 180 ed una soletta
soprastante di calcestruzzo armato, determinare il valore dei carichi permanenti sui profilati metallici e,
tenendo conto dei carichi variabili di un edificio di civile abitazione, calcolare il momento di calcolo per una
verifica allo stato limite ultimo schematizzando i vincoli di estremità come semplici appoggi.
0.8 kN/m2
tramezzi:
pavimento [s = 2 cm ]:
0.8 kN/m2
massetto
19 kN/m3
[s = 2 cm ]:
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soletta
[s =8 cm ]:
25 kN/m3
intonaco
[s = 1.5 cm ]:
0.3 kN/m2
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ESERCITAZIONE N°1
peso del profilato (IPE 180) per unità di lunghezza: 0.785 kN/m
Determinazione del valore dei carichi permanenti:
tramezzi
pavimento
massetto
soletta
intonaco
peso proprio trave
0,8 KN/m2
0,8 KN/m2
0,02 x 19 = 0,38 KN/m2
0,08 x 25 = 2,0 KN/m2
0,3 KN/m2
0,785 KN/m
Il carico permanente gk (valore caratteristico) gravante su una trave vale:
gk= (peso permanente) * interasse + peso proprio trave = 4,28*2 +0,785 = 9,345 KN/m
Determinazione del valore dei carichi variabili
Il valore dei carichi variabili è fornito dalla normativa in funzione della destinazione d’uso della struttura. Nel
caso di edificio adibito a civile abitazione vale (valore caratteristico): 2 KN/m2 (cfr. Tabella 3.1.II).
Il carico variabile qk (valore caratteristico) gravante su una trave si ottiene moltiplicando per l’interasse tra le
travi, e dunque vale:
qk = 2*2= 4 KN/m
Calcolo del momento di calcolo per una verifica allo S.L.U.
Carico distribuito sulla trave (valore di calcolo):
pd =1.3 x gk + 1,5 x qk = (12.14 + 6.00) KN/m = 18.14 KN/m
Momento nella sezione più sollecitata (sezione di mezzeria):
Md=1/8 pd x l2 = 36.3 KNm
9. Determinare il valore caratteristico della pressione del vento p (KN/m2) (data dalla normativa) per un
edificio di 40 piani nella periferia di Roma. Il corpo di fabbrica è largo circa 20 m., il sito è pianeggiante.
Velocità di riferimento e altri parametri associati al sito di costruzione
Roma: vb,0 = 27 m/sec (cfr. Tabella 3.3.I)
a = 50m < a0 = 500m  vb = vb,0
Classe di rugosità del terreno: A (cfr. Tabella 3.3.II)
Categoria di esposizione: IV (cfr. Figura 3.3.2.)
kr =0.22
z0 = 0.30m
zmin = 8m
(cfr. Tabella 3.3.II)
Pressione cinetica di riferimento
qb =  vb2/2 = 1.25 272 /2 = 455.6 N/m2
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Coefficienti di esposizione, dinamico e di topografia
z = 40piani x 3 m/piano = 120m
cd = 1
ct = 1
ce = 0.222 x 1 x ln(120/0.3) x (7+1 x ln(120/0.3))= 3.77
Coefficiente di forma (o aerodinamico)
- superficie sopravento
cp = 0.8
- superfici laterali e sottovento cp = -0.4
Pressione del vento
(valore caratteristico sulle superfici della struttura, considerata come stagna)
- superficie sopravento
p = qb  ce  cp  cd = 455.6 N/m2  3.77  0.8  1 = 1374 N/m2
- superfici laterali e sottovento p = qb  ce  cp  cd = 455.6 N/m2  3.77  (-0.4)  1 = -687 N/m2
ESERCITAZIONE N°1
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ESERCITAZIONE N°1
10. Determinare il valore caratteristico del carico neve sulla copertura in figura, da realizzare in provincia di
Milano a 500 m di altitudine. Inoltre, considerando le normative sui carichi di esercizio, determinare il valore
di progetto del carico in copertura.
Il valore caratteristico del carico neve è dato da :
qs  i  qsk  CE  C t
= 25°
= 40°
2= 20°
Il valore di calcolo è dato da :
qd  qs  q
qsk, ossia il valore del carico neve al suolo, è pari a :
qsk  1.35 x[1  (500 / 602) 2 ]  2.28 kN/m 2
immaginand o un tempo di ritorno pari a 50 anni
Ponendo il coefficiente termico e quello di esposizione pari a 1,
la condizione di carico da considerare nel caso di tetto ad una falda è :
1  0.8
qs  0.8  2.28  1.825 kN/m 2
qd  1.825  1.5  2.74 kN/m 2
Le condizioni di carico da considerare nel caso di tetto a due falde,
tenendo in considerazione sia la condizione senza vento (a) che quella con vento (b, c) (cfr. par. 3.4.5.3.) :
(a) : Caso I (senza vento) cfr. par. 3.4.5.3.
1( 1)  0.8  (60 -  ) / 30  0.53
qs  0.53  2.28  1.22 kN/m 2
qd  1.22  1.5  1.82 kN/m 2
1( 2)  0.8
qs  0.8  2.28  1.825 kN/m 2
qd  1.825  1.5  2.74 kN/m 2
(b) : Caso II (con vento)
0.51( 1)  0.5  0.8  (60 -  ) / 30  0.27
qs  0.27  2.28  0.62 kN/m 2
qd  0.62  1.5  0.92 kN/m 2
1( 2)  0.8
qs  0.8  2.28  1.825 kN/m 2
qd  1.825  1.5  2.74 kN/m 2
(c) Caso III (con vento)
1(1)  0.8  (60 -  ) / 30  0.53
qs  0.53  2.28  1.21 kN/m 2
qd  1.21 1.5  1.81 kN/m 2
0.51( 2)  0.4
qs  0.4  2.28  0.91kN/m 2
qd  0.91 1.5  1.37 kN/m 2
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Tecnica delle costruzioni
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Dipartimento di Ingegneria
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ESERCITAZIONE N°1
Carico neve nelle diverse condizioni (valori di calcolo):
11. Si consideri un capannone industriale situato nella regione Toscana, in area suburbana, ad un’altitudine
di 500 metri sul livello del mare. Con riferimento alle dimensioni e allo schema statico in figura, determinare:

Il valore caratteristico della pressione del vento.

Il valore caratteristico del carico della neve sulla copertura.

Considerando oltre ai carichi variabili suddetti, l’azione di un carico permanente uniformemente
distribuito sulle due falde pari a gk=8 kN/m, si determini il carico di progetto per una verifica allo stato
limite ultimo.
Interasse: i=5m
 = 20°
H = 10 m
L = 16 m
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Anno Accademico 2013/2014
ESERCITAZIONE N°1
1. VALUTAZIONE DELLE AZIONI AMBIENTALI
1.1 Carico vento
p = qb c e c p c d
(par. 3.3.4. NTC 2008)
Velocità di riferimento e altri parametri associati al sito di costruzione
Toscana: vb,0 = 27 m/sec
(cfr. Tabella 3.3.I  zona 3)
a = 500m = a0 = 500m  vb = vb,0
Classe di rugosità del terreno: B
(cfr. Tabella 3.3.III)
Categoria di esposizione: IV
(cfr. Figura 3.3.2.)
kr =0.22
(cfr. Tabella 3.3.II)
z0 = 0.30m
(cfr. Tabella 3.3.II)
zmin = 8m
(cfr. Tabella 3.3.II)
Pressione cinetica di riferimento (3.3.6 NTC 2008)
qb =  vb2/2 = 1.25 272 /2 = 455.6 N/m2
Coefficienti di esposizione (3.3.7 NTC 2008), dinamico (3.3.4 NTC 2008) e di topografia (3.3.7 NTC 2008)
cd = 1
ct = 1
z1 = 10.0 m (superfici 1 e 4)
z2 = 11.5 m (superfici 2 e 3)
ce,1 = 0.222 x 1 x ln(10.0/0.3) x (7+1 x ln(10.0/0.3))= 1.78 (superfici 1 e 4)
ce,2 = 0.222 x 1 x ln(11.5/0.3) x (7+1 x ln(11.5/0.3))= 1.88 (superfici 2 e 3)
Coefficiente di forma (o aerodinamico) (cfr Par. C.3.3.10.1 Circ. 2009)
- superficie 1
cp = 0.8
- superficie 2
cp = -0.4
- superficie 3
cp = -0.4
- superficie 4
cp = -0.4
Pressione del vento
(valore caratteristico sulle superfici della struttura, considerata come stagna)
- superficie 1
- superficie 2
- superficie 3
- superficie 4
p k1 = qb  ce,1  cp  cd = 455.6 N/m2  1.78  0.8  1 = 649 N/m2
p k2 = qb  ce,2  cp  cd = 455.6 N/m2  1.88  (-0.4)  1 = - 343 N/m2
p k3 = qb  ce,2  cp  cd = 455.6 N/m2  1.88  (-0.4)  1 = - 343N/m2
p k4 = qb  ce,1  cp  cd = 455.6 N/m2  1.78  (-0.4)  1 = - 324 N/m2
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Anno Accademico 2013/2014
Pk2
ESERCITAZIONE N°1
Pk3
Pk4
10
Pk1
11.456
20°
1.2. Carico neve
Dato che la struttura in esame è simmetrica, i valori di carico neve da considerare sono i seguenti (cfr. par.
3.4.5.3 e fig. 3.4.3 NTC 2008)
Il coefficiente termico e quello di esposizione sono posti pari ad 1 Cfr. par. 3.4.4. NTC 2008
q s  i  qsk  CE  Ct
q sk  0.85 x[1  (500 / 481) 2 ]  1.77 kN/m 2
1(  20)  0.8
q1k  q sk x 1  1.41kN/m2
q2 k  qsk x 1x0.5  0.71kN/m2
Cfr. par. 3.4.1-2-3 NTC 2008
Cfr. par. 3.4.5.1 e tab. 3.4.II NTC 2008
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ESERCITAZIONE N°1
2. VALUTAZIONE DEI VALORI DI CALCOLO DA APPLICARE AL TELAIO
2.1. Carico permanente
Valore caratteristico del carico:
gk = 8KN/m
Valori di calcolo da adottare per la verifica allo SLU:
gd1 = gk x 1.3 = 10.4 KN/m2
2.2. Carico vento
p k1 = 649 N/m2
p k2 = - 343 N/m2
p k3 = - 343 N/m2
p k4 = - 324 N/m2
Valore caratteristico del carico:
Valore caratteristico da applicare alle aste del portale: Pk1 = i x pk1 = 3.25 KN/m
Pk2 = i x pk2 = 1.72 KN/m
Pk3 = i x pk3 = 1.72 KN/m
Pk4 = i x pk4 = 1.62 KN/m
Valori di calcolo da adottare per la verifica allo SLU:
Pd1 = Pk1 x 1.5 = 4.88 KN/m
Pd2 = Pk2 x 1.5 = 2.58 KN/m
Pd3 = Pk3 x 1.5 = 2.58 KN/m
Pd4 = Pk4 x 1.5 = 2.43 KN/m
2.3. Carico neve
q k1 = 1.82 kN/m2
q k2 = 0.92 kN/m2
Valore caratteristico del carico:
Valore caratteristico da applicare alle aste del portale: Qk1 = i x qk1 = 7.08 KN/m
Qk2 = i x qk2 = 3.54KN/m
Valori di calcolo da adottare per la verifica allo SLU:
Qd1 = Qk1 x 1.5 = 10.62 KN/m
Qd2 = Qk2 x 1.5 = 5.31 KN/m
La seguente tabella riassume le combinazioni di carico considerate. Il diagramma delle sollecitazioni da
utilizzare per le verifiche allo SLU è ottenuto come inviluppo di tali combinazioni.
Coefficienti moltiplicativi dei carichi
Combinazione
Carico perm.
falda sinistra
Carico perm.
falda destra
Carico neve
“A”
Carico neve
“B”
Carico
vento
Note
C1
1.3
1.3
1.5
0
0
Max N (pilastro sn)
C2
1.3
1.3
0
1.5
1.5x0.6
Max N (pilastro dx)
C3
1
1.3
0
1.5x0.5
1.5
Max M min N
(pilastro sn)
Note:
- In grassetto è indicata l’azione variabile considerata come principale, in ogni combinazione.
- I valori dei coefficienti ψ0i sono indicati nella tabella 2.5.I. della normativa.
- Il carico neve indicato come “A”, corrispondente al Caso I della normativa, non si combina con il vento; il
carico “B”, corrispondente ai casi II e III (struttura simmetrica) della normativa, è da utilizzare nelle
combinazioni in cui è presente anche il carico vento (cfr. par. 3.4.5.3 NTC 2008).
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