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Attrattore di Lorenz
Corso di Calcolo Numerico, A.A. 2013-2014
Ingegneria delle Comunicazioni
Marco Cavinato, Marco Di Seglio, Andrea Venditti
L'Attrattore: cosa è e cosa rappresenta
È un toy model utilizzato per descrivere il comportamento di un
sistema caotico.
Un sistema caotico è tale se presenta una estrema sensibilità
alle condizioni iniziali.
La ricerca delle soluzioni
Il sistema di equazioni differenziali non è
risolvibile per via analitica: si rende necessario
l'uso di un metodo numerico.
I metodi iterativi presi in esame sono:
●
Metodo di Eulero
●
Metodo di Heun
●
Metodo di Runge-Kutta
I valori utilizzati sono σ =10, β = 8/3, η = √(β*(ρ-1))
Metodo di Eulero
Poiché il valore di una
equazione differenziale in
un punto rappresenta il
coefficiente angolare della
funzione soluzione è
possibile stimare le
soluzioni ad un problema
differenziale come:
Metodo Eulero - script
Y = [];Z = [];W = [];
for i = 0: N
% inizializzo i vettori che conterranno i risultati
%avvio un ciclo dove N è l'ampiezza dell'intervallo in
%cui vogliamo calcolare le soluzioni approssimate
y1 = y0 + h*(-beta*y0+z0*w0);
%valuto la funzione nei punti iniziali
z1 = z0 +h*(-sigma*z0 +sigma*w0);
w1 = w0+h*(-z0*y0 + rho*z0) ;
Y = [Y, y1];
Z = [Z, z1];W = [W, w1]; %aggiungo i risultati ottenuti al vettore
%delle soluzioni
y0 = y1; z0 = z1; w0 = w1;%sostituisco ai valori del passo n-1 quelli delpasso n
end
Metodo di Heun - algoritmo
Rispetto al metodo di
Eulero, migliora
l'approssimazione della
secante tra due punti
introducendo una media
tra le pendenze.
Metodo di Heun - script
for i = 1:niter
%Calcolo per componenti
K1y = -beta*Y(i)+W(i)*Z(i);
K2y = -beta*(Y(i)+h)+W(i)*Z(i);
Y(i+1) = Y(i) +(h/2)*(K1y + K2y);
K1z = -sigma*Z(i)+sigma*W(i);
K2z = -sigma*(Z(i)+h)+sigma*W(i);
Z(i+1) = Z(i) +(h/2)*(K1z + K2z);
K1w = -Z(i)*Y(i)+rho*Z(i)-W(i);
K2w = -Z(i)*Y(i)+rho*Z(i)-(W(i)+h);
W(i+1) = W(i) +(h/2)*(K1w + K2w);
end
%Calcolo del coefficiente K1
%Calcolo del coefficiente K2
%Valore della funzione al
passo i+1 ed immissione nel
vettore Y
%Valore della funzione al
passo i+1 ed immissione nel
vettore Z
%Valore della funzione al
passo i+1 ed immissione nel
vettore W
Metodo Runge-Kutta - algoritmo
Il metodo di
Runge-Kutta
sviluppato al IV
oridine segue
l'algoritmo:
Questo metodo a parità di passo di
integrazione e numero di iterazioni risulta
essere più preciso dei precedenti
Metodo Runge-Kutta - script
ky1= -beta*y0 + z0*w0;
%calcolo le stime dei 4 punti successivi
rispetto alla tangente della y0
ky2= h/2*(-beta*(y0) + z0*w0) +h/2*ky1;
ky3= h/2*(-beta*(y0) + z0*w0) +h/2*ky2;
ky4= h*(-beta*(y0) + z0*w0) +h*ky3;
kz1= -sigma*z0 + sigma*w0;
%eseguo lo stesso calcolo per z
kz2= h/2*(-sigma*(z0) + sigma*w0) +h/2*kz1;
kz3= h/2*(-sigma*(z0) + sigma*w0) + h/2*kz2;
kz4= h*(-sigma*(z0) + sigma*w0) +h*kz3;
kw1= -z0*y0 + rho*z0 -w0;
%lo stesso procedimento per w
kw2= h/2*(-z0 + rho*z0 -(w0)) +h/2*kw1;
kw3= h/2*(-z0 + rho*z0 -(w0)) +h/2*kw2;
kw4= h*(-z0 + rho*z0 -(w0)) + h*kw3;
dy= y0 + h/6*(ky1 + 2*ky2 + 2*ky3 + ky4);
%calcola le approssimazioni delle
dz= z0 + h/6*(kz1 + 2*kz2 + 2*kz3 + ky4);
% soluzioni esatte
dw= w0 + h/6*(kw1 + 2*kw2 + 2*kw3 + kw4);
Variazione in funzione del
parametro ρ (costante di Rayleigh)
Il sistema di
equazioni
rappresenta un
comportamento
aderente alla realtà
solo per valori di
ρ ≈ 1.
Per questo valore il
sistema rappresenta
in maniera
soddisfacente un
moto convettivo.
Sensibilità alle condizioni iniziali
Due punti, inizialmente
molto vicini, si separano pur
mantenendo lo stesso
andamento e restando
sempre “attratti” da due
punti dello spazio.
Questo comportamento è
tipico degli attrattori.
Metodo Eulero: diversi passi di
integrazione
Eulero è il più
semplice metodo e
quindi, il più
influenzabile dal
passo di
integrazione.
Metodo Heun: diversi passi di
integrazione
Anche il metodo di
Heun è molto
sensibile al passo
d'integrazione: per
valori di h
sufficientemente
grandi, il metodo
non converge.
Metodo Runge-Kutta: diversi passi
di integrazione
RK rispetto
agli altri
presenta
una
maggiore
stabilità
rispetto al
passo di
integrazione
Considerazioni finali
Tra i metodi testati: il più preciso è quello di RK
al IV ordine, seguito da quello al II ordine
(Heun) ed infine da Eulero.
La precisione a parità di passo di integrazione
cresce quindi al crescere dell'ordine poiché la
stima del coefficiente angolare è “ponderata”
tramite una media nei vari punti del passo o,
equivalentemente il coeff. angolare è una
combinazione lineare dei punti nell'intervallo
[t,t+h]
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