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Esercizi di EML (con soluzioni),
C.S. in Informatica, a.a.2014-2015.
Aritmetica modulare
Es. 1. In Z35 determinare tutti i multipli distinti e tutte le potenze distinte di 14 .
Es. 2. Calcolare i quadrati di tutti gli elementi invertibili di Z8 .
Es. 3. Calcolare le potenze ottave di tutti gli elementi invertibili di Z15 .
Es. 4. Stabilire se le seguenti equazioni in Z24 hanno soluzioni e in caso affermativo dire quante sono.
15 x = 9;
15 x = 1;
15 x = 8;
11 x = 8;
2 x = 2.
Es. 5. Risolvere in Z77 l’equazione 14 x = 21 .
Es. 6. Provare che:
a) 100 `e invertibile in Z1001 e determinare il suo inverso.
b) 16 `e invertibile in Z35 e determinare il suo inverso.
Es. 7. In Z12 `e vero che ax = ay , a 6= 0
⇒
x = y ? e in Z13 ?
Es. 8. Risolvere:
a) l’equazione 14 x = 5 in Z103 ;
b) l’equazione 12 · x = 15 in Z39 .
Es. 9. In Z60 quante sono le soluzioni dell’equazione 18 x = 12 ?
(
Es. 10. Determinare tutti gli interi x tali che
Es. 11. Risolvere i sistemi di congruenze.
(
2x ≡ 1
(mod 3)
(
7x ≡ 5
(mod 22)
2x ≡ 10
(mod 6)
35x ≡ 25
(mod 30)
3x = 4
in Z16
4x = 8
in Z15
(
(
7x ≡ 5
(mod 10)
4x ≡ 5
(mod 9)
6x ≡ 14
(mod 22)
8x ≡ 18
(mod 30)
Es. 12. Provare che 41 divide 220 − 1 (Si usi il teorema di Fermat).
Es. 13. Calcolare l’inverso di 3 in Z17 usando il teorema di Fermat.
Es. 14. Calcolare la cifra delle unit`
a di N = 7512
2
Es. 15. Provare che 3n20 + 8n15 + 6n3 + 4n2 `e un multiplo di 7 , per ogni n ∈ Z .
Es. 16. Provare che per ogni n ∈ Z si ha: n9 + 2n7 + 3n3 + 4n ∈ 5Z .
Es. 17. Calcolare 1157 (mod 23) .
Es. 18. Calcolare il resto della divisione di 1398 per 17 e della divisione di 11101 per 19 .
Es. 19. Determinare tutti gli a ∈ N tali che a122 = 2 in Z7 .
Es. 20. Provare che se 7 non divide n allora 7 divide n12 − 1 .
Es. 21. Calcolare la funzione di Eulero ϕ(n) per n = 26, 32, 41 .
Es. 22. Calcolare 9
101
1000
e 7
in Z26 .
Es. 23. [La cometa di Halley] (Dai lucidi di Barattero per Matematica Discreta 2004-05).
Le ultime tre apparizioni della cometa di Halley sono state negli anni 1835, 1910, 1986 e la prossima sar`
a
nel 2061. Verificare che:
1835
1910
+ 1986
2061
= 0
in Z7
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Soluzione di alcuni esercizi
Es. 5 L’equazione ( ] ) 14 x = 21 in Z77 ha soluzioni perch´e MCD(14, 77) = 7 divide 21 . Per trovarle si
risolve in Z l’equazione 14x − 77y = 21 : nelle sue soluzioni intere si ha
([) x = −15 + 11t,
t∈Z
(il valore di y non interessa). Quindi una soluzione di ( ] ) `e x0 = −15 = 62 . Al variare di t dalla ( [ ) si
ottengono tuttte le soluzioni di ( ] ) che si possono esprimere nella forma
x0 , x0 + c, x0 + 2c, . . . , x0 + (d − 1)c
dove d = MCD(14, 77) e c = 77/d = 11 , quindi sono
x0 = 62, x1 = 62 + 11 = 73, x2 = 62 + 22 = 7, x3 = 18, x4 = 29, x5 = 40, x6 = 51
J
Es. 6 100 `e invertibile in Z1001 se e solo se MCD(100, 1001) = 1 . Siccome 1001 = 100 · 10 + 1 , ne segue
che MCD(100, 1001) = 1 ; inoltre dalla relazione 1 = 1001 − 100 · 10 (in Z ), segue che in Z1001 si ha
1 = 100 · −10 e quindi −10 = 991 `e l’inverso di 100 in Z1001 .
J
Es. 8 a) Poich´e MCD(14, 103) = 1 , si ha che 14 `e invertibile in Z103 e l’equazione data ha come soluzione
(unica) 5 · (14)−1 . Troviamo allora (14)−1 usando l’algoritmo euclideo e l’identit`a di Bezout, troviamo
cio`e a ∈ Z tale che (14)−1 = a ovvero tale che a · 14 = 1 ovvero tale che 14 a − 1 = 103 b per qualche
b ∈ Z . Si tratta quindi di trovare una soluzione intera dell’equazione 14 a − 103 b = 1 . Si ha:
103 = 14 · 7 + 5;
e
14 = 5 · 2 + 4;
5=4·1+1
1 = 5 − 4 = 5 − (14 − 5 · 2) = 5 · 3 − 14 = (103 − 14 · 7) · 3 − 14 = 14(−22) − 103(−3) ,
quindi 14
−1
= −22 = 81 e la soluzione cercata `e x = 5 · 81 = 405 = 96 .
b) 12 · x = 15 se e solo se esiste y ∈ Z tale che 12x + 39y = 15 ; questa equazione ha soluzioni perch´e
MCD(12, 39) = 3 divide 15 ; le soluzioni sono `e x = −15 + 13k, y = 5 − 4k al variare di k ∈ Z . Ne segue
che le soluzioni dell’equazione in Z39 sono x = −15 + 13k , k ∈ Z . Si osservi che le soluzioni distinte
sono 3 e si ottengono assegnando a k tre valori consecutivi, ad es. per k = 0, 1, 2 si ha:
−15 + 0 = 24 ,
−15 + 13 = 37 , −15 + 260 = 11 .
J
Es. 10 Le soluzioni della prima congruenza sono x = 12+16h con h ∈ Z ). Tra queste, quelle che verificano
la seconda sono quelle per cui (12 + 16h) + 15k = 2 , cio`e 16h + 15k = −10 . Le soluzioni di questa sono
h = −10 + 15t, k = 10 − 16t con t ∈ Z e quindi gli interi cercati sono x = 12 + 16h = 12 + 16(−10 + 15t) =
−148 + 240t .
J
Es. 13 Dal teorema di Fermat segue che per ogni a ∈ Z tale che p 6 |a si ha a −1 = a p−2 . Quindi in Z17
si ha 3 −1 = 3
3
15
. Si ha
3 = 27 = 10,
6
2
3 = 10 = 100 = 15 = −2,
12
3
2
= −2 = 10,
15
3
= 104 = 40 = 6
J
Es. 14 La cifra richiesta `e il rappresentante di N in Z10 compreso tra 0 e 9 . Si ha:
4
Soluzione di alcuni esercizi
7111 = 7 · (72 )55 = 7 · (49)55 = 7 · (−1)55 = −7 = −7 = 3 . Quindi l’ultima cifra di N `e 3 .
J
Es. 15 In Z7 si ha
3n20 + 8n15 + 6n3 + 4n2 ∈ 7Z ⇔
3n20 + 8n15 + 6n3 + 4n2 = 3 n20 + 8 n15 + 6 n3 + 4 n2 = 0
Se 7 | n allora n = 0 e quindi l’uguaglianza precedente `e verificata; se 7 non divide n , siccome
7 `e primo, per il teorema di Fermat si ha n6 = 1 , quindi n20 = n2 e n15 = n3 per cui
3 n20 + 8 n15 + 6 n3 + 4 n2 = 3 n2 + 8 n3 + 6 n3 + 4 n2 = 7 n2 + 14 n3 = 0 n2 + 0 n3 = 0 .
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Es. 17 Poich´e 57 = 22 · 2 + 13 , per il teorema di Fermat si ha
1157 = (1122 )2 1113 = 1113
e, calcolando modulo 23, si ha : 112 = 121 = 6 ,
(mod 23)
113 = 6 · 11 = 66 = −3 ,
116 = 9 ,
1112 = 81 = 12 ,
1113 = 11 · 12 = 132 = 17 .
J
Es. 18 Se 1398 = 17 · q + r con 0 ≤ r ≤ 16 allora r `e l’unico intero tale che 0 ≤ r ≤ 16 e 1398 ≡ r
(mod 17) . Poich´e 98 = 16 · 6 + +2 , calcolando modulo 17 si ha
1398 = (1316 )6 · 132 = 132 = (−4)2 = 16
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Es. 19 Se a ∈ 7N , allora in Z7 si ha a = 0 e quindi a122 = 0 6= 2 .
Se invece a 6∈ 7N , allora per il teorema di Fermat, in Z7 , si ha a6 = 1 per ogni a ∈ N∗ . Siccome
122 = 6 · 20 + 2 si ha
a122 = a6·20+2 = (a6 )20 a2 = a2 . Quindi l’insieme richiesto `e {a ∈ N∗ | a 6∈ 7N} .
J
Es. 20 Dal teorema di Fermat si ha che n6 ≡ 1 (mod 7) , quindi
n12 − 1 = (n6 )2 − 1 ≡ 1 − 1 = 0
(mod 7) .
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Es. 22 9 e 26 sono primi tra loro, possiamo quindi usare il teorema di Fermat-Eulero. Gli interi positivi
x ≤ 26 , che sono primi con 26 sono: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 15, 17, 19, 21, 23, 25 , quindi ϕ(26) = 12 e, in Z26 , si
ha 9
12
= 1 (verificare). Poich´e 101 = 12 · 8 + 5 si ha:
101
9
=9
12·8+5
12
5
5
10
= (9 )8 9 = 9 = 3
=3
( 33 = 27 = 1 ).
J
Es. 23 Si ha 1835 = 7 · 262 + 1 e 1986 = 7 · 283 + 5 , quindi i numeri 1835 , 1986 non sono divisibili per
6
6
7 e 7 `e un numero primo, allora per il teorema di Fermat: 1835 = 1 e 1986 = 1 . Allora:
1835
1910
+ 1986
2061
= 1835
6·318+2
6
+ 1986
6·343+3
2
6
= (1835 )318 · 1835 + (1986 )343 · 1986
2
= 7 · 262 + 1 + 7 · 283 + 5
3
2
= 1 +5
3
3
2
= 1835 + 1986
3
= 1 + 25 · 5 = 1 + 4 · 5 = 21 = 0
J
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