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5bsa integrazione numerica parte 3

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5BSA Aprile 2015 Docente Salvatore Mosaico Calcolo Numerico (Integrazione parte 3)
Ultimo metodo che vediamo è quello di Cavalieri-Simpson , che è un miglioramento del metodo dei trapezi per approssimare un integrale
definito nella forma :
La regola di Cavalieri-Simpson approssima l'integrale della funzione richiesta (in blu) con quello della parabola che la interpola nei nodi (in
rosso:
Vogliamo calcolare l’area sottesa da un grafico tra il l’ascissa
Suddividiamo l’intervallo [a-b] in N parti uguali di ampiezza
a
h =
e
b − a
N
1
b
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Considero 2 intervalli consecutivi e approssimo l’area con una parabola che passa per 3 punti , xi , xi +1 , xi + 2
Occorre che gli intervalli siano in numero PARI
Consideriamo la prima parabola
La funzione che approssima è quadratica del tipo
in modo che il suo integrale tra
e
differisca da quello della funzione originale di una quantità che possa risultare trascurabile.
La espressione polinomiale sostitutiva rappresenta una generica parabola con asse di simmetria verticale. Per determinare il valore delle
costanti A, B e C si impone il passaggio della parabola per i punti di coordinate:
.
In questo modo la parabola è univocamente determinata dalla risoluzione del seguente sistema di equazioni lineari:
,
da cui risulta:
Per il valore dell'integrale di questo polinomio che scriviamo
si trova:
2
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=
.
Sostituendo i valori di A, B e C ricavati dal sistema, si ottiene il valore approssimato
.
Operiamo in modo analogo per il calcolo degli integrali dei polinomi nei successivi n-1 intervalli parziali; successivamente si sommano i valori
ottenuti sugli m intervalli parziali e per l'intero intervallo d'integrazione si ottiene un valore approssimato che denotiamo J per l'integrale da
valutare:
.
Dunque:
Tenendo conto che y 0 = f (a ), y n = f (b), y i = f (i * h)
J=
h
( f (a) + 4 f (a + h) + 2 f (a + 2h) + 4 f (a + 3h) + ....2 f (a + h(n − 2)) + 4 f (a + h(n − 1)) + f (b))
3
L’algoritmo prevede
Calcolo f(a)+f(b)
Aggiungo
f(i*h)
con i che va da 1 a n-1 moltiplicandolo per 4 e 2 alternativamente
Moltiplico per alla fine per h/3
3
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Per avere alternativamente
alternativamente il coefficiente 4 e 2 invece di fare dei test
Utilizzo la funzione della retta che passa per i punti (4,2) e (2,4) ossia una funzione tele che f(4) = 2 e f(2)=4
x−4 y−2
=
2−4 4−2
2(x-4)=-2(y-2)
2x-8=-2y+4
2x-8=-2y+4
2x-12=-2y
x-6=-y
y =-x+6
la seguente assegnazione pertanto
coefficiente =-coefficiente+6
partento dal valore iniziale coefficiente=4 mi da alternativamente 2 e 4
riportiamo di seguito il codice completo che implementa il metodo
4
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5
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Esempio se utilizzo la funzione f(x)=x
bisettrice e voglio calcolare l’area tra 0 e 6
L’AREA la calcolo con basexaltezza/2 = 6*6/2=18
Di seguito vediamo il metodo di cavalieri Simpson in HTML/JAVASCRIPT
6
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Possiamo sfruttare il calcolo dell’area per approssimare
π
Consideriamo l’equazione della circonferenza di raggio 1
Consideriamo il grafico sul primo quadrante
La funzione è
f ( x) = 1 − x 2
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L’area di tutto il cerchio è πr2 ma r=1 dunque l’area vale
L’area sotto il primo quadrante dunque ¼ di
Dunque l’area della funzione
π
π
f ( x) = 4 1 − x 2
vale
π
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Un altro modo per approssimare
π è il seguente
Sappiamo che
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Allora vale la seguente uguaglianza
Applichiamo l’approssimazione del calcolo dell’area
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