C APITOLO 3
Successioni e serie
3.1 Successioni
Un caso particolare di applicazione da un insieme numerico ad un altro insieme
numerico è quello delle successioni, che risultano essere definite nell’insieme dei
numeri naturali ed assumono valori nell’insieme dei numeri reali: esse possono
anche essere chiamate funzioni reali di variabile intera. Più precisamente:
R
Definizione (Successione numerica)
La funzione
a :N→R
si chiama successione. L’immagine di n ∈ N si indicherà con il simbolo a n e si
chiamerà termine generale della successione.
E
Esempio 3.1
La legge a n = n 2 individua una successione che ad ogni intero n associa il suo
quadrato n 2 .
an
n
Figura 3.1
Grafico della successione a n = n 2 .
83
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
E
84
Esempio 3.2
Si consideri la legge
an =
1
.
n
Essa è una successione, definita per ogni intero n 6= 0 :
a : N+ → R.
an
n
Figura 3.2
Grafico della successione a n = n1 .
3.1.1 Limite di una successione
Si consideri la successione a n = n1 . Al crescere di n, essa tende ad assumere valori
man mano più piccoli, e sempre più vicini allo zero. Più precisamente, non appena
n è “sufficientemente grande” lo “scarto” tra a n e ` = 0 è “molto piccolo”. Si dice in
tal caso che la succesione a n tende a ` = 0 per n → ∞ o che, in altre parole, il limite
per n → ∞ di a n è pari a zero.
Per rendere rigorosa tale nozione intuitiva occorre tuttavia specificare cosa si intende con “sufficientemente grande”, “scarto” e “molto piccolo”:
• n “sufficientemente grande” può essere espresso matematicamente come n >
n, dove n è un intero opportuno,
• per quantificare lo “scarto” o, meglio, la distanza tra la successione a n e il suo
limite si può utilizzare la funzione modulo: la grandezza |a n − `| rappresenta
la distanza (euclidea) tra a n e `,
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
85
l’affermazione “scarto molto piccolo” tra a n e ` può essere tradotta matematicamente come “distanza tra a n e ` minore di un numero ² arbitrariamente fissato”:
|a n − `| < ² ∀² > 0.
R
A questo punto si può enunciare la nozione di limite (finito) di una successione:
Definizione (Limite finito di una successione)
Sia a n : N → R una successione. Si dice che1
lim a n = `
n→+∞
se
∀² > 0 ∃n ² ∈ N | n > n ² ⇒ |a n − `| < ².
an
ℓ+ǫ
ℓ
ℓ−ǫ
|an − ℓ| < ǫ
nǫ
x
Figura 3.3
Un esempio di successione a n con limn→+∞ a n = `.
Si consideri ora la successione a n = n 2 . Chiaramente, all’aumentare di n, i valori
che assume la successione divengono via via più grandi. In particolare, non appena n è “sufficientemente grande” i valori che assume la successione sono “molto
grandi”. Si dice in tal caso che il limite per n che tende all’infinito di a n è infinito.
Dal punto di vista formale dire che i valori che la successione assume sono “molto
grandi” equivale a dire che
∀M > 0 a n > M .
E’ possibile a questo punto dare la seguente
1 L’espressione seguente si legge “il limite per n che tende all’infinito di a è uguale a `”.
n
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
R
86
Definizione (Limite infinito di una successione)
Sia a n : N → R una successione. Si dice che
lim a n = +∞
n→+∞
se
∀M > 0 ∃n M ∈ N | n > n M =⇒ a n > M .
an
M
n
n
M
Figura 3.4
Un esempio di successione con limite per n → +∞ pari a +∞.
Analogamente si dice che
lim a n = −∞
n→+∞
se
∀M > 0 ∃ n M ∈ N | n > n M =⇒ a n < −M .
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
87
an
n
n
M
−M
Figura 3.5
Un esempio di successione con limite per n → +∞ pari a −∞.
" Osservazione
Nella definizione di limite (finito o infinito) si è assunto che |a n − `| < ² (oppure
a n > M o a n < −M ) non appena n > n ² (o n > n M ). Che l’intero n ² (n M ) dipenda,
in generale, dalla scelta di ² (M ) è evidente osservando le figure 3.3, 3.4 e 3.5.
R
Definizione (Successioni convergenti, divergenti e indeterminate)
• Una successione convergente o divergente (cioè tendente a ±∞) si dice regolare
E
• Una successione che non ammette limite si dice indeterminata
Esempio 3.3
La successione
a n = (−1)n
è indeterminata. In effetti tale successione oscilla tra i valori −1 e 1. In particolare
se n è pari risulta a n = 1 mentre se n è dispari si ha a n = −1.
E
Esempio 3.4
La successione
a n = (−1)n n 2
è indeterminata. Infatti:
• per n pari si ha a n = n 2 , che tende a +∞ al crescere indefinito di n
• per n dispari si ha a n = −n 2 che tende a −∞ al crescere indefinito di n
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
88
3.1.2 Successioni monotòne
In modo analogo a quanto visto per le funzioni reali di variabile reale, è possibile
dare per le successioni la definizione di monotonia. In particolare:
R
Definizione
• Se ∀n ∈ N si ha a n+1 > a n la successione a n si dice monotòna crescente
• se ∀n ∈ N si ha a n+1 ≥ a n la successione a n si dice monotòna non decrescente (o crescente in senso largo)
• se ∀n ∈ N si ha a n+1 < a n la successione a n si dice monotòna decrescente
• se ∀n ∈ N si ha a n+1 ≤ a n la successione a n si dice monotòna non crescente
(o decrescente in senso largo)
" Osservazione
Le successioni crescenti (decrescenti) si dicono anche strettamente crescenti (decrescenti).
E
Esempio 3.5
La successione a n = n 2 + 1 è crescente. In effetti risulta:
a n+1 = (n + 1)2 + 1 = n 2 + 2n + 2 = (n 2 + 1) + 2n + 1 =⇒
a n+1 = a n + 2n + 1.
Essendo 2n + 1 > 0 si ha, quindi,
E
a n+1 > a n .
Esempio 3.6
Sia a n la successione
an = [
n +1
],
2
dove [x] è la funzione parte intera di x, definita come il più grande numero relativo
minore o uguale a x. Tale successione è crescente in senso largo. Infatti si ha:
E
a n+1 = [
n +1
n +2
]≥[
] ≡ an .
2
2
Esempio 3.7
La successione
1
a n = ( )n
3
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
89
è strettamente decrescente. Si ha, infatti
1
1
1 an
a n+1 = ( )n+1 = ( )n · =
< an .
3
3
3
3
Per le successioni monotòne sussiste il seguente
w Teorema (Regolarità delle successioni monotòne)
Ipotesi) La successione a n è monotòna
Tesi) a n è regolare
In particolare se a n è una successione crescente in senso stretto o in senso largo
risulta
lim a n = sup{a n }
n→+∞
n∈N
mentre se a n è decrescente in senso stretto o largo, si ha:
lim a n = inf {a n }
n→+∞
n∈N
Dimostrazione
Si supponga, ad esempio, che la successione a n sia crescente o non decrescente e
limitata, e sia
S = sup{a n }.
n∈N
Per definizione di estremo superiore si ha:
S ≥ a n , ∀n ∈ N
e
∀² > 0 ∃ n ² | S − ² < a n² ,
relazioni che possono essere riscritte nel seguente modo:
∀² > 0∃ n ² | S − ² < a n² ≤ S
Siccome la successione è crescente o non decrescente risulta che, fissato un arbitrario ² > 0 si ha, per n > n ² ,
S − ² < a n² ≤ a n < S + ².
Si è provato quindi che
∀² > 0 ∃n ² | n > n ² =⇒ S − ² < a n < S + ².
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
90
Visto che la relazione S − ² < a n < S + ² è equivalente alla relazione |a n − S| < ², si è
provato che
∀² > 0 ∃n ² | n > n ² =⇒ |a n − S| < ²,
coincidente con la definizione di
lim a n = S.
n→+∞
■
Esercizio 3.1
Si dimostri che una successione limitata decrescente o non crescente ammette il
limite
lim a n = inf {a n }.
n→+∞
n∈N
3.1.3 Verifiche di limiti
Per dimostrare che il limite di una successione esiste occorre, ovviamente, far vedere che risulta verificata la definizione di limite. In particolare occorrerà dimostrare
l’esistenza di n ² nel caso di limite finito e di n M nel caso di limite infinito.
E
Esempio 3.8
Si dimostri che
lim
n→+∞
2n
= 2.
n +2
Soluzione
Fissato un arbitrario ² > 0 si ha
|
2n
−4
4
n +2 1
− 2| < ² ⇔ |
|<²⇔|
|<²⇔
> .
n +2
n +2
n +2
4
²
2n
− 2| < ² non appena
Dall’ultima relazione si deduce che | n+2
n +2 >
4
4
⇔ n > − 2.
²
²
2n
Ponendo quindi n ² = [ 4² −2] si è provato che, non appena n > n ² risulta | n+2
−2| < ²,
per ogni ² > 0, coincidente con la definizione di limite finito.
E
Esempio 3.9
Si dimostri che
1
lim ( )−n = +∞.
2
n→+∞
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
91
Soluzione
Fissato un arbitrario M > 0 si ha:
1
1
ln M
( )−n > M ⇐⇒ −n ln > ln M ⇐⇒ n ln 2 > ln M ⇐⇒ n >
.
2
2
ln 2
1 −n
> M , per
Ponendo n M = [ lnlnM
2 ] si è provato che, non appena n > n M risulta ( 2 )
ogni M > 0, coincidente con la definizione di limite a +∞ per la successione ( 12 )−n .
3.1.4 Calcolo dei limiti
Il calcolo del limite di una successione, quando esiste, è particolarmente semplice
nei casi seguenti:
1. L’insieme {a n , n ∈ N} ammette un unico punto di accumulazione. In tal caso
il limite della successione a n , che è supposto esistere, coincide con tale punto
di accumulazione. In effetti, se il limite della successione esiste, ciò vuol dire
che da un certo n in poi tutti i punti della successione saranno molto vicini al
valore limite `. Ciò vuol dire però che ` è anche un punto di accumulazione
dell’insieme {a n , n ∈ N}. Pertanto il limite della successione a n potrà essere
identificato con il punto di accumulazione dell’insieme {a n , n ∈ N}. Ad esempio, la successione a n = n1 ammette un unico punto di accumulazione, pari a
zero: risulterà pertanto
1
lim
=0
n→+∞ n
2. La successione a n è monotòna. In tal caso il limite di a n può essere ottenuto come estremo superiore o estremo inferiore dell’insieme {a n , n ∈ N}. Ad
esempio, si può pertanto concludere che, per α > 0,
lim
n→+∞
1
= 0,
nα
visto che la successione è monotòna e ` = 0 è l’unico punto di accumulazione
dell’insieme { n1α , n ∈ N+ } e che
lim n α = +∞
n→+∞
visto che la successione è monotòna crescente e che sup{n α , n ∈ N} = +∞.
3. La successione a n è un polinomio di grado k nella variabile n :
a n = c 0 + c 1 n + c 2 n 2 + ... + c k n k .
In tal caso risulta:
lim a n = lim c k n k (
n→+∞
n→+∞
c0
ck n k
+
c1
c k n k−1
+
c2
c k n k−2
+ ... + 1).
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
92
Siccome gli addendi in parentesi tonda dipendenti da n tendono a zero, risulta
½
+∞ se c k > 0
lim a n =
n→+∞
−∞ se c k < 0
4. La successione a n è un rapporto tra due polinomi nella variabile n:
an =
c 0 + c 1 n + c 2 n 2 + ... + c p n p
d 0 + d 1 n + d 2 n 2 + ... + d q n q
Si ha, quindi,
lim a n =
n→+∞
=
cp n p
c0
cp n p
+c
dq n q
d0
dp n p
+d
c1
c2
p−1
+c
d1
p−1
pn
+d
pn
cp
dq
se
p=q
0
±∞
se
se
p<q
p>q
p−2
+ ... + 1
d2
p−2
pn
+ ... + 1
pn
.
Si osservi che nel caso p > q il risultato del limite è +∞ se c p e d q hanno
segno concorde mentre è −∞ se tali coefficienti hanno segno discorde.
5. La successione a n è data da
an = q n .
In tal caso risulta (il simbolo Ø si legge “non esiste”)
Ø
se
q ≤ −1
0
se −1 < q < 1
n
lim q =
.
n→+∞
1
se
q =1
+∞ se
q >1
6. La successione a n è una successione di Nepero:
a n = (1 +
1 n
) .
n
Siccome tale successione è monotòna e limitata, in base al teorema sulle successioni monotòne, essa ammette limite, indicato con e e noto come numero
di Nepero:
1
lim (1 + )n = e.
n→+∞
n
Scegliendo ad esempio n = 100 si ottiene il valore approssimato del numero
di Nepero
1 100
(1 +
) = 2.70481383
100
mentre con n = 100000 si ottiene
(1 +
1
)100000 = 2, 71826824.
100000
Calcoli più accurati mostrano che e = 2, 71828183.... E’ possibile dimostrare
anche che
α
lim (1 + )n = e α
n→+∞
n
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
93
e che, se a n e b n sono successioni divergenti, risulta
E
lim (1 +
n→+∞
bn
1 bn
) = lim e an .
n→+∞
an
Esempio 3.10
Si calcoli il limite
lim (n 3 + 5n 2 − 3n + 2)
n→+∞
Soluzione
Si ha:
n 3 + 5n 2 − 3n + 2 = n 3 (1 +
3
2
5
− 2 + 3)
n n
n
e, siccome i termini tra parentesi tonde tendono a 1, si ottiene:
E
lim (n 3 + 5n 2 − 3n + 2) = +∞.
n→+∞
Esempio 3.11
Si calcoli il limite
lim n 3 + 5n 2 − 3n − n 4 .
n→+∞
Soluzione
Si ha:
n 3 + 5n 2 − 3n − n 4 = −n 4 (1 −
5
3
1
−
+
).
n n2 n3
I termini tra parentesi tonde tendono a 1e, pertanto,
E
lim n 3 + 5n 2 − 3n − n 4 = −∞.
n→+∞
Esempio 3.12
Si calcoli il limite
2n 2 − 3n + 5
.
n→+∞
3n 2 + 1
lim
Soluzione
Si ha:
5
5
3
3
2n 2 − 3n + 5 2n 2 1 − 2n + 2n 2
2 1 − 2n + 2n 2
=
(
)
=
(
).
3n 2 + 1
3n 2
3
1 + 12
1 + 12
3n
3n
Siccome i termini tra parentesi tonde tendono a 1, si ottiene:
2n 2 − 3n + 5 2
= .
n→+∞
3n 2 + 1
3
lim
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
E
94
Esempio 3.13
Si calcoli il limite
5n 2 + 2n + 1
.
n→+∞
1−n
lim
Soluzione
Si ha:
2
1
2
1 + 5n
+ 5n1 2
5n 2 + 2n + 1 5n 2 1 + 5n + 5n 2
=
(
)
=
−5n(
).
1−n
−n
1 − n1
1 − n1
I termini tra parentesi tonde tendono a 1e, pertanto, si ottiene:
E
5n 2 + 2n + 1
= −∞.
n→+∞
1−n
lim
Esempio 3.14
Si calcoli il limite
n2 − n + 1
.
n→+∞ n 3 + 1
lim
Soluzione
Si ha:
1
1
1
1
n 2 − n + 1 n 2 1 − n + n2
1 1 − n + n2
)= (
).
= 3(
1
3
n +1
n
n
1+ 3
1 + 13
n
n
I termini tra parentesi tonde tendono a 1e, quindi,
E
n2 − n + 1
= 0.
n→+∞ n 3 + 1
lim
Esempio 3.15
Si calcoli il limite
lim (1 −
n→+∞
4 n
) .
n
Soluzione
Per il calcolo del limite si può applicare la relazione
lim (1 +
n→+∞
α n
) = eα
n
con α = −4. Si ottiene, quindi,
lim (1 −
n→+∞
4 n
) = e −4 .
n
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
E
95
Esempio 3.16
Si calcoli il limite
lim (1 +
n→+∞
2 n
) .
3n
Soluzione
Anche in tal caso si può utilizzare la relazione
lim (1 +
n→+∞
α n
) = eα
n
con α = 32 . Si ottiene perciò
E
lim (1 +
n→+∞
2
2 n
) =e3.
3n
Esempio 3.17
Si calcoli il limite
lim (1 +
n→+∞
1 n 2 +n
)
.
n
Soluzione
Per calcolare tale limite si può utilizzare la relazione
lim (1 +
n→+∞
bn
1 bn
) = lim e an
n→+∞
an
con a n = n e b n = n 2 + n. Si ottiene:
E
lim (1 +
n→+∞
n 2 +n
1 n 2 +n
)
= lim e n = lim e n+1 = +∞.
n→+∞
n→+∞
n
Esempio 3.18
Si calcoli il limite
lim (1 −
n→+∞
1 n 2 +n
)
.
n
Soluzione
Per calcolare tale limite si può utilizzare la relazione
lim (1 +
n→+∞
bn
1 bn
) = lim e an
n→+∞
an
con a n = −n e b n = n 2 + n. Si ottiene:
lim (1 −
n→+∞
n 2 +n
1 n 2 +n
)
= lim e −n = lim e −n−1 = 0.
n→+∞
n→+∞
n
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
E
96
Esempio 3.19
Si calcoli il limite
1 3n+1
)
.
n2
lim (1 −
n→+∞
Soluzione
Per calcolare tale limite si può utilizzare la relazione
lim (1 +
n→+∞
bn
1 bn
) = lim e an
n→+∞
an
con a n = −n 2 e b n = 3n + 1. Si ottiene:
lim (1 −
n→+∞
3n
= lim e −n 2
n→+∞
3n+1
1 3n+1
)
= lim e −n 2 =
n→+∞
n2
1
(1+ 3n
)
3
1
= lim e − n (1+ 3n ) = 1.
n→+∞
3.2 Serie numeriche
Nel Capitolo 1 si è introdotto il simbolo di sommatoria per scrivere in modo compatto la somma di n termini. Si consideri ad esempio la somma
Sn =
n
X
ak .
k=1
Si osservi che la grandezza S n può essere vista come una successione i cui elementi
sono
S 1 = a1 ,
S 2 = a1 + a2 ,
S 3 = a1 + a2 + a3 ,
...
S n = a 1 + a 2 + ... + a n ,
S n+1 = a 1 + a 2 + ... + a n + a n+1 :
in altre parole la successione S n risulta essere la somma degli n addendi a 1, a 2 , ..., a n .
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
97
Siccome S n è una successione, è sensato chiedersi se essa ammette un valore limite
n
X
lim S n = lim
n→+∞
n→+∞
ak .
k=1
E’ chiaro che studiare l’esistenza di un valore limite per la successione S n è equivalente a studiare l’esistenza della somma degli infiniti addendi {a 1 , a 2 , ..., a n , ...}.
R
Definizione (Serie)
Si dice serie di termine generico a k il valore limite delle somme parziali S n , cioè
n
X
lim
n→+∞
ak .
k=1
In termini più compatti il precedente limite sarà indicato con il simbolo
+∞
X
ak .
k=1
Per come si è impostato il problema, è chiaro che studiare il carattere della serie
(cioè se converge ad un numero, se diverge all’infinito o se non esiste) è equivalente
allo studio dell’esistenza del limite delle somme parziali S n . Si avrà, pertanto:
• se
lim S n = S
n→+∞
la serie
+∞
X
ak
k=1
converge al valore S,
• se
lim S n = ±∞
n→+∞
la serie
+∞
X
ak
k=1
è divergente e risulterà
+∞
X
a k = ±∞
k=1
• se
Ø lim S n
n→+∞
non esisterà nemmeno la somma infinita
+∞
X
ak .
k=1
In tal caso la serie è detta indeterminata.
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
98
Per lo studio del carattere di una serie è rilevante il seguente
w Teorema (Condizione necessaria per la convergenza di una serie)
Se una serie converge allora il limite per k → ∞ del termine generico a k è nullo. In
termini più formali (con S ∈ R)
+∞
X
a k = S =⇒ lim a k = 0.
k→+∞
k=1
Dimostrazione
Si ha:
S k−1 = a 1 + a 2 + ... + a k−1
e
S k = a 1 + a 2 + ... + a k ,
da cui si deduce che
S k − S k−1 = a k .
Prendendo il limite per k → +∞ dell’ultima relazione si ottiene, tenendo conto che
per ipotesi la successione S k (e quindi anche la successione S k−1 ) tende a S,
lim a k = lim S k − lim S k−1 = S − S = 0.
k→+∞
k→+∞
k→+∞
■
" Osservazione
Il teorema precedente fornisce una condizione necessaria per la convergenza di
una serie. Tale condizione non è comunque sufficiente: come si vedrà nel seguito esistono serie con termine generico a k tendente a zero ma che non sono
convergenti.
" Osservazione
Il teorema precedente può essere usato per dimostrare che una serie non converge:
in effetti se il termine generico a k ammette un limite non nullo allora, necessariamente, la serie corrispondente non potrà essere convergente.
E
Esempio 3.20
Studiare il carattere della serie
+∞
X
k
.
k=1 k + 1
Soluzione
Siccome risulta
k
= 1 6= 0
k→+∞ k + 1
lim
la serie data non converge.
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
99
Il seguente teorema fornisce invece una condizione necessaria e sufficiente per la
convergenza di una serie:
w Teorema (Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza di una serie:
criterio di Cauchy)
Condizione necessaria e sufficiente per la convergenza della serie
+∞
X
ak
k=1
è che
∀² > 0 ∃ n ² | ∀p ∈ N ⇒ |a n² +1 + a n² +2 + ... + a n² +p | < ²,
cioè l’esistenza di un intero n tale che la somma dei termini a n+1 , a n+2 , ..., a n+p sia
molto vicina a zero, per ogni intero p.
■
Tra le proprietà delle serie si ricordano
P
P
• Le serie k a k e k αa k , con α 6= 0 hanno lo stesso carattere
P
P
P
• Se k a k = A e k b k = B allora k (a k + b k ) = A + B
• Modificando un numero finito di elementi di una serie il suo carattere non
cambia
3.2.1 Serie geometrica
La serie geometrica si ottiene come limite per n → +∞ della somma dei primi n
termini di una progressione geometrica. Se per semplicità il primo termine della
progressione geometrica è scelto pari a 1, la serie geometrica è
+∞
X
qk .
k=0
Per lo studio del carattere di tale serie è sufficiente ricordare il valore della somma
dei primi n termini di una progressione geometrica:
(
1−q n
n−1
X k
se q 6= 1
1−q
.
Sn =
q =
n
se q = 1
k=0
Siccome risulta
n
lim q =
n→+∞
Ø
0
+∞
se
se
se
q ≤ −1
−1 < q < 1
q >1
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
100
si avrà:
+∞
X
k
q = lim S n =
k=0
n→+∞
Ø
1
1−q
+∞
se
se
se
q ≤ −1
−1 < q < 1 .
q ≥1
Si è ottenuto quindi che la serie geometrica è indeterminata se la ragione q è
1
se |q| < 1.
q ≤ −1, diverge se q ≥ 1 e converge a 1−q
E
Esempio 3.21
Si determini il carattere della serie
+∞
X
3
( )k .
k=0 5
Soluzione
Siccome |q| =
3
5
< 1, la serie data converge al valore S dato da
S=
E
1
1−
3
5
5
= .
2
Esempio 3.22
Si determini il carattere della serie
+∞
X
2
(− )k .
3
k=0
Soluzione
La ragione q della progressione geometrica associata a tale serie è q = − 32 ⇒ |q| < 1.
La serie è pertanto convergente ed il suo valore è
S=
E
1
1+
2
3
3
= .
5
Esempio 3.23
Si dimostri che 0.9 = 1.
Soluzione
Si ha
0.9 = 0.99999... = 9 · 10−1 + 9 · 10−2 + ... + 9 · 10−n + ... =
9 · 10−1 (1 + 10−1 + ... + 10−n + ...) =
X −k
9 +∞
9
1
9
1
9 10
10 =
·
=
·
=
·
= 1.
1
10 k=0
10 1 − 10−1 10 1 − 10
10 9
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
E
101
Esempio 3.24 (Il paradosso della corsa2 )
Nel paradosso della corsa si afferma che per ragguingere un certo traguardo occorrerebbe prima percorrere la metà della distanza che separa la posizione iniziale da
quella finale. Raggiunta tale metà occorrerà comunque percorrere, prima di arrivare al traguardo, la metà della metà, e così via. Siccome i tratti che devono essere
percorsi sono in numero infinito, Zenone conclude che un corridore non arriverà
mai al traguardo.
Soluzione
A
1
4
1
2
1
8
1 1
16 32
B
Figura 3.6
Rappresentazione dei vari tratti che il corridore dovrà percorrere a partire dal punto A per
arrivare al punto B.
Si supponga che il corridore debba percorrere il tratto che va dall’origine A al punto
finale B e si supponga che la distanza tra A e B sia unitaria (si veda la figura 3.6). La
soluzione di tale paradosso sta nel fatto che, visto che il primo tratto da percorrere
è pari a 1/2, il secondo è pari a 1/4, il terzo è pari a 1/8, e così via, il tratto AB da
percorrere è pari a
AB =
1 1 1
1
+ + +
+ ...,
2 4 8 16
che può essere riscritto come serie:
AB =
+∞
X
1
( )k .
k=1 2
Siccome la serie precedente è una serie geometrica di ragione q = 1/2, essa è convergente (ovvamente al valore 1 : lo si verifichi).
E
Esempio 3.25 (Creazione dal nulla)
Il monaco Guido Grandi (1671-1742) cercò di dimostrare la possibilità di creare il
mondo dal nulla utilizzando (in modo inappropriato) la serie geometrica. Il ragionamento era il seguente:
siccome
1 + q + q 2 + q 3 + ... =
1
1−q
2 Tale paradosso è dovuto al filosofo greco presocratico Zenone (495 a.C. – 430 a.C).
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
102
si avrà, ponendo3 q = −1,
1 − 1 + 1 − 1 + ... =
1
=⇒
1+1
(1 − 1) + (1 − 1) + ... =
0=
1
=⇒
2
1
:
2
dal nulla (lo 0 a primo membro) si è quindi creato un qualcosa ( 12 a secondo membro).
3.2.2 Serie di Mengoli
Si dice serie di Mengoli la serie
+∞
X
1
.
k=1 k(k + 1)
Il termine generico di tale serie può essere riscritto come
ak =
1
1
1
= −
.
k(k + 1) k k + 1
Con tale accorgimento è possibile valutare la somma parziale S n dei primi n termini:
Sn =
n 1
X
1
1
=
[ −
]=
k +1
k=1 k
k=1 k(k + 1)
n
X
1
1 1
1 1
1
1
= [1 − ] + [ − ] + [ − ] + ... + [ −
].
2
2 3
3 4
n n +1
Si osservi che il secondo addendo della prima parentesi quadrata (−1/2) si cancella
con il primo termine della seconda parentesi quadrata (1/2) e che ciò accade anche
per gli altri addendi. Si conclude che
Sn = 1 −
1
.
n +1
Nota l’espressione della somma parziale dei primi n termini si può calcolare il
valore della serie stessa:
n
X
1
1
1
= lim
= lim (1 −
)=1:
n→+∞
n→+∞
n +1
k=1 k(k + 1)
k=1 k(k + 1)
+∞
X
3 E’ in questo assunto che, in particolare, risiede l’errore del ragionamento del Grandi, visto che la
serie geometrica converge se e solo se |q| < 1.
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
E
103
la serie di Mengoli è, pertanto, convergente al valore 1.
Esempio 3.26
Determinare il valore della serie
+∞
X
2
.
3k(k
+ 1)
k=1
Soluzione
La serie data si può scrivere, utilizzando la proprietà di omogeneità della sommatoria, come
X
1
2
2
2 +∞
·
= ·1 = ,
3 k=1 k(k + 1) 3
3
essendo la serie di Mengoli convergente a 1.
3.2.3 Serie armonica
Con serie armonica si intende la serie
+∞
X
1
.
k=1 k
Tale serie non è convergente in quanto non soddisfa la condizione necessaria e
sufficiente per la convergenza di una serie. Si supponga infatti di aver fissato un
certo ² > 0 e si consideri la somma dei termini che vanno da k = n ² a k = n ² +
p. Siccome il criterio di Cauchy deve essere soddisfatto per ogni p si assuma in
particolare p = n ² . Si dovrebbe avere, per la convergenza della serie, la validità della
relazione seguente:
1
1
1
+
+ ... +
< ².
n² + 1 n² + 2
n² + n²
Ciascun addendo della somma precedente è, comunque, maggiore o pari a
1
1
1
>
=
,
n ² + 1 n ² + n ² 2n ²
1
1
1
>
=
,
n ² + 2 n ² + n ² 2n ²
...
1
1
=
,
n ² + n ² 2n ²
1
2n ²
:
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
104
per cui
1
1
1
1
1
1
1
1
+
+ ... +
>
+
+ ... +
= n² ·
= .
n² + 1 n² + 2
n ² + n ² 2n ² 2n ²
2n ²
2n ² 2
Non potrà quindi risultare
1
1
1
+
+ ... +
<²
n² + 1 n² + 2
n² + n²
per un arbitrario ² > 0.
" Osservazione
Il criterio necessario per la convergenza delle serie non può essere utilizzato per
provare che la serie armonica diverge in quanto
E
lim
k→+∞
1
= 0.
k
Esempio 3.27
Studiare il carattere della serie
+∞
X
1
.
k=1 3k
Soluzione
La serie data può essere riscritta come
X 1 1
1 +∞
·
= · (+∞) = +∞,
3 k=1 k 3
essendo la serie armonica divergente.
3.2.4 Serie armonica generalizzata
Si dice serie armonica generalizzata la serie
+∞
X
1
, α > 0.
α
k=1 k
In modo analogo a quanto visto per la serie armonica, si può provare che:
+∞
X
1
=
α
k=1 k
½
+∞
S
se
se
0<α≤1
α>1
¾
cioè la serie armonica generalizzata converge se e solo se risulta α > 1.
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
105
3.2.5 Serie a termini positivi
Si dice serie a termini positivi la serie
+∞
X
ak
k=1
in cui tutti i termini a k sono positivi. Si osservi che la successione delle somme
parziali
n
X
ak
Sn =
k=1
è monotòna crescente in quanto
S n+1 =
n+1
X
ak =
k=1
n
X
a k + a n+1 = S n + a n+1 > S n ,
k=1
essendo a n+1 > 0. Ne segue che il limite delle somme parziali esiste sempre, finito
o infinito, e che, pertanto, una serie a termini positivi o converge o diverge.
3.2.5.1 Criteri di convergenza per le serie a termini positivi
Criterio del confronto
Siano date due serie a termini positivi,
+∞
X
ak e
k=1
+∞
X
bk
k=1
con a k ≤ b k ∀k ∈ N+ . Si può facilmente dedurre che
+∞
X
ak ≤
k=1
+∞
X
bk ,
k=1
da cui segue che
se
+∞
X
b k converge =⇒
k=1
se
E
+∞
X
+∞
X
a k converge
k=1
a k diverge =⇒
k=1
+∞
X
b k diverge .
k=1
Esempio 3.28
Utilizzando il criterio del confronto si può dedurre che la serie armonica
+∞
X
1
2
k=1 k
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
106
è convergente. In effetti, essendo k 2 + k < k 2 + k 2 = 2k 2 , si ha:
1
2
2
1
<
⇐⇒ 2 <
,
k2 k2 + k
k
k(k + 1)
k 2 + k < 2k 2 =⇒
da cui
+∞
X
+∞
+∞
X
X
1
2
1
<
=
2
= 2,
2
k=1 k
k=1 k(k + 1)
k=1 k(k + 1)
essendo la serie di Mengoli
+∞
X
1
= 1.
k(k
+ 1)
k=1
Criterio del confronto asintotico
Date le due serie a termini positivi
+∞
X
ak e
k=1
si supponga che
+∞
X
bk
k=1
ak
= ` 6= 0.
k→+∞ b k
lim
In tal caso, avendo i due termini generici lo stesso andamento per k → +∞, le due
serie
+∞
+∞
X
X
ak e
bk
k=1
k=1
hanno lo stesso carattere.
Se, invece, ` = 0 ciò vuol dire che per k sufficientemente grandi risulta
|
ak
| < ²,
bk
per un arbitrario ² > 0. Siccome entrambi i termini sono positivi, si avrà
ak
< ² =⇒ a k < ²b k .
bk
Pertanto si ha:
se
+∞
X
b k converge =⇒
k=1
se
+∞
X
a k converge ,
k=1
a k diverge =⇒
k=1
Se, infine,
+∞
X
+∞
X
b k diverge .
k=1
ak
= +∞
k→+∞ b k
lim
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
107
ciò vuol dire che, per k sufficientemente grandi risulta
ak
> M,
bk
per ogni arbitrario M > 0, da cui segue che
ak > M bk .
Quindi
se
+∞
X
b k diverge =⇒
E
+∞
X
a k diverge ,
k=1
k=1
se
+∞
X
a k converge =⇒
k=1
+∞
X
b k converge .
k=1
Esempio 3.29
Si studi il carattere della serie
+∞
X
3
.
k=1 4k + 2
Soluzione
La serie data può essere confrontata con la serie armonica
+∞
X
1
= +∞.
k
k=1
Si ha:
3/(4k + 2)
3k
3
= lim
=
k→+∞
k→+∞ 4k + 2
1/k
4
lim
e, pertanto, le due serie hanno lo stesso carattere. Dalla divergenza della serie
armonica segue quindi la divergenza della serie data.
E
Esempio 3.30
Studiare il carattere della serie
+∞
X
k
.
3 + 2k 2 + 1
k
k=1
Soluzione
La serie data può essere confrontata con la serie armonica generalizzata
+∞
X
1
,
2
k=1 k
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
108
che, come visto in precedenza, è convergente. Si ha:
k/(k 3 + 2k 2 + 1)
k3
=
lim
=1:
k→+∞
k→+∞ k 3 + 2k 2 + 1
1/k 2
lim
la serie data è convergente.
Criterio della radice
Sia data la serie a termini positivi
+∞
X
ak
k=1
e si supponga che
lim
p
k
k→+∞
a k = q.
Se 0 ≤ q < 1 la serie converge mentre se q > 1 la serie diverge. Nel caso in cui q = 1
la serie potrebbe divergere o convergere ed il criterio della radice è inapplicabile.
" Osservazione
Dire che
lim
p
k
k→+∞
ak = q
equivale a dire che, per k → +∞ o, come si suol dire, asintoticamente, ( il simbolo
' si legge “circa uguale”)
p
k
ak ' q
e, quindi,
ak ' q k .
Pertato confrontando la serie data con la serie geometrica si ottiene che essa è
convergente se 0 ≤ q < 1 e divergente se q > 1.
E
Esempio 3.31
Studiare il carattere della serie
+∞
X
(1 +
k=1
5 k2
) .
k
Soluzione
Si ha
lim
k→+∞
E
p
k
a k = lim = (1 +
k→+∞
5 k
) = e5 > 1 :
k
la serie data è divergente.
Esempio 3.32
Studiare il carattere della serie
+∞
X
k=1
(1 +
1 k2
) .
3k
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
109
Soluzione
Utilizzando il criterio della radice si ottiene:
r
1
1 k
1 k2
k
lim
) = lim (1 +
) =e3 <1:
(1 +
k→+∞
k→+∞
3k
3k
la serie data è pertanto convergente.
Criterio del rapporto
Sia data la serie a termini positivi
+∞
X
ak ,
k=1
e si supponga che
lim
k→+∞
a k+1
= q.
ak
Si può dimostrare che:
+∞
X
½
ak =
k=1
converge se
diverge se
0≤q <1
.
q >1
Se invece q = 1 la serie data potrebbe essere divergente o convergente.
" Osservazione
Se
lim
k→+∞
si può dire che
a k+1
=q
ak
a k+1
' q ∀k > k.
ak
Da ciò segue che
a k+1 ' q a k ,
a k+2 ' q a k+1 = q 2 a k ,
a k+3 ' q a k+2 = q 3 a k
e, più in generale,
a k+n ' q n a k .
Ciò vuol dire che da un certo k in poi, k > k, il comportamento dei termini della
serie è simile a quello di una serie geometrica di ragione q (si tenga conto che a k è
un numero fissato). Da ciò segue che la serie data è convergente se 0 ≤ q < 1 ed è
divergente se q > 1.
E
Esempio 3.33
Studiare il carattere della serie
+∞
X
k +1 3 k
( ) .
4
k=1 k
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
110
Soluzione
Utilizzando il criterio del rapporto si ottiene
a k+1
(k + 2)/(k + 1)(3/4)k+1
k(k + 2) 3
3
= lim
= lim
( )= <1:
2
k
k→+∞ a k
k→+∞
k→+∞ (k + 1)
4
4
(k + 1)/(k)(3/4)
lim
E
la serie data è convergente.
Esempio 3.34
Studiare il carattere della serie
+∞
X
k!
.
k
k=1 + 1
Soluzione
Utilizzando il criterio del rapporto si ha (si ricordi che (k + 1)! = (k + 1)k!)
(k + 1)!/(k + 2)
a k+1
(k + 1)2
= lim
= lim
= +∞ :
k→+∞
k→+∞ a k
k→+∞ (k + 2)
k!/(k + 1)
lim
la serie data è divergente.
3.2.6 Serie a segni alterni
La serie
+∞
X
(−1)k a k ,
k=1
con a k > 0, si dice serie a segni alterni.
Per determinare il carattere di tale serie è rilevante il seguente
w Teorema (Criterio di Leibniz)
Sia data la serie a segni alterni
+∞
X
(−1)k a k .
k=1
Se la successione a k è decrescente (cioè se a k+1 < a k ∀k ∈ N+ ) e se
lim a k = 0
k→+∞
allora la serie data è convergente.
■
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
E
111
Esempio 3.35
Studiare il carattere della serie
+∞
X
1
(−1)k p .
k
k=1
Soluzione
La successione
p1
k
è decrescente e
1
lim p = 0.
k
k→+∞
Applicando il criterio di Leibniz si deduce, quindi, che la serie data è convergente.
3.2.7 Serie a termini di segno qualunque
Sia data la serie
+∞
X
ak ,
k=1
R
dove il termine generico a k può essere positivo o negativo.
Definizione (Serie assolutamente convergente)
Se la serie
+∞
X
|a k |
k=1
converge, si dice che la serie
+∞
X
ak
k=1
è assolutamente convergente.
Sussite il seguente
w Teorema (Criterio di convergenza per le serie di segno qualunque)
La convergenza assoluta di una serie implica la convergenza della serie stessa:
se
+∞
X
k=1
|a k | converge =⇒
+∞
X
a k converge.
k=1
■
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
112
" Osservazione
Il teorema appena enunciato rappresenta una condizione sufficiente per la convergenza di una serie a segno qualunque. Tale condizione non è comunque necessaria.
Si consideri infatti la serie
+∞
X
1
(−1)k :
k
k=1
siccome 1/k è decrescente e
1
= 0,
k
per il criterio di Leibniz tale serie è convergente. Tuttavia essa non è assolutamente
convergente visto che la serie armonica
lim
k→+∞
+∞
X
1
k
k=1
E
è divergente.
Esempio 3.36
Studiare il carattere della serie
k − k2 + 3
.
5
k=1 k + 2k
+∞
X
Soluzione
La serie dei moduli
+∞
X
k=1
|
k − k2 + 3
|
k 5 + 2k
è convergente. In effetti, applicando il criterio del confronto asintotico tra la serie
dei moduli e la serie armonica generalizzata
+∞
X
1
3
k=1 k
che si ricorda essere convergente, si ottiene:
lim |
k→+∞
k − k2 + 3
|/(1/k 3 ) = 1,
k 5 + 2k
da cui si deduce che la serie dei moduli è convergente. La serie di partenza è
pertanto assolutamente convergente e, quindi, convergente.
" Osservazione
Per lo studio del carattere della serie
+∞
X
k=1
si può seguire il seguente schema:
ak
CAPITOLO 3. SUCCESSIONI E SERIE
113
1. Si studia il limite
lim a k :
k→+∞
se tale limite è diverso da zero la serie diverge. Nel caso in cui tale limite è
pari a zero occorrerà studiare dettagliatamente il suo carattere.
2. Se la serie può essere ricondotta ad una serie di cui si conosce il comportamento (serie aritmetica, geometrica, di Mengoli, armonica e armonica generalizzata) si determina di conseguenza il suo carattere
3. Se la serie è a termini positivi si possono usare i criteri visti in precedenza. In
generale, se il termine generico della serie a k contiene i fattoriali di k, oppure
P (k)
, dove P e Q sono polinomi in k, è opportuno apè della forma a k = b k Q(k)
plicare il criterio del rapporto; se il termine generico della serie è della forma
a k = (b k )k è opportuno utilizzare il criterio della radice; se i criteri della radice o del rapporto sono inefficaci il carattere della serie può essere studiato
utilizzando il criterio del confronto o il criterio del confronto asintotico
4. Se la serie è a segni alterni si può utilizzare il criterio di Leibniz o il criterio
della convergenza assoluta (e si ritorna quindi al caso 3)
5. Se la serie è a termini di segno qualunque si può utilizzare il criterio della
convergenza assoluta (e si ritorna quindi al caso 3)
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