7. Teoria e Progetto dei Ponti - Linee di influenza

Università degli Studi Roma Tre – Dipartimento di Ingegneria
Corso di Teoria e Progetto di Ponti – A/A 2013-2014 - Dott. Ing. Fabrizio Paolacci
Lezione n° 7
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Lezione n° 7
Definizione
•
•
•
La linea di influenza è un grafico che fornisce la
risposta della struttura (sollecitazione o spostamento)
in un punto in funzione della posizione della forza.
I diagrammi delle sollecitazioni rappresentano (per
una forza fissata) le sollecitazioni in tutti i punti della
struttura. In alternativa è possibile costruire il
diagramma per punti.
Le linee di influenza rappresentano la sollecitazione
in un punto al variare della posizione della forza.
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Lezione n° 7
Definizione
Le ordinate della data grandezza Y relativa alla
prefissata sezione S considerata si riportano in
corrispondenza delle ascisse del carico mobile F
Sezione
S
F
Y= Reazione in S dovuta a F
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Lezione n° 7
Metodi di calcolo delle L.I. per le
travi
Esistono due metodi distinti
•
•
Il metodo diretto, che consiste nel calcolo del grafico
delle L.I basandosi su un calcolo diretto della
grandezza interessata. Si applica anche in quei casi
in cui è possibile facilmente esprimere la linea di
influenza in forma analitica
Il metodo indiretto che si basa sull’uso del teorema
di reciprocità di Betti.
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Lezione n° 7
Metodo diretto (Calcolo analitico)
La definizione di linea di influenza offre un procedimento diretto
per la costruzione di una qualsiasi linea di influenza per punti.
Si pone il carico P = 1 sulla ascissa 1 e si calcola l'effetto che si
desidera nella prefissata sezione S; si sposta il carico P posto
uguale a 1 su un'altra ascissa 2 e si trova il corrispondente
valore dell'effetto studiato sempre sulla sezione S; si ripete il
procedimento, applicando iI carico P =1 su altre ascisse 3 ...i ,
…n e ricavando, in S, i valori correlativi si· determina così, una
serie di coppie di valori (i, i), costituite dall'ascissa dove agiva
il carico P = 1 e dal valore che ha assunto l'effetto nella sezione
S.
A questo punto basta riportare in un diagramma i valori sulla
verticale dei corrispondenti valori di Si per ottenere la linea di
influenza di 1 sulla sezione S.
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Metodo diretto (Calcolo Numerico)
Esempio: Trave continua
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Metodo diretto (Calcolo analitico)
Esempio:Trave appoggiata
x
P
x0
S
  x
 P 1  L  se x  x0

V  x0    
 P x se x  x
0

L
 x  L  x0 
xx0 

P

P
x



 se x  x0
L
L



M  x0   
 P 1  x  x  P  x  xx0  se x  x
0
 0

  L  0
L 

Momento in S
Taglio in S
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Metodo diretto (Calcolo analitico)
Esempio:Trave appoggiata
x
x0
P
SA
SB
 x
YA  P1 
 L
Reazione in A
x
YB  P
L
Reazione in B
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Metodo diretto (Calcolo analitico)
Esempio:Trave appoggiata
x
P
x0
S
TS  0 se x  x0

TS  P se x  x0
MS  0 se x  x0

MS  P(x  x0 ) se x  x0
Taglio in S
Momento in S
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Metodo diretto (Calcolo analitico)
Esempio:Trave appoggiata
YA  P
x
x0
SA
P
Reazione in A
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Metodo diretto (Calcolo analitico)
Esempio: Trave incastro-appoggio
x
P
x0
S
SA
x2  3 L  x 
YB  P 3 1

L 2 L 
Reazione in B
SB
YA 1YB
Reazione in A
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Metodo diretto (Calcolo analitico)
Esempio: Trave incastro-appoggio
x
P
x0
S
SA
MA (x)  YB L  Px
SB
TA  YA
Taglio in A
P
Momento in A
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Metodo diretto (Calcolo analitico)
Esempio: Trave doppiamente incastrata
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Metodo diretto (Calcolo Numerico)
Discretizzando la struttura
mediante n nodi si
esaminano n condizioni di
carico, ciascuna ottenuta
applicando una forza
unitaria in un nodo.
Ad ogni CC sono associate
n sollecitazioni (taglio,
momento, forza normale) .
Con queste grandezze si
può costruire una tabella,
riportando in ogni colonna le
sollecitazioni prodotte da
ciascuna cc
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Metodo diretto (Calcolo Numerico)
Questa matrice, letta per colonne, fornisce i
diagrammi della grandezza s in tutti i nodi
della struttura per ogni posizione della forza.
Letta per righe fornisce la grandezza s in una
data sezione come funzione della posizione
del carico, cioè la sua linea di influenza.
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Metodo indiretto
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Metodo indiretto
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Lezione n° 7
Metodo indiretto
Si possono calcolare facilmente le seguenti L.I:
•
•
•
•
•
L.I. di uno spostamento o rotazione
L.I. di reazioni vincolari di travi isosatatiche
L.I. di caratteristiche di sollecitazione di travi isos.
L.I. di reazioni iperstatiche
L.I. di caratteristiche di sollecitazione di travi iperst.
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Metodo indiretto
L.I. di una rotazione
Lezione n° 7
E’ valida ·la seguente asserzione: la L.I. dello
abbassamento i relativo ad una prefissata
sezione S, coincide con la linea elastica della
trave, prodotta dal carico unitario agente sulla
sezione S.
Infatti se applichiamo in S una forza unitaria e
poi di seguito una forza unitaria in i la forza in
S compie lavoro di trascinamento 1s
Se poi applichiamo in ordine contrario le forze
otteniamo un lavoro 1
Per il teorema di Betti si ha che
 = s (Teorema di Maxwell)
Quindi la linea elastica dello spostamento in S
coincide con la deformata per una forza
unitaria applicata in S
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Metodo indiretto
L.I. di una rotazione
Lezione n° 7
E’ valida ·la seguente asserzione: la L.I. dello
abbassamento i relativo ad una prefissata
sezione S, coincide con la linea elastica della
trave, prodotta dal carico unitario agente sulla
sezione S.
Infatti se applichiamo in S un Momento
unitario e poi di seguito una forza unitaria in i
il momento in S compie lavoro di
trascinamento 1s
Se poi applichiamo in ordine contrario
momento e forza otteniamo un lavoro 1
Per il teorema di Betti si ha che
 = s (Teorema di Maxwell)
Quindi la linea elastica della rotazione in S
coincide con la deformata per momento
unitario applicata in S
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Metodo indiretto
L.I. di una rotazione
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OSSERVAZIONE
Le linee di influenza di spostamenti
o di rotazioni sono sempre
curvilinee, sia nel caso di travi
isostatiche che in quello di travi
iperstatiche, perchè coincidono
con le linee elastiche dovute. a
carichi unitari oppure a coppie
unitarie, applicati alle travi
effettive, che conservanq invariati i
vincoli et{ettivi.
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Metodo indiretto
L.I. di reazioni di travi
isostatiche
Lezione n° 7
Si voglia la L.I. di YB : a tale scopo
sopprimiamo il carrello in B ed applichiamo
al suo posto la forza verticale YB. In queste
condizioni il sistema, inizialmente isostatico,
è diventato labile con un grado di libertà.
Imprimiamo al sistema uno spostamento
virtuale B*=1, compatibile con i restanti
Vincoli in A, C, D.
Detto () lo spostamento in corrispondenza
della forza P=1 per il teorema di Betti sia ha
YB= ()
Quindi la linea elastica della rotazione in S
coincide con il meccanismo ottenuto
sopprimendo il vincolo di cui si vuole la
reazione e applicando li un spostamento
unitario
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Metodo indiretto
L.I. delle caratteristiche della sollecitazione di travi
isostatiche
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Metodo indiretto
L.I. delle caratteristiche della sollecitazione di travi
isostatiche
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Esempio: Linea di influenza del momento
1
Linea influenza
Taglio
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Lezione n° 7
Metodo indiretto
L.I. delle caratteristiche della sollecitazione di travi
isostatiche
ESEMPIO
Trave appoggiata con
sbalzo. Si vogliono
trovare le linee di
influenza di T ed M per
la sezione S, compresa
nel tratto Be.
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Lezione n° 7
Metodo indiretto
L.I. delle caratteristiche della sollecitazione di travi
isostatiche
ESEMPIO
Trave Gerber
L.I. in S1, S2 ed S3
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Lezione n° 7
Metodo indiretto
L.I. delle reazioni iperstatiche
TLV
=0
Lavoro che il le forze reali
compiono nella
deformazione virtuale
Lavoro che il momento
Virtuale m1* compie nella
deformazione reale = 0
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Lezione n° 7
Calcolo sollecitazioni massime e minime
Con l’ausilio delle L.I. si possono calcolare le sollecitazioni
massime e minime. Occorre caricare le zone della struttura
che danno gli effetti con segno + o segno -
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Calcolo sollecitazioni massime e minime
Con l’ausilio delle L.I. si possono calcolare le sollecitazioni
massime e minime. Occorre caricare le zone della struttura
che danno gli effetti con segno + o segno -
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Lezione n° 7
Calcolo sollecitazioni massime e minime
Con l’ausilio delle L.I. si possono calcolare le sollecitazioni
massime e minime. Occorre caricare le zone della struttura
che danno gli effetti con segno + o segno -

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