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Compiti Estivi Mate

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( )
( )
(1) Siano A −2,2 e B 7,5 due vertici consecutivi di un parallelogramma. L’altro lato del
parallelogramma appartiene alla retta r passante per A e perpendicolare alla retta t di
equazione y = 4x + 1 .
(a) Determina l’equazione di r.
(b) Sapendo che il punto D, intersezione tra la retta r e l’asse delle ascisse, è il quarto
vertice del parallelogramma ABCD, determina il terzo vertice C.
(c) Determina le equazioni delle rette AC e BD e le lunghezze delle diagonali AC e
BD.
(d) Siano A′ e C ′ le proiezioni di A e C sull’asse delle ascisse. Stabilisci la natura del
quadrilatero A′C ′CA , calcola il suo perimetro e la sua area.
(2) Rappresenta nel piano cartesiano le soluzioni del sistema:
⎧x +y ≤ 2
⎪
.
⎨
x
−
2y
≤
1
⎪
⎩
(3) Considera il fascio di rette di equazione:
( )
x + 3y − 3 k − 2 = 0 .
(a) Stabilisci la natura del fascio.
(
)
(b) Tra le rette del fascio determina la retta t passante per A −3,−2 e il suo punto D
di intersezione con l’asse delle ordinate.
( )
(c) Dal punto A conduci la retta r passante per C 6,3 e determina la sua equazione.
(d) Determina l’equazione della retta s passante per C e appartenente al fascio di rette
precedentemente descritto.
(e) Determina il punto B intersezione tra la retta s e la retta per A e parallela a DC.
(f) Stabilisci la natura del quadrilatero ABCD e determina le coordinate del suo
centro di simmetria M, se esso esiste.
(4) Determina per quali valori di k la retta x = k , l’asse delle ascisse e la bisettrice del primo
e del terzo quadrante formano un triangolo di area 8.
( )
( )
(5) Considera i punti A −2,0 e B 4,2 e la retta r : 3x − 2y − 1 = 0 . Determina:
(a) l’equazione della circonferenza γ passante per A e B, avente il centro C
appartenente alla retta r;
(b) l’ulteriore intersezione di γ con l’asse x e le sue intersezioni con l’asse y;
(c) l’equazione della retta tangente alla circonferenza nel punto B;
(d) nel semipiano y ≥ 0 una retta parallela all’asse x che stacchi su γ una corda
lunga 2;
(e) detti D e D ′ gli estremi di tale corda (con x D < x D ′ ), l’area del settore circolare
DCD ′ .
(6) Rappresenta graficamente la curva di equazione x 2 + y 2 + 2 x − 2y − 8 = 0 .
⎛ 1 1⎞
(7) Considera il punto C ⎜ , ⎟ e la retta r : x + y − 2 = 0 . Determina:
⎝ 2 2⎠
(a) l’equazione della circonferenza γ che ha centro in C ed è tangente a r;
(b) le coordinate del punto T di tangenza;
(c) il rapporto tra l’area del triangolo CTT ′ , essendo T ′ il punto della circonferenza
di ascissa nulla e ordinata positiva, e l’area del cerchio individuato da γ ;
(d) l’equazione della circonferenza simmetrica di γ rispetto all’asse x.
(8) Considera il fascio di circonferenze di equazione x 2 + y 2 − kx + ky + k − 1 = 0 . Determina:
(a) la natura del fascio e gli eventuali punti base;
(b) l’equazione dell’asse radicale;
(c) le equazioni delle due circonferenze del fascio aventi raggio uguale a
5.
⎛ 1⎞
3
(9) Sono dati il punto F ⎜ 0, ⎟ e la retta d : x = . Determina:
2
⎝ 2⎠
(a) la parabola p di fuoco F e direttrice d;
(b) il vertice V, l’asse di simmetria di p e le intersezioni di p con gli assi cartesiani;
(c) le rette appartenenti al fascio di equazione x − ky + 2k − 9 = 0 che sono tangenti
alla parabola p.
( ) ( )
(10) Determina l’equazione delle due parabole passanti per i punti A 2,0 , B 8,0 e il cui
vertice dista 7 dall’asse delle ascisse. Dopo aver disegnato le due parabole e indicato con V1 e
V2 i loro vertici, determina la natura del quadrilatero AV1BV2 e calcolane area e perimetro.
(13) Considera l’ellisse che ha come assi di simmetria gli assi cartesiani, vertice nel punto
⎛
⎞
5
A 3,0 e passante per E ⎜ 2, ⎟ . Determina:
⎜⎝ 3 ⎟⎠
( )
(a) l’equazione dell’ellisse;
(b) le coordinate dei punti C e D intersezioni tra l’ellisse e la retta r : x − 3y = 0 ;
(c) le equazioni delle rette parallele alla retta r che staccano sull’ellisse una corda di
lunghezza 3.
(11) Data l’ellisse di equazione
x2
y2
= 1 , determina l’equazione della retta tangente
4
9
all’ellisse nel suo punto P di ascissa 1 e ordinata positiva.
+
(12) La distanza di Mercurio dal Sole all’afelio è di circa 6,98 ⋅ 107 km, al perielio di circa
4,60 ⋅ 107 km e l’eccentricità della sua orbita è pari a 0,206. Calcola i semiassi maggiore e
minore approssimando i risultati a meno di
(
1
100
per eccesso.
)
(13) Considera l’equazione kx 2 − 7 − 3k y 2 = 1 . Determina per quali valori di k l’equazione
rappresenta:
(a) un’iperbole con i fuochi sull’asse x;
(b) un’iperbole con i fuochi sull’asse y;
(b) un’iperbole con eccentricità 2 ;
(c) un’iperbole tangente alla retta di equazione x = 1 .
()
(14) È data la funzione definita da f x =
x2 − 1
x −1
.
(a) Determina il suo campo di esistenza.
(b) È una funzione pari? È una funzione dispari?
(c) Tracciane il grafico.
(d) Determina la sua immagine e stabilisci se è una funzione suriettiva.
(e) È una funzione iniettiva?
()
(15) A partire dal grafico della funzione f x =
()
1
x
, traccia il grafico della funzione
2
+ 3 , indicando le trasformazioni geometriche utilizzate. Dopo aver determinato il
x −1
campo di esistenza e l’immagine di g, stabilisci se essa è biettiva e in caso affermativo,
g x =
()
determina la funzione inversa g −1 x .
Es. n. 13, 20, 21, 24, 27, 35, 38 pp. 115-120 del modulo “L’angolo protagonista” del libro di
testo.
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