Tubi - coefficienti di bordo Tubi - coefficienti di bordo Molti componenti di macchine sono schematizzabili come corpi assialsimmetrici connessi tra loro, come mostrano gli schizzi qui rappresentati. Quando le rigidezze dei due corpi connessi tra loro sono diverse, le zone di connessione divengono sede di sollecitazioni localizzate. montaggio forzato 1 Ci sono molti componenti di macchine che sono schematizzabili come corpi assialsimmetrici connessi tra loro, come mostrano gli schizzi qui rappresentati. Tubi - coefficienti di bordo Quando le rigidezze dei due corpi connessi tra loro sono diverse, le zone di connessione divengono sede di sollecitazioni localizzate. I due tubi si deformano sotto l’azione della pressione e si portano a diametri diversi, non più congruenti: P P L’imposizione della congruenza comporta l’insorgere di deformazioni locali nei due tubi. Applicando una forza uniformemente distribuita al bordo di un tubo si ottiene una deformata assialsimmetrica. Tubi - coefficienti di bordo ϕ = rotazione del bordo libero D = diametro medio s = spessore Q ϕ s << D s w w = spostamento radiale del bordo libero Tubo semi infinito F D Q è la forza per unità di lunghezza applicata al bordo del tubo Q= F π D N m Q La forza F è distribuita uniformemente lungo il bordo del tubo 2 Anche applicando un momento uniformemente distribuito al bordo di un tubo si ottiene una deformata assialsimmetrica. Tubi - coefficienti di bordo D = diametro medio s = spessore s << D M w s ϕ Tubo semi infinito Mtot D M è il momento per unità di lunghezza M applicato al bordo del tubo M= M tot π D Nm m Tubi - coefficienti di bordo Il momento Mtot è distribuito uniformemente lungo il bordo del tubo Nel caso siano applicati sia la forza Q che il momento M la deformata, sempre assialsimmetrica, sarà dovuta alla sovrapposizione degli effetti. Q M F Tubo semi infinito Mtot D M Q è la forza per unità di lunghezza Q applicata al bordo del tubo M è il momento per unità di lunghezza applicato al bordo del tubo 3 Tubi - coefficienti di bordo Il tubo si oppone alla deformazione sia con la rigidezza flessionale della sua parete sia con quella membranale. Un tubo può essere pensato, infatti, come una serie di travi disposte lungo le generatrici..... ......connesse circonferenzialmente da altre travi anulari che si oppongono alla variazione di diametro. Per congruenza le pareti dell’elementino devono rimanere sui piani radiali Effetto Poisson compressione F compressione + trazione trazione sezione deformata F sezione indeformata del tubo Tubi - coefficienti di bordo Per rispettare la congruenza, i piani radiali devono rimanere tali. - + + la deformazione circonferenziale deve essere nulla o comunque costante attraverso lo spessore. congruenza incongruenza Di conseguenza, devono nascere coppie di forze in grado di contrastare l’effetto poisson e mantenere le sezioni piane e giacenti su piani radiali. Ciò ha effetto sulla rigidezza flessionale della parete del tubo, che si comporta in modo analogo ad una piastra. Indicando con ε a la deformazione assiale della parete del tubo e con ε c quella circonferenziale legata alla sola flessione della parete del tubo, senza tener conto del contributo dovuto alla variazione di diametro, si può scrivere: εc = 1 (σ c −νσ a ) E Per congruenza si ha: εa = (σ r = 0) εa = 1 ε c = (σ c − νσ a ) = 0 E 1 1 (1 − ν 2 ) σ a (1 −ν 2 ) = σa = σa E E E′ 1 (σ a − νσ c ) E σ c = νσ a con: E′ = εa = 1 [σ a −ν (νσ ) a ] E E (1 −ν 2 ) La conseguenza di ciò è che per effetto Poisson la rigidezza a flessione (per unità di larghezza) della parete del tubo è maggiore di quella che avrebbe una trave nella stessa situazione. 4 Tubi - coefficienti di bordo Per rispettare la congruenza, i piani radiali devono rimanere tali. - + + la deformazione circonferenziale deve essere nulla o comunque costante attraverso lo spessore. congruenza incongruenza Di conseguenza, devono nascere coppie di forze in grado di contrastare l’effetto poisson e mantenere le sezioni piane e giacenti su piani radiali. L’effetto poisson fa quindi nascere un momento flettente Mac , che viene detto momento anticlastico, giacente su un piano normale a quello di inflessione delle generatrici. Mac Mac Il momento anticlastico Mac è legato al momento agente sul piano assiale M tramite il coefficiente di poisson ν M M ac = ν M Tubi - coefficienti di bordo Consideriamo l’equilibrio alla traslazione radiale di un elementino infinitesimo di parete del tubo: w (t a + dt a )rc dϑ t a rc dϑ σ c hc dx hc t a = τ m hc σ c hc dx forza di taglio per unità di lunghezza σ c = Eε c = Ew rc Tensione circonferenziale - Ew rc + dx rc dϑ Componente della tensione circonferenziale dovuta all’effetto poisson e, quindi, legata alla flessione delle generatrici del tubo Questa componente essendo circonferenzialmente autoequilibrata non influisce sull’equilibrio radiale Componente della tensione circonferenziale dovuta alla variazione di raggio 5 Consideriamo l’equilibrio alla traslazione radiale di un elementino infinitesimo di parete del tubo: Tubi - coefficienti di bordo (t a + dta )rc dϑ w t a rc dϑ σ c hc dx hc t a = τ m hc σ c hc dx σ c = Eε c = Ew rc Si assume la convenzione che le forze siano positive se dirette verso l’esterno del tubo t a rc dϑ − (t a + dta )rc dϑ − 2σ c hc dx ⋅ sin dϑ dϑ ≅ −2σ c hc dx 2 2 Sommando le forze si ottiene: t a rc dϑ − (t a + dt a )rc dϑ − 2σ c hc dx Tubi - coefficienti di bordo Il taglio ed il momento flettente sono legati allo spostamento radiale w ta = D tenendo conto dell’incremento di rigidezza dovuto all’effetto poisson D = E′I M =D E E′ = (1 − ν 2 ) 3 d w dx 3 2 d w dx 2 indicando con λ dϑ =0 2 la quantità: λ=4 − dta h − Ew c2 = 0 dx rc D d 4w h + E c2 w = 0 dx 4 rc dividendo tutto per D si ha: 1 ⋅ hc3 I= 12 d 4 w E hc + w=0 dx 4 D rc2 momento d’inerzia per unità di larghezza Ehc3 12(1 − ν 2 ) forze di coesione circonferenziale σc Ew dϑ hc dx − dta rc dϑ − 2 =0 rc 2 dividendo per rc e dx si ha: quindi: D= forze di taglio Equilibrio alla traslazione radiale di un elementino infinitesimo di parete del tubo: dϑ =0 t a rc dϑ − (t a + dt a )rc dϑ − 2σ c hc dx 2 con relazioni analoghe a quelle delle travi rc dϑ Tensione circonferenziale Quindi, le forze in gioco nell’equilibrio radiale sono: + dx forza di taglio per unità di lunghezza 3(1 −ν 2 ) hc2 rc2 esprimendo D in termini di E ed hc si ha: d 4 w 12(1 −ν 2 ) Ehc + w=0 dx 4 Ehc3 rc2 d 4 w 12(1 −ν 2 ) + w=0 dx 4 hc2 rc2 6 Tubi - coefficienti di bordo Equilibrio alla traslazione radiale di un elementino infinitesimo di parete del tubo: dϑ =0 2 t a rc dϑ − (t a + dt a )rc dϑ − 2σ c hc dx Il taglio ed il momento flettente sono legati allo spostamento radiale w con relazioni analoghe a quelle delle travi ta = D tenendo conto dell’incremento di rigidezza dovuto all’effetto poisson D = E′I M =D E′ = E (1 − ν 2 ) I= 3 σc − dta rc dϑ − 2 dividendo per rc e dx si ha: d w dx 3 2 d w dx 2 indicando con 1⋅ h 12 la quantità: Tubi - coefficienti di bordo dta h − Ew c2 = 0 dx rc D d 4w h + E c2 w = 0 4 dx rc d 4 w E hc + w=0 dx 4 D rc2 esprimendo D in termini di E ed hc si ha: momento d’inerzia per unità di larghezza λ − dividendo tutto per D si ha: 3 c quindi: Ehc3 D= 12(1 − ν 2 ) Ew dϑ =0 hc dx 2 rc λ=4 d 4 w 12(1 −ν 2 ) Ehc + w=0 dx 4 Ehc3 rc2 3(1 −ν 2 ) hc2 rc2 si ha: w IV + 4λ4 w = 0 Integrazione dell’equazione differenziale: La soluzione dell’equazione differenziale è del tipo: w( x ) = Ce − λx sin(λx + ψ ) w IV + 4λ4 w = 0 dove La derivata prima della funzione w( x ) C e ψ sono le costanti di integrazione vale: dw = −λCe − λx sin(λx + ψ ) + λCe −λx cos(λx + ψ ) dx l’equazione precedente può essere riscritta moltiplicando e dividendo i termini del secondo membro per ….e ricordando che: 2 sin π π 1 = cos = 4 4 2 π π dw = −λ 2Ce − λx sin(λx + ψ ) cos + λ 2Ce − λx cos(λx + ψ ) sin 4 4 dx tenendo conto che: si può scrivere: sin (α − β ) = sinα cos β − cos α sinβ π dw = − 2λCe −λx sin λx + ψ − 4 dx 7 Integrazione dell’equazione differenziale: Tubi - coefficienti di bordo La soluzione dell’equazione differenziale è del tipo: w( x ) = Ce − λx sin(λx + ψ ) w IV + 4λ4 w = 0 dw π = − 2λCe −λx sin λx + ψ − dx 4 la derivata è stata quindi ottenuta cambiando il segno, moltiplicando la funzione e per π 2 e sottraendo 4 w( x ) per λ all’argomento della funzione trigonometrica La derivata seconda può essere calcolata dalla derivata prima in modo analogo: d 2w π = 2λ2Ce − λx sin λx + ψ − 2 dx 2 e così anche la derivata terza: 3π d 3w = −2 2λ3Ce −λx sin λx + ψ − 3 4 dx Tubi - coefficienti di bordo Integrazione dell’equazione differenziale: dalle derivate seconda e terza possono essere ricavati il momento ed il taglio rispettivamente: M =D d 2w dx 2 π d 2w = 2λ2Ce −λx sin λx + ψ − 2 2 dx π M ( x ) = 2 Dλ2Ce − λx sin λx + ψ − 2 ta = D d 3w dx 3 3π d 3w = −2 2λ3Ce −λx sin λx + ψ − 3 4 dx 3π Q( x ) = −2 2 Dλ3Ce − λx sin λx + ψ − 4 8 Tubi - coefficienti di bordo Effetti separati della forza Q e del momento M y Consideriamo il solo effetto della forza Q quindi per x=0 deve essere M=0 Q0 ≠ 0 x π M ( x ) = 2 Dλ2Ce − λx sin λx + ψ − 2 z Q d 2w M 0 = D 2 = 0 dx x =0 per x=0 La forza Q all’ascissa x=0 è data da: π M 0 = 2 Dλ2Csinψ − = 0 2 π da cui si ricava che: ψ = 2 d 3w Q0 = t a ( x =0) = D 3 dx x =0 3π Q( x ) = −2 2 Dλ3Ce − λx sin λx + ψ − 4 per x=0 3π 1 π 3π 3 3 Q0 = −2 2 Dλ3Csinψ − = −2 2 Dλ Csin − = −2 2 D λ C − 4 2 2 4 Q0 Q0 = 2 Dλ3C da cui si ricava l’altra costante d’integrazione: C = 2 Dλ3 Tubi - coefficienti di bordo Effetti separati della forza Q e del momento M y Consideriamo il solo effetto della forza Q x Q Quando agisce la sola forza Q le costanti di integrazione sono: C= Q0 2 Dλ3 ψ= π 2 z Q π x e −(λλ sin λx) + ) w((xx)) = Ce −0λx3sin x +(ψ 2 Dλ 2 dw2Q0 − λx −λx π π Con i valori delle = −e 2λsin Ce λxsin + λx + ψ − Rotazione ϕ ( x ) = − costanti possono dx 4 2 Dλ2 4 essere calcolate le Q0 −λx grandezze d’interesse e sinλx Momento assiale M ( x ) = in funzione di x λ 6M ( x ) 6Q = 2 0 e −λx sinλx Componente assiale della tensione flessionale σ a ( x ) = 2 hc hc λ ν 6M ( x) ν 6Q = ± 2 0 e − λx sinλx Componente circonf. della tensione flessionale σ r ( x ) = ± 2 hc λ hc Spostamento radiale 9 Tubi - coefficienti di bordo Effetti separati della forza Q e del momento M y Consideriamo il solo effetto della forza Q Quando agisce la sola forza Q le costanti di integrazione sono: x C= Q0 2 Dλ3 ψ= π 2 z Q Spostamento radiale Al bordo del tubo Rotazione x=0 si ha: Momento assiale Componente assiale della tensione flessionale Tubi - coefficienti di bordo w0 = Q0 2 Dλ3 ϕ0 = − Q0 = w0 2 Dλ3 Q0 2 Dλ2 M0 = 0 σ a0 = 0 Effetti separati della forza Q e del momento M y Consideriamo il solo effetto del momento M quindi per x=0 deve essere Q=0 M0 ≠ 0 Q0 = 0 x M z Il momento M all’ascissa x=0 è dato da: π 3π π M 0 = 2 Dλ2Csin − = 2 Dλ2Csin 4 4 2 da cui si ricava l’altra costante d’integrazione: C= d 3w 3 3π −2 2 D λ Csinψ − = 0 Q0 = D 3 4 dx x =0 3π da cui si ricava che: ψ = 4 2 2 2 = Dλ C = 2 D λ C 2 M0 2 Dλ2 10 Tubi - coefficienti di bordo Effetti separati della forza Q e del momento M y Consideriamo il solo effetto del momento M Quando agisce il solo momento M le costanti di integrazione sono: x M z Spostamento radiale Rotazione Con i valori delle costanti possono essere calcolate le grandezze d’interesse in funzione di x C= M0 2 Dλ2 ψ= 3π 4 M0 3π e −λx sin(λx + ) 2 4 2 Dλ π dw M = = − 0 e −λx sin λx + 2 dx Dλ w( x ) = ϕ( x) π M ( x ) = 2 M 0 e − λx sin λx + 4 6 M ( x ) 6 2 M 0 − λx π = e sin λx − Componente assiale della tensione flessionale σ a ( x ) = 2 2 4 hc hc ν 6M ( x ) σ a( x) = ± Componente circonferenziale della tensione flessionale hc2 Momento assiale Tubi - coefficienti di bordo Effetti separati della forza Q e del momento M y Consideriamo il solo effetto del momento M Quando agisce il solo momento M le costanti di integrazione sono: x M C= M0 2 Dλ2 ψ= 3π 4 z Spostamento radiale Al bordo del tubo x=0 Rotazione w0 = M0 2 Dλ2 ϕ0 = − M0 Dλ si ha: Componente assiale della tensione flessionale Componente circonferenziale della tensione flessionale M 0 = −ϕ 0 Dλ σ a0 = σ r0 = ± 6M 0 hc2 ν 6M 0 hc2 11 Tubi - coefficienti di bordo Effetto complessivo della forza Q e del momento M Nel caso siano applicati sia la forza Q che il momento M in corrispondenza del bordo del tubo, per x = 0 si ha: Spostamento radiale Q0 M0 + 3 2 Dλ 2 Dλ2 ϕ0 = − Rotazione Tubi - coefficienti di bordo w0 = Q0 M − 0 2 2 Dλ Dλ Esempio di calcolo - Tubo con carico radiale ad un estremo y x Spostamento radiale Dati: Diametro 400 mm Spessore 10 mm E = 200 GPa ν = 0.3 Forza Q0 = 100 000 N/m Momento M0 = 0 0.14 0.12 0.10 w(x) (mm) z Q w( x ) = 0.08 Q0 −λx M0 π 3π e sin(λx + ) + e −λx sin(λx + ) 3 2 2 Dλ 2 4 2 Dλ 0.06 0.04 0.02 0.00 0 50 100 150 200 250 300 -0.02 Posizione assiale (mm) 12 Esempio di calcolo - Tubo con carico radiale ad un estremo Tubi - coefficienti di bordo -ϕ y Convenzione positiva ϕ + x Rotazione z Q 5.00E-04 0.00E+00 0 50 100 150 200 250 300 -5.00E-04 rot(x) -1.00E-03 Dati: Diametro 400 mm Spessore 10 mm E = 200 GPa ν = 0.3 Forza Q0 = 100 000 N/m Momento M0 = 0 -1.50E-03 -2.00E-03 ϕ( x) = − -2.50E-03 π M 2Q0 −λx π e sin(λx + ) − 0 e −λx sin(λx + ) 2 2 Dλ 4 Dλ 2 -3.00E-03 -3.50E-03 Posizione assiale (mm) Tubi - coefficienti di bordo Esempio di calcolo - Tubo con carico radiale ad un estremo y x Forza radiale Q z 1.20E+05 Dati: Diametro 400 mm Spessore 10 mm E = 200 GPa ν = 0.3 Forza Q0 = 100 000 N/m Momento M0 = 0 1.00E+05 Q(x) (N/m) 8.00E+04 π Q( x ) = − 2Q0e −λx sen λx − − 2λM 0e −λx sen (λx ) 4 6.00E+04 4.00E+04 2.00E+04 0.00E+00 0 50 100 150 200 250 300 -2.00E+04 -4.00E+04 Posizione assiale (mm) 13 Tubi - coefficienti di bordo Esempio di calcolo - Tubo con carico radiale ad un estremo y Convenzione positiva x Mo me nto as s iale z Q + 1200 Dati: Diametro 400 mm Spessore 10 mm E = 200 GPa ν = 0.3 Forza Q0 = 100 000 N/m Momento M0 = 0 1000 M(x) (Nm/m) 800 M ( x) = 600 π e −λx sinλx + 2 M 0 e −λx sin λx + 4 λ Q0 400 200 0 0 50 100 150 200 250 300 -200 Po s izio ne as s iale (mm) Tubi - coefficienti di bordo Esempio di calcolo - Tubo con carico radiale ad un estremo y x Tensioni (superficie interna) Q z 1.40E+08 Dati: Diametro 400 mm Spessore 10 mm E = 200 GPa ν = 0.3 Forza Q0 = 100 000 N/m Momento M0 = 0 1.20E+08 S(x) (N/m^2) 1.00E+08 σ a( x) = 8.00E+07 6M ( x ) 6.00E+07 2 c h σ c( x) = Ew( x) ν 6 M ( x ) + rc hc2 4.00E+07 +Sf(x) +Sc(x) +Se(x) 2.00E+07 0.00E+00 0 50 100 150 200 250 300 -2.00E+07 Posizione assiale (mm) 14 Tubi - coefficienti di bordo Esempio di calcolo - Tubo con carico radiale ad un estremo y x z Q Tensioni (superficie esterna) 1.50E+08 Dati: Diametro 400 mm Spessore 10 mm E = 200 GPa ν = 0.3 Forza Q0 = 100 000 N/m Momento M0 = 0 S(x) (N/m^2) 1.00E+08 σ a ( x) = − 5.00E+07 6M ( x) hc2 σ c( x) = Ew( x) ν 6M ( x ) − rc hc2 0.00E+00 0 50 100 150 200 250 300 -Sf(x) -Sc(x) -Se(x) -5.00E+07 -1.00E+08 Posizione assiale (mm) Tubi - coefficienti di bordo Esempio di calcolo - Tubo con Momento assiale ad un estremo y x S po s tame nto radiale M z 0.04 Dati: Diametro 400 mm Spessore 10 mm E = 200 GPa ν = 0.3 Momento M0 = 1000 Forza Q0 = 0 N/m 0.03 0.03 w(x) (mm) 0.02 w( x ) = 0.02 Q0 −λx M0 π 3π e sin(λx + ) + e −λx sin(λx + ) 3 2 2 Dλ 2 4 2 Dλ 0.01 0.01 0.00 0 50 100 150 200 250 300 -0.01 -0.01 Po s izio ne as s iale (mm) 15 Tubi - coefficienti di bordo Esempio di calcolo - Tubo con Momento assiale ad un estremo y x M z Rotazione 5.00E-04 0.00E+00 0 50 100 150 200 250 300 Rot(x) -5.00E-04 Dati: Diametro 400 mm Spessore 10 mm E = 200 GPa ν = 0.3 Momento M0 = 1000 Forza Q0 = 0 N/m -1.00E-03 ϕ( x) = − -1.50E-03 π M 2Q0 −λx π e sin(λx + ) − 0 e −λx sin(λx + ) 2 2 Dλ 4 Dλ 2 -2.00E-03 Posizione assiale (mm) Tubi - coefficienti di bordo Esempio di calcolo - Tubo con Momento assiale ad un estremo y x Fo rza radiale M z 200 250 5.00E+03 0.00E+00 Q(x) (N/m) 0 50 100 150 300 -5.00E+03 -1.00E+04 -1.50E+04 Dati: Diametro 400 mm Spessore 10 mm E = 200 GPa ν = 0.3 Momento M0 = 1000 Forza Q0 = 0 N/m π Q( x ) = − 2Q0e −λx sen λx − − 2λM 0e −λx sen (λx ) 4 -2.00E+04 Po s izio ne as s iale (mm) 16 Tubi - coefficienti di bordo Esempio di calcolo - Tubo con Momento assiale ad un estremo y x Mo me nto as s iale M z 1200 Dati: Diametro 400 mm Spessore 10 mm E = 200 GPa ν = 0.3 Momento M0 = 1000 Forza Q0 = 0 N/m 1000 M(x) (Nm/m) 800 M ( x) = 600 π e −λx sinλx + 2 M 0 e −λx sin λx + 4 λ Q0 400 200 0 0 50 100 150 200 250 300 -200 Po s izio ne as s iale (mm) Tubi - coefficienti di bordo Esempio di calcolo - Tubo con Momento assiale ad un estremo y x M Tensioni (superficie interna) z 7.00E+07 Dati: Diametro 400 mm Spessore 10 mm E = 200 GPa ν = 0.3 Momento M0 = 1000 Forza Q0 = 0 N/m 6.00E+07 S(x) (N/m^2) 5.00E+07 σ a( x) = 4.00E+07 6M ( x ) 3.00E+07 hc2 σ c( x) = Ew( x) ν 6 M ( x ) + rc hc2 2.00E+07 +Sf(x) +Sc(x) +Se(x) 1.00E+07 0.00E+00 0 50 100 150 200 250 300 -1.00E+07 Posizione assiale (mm) 17 Tubi - coefficienti di bordo Esempio di calcolo - Tubo con Momento assiale ad un estremo y x M z Tensioni (superficie esterna) Dati: Diametro 400 mm Spessore 10 mm E = 200 GPa ν = 0.3 Momento M0 = 1000 Forza Q0 = 0 N/m 8.00E+07 6.00E+07 S(x) (N/m^2) 4.00E+07 σ a( x) = − 2.00E+07 6M ( x ) 2 c h σ c( x) = Ew( x) ν 6M ( x ) − rc hc2 0.00E+00 0 50 100 150 200 250 300 -2.00E+07 -Sf(x) -Sc(x) -Se(x) -4.00E+07 -6.00E+07 -8.00E+07 Posizione assiale (mm) Tubi - coefficienti di bordo Esempio di calcolo - Tubo con Forza e Momento y x S po s tame nto radiale M z 0.06 Dati: Diametro 400 mm Spessore 10 mm E = 200 GPa ν = 0.3 Forza Q0 = 100 000 N/m Momento M0 = -2000 0.05 w(x) (mm) 0.04 w( x ) = 0.03 Q0 −λx M0 π 3π e sin(λx + ) + e −λx sin(λx + ) 3 2 2 Dλ 2 4 2 Dλ 0.02 0.01 0.00 0 50 100 150 200 250 300 -0.01 Po s izio ne as s iale (mm) 18 Tubi - coefficienti di bordo Esempio di calcolo - Tubo con Forza e Momento y x M Rotazione z 6.00E-04 Dati: Diametro 400 mm Spessore 10 mm E = 200 GPa ν = 0.3 Forza Q0 = 100 000 N/m Momento M0 = -2000 4.00E-04 2.00E-04 Rot(x) 0.00E+00 0 50 100 150 200 250 300 -2.00E-04 -4.00E-04 -6.00E-04 ϕ( x) = − -8.00E-04 π M 2Q0 −λx π e sin(λx + ) − 0 e −λx sin(λx + ) 2 2 Dλ 4 Dλ 2 -1.00E-03 Posizione assiale (mm) Tubi - coefficienti di bordo Esempio di calcolo - Tubo con Forza e Momento y Fo rza radiale 1.20E+05 x M 1.00E+05 z Mo me nto as s iale 8.00E+04 0 4.00E+04 0 0.00E+00 0 -2.00E+04 50 100 150 200 250 300 -500 2.00E+04 M(x) (Nm/m) Q(x) (N/m) 500 6.00E+04 -1000 50 100 150 200 250 300 -1500 Po s izio ne as s iale (mm) -2000 -2500 Dati: Diametro 400 mm Spessore 10 mm E = 200 GPa ν = 0.3 Forza Q0 = 100 000 N/m Momento M0 = -2000 Po s izio ne as s iale (mm) 19 Tubi - coefficienti di bordo Esempio di calcolo - Tubo con Forza e Momento y x M z Tensioni (superficie interna) Dati: Diametro 400 mm Spessore 10 mm E = 200 GPa ν = 0.3 Forza Q0 = 100 000 N/m Momento M0 = -2000 1.50E+08 1.00E+08 σ a( x) = S(x) (N/m^2) 5.00E+07 6M ( x ) 2 c h σ c( x) = Ew( x) ν 6 M ( x ) + rc hc2 0.00E+00 0 50 100 150 200 250 300 -5.00E+07 +Sf(x) +Sc(x) +Se(x) -1.00E+08 -1.50E+08 Posizione assiale (mm) Tubi - coefficienti di bordo Esempio di calcolo - Tubo con Forza e Momento y x M Tensioni (superficie esterna) 1.40E+08 Dati: Diametro 400 mm Spessore 10 mm E = 200 GPa ν = 0.3 Forza Q0 = 100 000 N/m Momento M0 = -2000 1.20E+08 1.00E+08 σ a( x) = − 8.00E+07 S(x) (N/m^2) z 6.00E+07 6M ( x ) 2 c h σ c( x) = Ew( x) ν 6M ( x ) − rc hc2 4.00E+07 2.00E+07 0.00E+00 0 50 100 150 200 250 -Sf(x) -Sc(x) -Se(x) 300 -2.00E+07 -4.00E+07 Posizione assiale (mm) 20 Tubi - coefficienti di bordo Applicazione: tamburi per compressori assiali distanziale anello distanziale schema di calcolo: due tubi connessi ad un anello Tubi - coefficienti di bordo Applicazione: tamburi per compressori assiali Sui distanziali agiscono le forze d’inerzia dovute alla rotazione. ha hc Anche sull’anello agiscono le forze d’inerzia dovute alla rotazione e, inoltre, agiscono le forze inerziali della palettatura Aa ra rc La In generale l’anello troverà il suo equilibrio dinamico su un raggio diverso da quello dei distanziali. Q Q La congruenza farà quindi nascere delle forze mutue di reazione Q ω 21 Tubi - coefficienti di bordo Applicazione: tamburi per compressori assiali Consideriamo la deformazione del distanziale separatamente dall’anello, soggetto quindi alle sole forze d’inerzia. 1 dV a dFi = ρ hc 1rc dϑ ω 2 rc Equilibrio radiale ρ hc1rc dϑ ω 2 rc − 2σ c1hc sin rc ω σ c1hc hc σ c = ρ ω 2 rc2 σ c1hc La deformazione circonferenziale è data da: dϑ Quindi può essere calcolato lo spostamento radiale : dϑ =0 2 wc = ε c rc = σc E εc = ρ ω 2 rc3 σc rc = E E Considerazioni analoghe possono essere fatte per l’anello, separato dai distanziali e soggetto unicamente alla propria forza d’inerzia. Spostamento radiale: Tubi - coefficienti di bordo Applicazione: tamburi per compressori assiali Oltre alla propria forza d’inerzia l’anello è soggetto all’ azione delle palette. fp ρ ω 2 ra3 σa wa = ε c ra = ra = E E fp = n p m pω 2 rp np = n° di palette 2π ra mp = massa di una paletta rp = forza inerziale delle palette per unità di lunghezza = raggio del baricentro di una paletta La tensione circonferenziale dovuta alla forza f p si ottiene dall’equilibrio dell’anello: Aa ra σ= f p 2ra rp Aa σ = Aa ω Lo spostamento radiale dovuto alla forza f p vale: Lo spostamento radiale complessivo dell’anello, dovuto sia alla propria forza d’inerzia che all’effetto delle palette è dato quindi da: f p 2ra wa = ε ra = wa = 2 Aa f p ra Aa f p ra2 σ ra = EAa E f p ra2 EAa + ρ ω 2 ra3 E 22 Tubi - coefficienti di bordo Applicazione: tamburi per compressori assiali In generale si avrà wa ≠ wc pertanto, per rispettare la congruenza, dovranno verificarsi ulteriori spostamenti radiali, sia per l’anello che per il distanziale: wc + ∆wc = wa + ∆wa Q w0 distanziale wc = anello wa = wc Q Q ρ ω 2 rc3 + w0 E ( f p − 2Q0 ) ra2 EAa + ρ ω 2 ra3 E Q Congruenza tra anello e distanziali Deformazione conseguente alle forze inerziali ω Tubi - coefficienti di bordo Applicazione: tamburi per compressori assiali Il distanziale ha una rigidezza flessionale, nel piano radiale, molto minore dell’anello, che pertanto può essere considerato rigido. In conseguenza di questa assunzione si può affermare che la rotazione del distanziale in corrispondenza della connessione con l’anello sia nulla. Tangente orizzontale ϕ0 = 0 w0 ϕ0 = − Q0 M − 0 =0 2 2 Dλ Dλ Q0 M =− 0 2 2 Dλ Dλ M0 = − Q0 2λ Congruenza tra anello e distanziali ω Deformazione conseguente alle forze inerziali 23 Tubi - coefficienti di bordo La relazione: M0 = − Q0 2λ Applicazione: tamburi per compressori assiali garantisce, quindi, che le generatrici del distanziale si mantengano orizzontali in corrispondenza della connessione con l’anello. Lo spostamento radiale w0 Q0 M0 + 3 2 Dλ 2 Dλ2 = w0 = può dunque essere scritto come segue: Q0 Q Q0 − 03 = 3 2 Dλ 4 Dλ 4 Dλ3 Lo spostamento radiale complessivo wc è dato quindi dalla relazione: ρ ω 2 rc3 ρ ω 2 rc3 Q + w0 = + 03 wc = E E 4 Dλ Per la congruenza gli spostamenti radiali wc e wa devono assumere lo stesso valore. ( f p − 2Q0 ) ra2 ρ ω 2 ra3 ρ ω 2 rc3 Q0 = + + EAa E E 4 Dλ3 wc = wa Da questa equazione è possibile calcolare il valore dell’unica incognita Tubi - coefficienti di bordo Q0 Applicazione: tamburi per compressori assiali ( f p − 2Q0 ) ra2 ρ ω 2 ra3 ρ ω 2 rc3 Q0 + = + 4 Dλ3 E EAa E ( ) Aa ρ ω 2 ra3 − rc3 + ra2 f p Q0 = EAa + 2ra2 4 Dλ3 La relazione esistente tra la forza radiale ed il momento consente di calcolare quest’ultimo: M0 = − ( ) Aa ρ ω 2 ra3 − rc3 + ra2 f p Q0 =− EAa 2λ + 2ra2 2λ 3 4 Dλ 24 Tubi - coefficienti di bordo Dai valori di Q0 M0 ed relative al distanziale: Spostamento radiale Applicazione: tamburi per compressori assiali è possibile calcolare tutte le altre grandezze di interesse π Q( x ) = − 2Q0e −λx sen λx − − 2λM 0e −λx sen (λx ) 4 π Q M ( x ) = 0 e −λx sinλx + 2 M 0 e −λx sin λx + 4 λ w( x ) = ρω 2 rc3 Q 3π π M0 + 0 3 e −λx sin(λx + ) + e −λx sin(λx + ) 2 2 Dλ 2 E 4 2 Dλ Componente relativa alla dilatazione inerziale Dal momento M0 Componente relativa alla forza radiale Q0 Componente relativa al momento flettente M 0 dipende la componente flessionale dello stato di tensione: Componente assiale σ a( x) = Componente circonferenziale 6M ( x ) σ c( x) = 2 c h Ew( x) ν 6 M ( x ) + rc hc2 Applicazione: tamburi per compressori assiali Esempio di calcolo Dati: Tubi - coefficienti di bordo Geometria: (dimensioni in m) ha φea = 0.76 φia = 0.60 φec = 0.63 φic = 0.62 hc Aa ra φea φia rc φic φ ec La La = 0.05 φea + φia = 0.34 4 φ +φ rc = ec ic = 0.3125 4 φea − φia ha = = 0.08 2 φ −φ hc = ec ic = 0.05 2 ra = Aa = ha La = 0.004 25 Tubi - coefficienti di bordo fp Applicazione: tamburi per compressori assiali Esempio di calcolo Dati: ha Velocità angolare ω =600 r/s hc Aa fp = rc ra φea φia φic φ ec ω n p m pω 2 rp 2π ra n° palette np =72 massa paletta mp = 0.15 kg Raggio centro di massa paletta rp = 0.41m La f p = 1 272 989 N m fp Tubi - coefficienti di bordo fp Applicazione: tamburi per compressori assiali Esempio di calcolo Dati: Materiale: ha hc Modulo di Young E = 200 GPa Aa rc ra φea φia Modulo di Poisson ν = 0.3 φic φ ec ω Densità ρ = 7800 kh/m3 La fp 26 Tubi - coefficienti di bordo fp Applicazione: tamburi per compressori assiali Esempio di calcolo Q0 = ha hc Aa ( ) Aa ρ ω 2 ra3 − rc3 + ra2 f p EAa + 2ra2 3 4 Dλ Q0 = 88 740 rc ra φea φia N m φic φ ec ω M0 = − La Q0 2λ M 0 = −1 364 Nm m fp Tubi - coefficienti di bordo Applicazione: tamburi per compressori assiali Esempio di calcolo trazione + – compressione Posizione assiale x 27 Applicazione: tamburi per compressori assiali Esempio di calcolo Tubi - coefficienti di bordo Spostamento radiale distanziale 0.80 Spostamento complessivo 0.70 w(x) centr. w(x) fless 0.60 Spostamento (mm) w(x) total 0.50 0.40 0.30 Spostamento dovuto al solo effetto centrifugo 0.20 0.10 Spostamento dovuto al solo effetto flessionale 0.00 0 50 100 150 200 -0.10 Posizione assiale (mm) Applicazione: tamburi per compressori assiali Esempio di calcolo Tubi - coefficienti di bordo Rotazione distanziale La rotazione all’interfaccia con l’anello è nulla 1.00E-03 0.00E+00 0 50 100 150 200 -1.00E-03 Rot(x) -2.00E-03 -3.00E-03 -4.00E-03 -5.00E-03 -6.00E-03 -7.00E-03 Posizione assiale (mm) 28 Applicazione: tamburi per compressori assiali Esempio di calcolo Tubi - coefficienti di bordo Tensioni sulla superficie interna del distanziale Tensione equivalente (von Mises) 6.00E+08 5.00E+08 Tensione circonferenziale 4.00E+08 Sigma(x) Pa 3.00E+08 2.00E+08 1.00E+08 0.00E+00 -1.00E+08 0 50 -2.00E+08 100 150 200 +S f(x) Tensione assiale +S c (x) -3.00E+08 +S e (x) -4.00E+08 Posizione assiale (mm) Applicazione: tamburi per compressori assiali Esempio di calcolo Tubi - coefficienti di bordo Tensioni sulla superficie esterna del distanziale 6.00E+08 Tensione equivalente (von Mises) 5.00E+08 -S f(x) 4.00E+08 -S c (x) -S e (x) S ig ma(x) Pa 3.00E+08 2.00E+08 Tensione circonferenziale 1.00E+08 0.00E+00 -1.00E+08 -2.00E+08 0 50 100 150 200 Tensione assiale -3.00E+08 -4.00E+08 Po s izio ne as s iale (mm) 29 Tubi - coefficienti di bordo Applicazione: tamburi per compressori assiali Esempio di calcolo Tensione equivalente σe =481 MPa Zona di maggiore tensione equivalente σe =592 MPa Tubi - coefficienti di bordo 30 31
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