esercizi sulle forze

LE FORZE
1)
A 87 kg sprinter wishes to accelerate from rest to a speed of 12 m/s in a distance of 20
m. What coefficient of static friction is required between the sprinter shoes and the
track? Explain the strategy used.
Iniziamo con la traduzione del testo:
“Un corridore di 87 kg vuole accelerare da fermo fino a una velocità di 12 m/s su una distanza di
20 m. Quale coefficiente di attrito statico è richiesto tra le scarpe del corridore e la pista? Spiega
la strategia utilizzata”
Per poter accelerare è necessario che la forza di attrito sia sufficiente a sostenere la spinta esercitata
dal corridore. La condizione che dobbiamo porre è quindi:
→ ma = μ ⋅ m g
F = FA
→ μ=
a
g
Rimane quindi da calcolare l’accelerazione del corridore.Dobbiamo supporre che essa sia costante
durante tutta la corsa. In caso contrario vi sarebbero dei momenti in cui l’accelerazione sarebbe
maggiore e quindi le scarpe potrebbero scivolare.
Nel moto uniformemente accelerato si ha:
v = 2aS
v2
→ a=
2S
Sostituendo nella precedente relazione si ha:
μ=
2)
a
v2
=
g 2 gS
→ μ=
12 2
= 0,37
2 × 9,8 × 20
Un blocco di peso P è appeso con delle funi di massa trascurabile come rappresentato
in figura. Calcolare il modulo delle tensioni nelle tre funi.
Le forze agenti sono rappresentate nello schema seguente:
Imponiamo le condizioni di equilibrio:
⎧T3 sin 60° = P
⎨
⎩T3 cos 60° = T2
3)
⎧
3
=P
⎪⎪T3
2
→ ⎨
⎪T = 1 T
⎪⎩ 2 2 3
2P
⎧
⎪⎪T3 = 3
→ ⎨
⎪T = P
⎪⎩ 2
3
Una persona di massa 60 Kg si appisola su un’amaca in giardino. Entrambe le corde
che reggono l’amaca formano un angolo di 16° al di sotto dell’orizzontale. Determinare
la tensione sulle due corde
La situazione è schematizzata nella figura seguente:
Le forze agenti sono riportate nella figura seguente:
Imponiamo le condizioni di equilibrio:
T1 cos16° = T2 cos16°
→ T1 = T2
Si deduce che la tensione sulle due funi dell’amaca è la stessa. Ovviamente si poteva giungere alle
stesse conclusioni in base a considerazioni di simmetria.
Si ha poi:
2 ⋅ T sin 16° = P
4)
→ T=
mg
2 sin 16°
→ T=
60 × 9,8
= 1067 N
2 × sin 16°
Un secchio pieno d’acqua di massa 4,5 kg viene sollevato con un’accelerazione di 1,48
m/s2 da una fune di massa trascurabile. Calcolare la tensione della fune.
La situazione è schematizzata in figura:
Per la 2° legge di Newton deve essere:
F = ma
dove F è la risultante delle forze agenti, cioè:
T − P = ma
5)
→ T = mg + ma
→ T = m( g + a )
→ T = 4,5 × (9,81 + 1,48) = 51 N
Un’auto percorre una curva di raggio 12 m; il coefficiente di attrito tra pneumatici e
asfalto è pari a 0,9. Determinare la massima velocità che può avere l’auto senza uscire
di strada.
La massima velocità è quella a cui corrisponde una forza centripeta uguale alla massima forza di
attrito, cioè
mv 2
FC = FA
→
= μ ⋅ mg
R
v = 0,9 × 9,8 × 12 = 10 m / s
6)
→ v = μ⋅g⋅R
A mass of 20 kg is hung up on the ceiling by two ropes which respectively form two
angles of 30° and 45°. Find the tension on the two ropes.
Iniziamo con la traduzione del testo:
Una massa di 20 kg è appesa al soffitto mediante due corde che formano rispettivamente due
angoli di 30° e 45°. Trova le tensioni delle due corde.
Per risolvere il problema consideriamo il diagramma delle forze:
Nello schema è riportato un sistema di coordinate con origine nel punto di sospensione e le forze
agenti. In condizioni di equilibrio la risultante di tutte le forze deve essere nulla. In particolare deve
essere nulla la risultante delle forze che agiscono sia sull’asse x che quelle agenti sull’asse y.
Possiamo quindi costruire il sistema:
⎧T1 cos 30° = T2 cos 45°
⎨
⎩T1 sin 30° + T2 sin 45° = P
procedendo con i calcoli si ottiene:
⎧T1 ⋅ 0.8660 = T2 ⋅ 0.7071
⎨
⎩T1 ⋅ 0.5000 + T2 ⋅ 0.7071 = 20 ⋅ 9,8
7)
⎧T2 = 1.225 ⋅ T1
→ ⎨
⎩T1 ⋅ 1.366 = 196
⎧⎪T1 = 143 N
→ ⎨
⎪⎩T2 = 175 N
Un blocco di massa 2,4 Kg è appoggiato su un piano orizzontale. Il coefficiente di
attrito tra il blocco e il piano è pari a 0,65. Al blocco viene applicata, parallelamente
al piano, una forza di 25 N. Stabilire se il blocco si muove e, in caso affermativo, qual è
la sua accelerazione
La massima forza di attrito che può sviluppare il blocco è:
FA = μ ⋅ m ⋅ g = 0,65 × 2,4 × 9,8 = 15 N
Questa forza è inferiore a quella che viene applicata al blocco, quindi lo stesso si muoverà con
accelerazione data dalla relazione:
ma = F − FA
→ a=
F − FA
m
→ a=
25 − 15
= 4,2 m / s 2
2,4
8)
Un oggetto scivola con velocità costante di 4 m/s lungo un piano inclinato che forma un
angolo di 30° con l’orizzontale. Determinare il coefficiente di attrito dinamico.
Se l’oggetto si muove con velocità costante, significa che la risultante delle forze agenti su di esso è
nulla. Notare che l’informazione che esso si muove con velocità di 4 m/s è superflua ai fini della
soluzione del problema.
Poniamo quindi la condizione di equilibrio delle forze:
FA = P//
μ=
9)
sin 30°
cos 30°
→ μ ⋅ P⊥ = P//
→ μ ⋅ mg ⋅ cos 30° = mg ⋅ sin 30°
→ μ = tan 30° = 0,58
Due blocchi sono collegati tra di loro come in figura. La massa di m1 è 4,0 kg e quella
di m2 è di 1,8 kg. Il coefficiente di attrito dinamico tra m1 e il tavolo è μd = 0,2.
Determinare l’accelerazione con cui si muove la massa m1.
Nello schema seguente sono riportate le forze che agiscono sul sistema:
Osserviamo in particolare che sul blocco m1, nella direzione orizzontale, agiscono la tensione della
cordicella e la forza di attrito che si oppone al moto.
Scriviamo quindi la legge di Newton per questo blocco, indicando con FR la forza risultante che
agisce su di esso
FR = m1 a
→ T − FA = m1 a
Consideriamo adesso il blocco m2. Su di esso agiscono la forza peso P2 e la tensione della
cordicella, che naturalmente è uguale alla tensione che si esercita sul blocco m1. Anche
l’accelerazione è la stessa del blocco m1 dal momento che i due blocchi sono collegati.
Scriviamo quindi la legge di Newton per il blocco m2:
F = m2 a
→ P2 − T = m2 a
Abbiamo quindi il sistema:
⎧T − FA = m1 a
⎨
⎩ P2 − T = m2 a
A questo punto possiamo ricavare la T dalla prima equazione e sostituirla nella seconda, ottenendo:
P2 − FA − m1 a = m2 a
→ m2 g − μ d m1 g = (m1 + m2 )a
→ a=
m2 g − μ d m1 g
m1 + m2
da cui:
a=
10)
1,8 × 9,8 − 0,2 × 4 × 9,8
= 1,69 m / s 2
4 + 1,8
Un blocco di massa 2,5 Kg è appoggiato su un piano inclinato privo di attrito che
forma un angolo α = 25° con l’orizzontale ed è trattenuto da una molla di costante
elastica k = 200 N/m. Determinare l’allungamento della molla.
Di seguito è riportato lo schema delle forze che agiscono sul blocco:
Osserviamo che la condizione di equilibrio si ha con la forza elastica di modulo uguale alla
componente parallela della forza peso, cioè:
FE = P//
11)
→ kx = mg sin α
→ x=
mg sin α
k
→ x=
2,5 × 9,8 × sin 25°
= 0,052 m
200
Una pallina ruota sospesa ad una cordicella di lunghezza L = 1,20 m e nel suo moto
forma un angolo α =60° con la verticale. Determinare la velocità di rotazione della
pallina.
Di seguito è riportato lo schema delle forze che agiscono sulla pallina, cioè la forza peso, lo forza
centrifuga e la tensione del filo:
Di seguito lo schema delle stesse forze in un sistema di riferimento che ha origine nel centro della
pallina:
La condizione di equilibrio sull’asse x conduce all’equazione:
Tx = FC
e quella sull’asse y all’equazione:
Ty = P
Abbiamo quindi il sistema:
⎧T sin α = FC
⎨
⎩T cos α = P
Dividendo membro a membro le due equazioni si ottiene:
tan α =
FC
P
→ tan α =
mv 2
R ⋅ mg
→ v = Rg tan α
Teniamo presente che il raggio R si può ottenere a partire dalla lunghezza del filo L:
R = L sin α
per cui si ha:
v = L sin α tan α ⋅ g = 4,2 m / s
12)
The teacher, to explain the force of friction, pushes the chair, that has a mass of 40 kg,
with a constant force of 100 N so that it moves with a constant speed of 0.4 m / s. Find
the coefficient of dynamic friction between the chair and floor.
Iniziamo con la traduzione del testo:
“L’insegnante, per spiegare la forza di attrito, spinge la cattedra, che ha una massa di 40 Kg, con
una forza costante di 100 N cosicché si muove con una velocità costante di 0,4 m/s. Trova il
coefficiente di attrito dinamico tra la cattedra e il pavimento.”
Sappiamo che la cattedra si muove con velocità costante (il valore di 0,4 m/s è irrilevante: ciò che
importa è che la velocità sia costante), quindi deve essere nulla la risultante delle forze che agiscono
sulla cattedra. In altri termini deve essere:
F = FA
13)
→ F = μ d ⋅ mg
→ μd =
F
mg
→ μd =
100
= 0,26
40 × 9,8
A block of mass m1 = 4.0 kg , placed on a tilted plane without friction that forms an
angle α = 30° with the horizontal, is linked to a block of mass m2 = 1.0 kg as shown in
figure. Calculate the acceleration of the block m2 and determine whether it is
ascending or descending.
Iniziamo con la traduzione del testo: “Un blocco di massa m1 = 4.0 Kg, posato su un piano
inclinato privo di attrito che forma un angolo di 30° con l’orizzontale, è collegato a un blocco di
massa m2 = 1.0 Kg come mostrato in figura. Calcola l’accelerazione del blocco m2 e determina se
sale o scende.”
I due blocchi sono collegati insieme quindi, ai fini dell’accelerazione, è come se fossero un blocco
unico. Per calcolare l’accelerazione del sistema dobbiamo analizzare le forze che agiscono su di
esso. Consideriamo per esempio il blocco m2 (ma avremmo potuto anche considerare il blocco m1).
Su di esso agisce la forza peso P2 orientata verso il basso, che assumeremo come direzione positiva.
La corda trasporta sul blocco m2 anche la componente P2// della forza peso del blocco m1.
La forza risultante sarà quindi:
FR = P2 − P1 //
Per calcolare l’accelerazione non resta che scrivere la seconda legge di Newton:
FR = ma
Come massa, per quanto detto sopra, dovremo considerare la somma delle masse dei due blocchi. Si
ha quindi:
FR = (m1 + m2 )a
→ a=
P2 − P1 //
(m1 + m2 )
→ a=
m2 g − m1 g sin α
(m1 + m2 )
→ a = −1,96 m / s 2
il segno negativo dell’accelerazione indica che il blocco m2 si muove verso l’alto, dal momento che
si era assunto come positivo il verso opposto.
14)
Una molla, di costante elastica 20 N/m, è collegata a un blocco di legno di massa 1,0 kg
posto su un tavolo. Tirando la molla, il blocco inizia a muoversi quando l’allungamento
è di 10 cm. Calcolare il coefficiente di attrito tra il blocco e il tavolo.
Il blocco inizia a muoversi quando la forza elastica sviluppata dalla molla è uguale alla forza di
attrito, cioè:
Fe = Fa
15)
→ K ⋅ x = μ ⋅ mg
→ μ=
Kx
mg
→ μ=
20 × 0,1
= 0,20
1 × 9,8
La cabina di un ascensore di massa 140 Kg è sospesa a una molla di costante elastica k
= 2200 N/m. Calcolare l’allungamento della molla quando l’ascensore è immobile e nel
momento in cui accelera verso il basso con accelerazione a = 1,1 m/s2.
Nella prima situazione, con la cabina immobile, si ha equilibrio quando la forza elastica sviluppata
dalla molla è uguale alla forza peso della cabina:
Fe = P
→ K ⋅ x = mg
→ x=
mg
K
→ x=
140 × 9,8
= 0,62 m
2000
Nella seconda situazione, con la cabina che accelera verso il basso, dobbiamo riscrivere la relazione
precedente, tenendo presente che l’accelerazione della cabina va sottratta dall’accelerazione di
gravità.
Per comprendere questo punto possiamo osservare che la forza risultante R, che è la differenza tra
la forza peso e la forza sviluppata dalla molla, è tale da accelerare verso il basso la cabina con
accelerazione a, ossia:
R = P − Fe = ma
→ Fe = P − ma
Si ha quindi:
K ⋅ x = m( g − a )
16)
→ x=
m( g − a )
K
→ x=
140 × (9,8 − 1,1)
= 0,55 m
2000
Un bambino è seduto sulla piattaforma di una giostra a 2,0 m di distanza dal centro; il
coefficiente di attrito tra il bambino e la piattaforma è 0,80. Calcolare la massima
velocità di rotazione del bambino prima che inizi a scivolare.
La situazione è schematizzata nella figura seguente.
Il bambino (rappresentato dal punto blu) si trova al bordo della giostra. Su di esso agiscono due
forze opposte: la forza di attrito e la forza centrifuga. In condizioni di equilibrio deve essere:
FA = FC
17)
→ μ ⋅ mg = m
v2
R
→ v = μgR
→ v = 0,8 × 2 × 9,8 = 3,9 m / s
Mario, which mass is 75 kg, jumps upward, reaching a speed of 2,3 m/s. Before the
jump, the force he exerts on the floor is mg. Find the additional force he exerts during
the jump, knowing that it lasts 0,35 s.
Per prima cosa passiamo alla traduzione del quesito:
“Mario, la cui massa è 75 Kg, salta verso l’alto, raggiungendo una velocità di 2,3 m/s. Prima del
salto, la forza che esercita sul pavimento è mg. Trova la forza addizionale che egli esercita durante
il salto, sapendo che esso dura 0,35 s.”
Per risolvere questo quesito dobbiamo ricordare il teorema dell’impulso:
F ⋅ Δt = ΔP
da cui:
F=
ΔP
Δt
18)
→ F=
m ⋅ Δv
Δt
→ F=
75 × 2,3
= 493 N
0,35
Una freccia di massa 130 g viene scagliata da un arco che esercita una forza media di
200 N per una durata di 40 ms; calcolare la velocità della freccia trascurando gli
attriti.
Applichiamo il teorema dell’impulso:
F ⋅ Δt = Δp
→ F ⋅ Δt = m ⋅ Δv
→ Δv =
F ⋅ Δt
m
→ v f − v0 =
F ⋅ Δt
m
dove:
F = 200 N
Δt = 40 ms = 0,040 s
m = 130 g = 0,130 Kg
v0 = 0
Si ha quindi:
vf =
19)
200 × 0,040
= 61,5 m / s
0,130
Ad un punto materiale sono applicate 3 forze. La prima è diretta lungo l’asse x e ha
un’intensità di 8 N; la seconda forma con la prima un angolo di 45° ed ha un’intensità
di 2 N; la terza forma un angolo di 210° ed ha intensità 12 N. Calcolare la forza
risultante e l’angolo formato con l’asse x.
Il sistema di forze è riportato nello schema seguente:
La risultante si ottiene sommando vettorialmente le tre forze, cioè:
R = F1 + F2 + F3
Prima di procedere occorre però ricavare le componenti delle tre forze, ricordando che in
generale esse si ottengono dalle relazioni:
Fx = F ⋅ cos α
Fy = F ⋅ sin α
Osservando gli angoli riportati nello schema si ottiene quindi:
F1 (8;0)
⎛
2
2⎞
⎟ = (1.41;1.41)
F2 ⎜⎜ 2 ⋅
;2 ⋅
⎟
2
2
⎝
⎠
⎛
3
1⎞
F3 ⎜⎜ − 12 ⋅
;−12 ⋅ ⎟⎟ = (− 10.4;−6) )
2
2⎠
⎝
da cui:
R (− 0.99;−4.59) )
R = 0.99 2 + 4.59 2 = 4.69
Per determinare l’angolo formato con l’asse x ricordiamo la relazione
tan α =
Ry
Rx
⎛ − 4.59 ⎞
→ α = tan −1 ⎜
⎟
⎝ − 0.99 ⎠
→ α = 77.8° + k180°
Tenuto conto dei segni delle componenti, che indicano il III quadrante, si ha in definitiva:
α = 257.8° ≈ 258°
20)
Un uomo deve spingere una botte di massa 200 Kg lungo un piano inclinato ma non
vuole faticare troppo. Quale deve essere l’angolo di inclinazione del piano se la
forza massima che vuole applicare l’uomo è pari a 400 N ? Trascurare gli attriti.
La situazione è schematizzata in figura:
Per sostenere la botte, la forza applicata dall’uomo (in blu) deve equilibrare la componente
parallela della forza peso, deve cioè risultare:
F = P ⋅ senα
21)
→ senα =
F
mg
⎛ 400 ⎞
→ α = sen −1 ⎜
⎟ = 11,8° ≈ 12°
⎝ 200 × 9,8 ⎠
Un uomo deve impedire ad una botte di massa 200 Kg di rotolare lungo un piano
inclinato ma non vuole faticare troppo. Quale deve essere l’angolo massimo di
inclinazione del piano se la forza massima che può applicare l’uomo è pari a 440 N ?
Trascurare gli attriti.
La situazione è raffigurata nello schema seguente:
All’equilibrio la forza F dovrà essere uguale alla componente della forza peso P parallela al piano
inclinato, ossia:
F = mg sin α
22)
→ sin α =
F
mg
→ sin α =
440
200 × 9,8
→ α = sin −1 (0,2249) = 12,9°
Due molle, entrambe di costante elastica 60 N/m, sostengono due palline uguali,
ciascuna di massa 150 g. Calcolare l’allungamento subito da ciascuna molla
Per calcolare l’allungamento delle due molle dobbiamo considerare quali sono le forze che agiscono
su ciascuna di esse. Sulla prima, quella fissata al soffitto, agisce la forza peso dovuta a entrambe le
palline, quindi:
F = kx1
→ 2mg = kx1
→ x1 =
2mg 2 × 0,150 × 9,8
=
= 0,049 m = 4,9 cm
k
60
Sulla seconda molla agisce solo la forza peso dovuta alla seconda pallina, quindi:
x2 =
23)
mg 0,150 × 9,8
=
= 0,024 m = 2,4 cm
k
60
Una molla trattiene in posizione verticale un blocco di legno di massa 1 kg su una
parete rispetto alla quale il coefficiente di attrito statico è μ = 0,35. Calcolare la minima
forza che deve esercitare la molla.
Nello schema seguente sono riportate le forze che agiscono sul blocco: la forza peso P, la forza
di attrito FA la forza normale FN (esercitata dalla molla) e la reazione vincolare R.
All’equilibrio la forza peso P deve essere opposta alla forza di attrito FA quindi si ha:
P = FA
→ mg = μ ⋅ FN
→ FN =
mg
μ
=
1 × 9,8
= 28 N
0,35

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