Revisione
gen. 2015
Metodi di integrazione delle
Equazioni Differenziali Ordinarie Lineari
del 2.o ordine a coefficienti variabili
Claudio Magno
www.cm-physmath.net
CM_Portable MATH Notebook Series™
Metodi di integrazione delle Eq. Diff. Ord. Lin. del 2.o ordine a coefficienti variabili –
Jacopo Francesco Riccati (1676-1754)
1
Metodi di integrazione delle Eq. Diff. Ord. Lin. del 2.o ordine a coefficienti variabili –
2
Riduzioni classiche di integrazione
La forma normale dell’equazione differenziale ordinaria del 2.o ordine lineare, a coefficienti
variabili, omogenea, ordinata vs. le derivate decrescenti della funzione incognita x ֏ y (x ) , è
y ′′ + p (x ) y ′ + q (x ) y = 0 ,
(1)
dove p e q rappresentano funzioni note, continue in uno stesso intervallo I ⊆ R .
Si dimostra che, per la determinazione dell’integrale generale dell’Eq. (1), quando ne sia già noto
un integrale particolare y 1 (x ) ≡/ 0 , un secondo integrale particolare linearmente indipendente da
y 1 (x ) è propagato da qualsiasi x 0 ∈ I , con la formula à-la Lagrange-Picard [1, 2, 7, 8, 10, 12]
t
x
⌠ e − ∫ x 0 p (u )du
y 2 (x ) = y 1 (x )
dt .
(y 1 (t ))2
⌡x 0
(2)
Casi particolari: alternative all’Eq. (2)
1
2
3
Se p (x ) ≡ (ax + b )/ψ (x ) ∧ q (x ) ≡ − a /ψ (x ) , ψ ≡/ 0 in I (i.e., ≡/ funzione generalmente
nulla in I ), allora, un integrale particolare dell’Eq. (1) è y 1 (x ) = ax + b ;
se ∃ η ∈ R tale che η 2 + η p (x ) + q (x ) ≡ 0 in I , allora, un integrale particolare dell’Eq.
(1) è y 1 (x ) = e η x ;
se p (x ) ≡ λ /(ax + b ) ∧ q (x ) ≡ µ /(ax + b)2 , con {a , µ } ⊂ R \{ 0 } , l’Eq. (1) corrisponde alla
cosiddetta Equazione di Euler (del 2.o ordine). In questo circostanza, la sostituzione
e t := |ax + b| introduce la variabile intermedia t ≡ t (x ) = ln |ax + b | di composizione da x
a y , dalla quale, si calcolano le trasformazioni valide, rispettivamente, per ax + b ≷ 0 ,
●
p (x ) ≡ ± λ e − t ,
q (x ) ≡ µ e − 2t ,
dt
a
=
≡ ± ae −t ,
dx
ax + b
dt dy
= ± ae −ty ′(t ) ≡ y ′(x (t )) ,
dx dt
dy ′
dt dy ′
d
● y ′′(x ) ≡
≡
= ( ± ae −t ) ( ± ae −ty ′(t )) = a 2e − 2t (y ′′(t ) − y ′(t ) ) ≡ y ′′(x (t )) .
dx
dx dt
dt
● y ′(x ) ≡
Pertanto, sostituendo a p (x ) , q (x ) , y ′(x ) e y ′′(x ) le espressioni trasformate corrispondenti,
l’Eq. (1) muta nella t - rappresentazione lineare a coefficienti costanti
y ′′(t ) − (1 − λ /a ) y ′(t ) + ( µ /a 2 ) y (t ) = 0 ,
(3)
la cui equazione caratteristica,
s 2 − (1 − λ /a )s + µ /a 2 = 0 ,
(3.1)
ha le radici formali s = (a − λ )/(2a ) ± ∆ / 4 in C , essendo ∆ / 4 := ((a − λ )/(2a ))2 − µ /a 2 .
La rappresentazione dell’integrale generale dell’Equazione di Euler del 2.o ordine dipende
dal segno di ∆ . Ripristinando la variabile x , risulta, rispettivamente,
3
Metodi di integrazione delle Eq. Diff. Ord. Lin. del 2.o ordine a coefficienti variabili –
c 1 |ax + b | (a − λ ) /(2a ) + ∆ / 4 + c 2 |ax + b | (a − λ ) /(2a ) − ∆ / 4 ,
|ax + b | (a − λ ) /(2a ) (c 1 + c 2 ln |ax + b | ),
y (x ; c 1 , c 2 ) =
(a − λ ) /( 2a )
(c 1 cos ( | ∆ / 4 |ln |ax + b | ) +
|ax + b |
↲
+ c 2 sin ( | ∆ / 4 | ln |ax + b | )),
↳
4
per ∆ > 0 ,
per ∆ = 0 ,
.
per ∆ < 0 .
(4)
Se p (x ) ≡ (a 1x + b1 )/(a 0x + b 0 ) ∧ q (x ) ≡ (a 2x + b 2 )/(a 0x + b 0 ) , dove {a j , b j } j = 0, 1, 2 ⊂ R ,
con a 0 ∈ R + (senza perdita di generalità), si determina l’Equazione differenziale ordinaria
lineare di Laplace (del 2.o ordine). Di questa, quando sussistono certe condizioni tra i vari
parametri, si può determinare un integrale particolare reale della forma à-la Laplace
y 1 (x ) :=
β
∫α
e η x t φ (t )dt .
(5)
Qui, per definitezza, si assume α < β , φ è una funzione opportuna mentre al parametro η
sono assegnati, in modo prestabilito, i valori 1 o i .
4.1
Sia ∆ := a 12 − 4 a 0a 2 > 0 .
Preso η ≡ 1 , se i numeri λ := (a 0b1 − a 1b 0 )/a 0 , con λ > 0 , e µ := (a 0b 2 − a 2b 0 )/a 0
verificano la disuguaglianza |2a 0 µ − a 1λ | < λ ∆ , allora, ∃ un integrale particolare
della forma (5) dato da
β
(x + b 0
y 1 (x ) = ⌠ e
⌡α
a 0 )t
(β − t )
λβ + µ
−1
∆
(t − α )
−
λα + µ
−1
∆
dt ,
(6)
dove α e β sono le radici distinte del polinomio quadratico Α (t ) ≡ a 0t 2 + a 1t + a 2 ;
4.2
sia ∆ = 0 .
∃ alcun integrale particolare del tipo (5). Eccetto che in casi particolari, è presumibile
che l’unico procedimento analitico applicabile sia quello locale dell’espansione in serie
di potenze, tenendo presente che x = − b0 /a 0 è un punto di singolarità regolare per
l’Eq. (1). A questa, è associata l’equazione indiciale (v. p. 11-12)
λ 2 + (b1 /a 0 − a 1b 0 /a 02 − 1) λ = 0 ,
(7)
le cui radici sono λ = 0 e λ = 1 − b1 /a 0 + a 1b 0 /a 02 (cfr/c Esempio, p. 15);
4.3
sia ∆ < 0 .
Preso η ≡ i , si può trovare, in R , un integrale particolare della forma (5) se coesistono
le condizioni ulteriori seguenti:
a1 ≡ 0 ( ⇒ a 2 > 0) ,
.
b1 > 0 ,
µ ≡ 0.
In tale circostanza, un integrale particolare è dato da
Metodi di integrazione delle Eq. Diff. Ord. Lin. del 2.o ordine a coefficienti variabili –
y 1 (x ) =
β
∫α
e
i (x + b 0 /a 0 ) t
b /( 2a 0 ) − 1
(a 2 − a 0t 2 ) 1
4
dt ,
dove, gli estremi di integrazione α ≡ − (a 2 /a 0 )1 / 2 e β ≡ (a 2 /a 0 )1/ 2 ≡ − α , opposti,
sono le radici del polinomio quadratico Α (t ) ≡ − a 0 t 2 + a 2 . Avendo assunto a 0 > 0 ,
risulta Α (t ) > 0 ∀ t ∈ (α , β ) (†);
5
se p (x ) ≡ (2 κ + 1)/x ∧ q (x ) ≡ (α 2x 2η + β 2 )/x 2 , ∀ { α , η } ∈ R 0+ × R + ∧ ∀ { β , κ } ⊂ R ,
allora, deve essere x ∈ R + . Qui, conviene porre l’Eq. (1) in forma canonica,
x 2y ′′ + (2κ + 1)xy ′ + (α 2x 2η + β 2 )y = 0
(9)
e considerarne i due casi risultanti.
5.1
Sia αη = 0 :
l’Eq. (1) si riduce a un’Equazione di Euler, della quale, l’integrale generale può essere
espresso variamente secondo le Eq. (4) precedenti, con ∆ / 4 ≡ κ 2 − α 2 − β 2 ;
5.2
sia {α , η } ⊂ R + :
si esegue la trasformazione classica
y (x ) := u (x ) /x κ ,
(10)
dalla quale, si calcolano, nella nuova funzione incognita u ,
●
●
y ′ = u ′ /x κ − κ u /x κ + 1 ,
y ′′ = u ′′/x κ − 2 κ u ′/x κ + 1 + κ (κ + 1)u /x κ + 2 .
(10.1)
(10.2)
Sostituendo le Eq. (10), (10.1) e (10.2) nell’Eq. (9), semplificando e moltiplicando
entrambi i membri dell’espressione ottenuta per x κ ≠ 0 , si arriva all’equazione
x 2u ′′ + xu ′ + ((α x η )2 − η 2ν 2 ) u = 0 ,
(11)
nella quale, si è posto
ν := (κ 2 − β 2 )1 / 2 /η .
(11.1)
Ora, dal cambiamento di variabile indipendente
t := α x η /η ,
(12)
si ricavano le uguaglianze di trasformazione
x = (η t /α )1 /η ,
dt
●
= α 1 /η (η t ) 1 − 1 /η ,
dx
d
dt d
● u ′(x ) ≡
u (x ) =
u (x (t )) = α 1 /η (η t ) 1 − 1 /η u ′(t ) ≡ u ′(x (t ))
dx
dx dt
●
(12.1)
(12.2)
(12.3)
____________________
( †)
Per i dettagli di calcolo delle soluzioni (6) e (8) relative all’Equazione Differenziale Ordinaria Lineare
di Laplace del 2.o ordine, ci si colleghi, e.g., dal parent-directory dell’autore, all’Unità tematica specifica.
Metodi di integrazione delle Eq. Diff. Ord. Lin. del 2.o ordine a coefficienti variabili –
d
dt d
d
u ′(x ) =
u ′(x (t )) = (α 1 /η (η t ) 1 − 1 /η ) (α 1 /η (η t ) 1 − 1 /ηu ′(t ))
dx
dx dt
dt
2 /η
1 − 2 /η
= α (ηt )
(η tu′′(t ) + (η − 1)u ′(t ) ) ≡ u′′(x (t )) ,
5
● u ′′(x ) ≡
(12.4)
che, sostituite nell’Eq. (11), ne forniscono la rappresentazione trasformata
η 2t 2u ′′(t ) + η 2tu ′(t ) + η 2 (t 2 − ν 2 ) u (t ) = 0 .
Questa, divisa completamente per η 2 , fornisce l’Equazione di Bessel in forma canonica,
t 2u ′′(t ) + tu ′(t ) + (t 2 − ν 2 ) u (t ) = 0 .
(13)
L’integrale generale dell’Eq. (13) è esprimibile mediante le Funzioni di Bessel
Ordinarie di 1.o e di 2.o tipo di ordine ν , indicate con i simboli rispettivi J ν e N ν .
Si ha, quindi,
u (t ) = c 1 J ν (t ) + c 2 Nν (t ) ,
(14)
essendo c1 e c 2 costanti arbitrarie (il simbolo N ν è più recente del classico Yν ).
Infine, con le sostituzioni (12) e (10), si scrive l’integrale generale dell’Eq. (9),
y (x ) = x −κ (c 1 J ν (α x η /η ) + c 2 N ν (α x η /η ) ) .
(15)
Dall’Eq. (11.1), si osserva che, per |κ | < | β | , le Funzioni di Bessel presenti nell’Eq.
(15) sono di ordine immaginario.
Esempi particolarmente frequenti dell’Eq. (15), soprattutto nelle applicazioni della
Fisica, sono quelli che corrispondono
●
all’assegnazione parametrica {κ , η , β } ≡ { 0 , 1 , iν } , da cui si ottiene l’integrale
generale
y (x ) = c 1 J ν (α x ) + c 2 N ν (α x )
(15.1)
dell’equazione differenziale
y ′′ + (1 /x )y ′ + (α 2 − ν 2 /x 2 )y = 0 ,
●
(15.2)
e all’assegnazione parametrica {κ , η , β } ≡ {1/2 , 1 , i (m (m + 1))1/ 2 } , con m ∈ Z .
Tale caso riguarda, e.g., la soluzione, per separazione delle variabili sferiche, della
parte radiale delle Equazioni (differenziali) dei tipi di Helmholtz o di diffusione o di
Schrödinger (e.g., relativa a una particella libera confinata in un volume sferico
finito).
Poiché, qui, risulta che ν 2 ≡ (κ 2 − β 2 )/η 2 = (m + 1/2)2 ∉ Z , l’equazione specifica
dedotta dall’Eq. generale (15) come combinazione lineare in termini di J m + 1/ 2 e di
N m + 1/ 2 risulta equivalente alla combinazione lineare
y (x ) = x −1 2 (c 1 J m + 1 / 2 (α x ) + c 2 J − (m + 1 / 2 ) (α x )) .
(15.3)
Infatti, in questa circostanza, si ha N m + 1/ 2 (α x ) ≡ (− 1)m + 1 J − (m + 1/ 2) (α x ) ). Quindi,
l’Eq. (15.3) rappresenta l’integrale generale dell’equazione differenziale
y ′′ + (2 /x )y ′ + (α 2 − n (n + 1)/x 2 ) y = 0 .
(15.4)
Metodi di integrazione delle Eq. Diff. Ord. Lin. del 2.o ordine a coefficienti variabili –
6
L’associazione moltiplicativa di x −1 / 2 con le Funzioni di Bessel J m + 1/ 2 e J − (m + 1/ 2)
fornisce la definizione delle cosiddette Funzioni di Bessel Sferiche Ordinarie di 1.o e
di 2.o tipo che, a meno di fattori costanti provenienti dalla separazione delle variabili
sferiche ( r x ), sono date dalle espressioni convenzionali rispettive
π
j m (α x ) :=
J m + 1 / 2 (α x ) ,
2
α
x
(15.5)
π
nm (α x ) := ( − 1)m + 1
J − (m + 1/ 2) (α x ) .
2α x
(15.6)
1/ 2
1/2
In tal modo, l’Eq. (15.3) può essere scritta nella forma alternativa equivalente
y (x ) = c 1 j m (α x ) + c 2 nm (α x ) ;
6
(15.7)
se p (x ) ≡ 2 κ + 1/x ∧ q (x ) ≡ η + κ /x − ν 2 /x 2 , ∀ {η , κ , ν } ⊂ R , allora, x ∈ R \{ 0 } .
Con la posizione
y (x ) := e − κ x u (x ) ,
(16)
si determinano le espressioni trasformate
● y′ ≡ e
−κ x
● y ′′ ≡ e
−κ x
(u ′ − κ u ) ,
(u ′′ − 2κ u ′ + κ 2 u ) .
(16.1)
(16.2)
Queste, sostituite nell’Eq. (1), ne mutano la forma in
u′′ + (1/x ) u′ + (η − κ 2 − ν 2 /x 2 ) u = 0 .
(17)
L’Eq. (17) è riconducibile all’Eq. (15.2) assumendo η − κ 2 ≡ α 2 . Pertanto, se si tiene
presente la sostituzione (16), allora, le rappresentazioni possibili dell’integrale generale, y (x ) ,
dell’Eq. (1) si diversificano secondo le condizioni seguenti:
6.1
sia η − κ 2 > 0 .
Risulta l’integrale generale di Bessel Ordinario
y (x ) = e −κ x (c 1 J ν ((η − κ 2 )1/ 2x ) + c 2 N ν ((η − κ 2 )1/ 2x )) ;
6.2
(17.1)
sia η − κ 2 = 0 .
L’Eq. (17) si riduce all’Equazione di Euler
x 2 u ′′ + x u ′ − ν 2 u = 0 ,
(17.2)
di integrazione elementare (v. le Eq. (4) precedenti), ottenendo,
per ν ≠ 0 ,
y (x ) = e −κx (c 1 x ν + c 2 x −ν ) ,
(17.2.1)
y (x ) = e −κ x (c 1 ln |x | + c 2 ) ;
(17.2.2)
per ν = 0 ,
Metodi di integrazione delle Eq. Diff. Ord. Lin. del 2.o ordine a coefficienti variabili –
6.3
7
sia η − κ 2 < 0 .
Poiché qui risulta (η − κ 2 )1/ 2 ≡ i (κ 2 − η )1 2 , ricorrendo alle formule di connessione tra
le Funzioni di Bessel Ordinarie di 1.o e di 2.o tipo e quelle Iperboliche (o Modificate)
(i.e., di argomento immaginario) di 1.o e di 2.o tipo, Iν e K ν , rispettivamente, (†)
J ν (iw ) := i ν I ν (w ) ,
(17.3.1)
N ν (iw ) := i ν + 1 I ν (w ) − (2 /π ) i −ν K ν (w )
≡ (i
ν +1
−ν
−ν
+ i cscν π ) I ν (w ) − i cscν π I −ν (w ) , se ν ∉ Z ,
(17.3.2)
(17.3.2.1)
allora, l’integrale generale dell’Eq. (1) si scrive, con w ≡ (κ 2 − η )1 / 2x ∧ ∀ ν ,
y (x ) = e −κ x (c 1 I ν ((κ 2 − η )1 / 2x ) + c 2 K ν ((κ 2 − η )1 / 2x ) ) .
(17.3.3)
■
____________________
(†) Una presentazione essenziale delle funzioni I ν e K ν è contenuta, e.g., in N. N. LEBEDEV, Special Functions and
Their Applications, P. 108, DOVER PUBL. INC..
Inoltre, si veda l’ottimo L. GATTESCHI, Funzioni Speciali, CAP. V E VII, ED. U.T.E.T., e, per una discussione
pragmatica, si apra l’Unità tematica: La rappresentazione in Serie di Potenze Reali delle FUNZIONI
di BESSEL, nel parent-directory dell’autore.
Analoghe, poi, alle Eq. (15.5) e (15.6) ma i fattori numerici espliciti iniziali presi reciproci, (π /2)1 / 2 vs. (2 /π )1 / 2 ,
si definiscono, con α ∈ R + , le Funzioni di Bessel Sferiche Modificate (cfr/c Eq. (17.3.3)),
π
x ֏ i m (α x ) :=
Ι m + 1 / 2 (α x ) ,
2α x
1/ 2
(17.4)
1/2
2
x ֏ k m (α x ) :=
Κ m + 1/ 2 (α x ) ,
παx
(17.5)
integrali particolari, linearmente indipendenti tra loro, dell’equazione differenziale
y ′′ + (2 /x ) y ′ − (α 2 + m (m + 1)/x 2 ) y = 0 .
(17.6)
Metodi di integrazione delle Eq. Diff. Ord. Lin. del 2.o ordine a coefficienti variabili –
8
Analiticità vs. singolarità
DEFINIZIONE
Sia I ⊆ R un intervallo aperto. Una funzione f : x ֏ f (x ) , con x ∈ I , si dice analitica (in
senso reale) in x 0 se è espandibile in T - serie (∴ Taylor) in un intorno U ⊆ I di x 0 , i.e., se
f (x )
x ∈ U (x 0 )
=
+∞
∑
n =0
f
(n )
(x 0 )
n!
(x − x 0 )n . ▼
(18)
Quando U ≡ I , si dice che f è analitica in I .
L’ascissa x = x 0 costituisce un punto ordinario per l’Eq. (1) se le funzioni p : x ֏ p (x ) e
q : x ֏ q (x ) sono entrambe analitiche in x 0 . Se solo una di esse non è analitica in x 0 , allora, x 0
è un punto singolare per l’Eq. (1). In tal caso, il controllo della natura della singolarità di x 0 porta
alla classificazione seguente:
s.1 se entrambe le funzioni
x ֏ P (x ) := (x − x 0 ) p (x ) ∧ x ֏ Q(x ) := (x − x 0 )2 q (x ) sono
analitiche nel punto singolare x 0 dell’Eq. (1), allora, x = x 0 è un punto singolare
regolare (o fuchsiano) per l’Eq. (1);
s.2 se la condizione s.1 non è verificata, allora x = x 0 è un punto singolare irregolare (o
essenziale) per l’Eq. (1).
■
Metodi di integrazione delle Eq. Diff. Ord. Lin. del 2.o ordine a coefficienti variabili –
9
Metodi di integrazione in Serie di Potenze
La rappresentazione in termini finiti (i.e., mediante un numero finito di funzioni elementari)
dell’integrale generale di un’equazione differenziale ordinaria lineare omogenea a coefficienti
variabili è ottenibile solo in un numero molto limitato di casi, tutti riconducibili a un’equazione
lineare a coefficienti costanti mediante cambiamenti ad-hoc (o fortunati) di variabile.
Va osservato che tale problema ha cessato da tempo di porsi come prioritario, probabilmente,
anche (o soprattutto) per la sua formidabile difficoltà, restando, a tutt’oggi, irrisolto e accantonato
dall’interesse prevalente per la ricerca di soluzioni particolari specifiche, i.e., soggette a condizioni
di frontiera o iniziali assegnate.
La rappresentazione della soluzione generale in serie di potenze costituisce la via analitica ultima
per ‘forzare’ quantitativamente proposizioni altrimenti puramente esistenziali e, dove sia possibile,
favorire un uso più consapevole degli strumenti specifici dell’Analisi Numerica.
I metodi di espansione in serie di potenze sono di interesse notevole sia teorico che applicativo ma
una loro trattazione esauriente richiede un inquadramento contestuale alle funzioni di una variabile
complessa. Qui, ci si limiterà a riportarne alcuni dei risultati principali ristretti a un dominio in R ,
incominciando dall’espansione intorno a un punto ordinario per l’Eq. differenziale (1).
____________________
TEOREMA
Sia x 0 ∈ R un punto ordinario per l’Eq. differenziale (1). Allora, in U (x 0 ) , il suo integrale
generale è sempre esprimibile come serie di potenze binomiali (non necessariamente una T - serie)
y (x ) =
∑
+∞
n =0
a n (x − x 0 )n ≡ a 0y 1 (x ) + a 1y 2 (x ) ,
(19)
nella quale, i primi due coefficienti, a 0 e a 1 , che rimangono indeterminati, generano tutti gli altri
a n e costituiscono le costanti arbitrarie moltiplicative per le due soluzioni particolari y 1 (x ) e
y 2 (x ) . Queste risultano linearmente indipendenti ed espresse in forma di serie di potenze. ▼
I coefficienti a n nell’integrale generale (19) sono calcolabili secondo la sequenza descritta sotto:
I
se x 0 ≠ 0 , si esegue la traslazione x − x 0 ֏ w , trasformando la serie di potenze binomiali
(19) in una serie di potenze di w (questa, in generale, non è una M - serie (∴ Maclaurin)). Il
più delle volte, la traslazione produce un alleggerimento sostanziale dei calcoli.
Si incomincia scrivendo, da w ≡ w (x ) ,
y (x ) ֏ y (w ) ≡
∑
+∞
n =0
a nw n
(20)
e, dall’Eq. (20), si calcolano
● y ′(x ) ≡
=
● y ′′(x ) ≡
=
dy (x )
dy dw
dy
=
⋅
≡
⋅ 1 = y ′(w )
dx
dw dx
dw
∑
+∞
na nw n − 1 ≡
n =0
∑
+∞
n =0
(n + 1)a n + 1w n ,
(20.1)
dy ′(x ) dy ′ dw
d 2y
=
⋅
≡
⋅ 1 = y ′′(w )
dx
dw dx
dw 2
∑
+∞
n =0
n (n − 1)a nw n − 2 ≡
∑
+∞
n =0
(n + 1) (n + 2)a n + 2w n ;
(20.2)
Metodi di integrazione delle Eq. Diff. Ord. Lin. del 2.o ordine a coefficienti variabili –
II
10
si sostituiscono le espansioni (20), (20.1), (20.2) e quelle delle espressioni trasformate p (w ) e
q (w ) nell’Eq. differenziale (1), ricorrendo all’algoritmo P del prodotto à-la Cauchy di due
serie di potenze se p (w ) e/o q (w ) non sono polinomi. Comunque, se p (w ) e/o q (w )
rappresentano funzioni razionali fratte, è preferibile moltiplicare l’Eq. (1) per il loro minimo
comune denominatore prima di procedere;
[L’algoritmo moltiplicativo P di Cauchy è descritto, e.g., nell’Unità tematica dell’autore: La generazione di
Serie di Potenze Reali dalle Funzione Funzioni di Bernoulli e di Euler, Eq. (2).]
III si eseguono i raccoglimenti vs. le potenze crescenti di w ; quindi, si uguaglia a
0 ciascun
coefficiente raccolto;
IV le equazioni risultanti nel passo III si risolvono vs. ogni a k , con k ≥ 2 , in termini di a 0 e di
a 1 . In particolare, imponendo l’annullamento del coefficiente formale della potenza generale
w n , si ricava un’espressione del coefficiente a n + 2 generico in termini di coefficienti a k
precedenti, i.e., con k < n + 2 . Questa costituisce la cosiddetta formula iterativa generatrice
dei coefficienti dell’espansione (18), formula valida ∀ n ≥ 2 ;
V
si ricavano le rappresentazioni in serie di y 1 (w ) e di y 2 (w ) raccogliendo tutti i termini
moltiplicati per a 0 [ottenendo a 0 y 1 (w ) , per n → + ∞ ] e tutti i termini moltiplicati per a 1
[ottenendo a 1 y 2 (w ) , per n → + ∞ ];
VI si esegue la traslazione inversa w = x − x 0 negli integrali
y 1 (w ) e y 2 (w ) , esplicitando l’Eq.
(19) al grado di approssimazione desiderata. Il risultato importante è quello di disporre, ora,
della la struttura e della formula iterativa dei termini di espansione necessari.
■
Metodi di integrazione delle Eq. Diff. Ord. Lin. del 2.o ordine a coefficienti variabili –
11
I Teoremi di Fuchs e di Frobenius
Il problema fondamentale della rappres
rappresentabilità della soluzione
generale dell’Eq. differenziale (1) come serie di potenze in un
intorno di un punto singolare x 0 dipende, in maniera decisiva,
dall’importante Teorema esistenziale di Fuchs
Fuchs:
TEOREMA (di Fuchs)
Se x = x 0 è un punto singolare regolare per l’Eq. differenziale
(1), allora, esiste almeno un integrale particolare dell’equazione
il quale, in un intervallo aperto |x − x 0| < r , simmetrico vs. x 0 ,
è rappresentabile nella forma (fuchsiana
fuchsiana, in R ) [2, 3, 4, 5]
y (x , λ ) = |x − x 0| λ ∑ n = 0 a n (λ ) (x − x 0 )n ,
+∞
(21)
Lazarus Immanuel Fuchs (1826-1902)
dove, λ ∈ C è il parametro fuchsiano
fuchsiano, dal quale, dipendono i coefficienti a n (λ ) . ▼
■
____________________
Se x = x 0 è un punto singolare irregolare per l’Eq. differenziale (1), allora, in U (x 0 ) , non esiste
alcuna espansione in serie di potenze convergente all’integrale generale y (x ) .
L’apprezzamento completo di tale situazione è possibile solo nell’ambito della teoria delle funzioni
analitiche di una variabile complessa
complessa.
____________________
Ritornando alla singolarità regolare in x 0 , restano da determinare λ , gli a n (λ ) e una seconda
soluzione particolare dell’Eq. (1) che sia linearmente indipendente
da quella costruibile come forma fuchsiana
fuchsiana.
Il problema trova (1873) sia una risposta completa che un metodo
risolutivo esplicito nel famoso Teorema di Frobenius
Frobenius, basato sulla
natura delle radici dell’equazione quadratica
λ 2 + (p 0 − 1) λ + q 0 = 0 ,
(22)
la cosiddetta equazione indiciale associata all’Eq. differenziale
(1), dove, λ è il parametro fuchsiano e, rispettivamente,
p 0 := P (x 0 ) ,
(22.1)
q 0 := Q(x 0 ) .
(22.2)
Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917)
È inteso che le funzioni x ֏ P(x ) ≡ (x − x 0 ) p (x ) e x ֏ Q (x ) ≡ (x − x 0 )2 q (x ) (cfr/c s.1, p. 3)
sono entrambe analitiche in un certo intervallo aperto |x − x 0| < r , simmetrico vs. x 0 . Quindi, p 0
e q 0 sono i termini di ordine 0 delle T - espansioni di P (x ) e di Q (x ) in U (x 0 ) .
Metodi di integrazione delle Eq. Diff. Ord. Lin. del 2.o ordine a coefficienti variabili –
12
†
TEOREMA (di Frobenius) ( )
Siano x = x 0 ∈ R un punto singolare regolare per l’Eq. differenziale (1) e λ1 , λ2 le radici della
sua equazione indiciale associata (22).
f.1 Se
λ1 − λ 2 ∉ Z ,
allora, l’Eq. differenziale (1) possiede, nell’insieme 0 < |x − x 0| < r (simmetrico vs. x 0
e privato di x 0 ) due integrali particolari linearmente indipendenti, rappresentabili
entrambi in forma fuchsiana:
f.2 se
y 1 (x ) = |x − x 0|
λ1
y 2 (x ) = |x − x 0 |
λ2
∑
∑
+∞
n =0
+∞
n =0
a n (λ1 ) (x − x 0 )n ,
(23.1)
a n (λ 2 ) (x − x 0 )n ;
(23.2)
λ1 = λ 2 ,
allora, l’Eq. differenziale (1) possiede, nell’insieme 0 < |x − x 0 | < r (simmetrico vs. x 0
e privato di x 0 ) due integrali particolari linearmente indipendenti rappresentabili, uno in
forma fuchsiana,
y 1 (x ) = |x − x 0 |
λ1
∑
+∞
n =0
a n (λ1 ) (x − x 0 )n ,
(23.3)
l’altro come la combinazione additiva logaritmico-fuchsiana (o log-fuchsiana)
y 2 (x ) = η y 1 (x ) ln |x − x 0| + |x − x 0|
λ1
∑
+∞
n =0
bn (λ1 ) (x − x 0 )n ,
(23.4)
con η ∈ C \{ 0 } , costante arbitraria;
f.3 se
λ1 − λ2 ∈ Z + (assumendo, per definitezza, λ1 > λ2 ),
allora, l’Eq. differenziale (1) possiede, nell’insieme 0 < | x − x 0 | < r (simmetrico vs. x 0
e privato di x 0 ) due integrali particolari linearmente indipendenti rappresentabili uno,
corrispondente al valore parametrico λ1 ( > λ 2 ), in forma fuchsiana,
y 1 (x ) = |x − x 0 |
λ1
∑
+∞
n =0
a n (λ1 ) (x − x 0 )n ,
(23.5)
l’altro come la combinazione additiva log-fuchsiana
y 2 (x ) = η y 1 (x ) ln |x − x 0| + |x − x 0 |
λ2
∑
+∞
n =0
bn (λ 2 ) (x − x 0 )n ,
(23.6)
con η ∈ C , costante arbitraria (anche nulla). ▼
■
____________________
( †)
Per dimostrazioni (in C ) dei Teoremi di Fuchs e di Frobenius, si vedano, e.g., [2], [3] e [4].
Le Eq. (23.1), …, (23.6) sono riformulazioni in R delle rappresentazioni più generali in C .
Metodi di integrazione delle Eq. Diff. Ord. Lin. del 2.o ordine a coefficienti variabili –
13
Come per il caso dell’espansione (19) relativa a un punto ordinario, risulta conveniente sviluppare
una procedura sequenziale analoga a quella per il calcolo dei vari coefficienti delle espansioni
intorno al punto singolare regolare (fuchsiano) x 0 .
I
se x 0 ≠ 0 , si esegue la traslazione x − x 0 ֏ w , trasformando le varie espansioni binomiali
contenute nelle Eq. (23.1), …, (23.6) in espansioni in serie di potenze di w , generalmente più
maneggevoli nei calcoli, osservando che, in tali equazioni – stabilite dal Teorema – i
coefficienti a n , bn e c n , in quanto invarianti, sono validi per w ≷ 0 in U (0) . Quindi, per
comodità, si può assumere w > 0 ed eseguire la determinazione generale dei coefficienti
ponendo, con w ≡ w (x ) e limitandosi alla sola parte positiva della forma fuchsiana (21),
●
y (x , λ ) ֏ y (w , λ ) := w λ ∑ n = 0 a n (λ )w n ≡
+∞
∑
+∞
n =0
a n (λ )w λ + n .
(24)
Dall’Eq. (24), si calcolano, come per le derivazioni composte (20), (20.1) e (20.2),
● y ′(x , λ ) ≡ y ′(w , λ ) =
∑
+∞
(λ + n )a n (λ ) w λ + n − 1
n =0
≡ w λ ∑ n = 0 (λ + n )a n (λ ) w n − 1 ,
+∞
●
y ′′(x , λ ) ≡ y ′′(w , λ ) =
∑
+∞
n =0
(λ + n ) (λ + n − 1) a n (λ ) w λ + n − 2
≡ w λ ∑ n = 0 (λ + n ) (λ + n − 1) a n (λ ) w n − 2 ;
+∞
II
(24.1)
(24.2)
si determina l’equazione indiciale associata all’Eq. differenziale (1) e se ne calcolano le radici,
λ1 , λ2 , distinte (reali o complesse coniugate) o coincidenti (solo reali). Si ricordi che, in ogni
caso, è w λ ≡ e λ Ln w ≠ 0 (∴ Ln ≡ logaritmo naturale in C );
III scritta la rappresentazione w - trasformata dell’Eq. (1),
y ′′(w , λ ) + p (w ) y ′(w , λ ) + q (w ) y (w , λ ) = 0 ,
(25)
e divise le espressioni (24), (24.1) e (24.2) per w λ ≠ 0 , si sostituiscono, nell’Eq. (25), le
espansioni che ne rimangono e le L - espansioni di p (w ) e di q (w ) [∴ Laurent, P. A., (18131854)] in Uδ (0) \{ 0 } . Poiché l’Eq. (1) è del 2.o ordine, è chiaro che le parti principali delle
L - espansioni di p (w ) e di q (w ) (i.e., quelle formate dalle sole potenze negative di w ) non
contengono più di uno e due termini, rispettivamente (poli di ordine 1 e 2). D’altra parte,
l’assenza della parte principale riduce una L - espansione a una T - o M - espansione.
Se p (w ) e/o q (w ) o le loro L - espansioni generano espressioni razionali fratte, conviene
moltiplicare l’Eq. (25) ulteriormente per il minimo comune denominatore di queste prima di
procedere. Infine, può essere necessario ricorrere all’algoritmo del prodotto P à-la Cauchy di
due serie di potenze, per p (w ) y ′(w , λ ) e/o q (w ) y (w , λ ) ;
IV si eseguono i raccoglimenti vs. le potenze crescenti di w e si uguaglia a
0 ciascun termine
raccolto;
V
le equazioni ottenute nel passo IV si risolvono vs. ogni a k (λ ) , con k ≥ 1 , in termini di a 0 . In
particolare, imponendo l’annullamento del coefficiente formale della potenza generale w n , si
ricava l’espressione del coefficiente a n (λ ) generico in termini di tutti i coefficienti a k (λ )
precedenti, i.e., con k < n . Questa costituisce la cosiddetta formula iterativa generatrice dei
Metodi di integrazione delle Eq. Diff. Ord. Lin. del 2.o ordine a coefficienti variabili –
14
coefficienti a n (λ ) dell’espansione (24), valida ∀ n ≥ 1 .
A questo punto, il procedimento prosegue con modalità distinte secondo le tipologie delle radici
dell’equazione indiciale specificate nel Teorema di Frobenius:
VI.1
se λ1 − λ2 ∉ Z ,
∃ due integrali particolari dell’Eq. (1), y 1 (w ) e y 2 (w ) , di forma fuchsiana e linearmente
indipendenti, costruibili sostituendo, rispettivamente, λ1 e λ2 nella stessa formula iterativa
(a n (λ ) | λ = λ j ≡ a n (λ j ) , j = 1, 2) ). In entrambe le espansioni, il coefficiente indeterminato
a 0 può essere raccolto da tutti i termini delle due serie rappresentative risultanti;
VI.2
se λ1 = λ 2 ,
∃ un integrale particolare di forma fuchsiana dell’Eq. (1), indicato genericamente y 1 (w ) ,
costruibile come descritto nel passaggio 5 e avente a n (λ1 ) come coefficienti di espansione.
Ora, mantenendo λ indeterminato nella stessa formula iterativa generatrice, per λ = λ1 ,
della serie rappresentativa di y 1 (w ) , si determina la serie di potenze risultante, y (w , λ ) .
Segue che un secondo integrale particolare, y 2 (w ) , linearmente indipendente da y 1 (w ) , si
ottiene derivando y (w , λ ) vs. λ e sostituendo λ = λ1 nel risultato [durante i calcoli, si
tenga presente che ∂ (x λ + k )/∂λ = x λ + k ln x ].
La λ - derivazione è sufficiente a garantire la richiesta di indipendenza lineare di y 2 (w ) da
y 1 (w , λ ) . Pertanto,
y 2 (w ) =
VI.3
∂
y (w , λ )
∂λ
;
(26)
λ = λ1
se λ1 − λ 2 ∈ Z + , con λ1 > λ 2 ,
come nel passo VI.2 precedente, ∃ un integrale particolare di forma fuchsiana dell’Eq. (1),
indicato genericamente y 1 (w ) , costruibile come descritto nel passo V e i cui coefficienti di
espansione, a n (λ1 ) , si calcolano nel modo solito.
Cercando di un secondo integrale particolare, y 2 (w ) , linearmente indipendente da y 1 (w ) ,
si tenta, prima, di ricavare la fuchsiana y 2 (w ) come nel passo VI.1, mediante la stessa
formula iterativa generatrice di y 1 (w ) . Se ciò riesce, segue che η = 0 nell’Eq. (23.6).
Invece, se tale procedimento si rivela inapplicabile (e.g., perché la formula iterativa diventa
indeterminata in corrispondenza di λ = λ 2 ), allora, dalla serie di potenze y (w , λ ) , analoga
a quella del passo VI.2, si ha che un secondo integrale particolare appropriato è dato da
y 2 (w ) =
∂
((λ − λ 2 ) y (w , λ ))
∂λ
.
λ = λ2
Ancora, la λ - derivazione basta a garantire l’indipendenza lineare tra y 1 (w ) e y 2 (w ) .
(27)
Metodi di integrazione delle Eq. Diff. Ord. Lin. del 2.o ordine a coefficienti variabili –
15
VII Si esegue la traslazione inversa x − x 0 ≡ w negli integrali
y 1 (w ) e y 2 (w ) , approssimati al
grado desiderato, note le strutture e le formule iterative dei coefficienti di espansione.
In ciascun caso, l’integrale generale dell’Eq. (1), si scrive nella combinazione lineare solita,
y (x ) = κ 1 y 1 (x ) + κ 2 y 2 (x ) ,
dove, {κ 1 , κ 2} ⊂ C è una coppia di costanti arbitrarie.
■
Esempio 1
L’Equazione Differenziale Ipergeometrica Gaussiana
L’Equazione Differenziale Ipergeometrica, studiata da J. C. F. Gauss, si scrive, in forma canonica,
x (1 − x ) y ′′ + ( µ − (α + β + 1) x ) y ′ − α β y = 0 ,
(28)
∀ {α , β , µ } ∈ R × R × ( R \ Z ) . La forma (28) è simmetrica nello scambio dei parametri α e β .
In forma normale corrispondente,
y ′′ +
µ − (α + β + 1)x
y′ −
x (1 − x )
αβ
x (1 − x )
y = 0,
(28.1)
l’equazione evidenzia due singolarità regolari al finito, in x = 0 e in x = 1 , e due irregolari
(reali), per x → ± ∞ (in C , il solo punto di singolarità irregolare è quello improprio, z = ∞ ).
Se si vuole determinare una rappresentazione dell’integrale generale dell’Eq. (28) in Uδ + (0) ⊂
⊂ (0 , 1) , si può applicare il Teorema di Frobenius. Per tale scopo, si riconoscono
P (x ) ≡
µ − (α + β + 1) x
1−x
Q (x ) ≡ −
,
α βx
1−x
,
così che, dalle Eq. (22.1) e (22.2), risultano
p 0 ≡ P (0) ≡ µ ,
q 0 ≡ Q (0) = 0 .
Pertanto, l’equazione indiciale,
λ 2 + ( µ − 1) λ = 0
(29)
ha radici distinte reali, λ1 = 0 e λ 2 = 1 − µ , e, poiché (1 − µ ) ∈ R \ Z , l’integrale generale
dell’equazione ipergeometrica è ottenibile, in Uδ + (0) ⊂ (0 , 1) , dalla combinazione delle due
forme fuchsiane linearmente indipendenti originate dalle Eq. (22.1) e (22.2),
∑
+∞
●
y 1 (x ) =
●
y 2 (x ) = x 1 − µ
n =0
a n (λ1 ) x n ,
∑
+∞
n =0
(30.1)
a n (λ 2 ) x n .
(30.2)
Si procede sostituendo le Eq. (24), (24.1) e (24.2), divise per w λ ≠ 0 , nell’Eq. (28), osservando
che, in questo caso, x ≡ w . Pertanto,
0 = x (1 − x ) ∑ n = 0 (λ + n ) (λ + n − 1)a n (λ )x n − 2 + ↲
+∞
↳+
( µ − (α + β + 1) x ) ∑ n = 0 (λ + n ) a n (λ ) x n − 1 − α β ∑ n = 0 a n (λ )x n
+∞
+∞
16
Metodi di integrazione delle Eq. Diff. Ord. Lin. del 2.o ordine a coefficienti variabili –
∑
≡ ∑
=
+∞
n =0
(λ + n ) (λ + n − 1 + µ )a n (λ )x n − 1 − ∑ n = 0 ( (λ + n ) (λ + n + α + β ) + αβ ) a n (λ )x n
+∞
n = −1
+∞
(λ + n + 1) (λ + n + µ )a n + 1 (λ )x n − ∑ n = 0 ( (λ + n ) (λ + n + α + β ) + αβ ) a n (λ )x n
+∞
≡ (λ − 1 + µ )λ a 0 (λ )x −1 + ∑ n = 0 (λ + n + 1) (λ + n + µ ) a n + 1 (λ )x n −
+∞
↲
− ∑ n = 0 ( (λ + n ) (λ + n + α + β ) + αβ )a n (λ )x n .
+∞
↳
(31)
Per il Principio di Identità delle serie di potenze, deve risultare (λ − 1 + µ ) λ a 0 (λ ) ≡ 0 . Poiché
λ e µ sono parametri liberi mentre, in generale, è a 0 (λ ) ≠ 0 , allora, se ne deduce che o λ ≡ 0 o
λ ≡ 1 − µ , le radici dell’equazione indiciale (29). Quindi, nella ricerca dell’integrale generale
dell’equazione ipergeometrica, espresso come combinazione lineare di due forme fuchsiane, al
coefficiente a 0 (λ ) , altrimenti indeterminato, si assegna il valore convenzionale costante 1 .
Poi, dall’Eq. (31), si ha necessariamente che
∑
+∞
n =0
( (λ + n + 1) (λ + n + µ )a
n +1
(λ )x n ) =
∑
+∞
n =0
( (λ + n ) (λ + n + α + β ) + αβ )a n (λ )x n ,
così che, continuando nell’applicazione del Principio di Identità delle serie di potenze, si deduce la
formula iterativa dei coefficienti, ∀ n ≥ 1 ,
a n + 1 (λ ) =
(λ + n ) (λ + n + α + β ) + αβ
a n (λ ) .
(λ + n + 1) (λ + n + µ )
(32)
Assegnando λ = 0 nell’Eq. (32), si ottiene
a n + 1 (0 ) =
n (n + α + β ) + αβ
(n + α ) (n + β )
a n (0 ) ≡
a n (0 )
(n + 1) (n + µ )
(n + 1) (n + µ )
(33)
e, quindi, ricordando che a 0 (λ ) := 1 , risultano i coefficienti
αβ
αβ
,
a 1 (0 ) ≡
µ
1!µ
(α + 1) ( β + 1)
α (α + 1) β ( β + 1)
,
a 2 (0) =
a 1 (0 ) ≡
2 ( µ + 1)
2! µ ( µ + 1)
(α + 2) ( β + 2)
α (α + 1) (α + 2) β ( β + 1) ( β + 2)
,
a 3 (0 ) =
a 2 (0 ) ≡
3 ( µ + 2)
3 ! µ ( µ + 1) ( µ + 2)
a 1 (0 ) =
……………………….
(α )n ( β )n
,
a n (0) =
n !( µ )n
……………………….
in termini di Simboli di Pochhammer,
Riguardo all’Eq. (28.1), segue, allora, che
y 1 (x ) =
+∞
∑
n =0
(α )n ( β )n n
x := 2 F1 (α , β ; µ ; x ) ,
n !( µ )n
(34)
la celeberrima Serie Ipergeometrica Gaussiana. Il nome di tale serie è dovuto al fatto che, per
+∞
+∞
α = 1 ∧ β ≡ µ , essa si riduce alla Serie Geometrica ben nota, ∑ n = 0 ((1) n /n !) x n ≡ ∑ n = 0 x n .
≡1∀n
La legittimità che la serie (34) rappresenti una funzione, la Funzione Ipergeometrica Gaussiana,
Metodi di integrazione delle Eq. Diff. Ord. Lin. del 2.o ordine a coefficienti variabili –
17
x ֏ 2 F1 (α , β , µ; x ) , dipende, chiaramente, dall’esistenza di un suo dominio (cerchio) non-nullo
di convergenza. Sfruttando l’Eq. (33), la determinazione del raggio ρ di convergenza dà
ρ = lim
n → +∞
a n (0)
a n + 1 (0)
(n + 1) (n + µ )
= 1.
n → + ∞ (n + α ) (n + β )
= lim
(35)
Dunque, la Serie Ipergeometrica converge nel cerchio aperto |x | < 1 e diverge per |x | > 1 . In
particolare, essa converge uniformemente alla funzione continua 2 F1 in ogni cerchio (∴ intervallo
simmetrico) compatto |x | ≤ |x | < 1 . Il suo comportamento alla frontiera di convergenza, i.e., per
x = ± 1 , va indagato separatamente.
1
Per x = 1 ,
la serie di potenze (34) si riduce alla serie numerica ipergeometrica
+∞
∑
n =0
(α )n ( β )n
n !( µ )n
(36)
che, in ogni caso, è di segno uniforme definitivamente.
Quindi, senza alcun pregiudizio riguardo alla generalità della discussione, si può assumere,
per convenienza, che {α , β , µ } ∈ R 0+ × R 0+ × (R + \ Z + ) .
Nel controllo della convergenza, si rivela risolutivo il criterio di Gauss, che, storicamente, fu
scoperto e introdotto in occasione dello studio di tale serie. Si ha
(n + 1) (n + µ )
n 2 + n (µ + 1) + µ
=
≡
a n + 1 (0)
(n + α ) (n + β ) n 2 + n (α + β ) + αβ
a n (0)
n 2 + n (α + β ) + αβ + n (µ + 1) + µ − n (α + β ) − αβ
n 2 + n (α + β ) + αβ
( µ + 1 − α − β )n + µ − αβ
µ + 1 − α − β µ − αβ
.
= 1+
+
~ 1+
2
n + (α + β )n + αβ
n
n2
≡
(37)
Il primo addendo della somma asintotica (37) è la costante 1 mentre il terzo è limitato
definitivamente. Ciò è sufficiente per concludere (criterio di Gauss) che la serie (36)
converge se µ + 1 − α − β > 1 , i.e., se α + β < µ ,
diverge se µ + 1 − α − β ≤ 1 , i.e., se α + β ≥ µ ;
2
per x = − 1 ,
poiché
(α )n ( β )n
Γ (γ )
Γ (n + α ) Γ (n + β )
Γ (µ )
(− 1)n
n
(− 1)
~
,
≡ ( − 1)
⋅
n !( µ )n
Γ (α ) Γ (β ) n Γ (n ) Γ (n + µ )
Γ (α ) Γ (β ) n
n
la serie (36) converge solo semplicemente (criterio di Leibniz), ∀ {α , β , µ } ammissibile.
[Per una rappresentazione del Simbolo di Pochhammer in termini di Funzione Γ , si veda, dal parent-directory
dell’autore, l’Unità tematica: Proprietà e Applicazioni della FUNZIONE GAMMA, cap. 1, Eq. (31)]
Si osservi che il criterio di Gauss riesce completamente risolutivo. Non è così per il pur potente
criterio di Raabe, il quale si rivela inefficace per α + β = µ .
18
Metodi di integrazione delle Eq. Diff. Ord. Lin. del 2.o ordine a coefficienti variabili –
Un secondo integrale particolare, di forma fuchsiana, dell’Equazione Ipergeometrica (28) si trova
assegnando λ = 1 − µ ≡ λ 2 nella formula iterativa (32).
(n + 1 − µ ) (n + 1 + α + β − µ ) + αβ
a n (λ 2 )
(n + 2 − µ ) (n + 1)
(n + 1 + α − µ ) (n + 1 + β − µ )
≡
a n (λ 2 ) .
(n + 1) (n + 2 − µ )
a n + 1 (λ 2 ) =
≡
(n + α ) (n + β )
,
(n + 1) (n + µ )
(38)
(38.1)
avendo definito sinteticamente i nuovi parametri
α := α + 1 − µ ,
β := β + 1 − µ ,
µ := 2 − µ ( ≡ 1 + (1 − µ )) .
(39)
Dal confronto tra la seconda forma (33) e l’Eq. di struttura (30.1), è immediato dedurre che anche
l’Eq. (30.2) è rappresentabile mediante una serie ipergeometrica di argomento appropriato,
y 2 (x ) = x
1− µ
+∞
∑
n =0
(α )n ( β )n n
x ≡ x 1 − µ 2 F1 (α , β ; µ ; x ) ,
n !( µ )n
(40)
per la quale, le condizioni di convergenza/divergenza determinate dalle relazioni tra i parametri,
α + β ≷ µ ⇐⇒ α + (1 − µ ) + β + (1 − µ ) ≷ 2 − µ ⇐⇒ α + β ≷ µ ,
risultano formalmente congruenti a quelle ottenute per y 1 (x ) .
Pertanto, l’integrale generale dell’Equazione Ipergeometrica Gaussiana si scrive
y (x ) = κ 1 2 F1 (α , β ; µ ; x ) + κ 2 x 1 − µ 2 F1 (α , β ; µ ; x ) .
(41)
dove {κ 1 , κ 2 } ∈ C è una coppia di costanti arbitrarie.
■
Metodi di integrazione delle Eq. Diff. Ord. Lin. del 2.o ordine a coefficienti variabili –
Esempio 2
19
L’Equazione Differenziale Ipergeometrica Confluente
Oltre al gran numero di funzioni rappresentabili per mezzo della Serie Ipergeometrica Gaussiana,
grazie ai suoi tre ‘gradi di libertà’ parametrici, un’importantissima classe di funzioni-limite emerge
dalla stessa serie (34) quando l’uno o l’altro dei due parametri simmetrici reali, α o β , tende a
± ∞ con continuità, come una variabile indipendente; per definitezza, sia esso β .
Si consideri la Funzione Ipergeometrica Gaussiana
+∞
∑
2 F1 (α , β ; µ ; x /β ) ≡
n =0
(α )n x n ( β )n
n !( µ )n β n
(42)
come funzione anche del parametro variabile continuo β . Qui, ∀ {α , µ , x } e ∀ β ∈ U ( ± ∞ ) , la
funzione-limite
1
F1 (α , µ ; x ) := lim 2 F1 (α , β ; µ ; x /β ) .
(43)
β → ±∞
è limite uniforme vs. β in U ( ± ∞ ) . Infatti, poiché
●
●
(α )n x n ( β )n
η (α )n x n
<
:= c n , definitivamente ∀ { β , η } ∈ U ( ± ∞ ) × ( 1, + ∞ ) ,
n !( µ )n β n
n !( µ )n
∑
+∞
n =0
c n < + ∞ (e.g., per il criterio del rapporto),
allora, la serie (42) converge uniformemente vs. β in U ( ± ∞ ) , secondo il criterio di Weierstrass.
Ciò implica che vale la proprietà di scambio tra le operazioni di somma di una serie e di tendenza
al limite, i.e.,
lim 2 F1 (α , β ; µ ; x /β ) ≡
β → ±∞
+∞
∑
n =0
(α )n x n
n !( µ )n
+∞
( lim (β ) /β ) = ∑
n
n
β → ±∞
n =0
(α )n x n
⋅1.
n !( µ )n
La serie-limite risultante costituisce una rappresentazione della Funzione (o Serie) Ipergeometrica
Confluente cosiddetta. Esplicitamente, si scrive
1 F1 (α , µ ; x ) =
+∞
(α )n
∑ n !( µ )
n =0
xn .
(44)
n
È prevedibile che, dall’Eq. generale (28), si possa indurre l’equazione differenziale-limite, della
quale, 1 F1 (α , µ ; x ) è un integrale particolare. Infatti, dall’omotetìa w := β x , seguono
●
●
●
dw
= β,
dx
dw dy
y ′(x ) =
= β y ′(w ) ,
dx dw
d
dw d
2
y ′′(x ) ≡
y ′(x ) =
( β y ′(w )) = β y ′′(w ) .
dx
dx
dw
Mediante tali relazioni di trasformazione delle derivate, l’Eq. (28) diventa
(w /β ) (1 − w /β ) β 2y ′′(w ) + ( µ − (α + β + 1) (w /β )) β y ′(w ) − α β y (w ) = 0 ,
(45)
esibendo due punti di singolarità fuchsiana al finito, w = 0 e w = β . Nel limite β → ± ∞ , con
la divisione per β successiva e con la ridenominazione x w di variabile indipendente (muta),
l’Eq. (46) si riduce alla forma Ipergeometrica Confluente cercata,
Metodi di integrazione delle Eq. Diff. Ord. Lin. del 2.o ordine a coefficienti variabili –
xy ′′ + ( µ − x ) y ′ − α y = 0 .
20
(46)
Il termine ‘Confluente’ si riferisce al fatto che, nel processo di limite (43), la singolarità regolare
in w = β dell’Eq. (45) ‘confluisce’ nell’una o nell’altra singolarità irregolare, per w → ± ∞ .
Dall’Eq. (44), è evidente che la Serie Ipergeometrica Confluente converge in tutto R , poiché il
suo raggio ρ di convergenza vale, appunto,
ρ := lim
n → +∞
an +1
an
(n + 1) ( µ + n )
= +∞.
n → +∞
(α + n )
≡ lim
(47)
Come per la Funzione Ipergeometrica Gaussiana, esiste necessariamente una seconda soluzione
dell’Eq. (46), linearmente indipendente dalla (44), anch’essa di forma ipergeometrica confluente,
analoga a quella dell’Eq. (40). Pertanto, una rappresentazione dell’integrale generale dell’Eq. (46)
è data da
y (x ) = κ 1 1 F1 (α , µ ; x ) + κ 2 x 1 − µ 1 F1 (α , µ ; x ) ,
(48)
per la quale, ovviamente, valgono le definizioni parametriche (cfr/c Eq. (39))
α := α + 1 − µ ,
µ := 2 − µ .
(48.1)
[Dell’Equazione Ipergeometrica Confluente, è nota anche una soluzione linearmente indipendente sia da 1 F1 (α , µ ; x )
sia da x 1 − µ 1 F1 (α , µ ; x ) . Essa vale, però, solo per 0 < α < µ ; è data, in termini della Funzione Β di Euler o delle
sue Funzioni Γ componenti, da
y (x ) = Β (α , µ + α ) 1 F1 (α , µ + 2α ; x ) ≡
(α ) n
Γ (α ) Γ ( µ + α ) + ∞
xn ,
∑
Γ ( µ + 2α ) n = 0 ( µ + 2α ) n n !
(48.2)
(si veda, dell’autore: Soluzioni integro-esponenziali dell’Equazione Differenziale Ordinaria Lineare di
Laplace del 2.o ordine, p. 8, Esempio 1.)]
Osservazione
Oltre a numerose funzioni – non ultime quelle di Legendre, di Bessel, di Whittaker, la Funzione Gamma Incompleta, i
Polinomi ortogonali di Hermite, di Laguerre e di Tchebyshev, gli Integrali di Fresnel – che 1 F1 è in grado di
rappresentare con assegnazioni specifiche di valori ai parametri α e µ e con trasformazioni opportune della variabile
indipendente x (o z ), anche la Teoria delle Probabilità (Funzione degli Errori) e la Fisica Quantistica teorica si
avvalgono della Funzione Ipergeometrica Confluente in svariate circostanze. In Fisica Quantistica Non-Relativistica,
ad esempio, dove il simbolo più recente M (α , µ , x ) è spesso usato in luogo del classico 1 F1 (α , µ ; x ) , le cosiddette
Funzioni d’onda Coulombiane, regolare e irregolare, soluzioni della parte radiale dell’Equazione di Schrödinger nel
caso della diffusione in un campo centrale prodotto da distribuzioni di cariche elettriche (tipicamente, quelle nucleari),
sono espresse attraverso Funzioni Ipergeometriche Confluenti.
■
____________________
Per una raccolta estesa di problemi di integrazione di equazioni differenziali ordinarie del 2.o ordine lineari mediante
espansioni in serie di potenze, si vedano, e.g., [14, 15].
Metodi di integrazione delle Eq. Diff. Ord. Lin. del 2.o ordine a coefficienti variabili –
21
Il legame con l’equazione di Riccati
A ogni equazione differenziale ordinaria lineare e omogenea del 2.o ordine, i.e., del tipo Eq. (1), si
può sempre associare un’equazione differenziale del tipo di Riccati, del 1.o ordine, mediante la
trasformazione
y (x ) := ± e ∫
u (x )dx
≠ 0,
(49)
nella nuova variabile dipendente incognita u ≡ u (x ) .
Infatti, sostituendo le espressioni derivate (a meno di costanti di integrazione superflue)
●
y ′(x ) = ± u (x ) e ∫
●
y ′′(x ) = ± ( u′(x ) + (u (x ))2 ) e ∫
u (x )dx
≡ u (x ) y (x ) ,
u (x )dx
≡ (u′(x ) + (u (x ))2 ) y (x ) ,
(50.1)
(50.2)
nell’Eq. (1) e dividendo per y (x ) ≠ 0 , si ottiene l’equazione del tipo di Riccati, del 1.o ordine,
u ′ + u 2 + p (x ) u + q (x ) = 0 .
(51)
Inversamente, considerata l’Equazione di Riccati nella sua forma normale più generale,
u ′ + r (x ) u 2 + s (x ) u + t (x ) = 0 ,
(52)
nella quale r , s e t sono funzioni note di x definite in uno stesso intervallo I e tali, almeno, da
soddisfare le condizioni simultanee
s ∧ t ∈ C 0 (I ) ,
r ∈ C 1 (I ) ,
r (x ) t (x ) ≠ 0 ∀ x ∈ I ,
(53)
la trasformazione inversa della (49),
u (x ) ≡
1 d
1 y ′(x )
,
ln |y (x ) | =
r (x ) dx
r (x ) y ( x )
(54)
nella nuova variabile dipendente incognita y ≡ y (x ) , riconduce l’Eq. (52) alla forma (1) del 2.o
ordine, normale, lineare e omogenea.
Infatti, sostituite l’espressione (54) di u (x ) e quella della sua derivata 1.a,
u ′(x ) ≡
y ′′(x )
r ′(x ) y ′(x )
(y ′(x ))2
−
−
,
r (x )y (x ) ( r (x ))2 y (x ) r (x ) (y (x ))2
(54.1)
nell’Eq. (52) e, poi, moltiplicando l’uguaglianza risultante per r (x ) y (x ) , si arriva all’Eq. (1),
y ′′ + p (x ) y ′ + q (x ) y = 0 ,
(55)
avendo definito sinteticamente
p (x ) := s (x ) − r ′(x )/ r (x ) ,
q (x ) := r (x ) t (x ).
(55.1)
Pertanto, il problema, a tutt’oggi irrisolto, della determinazione analitica dell’integrale generale
dell’Equazione di Riccati (52) per il caso in cui non se ne conosca alcun integrale particolare è
sempre in co-implicazione (i.e., condizione necessaria e sufficiente) con il problema irrisolto della
disponibilità di un metodo generale di soluzione dell’equazione differenziale del 2.o ordine
Metodi di integrazione delle Eq. Diff. Ord. Lin. del 2.o ordine a coefficienti variabili –
22
associata, lineare, omogenea, in forma normale, avente coefficienti p (x ) e q (x ) qualsiasi,
benché, di questi, si sappia che sono esprimibili formalmente secondo le Eq. (55.1)!
Invece, l’Equazione di Riccati è sempre risolvibile in termini finiti quando se ne conosca almeno
un integrale particolare, u (x ) . In tal caso, la sostituzione
u (x ) := u (x ) +
1
φ (x )
(56)
muta l’Eq. (52) nell’equazione lineare non-omogenea
φ ′ − ( 2 r (x ) u (x ) + s (x ) ) φ = r (x ) ,
(57)
della quale si ottiene l’integrale generale immediatamente,
(
− ( 2 r (x ) u (x ) + s (x ) )dx
(2 r (x ) u (x ) + s (x ) )dx
φ (x ) = e ∫
c + ∫ r (x ) e ∫
dx
)
(57.1)
e, quindi, dalla sostituzione (56), l’integrale generale dell’Equazione di Riccati (52),
u (x ) := u (x ) +
c+∫
− ( 2 r (x ) u (x ) + s (x ) )dx
e ∫
.
− ∫ ( 2 r (x ) u (x ) + s (x ) )dx
r (x )e
dx
(58)
La conoscenza-chiave di u (x ) equivale, rispetto all’Eq. (1) lineare omogenea del 2.o ordine, alla
conoscenza di un suo integrale particolare, y 1 (x ) , dal quale poter generare il secondo integrale
linearmente indipendente mediante l’Eq. (2).
D’altra parte, se non si conosce alcun integrale particolare dell’Equazione di Riccati, questa può
essere sempre trasformata nella sua associata lineare omogenea del 2.o ordine (55), che si tenta di
risolvere con i metodi discussi in precedenza, o riconoscendola di una qualche forma particolare
maneggevole o ‘forzandola’ mediante sviluppi in serie di potenze. (‡)
■
____________________
(‡) La questione dell’integrazione dell’Equazione di Riccati, importante nella Teoria delle Superfici e delle Linee di
torsione e curvatura assegnate, è affrontata, e.g., in: L. P. EISENHART, A Treatise on the Differential Geometry of
Curves and Surfaces, GINN & CO. (1909), e in: G. N. WATSON, A Treatise on the Theory of Bessel Functions, 2ND
ED., P. 85-94, 120-123, CAMBRIDGE UN. PRESS (1922, RIST. 1996).
Metodi di integrazione delle Eq. Diff. Ord. Lin. del 2.o ordine a coefficienti variabili –
23
Risultati relativi alle equazioni non-omogenee
Il Teorema di Liouville-Jacobi fornisce un’espressione del determinante wronskiano di due
soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione omogenea (1),
x
− ∫ p (u )du
y 1 (x ) y 2 (x )
x
= W (x 0 ) e 0
W (x ) ≡
,
y ′1 (x ) y ′2 (x )
(59)
∀ x 0 ∈ I ∧ W (x 0 ) ≠ 0 .
Circa l’equazione differenziale ordinaria lineare non-omogenea del 2.o ordine,
y ′′ + p (x ) y ′ + q (x ) y = g (x )
(60)
( g (x ) ≡/ 0 ), la ricerca di un suo integrale particolare, ψ (x ) , con il metodo di variazione delle
costanti arbitrarie (Lagrange) si conclude con il calcolo
x
⌠ S (t , x )
g (t )dt ,
ψ (x ) =
⌡x 0 W (t )
dove compare il determinante t - parametrico S (t , x ) :=
(61)
y 1 (t ) y 2 (t )
.
y 1 (x ) y 2 (x )
L’espansione di S (t , x ) e l’Eq. (61) danno esplicitamente
x
x
∫ x p (u )du
∫ x p (u )du
1
ψ (x ) =
dt − y 1 (x )⌠
dt .
y 2 (x )⌠
y 1 (t ) g (t ) e 0
y 2 (t ) g (t ) e 0
⌡x 0
⌡x 0
W (x 0 )
t
t
(62)
Osservazione
Se le funzioni p , q g sono analitiche in x 0 , si può determinare, in U (x 0 ) opportuno, l’integrale generale dell’Eq.
(60) applicando le T - espansioni pertinenti in entrambi i membri di questa e uguagliando, termine-a-termine, i
coefficienti delle potenze binomiali (x − x 0 )n che compaiono nei membri dell’equazione. Prevedibilmente, la
traslazione w = x − x 0 ( M - espansioni) produce, in generale, un alleggerimento dei calcoli.
Ottenuta la formula iterativa, i termini si raccolgono in tre serie, una delle quali non dipende da parametri
indeterminati: questa è la rappresentazione dell’integrale particolare ψ (x ) .
I dettagli del procedimento complessivo sono gli stessi descritti alle p. 9 e 10.
Se solo g è analitica in x 0 , dove, invece, p e q presentano, rispettivamente, un polo di ordine 1 e di ordine 2, allora,
ottenuti y 1 (x ) e y 2 (x ) con il Teorema di Frobenius, si calcola, previo ricorso al prodotto à-la Cauchy tra serie di
potenze, W (x 0 ) ≡ lim (y 1 (x ) y ′2 (x ) − y ′1 (x ) y 2 (x ) ) .
x →x0
Infine, si costruisce ψ (x ) dall’Eq. (62), integrando termine-a-termine vs. le serie rappresentative di y 1 (t ) e y 2 (t ) . Il
lavoro è noioso e richiede attenzione!
■
24
Metodi di integrazione delle Eq. Diff. Ord. Lin. del 2.o ordine a coefficienti variabili –
La riduzione esponenziale di scala
La riduzione esponenziale di scala della variabile incognita y è una trasformazione spesso utile
(generalizzabile alle equazioni differenziali lineari non-omogenee di ordine n > 2 ) con la quale
l’Eq. (60) muta in un’equazione ancora del 2.o ordine e non-omogenea ma perde il termine di
derivata incognita di ordine immediatamente più basso, i.e., di ordine 1.
Dopo aver introdotto la nuova funzione incognita u ,
y (x ) := u (x ) e
− (1 / 2 )
∫ p (x )dx ,
(63)
si calcolano le due derivate successive
● y ′(x ) = (u ′(x ) − (1/ 2) u (x ) p (x )) e
− (1 / 2 )
∫ p (x )dx ,
(63.1)
● y ′′(x ) = (u ′′ (x ) − p (x ) u ′ (x ) − (1/2) ( p ′ (x ) − (1/2) ( p (x )) ) u (x )) e
2
− (1 / 2 )
∫ p (x )dx .
(63.2)
Sostituendo le espressioni trasformate (63), (63.1) e (63.2) nell’Eq. (60) e dividendo per il fattore
esponenziale presente nella definizione (63), risulta
u ′′ + φ (x ) u = g (x ) e
∫
(1 / 2 ) p (x )dx
≡ G (x ) ,
(64)
dove non compare alcun termine di derivata 1.a; inoltre,
φ (x ) := q (x ) − (1/ 4 ) ( p (x ))2 − (1/2) p′ (x ) .
(64.1)
Ora, può accadere che sia più agevole integrare l’Eq. (64) che non la forma originaria (60), e.g.,
quando φ (x ) = κ o φ (x ) = κ /(ax + b )2 , con κ ∈ R . Infatti, nel caso φ (x ) = κ , si può sempre
scrivere l’integrale generale dell’Eq. (64), distinto secondo il segno di κ :
●
se κ > 0 , risulta
1 x
u (x ) =
∫ G (t ) sin ( κ (x − t ))dt + c 1 cos ( κ x ) + c 2 sin ( κ x ) ;
κ
●
(65.1)
se κ = 0 , risulta
u (x ) =
●
0
∫
x
0
G (t ) (x − t )dt + c 1x + c 2 ;
se κ < 0 , risulta
x
1
u (x ) =
G (t ) sinh ( |κ | (x − t )) dt + c 1e
∫
|κ | 0
(65.2)
|κ | x
+ c 2e −
|κ | x
.
(65.3)
Nel caso φ (x ) = κ /(ax + b)2 , l’Eq. (64) corrisponde all’Equazione di Euler non-omogenea
(ax + b )2 u ′′ + κ u = (ax + b )2 G (x ) ,
(66)
(con ∆ / 4 ≡ 1/ 4 − κ /a 2 , cfr/c Eq. (4)), la cui integrazione, da eseguirsi, alla peggio, con un metodo
di espansione in serie di potenze (v. p. 23, Osservazione), non presenta difficoltà particolari.
In ogni caso, l’integrale generale dell’Eq. (64) genera quello dell’Eq. (60) dalla definizione (63).
■■■
Metodi di integrazione delle Eq. Diff. Ord. Lin. del 2.o ordine a coefficienti variabili –
25
Bibliografia
Riferimenti generali
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4
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5
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BENDER, C. M. - ORSZAG, S. A., Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers, CH. 3, MCGRAWHILL PUBL. CO. (1978);
[ 7]
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[10] SALSA, S. - SQUELLATI, A., Esercizi di Analisi Matematica 2, VOL. 3, MASSON (1994);
[11] PICONE, M. - MIRANDA, C., Esercizi di Analisi Matematica, 3A ED., TUMMINELLI (1957);
[12] FINZI, B. - MORRA, F., Esercizi di Analisi Matematica, VOL. II, 2A ED., TAMBURINI (1970);
[13] SPIEGEL, M. R. - WREDE, R. C., Advanced Calculus, SCHAUM OUTLINE SERIES, 2ND ED., MCGRAW-HILL (2002);
[14] BRONSON, R., Differential Equations, SCHAUM’S OUTLINE SERIES , MCGRAW-HILL PUBL. CO. (2006), CH. 20.
[15] BRONSON, R., 2500 Solved Problems in Differential Equations, SCHAUM’S SOLVED PROBLEMS SERIES,
MCGRAW-HILL PUBL. CO. (1988), CH. 15.
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