Ciclo di isteresi e sua visualizzazione

Ciclo di isteresi e sua visualizzazione
[email protected]; http://www.df.unipi.it/∼fuso/dida
(Dated: version 1 - FF, 5 aprile 2014)
Questa nota serve per illustrare alcuni aspetti non del tutto ovvi di una esperienza piuttosto carina
che ho trovato in laboratorio e che voi dovete svolgere. L'interpretazione dell'esperienza, nalizzata
a visualizzare un ciclo di isteresi sull'oscilloscopio usato in modalità
X-Y,
prevede diversi passaggi
concettuali che qui vengono presi in considerazione uno per uno. Prima di questo, si richiamano
brevemente pochi concetti sici di base che riguardano il ciclo di isteresi in materiali ferromagnetici.
I.
A.
CICLO DI ISTERESI DI UN MATERIALE
Ferromagneti
FERROMAGNETICO
Nella maggioranza dei materiali
Come sapete, i materiali ferromagnetici hanno spiccate proprietà di carattere magnetico, cioè la loro presenza
è in grado di modicare sostanzialmente valori (e direzioni) dei campi vettoriali rilevanti per la descrizione dei
fenomeni magnetostatici.
χm ≈ 0,
con un segno
positivo o negativo a seconda del carattere para- o diamagnetico. Di conseguenza gli eetti in termini magnetici
della maggioranza dei materiali sono estremamente ridotti, benché i fenomeni che ne derivano siano estremamente importanti in molti settori della sica della materia.
Completamente diverso è il caso dei materiali classicati
Non è certamente questa la sede per entrare nei detta-
come ferromagnetici (ad esempio, materiali ferrosi o con-
gli di argomenti che fanno ampia parte dei corsi di Fisica
tenenti Ni, Co, alcuni ioni di terre rare, e qualcos'altro,
χm ,
di naturale o articiale). Qui
~ H,
~ M
~ , regoconviene introdurre i tre campi vettoriali B,
~
~
~
lati dalla relazione B = µ0 (H + M ), dove µ0 è la permea-
no generalmente segno positivo, possono assumere valori
bilità magnetica del vuoto (il valore di questa costante è,
e quindi
µr ,
2, però vale la pena di ricordare che, per motivi pratici,
che han-
anche di parecchie decine di migliaia.
Nei ferromagneti l'eclatante valore di
µr
comporta un
µ0 = 4π × 10 T
~ può essere messo
m/A). Il campo di magnetizzazione M
in relazione con la presenza di momenti magnetici p
~m nel
~ = lim ∆N < p~m >, dove il passaggio al
materiale: M
∆V
limite consiste nel considerare volumetti ∆V tendenti a
zero e contenenti ∆N momenti di dipolo magnetico, e il
altrettanto eclatante aumento dell'intensità del campo
bra-ket indica un'operazione di media nell'ensemble.
e tangenziali di
−7
nel nostro sistema di unità di misura,
L'utilità dell'impiego dei tre campi vettoriali può essere compresa ponendo
~jm
~ ×H
~ = ~j
∇
e
~ ×M
~ = ~jm , dove ~j
∇
~
B
rispetto al vuoto (o materiali non ferromagnetici), oltre a
diverse altre conseguenze, tra cui il cosiddetto fenomeno
di canalizzazione delle linee di
~
B
all'interno del ma-
teriale (può essere facilmente dimostrato a partire dalle
condizioni di continuità delle componenti ortogonali di
~
B
~ ).
H
Accanto a tutto questo, normalmente si ha anche un
altro importante eetto:
la relazione di linearità tra i
e
campi che abbiano prima supposto non è più vericata,
sono le densità superciali della corrente vera e pro-
o, perlomeno, è vericata in termini di denizione solo
pria, che in genere scorre intenzionalmente in un qualche
assumendo che
conduttore, e della corrente associata ai fenomeni di ma-
complicata e non univocamente determinata, dell'inten-
gnetizzazione della materia. In un ipotetico esperimento,
sità
o situazione sica, possiamo quindi supporre che
~
H
determinato da correnti note e ben controllate, mentre
~,
H
e
µr
siano una funzione, parecchio
Infatti sperimentalmente si osserva che l'anda-
sia
mento di
~
M
culiare. Se si suppone che inizialmente tutti e due i campi
ha a che fare con la risposta del sistema materiale considerato all'applicazione di
H.
χm
ovvero tiene conto delle
M
in funzione di
H
siano nulli, all'aumentare di
aumento di
M
H
ha un comportamento pesi osserva inizialmente un
che poi si arresta tendendo a una sorta
di valore limite, di saturazione. La saturazione può es-
proprietà magnetiche intrinseche del materiale.
sere qualitativamente interpretata come dovuta al fatto
Trattare questi fenomeni dal punto di vista microscopico è generalmente molto complicato.
Si possono fare
alcune approssimazioni, consistenti nel considerare materiali omogenei e isotropi e nel supporre la seguente relazione lineare tra i campi:
adimensionata
χm
~ = χm H
~.
M
La costante scalare
(credo si chiami suscettività magneti-
ca) misura proprio la risposta del materiale al campo
~
H
che tutti (o quasi) i dipoli magnetici elementari presenti
nel materiale e disponibili per il processo si sono allineati
con la direzione di
gurazione.
M
~
H
per minimizzare l'energia di con-
Inoltre se si fa diminuire
H
si osserva che
non ripercorre l'andamento iniziale, ma se ne discosta
disegnando quello che si chiama un ciclo di isteresi.
Si potrebbe parlare a lungo dell'isteresi. Qui limitia-
applicato al materiale stesso. Unendo le relazioni di de-
moci a notare che la presenza di un ciclo di isteresi, la
nizione scritte sopra, si trova facilmente che, nelle ipotesi
cui ciccionaggine dipende dallo specico materiale con-
fatte, si ha
~ = µ0 µr H
~,
B
magnetica del materiale.
con
µr = 1 + χm
permeabilità
siderato (l'isteresi è secca per il ferro dolce, cicciona
per materiali destinati a realizzare magneti permanenti,
2
tipo il permalloy), implica una dissipazione di energia.
Infatti l'area racchiusa nel ciclo è proporzionale all'energia magnetica nel volume del materiale. Spesso qui, come in altre situazioni che coinvolgono materiali veri, il
dispendio di energia è legato a una sorta di transizione
di fase solido-solido che conduce a un riarrangiamento
(strutturale) della materia.
Molto
spesso
presentato
da
il
fenomeno
graci
dell'isteresi
B
di
in
è
funzione
rapdi
H , come mostrato in Fig. 1(a) (tratta da
http://www.larapedia.com/elettrotecnica). Avendo stabilito in precedenza un semplice legame di somma
tra le intensità dei vari campi e tenendo conto dell'elevato valore di
µr ,
un graco di questo tipo ha all'incirca
lo stesso andamento discusso in precedenza.
L'unica
dierenza notevole è che, a saturazione, invece di avere
un andamento costante si ha una continua lieve crescita
lineare di
µr → 1,
B
H.
in funzione di
per cui
B = µ0 H .
Infatti a saturazione
Con le scale normalmente
adottate, questo aumento è di fatto invisibile!
B.
Campo rimanente e coercivo
Oltre all'indicazione di
Bs
(campo di saturazione), la
gura riporta alcuni punti caratteristici del ciclo di isteresi, corrispondenti in particolare ai valori
manente) e
HC
Br
(campo ri-
(campo coercivo[1]. Notate che nella cur-
Figura 1.
B
vs
H
Rappresentazione qualitativa del ciclo di isteresi
per un materiale ferromagnetico con indicazione dei
punti caratteristici del ciclo (a); rappresentazione qualitativa
della fase iniziale del ciclo e dell'andamento corrispondente di
µ = µ0 µr
(b).
va disegnata in gura si suppone che il ciclo di isteresi
sia simmetrico rispetto allo zero, cosa che non sempre si
verica.
Il perché questi punti abbiano un ruolo speciale è abbastanza immediato da capire.
Br
rappresenta l'intensità
del campo di induzione magnetica che il materiale produce in assenza di campo esterno (è un magnete permanente!).
Hc
rappresenta l'intensità del campo magnetico
da applicare se si vuole che la magnetizzazione rimanente inverta il suo segno (cioè per costringere il materiale a
cambiare il verso della propria magnetizzazione).
I valori tipici del campo rimanente, che ha un'utlità
pratica, dipendono dallo specico materiale considerato
e dalle sue dimensioni.
Per un materiale ferroso di di-
mensioni macroscopiche
Br
può essere dell'ordine delle
decine di Gauss e la saturazione corrisponde a campi di
razione. Come già anticipato, è evidente che
χm )
µr
(ovvero
non ha un valore costante nel ciclo.
Tuttavia nella pratica si introduce spesso un valore
µr per il materiale considerato, denito come
µr = Br /(µ0 Hc ). Questa denizione ha una motivazione.
univoco
Come già aermato, l'area racchiusa nel ciclo di isteresi
è proporzionale alla densità di energia
um
immagazzina-
ta (ovvero spesa nel processo) all'interno del materiale.
Nella maggior parte dei cicli,
um ∼ 4Hc Br
(se guardate
il graco, potete intuire che l'area del ciclo è data da 4
volte l'area del rettangolo
appena data di
µr ,
Hc Br )
che, con la denizione
si può scrivere nella forma, compatta
e facile da ricordare,
4Br2 /(µ0 µr ).
induzione magnetica delle centinaia di Gauss. In un disco
rigido, dove la magnetizzazione di piccoli pezzettini (domini) di ferromagneti permette l'immagazzinamento dell'informazione, i valori sono parecchi ordini di grandezza
II.
MISURARE, O VISUALIZZARE, IL CICLO
DI ISTERESI
più bassi, visti i piccoli volumetti di materiale in gioco (pensateci e vedete se questo può comportare qualche
Per misurare il ciclo di isteresi è necessario: (i) poter
problema pratico!).
La Fig. 1(b) mostra l'andamento nella fase iniziale del
ciclo, quando
B
(supposto pari a
applicare un campo
~
H
la cui intensità
H
sia variabile in
viene fatto passare dal valore iniziale
modo controllato; (ii) poter misurare l'intensità
µ0 H ,
all'interno del materiale.
cioè a zero, se
H = 0)
alla satu-
razione. Inoltre è mostrato un comportamento realistico
per la permeabilità
µ = µr µ0 ,
B
di
~
B
Se il primo requisito è abba-
stanza facile da soddisfare (basta prendere una bobina di
che in genere assume un
cui sia noto il campo in funzione della corrente, e inviarvi
µmax in corrispondenza di un certo valore
di H , per poi tendere a µ0 quando ci si avvicina alla satu-
una corrente variabile in modo controllato), il secondo è
valore massimo
più complicato.
3
B
è rappresentato dai
gli eetti utilizzando un campione di materiale che
metodi basati sull'induzione magnetica, cioè dai metodi,
ha la forma di una lamina sottile, dove le correnti
che ben conoscete, basati sulla cosiddetta legge di Fara-
parassite scorrono con dicoltà.
Un modo brillante per misurare
day. Infatti, usando campi oscillanti, su una bobina di
sonda si crea una forza elettromotrice proporzionale alla
(variazione!) del usso di
~
B
•
bine distinte, dette bobina 1 e bobina 2, e sfruttare
che passa nella sezione della
per la nostra misura il trasferimento del usso da
bobina di sonda stessa. Dunque se il materiale si trova
una all'altra grazie al fenomeno della canalizzazione
all'interno della bobina di sonda e la geometria è tale da
poter stimare facilmente la relazione tra
B
la speranza di poter risalire alla misura di
e
~ ,
Φ(B)
B
delle linee di campo all'interno del materiale ferro-
c'è
magnetico. Ovviamente due bobine poste a piccola
dentro il
distanza tra loro hanno anche un accoppiamento
materiale.
magnetico spontaneo, come ben testimoniato dal-
Concettualmente è tutto bello e facile, però quel punto
le vostre misure di mutua induzione fatte in prece-
esclamativo sulla parola variazione implica delle dicoltà.
denza. Qui supporremo che questo accoppiamento
Infatti misurare la variazione del usso non è la
sia trascurabile.
stessa cosa di misurare il usso! Se potessimo però integrare nel tempo il primo e il secondo membro della legge
mo ricavare una
•
~ , cioè potremf em(t)dt = Φ(B)
~ , e dunque di B .
misura del usso di B
di Faraday, avremmo
R
curata la determinazione di
faremo uso di un cir-
gliamo visualizzare l'isteresi, cioè disporremo tante
lamine di questo materiale in modo da creare una
della forza elettromotrice sulla bobina di sonda è di fatto
linea chiusa (una catena di lamine).
arbitrario (dipende, come ben sapete, dal senso di avvol-
•
Inne notiamo un altro aspetto importante dell'approccio che stiamo disegnando. Usando un campo
Pensiamo a un metodo semplice (e tricky) per implementare praticamente questa idea, introducendo dove
possibile qualche altra belluria:
•
H
cuito magnetico costituito dal materiale di cui vo-
intenzionalmente omesso il segno meno, dato che il segno
irrilevante ai nostri ni.
Per aumentare l'accoppiamento dovuto alla presenza del materiale e per rendere facile e piuttosto ac-
Prima di lamentarvi, notate che nel secondo membro ho
gimento delle spire che compongono la sonda), dunque
Allo scopo possiamo pensare di utilizzare due bo-
di intensità
po
H(t)
H
oscillante, cioè una funzione del tem-
che va per esempio come un seno o un co-
seno, avremo la possibilità di variare continuativa-
la forza elettromotrice indotta nella sonda dà luogo a una dierenza di potenziale, cioè un segnale,
V2 (t).
oscillante, che di seguito chiamerò
Questo
segnale può essere integrato temporalmente in vari
modi, il più semplice dei quali è quello che prevede l'uso di un integratore RC. Collegare un integratore RC a una bobina, che è inevitabilmente
mente l'intensità
H
tra un valore minimo e un valo-
VH proporzionale
CH1 dell'oscilloscopio, avremo la pos-
re massimo. Inviando un segnale
a
H
al canale
sibiilità di visualizzare direttamente la curva di iste-
X-Y dell'oscilloscopio stesso
CH2 un segnale VB proporzionale a B .
resi usando la modalità
mandando a
Ganzo!
rende abba-
Facendo riferimento all'esperienza pratica di laborato-
stanza complicato stabilire il comportamento del
rio, vediamo un po' più in dettaglio come interpretare i
circuito.
risultati e costruire un minimo di matematica per spie-
dotata di una propria induttanza
L,
Però possiamo sempre supporre di ope-
rare in condizioni in cui l'impedenza dell'induttore
gare il suo funzionamento.
(la bobina di sonda) sia trascurabile rispetto alle
un generatore di funzioni che produce un'onda sinusoi-
impedenze di resistore e condensatore, come si ot-
dale a frequenza
tiene a frequenze sucientemente basse (la parte
chiuso, possiamo integrare sulla supercie i due mem-
reattiva dell'impedenza è
jωL, che tende a zero per
ω → 0).
f.
La bobina 1 è collegata a
Poiché usiamo un circuito magnetico
~ × H(t)
~
∇
= ~j(t), ottedove Iconc (t) rappresenta
bri dell'equazione (di Maxwell)
nendo
H
~
H(t)
· d~` = Iconc (t),
l'intensità della corrente concatenata alla linea chiusa di
•
Possiamo ideare qualche ulteriore miglioria al no-
circuitazione. Notate che, pur se siamo in presenza di cor-
stro sistema di misura (meglio, di visualizzazione)
renti e campi variabili nel tempo, supponiamo che questi
della curva di isteresi.
Per esempio possiamo se-
evolvano in tempi caratteristici sucientemente lunghi
parare spazialmente la regione dove si produce il
da permettere l'approssimazione quasi-stazionaria, che è
campo
~
H
da quella dove si misura
~ .
Φ(B)
Questo
sicuramente ben vericata operando a frequenze
f ∼ 100
comporta un immediato vantaggio pratico: le cor-
Hz, come suggerito di fare in laboratorio.
renti parassite indotte nel materiale sotto analisi
saranno presenti soprattutto nella regione di produ-
Detta ` la lunghezza (media) del circuito magnetico,
I1 (t) la corrente che uisce nella bobina 1 e N1 il suo numero di spire, l'integrazione fornisce H(t) = N1 I1 (t)/`.
zione, dove il campo è più intenso. Dunque l'eetto
Data l'approssimazione quasi-stazionaria, questa relazio-
di schermatura dei campi, che è tipicamente as-
ne vale anche tra le ampiezze (o ampiezze picco-picco):
sociato alla presenza di correnti parassite, sarà me-
H = N1 I1 /`.
no rilevante. Inoltre potremo ridurne ulteriormente
venientemente fatta montando una resistenza
sono in questo caso meno importanti, dato che esse
La misura della corrente può essere con-
R1
in serie
4
alla bobina. Trascurando la resistenza interna del generatore, si ha infatti in queste condizioni
dove con
VH
I1 = VH /R1 ,
abbiamo indicato l'ampiezza (o ampiezza
picco-picco) della dierenza di potenziale ai capi della
resistenza
gresso (lo ricordate?
Il ltro passa-basso attenua pres-
soché linearmente le frequenze che giacciono sotto alla
frequenza di taglio!).
Di conseguenza, si ha in uscita
dall'integratore un segnale la cui ampiezza è
R1 .
Mettendo tutto insieme, si ha quindi
VH
VB = V2
`R1
H,
=
N1
(1)
cioè l'ampiezza (o ampiezza picco-picco) del segnale
H,
VH
V 2 = N2
costituendone una
misura indiretta.
(2)
D'altra parte, come già aermato, si ha anche
è direttamente proporzionale all'intensità (o intensità
picco-picco) del campo oscillante
1
.
2πf R2 C
~
dΦ(B(t))
= N2 2πf hsB ,
dt
(3)
dove abbiamo notato che il usso attraversa la sezione
Nelle ipotesi di isotropia, omogeneità e linearità che
abbiamo citato all'inizio, all'interno del materiale questo
~
H(t)
dà luogo a un
~
~ . Per
B(t)
= µr µ0 H(t)
delle
N2
spire (messe in serie tra loro) che formano la
bobina 2 e abbiamo fatto la derivata di una grandez-
campo
campo di induzione magne-
za sinusoidale con frequenza angolare
tica
il fenomeno della canalizza-
solito, abbiamo trascurato i segni, che sono irrilevanti).
zione delle linee di campo, la sua direzione sarà (preva-
ω = 2πf
(e, al
Mettendo tutto insieme, si ha
lentemente) allineata con il lato lungo delle lamine che
costituiscono la catena, ovvero il circuito magnetico.
VB =
Questo signica che all'interno della bobina 2 si avrà un
usso di campo magnetico oscillante
dove
h
ed
s
N2 2πf hs
N2 hs
B=
B,
2πf R2 C
R2 C
(4)
~
Φ(B(t))
= hsB(t),
sono altezza e spessore delle lamine (oc-
chio alla geometria!). Ovviamente l'espressione scritta è
un'approssimazione: a parte gli aspetti geometrici (non
è mica detto, per esempio, che il campo
~
B(t)
sia omoge-
neo dentro la lamina!), è possibile che ci siano perdite di
che quindi rappresenta una misura indiretta di
B,
quello che volevamo ottenere.
Se i segnali
CH2
VH
e
VB
vengono inviati ai canali
di un oscilloscopio usato in modalità
X-Y,
che è
CH1
e
allora si
ottiene la visualizzazione diretta della relazione tra in-
nea tra le bobine o alle correnti parassite. Tutto questo
~ e intensità
B
~
del campo esterno (applicato) H al variare di quest'ul~ vietima. Infatti nel periodo T = 1/f l'intensità di H
lo consideriamo trascurabile.
ne continuamente spazzata tra un valore minimo (pari
campo dal circuito magnetico così come è possibile che ci
sia un contributo dovuto alla mutua induzione sponta-
Nell'esperienza pratica, la bobina 2 è collegata a un
circuito integratore costituito da una resistenza
un condensatore
C.
R2
e
Ora, tutti ricordate che un inte-
tensità del campo di induzione magnetica
a
a
Hmin = −VH (N1 /(R1 `)))
Hmax = +VH (N1 /(R1 `))).
e un valore massimo (pari
Nel frattempo il campo di
induzione magnetica viene continuamente misurato at-
VB
gratore è un ltro passa-basso la cui frequenza di taglio
traverso la misura di
fT = 1/(2πR2 C) è molto minore della frequenza di laf . In altre parole, anché l'integratore si comporti in modo opportuno dovete scegliere R2 e C tali che
R2 C >> 1/(2πf ): nelle mie prove io ho posto R2 = 3.3
kohm (nominali) e C = 10µF (nominali). Lavorando
a f ≈ 100 Hz la condizione è abbastanza ben verica-
rappresentazione della curva di isteresi.
ta, dato che la frequenza di taglio è circa 20 volte in-
simazioni che abbiamo fatto, il metodo non consente una
feriore alla frequenza di lavoro. Ricordate poi tutti che
misura particolarmente adabile delle grandezze in gio-
all'uscita dell'integratore il segnale ha un'ampiezza pari
co, per cui non datevi troppo dei valori quantitativi che
voro
a
fT /f = 1/(f 2πR2 C)
volte quella del segnale in in-
[1] In italiano di dovrebbe dire coercitivo, ma si usa, io
uso, coercivo come neologismo proveniente dal termine
e dunque si ricostruisce una
Il metodo è furbo e carino, ma la sua interpretazione a
me lascia qualche dubbio (spero che anche a qualcuno di
voi vengano dei dubbi, che chiariremo per esempio all'esame orale!). Non voglio palesarvi i miei timori, ma vorrei
concludere con un avvertimento: a parte le tante appros-
estrarrete dall'esperienza!
coercive. Mi sta più simpatico così!

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