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Corso di
Gestione dei sistemi di trasporto
Cap. 2
Traffic assignment problems
S. Sacone, S. Siri - DIST
Introduzione
Î
Uno degli aspetti centrali nel processo di pianificazione del traffico è
il traffic assignment (assegnazione del traffico su percorsi di una rete
esistente o proposta)
Î
Occorre introdurre dei modelli matematici basati sull’ottimizzazione
Î
L’obiettivo consiste nel fornire una descrizione macroscopica o una
previsione dei volumi di traffico risultanti dalla scelta di percorso
degli utenti sulla rete
Î
Tali modelli devono basarsi su determinati principi comportamentali
di route-choice
Î
In questi modelli è fondamentale il concetto di congestione
Î
All’aumentare dei volumi di traffico, la velocità media sull’arco
diminuisce (prima lentamente e poi velocemente), come
rappresentato dalle link performance functions
S. Sacone, S. Siri - DIST
2
Introduzione
Il processo di scelta del percorso da parte dell’utente dipende da
diversi fattori, tra cui il principale è sicuramente il tempo di
percorrenza
Î
Per questo motivo, spesso si
usano i termini travel cost e
travel time come sinonimi
Tempo di percorrenza (secondi)
Î
Link performance function
S. Sacone, S. Siri - DIST
3
User Equilibrium
User Equilibrium
Î
Secondo questo principio, ogni utente sceglie il percorso che
minimizzi il proprio costo di viaggio (tempo di percorrenza)
Î
Il risultato di queste decisioni è una situazione in cui nessun utente
può ridurre ulteriormente il tempo di percorrenza del percorso scelto,
scegliendo un percorso alternativo
Î
Tutti i percorsi effettivamente scelti tra una data origine e una data
destinazione sono caratterizzati dagli stessi tempi di percorrenza
Î
Se infatti esistesse una situazione in cui due percorsi scelti fossero
caratterizzati da diversi tempi di percorrenza, gli utenti sulla strada
più lenta avrebbero un incentivo a scegliere quella più veloce e non si
avrebbe quindi una situazione di equilibrio
S. Sacone, S. Siri - DIST
4
User Equilibrium
1° principio di Wardrop:
Wardrop
Data una coppia O/D, i tempi di percorrenza su tutti i percorsi
effettivamente utilizzati sono uguali, e minori di quelli che si
avrebbero sui percorsi alternativi che non sono stati scelti
Questo principio si basa su alcune ipotesi:
Î
ogni utente ha un’informazione completa e corretta riguardo ai
percorsi disponibili e alle loro caratteristiche
Î
i pattern dei flussi sulla rete sono così stabili nel tempo che
l’esperienza passata (per quanto riguarda per esempio i tempi di
percorrenza) è ancora valida
Î
Modelli stocastici:
stocastici l’utente non ha informazione completa
Î
Modelli dinamici:
dinamici i flussi variano nel tempo
S. Sacone, S. Siri - DIST
5
User Equilibrium: esempio
Î
Si consideri una semplice rete costituita da due nodi (una coppia
origine-destinazione) connessi da due archi alternativi, link 1 e link 2
Î
Si indicano con t1 e t2 i tempi di percorrenza sui due link
Î
Si indicano con x1 e x2 i flussi sui due link
Î
Si indica con q il flusso complessivo tra O e D
q = x1 + x2
Link 1
O
D
Link 2
S. Sacone, S. Siri - DIST
6
User Equilibrium: esempio
Î
Le link performance functions sono rappresentate in figura (per i 2
link)
Î A parità di flusso, il link 1 è caratterizzato da tempi di percorrenza
inferiori
Î Il link 1 ha un minore free-flow travel time
t
t2(x2)
t1(x1)
x
S. Sacone, S. Siri - DIST
7
User Equilibrium: esempio
Î
Se il flusso q è molto piccolo, allora tutti gli utenti scelgono il link 1
Î
Gli utenti scelgono solo il link 1 finchè q < q’ (flusso tale per cui il
tempo di percorrenza per il link 1 è uguale a quello per il link 2 in
assenza di flusso)
t
t2(x2)
t1(x1)
x
q’
S. Sacone, S. Siri - DIST
8
User Equilibrium: esempio
Î
Per q > q’ il flusso si ripartisce sui due link in modo tale che i tempi
di percorrenza siano uguali
Î
Il sistema da risolvere è:
⎧ x1 + x2 = q
⎨
⎩t1 = t 2
t
t2(x2)
t1(x1)
t*
x
x 2*
S. Sacone, S. Siri - DIST
x1*
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Stochastic User Equilibrium
Î
Si modella il fatto che gli utenti hanno una diversa percezione dei
tempi di viaggio e una diversa valutazione della propria utilità, oltre
al fatto che può non esserci perfetta informazione riguardo ai tempi
di viaggio su tutta la rete, quindi l’equilibrio è stocastico
Î
Ogni utente sceglie il percorso che minimizza il suo costo (tempo di
viaggio) percepito, rappresentato da una variabile random distribuita
su tutta la popolazione degli utenti
Î
Lo Stochastic User Equilibrium è una generalizzazione dello User
Equilibrium (se i costi percepiti diventano costi effettivi, perché la
variabile random diventa una quantità deterministica, allora lo
Stochastic User equilibrium diventa User Equilibrium)
S. Sacone, S. Siri - DIST
10
System Optimum
System Optimum
Î
Questo principio si basa sulla minimizzazione del tempo di
percorrenza totale (utilizzo ottimale della rete di traffico)
Î
Questo non rappresenta il comportamento spontaneo dell’utente ma
spesso un obiettivo che il gestore o il pianificatore della rete vuole
perseguire
Î
L’unica situazione in cui i flussi ottenuti applicando il principio di
User Equilibrium sono uguali a quelli ottenuti applicando il principio
di System Optimum si ha nel caso ideale in cui non esiste
congestione
Î
In sistemi di traffico urbani reali, i flussi osservati sono più vicini a
quelli previsti con User Equilibrium che con System Optimum
S. Sacone, S. Siri - DIST
11
System Optimum
2° principio di Wardrop:
Wardrop
L’ottimo di sistema (system optimum) di una rete di trasporto è la
situazione in cui si minimizza il costo totale
In questo caso, si assume che ciascun utente scelga il percorso che
minimizza il costo (tempo di viaggio) complessivo per tutti gli utenti
presenti nella rete, ossia una sorta di costo sociale. Esistono due
mezzi alternativi per ottenere il system optimum:
Î
le scelte di percorso vengono imposte da sistemi di controllo
centralizzato (involuntary system optimum):
optimum ipotetico ma difficile da
applicare!
Î
Le scelte di percorso vengono indirizzate verso il system optimum
tramite imposizione di pedaggi, proporzionali al contributo al costo
totale (voluntary system optimum tramite politiche di congestion
pricing strategy)
strategy
S. Sacone, S. Siri - DIST
12
Traffic Assignment
Il problema di traffic assignment consiste in:
Î
data la relazione tra il costo (tempo) di viaggio ed il flusso e nota la
domanda
Î
si applica o il 1° principio di Wardrop - User Equilibrium
(descriptive assignment)
assignment o il 2° principio di Wardrop - System
Optimum (normative assignment)
assignment
Î
soluzione: distribuzione dei flussi sulla rete di traffico
I problemi di traffic assignment possono essere interpretati con la
teoria dei giochi Æ il 1° principio di Wardrop corrisponde ad un
equilibrio di Nash
S. Sacone, S. Siri - DIST
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Traffic Assignment
La domanda di trasporto è rappresentata dalla matrice O/D
(origine/destinazione):
Î
è una matrice quadrata NxN, generalmente non simmetrica
Î
l’elemento generico ij rappresenta una stima del numero di viaggi
dal centroide i al centroide j
Î
gli elementi della diagonale sono in generale non nulli
Una matrice O/D è normalmente riferita ad una certa modalità di
trasporto e ad una certa fascia temporale.
La domanda di trasporto è espressa come trip rates (numero di percorsi
in un periodo di tempo, per es. le ore di punta della mattina, ecc.)
S. Sacone, S. Siri - DIST
14
Traffic Assignment
Î
Non sono modellati comportamenti dinamici della rete
Î
È modellato il comportamento sistematico degli utenti
Î
La rete di traffico viene modellata con un grafo orientato:
ƒ
ƒ
ƒ
ƒ
A = insieme degli archi
N = insieme dei nodi (ogni nodo rappresenta un centroide,
centroide ossia il
baricentro di un’area con caratteristiche omogenee dal punto di
vista della domanda di trasporto)
R = insieme dei nodi di origine dei percorsi
S = insieme dei nodi di destinazione dei percorsi
R ⊆ N S ⊆ N R∩S ≠ 0
S. Sacone, S. Siri - DIST
15
Traffic Assignment
Î
Ogni coppia origine-destinazione r-s è connessa da un insieme di
percorsi (paths),
paths ognuno indicato da una sequenza ordinata di archi
orientati
Î
Si indica con Krs l’insieme dei percorsi tra un’origine r e una
destinazione s
Î
Gli elementi della matrice O/D sono indicati con qrs
Î ta e xa sono
Î ta(xa) è
il tempo di percorrenza ed il flusso sul link a
la link performance function
Î fkrs
e ckrs rappresentano il flusso e il tempo di percorrenza sul
percorso k che connette l’origine r con la destinazione s
S. Sacone, S. Siri - DIST
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Traffic Assignment
Î
ckrs è il tempo di percorrenza del percorso k che connette l’origine r
con la destinazione s
Î
è dato dalla somma dei tempi di percorrenza degli archi che
appartengono a quel percorso
Ckrs = ∑ t a ( xa ) ⋅ δ akrs
∀k ∈ K rs ∀r ∈ R ∀s ∈ S
a
δ
rs
ak
⎧1 se l' arco a appartiene al percorso k che unisce r a s
=⎨
⎩0 altrimenti
S. Sacone, S. Siri - DIST
17
Traffic Assignment
Î
xa è il flusso totale su un arco a
Î
è dato dalla somma dei flussi sui percorsi che includono quell’arco
xa = ∑∑∑ f krs ⋅ δ akrs
r
s
∀a ∈ A
k
Questa equazione e la precedente sono note come path-arc incidence
relationships
S. Sacone, S. Siri - DIST
18
Traffic Assignment: esempio
Î
Î
Î
Î
Î
Due coppie O/D: 1-4 e 2-4 (il nodo 3 non è né di origine né di destinazione)
Percorso 1 da 1 a 4: link 1 + link 3
Percorso 2 da 1 a 4: link 1 + link 4
Percorso 1 da 2 a 4: link 2 + link 3
Percorso 2 da 2 a 4: link 2 + link 4
δ1114 = 1
Il link 1 è sul percorso 1 dal nodo 1 al nodo 4
δ 3224 = 0
Il link 3 non è sul percorso 2 dal nodo 2 al nodo 4
S. Sacone, S. Siri - DIST
19
Traffic Assignment: esempio
Matrice di incidenza
⎛1
⎜
⎜0
⎜1
⎜
⎜0
⎝
2
3
4
2-4
2
1
2
1 0 0⎞
⎟
0 1 1⎟
0 1 0⎟
⎟
1 0 1 ⎟⎠
3
3
2
1-4
1
1
1
O-D
path
link
1
O-D
2
S. Sacone, S. Siri - DIST
4
4
20
Traffic Assignment: esempio
Ckrs = ∑ t a ( xa ) ⋅ δ akrs
∀k ∈ K rs ∀r ∈ R ∀s ∈ S
a
Nel caso k=1,
k=1 r=1,
r=1 s=4
14
14
14
C114 = t1 ⋅ δ1114 + t 2 ⋅ δ 21
+ t3 ⋅ δ 31
+ t 4 ⋅ δ 41
= t1 + t3
1
1
3
3
2
S. Sacone, S. Siri - DIST
2
4
4
21
Traffic Assignment: esempio
xa = ∑∑∑ f krs ⋅ δ akrs
r
s
∀a ∈ A
k
Nel caso a=3
14
14
x3 = f114 ⋅ δ 31
+ f 214 ⋅ δ 32
+ f124 ⋅ δ 3124 + f 224 ⋅ δ 3224 = f114 + f124
1
1
3
3
2
S. Sacone, S. Siri - DIST
2
4
4
22
The equilibrium assignment problem
Equilibrium assignment problem
Î determinare i flussi sui link xa
Î soddisfacendo il criterio di User Equilbrium
Î assegnando i flussi in modo che soddisfino la domanda qrs (trip rates
della matrice O/D)
Ipotesi:
Î il tempo di percorrenza su un arco è funzione del flusso sull’arco e non
del flusso sugli altri archi della rete (assunzione restrittiva)
Î la funzione t(x) (link performance function) è positiva e crescente
S. Sacone, S. Siri - DIST
23
The equilibrium assignment problem
Beckmann’s transformation
xa
min ∑ ∫ t a (ω )dω
a
0
s.t.
∑
f krs = qrs
∀r
∀s
k
f krs ≥ 0
∀k
∀r
xa = ∑∑∑ f krsδ akrs
r
s
∀s
∀a
k
Si dimostra che la soluzione di questo problema soddisfa le condizioni di
User Equilibrium (nonostante la f.o. non sia spiegabile in modo intuitivo)
S. Sacone, S. Siri - DIST
24
The equilibrium assignment problem: esempio
Î
Due percorsi da O a D: link 1 e link 2
Î
Link performance functions
Î
Flusso q=5
t1 = 2 + x1
t 2 = 1 + 2 ⋅ x2
Link 2
O
D
Link 1
S. Sacone, S. Siri - DIST
25
The equilibrium assignment problem: esempio
Applico il principio di User Equilibrium
Î Con q=5 sicuramente verranno usati entrambi i percorsi
Î Occorre risolvere il seguente sistema di equazioni:
⎧t1 = t 2
⎪x + x = 5
⎪ 1 2
⎨
⎪t1 = 2 + x1
⎪⎩t 2 = 1 + 2 ⋅ x2
Link 2
O
D
Link 1
x1 = 3
x2 = 2
S. Sacone, S. Siri - DIST
26
The equilibrium assignment problem: esempio
Scrivo il problema di ottimizzazione
x1
x2
0
0
min ∫ (2 + ω )dω + ∫ (1 + 2ω )dω
s.t.
x1 + x2 = 5
x1 ≥ 0
x1
5 - x1
0
0
min ∫ (2 + ω )dω +
∫ (1 + 2ω )dω
s.t.
x1 ≥ 0
5 − x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
Link 2
x1 = 3
O
D
x2 = 2
Link 1
S. Sacone, S. Siri - DIST
27
The system-optimization formulation
min ∑ xa ⋅ t a ( xa )
Tempo di percorrenza totale sulla rete
a
subject to
∑f
rs
k
= qrs
∀r
∀s
k
f krs ≥ 0
∀k
∀r
xa = ∑∑∑ f krsδ akrs
r
s
∀s
∀a
k
S. Sacone, S. Siri - DIST
28
Dynamic traffic assignment
Î
I problemi di Dynamic Assignment corrispondono ad un’estensione dei
modelli di Traffic Assignment (statico) nel caso in cui si consideri la
dinamica del sistema
Î
Servono a determinare i volumi di traffico sulla rete e la loro
evoluzione nel tempo
Î
Si basano su una domanda di trasporto (matrice O/D) dinamica, con
intervalli di discretizzazione dell’ordine di un’ora
Î
Si basano su una rete di traffico dinamica (per esempio la capacità
della strada può variare durante la giornata)
Î
Si tratta di formalizzazioni molto complesse
S. Sacone, S. Siri - DIST
29
Dynamic traffic assignment
Sistemi di Route Guidance:
Guidance
Î indicano il percorso ottimo dalla posizione attuale alla destinazione
Î in alcuni casi, utilizzano VMS (Variable Message Signs)
Î in altri casi, il percorso può essere indicato singolarmente ai veicoli
dotati di un dispositivo installato a bordo (che comunica all'utente
informazioni sul percorso migliore da seguire, sulla base della
destinazione del viaggio e della sua posizione, rilevata anche con
sistemi automatici di localizzazione)
Sistemi di Dynamic Route Guidance:
Guidance
Î suggeriscono percorsi, aggiornati sulla base delle condizioni di traffico
reali o previste, al fine di evitare possibili effetti negativi sulla rete
Î si usano sia VMS sia informazioni singole ai veicoli (si possono anche
suggerire percorsi diversi a veicoli diversi)
S. Sacone, S. Siri - DIST
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