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(*)ESEMPIO 9 (progetto condizionato). Si progetti, per semplicità, la

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Doc_b10_(3_b).doc
(*)ESEMPIO 9 (progetto condizionato). Si progetti, per semplicità, la sola armatura a
torsione di un elemento strutturale pressoinflesso di sezione trasversale 40 cm x 50 cm,
sottoposto ad una coppia torcente di progetto pari a TSd = 3, 7 tm = 3, 7 10 5 daNcm . Si ipotizzi
che l’elemento sia stato confezionato con un conglomerato C20/25 e con acciai nervati del
tipo S440. Si ammetta, infine, che l’ambiente esterno consenta un ricoprimento delle armature
più esterne pari a c = 2,0 cm e che le armature longitudinali presenti siano di diametro 20 mm
avvolte da una staffatura chiusa a due bracci di diametro 8 mm (vedere sezione in figura
12.17). Si rispetti quanto indicato nella EN 1992-1-1.
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 12)\Figura 12_17.tif
Figura 12.17 – Sezione trasversale elemento strutturale pressoinflesso: armature a torsione da
progettare.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
fcd = 113daN / cm2 (tab. 9.3_b);
conglomerato (C20/25):
fck = 200 daN / cm 2 = 20 MPa (tab. 9.3_b);
acciai (S440):
fyd = 3830daN / cm2 (tab. 9.4_b);
fyk = 4400 daN / cm 2 (tab. 9.4_b).
Calcolo area sezione trasversale elemento strutturale:
Atot = b H = (40 cm) (50 cm) = 2000 cm 2 .
Calcolo perimetro sezione trasversale elemento strutturale:
p est = 2 (b + H) = 2 [(40 cm) + (50 cm)]= 180 cm .
Calcolo distanza fra il bordo e il centro dell’armatura longitudinale:
h = (c + staffe + long / 2) = (2, 0 cm + 0,8 cm + 2,0 cm / 2) = 3,8 cm ;
Calcolo altezza utile sezione:
h = H h = (50 cm) (3, 8 cm) = 46, 2 cm .
Calcolo spessore della parete cava equivalente:
A
(2000 cm 2 )
t = tot =
11 cm > 2 h = 2 (3, 8 cm) = 7, 6 cm .
pest
(180 cm)
Calcolo parametri di progetto parete sottile equivalente:
Ak = ( H t) (b t) = [(50 cm) (11 cm)] [(40 cm) (11 cm)] = 1131 cm 2 ;
u k = 2 [( H t) + (b t)] = 2 [(50 cm) (11 cm) + (40 cm) (11 cm)] = 136 cm .
750
Documento #:
Doc_b10_(3_b).doc
Calcolo fattore di efficienza per sezione effettiva non cava (sezione rettangolare piena):
f [MPa]
(20MPa) = 0,6 1 ck
= 0,6 1 0, 55 .
250 250 Verifica non schiacciamento bielle convenzionali di conglomerato compresso.
Assumendo per sicurezza cotg = 2, 5 (con tan = 0,4 ) si ha (con cw = 1, 0 ):
2 cw fcd t Ak 2 cw fcd t Ak
TSd =
0, 69 cw fcd t Ak .
cotg + tg
2, 5 + 0, 4
Sostituendo i valori numerici:
TSd = 3, 7 10 5 daNcm 0, 69 0, 55 1 (113daN / cm2 ) (11 cm) (1131 cm 2 ) 5,33 10 5 daNcm.
La verifica a non schiacciamento è positiva.
Calcolo armature a torsione (staffe).
Uguagliando la sollecitazione torcente di progetto alla resistenza ultima a torsione delle sole
staffe, si ha:
F
TSd = 2 Ak 1s fyd cotg .
ts
Adottando, come da ipotesi, staffe chiuse a due bracci di diametro 8 mm si ha:
F1s = 1 8 = 1 (0, 50 cm2 ) .
Si calcola il passo delle staffe (per sola torsione) tramite la formula:
2 Ak F1s fyd cotg 2 Ak F1s f yd 1
ts =
=
.
TSd
TSd
Sostituendo i valori numerici, si ha:
2 (1131 cm 2 ) (0, 50 cm 2 ) (3830 daN / cm2 )
ts =
11,7 cm .
(3,7 105 daNcm)
Assumendo un passo effettivo pari a ts = 10 cm < 11,7 cm , risulta verificata anche la
prescrizione da Normativa:
0,75 h (1+ cotg ) = 0, 75 ( 46, 2 cm) (1+ cotg 90°) 34cm
ts minore dimensione della sezione Atot = b = 40 cm
pest 180 cm
=
22 cm.
8
8
La percentuale minima delle staffe (con sin = 1 ) risulta:
0,08 fck
0, 08 (20 MPa)
Asw bm sin = 100 (40 cm) 3,2 cm 2 / m .
= 100 s min
fyk
(440 MPa)
Avendo adottato s = ts = 10 cm e con Asw = 2 F1s = 2 (0,50 cm2 ) = 1, 00 cm2 , si calcola(1):
2 F1s 1, 00 cm2
= 10 cm2 / m > 3,2 cm2 / m .
=
0, 10 m
ts 1
Notare che, avendo utilizzato per il minimo dellarmatura trasversale la formulazione introdotta al paragrafo 9.2.2 della Norma,
relativamente allarmatura al taglio, è necessario esprimere la staffatura presente come se si trattasse del taglio. Infatti, al
punto 9.2.3.(2) per il calcolo dei minimi di armatura per la torsione, la Norma rimanda alla formulazione 9.2.2(5) propria del
taglio.
751
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Calcolo armature longitudinali aggiuntive per torsione.
Uguagliando la sollecitazione torcente di progetto alla resistenza ultima a torsione delle sole
armature longitudinali aggiuntive, si ha:
Fil
TSd = 2 Ak fyd .
u k cotg
Si calcola, quindi:
T u cotg
.
Fil
= Sd k
min
2 Ak f yd
( )
Sostituendo i valori numerici, si ha (con = 45° ):
T u cotg
(3, 7 10 5 daNcm) (136 cm) 1
Fil
= Sd k
=
5,81 cm 2 .
min
2 (1131 cm 2 ) (3830 daN / cm 2 )
2 Ak f yd
( )
Adottando almeno 4 barre agli spigoli delle staffe e due barre di parete (per un totale di 6
barre) si calcola la sezione minima della singola barra longitudinale aggiuntiva:
Fil
5, 81 cm2
min
=
0,97 cm2 .
6
6
Si adottano, quindi, delle barre aggiuntive di diametro 12 mm ( 112 = 1, 13 cm2 > 0,97 cm2 ).
Pertanto, su ciascuno spigolo, si avrà:
120 + 112 = 3,14 cm2 + 1,13 cm2 = 4,27 cm2 .
Adottando delle barre di diametro 24 mm, si ha:
124 = 4,52 cm 2 > 1 20 + 112 = 3, 14 cm 2 + 1, 13 cm 2 = 4,27 cm2 .
Pertanto, su ciascuno dei quattro spigoli, si sostituiranno delle barre del diametro di 24 mm al
posto delle barre di diametro 20 mm. Infine, si disporranno 1 + 1 12 come barre di parete, in
modo che la distanza tra le armature longitudinali si mantenga ovunque inferiore ai 35 cm. La
figura 12.18 riporta una proposta di carpenteria esecutiva della sezione progettata.
( )
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 12)\Figura 12_18.tif
Figura 12.18 – Proposta di carpenteria esecutiva della sezione progettata. Sollecitazioni taglianti non
considerate, per semplicità di trattazione.
(*)ESEMPIO 10 (progetto condizionato). Si progettino le sole armature a torsione per una
sezione rettangolare di dimensioni 30 cm x 65 cm, con ricoprimento delle armature più
esterne pari a c = 3,0 cm e armata al più con barre longitudinali di diametro 20 mm (si
considerino anche comprese le armature aggiuntive per torsione). La sezione sia sottoposta ad
un momento torcente di calcolo pari a:
752
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TSd = 6,0 tm = 6, 0 105 daNcm .
In accordo con quanto riportato al paragrafo 3.1.6(1) della EN 1992-1-1, si ipotizzi di
penalizzare la resistenza a compressione del conglomerato di un fattore pari a cc = 0,97 .
Si ammetta, infine, che i materiali utilizzati siano C20/25 per il conglomerato e S440 nervato
per gli acciai e che siano trascurabili gli effetti per sollecitazioni taglianti. Si rispetti quanto
indicato nella EN 1992-1-1: 2005.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
fcd = 113daN / cm2 (tab. 9.3_b);
conglomerato (C20/25):
fcd = cc (113daN / cm 2 ) 110daN / cm 2 ;
resistenza penalizzata:
fck = 200 daN / cm 2 = 20 MPa (tab. 9.3_b);
fyd = 3830daN / cm2 (tab. 9.4_b);
acciai (S440):
fyk = 4400 daN / cm 2 (tab. 9.4_b).
Calcolo distanza baricentro armature longitudinali dai casseri:
h = c + staffe + long / 2 = (3, 0 cm) + (0, 8 cm) + (2, 0 cm) / 2 4,8 cm .
Calcolo altezza utile sezione resistente:
h = H h = (65 cm) ( 4,8 cm) = 60, 2 cm .
Calcolo area sezione trasversale elemento strutturale:
Atot = b H = (30 cm) (65 cm) = 1950 cm2 .
Calcolo perimetro sezione trasversale elemento strutturale:
p est = 2 (b + H) = 2 [(30 cm) + (65 cm)]= 190 cm .
Calcolo spessore della parete cava equivalente:
A
(1950 cm 2 )
t = tot =
10 cm > 2 h = 2 ( 4,8 cm) = 9,6 cm .
pest
(190 cm)
Calcolo parametri di progetto parete sottile equivalente:
Ak = ( H t) (b t) = [(65 cm) (10 cm)] [(30 cm) (10 cm)] = 1100 cm2 ;
u k = 2 [( H t) + (b t)] = 2 [(65 cm) (10 cm) + ( 30 cm) (10 cm)] = 150 cm .
Calcolo fattore di efficienza per sezione effettiva non cava (sezione rettangolare piena):
f [MPa]
(20MPa) = 0,6 1 ck
= 0,6 1 0, 55 .
250 250 Calcolo inclinazione delle bielle compresse (rottura conglomerato).
Ponendo, per sicurezza, cotg = 2, 5 (e quindi con tan = 0,4 ), si calcola il minimo valore
del massimo taglio di calcolo che porta il puntone compresso allo schiacciamento (con
cw = 1 ):
TRdmax =
2 cw fcd t Ak 2 0, 55 1 (110daN / cm 2 ) (10 cm) (1100 cm2 )
=
4,6 10 5 daN
2,5 + 0,4
cotg + tg
ma risultando TSd = 6,0 10 daN > TRdmax = 4, 6 10 daN , per poter progettare comunque la
sezione, conviene isolare la somma delle due funzioni trigonometriche, imponendo la
condizione TSd = TRd max . Si calcola, quindi:
5
5
2 cw fcd t Ak 2 0,55 1 (110 daN / cm 2 ) (10 cm) (1100 cm2 )
=
2, 22 ;
TSd
(6, 0 105 daNcm)
a cui corrisponde circa un angolo 32° 8 > 21, 48° , con cotg 1, 59 compreso
all’interno dei limiti imposti da Normativa ( 1,0 cotg 2,5 ).
cotg + tg =
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Nota. L’E.C.2 (EN 1992-1-1: 2005) impone per l’angolo suddetto il seguente intervallo:
21° 48 45° . A tale intervallo corrisponde la seguente limitazione: 1 cotg 2, 5 .
Calcolo delle armature a torsione (sole staffe).
Utilizzando la relazione:
F
TSd 2 Ak 1s fyd cotg ,
ts
Uguagliando e sostituendo i valori numerici, si ottiene:
TSd
(6,0 10 5 daNcm)
F1s
=
=
0,0448 cm 2 / cm .
ts max 2 Ak fyd cotg 2 (1100 cm 2 ) (3830 daN / cm 2 ) 1, 59
Adottando, in particolare, staffe del diametro di 8 mm si ha: F1s = 1 8 = 0, 50 cm 2 . Pertanto, si
calcola:
F1s
0,50 cm 2
ts max =
=
11cm .
4, 48 cm 2 / m 0,0448 cm 2 / cm
Si adotta, quindi un passo pari a ts = 10 cm < 11cm . Risultando così:
0,75 h (1+ cotg ) = 0, 75 (60, 2 cm) (1+ cotg 90°) 45 cm
ts minore dimensione della sezione Atot = b = 30 cm
pest 190 cm
=
= 24 cm.
8
8
La percentuale minima delle staffe (con sin = 1 ) risulta:
0,08 fck
0, 08 (20 MPa)
Asw bm sin = 100 (30 cm) 2,4 cm 2 / m .
= 100 s min
fyk
(440 MPa)
Avendo adottato s = ts = 10 cm e con Asw = 2 F1s = 2 (0,50 cm2 ) = 1, 00 cm2 , si calcola(2):
2 F1s 1, 00 cm2
= 10 cm2 / m > 2,4 cm2 / m .
=
0, 10 m
ts Calcolo delle armature a torsione (barre longitudinali aggiuntive).
Si utilizza la seguente formula:
Fil
TSd 2 Ak fyd .
uk cotg
Uguagliando e sostituendo i valori numerici, si ottiene:
T u cotg (6, 0 10 5 daNcm) (150 cm) 1, 60
Fil
= Sd k
=
17,1 cm2 .
min
2 Ak f yd
2 (1100 cm 2 ) (3830daN / cm 2 )
( )
Utilizzando 4 barre agli spigoli e altre 4 barre distribuite uniformemente lungo i bracci delle
staffe (per un totale di 8 barre), si ha:
Fil
17, 1cm 2
min
= 2, 14 cm2 .
8
8
Si possono, quindi, utilizzare barre di diametro pari a 18 mm: 118 = 2, 54 cm2 > 2,14cm 2 . Le
barre aggiuntive così disposte distano tra loro meno di 35 cm.
( )
2
Notare che, avendo utilizzato per il minimo dellarmatura trasversale la formulazione introdotta al paragrafo 9.2.2 della Norma,
relativamente allarmatura al taglio, è necessario esprimere la staffatura presente come se si trattasse del taglio. Infatti, al
punto 9.2.3.(2) per il calcolo dei minimi di armatura per la torsione, la Norma rimanda alla formulazione 9.2.2(5) propria del
taglio.
754
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(*)ESEMPIO 11 (progetto condizionato). Una trave corta L = 2,0 m e di sezione trasversale
pari a 40 cm x 60 cm è sottoposta in mezzeria ad un carico concentrato di progetto pari a P =
9,0 t e dotato di un’eccentricità, rispetto al centro di taglio, pari a e = 70 cm. Progettare le
armature al taglio e a torsione dell’elemento strutturale. Ipotizzare che l’elemento strutturale
sia stato confezionato con un conglomerato del tipo C20/25 e con acciai nervati del tipo S440.
Supporre, infine, un ricoprimento delle armature più esterne pari a c = 2,5 cm e delle staffe
chiuse a due bracci del diametro di 10 mm. Si rispetti quanto indicato nella EN 1992-1-1.
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
fcd = 113daN / cm2 (tab. 9.3_b);
conglomerato (C20/25):
fck = 200 daN / cm 2 = 20 MPa (tab. 9.3_b);
acciai (S440):
fyd = 3830daN / cm2 (tab. 9.4_b);
fyk = 4400 daN / cm 2 (tab. 9.4_b).
Calcolo altezza utile sezione resistente (assumendo orientativamente h h = 5 cm ):
h = H h = (60 cm) (5,0 cm) = 55 cm .
Calcolo area sezione trasversale elemento strutturale:
Atot = b H = (40 cm) (60 cm) = 2400 cm2 .
Calcolo perimetro sezione trasversale elemento strutturale:
p est = 2 (b + H) = 2 [(40 cm) + (60 cm)] = 200 cm .
Calcolo spessore della parete cava equivalente:
A
(2400 cm 2 )
t = tot =
= 12 cm > 2 h 2 ( 5 cm) = 10 cm .
pest
(200 cm)
Calcolo parametri di progetto parete sottile equivalente:
Ak = ( H t) (b t) = [(60 cm) (12 cm)] [(40 cm) (12 cm)]= 1344 cm 2 ;
u k = 2 [( H t) + (b t)] = 2 [(60 cm) (12 cm) + (40 cm) (12 cm)] = 152 cm .
Calcolo fattore di efficienza per sezione effettiva non cava (sezione rettangolare piena):
f [MPa]
(20MPa) = 0,6 1 ck
= 0,6 1 0, 55 .
250 250 Calcolo sollecitazioni di progetto.
Calcolo massima forza tagliante:
VSd = 0, 5 P = 0, 5 (9,0 t) = 4, 5 t = 4500 daN .
Calcolo massimo momento torcente:
( 40 cm) b
TSd = 0, 5 P e + = 0, 5 (9000 daN) (70 cm) +
405000 daNcm .
2 2
Verifica nei confronti dello schiacciamento della biella compressa di conglomerato
(taglio + torsione).
Si assume: 1,0 < cotg < 2,5 . Per la verifica delle bielle compresse di calcestruzzo si fissa
cotg = 2, 5 (con 21° 48 e sen 2 = 0,138 ), in modo da ottenere per VRd max il valore
minimo: VRd max = cw bm 0,9 h fcd 2, 5 0,138 0, 30 cw bm h fcd .
Ponendo, intanto, cw = 1, 0 per assenza di forze assiali, si ha:
VRd max = 0, 30 cw bm h fcd = 0, 30 1 (30 cm) ( 55 cm) 0,55 (113daN / cm2 ) 30760 daN.
Risulta, inoltre, per la sola torsione:
755
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TRdmax =
2 cw fcd t Ak 2 cw fcd t Ak
=
0,69 cw fcd t Ak =
cotg + tg
2, 5 + 0, 4
= 0, 69 0,55 1 (106daN / cm 2 ) (12 cm) (1344 cm2 ) 648700 daNcm .
Risultando:
2
2
2
2
(4500 daN) (405000 daNcm) VSd TSd +
= 0, 42 1
+
= V T (30760 daN ) (648700 daNcm) Rd 2
Rd 1
la verifica è positiva.
Calcolo armature al taglio (solo staffe).
Ponendo VRsd = VSd , si calcola (con cotg = 1, 0 ):
f VSd
( 4500 daN)
1s =
=
2,37 cm 2 / m .
t s max 0,9 h fyd 0,9 (0, 55 m) ( 3830daN / cm2 )
taglio
Calcolo armature a torsione (sole staffe).
Utilizzando la relazione:
F
TSd TRd 2 = 2 Ak 1s fyd cotg ,
ts
Imponendo TSd = TRd 2 e sostituendo i valori numerici, si ottiene (sempre con cotg = 1, 0 ):
F1s
ts max
=
TSd
(4, 05 10 5 daNcm)
=
0, 040 cm 2 / cm .
2 Ak fyd cotg 2 (1344 cm 2 ) ( 3830daN / cm2 ) 1
Pari a una sezione di armatura resistente per metro lineare:
2 F 1s
2 (0,040 cm 2 / cm) = 0,08 cm 2 / cm = 8,0 cm 2 / m .
ts max torsione
Calcolo staffatura (taglio + torsione).
Agendo il taglio e la torsione contemporaneamente, la sezione complessiva di acciaio
resistente (staffe) per metro lineare dell’elemento strutturale deve risultare:
f 2 F 1s
1s +
= 2,37 cm2 / m + 8,0 cm2 / m = 10, 37 cm2 / m .
t s max ts max taglio
torsione
Adottando staffe del diametro di 10 mm, risulta un passo massimo:
f1s
2 (0,79 cm2 )
ts max =
=
0,152 m = 15, 2 cm .
(10, 37 cm 2 / m) (10, 37 cm2 / m)
Si adotta quindi un passo effettivo di 15 cm. Pertanto, vista la contenuta luce della trave, si
armerà la stessa con un’unica staffatura in ragione di 110 / 15 . Risultando così:
0,75 h (1+ cotg ) = 0, 75 ( 55 cm) (1 + cotg90°) 41cm
ts minore dimensione della sezione Atot = b = 40 cm
pest 200 cm
=
= 25 cm.
8
8
La percentuale minima delle staffe (con sin = 1 ) risulta:
0,08 fck
0, 08 (20 MPa)
Asw bm sin = 100 (40 cm) 3,2 cm 2 / m .
= 100 s min
fyk
(440 MPa)
756
Documento #:
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Avendo adottato s = ts = 15 cm e con Asw = 2 F1s = 2 (0,79 cm 2 ) = 1, 58 cm2 , si calcola(3):
2 F1s 1, 58 cm2
= 10, 5 cm 2 / m > 3,2 cm2 / m .
=
0,15 m
ts Calcolo armature a torsione (longitudinali aggiuntive).
Uguagliando TSd = TRd 2 e sostituendo i valori numerici, si ottiene (con cotg = 1, 0 ):
( F )
il
min
=
TSd u k cotg
(4, 05 10 5 daNcm) (152 cm) 1
=
6, 0 cm 2 .
2 (1344 cm 2 ) (3830daN / cm2 )
2 Ak f yd
Utilizzando 4 barre agli spigoli e 2 barre di parete (per un totale di 6 barre), si ha:
Fil
6, 0 cm 2
min
= 1, 0 cm2 .
6
6
Si possono, quindi, utilizzare barre di diametro pari a 12 mm: 112 = 1, 13 cm2 > 1, 0 cm 2 . Le
barre aggiuntive così disposte distano tra loro meno di 35 cm.
( )
(*)ESEMPIO 12 (progetto condizionato). Analogamente all’esempio 7, sia data una sezione
rettangolare 30 cm x 60 cm in conglomerato armato, armata a flessione con Ff = Ff = 4 22 ,
confezionata con un calcestruzzo di classe C20/25 e con acciai nervati del tipo S440. Si
supponga un ricoprimento delle armature più esterne pari a c = 2,5 cm e una staffatura chiusa
a due bracci di diametro 10 mm (vedere figura 12.19). Progettare le armature al taglio e a
torsione della sezione sottoposta alle seguenti sollecitazioni ultime di progetto:
VSd = 6, 5 t = 6500 daN ;
TSd = 3, 0 tm = 3, 0 10 5 daNcm .
Si rispetti quanto indicato nella EN 1992-1-1.
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 12)\Figura 12_19.tif
Figura 12.19 – Sezione armata a flessione con armature al taglio e a torsione da progettare.
3
Notare che, avendo utilizzato per il minimo dellarmatura trasversale la formulazione introdotta al paragrafo 9.2.2 della Norma,
relativamente allarmatura al taglio, è necessario esprimere la staffatura presente come se si trattasse del taglio. Infatti, al
punto 9.2.3.(2) per il calcolo dei minimi di armatura per la torsione, la Norma rimanda alla formulazione 9.2.2(5) propria del
taglio.
757
Documento #:
Doc_b10_(3_b).doc
SOLUZIONE. Calcolo resistenze di progetto materiali:
fcd = 113daN / cm2 (tab. 9.3_b);
conglomerato (C20/25):
fck = 200 daN / cm 2 = 20 MPa (tab. 9.3_b);
fyd = 3830daN / cm2 (tab. 9.4_b);
acciai (S440):
fyk = 4400 daN / cm 2 (tab. 9.4_b).
Calcolo distanza baricentro armature longitudinali dai casseri:
h h = c + staffe + long / 2 = (2, 5 cm) + (1, 0 cm) + (2, 2) / 2 = 4, 6 cm .
Calcolo altezza utile sezione resistente:
h = H h H h = (60 cm) (4, 6 cm) = 55, 4 cm .
Calcolo area sezione trasversale elemento strutturale:
Atot = b H = (30 cm) (60 cm) = 1800 cm 2 .
Calcolo perimetro sezione trasversale elemento strutturale:
p est = 2 (b + H) = 2 [(30 cm) + (60 cm)] = 180 cm .
Calcolo spessore della parete cava equivalente:
A
(1800 cm 2 )
t = tot =
= 10 cm > 2 h = 2 (4, 6 cm) = 9,2 cm .
pest
(180 cm)
Calcolo parametri di progetto parete sottile equivalente:
Ak = ( H t) (b t) = [(60 cm) (10 cm)][(30 cm) (10 cm)]= 1000 cm2 ;
u k = 2 [( H t) + (b t)] = 2 [(60 cm) (10 cm) + (30 cm) (10 cm)] = 140 cm .
Calcolo fattore di efficienza per sezione effettiva non cava (sezione rettangolare piena):
f [MPa]
(20MPa) = 0,6 1 ck
= 0,6 1 0, 55 .
250 250 Verifica nei confronti dello schiacciamento della biella compressa di conglomerato
(taglio + torsione).
Si assume: 1,0 < cotg < 2,5 . Per la verifica delle bielle compresse di calcestruzzo si fissa
cotg = 2, 5 (con 21° 48 e sen 2 = 0,138 ), in modo da ottenere per VRd max il valore
minimo: VRd max = cw bm 0,9 h fcd 2, 5 0,138 0, 30 cw bm h fcd .
Ponendo, intanto, cw = 1, 0 per assenza di forze assiali, si ha:
VRd max = 0, 30 cw bm h fcd = 0, 30 1 (30 cm) ( 55, 4 cm) 0, 55 (113daN / cm 2 ) 30980 daN.
Ponendo sempre per sicurezza cotg = 2,5 , risulta per la sola torsione:
2 cw fcd t Ak 2 cw fcd t Ak
TRd 1 =
=
0,67 cw fcd t Ak =
cotg + tg
2,5 + 0,5
= 0,67 0,55 (113daN / cm 2 ) (10 cm) (1000 cm 2 ) 416400 daNcm .
Risultando:
2
2
2
2
VSd TSd (6500 daN ) (300000 daNcm) V + T = (30980 daN ) + (416400 daNcm) = 0,56 1
Rd 2
Rd 1
758
Documento #:
Doc_b10_(3_b).doc
la verifica è positiva e, in particolare, avendo computato VRd 2 ponendo il valore
maggiormente cautelativo di cotg = 2,5 , nella formula per il dimensionamento delle
armature al taglio è possibile utilizzare(4) un qualsiasi valore di cotg [1; 2,5] .
Calcolo armature al taglio (solo staffe).
Ponendo VRsd = VSd , si calcola (con cotg = 1, 0 ):
f VSd
(6500 daN)
1s =
=
3, 40 cm2 / m .
t s max 0,9 h fyd 0,9 (0, 554 m) (3830daN / cm2 )
taglio
Calcolo armature a torsione (sole staffe).
Utilizzando la relazione:
F
TSd TRd 2 = 2 Ak 1s fyd cotg ,
ts
imponendo TSd = TRd 2 e sostituendo i valori numerici, si ottiene (con cotg = 1 ):
F1s
ts max
=
TSd
(3,0 105 daNcm)
=
0,039 cm 2 / cm .
2 Ak fyd cotg 2 (1000 cm 2 ) (3830 daN / cm 2 ) 1
Pari a una sezione di armatura resistente per metro lineare:
2 F 1s
2 (0,039 cm 2 / cm) = 0, 078 cm2 / cm = 7,8 cm2 / m .
ts max torsione
Calcolo staffatura (taglio + torsione).
Agendo il taglio e la torsione contemporaneamente, la sezione complessiva di acciaio
resistente (staffe) per metro lineare dell’elemento strutturale deve risultare:
f 2 F 1s
1s +
= 3,40 cm 2 / m + 7,8 cm2 / m = 11, 20 cm 2 / m .
t s max ts max taglio
torsione
Adottando staffe del diametro di 10 mm, risulta un passo massimo:
f1 s
2 (0,79 cm 2 )
ts max =
=
0,14 m = 14 cm .
(11, 20 cm 2 / m) (11, 20 cm 2 / m)
Si adotta quindi un passo effettivo di 10 cm con una staffatura in ragione di 110 / 10 .
Risultando così:
0,75 h (1+ cotg ) = 0, 75 ( 55, 4 cm) (1+ cotg90°) 41 cm
ts minore dimensione della sezione Atot = b = 30 cm
pest 180 cm
=
= 22 cm.
8
8
La percentuale minima delle staffe (con sin = 1 ) risulta:
0,08 fck
0, 08 (20 MPa)
Asw bm sin = 100 (30 cm) 2,4 cm 2 / m .
= 100 s min
fyk
(440 MPa)
4
cotg = 2, 5 , il minimo quantitativo di armatura trasversale al taglio si calcola ponendo
cotg = 2, 5 . Volendo però, come anticipato nella nota ad inizio paragrafo, favorire un maggiore
Avendo verificato il puntone per
nella relativa formula
quantitativo di staffe allo scopo di conferire al conglomerato in compressione una migliore cerchiatura, si è scelto
cotg = 1 . Inoltre, si noti che allaumentare di cotg si riduce la quantità di staffe necessarie ma si aumenta quella
delle barre longitudinali.
759
Documento #:
Doc_b10_(3_b).doc
Avendo adottato s = ts = 10 cm e con Asw = 2 F1s = 2 (0,79 cm 2 ) = 1, 58 cm2 , si calcola(5):
2 F1s 1, 58 cm2
= 15, 8 cm 2 / m > 2,4 cm2 / m .
=
0,10 m
ts Calcolo armature a torsione (longitudinali aggiuntive).
Uguagliando TSd = TRd 2 e sostituendo i valori numerici, si ottiene (mantenendo cotg = 1 ):
( F )
il
min
=
TSd u k cotg
(3,0 105 daNcm) (140 cm) 1
=
5, 5 cm 2 .
2 (1000 cm 2 ) (3830 daN / cm2 )
2 Ak f yd
Utilizzando 4 barre agli spigoli e 4 barre di parete (per un totale di 8 barre), si ha:
( F )
5,5 cm 2
0,7 cm 2 .
8
8
Si dispongono(6) barre di diametro pari a 12 mm: 1 12 = 1,13 cm 2 > 0,7 cm 2 . Le barre
aggiuntive così disposte distano tra loro meno di 35 cm. In particolare, conviene sostituire alle
barre longitudinali d’angolo ( 22 ) delle barre di diametro pari a 26 mm. Infatti:
il
min
=
126 = 5, 30 cm2 > 122 + 112 = ( 3,80 cm 2 ) + (1,13 cm2 ) = 4,93 cm 2 .
Si riporta, nella figura 12.20, una proposta di carpenteria esecutiva della sezione progettata.
Inserire figura:
ILLUSTRAZIONI\ARTS Tiff(cap 12)\Figura 12_20.tif
Figura 12.20 – Proposta di carpenteria esecutiva della sezione progettata.
5
Notare che, avendo utilizzato per il minimo dellarmatura trasversale la formulazione introdotta al paragrafo 9.2.2 della Norma,
relativamente allarmatura al taglio, è necessario esprimere la staffatura presente come se si trattasse del taglio. Infatti, al
punto 9.2.3.(2) per il calcolo dei minimi di armatura per la torsione, la Norma rimanda alla formulazione 9.2.2(5) propria del
taglio.
6
Vedere osservazioni nellanalogo esempio 7.
760
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