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Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie
orientata
Teorema della divergenza (Gauss)
Teorema del rotore (Stokes)
Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2.
Divergenza e rotore
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Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie
orientata
Definizione
→
−
Il flusso di un campo vettoriale F attraverso la superficie S
→
−
orientata dal vettore normale unitario n e`
Z
→
− →
−
F · n dS
S
Si tratta di un integrale ‘orientato’: se si orienta S mediante il
→
−
versore normale opposto − n , l’integrale di flusso cambia
segno.
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Divergenza e rotore
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Esempio
→
−
→
−
r
Calcolare il flusso di F = →
− 3 uscente dalla superficie sferica
|r |
→
−
S di centro l’origine e raggio a, dove r e` il vettore di posizione:
→
−
r (x, y , z) = xi + yj + zk.
La normale unitaria a S che punta verso l’esterno e`
→
−
→
−
r
r
→
−
2
n = →
− = a . L’elemento d’area e` dS = a sin φ dφ dθ.
|r |
Dunque l’integrale e`
Z
→
−
→
−
r
r
2
·
→
− 3 →
− a sin φ dφ dθ =
|r | |r |
1 2
a
a2
S
= 4π
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Divergenza e rotore
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Z
2π
Z
dθ
0
π
sin φ dφ
0
Esempio (Elemento di area vettoriale)
Per una superficie parametrizzata orientabile r = r(u, v ), i due
possibili versori normali e il dS sono dati da
∂r
∂r
∂r
× ∂v
∂r n = ± ∂u
×
dS
=
du dv
∂u
∂r × ∂r ∂v ∂u
∂v
Denotiamo dS il vettore n dS,‘elemento di area vettoriale’ . Abbiamo
∂r
∂r
×
du dv
dS = n dS = ±
∂u
∂v
In particolare, se S e` il grafico di z = f (x, y ), parametrizzato come
r(u, v ) = (u, v , f (u, v )), si ha
∂f
∂f
dS = n dS = ± − i −
j + k du dv
∂u
∂v
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Divergenza e rotore
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Esempio
Calcolare il flusso di F = y i − xj + 7k attraverso la superficie
z = 1 − x 2 − y 2 , z ≥ 0, orientata verso l’alto.
Una parametrizzazione per la superficie e`
r(x, y ) = (x, y , 1 − x 2 − y 2 )
(x, y ) ∈ D, dove D e` il disco di centro l’origine e raggio 1. Si ha:
n dS = dS = (2xi + 2yj + k) dx dy. Quindi
Z
Z
F · dS =
(2xy − 2xy + 7) dx dy
S
x 2 +y 2 ≤1
= 7(Area del disco D)
= 7π
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Divergenza e rotore
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Divergenza di un campo vettoriale
Definizione
Sia F un campo vettoriale di classe C 1 su un aperto U di R3 :
F
U −→ R3 ,
F(x, y, z) = (f1 (x, y, z), f2 (x, y , z), f3 (x, y , z))
` a valori in R)
La divergenza di F e` la funzione scalare (cioe,
div F =
∂f1
∂f2
∂f3
+
+
∂x
∂y
∂z
∂ ∂ ∂
,
,
) = (D1 , D2 , D3 ), dove D1 , D2 , D3 sono gli
∂x ∂y ∂z
operatori di derivata parziale rispetto alle corrispondenti variabili, si ha
Posto ∇ = (
div F = ∇ · F
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Divergenza e rotore
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Teorema della divergenza (Gauss)
Teorema (Teorema della divergenza (Gauss, 1813))
Sia V un dominio compatto in R3 , il cui bordo ∂V = S sia una
superficie liscia a tratti. Fissiamo sulla superficie ∂V l’orientazione
normale n che punta verso l’esterno. Sia F un campo vettoriale liscio
su un aperto U ⊂ R3 che includa V . Allora
Z
Z
=
div F dV
F · n dS
∂V
| {z }
Flusso di F attraverso ∂V
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Divergenza e rotore
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V
|
{z
}
Integrale triplo di div F su V
Interpretazione infinitesimale intuitiva della divergenza
Dal teorema della divergenza segue una importante interpretazione
della divergenza.
La divergenza e` una densita` volumetrica di flusso, cioe` un flusso per
unita` di volume:
(div F)(X ) =
Flusso attraverso un cubetto ∆V attorno al punto X
volume del cubetto ∆V
quando il cubetto ∆V e` molto piccolo.
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Divergenza e rotore
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Interpretazione piu` rigorosa della divergenza
In termini piu` rigorosi, siano: P un parallelepipedo generato da tre
vettori a, b, c, uscenti dal punto X ; V il volume di P; ε P il
parallelelpipedo generato da ε a, ε b, ε c. Allora la densita` di sorgente
`
nel punto X e:
(div F)(X ) = lim
ε→0
Flusso di F attraverso ε P
ε3 V
Questo limite non dipende dalla scelta del parallelepipedo P.
c
X
εP
a
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Divergenza e rotore
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b
P
Rotore di un campo vettoriale
Definizione
Sia F un campo vettoriale di classe C 1 su un aperto U di R3 :
F
U −→ R3 ,
F(x, y, z) = (f1 (x, y, z), f2 (x, y , z), f3 (x, y , z))
Il rotore di F e` il campo vettoriale
rot F = (D2 f3 − D3 f2 , D3 f1 − D1 f3 , D1 f2 − D2 f1 )
Simbolicamente,
e1
rot F = ∇ × F = det D1
f1
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Divergenza e rotore
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e2
D2
f2
e3
D3
f3
Teorema del rotore
Teorema (Teorema del rotore (Stokes, 1854))
Sia S una superficie in R3 liscia a tratti, compatta, orientata dal
campo vettoriale normale unitario n. Supponiamo che il bordo
C = ∂S sia costituito da una o piu` curve chiuse, lisce a tratti.
Orientiamo ∂S in modo tale che le orientazioni su S e ∂S siano
compatibili tra loro. Sia F un campo vettoriale liscio su un aperto
U ⊂ R3 che includa S. Allora
Z
Z
rot F · n dS
=
F
∂S
| {z }
Lavoro di F lungo ∂S
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Divergenza e rotore
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S
|
{z
}
Flusso di rot F attraverso S
Interpretazione del rotore (1)
Fissiamo un punto p ∈ R3 e due vettori w1 , w2 nello spazio tangente
R3p . Denotiamo Pε il parallelogramma orientato determinato dai due
vettori εw1 , εw2 .
Allora, a meno di un o(ε2 ), al volume orientato
Z
v = Vol ((rot v)(p), εw1 , εw2 )
∂Pε
=
[(rot v)(p) · n] Area(Pε )
dove n e` il vettore unitario normale a Pε tale che la base (n, εw1 , εw2 )
sia positivamente orientata), e` il flusso di (rot v)(p) attraverso il
parallelogramma orientato Pε .
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Divergenza e rotore
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Interpretazione del rotore (2)
Z
v =
[Volume ((rot v)(p), εw1 , εw2 )] + o(ε2 )
∂Pε
[Flusso di (rot v)(p) attraverso Pε ] + o(ε2 )
εw2
p
εw1 ∂Pε
Lavoro di v lungo ∂Pε
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Divergenza e rotore
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v
v
(ro
t
v)(
p
)
=
p
Pε
εw2
εw1
=
Vol ((rot v)(p), εw1 , εw2 ) + o(ε2 )
=
Flusso di (rot v)(p) attraverso Pε +o(ε2 )
Esempio
Sia C la curva intersezione del cilindro x 2 + y 2 = 1 e del piano
z = −2x − 2y + 3, orientata in modo tale che la sua Zproiezione sul
F, dove
piano xy sia orientata in senso antiorario. Calcolare
C
F = −y 3 i + x 3 j − z 3 k
C = ∂S, dove S e` un disco ellittico sul piano z = −2x − 2y + 3. Su
questo piano, grafico di z = g(x, y),
q
q
dS = gx2 + gy2 + 1 dx dy = (−2)2 + (−2)2 + 1 dx dy = 3 dx dy
1
(2, 2, 1) e rot F = 3(x 2 + y 2 )k, per Stokes:
3
Z
Z
Z
Z 1
3
2
2
F = rot F · n dS =
3(x + y ) dx dy = 2π
3r 2 r dr = π
2
C
D
0
Poiche´ n =
S
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Divergenza e rotore
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Esempio
Z
∇ × F · n dS, dove S e` la superficie
Calcolare
S
x 2 + y 2 + (z − 2)2 = 8, z ≥ 0, orientata verso l’alto, e
F = y 2 cos xz i + x 3 eyz j − e−xyz k
Il bordo di S e` la circonferenza C: x 2 + y 2 = 4, z = 0, orientata in
senso antiorario. La stessa C e` anche bordo del disco D:
x 2 + y 2 ≤ 4, z = 0, orientato da k. Su D, vale (∇ × F) · n = 3x 2 − 2y
Per Stokes:
Z
Z
Z
∇ × F · n dS =
∇ × F · n dx dy = (3x 2 − 2y) dx dy
S
D
Z
=
D
3x 2 dx dy = 3
D
Z
( y dx dy = 0 per simmetria).
D
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Divergenza e rotore
15/15
Z
0
2π
cos2 θ dθ
Z
0
2
r 3 dr = 12π
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