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Appunti di calcolo integrale

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Appunti di calcolo integrale
parte II
prof. Paolo Sarti
Liceo Scientifico “A. Volta” - Milano
18 aprile 2014
Integrale definito
Data una funzione y = f (x), continua nell’intervallo I = [a, b], si
chiama trapezoide la figura curvilinea piana delimitata:
dal grafico della funzione y = f (x)
dall’immagine di I sull’asse x
dalle rette di equazioni: x = a e x = b.
prof. Paolo Sarti
Appunti di calcolo integrale
Integrale definito
Vogliamo stimare (per eccesso e per difetto) l’area A del
trapezoide di una funzione y = f (x), continua e non-negativa
nell’intervallo I = [a, b].
prof. Paolo Sarti
Appunti di calcolo integrale
Integrale definito
La stima elementare `e: m · (b − a) ≤ A ≤ M · (b − a).
prof. Paolo Sarti
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Integrale definito
Con un punto di divisione si ottiene:
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Integrale definito
Con 2 punti di divisione si ottiene:
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Integrale definito
Con 3 punti di divisione si ottiene:
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Integrale definito
Con 5 punti di divisione si ottiene:
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Integrale definito
Con 10 punti di divisione si ottiene:
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Integrale definito
Con 20 punti di divisione si ottiene:
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Integrale definito
Con 50 punti di divisione si ottiene:
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Integrale definito
Al crescere del numero n dei punti di divisione:
l’ampiezza di ogni sub-intervallo diminuisce
la somma delle aree dei rettangoli azzurri diminuisce
la somma delle aree dei rettangoli rossi aumenta.
prof. Paolo Sarti
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Integrale definito
Se:
lim Adifetto = lim Aeccesso = A ∈ R,
n→+∞
n→+∞
allora f (x) `e integrabile in [a, b] e:
Z
A=
b
f (x) dx
a
`e l’integrale definito di f (x) su [a, b].
prof. Paolo Sarti
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Integrale definito e area
Se f (x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b], l’area A del trapezoide coincide con
il valore dell’integrale definito:
Z
A=
b
f (x) dx.
a
prof. Paolo Sarti
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Integrale definito e area
Esempio:
Z
π
sin x dx = 2
A=
0
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Integrale definito e area
Se f (x) ≤ 0 ∀x ∈ [a, b], l’integrale definito ha valore opposto
all’area A del trapezoide, quindi:
Z b
Z b
Z b
A=
|f (x)| dx =
[−f (x)] dx = −
f (x) dx.
a
a
prof. Paolo Sarti
a
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Integrale definito e area
Esempio:
Z
2π
sin x dx = −2,
π
quindi l’area del trapezoide `e A = −(−2) = +2.
prof. Paolo Sarti
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Integrale definito e area
Se la funzione cambia segno nell’intervallo [a, b], questo va
sezionato in modo da ricondursi alle situazioni precedenti.
prof. Paolo Sarti
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Integrale definito e area
Esempio:
Z
2π
sin x dx = −1,
π/2
mentre l’area del trapezoide `e:
Z π
Z 2π
A=
sin x dx +
| sin x| dx = 1 + 2 = 3.
π/2
π
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Integrale definito: propriet`a
Additivit`a (rispetto alla funzione integranda)
Z
b
Z
[f (x) + g (x)] dx =
a
b
Z
b
f (x) dx +
a
g (x) dx.
a
Omogeneit`a
Z
b
Z
k · f (x) dx = k ·
a
b
f (x) dx.
a
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Integrale definito: propriet`a
Additivit`a (rispetto all’intervallo d’integrazione)
Z
∀c ∈ [a, b]
b
Z
f (x) dx =
a
c
Z
f (x) dx +
a
Se gli estremi coincidono, l’integrale si annulla:
Z a
f (x) dx = 0.
a
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b
f (x) dx.
c
Integrale definito: propriet`a
Invertendo l’ordine degli estremi, l’integrale cambia segno:
b
Z
Z
f (x) dx = −
a
a
f (x) dx.
b
Calcolo dell’integrale definito. Se F (x) `e una primitiva di f (x):
Z
b
f (x) dx = F (b) − F (a).
a
(Formula di Newton-Leibniz)
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Integrale definito: propriet`a
Monotonia I. Se ∀x ∈ I = [a, b] risulta: f (x) ≤ g (x) e queste
sono ambedue integrabili in I , allora:
Z
b
b
Z
f (x) dx ≤
a
g (x) dx.
a
Monotonia II. Se f (x) `e integrabile in I , allora lo `e anche
|f (x)| e risulta:
Z b
Z b
f (x) dx ≤
|f (x)| dx.
a
a
N.B.: vale l’uguale quando f (x) ha segno costante in I .
prof. Paolo Sarti
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Integrale definito: propriet`a
Teorema (della media integrale)
Sia y = f (x) una funzione continua in I = [a, b]. Allora esiste
almeno un punto x0 ∈ I tale che:
Z
b
f (x) dx = (b − a) · f (x0 ).
a
La quantit`a f (x0 ) `e detta media integrale di f (x) in I .
prof. Paolo Sarti
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Il teorema della media integrale
Il teorema della media determina un rettangolo avente:
la stessa area del trapezoide
base uguale a b − a
altezza uguale alla media integrale f (x0 ).
prof. Paolo Sarti
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Il teorema della media integrale
Ad esempio, la media integrale di y = sin x in [0, π] `e data da:
Rπ
sin x dx
2
sin x0 = 0
= ,
π
π
da cui:
x0 = arcsin(2/π) ' 39, 5◦ .
prof. Paolo Sarti
Appunti di calcolo integrale
Il teorema della media integrale
Graficamente:
prof. Paolo Sarti
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Il teorema della media integrale
Il teorema di Lagrange per una funzione y = ϕ(x) in I afferma che:
∃x0 ∈ [a, b] |
ϕ0 (x0 ) =
ϕ(b) − ϕ(a)
.
b−a
Se ϕ(x) `e una primitiva di f (x), allora ϕ0 (x) = f (x) e si ottiene:
Rb
∃x0 ∈ [a, b] |
f (x0 ) =
a
f (x) dx
,
b−a
cio`e il teorema della media integrale per f (x) in [a, b].
prof. Paolo Sarti
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Premessa
Il valore di un integrale definito non dipende dalla variabile
d’integrazione:
Z
b
Z
f (x) dx =
a
b
Z
a
prof. Paolo Sarti
b
f (z) dz = · · ·
f (t) dt =
a
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Funzione integrale
Sia f (x) integrabile in I = [a, b]. La funzione Φ(x) che associa ad
ogni x ∈ I l’integrale di f da a a x, si chiama funzione integrale.
Z x
Φ(x) =
f (t) dt.
a
N. B.: la dipendenza da x `e contenuta nell’estremo superiore.
prof. Paolo Sarti
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Teorema di Torricelli-Barrow
Teorema
Sia f (x) continua in I = [a, b] e sia x un punto interno ad esso.
Allora la funzione integrale:
Z x
Φ(x) =
f (t) dt
a
`e derivabile e risulta: Φ0 (x) = f (x), cio`e Φ(x) `e quella primitiva di
f (x) che si annulla quando x = a.
prof. Paolo Sarti
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Teorema di Torricelli-Barrow
Il teorema ha grande importanza per due ragioni:
1
stabilisce il legame tra integrale definito e indefinito
2
permette di calcolare l’integrale definito.
prof. Paolo Sarti
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Teorema di Torricelli-Barrow
1. Poich`e:
Z
f (x) dx = F (x) + k,
dal teorema di Torricelli-Barrow segue subito:
Z
Z
f (x) dx =
x
f (t) dt + k.
a
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Teorema di Torricelli-Barrow
2. La generica primitiva di f (x) ha la forma:
Z x
F (x) =
f (t) dt + k.
a
Risulta allora:
Z
F (b) =
b
Z
f (t) dt + k,
a
F (a) =
a
f (t) dt + k;
a
prof. Paolo Sarti
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Teorema di Torricelli-Barrow
Si ottiene allora:
Z
b
F (b) =
f (t) dt + F (a),
a
cio`e la formula di Newton-Leibniz:
b
Z
f (t) dt = F (b) − F (a).
a
Ricorda! il valore di un integrale definito `e indipendente dalla variabile
d’integrazione:
Z b
Z b
Z b
f (t) dt =
f (x) dx = · · · =
f (z) dz.
a
a
prof. Paolo Sarti
a
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