Massimo Giulietti
Curriculum dell’attivit`
a scientifica e didattica
Informazioni personali
Data di nascita
7/12/1971
Luogo di nascita
Cant`
u (CO)
Residenza
Perugia
Posizione attuale
Professore Associato
Dipartimento di Matematica e Informatica
Universit`
a degli studi di Perugia
settore scientifico-disciplinare MAT/03 Geometria
Abilitato alle funzioni di professore di prima fascia nel settore concorsuale 01/A2
- Bando ASN 2012 (DD n. 222/2012). Validit`a abilitazione: dal 24/12/2013 al
24/12/2017.
Contatti
Dipartimento di Matematica e Informatica
Universit`
a degli Studi di Perugia
Via Vanvitelli, 1 - 06123 Perugia
Telefono: 0755855021 Fax: 0755855024 e-mail: [email protected]
http://www.dipmat.unipg.it/∼giuliet
1 Curriculum sintetico
Ricerca.
La sua attivit`
a di ricerca si colloca principalmente nell’ambito delle Geometrie di Galois ed `
e
finalizzata allo studio degli enti di spazi finiti e delle loro propriet`a (combinatorie, algebriche e
gruppali), anche in relazione a significative applicazioni alla teoria dei codici e alla crittografia.
Alle Geometrie di Galois si riconducono alcune tematiche interdisciplinari di grande rilievo,
come quella relativa al numero dei punti razionali di una curva algebrica definita sopra un campo
finito, nel cui studio si sono dimostrati particolarmente efficaci quegli strumenti sviluppati nelle
Geometrie di Galois che interagiscono con la Combinatoria, la Teoria dei Gruppi, la Teoria dei
Numeri e la Geometria Algebrica sopra campi finiti.
Massimo Giulietti `
e autore di 54 pubblicazioni, di cui 44 in riviste ISI e 18 in riviste di Classe
1 secondo la classificazione VQR 2004-2010 (nei settori Logica matematica, Algebra, Geometria
o Computer Science). Ha conseguito nel dicembre 2013 l’abilitazione alle funzioni di professore
di prima fascia nel settore concorsuale 01/A2. I suoi indicatori bibliometrici, calcolati sia con
il database Scopus che con il database Web Of Science, superano le tre mediane ANVUR del
settore concorsuale 01/A2 per candidati Commissari ASN (Bando 2012).
` stato invitato come plenary speaker in convegni internazionali, fra cui British Combinatorial
E
` stato invitato all’estero
Conference 2013, Combinatorics 2014 e Third Irsee Conference 2011. E
per periodi di ricerca e/o seminari in diverse occasioni. Ha svolto attivit`
a di referaggio per 18
riviste internazionali, di cui 5 di Classe 1 secondo la classificazione VQR 2004-2010.
1
` stato selezionato dall’American Mathematical Society come referee per un progetto di ricerca
E
` stato inoltre selezionato dall’Istituto Nazionale di
finanziato dalla National Security Agency. E
Alta Matematica per la VQR 2004-2010.
Ha tenuto corsi di Dottorato di ricerca, in Italia e all’estero, e ha supervisionato l’attivit`
a di 4
studenti di Dottorato delle Universit`
a di Perugia, della Basilicata, di Trento e della Sabanci University di Istanbul. Dal presente anno accademico `e membro del Collegio docenti del Dottorato
in Matematica, Informatica e Statistica istituito in consorzio dall’Universit`a di Firenze, dall’Universit`
a di Perugia e dall’Istituto Nazionale di Alta Matematica, con sede amministrativa presso
l’Universit`
a di Firenze.
Attualmente `e Responsabile Scientifico dell’unit`a di ricerca di Perugia del Progetto Cofinanziato
Interuniversitario P.R.I.N. “Geometrie di Galois e Strutture di Incidenza” (coordinatore nazionale
G. Lunardon).
Didattica.
Dall’A.A. 1999/2000 `e stato titolare di 52 insegnamenti presso i corsi di Laurea in Matematica,
Informatica, Chimica, Farmacia, Scienze Geologiche, Controllo di qualit`
a nel S.I.F.A. e Ingegneria per l’Ambiente e il Territorio dell’Universit`
a degli Studi di Perugia. Ha inoltre tenuto due
` stato relatore di 19 tesi di Laurea.
corsi per Master di I livello. E
Negli ultimi quattro anni accademici la media delle valutazioni degli studenti `e stata 8.85 per i
corsi di Laurea Triennale e 8.4 per i corsi di Laurea Magistrale.
Ha tenuto cicli di lezioni in corsi di laurea esteri nell’ambito del Progetto Erasmus e conferenze
per borsisti dell’Istituto Nazionale di Alta Matematica.
Ha svolto attivit`
a di orientamento per studenti delle scuole secondarie superiori nell’ambito di
diversi progetti, fra cui il “Progetto Lauree Scientifiche” in diversi anni accademici e “Le mani in
pasta nella scienza” nel 2011. Fra il 2008 e il 2011 ha tenuto diverse conferenze nell’ambito delle
Settimane della cultura scientifica e tecnologica organizzate dalla Facolt`
a di Scienze Matematiche
Fisiche e Naturali dell’Universit`
a degli studi di Perugia.
Ha tenuto una Conferenza Generale nell’ambito della II Festa di Scienza e Filosofia - Virtute e
Canoscenza nel maggio 2012.
Attivit`
a organizzativa e di coordinamento.
` attualmente responsabile Scientifico dell’unit`a di ricerca di Perugia del Progetto Cofinanziato
E
Interuniversitario P.R.I.N. “Geometrie di Galois e Strutture di Incidenza” (coordinatore nazionale
G. Lunardon).
` attualmente Delegato del Direttore per il settore Ricerca del Dipartimento di Matematica e
E
Informatica dell’Universit`
a di Perugia.
` attualmente Responsabile della Qualit`a per il corso di Laurea Magistrale in Matematica dell’UE
niversit`a di Perugia.
` stato membro di comitati organizzatori di convegni internazionali e del comitato organizzatore
E
locale dei Corsi estivi SMI (Scuola Matematica Interuniversitaria) 2013.
` stato Commissario in procedure di valutazione comparativa per il ruolo di Ricercatore UniE
versitario, Commissario in Esami di ammissione al Dottorato di ricerca e Commissario in esami
finali per il conseguimento del Dottorato di ricerca, in Italia e all’estero.
2
` attualmente membro della Commissione per la Didattica Assistita dei Corsi di Studio in MateE
matica dell’Universit`
a di Perugia.
` stato rappresentante eletto dei Ricercatori nei Consigli di Facolt`
E
a di Ingegneria (dal 2002 al
2005) e di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali (dal 2006 al 2010).
2 Curriculum dettagliato
Istruzione e formazione
Aprile 2001
Dottorato di ricerca in Matematica
Universit`
a degli Studi di Firenze
Tesi: Complete Arcs in Projective Planes over Finite Fields
Direttori della ricerca: Prof. G. Faina, Prof. G. Korchm´aros
Luglio 1995
Laurea in Matematica
Universit`
a degli Studi di Perugia
Tesi: Archi e calotte completi nello spazio proiettivo n-dimensionale sopra un campo
di Galois e loro interpretazione come codici lineari
Relatori: Prof. G. Faina, Prof.ssa E. Ughi
Voto: 110/110 e Lode
Media esami di profitto: 30/30
1994–2005
Scuole di Matematica:
– Scuola Estiva di Geometrie Combinatorie organizzata dall’Universit`a della Basilicata, Potenza, 5–9 settembre 2005.
– Scuola Estiva di Geometrie Combinatorie organizzata dall’Universit`a della Basilicata, Potenza, 1–6 settembre 2003.
– Workshop Curves over Finite Fields, Sabanci University, Istanbul, 2 – 8 settembre
2002.
– Scuola Estiva di Geometrie Combinatorie organizzata dall’Universit`a della Basilicata e dal Politecnico di Bari, Ascea Marina (SA), 3–8 settembre 2001.
– Scuola Estiva Elliptic Curves, Finite Fields and Cryptography organizzata dall’Universit`
a di Oslo, Nordfjordeid, 7–11 agosto 2000.
– Corso Intensivo Galois Geometries and Generalized Polygons organizzato dall’Universit`
a di Gent (Belgio), Gent, 14–25 aprile 1998.
– Scuola Estiva di Geometrie Combinatorie organizzata dall’Universit`a degli Studi
della Basilicata, Bella (PZ), 2–13 settembre 1997.
– Scuola Estiva di Geometrie Combinatorie organizzata dall’Universit`a degli Studi
della Basilicata, Bella (PZ), 24–29 luglio 1995.
– Scuola Estiva di Geometria Combinatoria organizzata dall’Universit`a Cattolica del
Sacro Cuore di Brescia, Eremo di Bienno (BS), 17–23 luglio 1994.
3
Premi e Borse
1995
Borsa di studio C.N.R. per laureandi di cui al bando n. 209.01.60.
1990
Nominato Alfiere del Lavoro dalla Federazione Nazionale dei Cavalieri del Lavoro (per
una descrizione dell’iniziativa si veda http://www.cavalieridellavoro.it/att4.php)
Servizi prestati negli atenei
Abilitato alle funzioni di professore di prima fascia nel settore concorsuale 01/A2 - Bando ASN 2012 (DD n. 222/2012). Validit`a abilitazione: dal
24/12/2013 al 24/12/2017.
28/12/2012–oggi
Professore Associato
Dipartimento di Matematica e Informatica
(fino al 31/12/2013: Facolt`
a di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali)
Universit`
a degli studi di Perugia
Settore scientifico-disciplinare MAT/03 Geometria
01/01/2006–27/12/2012
Ricercatore confermato
Facolt`
a di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali
Universit`
a degli studi di Perugia
Settore scientifico-disciplinare MAT/03 Geometria
15/10/1999–31/12/2005
Ricercatore (Ricercatore confermato a decorrere dal 15/10/2002)
Facolt`
a di Ingegneria
Universit`
a degli studi di Perugia
Settore scientifico-disciplinare MAT/03 Geometria (ex A01C)
7/1995-10/1995
Fruitore di Borsa di studio C.N.R. per laureandi, prorogata fino al 31/10/1995
dopo il conseguimento della Laurea del 10/07/1995, presso il Dipartimento di Matematica e Informatica dell’Universit`
a degli studi di Perugia.
Attivit`
a di ricerca
Invited talks in convegni nazionali e internazionali
1–6 giugno 2014
Combinatorics 2014. Gaeta. Galois geometries and algebraic curves over
finite fields. (Main Speaker)
11–15 novembre 2013
Workshop on Algebraic curves over finite fields - Special Semester on
Applications of Algebra and Number Theory. Johann Radon Institute for
Computational and Applied Mathematics - Austrian Academy of Sciences,
Linz (Austria). Good covering codes from algebraic curves. (Main Speaker)
2–6 luglio 2013
24th British Combinatorial Conference. Royal Holloway - University of
London (Regno Unito). The geometry of covering codes: small complete
caps and saturating sets in Galois spaces. (Main Speaker)
19–25 giugno 2011
Finite Geometries - Third Irsee Conference. Irsee (Germania). Maximal
curves over a finite field. (Main Speaker)
4
4 marzo 2011
Giornata di Geometria. Vicenza. Curve algebriche sopra campi finiti con
molti punti razionali. (Main Speaker)
4–5 dicembre 2009
2nd Belgian Mathematical Society - London Mathematical Society Conference.
Katholieke Universiteit Leuven (Belgio). Large automorphism groups of
algebraic curves in positive characteristic.
Corsi di Dottorato tenuti, in Italia e all’estero
A.A. 2013/2014
Curve algebriche in caratteristica positiva e applicazioni, tenuto a Firenze nell’ambito del Dottorato in “Matematica, Informatica, Statistica” - Firenze - Perugia INdAM, 13 dicembre 2013–17 febbraio 2014.
A.A. 2011/2012
Maximal Curves, tenuto a Trento nell’ambito della Ph.D. School on Groebner Bases, Curves, Codes and Cryptography, Dipartimento di Matematica dell’Universit`
a
degli Studi di Trento, 30 luglio– 10 agosto 2012.
A.A. 2006/2007
Algebraic Curves and their Applications to Cryptography, tenuto a Szeged (Ungheria) nell’ambito del Dottorato Internazionale “J. Bolyai ” Doctoral Seminar,
sedi consorziate Universit`
a di Szeged, Universit`
a della Basilicata, Universit`
a di
Perugia, Politecnico di Bari.
A.A. 2004/2005
Curve ellittiche e Crittografia, nell’ambito del Dottorato in Matematica e Informatica per l’elaborazione e la rappresentazione dell’informazione e della conoscenza
dell’Universit`
a degli studi di Perugia
Soggiorni all’estero su invito
18/4/2012–22/4/2012
Bolyai Institute, University of Szeged, Szeged, Ungheria (su invito di G.
Nagy).
17/1/2008–20/1/2008
Sabanci University, Istanbul, Turchia (su invito di H. Stichtenoth).
5/5/2003–12/5/2003
Sussex University, Brighton, Regno Unito (su invito di J.W.P. Hirschfeld).
17/4/2002–29/5/2002
Sussex University, Brighton, Regno Unito (su invito di J.W.P. Hirschfeld).
26/7/2001–4/8/2001
UNICAMP (Universit`a di Campinas), Campinas, Brasile (su invito di F. Torres).
Comunicazioni a Convegni: contributed talks
9–13 settembre 2013
Eurocomb 2013, Pisa. Quasi-perfect linear codes from plane cubics.
10–14 giugno 2013
Finite Geometry Conference and Workshop, Szeged (Ungheria). Small complete caps and saturating sets in Galois spaces, I.
25–29 settembre 2009
Workshop on curves, sequences and codes, Antalya (Turchia). On maximal
curves with Frobenius dimension 3.
25–29 maggio 2009
Galois Geometries and Applications 2009, Ghent (Belgio). AG codes from
certain maximal curves.
22–28 giugno 2008
Combinatorics 2008, Costermano. Arcs in AG(2, q) determining few directions.
5
1–2 febbraio 2007
Giornate di Geometria, Caserta. Codici lineari, archi, calotte, ricoprimenti e
loro generalizzazioni.
10–16 settembre 2006
Finite Geometries Second Irsee Conference, Irsee (Germania). Small complete caps in Galois affine spaces.
25 giugno–1 luglio 2006 Combinatorics 2006, Ischia. Point sets meeting every external line to a conic
in exactly one point.
13–14 gennaio 2006
IV Convegno annuale del Dipartimento di Matematica e Informatica dell’Universit`a degli Studi di Perugia. Calotte complete di cardinalit`
a bassa in spazi
affini di Galois.
22–24 settembre 2005
Giornate di Geometria, Vicenza. Calotte di traslazione.
7–8 febbraio 2005
Giornate di Geometria, Messina. Blocking sets di ordine minimo delle secanti
di un k-arco di P G(2, q).
12–18 settembre 2004
Combinatorics 2004, Acireale. On affinely regular polygons in AG(2, q).
3–4 ottobre 2003
II Convegno annuale del Dipartimento di Matematica e Informatica dell’Universit`a degli Studi di Perugia. Gruppi di automorfismi di curve algebriche
in caratteristica positiva.
1–7 giugno 2003
Third Pythagorean Conference, Faliraki, Rodi (Grecia). Large arcs in PG(2,q).
2–8 giugno 2002
Combinatorics 2002, Maratea. On the number of rational points of a plane
algebraic curve.
1–6 luglio 2001
XVIII British Combinatorial Conference, Brighton (UK). On the completeness
of certain (n; k, k − 2)-sets in P G(k − 1, q).
28 maggio–3 giugno 2000 Combinatorics 2000, Gaeta. On complete arcs arising from plane curves.
13–18 settembre 1999
XVI Congresso UMI, Napoli. Sulla completezza di certi archi piani contenuti
in curve cubiche.
14–20 giugno 1998
Combinatorics 98, Mondello. On cyclic k-arcs of Singer type in P G(2, q).
Seminari dipartimentali in Italia e all’estero
20 febbraio 2014
Codici di ricoprimento da curve algebriche. Dipartimento di Matematica e Applicazioni R. Caccioppoli, Universit`
a degli Studi Federico II di Napoli (nell’ambito
del Seminario Strutture Geometriche e Combinatorie e loro Applicazioni).
19 aprile 2012
Small complete caps in Galois spaces from bicovering arcs. Bolyai Institute, University of Szeged, Ungheria (nell’ambito del Seminario di Geometria B´ela Ker´ekj´
art´o).
10 febbraio 2010
Curve algebriche con molti automorfismi. Dipartimento di Matematica e Applicazioni R. Caccioppoli, Universit`
a degli Studi Federico II di Napoli (nell’ambito del
Seminario Strutture Geometriche e Combinatorie e loro Applicazioni).
6 novembre 2007
Automorfismi di curve algebriche in caratteristica positiva. Dipartimento di Matematica e Informatica, Universit`
a degli Studi di Perugia.
6
18 settembre 2007
Large Automorphism Groups of Algebraic Curves in Positive Characteristic. Fachbereich Mathematik, Universit`
a di Amburgo, Germania (nell’ambito delle attivit`
a
del Gruppo di Ricerca Fragen zur Geometrie).
11 ottobre 2006
Calotte complete in spazi di Galois e codici lineari quasi-perfetti. Dipartimento di
Matematica e Applicazioni R. Caccioppoli, Universit`
a degli Studi Federico II di
Napoli (nell’ambito del Seminario Strutture Geometriche e Combinatorie e loro
Applicazioni).
14 maggio 2004
Goppa codes and curves with many points. Department of Geometry, E¨
otv¨
os
University, Budapest, Ungheria.
6 maggio 2004
Kodierungstheorie (Coding Theory) Fachbereich Mathematik, Universit`
a di Amburgo, Germania (nell’ambito delle attivit`
a del Gruppo di Ricerca Fragen zur
Geometrie).
28 febbraio 1998
Curve algebriche in caratteristica positiva e campi di funzioni algebriche. Dipartimento di Matematica e Informatica, Universit`
a degli Studi di Perugia.
Membro di comitati organizzatori di convegni internazionali
CP2011 - 17th International Conference on Principles and Practice of Constraint Programming.
Perugia, 12-16 settembre 2011.
Combinatorics 2012. Perugia, 9-15 settembre 2012.
Altre attivit`
a organizzative
Membro del comitato organizzatore locale dei Corsi estivi SMI 2013 (Scuola Matematica Universitaria) - Perugia, 29 luglio-30 agosto 2013.
Referee di articoli di ricerca per le seguenti riviste internazionali
Transactions of the American Mathematical Society
Journal of Combinatorial Theory, Ser. A
Designs, Codes and Cryptography
Advances in Geometry
Finite Fields and Their Applications
IEEE Transactions on Information Theory
Journal of Number Theory
SIAM Journal on Discrete Mathematics
Discrete Mathematics
Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing
Science China Mathematics
Journal of Algebra and its Applications
Australasian Journal of Combinatorics
7
Innovations in Incidence Geometry
Annals of Mathematics and Artificial Intelligence
Journal of Systems and Software
Ars Combinatoria
Graphs and Combinatorics
Referee di capitoli di monografie
Referee per World Scientific (Singapore) per il capitolo Asymptotic theory of algebraic geometry
codes sottoposto per la pubblicazione in Handbook of Information and Coding Theory.
Referee di progetti di ricerca per i seguenti programmi
Mathematical Science Programme - NSA (National Security Agency). Selezionato da Review Panel
dell’American Mathematical Society.
Discovery Grants - NSERC (National Sciences and Engineering Research Council of Canada).
Supervisore attivit`
a di ricerca di Studenti di Dottorato
XIX Ciclo
Elisa Montanucci, Dottorato in Matematica e Informatica per l’ elaborazione e la
rappresentazione dell’informazione e della conoscenza. Il ciclo di Dottorato non `
e
stato completato dalla Dott.ssa Montanucci. L’attivit`
a di ricerca ha prodotto 2
articoli in collaborazione.
XXIV Ciclo
Stefania Fanali, Dottorato Internazionale in Matematica “J. Bolyai ” Doctoral Seminar, sedi consorziate Universit`
a di Szeged, Universit`
a della Basilicata, Universit`
a
di Perugia, Politecnico di Bari. Tesi: Curves over Finite Fields with Many Rational
Points.
A.A. 2011-2012
Nurdag¨
ul Anbar, Ph.D Degree in Mathematics, Faculty of Engineering and Natural Sciences, Sabancy University, Istanbul, Turchia. Sono stato supervisore dell’attivit`
a della Dott.ssa Anbar per un anno, dal marzo 2011 al febbraio 2012,
durante il quale la Dott.ssa Anbar `e stata ospite del Dipartimento di Matematica
e Informatica dell’Universit`
a di Perugia.
XXVII Ciclo
Irene Platoni, Dottorato in Matematica, Universit`
a degli Studi di Trento.
Partecipazione a progetti di ricerca
03/2014–03/2017
Responsabile scientifico unit`
a di ricerca di Perugia. Progetto Cofinanziato Interuniversitario (Decreto Direttoriale 18 ottobre 2013 n. 1959) P.R.I.N.
“Geometrie di Galois e Strutture di Incidenza” (coordinatore nazionale G. Lunardon).
01/2010–09/2012
Progetto Cofinanziato Interuniversitario (D.M. del 20/01/2010) P.R.I.N. “Geometrie di Galois e Strutture di Incidenza” (coordinatore nazionale G. Lunardon).
8
01/2006-01/2008
Progetto Cofinanziato Interuniversitario (D.M. del 22/12/2005) P.R.I.N. “Strutture Geometriche, Combinatoria e loro Applicazioni” (coordinatore nazionale
G. Lunardon).
11/2003-11/2005
Progetto Cofinanziato Interuniversitario (D.M. del 23/10/2003) P.R.I.N. “Strutture Geometriche, Combinatoria e loro Applicazioni” (coordinatore nazionale
G. Lunardon).
11/2001-11/2003
Progetto Cofinanziato Interuniversitario (D.M. del 12/11/2001) P.R.I.N. “Strutture Geometriche, Combinatoria e loro Applicazioni” (coordinatore nazionale
G. Lunardon).
11/1999-11/2001
Progetto Cofinanziato Interuniversitario (D.M. del 18/10/1999) P.R.I.N. “Strutture Geometriche, Combinatoria e loro Applicazioni” (coordinatore nazionale
G. Lunardon).
02/1998-02/2000
Progetto Cofinanziato Interuniversitario (D.M. del 23/4/1997) P.R.I.N. “Strutture Geometriche, Combinatoria e loro Applicazioni” (coordinatore nazionale
F. Mazzocca).
1998-1999
Progetto di Ateneo Cofinanziato Universit`
a di Perugia “Modelli Matematici e
Informatici per i Sistemi Intelligenti”.
1997
Progetto C.N.R. “Applicazioni della Matematica per la Tecnologia e la Societ`
a”,
sottoprogetto Calcolo Simbolico (coordinatore nazionale A. Bonisoli).
Produzione scientifica
Pubblicazioni e preprints
[63] (con G. Korchm´aros) Garden of curves with many automorphisms, in Algebraic curves over
finite fields - Radon series on computational and applied mathematics 16, Eds. Harald
Niederreiter, Alina Ostafe, Daniel Panario, Arne Winterhof, De Gruyter, 2014, pp. 93–120.
[62] (con G. Korchm´aros) Large 3-groups of automorphisms of algebraic curves in characteristic
3, preprint. Arxiv: 1312.5108.
[61] (con D. Bartoli e I. Platoni) On the covering radius of MDS codes, IEEE Transactions on
Information Theory, 2014. DOI: 10.1109/TIT.2014.2385084.
[60] (con D. Bartoli, A.A. Davydov, S. Marcugini e F. Pambianco) Multiple Coverings of the
Farthest-off Points with Small Density from Projective Geometry, Advances in Mathematics of
Communications, to appear.
[59] (con N. Anbar, D. Bartoli e I. Platoni) Small complete caps from singular cubics, II. Journal of
Algebraic Combinatorics. To appear. DOI: 10.1007/s10801-014-0532-7 (published online
May 2014).
[58] (con D. Bartoli e G. Faina) Small complete caps in three-dimensional Galois spaces, Finite
Fields and their Applications 24, (2013) pp. 184-191.
[57] The geometry of covering codes: small complete caps and saturating sets in Galois spaces,
in Surveys in Combinatorics 2013 - London Mathematical Society Lecture Note Series
409, Cambridge University Press, 2013, pp. 51–90.
[56] (con N. Anbar, D. Bartoli e I. Platoni) Small complete caps from singular cubics, Journal of
Combinatorial Designs. 22(10), (2014) pp. 409–424 . DOI: 10.1002/jcd.21366.
9
[55] (con N. Anbar) Bicovering arcs and small complete caps from elliptic curves, Journal of
Algebraic Combinatorics 38, (2013) pp. 371–392. DOI: 10.1007/s10801-012-0407-8.
[54] (con N. Anbar, S. Fanali e D. Bartoli) On the size of the automorphism group of a plane
algebraic curve, Journal of Pure and Applied Algebra 217, (2013) pp. 1224–1236. DOI:
10.1016/j.jpaa.2012.10.011.
[53] (con A.A. Davydov, G. Faina, S. Marcugini e F. Pambianco) On constructions and parameters
of symmetric configurations vk , submitted.
[52] (con S. Marcugini, F. Pambianco e S. Zhou) Unitary graphs and classification of a family
of symmetric graphs with complete quotients, Journal of Algebraic Combinatorics 38(3),
(2013) pp. 745–765.
[51] (con G. Korchm´aros) Arcs in AG(2, q) determining few directions, Designs Codes and
Cryptography 68(1–3), (2013) pp. 61–72. DOI: 10.1007/s10623-012-9630-5.
[50] (con G. Korchm´aros, S. Marcugini e F. Pambianco) Transitive A6 -invariant k-arcs in P G(2, q),
Designs Codes and Cryptography 68(1–3), (2013) pp. 73–79. DOI: 10.1007/s10623-0129619-0.
[49] (con G. Korchm´aros) Large 2-groups of automorphisms of algebraic curves over a field of
characteristic 2 , Journal of Algebra, to appear.
[48] (con S. Fanali e I. Platoni) On maximal curves over finite fields of small order, Advances in
Mathematics of Communications 6(1), (2012) pp. 107–120. DOI:10.3934/amc.2012.6.107.
[47] (con S. Fanali) On the number of rational points of generalized Fermat curves over finite
fields, International Journal of Number Theory 8(4), (2012) pp. 1087–1097.
DOI:10.1142/S1793042112500650.
[46] (con S. Fanali) Quotient curves of the GK curve, Advances in Geometry 12(2), (2012) pp.
239–268. DOI: 10.1515/advgeom.2011.046.
[45] (con S. Fanali) On some open problems on maximal curves, Designs Codes and Cryptography 56, (2010) pp. 131–139.
[44] (con S. Fanali) One-point AG codes on the GK maximal curves, IEEE Transactions on
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10
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[27] (con G. Korchm´aros) On Automorphism Groups of certain Goppa Codes, Designs, Codes
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[22] (con F. Pasticci) Quasi-Perfect Linear Codes with Minimum Distance 4, IEEE Transactions
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[20] Blocking sets of the external lines to a conic in P G(2, q), q even, European Journal of
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[18] (con A. Aguglia) Blocking sets of certain line sets related to a conic, Designs, Codes and
Cryptography 39, (2006) pp. 397-405.
[17] (con G. Korchm´aros e F. Torres) Quotient curves of the Suzuki curve, Acta Arithmetica
122(3), (2006) pp. 245–274.
11
[16] (con E. Montanucci) On hyperfocused arcs in P G(2, q), Discrete Mathematics 306(24),
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[15] On the number of rational points of a plane algebraic curve, Archiv der Mathematik 82,
(2004) pp. 214–221.
[14] On the extendibility of Near-MDS Elliptic Codes, AAECC - Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing 15, (2004) pp. 1–11.
[13] (con F. Torres) On dense sets related to plane algebraic curves, Ars Combinatoria 72, (2004)
pp. 33–40.
[12] (con G. Faina) On small dense arcs in Galois planes of square order, Discrete Mathematics
267, (2003) pp. 113–125.
[11] (con F. Pambianco, F. Torres e E. Ughi) On complete arcs arising from plane curves, Designs,
Codes and Cryptography 25, (2002) pp. 237–246.
[10] On plane arcs contained in cubic curves, Finite Fields and Their Applications 8, (2002)
pp. 69–90.
[9]
On cyclic k-arcs of Singer type in P G(2, q), Discrete Mathematics 255, (2002) pp. 135–
144.
[8]
(con F. Pambianco, F. Torres e E. Ughi) On large complete arcs: odd case, Discrete Mathematics 255, (2002) pp. 145–159.
[7]
(con J.W.P. Hirschfeld e G. Korchm´aros) The Desarguesian plane of order 13, in Finite Geometries (A. Blokhuis, J.W.P. Hirschfeld, D. Jungnickel and J.A. Thas Eds.), Developments in
Mathematics 3, Kluwer Academic Publishers, (2001) pp. 159–170.
[6]
(con G. Faina) Decoding Goppa Codes with MAGMA, Ars Combinatoria 61, (2001) pp.
221–232.
[5]
Some small complete caps in P G(2, q), for q an odd square, Journal of Geometry 69, (2000)
pp. 110–116.
[4]
Curve algebriche sopra campi finiti e MAGMA, Italian Journal of Pure and Applied Mathematics 8, (2000) pp. 19–32.
[3]
(con E. Ughi) A small complete arc in P G(2, q), q = p2 , p ≡ 3 (mod 4), Discrete Mathematics 208/209, (1999) pp. 311–318.
[2]
Inviluppi di k-archi in piani proiettivi sopra campi finiti e Basi di Gr¨
obner, Rendiconti del
Circolo Matematico di Palermo, serie II 48, (1999) pp. 191–200.
Altro
[1] Collaborazione alla stesura del Capitolo 11 (Automorphisms of an algebraic curve, pp. 458–
545) della monografia Algebraic Curves over a Finite Field , di J.W.P Hirschfeld, G. Korchm´aros e F. Torres, Princeton University Press, 2008, ISBN13: 978-0-691-09679-7 (a pagina
xxii della Prefazione si legge: We would like to thank Massimo Giulietti for sharing the writing
of Chapter 11).
Descrizione dell’attivit`
a di ricerca
I miei interessi scientifici si collocano nell’ambito delle Geometrie di Galois, ossia nell’ambito
degli spazi affini e proiettivi definiti sopra un campo (finito) di Galois. La mia attivit`
a di ricerca
`e finalizzata allo studio degli enti di tali spazi, e delle loro propriet`a combinatorie, algebriche e
12
gruppali, anche in relazione a significative applicazioni alla teoria dei codici e alla crittografia.
Alle Geometrie di Galois si riconducono alcune tematiche interdisciplinari di grande rilievo, come
quella relativa al numero dei punti razionali di una curva algebrica definita sopra un campo
finito, nel cui studio si sono dimostrati particolarmente efficaci quegli strumenti sviluppati nelle
Geometrie di Galois che interagiscono tra la Combinatoria, la Teoria dei Gruppi, la Teoria dei
Numeri e la Geometria Algebrica sopra campi finiti.
1. Curve algebriche sopra campi finiti e codici algebrico-geometrici
In anni recenti la domanda quanti punti pu`
o avere una curva di genere g sopra un campo finito?
ha attirato molta attenzione, in parte per le possibili applicazioni alla teoria dei codici e alla
crittografia, in parte per il semplice fatto di rappresentare un’affascinante sfida matematica.
Una curva algebrica proiettiva non singolare, assolutamente irriducibile di genere g sopra un
√
campo finito Fq di ordine q ha al pi`
u q + 1 + 2g q punti razionali, come affermato dal famoso
teorema di Hasse-Weil. Utilizzando la funzione zeta, da tale limitazione segue l’ipotesi di Riemann
per i campi di funzioni sopra campi di Galois (Bombieri, 1972/1973). Curve che raggiungono la
limitazione di Hasse-Weil vengono dette curve massimali. Esempi di curve massimali sono le curve
di Deligne-Lusztig associate al gruppo unitario (ovvero la curva Hermitiana), al gruppo di Suzuki
e al gruppo di Ree.
Il massimo numero di punti razionali di una curva di genere g sopra Fq si denota con Nq (g).
Alcune limitazioni superiori al valore di Nq (g) pi`
u fini della stima di Hasse-Weil sono state provate da Ihara (1981), Serre (1982/1985) e Oesterl´e (1985). Al fine di valutare la precisione di
tali limitazioni, `
e naturale cercare di costruire, fissati g e q, curve di genere g sopra Fq aventi il
maggior numero possibile di punti. Va anche detto che, con un occhio alla fattibilit`a delle applicazioni, `
e importante avere tali curve nella forma pi`
u esplicita possibile. Fra i metodi usati per
la costruzione di curve con molti punti spicca quello di considerare curve quoziente di una curva
data rispetto ad un suo sottogruppo di automorfismi. Si ha ad esempio che, per un risultato di
Serre (1987), ogni curva ricoperta da una curva massimale, e quindi in particolare ogni sua curva
quoziente, `e ancora una curva massimale.
Il problema di esistenza di curve massimali diverse dalle curve di Deligne-Lusztig e dalle curve da
queste ricoperte viene risolto positivamente in [38]. Per ogni q = (q ′ )3 , con q ′ = pr > 2, p primo,
e
si costruisce esplicitamente una curva massimale sopra il campo Fq2 , e si dimostra che non `
ricoperta da nessuna curva massimale di Deligne-Lusztig. Tale curva `e componente assolutamente
irriducibile dell’intersezione di una superficie Hermitiana e di un cono Hermitiano in P G(3, q 2 ),
ed ha un gruppo di automorfismi molto grande rispetto al suo genere g = 21 (q + 1)((q ′ )2 − 2) + 1.
Essa inoltre costituisce il primo esempio noto di curva con p-rango nullo e avente come gruppo
di automorfismi un gruppo isomorfo a SU (3, q ′ ). Le curve massimali ottenute come quoziente di
tale curva sono studiate in [46]. In particolare se ne `e determinato il genere, ottenendo in molti
casi nuovi valori nello spettro dei generi che una curva massimale (rispetto ad un fissato q) pu`
o
avere.
In [19] e [30] sono studiate approfonditamente alcune curve quoziente della curva Hermitiana H.
√
In [19] si studiano curve quoziente rispetto a distinti gruppi di automorfismi di ordine ( q + 1)/2
√
nel caso in cui ( q + 1)/2 sia primo. Si dimostra che tali curve hanno lo stesso genere, lo stesso
gruppo di automorfismi, lo stesso semigruppo di Weierstrass in un punto generico, e tuttavia si
√
u la difficolt`a
ripartiscono in circa q/12 classi di isomorfismo. Questo dimostra una volta di pi`
del problema della classificazione delle curve quoziente di H. Il gruppo degli automorfismi delle
13
curve quoziente gioca un ruolo essenziale nella dimostrazione. Alcuni dei risultati di [19] sono
√
estesi in [30] al caso di gruppi di automorfismi di H di ordine primo d = ( q + 1)/m.
Nell’ambito della vasta problematica della classificazione delle curve massimali si collocano anche
i lavori [40], [45] e [48]. In [40] sono studiate curve massimali con dimensione alla Frobenius
pari a 3, ovvero curve che si possono immergere nella superficie Hermitiana non degenere dello
spazio tridimensionale; vengono caratterizzati i modelli piani di tali curve, e come importante
applicazione se ne deduce una classificazione completa delle curve massimali sopra il campo finito
con 25 elementi. Gli strumenti utilizzati in [40] sono significativamente sviluppati e approfonditi
in [48], dove si ottiene la classificazione delle curve massimali di genere 7 definite sul campo
` significativo notare il contributo di tale risultato in relazione all’importante
con 49 elementi. E
problema aperto di stabilire se, per un fissato q, esiste un’unica curva massimale su Fq di genere
1
√
(q − q + 4) ;
g3 (q) =
6
per un precedente teorema di Korchm´aros e Torres, g3 (q) `e il terzo genere pi`
u grande che una
curva massimale su Fq pu`
o avere. In [45] viene invece data risposta affermativa a tre problemi di
esistenza posti nel 1999 da Cossidente, Korchm´aros e Torres.
In [17] si propone uno studio sistematico dei generi e dei modelli piani delle curve quoziente
della curva di Suzuki (ovvero della curva di Deligne-Lusztig associata al gruppo di Suzuki). Come
risultato principale si ottiene una completa classificazione dei quozienti tame di tale curva, per
ciascuno dei quali un modello piano viene esplicitamente calcolato. Dato che il gruppo di Suzuki
contiene una enorme quantit`a di 2-sottogruppi a due a due non coniugati, un’analoga classificazione dei quozienti non-tame `e fuori portata. Nondimeno l’esistenza di quozienti non-tame di
genere g′ `
e dimostrata per molti interi g′ , e per alcune di tali curve si fornisce un’equazione piana
esplicita. Come corollario si ottengono nuove limitazioni inferiori per Nq (g) per alcuni valori di q
e di g (si veda a questo proposito Tables of curves with many points, Gerard van der Geer e Marcel
van der Vlugt, http://www.manypoints.org).
Curve con molti punti razionali sono notoriamente assai rare, e possono godere di propriet`a
interessanti anche da altri punti di vista; in particolare, spesso il loro gruppo di automorfismi
risulta essere molto ampio. Questo mi ha portato a studiare le curve algebriche dotate di molti
automorfismi. Se una curva X ha genere g ≥ 2, allora Aut(X ) `e finito. Sul campo dei complessi, e
pi`
u in generale quando la caratteristica del campo base `e zero, la classica limitazione di Hurwitz `
e
|Aut(X )| ≤ 84(g −1). In caratteristica positiva p, X pu`
o avere gruppo di automorfismi pi`
u grande,
anche se da precedenti risultati di Roquette, Stichtenoth e Henn, curve con molti automorfismi
rispetto al loro genere sembrano essere assai rare. La curva Hermitiana ad esempio `
e l’unica
4
curva per cui |Aut(X )| > 16g . Se la caratteristica p risulta essere maggiore di g, allora la
limitazione di Hurwitz vale comunque, con l’unica eccezione della curva iperellittica di equazione
Y 2 = X p − X (curva di Roquette). Nel 1978 Henn ha classificato le curve (di genere g > 1) con
pi`
u di 8g3 automorfismi. Nello stesso lavoro, in una nota a pi`e di pagina, Henn afferm`
o che
con i metodi usati sarebbe stato possibile provare che esistono esattamente cinque famiglie di
curve con pi`
u di 3(2g)5/2 automorfismi. Tuttavia, questa affermazione non `e corretta dato che `
e
facile vedere che esistono anche famiglie diverse da quelle citate da Henn, come ad esempio la
curva di Ree. Nel lavoro [54] abbiamo studiato il caso di caratteristica p diversa da 2. Il nostro
risultato principale `e aver sostanzialmente dimostrato che l’affermazione di Henn `e corretta nel
caso si considerino curve che ammettono un modello piano non singolare. Precisamente, abbiamo
14
provato che la curva Hermitiana `e l’unica curva piana non singolare in caratteristica dispari con
√
pi`
u di 3(2g 2 + g)( 8g + 1 + 3) automorfismi.
Negli studi sulle curve di genere g ≥ 2 con molti automorfismi, un ruolo cruciale `e giocato dal
(1)
seguente risultato dovuto a Stichtenoth, relativo all’ordine del p-sottogruppo di Sylow GP dello
stabilizzatore GP di un punto P ∈ X in un gruppo di automorfismi G di X : se la curva quoziente
(1)
(1)
X /GP `e razionale e la proiezione X → X /GP ramifica in qualche punto diverso da P , allora
(1)
GP ≤
p
g.
p−1
(1)
Tale risultato solleva il problema di classificare le curve X che ammettono gruppi di automorfismi
G che non soddisfano (1) per qualche P ∈ X . In [37] si perviene ad una classificazione completa,
dimostrando che o l’intero gruppo di automorfismi della curva fissa P , oppure X `e isomorfa a una
delle curve seguenti: la curva Hermitiana, la curva di Roquette, la curva di Suzuki, la curva di
Ree.
Il lavoro [36] prende spunto dall’osservazione che gli esempi noti di curve con molti punti razionali hanno p-rango pari a zero. Viene quindi studiato il gruppo di automorfismi di una curva X
definita su un campo algebricamente chiuso di caratteristica 2 ed avente 2-rango nullo. Il risultato principale `
e che se la curva ha genere g almeno pari a 2 e |Aut(X )| > 24g2 , allora Aut(X )
ha un punto fisso in X , tranne che per alcune eccezioni. In tali casi eccezionali il gruppo Aut(X )
e il genere g vengono determinati. Al fine di ottenere tale risultato `e stato necessario classificare
i sottogruppi ciclici semi-regolari dei seguenti gruppi di permutazione 2-transitivi: P GL(2, n),
P SL(2, n), P GU (3, n), P SU (3, n), gruppi di Suzuki e gruppi di Ree. Questa classificazione, di
interesse indipendente, `
e l’oggetto del lavoro [39].
Uno dei motivi di interesse delle curve X con molti automorfismi `e che Aut(X ) viene ereditato
dai codici di Goppa associati a X come gruppo di automorfismi monomiali; tali automorfismi
costituiscono un valido aiuto nell’implementazione di efficienti algoritmi di decodifica dei codici.
Tuttavia il problema di stabilire se l’intero gruppo di automorfismi del codice coincida con Aut(X )
o al contrario sia pi`
u ampio appare di difficile soluzione. Se `e vero che esistono condizioni
sufficienti, dovute fra gli altri a Wesemeyer, Xing, Joyner e Ksir, perch´
e i due gruppi coincidano,
`e anche vero che esistono codici di Goppa il cui gruppo di automorfismi contiene propriamente
il gruppo degli automorfismi delle curve algebriche corrispondenti. In [27] si stabiliscono alcune
condizioni sulla geometria della curva X che assicurano che i codici di Goppa associati abbiano
soltanto automorfismi ereditati. In diversi casi questi risultati migliorano quelli di Wesemeyer.
Le propriet`a di ereditariet`
a sono studiate in dettaglio per curve particolarmente significative, e
precisamente per la curva Hermitiana, la curva di Suzuki e la curva di Ree; si dimostra che se
il grado del divisore associato al codice `e sufficientemente basso rispetto al numero di punti
razionali della curva, allora il codice ha soltanto automorfismi ereditati.
In [15] il problema del numero dei punti razionali di curve definite su Fq `e affrontato relativamente alle curve piane non singolari X non classiche alla Frobenius rispetto al sistema lineare
delle coniche. Tale studio riveste una certa importanza nella problematica dei k-archi completi
di P G(2, q) (si veda la prossima Sezione 2). Il risultato principale `e una formula per il suddetto
numero dipendente unicamente dal numero dei punti di flesso non razionali di X , oltre che dall’ordine di X e da q. Tale formula risulta essere particolarmente significativa nel caso in cui tutti
i punti di flesso di X siano razionali. Vale la pena di notare che tale formula `e analoga a quella
15
dovuta a Hefez e Voloch per curve non classiche alla Frobenius rispetto al sistema lineare delle
rette.
La teoria di St¨
ohr-Voloch `e stata largamente usato per affrontare il problema classico della stima
del numero di punti razionali di una curva di Fermat su campi finiti. In [47] si `e mostrato come
lo stesso approccio, opportunamente adattato, possa dare risultati significativi anche per le curve
di Fermat generalizzate, ovvero quelle curve che ammettono come gruppo di automorfismi il
prodotto diretto di due gruppi ciclici dello stesso ordine k, e tali che le curve quoziente rispetto
a entrambi questi gruppi ciclici sono razionali. Abbiamo dimostrato che il numero Nq di punti
razionali di una curva di Fermat generalizzata definita sul campo finito Fq di caratteristica p
maggiore di 3 soddisfa Nq ≤ qk + 2k + g − 1; se inoltre p non divide k2 − 1, allora Nq ≤ 32 kq +
2k + 2g − 2.
In [14] e [23] vengono trattati i codici algebrico-geometrici associati a curve ellittiche, particolarmente interessanti in quanto quasi-ottimali, nel senso che i loro parametri differiscono di poco
da quelli di un codice MDS (per la nozione di codice MDS si veda la prossima Sezione 2). In
particolare si affronta la problematica della loro estendibilit`
a. Problematica di un certo rilievo
in quanto un’eventuale estensione di un codice ellittico darebbe luogo ad un codice migliore;
inoltre, alcuni esempi sporadici di codici ellittici estendibili sono stati scoperti da Abatangelo e
Larato. Il principale risultato di [14] `e un risultato di non estendibilit`a per codici di dimensione
bassa costruiti a partire da curve ellittiche con j-invariante non nullo su campi finiti di ordine
sufficientemente grande. Il caso di j-invariante nullo `e anch’esso trattato, ma limitatamente al
caso in cui il numero di punti razionali della curva `e pari. Il caso rimasto aperto `e stato successivamente studiato in [23], dove alcune delle tecniche dimostrative proposte in [10] hanno trovato
ulteriore applicazione (per una descrizione del lavoro [10] si veda la prossima Sezione 2).
In [44] sono invece studiati i codici algebrico-geometrici di tipo one-point associati alla curva
` significativo che in alcuni casi tali codici abbiano parametri migliori
massimale scoperta in [38]. E
rispetto a quelli finora conosciuti. Lo strumento chiave per la determinazione di tali parametri `
e
lo studio del semigruppo di Weierstrass nei punti razionali della curva in oggetto.
I lavori [6] e [4] presentano la codifica nel linguaggio del pacchetto di Computer Algebra MAGMA
di due problematiche di calcolo su curve algebriche e sui codici algebrico-geometrici associati.
2. Archi di piani di Galois e loro generalizzazioni
La nozione di k-arco di uno spazio affine AG(r, q) o proiettivo P G(r, q) di dimensione r ≥ 2
e definito sopra un campo Fq di Galois di ordine q `e puramente combinatoria, essendo un karco un sottoinsieme di k ≥ r + 1 punti mai r + 1 dei quali situati su di uno stesso iperpiano.
Un k-arco `e completo (o massimale) se non `e contenuto in un (k + 1)-arco dello stesso spazio.
Dai k-archi si ottengono codici MDS (maximum distance separable codes) e viceversa; i codici
MDS sono codici lineari che correggono il maggior numero di errori rispetto ai loro parametri
(lunghezza e dimensione). Mediante una successione di r − 2 proiezioni, ogni k-arco di uno
spazio di dimensione r con k > r si trasforma in (k − r + 2)-arco piano. Anche per questo, i
k-archi piani rivestono particolare importanza nelle Geometrie di Galois.
Il quadro generale delle costruzioni di k-archi piani completi risulta piuttosto variegato per i
diversi approcci utilizzati, non solo geometrici o combinatori, ma anche algebrici basati sulla
teoria dei gruppi finiti o sulle propriet`a dei campi di Galois. Tuttavia l’unico noto procedimento
atto a fornire famiglie infinite di k-archi completi poggia sulla teoria delle curve algebriche, in
quanto richiede di determinare un arco K contenuto in una curva algebrica X di P G(2, q) tale che
16
K sia completo o si completi con l’aggiunta a K di qualche punto di P G(2, q) non appartenente
a X . Il caso in cui X sia una conica non-singolare `e stato ampiamente studiato da B. Segre negli
anni Cinquanta, e successivamente da altri studiosi, sia italiani che stranieri. Se X `e una cubica
non-singolare con un numero pari n di punti razionali e con un punto di flesso in P G(2, q), lo
strumento giusto `e la variet`
a jacobiana di X definita su Fq , in quanto il complemento (cio`e, il
laterale non banale) del sottogruppo di indice 2 `e un (n/2)-arco K di P G(2, q). Tale famiglia
di archi, dovuta originariamente a Zirilli, era nota dal 1973. Tuttavia, il problema di vedere se
gli archi di Zirilli fossero completi `e stato risolto soltanto 18 anni dopo ed in modo parziale, da
Hirschfeld e Voloch, i quali ne hanno dimostrato la completezza nell’ipotesi che l’invariante j di X
sia non nullo. In [10] ho sviluppato un approccio diverso al problema che consente di effettuare
un’analisi pi`
u fine delle possibili configurazioni dei punti eventualmente aggregabili ad un k-arco
di Zirilli. Ho dimostrato che se j = 0, vi sono k-archi di Zirilli che non sono completi mostrando
anche come rendere completo un tale arco con l’aggiunta di al pi`
u 3 punti. Il metodo si applica
anche per j 6= 0 permettendo di ritrovare il risultato di Hirschfeld e Voloch.
Anche la distribuzione degli interi k per i quali esiste un k-arco completo di un dato piano proiettivo P G(2, q) `e stata oggetto di numerose ricerche, stimolate dalle significative applicazioni ai
codici lineari. Un aspetto dei piani finiti, gi`a riscontrato nella Teoria dei Numeri, `e che, a seconda del comportamento aritmetico dell’ordine, le propriet`a geometriche, combinatorie, e a volte
anche gruppali, possono variare drasticamente. Il divario tra i piani finiti che ne deriva `
e tale da
rendere oltremodo difficile lo sviluppo di una teoria generale. Questo spiega il fatto che finora
si sia riusciti solo parzialmente a determinare lo spettro delle cardinalit`
a dei k-archi completi di
P G(2, q); si pu`
o dire che le nostre conoscenze al riguardo sono alquanto lacunose tranne che per
gli interi k prossimi a q, nel qual caso `e possibile utilizzare non solo metodi combinatori ma anche
la geometria algebrica sopra campi finiti. La mia attivit`
a di ricerca al riguardo si `e sviluppata in
quest’ultima direzione, pervenendo alla soluzione di diversi problemi che ora vado ad illustrare.
Per un k-arco completo in P G(2, q) si ha che k ≤ q + 1 per q dispari e k ≤ q + 2 per q pari. Per
k ≤ q (q dispari) e k ≤ q + 1 (q pari), Segre dimostr`
o nel 1967 che
k≤
√
q− q+1
√
q − 41 q + 74
per q pari,
per q dispari.
(2)
Lo strumento essenziale nella dimostrazione `e il teorema fondamentale dei k-archi dovuto allo
stesso Segre, il quale dice in sostanza che le rette unisecanti ad un k-arco K appartengono ad un
inviluppo algebrico di grado q − k + 2 per q pari e 2(q − k + 2) per q dispari. Nel piano duale, tale
inviluppo `e una curva algebrica (non necessariamente irriducibile) definita su Fq . Se la cardinalit`
a di K `
e prossima a q, una sua componente irriducibile Γ ha molti punti razionali pur avendo
grado relativamente basso; inoltre Γ presenta carattere di non classicit`
a, ad esempio la molteplicit`
a di intersezione ǫ5 = I(Γ, C2 ; P ) tra la curva e la conica osculatrice C2 nel generico punto P
`e maggiore di 5. Curve siffatte sono assai rare. Ci`
o consente di ottenere risultati significativi su
k, utilizzando anche teoremi profondi dalla geometria algebrica su campi finiti, quali il classico
teorema di Hasse-Weil e il pi`
u recente teorema di St¨
ohr-Voloch. Tuttavia, miglioramenti significativi di (2) sono stati ottenuti soltanto in anni recenti, ad opera di Hirschfeld e Korchm´aros. Una
limitazione superiore per k in funzione di ǫ5 `e il risultato principale in [8]. Si ottengono altres`ı
risultati sugli ordini hermitiani e di Frobenius rispetto alla serie lineare tagliata su Γ dalle coniche
piane, risultati di un certo interesse anche in relazione al lavoro di St¨
ohr e Voloch.
17
Per k > 23 (q + 2) l’inviluppo algebrico `e univocamente determinato. Pertanto il gruppo delle
collineazioni lineari che muta in s´
e l’arco risulta anche essere un gruppo di automorfismi dell’inviluppo. Ci`
o fornisce una motivazione per lo studio di archi dotati di un ampio gruppo di
collineazioni lineari. A questo riguardo in [9] si studiano gli archi che sono orbite di punti per un
sottogruppo del gruppo di Singer di P G(2, q), dimostrando che ǫ5 = 5 tranne che per alcuni degli
√
√
archi siffatti; un noto esempio con ǫ5 = q `e, per q quadrato, un (q − q + 1)-arco di P G(2, q).
Il problema di determinare un’equazione per l’inviluppo di un arco completo, anche nel caso in
cui si abbia una rappresentazione esplicita dei suoi punti mediante coordinate o azione di un
gruppo di collineazioni, `
e in generale assai complesso. In [2] viene proposto un algoritmo basato
sulle basi di Gr¨
obner di ideali di anelli di polinomi. Come applicazione si calcola l’inviluppo del
24-arco completo di P G(2, 29) scoperto da Chao e Kaneta nel 1996, e se ne studiano le propriet`
a
geometriche.
Archi completi di piani di ordine piccolo danno spesso luogo a configurazioni geometriche assai
interessanti, che non trovano corrispondenza nel piano reale o complesso. In [7] viene studiato
in dettaglio l’inviluppo del 12-arco completo di P G(2, 13), e viene inoltre stabilita una biiezione
geometrica fra i 12-archi completi e i loro duali. I secondi danno luogo a curve sestiche ottimali
rispetto al teorema di St¨
ohr-Voloch; i primi a sestiche che incontrano ogni retta in al pi`
u 4 punti.
` una
I lavori [3], [5], [12], [34] trattano k-archi completi di cardinalit`
a pi`
u piccola possibile. E
problematica largamente inesplorata ma non per questo meno interessante. Tuttora sembra non
trattabile il problema centrale che `e la determinazione del minimo valore dello spettro. I pochi
risultati noti in questa direzione non sono soddisfacenti dal punto di vista geometrico in quanto
non costruttivi e ottenuti con metodi probabilistici. Per questo, appare apprezzabile il procedimento per la costruzione di k-archi completi piccoli, introdotto in [3]. Vale la pena di notare che
tale procedimento non segue quello pi`
u diffusamente usato da altri autori sulla falsariga di una
costruzione risalente a Segre e Lombardo Radice. Inoltre, per molti valori di q, gli archi costruiti
in questi lavori sono tuttora gli archi completi di cardinalit`
a pi`
u piccola noti in letteratura. Nel
primo lavoro [3] viene trattato il caso in cui q `e un quadrato di un primo p, con p ≡ 3 (mod 4).
In [5] una procedura simile viene applicata ad un qualsiasi q quadrato dispari. Risultati validi in
caratteristica 2 sono invece presentati in [12]. Del caso p = 2 tratta anche il lavoro [34], dove nei
√
piani P G(2, 24h+2 ) vengono costruiti archi di cardinalit`
a 6( q − 1) fissati da un gruppo transitivo
di collineazioni, e che risultano completi per q ≤ 218 .
In [50] vengono studiati archi di P G(2, q) invarianti rispetto all’azione del gruppo alterno A6 . Se
q = pr con p ≥ 7, e q ≡ 1 o 19 (mod 30), il piano P G(2, q) ammette un’unica classe di coniugio
di gruppi di proiettivit`a isomorfi al gruppo alterno A6 . Per un gruppo di proiettivit`a Γ ∼
= A6 di
P G(2, q), sono studiate le propriet`a geometriche dell’unica Γ-orbita O di cardinalit`
a 90 tale che lo
stabilizzatore di Γ nella sua azione su O sia ciclico (di ordine 4). Abbiamo provato che se q ≥ 349
e q 6= 421, allora O `e un 90-arco, che risulta essere completo per q = 349, 409, 529, 601, 661. L’arco
O `e il pi`
u piccolo arco completo conosciuto in P G(2, 601) e in P G(2, 661).
2.1. (k, n)-archi. Il lavoro [11] prende spunto dall’osservazione che i punti razionali di una curva
algebrica di ordine n definita sopra Fq costituiscono un (k, n)-arco di P G(2, q), ossia un insieme di
k punti a (n + 1) a (n + 1) non allineati. Un tale (k, n)-arco `e in generale incompleto; l’interessante
problema di determinare quelle curve algebriche che danno luogo ad un (k, n)-arco completo
viene studiato nel lavoro. Un esempio importante `e dato dalla curva Hermitiana di P G(2, q), q
√
√
quadrato, i cui punti razionali formano un (q q + 1, q + 1)-arco completo. Ulteriore esempi
18
notevoli sono forniti in [11]. Tali curve, come la curva Hermitiana, hanno la propriet`a di essere
non classiche alla Frobenius rispetto al sistema lineare delle rette. Ci`
o motiva lo studio del problema relativamente alle curve non classiche alla Frobenius. Il risultato principale `e una condizione
sufficiente affinch´
e l’insieme dei punti razionali di una curva non classica alla Frobenius sia un
(k, n)-arco completo. Tale condizione risulta essere soddisfatta da una curva sporadica definita
sopra F8 . Per un risultato di J. Top, quest’ultima curva e la quartica di Fermat sopra F9 sono le
uniche curve di genere 3 definite su Fq con pi`
u di 2q + 6 punti razionali .
Anche ad un (k, n)-arco piano `e possibile associare un codice lineare di lunghezza k e dimensione
3. Le sue capacit`a di correzione di errori risultano tanto migliori quanto pi`
u `e grande la differenza
k − n. Il codice lineare associato ad un (k, n)-arco `e pertanto particolarmente interessante quando
k `e grande rispetto a n. In particolare, il codice risulta ottimale rispetto al limite di Griesmer
quando k > (n − 2)q + n. In [34] vengono studiati in dettaglio i (k, n)-archi costituiti dalle
orbite di punti sotto l’azione di una potenza del ciclo di Singer di P G(2, q). Significativamente, si
dimostra che in taluni casi il limite di Griesmer `e raggiunto in questo modo.
2.2. Insiemi saturanti. Il concetto di arco completo si generalizza a quello di insieme saturante,
ovvero un insieme le cui secanti ricoprono l’intero piano proiettivo. Oltre ad essere un problema
geometrico naturale, la costruzione di insiemi saturanti di cardinalit`
a piccola ha grande interesse
anche in altre aree della Combinatorica, quali i codici di ricoprimento, gli insiemi di definizione
di disegni di esperimento, e il problema del grado/diametro in teoria dei grafi. Da un semplice
argomento di conteggio segue che una limitazione inferiore alla cardinalit`
a k di un insieme sa√
turante in P G(2, q) `e 2q. In analogia a quanto accade per gli archi completi, nel caso generale
tale limitazione rimane molto lontana dalla cardinalit`
a degli esempi esplicitamente costruiti, anche
se
con
metodi
probabilistici
e
`
stata
dimostrata
l’esistenza
di insiemi saturanti di cardinalit`
a
√
a dell’ordine
⌊5 q log q⌋. Costruzioni esplicite di famiglie infinite di insiemi saturanti di cardinalit`
3
di grandezza di cq 4 , con c costante indipendente da q, sono presenti in lavori di Bartocci (1983) e
Sz˝
onyi (1984). Stimolati dalle applicazioni alla teoria dei codici di ricoprimento, nel 2000 Davy¨
dov e Osterg˚
ard hanno migliorato queste costruzioni nel caso in cui q `e il cubo di un primo p. Una
costruzione originale di insiemi saturanti della stesso ordine di grandezza degli esempi di Bartocci
e Sz˝
onyi `e l’oggetto di [13]. L’insieme saturante `e costruito a partire dai punti razionali di una
3
curva algebrica irriducibile di ordine n, e la sua cardinalit`
a `e approssimativamente √2n17 q 4 . In [21]
si costruisce esplicitamente una famiglia infinita di insiemi saturanti di cardinalit`
a dell’ordine di
2
3
u piccoli
grandezza di 3q 3 . Per q non quadrato e sufficientemente grande, q 6= p , questi sono i pi`
insiemi saturanti noti, mentre per q = p3 la loro cardinalit`
a `e la stessa degli esempi di Davydov
¨
e Osterg˚
ard. La tecnica di costruzione `e essenzialmente algebrica, ed utilizza i polinomi linearizzati sopra un campo finito. Per specifici valori di q costruzioni ad hoc basate sullo stesso metodo
forniscono insiemi saturanti ancora pi`
u piccoli, che in tali casi migliorano perfino la limitazione
probabilistica.
√
Per q quadrato, l’unione di tre rette non concorrenti di un sottopiano di ordine q di P G(2, q) `
e
√
un insieme saturante di cardinalit`
a 3 q, vicina quindi al limite inferiore teorico. Uno svantaggio
di questa costruzione `
e che il codice associato ha basse capacit`a di correzione di errori, dovuta
√
all’esistenza di q + 1 punti allineati. Nel gi`a citato lavoro [12] viene affrontato il problema
di costruire insiemi saturanti piccoli che siano anche (k, n)-archi con n piccolo. Si ottengono,
sia per q pari che per q dispari, (k, 4)-archi saturanti contenuti nell’unione di due coniche con k
√
dell’ordine di grandezza di 4 log2 q q.
19
La costruzione di insiemi saturanti di cardinalit`
a piccola in dimensione arbitraria `e l’oggetto del
lavoro [42], dove si ottengono alcuni miglioramenti delle stime asintotiche relative ai parametri
di densit`a di famiglie infinite di codici di ricoprimento.
3. Calotte complete in spazi di dimensione maggiore di 2
Il concetto di arco piano si generalizza in spazi di dimensione maggiore di due a quello di calotta.
Una calotta completa di uno spazio affine o proiettivo `e un insieme K di punti a 3 a 3 non allineati
e tale che ogni punto dello spazio `e allineato con due punti di K. Le calotte complete di spazi
proiettivi P G(r, q) sono di notevole interesse in teoria dei codici, essendo equivalenti ai codici
lineari quasi-perfetti di ridondanza r + 1 e distanza minima 4 definiti su Fq . Significativamente il
gruppo proiettivo di una calotta completa viene ereditato dal codice corrispondente come gruppo
di automorfismi monomiali.
Analogamente al caso degli archi piani, il problema principale relativo alle calotte complete di un
dato spazio di Galois `e quello di determinarne le possibili cardinalit`
a. Particolarmente interessanti, anche per le applicazioni, sono i valori estremi dello spettro; le calotte complete di cardinalit`
a
minima danno infatti luogo, a parit`
a di ridondanza, ai codici quasi-perfetti con densit`a pi`
u vicina
a quella dei codici perfetti.
Nelle mie ricerche ho affrontato in maggiore dettaglio il caso di dimensione r ≥ 4, anche in virt`
u
del fatto che, gi`a rispetto ai casi r = 2 ed r = 3, le conoscenze sullo spettro sono estremamente
limitate. Ad esempio, in dimensione 4 non `e nota la massima cardinalit`
a di una calotta completa.
Prima della met`
a degli anni novanta erano state costruite due sole famiglie infinite di calotte
complete in P G(4, q): una di cardinalit`
a dell’ordine di 2q 2 dovuta Tallini (1964), l’altra, in spazi
s
s
P G(4, p ) con p ≡ 7 (mod 8) e p ≡ 3 (mod 4), dovuta a Segre (1959) e di cardinalit`
a dell’ordine
5 2
o prodotto risultati di notevole interesse,
di 2 q . In anni recenti lo studio dello spettro ha per`
in particolare in relazione ai valori bassi dello spettro stesso. Si denoti con t(r, q) la minima
cardinalit`
a di una calotta completa in P G(r, q). Una limitazione inferiore teorica immediatamente
√ r−1
ottenibile con metodi combinatori `e t(r, q) > 2q 2 .
Nel 1996 Pambianco e Storme hanno studiato il caso q pari, provando l’esistenza di calotte comr
r−1
plete di cardinalit`
a di ordine di grandezza di q 2 per r pari, e di 3q 2 per r > 1 dispari. In [24]
tali risultati vengono significativamente migliorati. Le tecniche innovative utilizzate riguardano
l’introduzione del concetto di calotta di traslazione affinemente completa, e uno studio sistematico della completezza della cosiddetta costruzione prodotto. Il fatto che il prodotto cartesiano di
due calotte affini `
e ancora una calotta fu gi`a osservato da Segre; tuttavia non `e stato mai studiato
a fondo il problema di stabilire condizioni sufficienti affinch`
e la calotta prodotto sia completa.
In [24] da un lato si prova l’esistenza di una calotta di traslazione affinemente completa di carr
dinalit`a minore o uguale di q 2 in P G(r, q), dall’altro si dimostra che il prodotto di una calotta
di traslazione di cardinalit`
a massimale per una qualsiasi calotta affinemente completa `e ancora
una calotta affinemente completa. Si perviene cos`ı al seguente miglioramento dei risultati di
Pambianco e Storme, per q > 16:
(
r−2
1 2r
2 + . . . + q) + 2,
per r > 2 pari
2 q + 3(q
.
(3)
t(r, q) ≤
r−3
r−1
5
2 + 3(q 2 + . . . + q) + 2,
per r > 3 dispari
2q
In [22] il problema della costruzione di calotte complete di cardinalit`
a piccola `e affrontato dal
punto di vista della teoria dei codici, utilizzando sia raffinamenti delle tecniche utilizzate in [24],
20
che risultati di tipo computazionale. Un primo risultato `e l’estensione di (3) al caso q = 16, ottenuta con una costruzione induttiva avente per base una nuova calotta di traslazione di cardinalit`
a
massimale in P G(3, 16); tale calotta sembra essere l’unico esempio noto per q > 4 di calotta
di traslazione di cardinalit`
a massimale in spazi di dimensione dispari. In secondo luogo, per q
quadrato e sufficientemente grande, e per r pari e maggiore di 2, si ottiene
t(r, q) ≤
r−2
1 r 5 r−2
q 2 + q 2 + 3(q 2 + . . . + q).
3
3
Infine, grazie alla ricerca esaustiva di calotte piane di traslazione affinemente complete, miglioramenti di entrambe le disuguaglianze di (3) sono ottenuti per 27 ≤ q ≤ 214 .
In [35] la tecnica induttiva presentata nei lavori precedenti `e ulteriormente perfezionata, ampliando notevolmente la classe di calotte piane che possono essere prese come base della costruzione induttiva. Il principale risultato contenuto nel lavoro si ha per q > 8:
(
r−2
r−2
t(2, q)q 2 + 3(q 2 + . . . + q) + 3 − r, per r > 2 pari
t(r, q) ≤
.
r−1
r−3
r−3
2q 2 + t(2, q)q 2 + 3(q 2 + . . . + q) + 4 − r, per r > 3 dispari
Miglioramenti ulteriori sono ottenuti per q ≤ 215 , anche grazie all’introduzione della nozione di
sum-point per una calotta completa piana.
Diversamente dal caso q pari, quando q `e dispari calotte complete di ordine di grandezza minore
r
o uguale di q 2 in spazi di dimensione r > 4 non sono facili da ottenere. Nel 2001 Davydov
¨
e Osterg˚
ard hanno risolto il problema per dimensioni r ≡ 2 (mod 4). Il risultato principale
di [25] `e l’estensione dello stesso risultato al caso di dimensione r ≡ 0 (mod 4), ottenuta con
metodi indipendenti dalle costruzioni precedenti. Pi`
u precisamente, lo strumento chiave `e una
condizione sufficiente di completezza della costruzione prodotto per q dispari, che fa riferimento
al concetto di punto esterno ad un segmento, introdotto da Segre nel 1973. Dati tre punti P, P1 , P2
di una retta affine AG(1, q), il punto P si dice esterno o interno al segmento P1 P2 a seconda che
il rapporto semplice (P1 P2 P ) sia quadrato o non quadrato in Fq . Sia K1 la calotta di Davydov
¨
e Osterg˚
ard di AG(4s − 2, q), e K2 una calotta di AG(2, q). In [25] si dimostra che la calotta
prodotto K1 × K2 di AG(4s, q) `e completa se e solo se
(*) ogni punto di AG(2, q) \ K2 `e interno ad un segmento inscritto in K2 , ma anche esterno ad un
qualche segmento inscritto in K2 .
La propriet`a (*), come gi`a dimostrato da Segre, `e goduta da iperboli ed ellissi. In [25] viene
provato che un opportuno ((q − 3)/2)-arco, contenuto in una cubica piana razionale, gode della
propriet`a (∗) per q sufficientemente grande. Come conseguenza si ottiene il seguente risultato:
•
Se q > 5, allora esiste una calotta completa di cardinalit`
a q 2s−1 (q + 2) in AG(4s, q).
•
Se q > 762 , allora esiste una calotta completa di cardinalit`
a 21 (q 2s − 3q 2s−1 ) in AG(4s, q).
•
Se q > 13, allora esiste una calotta completa di cardinalit`
a q 2s in AG(4s, q).
In generale, stabilire se un dato arco K2 di AG(2, q) soddisfa la propriet`a (*) `e un problema
difficile. In [55] e [56] tale problema `e affrontato per una vasta classe di archi K2 contenuti in
` gi`a stato ricordato che l’insieme X (Fq ) dei punti Fq -razionali non singolari di
curve cubiche. E
una cubica piana X pu`
o essere dotato della struttura di gruppo abeliano. Generalizzando la gi`a
richiamata osservazione di Zirilli, e` facile dimostrare che un qualunque laterale di un sottogruppo
21
H di X (Fq ) di indice m > 2 costituisce un arco piano. Come dimostrato da Voloch e da Sz˝
onyi
in una serie di lavori della fine degli anni ’80, archi completi K2 possono essere ottenuti unendo
opportunamente diversi laterali di H.
In [56] si studiano tali archi K2 nel caso in cui X sia una cubica piana singolare dotata di una
a
cuspide Fq -razionale. Si ottengono archi completi che soddisfano la propriet`a (*) di cardinalit`
7/8
h
dell’ordine di 2pq , dove q = p , sotto le condizioni che la caratteristica p del campo base sia
sufficientemente grande e che h > 8. Come corollario, si ottiene il seguente risultato sulle calotte
complete.
•
1
Se q = ph con p > 144 e h > 8, allora esiste una calotta completa di cardinalit`
a k < 2pq 2s− 8
in AG(4s, q) .
In [55] si studiano archi K2 ottenuti da una cubica ellittica X dotata di un flesso Fq -razionale.
√
Il risultato principale `
e il seguente: Sia m un divisore primo di q − 1, con 7 < m < 18 4 q. Si
assuma l’esistenza, nel gruppo ciclico di ordine m, di un sottoinsieme 3-indipendente massimale
di cardinalit`
a v. Allora esiste un k-arco K2 (unione di v laterali di un sottogruppo di X (Fq ) di
indice m) con
√
√
q−2 q+1
q−2 q+1
≤k≤v·
+ 31 ,
v·
m
m
che soddisfa la propriet`a (*). Come corollario, si ha che sotto le stesse ipotesi su m e v,
•
esiste una calotta completa in AG(4s, q) di cardinalit`
a k con
√
√
q−2 q+1
q−2 q+1
2s−1
2s−1
v·q
·
≤k ≤v·q
·
+ 31 .
m
m
Un gruppo ciclico di ordine m > 7 ammette sempre un sottoinsieme 3-indipendente massimale
di cardinalit`
a v ≤ (m + 1)/3; tuttavia `e interessante notare che per specifici valori di m, esistono
sottoinsiemi 3-indipendenti massimali di cardinalit`
a significativamente inferiore a m/3 (si veda
[55, Table 1]).
In [26] mi sono occupato dell’altro lato dello spettro nel caso di dimensione r = 4. Fissata
una base di Fq4 su Fq `e possibile identificare AG(4, q) con Fq4 , ed `e naturale chiedersi se un
sottogruppo Ks = {α | αs = 1} del gruppo moltiplicativo di Fq4 corrisponde a una calotta oppure
no. Questo `
e un problema molto studiato, anche nella sua versione proiettiva, dove la stessa
domanda si pone rispetto a sottogruppi del gruppo ciclico di Singer. Sono note un certo numero
di costruzioni, e qualche risultato di carattere generale, in taluni casi ottenuto come corollario di
studi riguardanti il numero dei punti razionali di curve di Fermat; tuttavia sono pochi i risultati
noti rispetto alla completezza di queste calotte. Per q = 2h con h dispari, Bierbrauer e Edel
(2004) hanno provato che, detto O il punto corrispondente a 0 ∈ Fq4 , l’insieme K3(q2 +1) ∪ {O}
` significativo che tale costruzione dia luogo alla famiglia
`e una calotta completa di AG(4, q). E
infinita di calotte di cardinalit`
a pi`
u grande fra quelle finora conosciute in dimensione 4. Nel
caso q dispari si dimostra facilmente che Kq2 +1 `e una calotta. In [26] si studiano gli ampliamenti
ciclici di tale calotta, ovvero insiemi di tipo Kj(q2 +1) , pervenendo al seguente risultato: il massimo
valore di j per cui Kj(q2 +1) `
e una calotta `e 1 per q ≡ 1 (mod 4), 2 per q ≡ 3 (mod 4). Inoltre la
calotta K2(q2 +1) per q ≡ 3 (mod 4) `e sempre completa.
Le calotte K di spazi proiettivi P G(r, 4) tali che il numero di intersezioni con un qualunque iperpiano ha la stessa parit`
a della cardinalit`
a di K sono dette calotte quantiche. Il motivo `
e che il
22
codice associato risulta un codice quantico quaternario lineare. Alcune nuove calotte quantiche
sono presentate nel lavoro [32], che contiene anche la descrizione di altre configurazioni geometriche di spazi di Galois che danno luogo a codici quantici. Si risolvono inoltre alcuni problemi
aperti sull’esistenza di codici quantici di fissati parametri.
4. Blocking sets
Nel 1977 Segre e Korchm´aros hanno dimostrato la seguente caratterizzazione combinatoria delle
rette esterne a una conica irriducibile di P G(2, q): Se ogni retta che sia secante o tangente a una
conica incontra un insieme L in esattamente un punto, allora L consiste di tutti i punti di una
retta esterna alla conica. Nell’abstract del loro lavoro affermano che while this result admits no
analogue in the real field, a number of similar properties can be established or investigated in any
Galois geometry. In questo spirito, caratterizzazioni combinatorie di oggetti geometrici legati alle
coniche sono detti teoremi di tipo Segre.
Alcuni recenti teoremi di tipo Segre sono legati ai blocking sets. Il loro studio `e un settore di
ricerca di attualit`
a, in cui gli usuali metodi combinatori e gruppali sono resi pi`
u efficienti dall’uso
delle curve algebriche definite sopra un campo finito.
In un lavoro di Aguglia e Korchm´aros del 2006 gli insiemi di punti di cardinalit`
a minima che
incontrano tutte le rette esterne a una conica irriducibile C sono stati determinati nel caso q
dispari. A parte due casi sporadici in P G(2, 5) e in P G(2, 7), si dimostra che ogni insieme di
questo tipo `e lineare, vale a dire consiste dei punti di una secante di C meno i due punti comuni
con C.
In [20] viene dimostrato che per q pari il quadro `e pi`
u ricco, anche se nessun caso sporadico
si presenta. Precisamente esistono due ulteriori classi infinite di esempi, ovvero i punti di una
tangente privati del punto di tangenza e del nucleo di C, e, per q quadrato, tutti i punti di un
sottopiano di Baer che interseca C in una sottoconica C0 , privato del nucleo di C e dei punti di
C0 . Strumenti essenziali in questo lavoro sono un risultato sul sistema lineare dei polinomi che si
annullano su tutti i punti interni a C, e la classificazione dei sottogruppi di P GL(2, q).
In [18] sono dimostrati due ulteriori Teoremi di tipo Segre. Il pi`
u significativo riguarda il caso q
dispari, dove si dimostra che la cardinalit`
a minima di un blocking set delle secanti di una conica
C `e q, e che ogni blocking set di cardinalit`
a minima rientra in una delle tipologie seguenti:
•
C \ {P } per qualche P ∈ C;
•
(C \ {P1 , P2 , P3 , P4 }) ∪ {R1 , R2 , R3 } dove Pi ∈ C e R1 , R2 , R3 sono i punti diagonali del
quadrangolo. P1 P2 P3 P4 .
•
(C \ {P, Q}) ∪ {R} per qualche P, Q ∈ C, e R ∈ P G(2, q) \ C allineato con P e Q;
La dimostrazione di tale risultato usa di nuovo come strumento fondamentale la classificazione
dei sottogruppi di P GL(2, q), ma anche un’originale classificazione delle possibili immersioni di
1-fattorizzazioni di grafi completi con k vertici in coniche di P G(2, q), per k ≤ 10.
La versione duale del risultato di Segre e Korchm´aros del 1977 caratterizza i fasci di rette centrati
in un punto interno a C come gli unici insiemi di rette che danno luogo a una partizione dell’insieme dei punti non interni a C. In [31] un risultato analogo viene provato per i punti interni a
C e nel caso in cui q sia dispari. Si dimostra che esistono precisamente tre tipologie di insiemi
di rette che danno luogo a una partizione dell’insieme dei punti interni a C: l’insieme delle rette
23
non tangenti a C passanti per un punto esterno, l’insieme delle rette non tangenti a C passanti
per un punto di C, e, per q quadrato, l’insieme delle rette non tangenti di C che appartengono
√
√
ad un sottopiano di Baer P G(2, q) avente q + 1 punti in comune con C. La dimostrazione di
tale risultato non `
e analoga a quella del Teorema di Segre e Korchm´aros in quanto non si basa sul
famoso Lemma delle Tangenti di Segre. Gli strumenti principali utilizzati in questo lavoro sono
certe partizioni in coniche dell’insieme dei punti interni a C, insieme a risultati relativi alla Teoria
dei Tornei. Anche alcuni dei Teoremi di tipo Segre sui blocking sets precedentemente citati hanno
un ruolo nella dimostrazione.
5. Poligoni affin regolari e loro generalizzazioni
Poligoni regolari in un piano affine sopra un campo qualunque sono stati inizialmente considerati
da Bachmann e Schmidt (1969) in relazione a matrici cicliche e polinomi ciclotomici. Nel 1970
K´
arteszi introdusse una variante pi`
u geometrica della nozione di poligono regolare, valida in un
qualsiasi piano affine π: sia A1 , A2 , . . . , An un n-gono regolare del piano Euclideo; un n-gono
B1 , B2 , . . . , Bn in π `
e detto affin regolare se la biiezione Ai 7→ Bi conserva i parallelismi fra i
´ stato dimostrato da Korchm´aros nel 1976 che nel piano affine
lati e le diagonali degli n-goni. E
AG(2, q) un n-gono affin regolare esiste se e soltanto se n | (q + 1) e l’n-gono `e inscritto in una
ellisse, o n | (q − 1) e l’n-gono `e inscritto in un’iperbole, o n = p e l’n-gono `e inscritto in una
parabola.
In una serie di lavori di Korchm´aros, Storme e Sz˝
onyi motivati dalle applicazioni agli archi, `e stato
dimostrato che se il numero di vertici n del poligono affin regolare `e grande rispetto a q, allora
le secanti del poligono coprono quasi tutti i punti di AG(2, q); i punti scoperti sono i rimanenti
punti della conica circoscritta, e, talvolta, il centro della conica quando questa `e una ellisse o
un’iperbole. D’altro canto, per un n-gono affin regolare iscritto in una ellisse, Abatangelo e Korchm´aros (1997) hanno provato una limitazione superiore al numero delle sue secanti passanti per
un punto dato. In [33], una limitazione superiore si ottiene per un n-gono affin regolare inscritto
in un’iperbole H. Precisamente si dimostra che per un punto P ∈ AG(2, q) \ H, il numero nP di
secanti del n-gono passanti per P soddisfa la limitazione nP ≤ 31 n, a meno che non valga una
delle seguenti condizioni:
•
•
•
P `
e il centro di H;
n = q ′ − 1 con q ′ s = q per qualche s, e l’n-gono consiste dei punti di H ∩ π e P ∈ π \ H per
qualche sottopiano π ∼
= AG(2, q ′ ) ⊂ AG(2, q);
2
n = q ′ + 1 con q ′ 2s = q per qualche s, l’n-gono `e contenuto in un sottopiano π ∼
= AG(2, q ′ ) ⊂
AG(2, q), e P appartiene a π.
Il nostro metodo si applica anche al caso ellittico, dando luogo ad un significativo miglioramento della limitazione di Abatangelo e Korchm´aros. Uno strumento essenziale per la nostra
dimostrazione `
e il gi`a citato teorema di St¨
ohr-Voloch.
5.1. Archi focalizzati e iperfocalizzati. Nell’ambito delle applicazioni delle Geometrie di Galois alla
crittografia, Simmons (1989) ha introdotto il seguente modello geometrico per un secret sharing
scheme a due livelli. Si supponga che il segreto sia un punto X di una data retta s di P G(3, q). I
partecipanti, divisi in due livelli gerarchici, sono i destinatari di alcune informazioni, dette segreti
parziali. I segreti parziali di primo livello sono un sottoinsieme di punti I di una retta ℓ che
incontra s in X, mentre quelli di secondo livello sono un sottoinsieme S di punti di un piano π
che incontra s in X e contiene ℓ. Il modello prevede che il segreto potr`a essere ricostruito da
24
due qualunque segreti parziali di I e da tre qualsiasi segreti parziali di I ∪ S, ma non da due
segreti parziali di S. In termini geometrici, S deve essere un arco le cui secanti non contengano
n´
e X n´
e un punto di I. Ci`
o conduce alla seguente definizione. Sia S un k-arco e sia ℓ una retta
disgiunta da S. L’arco S `e detto focalizzato su ℓ se le secanti di S coprono esattamente k punti di
ℓ, iperfocalizzato se le secanti di S coprono esattamente k − 1 punti di ℓ.
Nel 1987 Wettl ha caratterizzato gli archi focalizzati S di piani affini di ordine dispari q = pa ,
provando che se p2 non divide |S| = n allora S `e un n-gono affin regolare, altrimenti S `
e un
poligono affin regolare generalizzato (ovvero un n-gono A1 , A2 , . . . , An dove Ai = (u + hi , (u +
hi )2 ) per qualche u ∈ Fq e per qualche {h1 , . . . , hn } sottogruppo additivo di Fq ).
Da un risultato di Bichara e Korchm´aros segue che archi iperfocalizzati esistono solo quando q
`e pari. L’esistenza di archi iperfocalizzati non contenuti in una conica era gi`a stata osservata
da Wettl. Cherowitzo e Holder nel 2005 hanno costruito archi iperfocalizzati contenuti in una
iperovale o in un sottopiano. Inoltre hanno ottenuto una classificazione degli archi iperfocalizzati di cardinalit`
a piccola, e hanno risposto negativamente a una domanda di Drake e Keating
sulle possibili cardinalit`
a degli archi iperfocalizzati. Hanno altres`ı congetturato che ogni arco
iperfocalizzato sia contenuto in un sottopiano o in una iperovale.
Nel lavoro [16] si costruiscono archi di traslazione iperfocalizzati che non sono contenuti n´
e in
iperovali, n´
e in sottopiani, confutando cos`ı la congettura di Cherowitzo e Holder. Si dimostra che
tali archi sono completi. Inoltre si introduce la nozione di arco iperfocalizzato generalizzato come
un k-arco per cui esiste un insieme di k − 1 punti non allineati che incontra ogni secante dell’arco
stesso. Si dimostra l’esistenza di un 8-arco iperfocalizzato generalizzato, e si fornisce una lista
completa di esempi per cardinalit`
a fino a 10.
I citati risultati di Wettl dipendono da risultati pi`
u generali relativi ai nuclei interni. Sia K un
k-insieme di P G(2, q). Un punto P ∈ K si dice nucleo interno di K se ogni retta per P incontra
K in al pi`
u un punto distinto da P . L’insieme dei nuclei interni di K si denota come IN (K). Se
S `e focalizzato su ℓ e N indica l’insieme dei punti di ℓ non appartenenti a nessuna secante di S,
allora K = S ∪ N `
e un insieme di q + 1 punti, e i punti di S sono nuclei interni di K. Se si parte
da un arco iperfocalizzato, allora l’insieme K corrispondente ha cardinalit`
a q + 2.
Teoremi di immersione per q-insiemi con molti nuclei interni sono stati stabiliti da Sz˝
onyi nel
1991, che ha inoltre dimostrato che se q > 121 `e dispari, allora ogni insieme di cardinalit`
a q+1
di P G(2, q) avente (q + 1)/2 nuclei interni `e proiettivamente equivalente a K = S ∪ N , essendo
S un (q + 1)/2-gono affin regolare, ed essendo i punti di N allineati.
L’articolo [28] contiene sensibili miglioramenti ai teoremi di immersione di Sz˝
onyi per q dispari.
Si considerano insiemi di cardinalit`
a (q + 1 − ∆) dotati di k nuclei interni, con ∆ > 1. Si dimostra
che se k `
e maggiore di 18∆2 , allora l’insieme dei nuclei interni `e contenuto in un laterale di
cardinalit`
a k + ∆ del gruppo abeliano definito su una conica di AG(2, q). In particolare k + ∆
divide q, q − 1 o q + 1. La condizione k > 18∆2 pu`
o essere indebolita a k > 16∆2 , a patto che
la caratteristica p di Fq sia pi`
u grande di 2∆. Per la dimostrazione sono necessari alcuni originali
risultati di interesse indipendente sul numero di multitangenti di una curva irriducibile piana
definita su un campo finito. Nel lavoro inoltre viene discussa la connessione fra nuclei interni e
archi di reti Desarguesiane.
In [51] la linea di ricerca di [28] viene ulteriormente sviluppata utilizzando risultati pi`
u profondi
di Geometria Algebrica. Il punto di partenza `e la seguente osservazione di Wettl ha osservato che,
dato un insieme di (q + 1 − ∆) punto dotato di k nuclei interni, l’inviluppo algebrico di Segre di
25
tali nuclei ammette una componente irriducibile Γ2∆ di grado 2∆. In [51] abbiamo studiato ed
utilizzato alcune propriet`a del gruppo di Picard della curva Γ2∆ , con particolare riferimento al
numero di involuzioni. Questo `
e un aproccio innovativo rispetto rispetto alla letteratura precedente, essenzialmente basata sull’applicazione dei teoremi di Hasse-Weil e St¨
ohr-Voloch. Il nostro
risultato principale `
e un ulteriore miglioramento dei risultati di Sz˝
onyi nel caso ∆ = 2, e nuovi
` interessante notare come ogni risultato per il caso
risultati di immersione per il caso ∆ = 3. E
∆ = 3 si applica a (q − 1)-archi completi in P G(2, q), la cui esistenza `e tuttora un problema aperto
per
q ∈ {37, 41, 43, 47, 49, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 81, 83}.
In [43] viene presentata una nuova costruzione di un secret sharing scheme a tre livelli di tipo
Simmons basata sulle propriet`a della curva razionale normale di P G(3, q), con q quadrato dispari. Tale costruzione migliora sensibilmente le limitazioni note in letteratura sulla cardinalit`
aσ
dell’insieme dei possibili segreti fissato il numero totale di partecipanti x. Precisamente per le
costruzioni precedentemente note si ha σ > 12 x(x − 1)(x − 2), mentre per il secret sharing scheme
2
costruito in [43] risulta σ = 23 x + 1 .
5.2. Ovali astratte. Un (q + 1)-arco di un piano di Galois P G(2, q) `e tale che per ogni suo punto
passa esattamente una unisecante dell’arco. In generale, si definisce ovale di una struttura di
incidenza un insieme di punti a tre a tre non allineati tali che fra le rette uscenti da un qualunque
suo punto si ha una sola unisecante. Se S `e un arco focalizzato su ℓ e N indica l’insieme dei punti
di ℓ non appartenenti a nessuna secante di S, allora S `e una ovale della struttura di incidenza
le cui rette sono quelle rette di P G(2, q) incidenti ℓ in punti non appartenenti a N . A seguito
delle ricerche in corso fin dal 1966 intorno al teorema di F. Buekenhout sulle ovali pascaliane,
il concetto di ovale di un piano proiettivo `e stato generalizzato anche in un’altra direzione, introducendo il concetto di ovale astratta. Dato un qualunque insieme O, sia G una famiglia di
permutazioni involutorie su O quasi due volte strettamente transitiva, nel senso che per ogni due
coppie (A1 , A2 ) e (B1 , B2 ) di elementi di O con Ai 6= Bj (i, j = 1, 2) esiste un’unica involuzione
di G che porta A1 in A2 e B1 in B2 . Alla coppia (O, G) si associa una struttura geometrica, detta
ovale astratta, i cui punti sono gli elementi di O e le involuzioni che costituiscono G, mentre le
rette sono formate o da un punto di O e da tutte le involuzioni che lo fissano, o da due punti di O
e da tutte le involuzioni che li permutano (le prime sono chiamate unisecanti, le seconde secanti
dell’ovale).
Una ovale astratta isomorfa a una ovale di un piano proiettivo si dice proiettiva. Si vede facilmente
che tutte le ovali astratte di ordine n ≤ 5 sono proiettive. Inoltre, non esistono ovali astratte di
ordine 6, e l’unica ovale astratta di ordine 7 `e proiettiva. Fra le ovali astratte di ordine 8 ci sono
esattamente due ovali astratte proiettive, e i primi due esempi di ovale astratta non proiettiva.
Per lungo tempo `e rimasto aperto il problema della classificazione delle ovali astratte di ordine
9. Cherowitzo nel 1986 ha dimostrato che le ovali proiettive di ordine 9 non equivalenti sono
5. In [29] il problema della classificazione `e completamente risolto, provando che queste sono le
uniche ovali astratte di ordine 9. Il risultato `e ottenuto con tecniche computazionali, basate su
un algoritmo che tiene conto della classificazione delle 1-fattorizzazioni dei grafi completi con 10
vertici.
5. Grafi e configurazioni
Nell’ambito della Teoria dei Codici, uno ruolo molto rilevante `e giocato dai cosiddetti Codici
LDPC (Low Density Parity Check): una classe di codici vicina al limite di capacit di Shannon, le cui
26
prestazioni in termini di velocit`
a di decodifica dei messaggi sono ben note in letteratura. In [41]
`e stato sviluppato un approccio geometrico alla costruzione di codici LDPC, basato sul concetto di
configurazione. Sfruttando la ricchezza di sottoconfigurazioni di uno spazio proiettivo ottenibili
con metodi gruppali e combinatorici, sono state prodotte nuove classi di codici LDPC, in taluni
casi dai parametri migliori rispetto a quelle finora conosciute.
In [53] l’attenzione si `e concentrata sulle configurazioni simmetriche. Sono stati ottenuti molti
nuovi parametri, con particolare riferimento al caso ciclico, usando come strumento chiave i
Golomb rulers e i Golomb rulers modulari. Inoltre si sono stabilite nuove limitazioni superiori
sul minimo intero E(k) (risp. Ec (k)) tale che per ogni v ≥ E(k) (risp. v ≥ Ec (k)) esiste una
vk -configurazione simmetrica (risp. simmetrica ciclica).
In [52] ottiene una classificazione completa dei cosiddetti grafi unitari. I grafi unitari costituiscono una famiglia di grafi simmetrici i cui vertici sono le bandiere dell’unital hermitiano, e le
cui relazioni di adiacenza sono determinate dallla struttura del campo finito sottostante. Tali
grafi ammettono il gruppo unitario come gruppo di automorfismi e giocano un ruolo significativo
nella classificazione dei grafi simmetrici con quozienti completi tali che la struttura di incidenza
associata `
e doppiamente transitiva sui punti.
Attivit`
a didattica
Corsi di Dottorato
Si veda Attivit`
a di ricerca
Corsi di Master di I livello
A.A. 2011/2012
Laboratorio di Crittografia, Master in Sistemi e Tecnologie per la Sicurezza dell’Informazione e della Comunicazione, Universit`
a degli Studi di Perugia.
A.A. 2006/2007
Laboratorio di Crittografia e Sicurezza Digitale, Master in Sistemi e Tecnologie per
la Sicurezza dell’Informazione e della Comunicazione, Universit`
a degli Studi di
Perugia.
Corsi di Laurea Specialistica e Magistrale
A.A. 2013/2014
Crittografia e Applicazioni (6 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea
Magistrale in Informatica, Universit`
a degli Studi di Perugia.
Codici e Crittografia (6 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea Magistrale in Matematica, Universit`
a degli Studi di Perugia.
A.A. 2012/2013
Crittografia e Applicazioni (6 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea
Magistrale in Informatica, Universit`
a degli Studi di Perugia. Valutazione studenti:
9.0 (media corso di studi: 8.4)
Teoria dell’Informazione II (6 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea
Magistrale in Matematica, Universit`
a degli Studi di Perugia. Valutazione studenti:
7.5 (media corso di studi: 7.6)
27
A.A. 2011/2012
Teoria dei Codici e Crittografia (6 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea Magistrale in Matematica, Universit`
a degli Studi di Perugia. Valutazione
studenti: 8.9 (media corso di studi: 7.9)
Crittografia e Applicazioni (6 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea
Magistrale in Informatica, Universit`
a degli Studi di Perugia. Valutazione studenti:
8.8 (media corso di studi: 8.3)
A.A. 2010/2011
Geometria Superiore (6 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea Magistrale in Matematica, Universit`
a degli Studi di Perugia. Valutazione studenti: 8.3
(media corso di studi: 7.9)
Teoria dei Codici e Crittografia (6 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea Magistrale in Matematica, Universit`
a degli Studi di Perugia. Valutazione
studenti: 8.5 (media corso di studi: 7.9)
Crittografia e Applicazioni (6 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea
Magistrale in Informatica, Universit`
a degli Studi di Perugia. Valutazione studenti:
8.5 (media corso di studi: 8.3)
A.A. 2009/2010
Geometria Combinatoria 2 (7,5 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea
Specialistica in Matematica, Universit`
a degli Studi di Perugia.
Crittografia (6 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea Specialistica in
Informatica, Universit`
a degli Studi di Perugia. Valutazione studenti: 7.9 (media
corso di studi: 7.8)
A.A. 2008/2009
Geometria Combinatoria 2 (7,5 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea
Specialistica in Matematica, Universit`
a degli Studi di Perugia.
Crittografia (6 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea Specialistica in
Informatica, Universit`
a degli Studi di Perugia.
A.A. 2007/2008
Geometria Combinatoria 2 (7,5 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea
Specialistica in Matematica, Universit`
a degli Studi di Perugia.
A.A. 2006/2007
Geometria Combinatoria 2 (7,5 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea
Specialistica in Matematica, Universit`
a degli Studi di Perugia.
A.A. 2005/2006
Geometria Combinatoria 2 (7,5 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea
Specialistica in Matematica, Universit`
a degli Studi di Perugia.
Corsi di Lauea Triennale o a Ciclo Unico
A.A: 2013/2014
Matematica 2 (6 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Chimica,
Universit`
a degli Studi di Perugia.
Matematica Discreta - Modulo 1 (6 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di
Laurea in Informatica, Universit`
a degli Studi di Perugia.
A.A: 2012/2013
Matematica 2 (6 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Chimica,
Universit`
a degli Studi di Perugia. Valutazione studenti: 8.9 (media corso di studi:
8)
28
Matematica Discreta - Modulo 1 (6 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di
Laurea in Informatica, Universit`
a degli Studi di Perugia. Valutazione studenti:
9.1 (media corso di studi: 7.3)
A.A: 2011/2012
Matematica 2 (6 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Chimica,
Universit`
a degli Studi di Perugia. Valutazione studenti: 8.9 (media corso di studi:
8)
A.A: 2010/2011
Matematica 2 (6 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Chimica,
Universit`
a degli Studi di Perugia. Valutazione studenti: 9.4 (media corso di studi:
8.4)
A.A: 2009/2010
Matematica 2 (9 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Chimica,
Universit`
a degli Studi di Perugia. Valutazione studenti: 9 (media corso di studi:
7.7)
Modulo di Matematica (5 CFU) del corso integrato di Matematica e Fisica, titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Farmacia, Universit`
a degli Studi di
Perugia. Valutazione studenti: 7.8 (media corso di studi: 7.1)
A.A: 2008/2009
Matematica 2 (9 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Chimica,
Universit`
a degli Studi di Perugia.
Modulo di Matematica (5 CFU) del corso integrato di Matematica e Fisica, titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Farmacia, Universit`
a degli Studi di
Perugia.
A.A. 2007/2008
Matematica Discreta 2 (6 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in
Informatica, Universit`
a degli Studi di Perugia.
Modulo di Analisi Matematica (3 CFU) del corso di Matematica 1, titolarit`
a per
affidamento, Corso di Laurea in Chimica, Universit`
a degli Studi di Perugia.
Modulo di Matematica (5 CFU) del corso integrato di Matematica e Fisica, titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Farmacia, Universit`
a degli Studi di
Perugia.
Modulo di Matematica (5 CFU) del corso integrato di Matematica e Fisica, titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Controllo di qualit`
a nel S.I.F.A, Universit`
a
degli Studi di Perugia.
A.A. 2006/2007
Matematica 2 (6 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Chimica,
Universit`
a degli Studi di Perugia.
Matematica 2 (3 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Scienze
Geologiche, Universit`
a degli Studi di Perugia.
Modulo di Matematica (5 CFU) del corso integrato di Matematica e Fisica, titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Farmacia, Universit`
a degli Studi di
Perugia.
Modulo di Matematica (5 CFU) del corso integrato di Matematica e Fisica, titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Controllo di qualit`
a nel S.I.F.A, Universit`
a
degli Studi di Perugia.
29
A.A. 2005/2006
Geometria (6 CFU), titolarit`
a per affidamento. Corso di Laurea in Ingegneria per
l’Ambiente ed il Territorio, Universit`
a degli Studi di Perugia.
Esercitazioni e Tutorato per il corso di Geometria, Corso di Laurea in Ingegneria
per l’Ambiente ed il Territorio, Universit`
a degli Studi di Perugia.
Modulo di Matematica (5 CFU) del corso integrato di Matematica e Fisica, titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Farmacia, Universit`
a degli Studi di
Perugia.
Modulo di Matematica (5 CFU) del corso integrato di Matematica e Fisica, titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Controllo di qualit`
a nel S.I.F.A, Universit`
a
degli Studi di Perugia.
A.A. 2004/2005
Geometria (6 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Ingegneria per
l’Ambiente ed il Territorio, Universit`
a degli Studi di Perugia.
Esercitazioni e Tutorato per il corso di Geometria, Corso di Laurea in Ingegneria
per l’Ambiente ed il Territorio, Universit`
a degli Studi di Perugia.
Modulo di Matematica (5 CFU) del corso integrato di Matematica e Fisica, titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Farmacia, Universit`
a degli Studi di
Perugia.
Modulo di Matematica (5 CFU) del corso integrato di Matematica e Fisica, titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Controllo di qualit`
a nel S.I.F.A, Universit`
a
degli Studi di Perugia.
A.A. 2003/2004
Geometria (6 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Ingegneria per
l’Ambiente ed il Territorio, Universit`
a degli Studi di Perugia.
Corso introduttivo, Esercitazioni e Tutorato per il corso di Geometria, Corso di
Laurea in Ingegneria per l’Ambiente ed il Territorio, Universit`
a degli Studi di
Perugia.
Modulo di Matematica (5 CFU) del corso integrato di Matematica e Fisica, titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Farmacia, Universit`
a degli Studi di
Perugia.
Modulo di Matematica (5 CFU) del corso integrato di Matematica e Fisica, titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Controllo di qualit`
a nel S.I.F.A, Universit`
a
degli Studi di Perugia.
A.A. 2002/2003
Geometria (6 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Ingegneria per
l’Ambiente ed il Territorio, Universit`
a degli Studi di Perugia.
Corso introduttivo, Esercitazioni e Tutorato per il corso di Geometria, Corso di
Laurea in Ingegneria per l’Ambiente ed il Territorio, Universit`
a degli Studi di
Perugia.
Modulo di Matematica (5 CFU) del corso integrato di Matematica e Fisica, titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Farmacia, Universit`
a degli Studi di
Perugia.
30
Modulo di Matematica (5 CFU) del corso integrato di Matematica e Fisica, titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Controllo di qualit`
a nel S.I.F.A, Universit`
a
degli Studi di Perugia.
A.A. 2001/2002
Geometria (6 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Ingegneria per
l’Ambiente ed il Territorio, Universit`
a degli Studi di Perugia.
Corso introduttivo, Esercitazioni e Tutorato per il corso di Geometria, Corso di
Laurea in Ingegneria per l’Ambiente ed il Territorio, Universit`
a degli Studi di
Perugia.
Modulo di Matematica (5 CFU) del corso integrato di Matematica e Fisica, titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Farmacia, Universit`
a degli Studi di
Perugia.
Modulo di Matematica (5 CFU) del corso integrato di Matematica e Fisica, titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Controllo di qualit`
a nel S.I.F.A, Universit`
a
degli Studi di Perugia.
A.A. 2000/2001
Geometria (6 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Ingegneria per
l’Ambiente ed il Territorio, Universit`
a degli Studi di Perugia.
Corso introduttivo, Esercitazioni e Tutorato per il corso di Geometria, Corso di
Laurea in Ingegneria per l’Ambiente ed il Territorio, Universit`
a degli Studi di
Perugia.
Istituzioni di Matematiche-Elementi di Statistica e Informatica (10 CFU), titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Farmacia, Universit`
a degli Studi di
Perugia.
A.A. 1999/2000
Istituzioni di Matematiche-Elementi di Statistica e Informatica, titolarit`
a per affidamento, Corso di Laurea in Farmacia, Universit`
a degli Studi di Perugia.
Esercitazioni per il corso di Geometria, Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica,
Universit`
a degli Studi di Perugia.
Tesi di Dottorato di cui sono stato relatore
Si veda Attivit`
a di ricerca
Tesi di Laurea di cui sono stato relatore
A.A. 1999/2000
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A.A. 2002/2003
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A.A. 2004/2005
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31
A.A. 2006/2007
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A.A. 2007/2008
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A.A. 2009/2010
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Li Zilin, Advanced Encryption Standard and Almost Perfect Nonlinear functions.
Laurea specialistica in Informatica.
A.A. 2010/2011
M. Calderini, Codici Algebrico-Geometrici Generalizzati da Curve Massimali. Laurea
magistrale in Matematica.
I. Marietti, Codici di Autenticazione e Curve Algebriche. Laurea magistrale in
Matematica.
A.A. 2011/2012
G. Ranocchia, La Geometria dei Secret Sharing Schemes. Laurea specialistica in
Matematica.
A.A. 2012/2013
N. Valigi. Algoritmi di fattorizzazione. Laurea triennale in Matematica.
M. Montanucci. Campi di funzioni algebriche e applicazioni. Laurea triennale in
Matematica.
C. Bracuto. Secret sharing schemes multilivello. Laurea magistrale in Matematica.
Cicli di lezioni nell’ambito di corsi di Laurea esteri - staff mobility Erasmus-Socrates
A.A. 2003/2004
Goppa Codes, tenuto presso il Dipartimento di Matematica dell’Universit`
a di Amburgo.
Algebraic-Geometric Codes and Algebraic Curves, tenuto presso il Dipartimento di
Matematica dell’Universit`
a di Budapest.
A.A. 2002/2003
Algebraic Geometric Codes, tenuto presso Department of Mathematics, Royal Institute of Technology, Stoccolma, Svezia.
Altro
17–21 ottobre 2011
Nell’ambito della XXI Settimana della cultura scientifica e tecnologica organizzata dalla Facolt`
a di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali dell’Universit`
a di
Perugia, conferenza dal titolo SMS: segreti matematicamente sicuri.
32
18–22 ottobre 2010
Nell’ambito della XX Settimana della cultura scientifica e tecnologica organizzata dalla Facolt`
a di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali dell’Universit`
a di
Perugia, conferenza dal titolo SMS: segreti matematicamente sicuri.
23–29 marzo 2009
Nell’ambito della XIX Settimana della cultura scientifica e tecnologica organizzata dalla Facolt`
a di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali dell’Universit`
a di
Perugia, conferenza dal titolo Un segreto? Lo sveliamo coi numeri primi.
25–30 agosto 2008
Nell’ambito dell’Incontro finale borsisti INDAM - Progetto Lauree Scientifiche
2008, conferenza dal titolo Strutture geometriche per la suddivisione di segreti.
3–7 marzo 2008
Nell’ambito della XVIII Settimana della cultura scientifica e tecnologica organizzata dalla Facolt`
a di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali dell’Universit`
a di
Perugia, conferenza dal titolo SMS: segreti matematicamente sicuri.
26–31 agosto 2007
Nell’ambito dell’Incontro finale borsisti INDAM - Progetto Lauree Scientifiche
2007, conferenza dal titolo Strutture geometriche per la suddivisione di segreti.
Altre attivit`
a
Dall’A.A. 2013-2014 `
e membro del Collegio docenti del Dottorato in Matematica, Informatica e Statistica istituito in consorzio dall’Universit`a di Firenze, Universit`
a di Perugia e Istituto Nazionale di Alta
Matematica (INdAM), con sede amministrativa presso l’Universit`a di Firenze.
Commissario in Procedure di valutazione comparativa
2008
Concorso per 1 posto da Ricercatore, settore scientifico-disciplinare MAT/03, II sessione 2007, Facolt`
a di Ingegneria, Universit`
a degli Studi di Brescia.
2007
Concorso per 1 posto da Ricercatore, settore scientifico-disciplinare MAT/03, III sessione 2006, Facolt`
a di Ingegneria, Universit`
a degli Studi di Siena.
Commissario in Esami finali per il conseguimento del Dottorato di ricerca
2013
Dottorato di Ricerca in Matematica, Universit`
a degli Studi di Trento (24 aprile 2013).
2012
Ph.D Degree in Mathematics, Faculty of Engineering and Natural Sciences, Sabanci
University, Istanbul, Turchia (31 maggio 2012).
2008
Dottorato di Ricerca in Matematica (Mat/03), XX ciclo, Universit`
a di Bari (D.R. 2979
del 27/02/2008).
Commissario in Esami di ammissione al Dottorato di ricerca
2009
Dottorato di Ricerca in Matematica e Informatica per il trattamento dell’informazione
e della conoscenza, XXV ciclo, Universit`
a di Perugia (D.R. 1787 del 11/09/2009).
Conferenze Generali
13/5/2012
Nell’ambito della II Festa di Scienza e Filosofia - Virtute e Canoscenza, Foligno 10-13
maggio 2012, conferenza dal titolo Matematica e Privacy.
33
Altro
Dal 3 aprile 2014 `e Delegato del Direttore per il settore Ricerca del Dipartimento
di Matematica e Informatica dell’Universit`
a di Perugia.
Dal 7 febbraio 2013 `e Responsabile della Qualit`a per il corso di Laurea Magistrale
in Matematica dell’Universit`
a di Perugia.
Dall’A.A. 2012-2013 `e membro della Commissione per la Didattica Assistica dei
Corsi di Studio in Matematica dell’Universit`
a di Perugia.
Rappresentante eletto dei Ricercatori in Consigli di Facolt`
a
10/2006-09/2010 Consiglio di Facolt`
a di Scienze MM. FF. NN. - Universit`
a degli Studi di Perugia
11/2002-12/2005 Consiglio di Facolt`
a di Ingegneria - Universit`
a degli Studi di Perugia
Affiliazioni
Recensore per Zentralblatt f¨
ur Mathematik
dal 1999
Socio U.M.I.
dal 1997
Affiliato al G.N.S.A.G.A.
19 dicembre 2014
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Costituzione rapporto di lavoro con il Dott. Pessolani Rocco Donato

RITORNANDO A CASA COMING HOME

dessert - Tony`s

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Elezione rappresentanti genitori - Direzione Didattica V Circolo

Programma - Consulta Umbria

Peso del bambino dalla nascita a 6 mesi