Economia ed Organizzazione dell’Impresa
Giochi dinamici
(PRNC, cap. 10)
Giochi dinamici: credibilit`a
Consideriamo il seguente gioco d’entrata:
Novasoft
Megasoft
Ostacolare
Entrare
0,0
Restare fuori
1,5
Accettare
2,2
1,5
• Due equilibri di Nash: (Entrare, Accettare) e (Restare fuori,
Ostacolare)
• Uno solo perfetto nei sottogiochi.
Stackelberg: conc. nella quantit`a
Impresa 1: leader, impresa 2: follower.
• 2: razionale: scelta migliore dato quello che far`
a 1.
max(A − BQ − c )q2 ⇔ q2 (q1 ) =
q
2
A−c
q
− 1.
2B
2
c
B
• 1: razionale → P = A+
2 + 2 q1 .
A−c
max Π1 [q1 , q2 (q1 )] ⇔ q1∗ =
.
q1
2B
• QS =
3(A−c )
4B
>
2(A − c )
.
3B
Stackelberg: quantit`a
Leader produce pi`
u di Follower → ΠS1 > ΠS2
• Informazione perfetta per Follower → svantaggio.
• Ruolo di irreversibilit`
a scelta di Leader.
• In Cournot
(A−c )
2B
−C .
non `
e risposta ottimale a A4B
Conc.seq. prezzi
Beni differenziati qi = 1 − pi + bpj , i, j = 1, 2, i 6= j.
• Impresa 1 leader, sa che 2 sceglie
p2 (p1 ) =
1 + bp2
2
• Profitto di 1:
π1 [p1 , p2 (p1 )] =
• CPO:
2 + b − p1 (2 − b 2 )
p1
2
dπ1 (·)
2+b
= 0 ⇔ p1∗ =
.
dp1
2(2 − b 2 )
Conc. seq. prezzi
Sostituendo p2∗ =
4 + 2b − b 2
.
4(2 − b 2 )
• p2∗ < p1∗ .
• Profitti di equilibrio:
π1∗ =
(2 + b )2
,
8(2 − b 2 )2
π2∗ =
(4 + 2b − b2 )2
.
16(2 − b 2 )2
• π2∗ > π1∗ → Vantaggio della seconda mossa.
Differenziazione orizzontale
Citt`a lineare, imprese scelgono localizzazione, poi prezzi.
• Consumatori x ∼ U [0, 1]
• Costo per consumatori: quadratico t × d 2 .
• Imprese situate a distanza a e 1 − b da estremi segmento.
Differenziazione orizzontale
Equilibrio perfetto nei sottogiochi: soluzione a ritroso.
V − p1 − t (x m − a)2 =V − p2 − t (1 − b − x m )2 ⇔
p2 − p1
1−a−b
+
⇔x m = a +
2
2t (1 − a − b )
• Domande:
D 1 (a, b, p1 , p2 ) =x m
D 2 (a, b, p1 , p2 ) =1 − x m = b +
1−a−b
p1 − p2
+
.
2
2t (1 − a − b )
Differenziazione orizzontale
Funzioni di profitto (costo marginale = c).
Π1 (a, b, p1 , p2 ) = (p1 − c )D 1 (·),
Π2 (a, b, p1 , p2 ) = (p2 − c )D 2 (·).
Differenziazione orizzontale
Ricerca equilibrio perfetto nei sottogiochi → induzione a ritroso →
soluzione da ultimo stadio
• CPO sui prezzi:
∂Π1 (·)
= p2 − 2p1 + c − t [a2 − (1 − b )2 ] = 0,
∂p1
∂Π2 (·)
= p1 − 2p2 + c − t [b2 − (1 − a)2 ] = 0.
∂p2
• Funzioni miglior risposta:
o
1n
p2 + c − t [a2 − (1 − b )2 ] ,
2
o
1n
p2 =
p1 + c − t [b 2 − (1 − a)2 ] .
2
p1 =
Differenziazione orizzontale
• Da sistema funzioni miglior risposta
a−b
p1∗ (a, b ) = c + t (1 − b − a) 1 +
,
3
b−a
p2∗ (a, b ) = c + t (1 − b − a) 1 +
.
3
• Sostituendo nei profitti
Π1 [a, b, p1∗ (a, b ), p2∗ (a, b )] = [p1∗ (a, b ) − c ]D 1 [(a, b, p1∗ (a, b ), p2∗ (a, b )],
Π2 [a, b, p1∗ (a, b ), p2∗ (a, b )] = [p2∗ (a, b ) − c ]D 2 [(a, b, p1∗ (a, b ), p2∗ (a, b )].
Differenziazione orizzontale
Scelta localizzazione: CPO
∂Π1 (·)
=
∂a
∂Π1
| ∂a
{z }
Eff. diretto
• Effetto diretto: positivo.
• Effetto strategico: negativo.
+
∂Π1 ∂p1∗
∂Π1 ∂p2∗
+
∂p ∂a
∂p ∂a
| 1{z }
| 2{z }
=0
Eff. strategico
Differenziazione orizzontale
Sostituendo nei profitti e semplificando si ottiene (imp. 1)
t (3 + a − b )(3 + b 2 − 4b − 2a − a2 )
Π1 (·) = 18
• Derivata rispetto ad a:
∂Π1 (·)
t
= − (2 + a + 1 − b )(1 + 3 + a + b ) < 0
∂a
18
• Effetto strategico domina effetto diretto.
• Imp. 1 vuole allontanarsi il pi`
u possibile da 2 (stesso vale per imp.
2).
→ Principio di massima differenziazione.
Differenziazione verticale
N cosumatori, utilit`a indiretta:
(
zsi − pi
U=
0
se acquista,
se non acquista.
• z ∼ U [0, 1]
• pi prezzo bene i.
• si , i = 1, 2 qualit`
a oggettiva bene i, si ∈ [0, s 0 ].
• Due imprese monoprodotto, 1 e 2.
Differenziazione verticale
Ipotizziamo s2 > s1
• Consumatore indifferente tra acquistare 1 e 2:
p − p1
zs2 − p2 = zs1 − p1 ⇔ z = 2
.
s2 − s1
• Consumatore indifferente tra acquistare 2 e non acquistare:
p
zs1 − p1 = 0 ⇔ z = 1
s1
• Domande:
s2 − s1
D2 (p1 , p2 , s1 , s2 ) =N 1 −
,
p2 − p1
p
p2 − p1
D1 (p1 , p2 , s1 , s2 ) =N
− 1 .
s2 − s1
s1
Differenziazione verticale
Profitti imprese:
Π1 (p1 , p2 , s1 , s2 ) = D1 (·)p1 ,
Π2 (p1 , p2 , s1 , s2 ) = D2 (·)p2 .
• CPO per i prezzi:
∂Π1 (·)
1s
= 0 ⇔ p1 = 1 p2 ,
∂p1
2 s2
2 (·)
∂Π
1
= 0 ⇔ p2 = (p1 + s2 − s1 ).
∂p2
2
• Soluzione:
s ( s − s1 )
p1∗ (s1 , s2 ) = 1 2
,
4s2 − s1
p2∗ (s1 , s2 ) =
2s2 (s2 − s1 )
4s2 − s1
Differenziazione verticale
Sostituendo i prezzi nei profitti:
s s ( s − s1 )
Π1 [p1∗ (·), p2∗ (·), s1 , s2 ] = 1 2 2
(4s2 − s1 )2
Π2 [p1∗ (·), p2∗ (·), s1 , s2 ] =
4s22 (s2 − s1 )
(4s2 − s1 )2
• Scelta qualit`
a impresa 2:
∂Π2 (·) ∂p2∗ ∂Π2 (·) ∂p1∗ ∂Π2 (·)
∂Π2 (·)
=
+
+
=
∂s2
∂p
∂s
∂p
∂s
∂s
| 2{z 2} | 1{z 2} | {z2 }
=0
Eff. strat.
Eff. dir.
4s2 (s2 − s1 ) + 2s12 + s1 s2
= 4s2
>0
(4s2 − s1 )3
Differenziazione verticale
Impresa 2 sceglie s2∗ = s 0
• Qualit`
a impresa 1:
∂Π1 (·)
∂Π1 (·) ∂p1∗ ∂Π1 (·) ∂p2∗ ∂Π1 (·)
=
+
+
=
∂s1
∂p
∂s
∂p
∂s
∂s
| 1{z 1} | 2{z 1} | {z1 }
=0
=
Eff. strat.
Eff. dir.
4
s2 (4s2 − 7s1 )
= 0 ⇒ s1 = s2
7
(4s2 − s1 )3
• Impresa 1 sceglie qualit`
a ”intermedia” s1∗ = 74 s 0 .
Stackelberg: conc. nella quantit`a
Domanda: esiste ”vantaggio della prima mossa”?
• Modello di Cournot a 2 imprese con scelta sequenziale quantit`
a.
• Ruolo centrale: credibilit`
a scelta.
• Domanda P = A − BQ, con Q = q1 + q2 .
• Ci (qi ) = cqi , i = 1, 2.
Conc. seq. prezzi
Se beni omogenei esito del gioco simultaneo.
• Hotelling con imprese in 0 e 1.
• Costi trasporto lineari
p − p1 + t
x m (p1 , p2 ) = 2
.
2t
•
p − p1 + t
D 1 (·) = N 2
,
2t
p − p2 + t
D 2 (·) = N 1
.
2t
Conc. seq. prezzi
Impresa 1: Leader. Conosce p1 (p2 ) = p1 +2c +t .
• Domanda per 1:
D 1 [p1 , p2 (p1 )] = N
• Profitto
Π1 [p1 , p2 (p1 )] = N
c + 3t − p1
.
4t
c + 3t − p1
(p1 − c ).
4t
• CPO per 1:
3
dΠ1 [·]
= 0 ⇒ p1∗ = c + t.
dp1
2
• Prezzo ottimale per 2: p2∗ = c + 54 t
Conc. seq. prezzi
Concorrenza simultanea vs. sequenziale
• Livello dei prezzi pi`
u elevato con concorrenza sequenziale
• Impresa 2: prezzo minore di 1 → quota di mercato maggiore ( 58 N)
• Impresa 2: profitti maggiori di 1 → vantaggio della seconda
mossa.
• Vantaggio prima o seconda mossa: Ruolo credibilit`
a.
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