Prova N◦ 1 di Elettromagnetismo e Ottica (CCS Fisica), 4 dicembre 2014 Proff. Giovanni De Lellis & Lorenzo Marrucci Agli esercizi verranno attribuiti 15 punti ciascuno cos`ı ripartiti: 10 punti alla prima domanda e 5 alla seconda del primo esercizio; per il secondo sono assegnati 6 punti alla prima, 6 alla seconda e 3 alla terza domanda. ESERCIZIO N◦ 1 Il circuito elettrico mostrato in figura (1a) `e costituito da un generatore di tensione f = 150 V, due resistenze R = 250 Ω e un condensatore piano di superficie rettangolare con lati a = 1 m e b = 30 cm, spessore d = 1 mm nel quale `e presente un dielettrico di costante εr1 = 5. Inizialmente il circuito `e aperto e il condensatore scarico. 1. Calcolare l’andamento in funzione del tempo della carica presente sulle armature del condensatore e il tempo necessario per raggiungere la frazione α = 99% della carica asintotica a partire dall’istante in cui il circuito viene chiuso. 2. Se il dielettrico all’interno del condensatore viene sostituito con tre materiali dielettrici di costanti εr1 = 5, εr2 = 4, εr3 = 3 disposti come in figura (1b), calcolare l’energia elettrostatica che accumuler`a a regime. ESERCIZIO N◦ 2 Sia dato un anello conduttore di raggio R = 30 cm e carica Q = 3 µC. Calcolare il campo elettrico nei punti dell’asse e il lavoro esterno necessario a portare una carica puntiforme q = 2 nC dall’infinito al centro dell’anello. Si dispone concentricamente con l’anello una sfera conduttrice di raggio b = R/2 collegandola a terra. Calcolare la densit`a di carica che si induce sulla sfera nei due punti in cui essa viene intersecata dall’asse dell’anello. ESERCIZIO N◦ 1 Detta Q2 la carica sulle armature del condensatore e V2 = Q2 /C la differenza di potenziale ai capi delle armature, le equazioni del circuito si scrivono f = (I1 − I2 )R −V2 = I2 R + (I2 − I1 )R dove I1 `e la corrente che circola nel generatore e I2 = dQ2 /dt quella che attraversa il condensatore. Risolvendo R dQ2 f C − Q2 = dt C si ha Q2 (t) = f C(1 − exp −t/τ ) con τ = RC e C = ε0 εr1 ab/d. Il valore asintotico per la carica `e f C e il tempo richiesto si ottiene risolvendo f C − f C exp −t/τ = αf C da cui t = −RCln(1 − α) = 4.6RC = 15 µs. Nella seconda configurazione, abbiamo due vettori spostamento elettrico in corrispondenza di due densit` a di carica, D1 = σ1 , D2 = σ2 dove la carica totale `e Q = (σ1 + σ2 )S/2. La differenza di potenziale nelle due regioni `e la stessa e dunque possiamo uguagliare σ1 d σ2 d 1 1 ∆V = = + ε0 εr1 2ε0 εr2 εr 3 da cui ricaviamo la relazione tra le due densit` a di carica e la capacit`a σ1 ab 2εr2 εr3 1 1+ ε0 εr 1 ε0 ab Q 2εr2 εr3 2 εr2 + εr3 εr1 = = εr 1 + C= = 11.2nF. ∆V σ1 d 2d εr2 + εr3 L’energia elettrostatica immagazzinata a regime `e Cf 2 /2 = 1.26 × 10−4 J. ESERCIZIO N◦ 2 La carica si distribuisce in modo uniforme con densit`a λ = Q/2πR e il campo dell’anello in un punto dell’asse di coordinata z `e diretto lungo l’asse e vale z λR E= 2ε0 [R2 + z 2 ] 23 Il lavoro da compiere contro il campo `e Z −q ~ = −q ~ · dl E Z 0 ∞ λR zdz qλR 1 3 = 2ε0 [R2 + z 2 ] 2 2ε0 [R2 + z 2 ] 21 )0 = ∞ qλ = 1.8 × 10−4 J. 2ε0 Il problema si risolve con il metodo delle cariche immagini. La soluzione prevede che per ciascuna carica elementare dq = λRdϑ dell’anello ce ne sia una dq 0 = λ0 adϑ di segno opposto all’interno della sfera a distanza a dal centro. Per avere potenziale nullo sulla sfera, deve essere aR = b2 da cui a = R/4 e dq 0 = − Rb dq, da cui b b dq 0 = λ0 adϑ = − dq = − λRdϑ R R da cui λ0 a = −λb. Il campo elettrico nel punto (0, 0, b) ha non nulla solo la componente Ez ( ) bR λ b2 λb 8 − 32 6λ Ez (0, 0, b) = = =− 3 − 3 3 3 2 2ε0 [b2 + R2 ] 2 2ε0 R 5 2 [b2 + a2 ] 2 ε0 5 2 R 3 Per il teorema di Coulomb la densit` a σ(0, 0, b) = ε0 Ez = −6λ/5 2 R = −2.85 µC/m2 . Ez (0, 0, −b) = −Ez (0, 0, b). Visto che la normale alla sfera ha verso opposto, la densit`a rimane la stessa, ovvero σ(0, 0, −b) = σ(0, 0, b).
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