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29.01.2014

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Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
A.A. 2012/2013, Sessione Invernale
Esami di Fisica Gen. I con Lab e Fisica Gen. II con Lab
29 Gennaio 2014, Prova Scritta
TESTI E SOLUZIONI DEI PROBLEMI
PROBLEMA 1 (Fis. Gen. I Lab.)
Un corpo è lanciato verticalmente verso l’alto con una velocità iniziale v0 = 20,0m / s . Supponendo
che la resistenza dell’aria sia proporzionale alla velocità del corpo (cioè il suo modulo è dato R = av
con A costante) e che la velocità limite che il corpo avrebbe in caduta libera sia pari a v∞ = 100,0m / s
, determinare:
1. L’altezza massima h (misurata dal punto di lancio) raggiunta dal corpo e il tempo tR
occorrente per raggiungerla;
2. La frazione dell’energia meccanica dissipata in calore durante la salita.
Soluzione
La velocità verticale in funzione del tempo è stata calcolata al cap.4 delle dispense ed è:
k
k
− t
m − t
v y = g (e m − 1) + v0 y e m
k
e la quota in funzione del tempo è
k
k
− t
m
m − t
y (t ) = −v∞ t − g ( )2 (e m − 1) − v0 y (e m − 1) .
k
k
All’altezza massima la velocità è zero e abbiamo:
k
0=g
k
k
− t
− t
m −mt
m
m
(e
− 1) + v0 y e m ⇒ g = ( g + v0 y )e m ,
k
k
k
da cui ricaviamo il tempo per raggiungere la quota massima:
t=−
v∞
m
ln
= 1,86s ,
k v∞ + v0 y
posto v∞ = g m . Da questa si ricava che
k
e
−
k
t
m
−1 = −
v0 y
v∞ + v0 y
.
La massima quota risulta, sostituendo:
ymax =
v∞2 v0 y + v∞ v0 y v∞
ln
+
= 18, 0m .
g
v∞
g
La frazione di energia dissipata è data dalla differenza tra l’energia cinetica iniziale e l’energia
potenziale massima raggiunta divisa per l’energia cinetica iniziale. In formule:
T0 − mgymax
= 0,117 .
T0
PROBLEMA 2 (Fis. Gen. I Lab.)
Un recipiente è costituito da un cilindro di diametro D = 9, 0cm ; alla sua base è innestato un tubo
orizzontale di diametro d = 3, 0cm con asse a l = 5.0cm di distanza dal fondo stesso. Il tubo orizzontale
viene tappato e il recipiente viene riempito d’acqua fino a 50cm di altezza. Supponendo che il piano
di appoggio del recipiente sia perfettamente liscio, determinare la forza necessaria per mantenere
fermo il recipiente quando viene tolto il tappo.
Soluzione
Scriviamo l’equazione di Bernoulli tra le altezze h (del pelo libero rispetto al fondo del recipiente)
e l , abbiamo:
1
2
1
2
ρ gh + ρ v02 = ρ gl + ρ v2 ,
con v0 e v rispettivamente le velocità dell’acqua alla sommità del recipiente e nel tubo orizzontale.
Poiché la quantità totale di fluido si conserva, si deve avere che
1
1
π D 2 v0 = π d 2 v
4
4
v0 =
⇒
d2
D2
v.
Sostituendo, abbiamo:
v2 =
2 g (h − l )
d4
1− 4
D
.
In un tempuscolo dt , la massa che fuoriesce dal tubo orizzontale è:
dm = ρ dV = ρ
πd2
con una quantità di moto pari a
dp = dmv = ρ
πd2
4
v 2 dt = ρ
4
vdt ,
π d 2 2 g (h − l )
4 1− d 4
corrispondente ad una forza
F =−
dt ,
D4
dp
π d 2 2 g (h − l )
.
= −ρ
dt
4 1− d 4
D4
Per tenere il recipiente fermo occorrerà applicare una forza eguale e contraria a F .
PROBLEMA 3 (Fis. Gen. I Lab.)
Un cilindro di 100cm2 di base e di 0, 2m di altezza ha nel suo interno un pistone adiabatico che
inizialmente lo divide in due regioni uguali A e B . I due recipienti contengono entrambi 0, 2 moli
di O2 alla temperatura di 27°C . Il cilindro ha una base conduttrice attraverso la quale vengono
fornite 103 cal. Si constata che il pistone si sposta di 5cm . Determinare:
1. Le temperature finali in A e B ,
2. La variazione di entropia in B .
(calore molare dell’ossigeno C v = 5cal / K ).
Soluzione
Il settore B subisce una compressione adiabatica, dunque del lavoro viene fatto sul gas ivi
contenuto. Tale lavoro è:
L = piViγ
V f1−γ − Vi1−γ
1− γ
= −398.4 J .
Nel settore B, il gas non riceve calore, dunque questo lavoro va solo ad incrementare l’energia
interna:
ΔU = − L = nCV ΔT ⇒ ΔT =
ΔU
= 95, 4K .
nCV
Dunque la temperatura finale del gas nel settore B è uguale a
T fB = Ti + ΔT = 300 + 95, 4 = 395, 4 K .
Nel settore A il gas ha ricevuto un calore pari a Q = 4,18 ⋅103 J e ne ha usato 398, 4 per fare lavoro
sul gas in B. Ne segue che la variazione di energia interna è:
ΔU = Q + L = 3781,4J = nCV ΔT.
La variazione di temperatura del gas è così: ΔT = 904 K e la temperatura finale è:
T fA = Ti + ΔT = 300 + 904 = 1204 K .
Questo risponde alla prima domanda.
Il calcolo dell’entropia può essere fatto usando una trasformazione che conduca dallo stato iniziale a
quello finale attraverso una isocora seguita da una isobara. La formula finale, calcolata a lezione
durante le esercitazioni, è:
ΔS = nCV ln
Tf
+ nR ln
Ti
Vf
Vi
= 0, 013J / K .
PROBLEMA 4 (Fis. Gen. II Lab.)
Una corda di lunghezza l e densità lineare ρ , fissata agli estremi è sede di onde stazionarie di
lunghezza d’onda λ . Calcolare l’energia totale della corda e dare lo spettro delle energie possibili.
Soluzione
L’energia di ciascun trattino infinitesimo è:
dE = dT + dU =
1
1
ρ dxy 2 + ρ dxω 2 y 2 .
2
2
La funzione che rappresenta l’onda stazionaria è:
y = Asin(kx)sin(ω t) ⇒ y = ω Asin(kx)cos(ω t) .
Sostituendo, abbiamo per l’energia totale:
dE =
1
1
1
ρ dxy 2 + ρ dxω 2 y 2 = ρ dxA2ω 2 sin 2 (kx) .
2
2
2
Sommando (integrando) sulle energie di tutti i trattini, si ottiene l’energia della corda; troviamo:
E=
1 2 2l 2
1
ρ A ω ∫ sin (kx) dx = ρ A2ω 2l .
2
4
0
In realtà sulla corda vibrante ci saranno una frequenza fondamentale (di seguito denotata con un
sottoscritto 0) e le armoniche superiori (denotate con un indice n , con n numero intero). Per esse
abbiamo:
l=
λ0
2
λ
2π c
2
λ0
e l = n ; ω0 =
e ω=
2π c
λ
=
2π c
λ0
n = ω0 n .
Sostituendo nella formula dell’energia, abbiamo:
En =
in cui c =
T
ρ
1
1
c2
π 2 c2 2 2
2
ρ An2ωn2l = ρ An2 4π 2
ln
=
ρ An n ,
4
4
4
l
(2l )2
è la velocità di propagazione dell’onda sulla corda. Si può anche dire che la densità di
energia sulla corda è:
u=∑
n
π2
c2
ρ An2 2 n 2 .
4
l
Come si vede, l’energia delle armoniche superiori aumenta all’aumentare dell’indice producendo
una catastrofe ultravioletta, se le ampiezze non si riducono a zero allo stesso tempo. Le ampiezze
devono tuttavia andare a zero, perché altrimenti la somma che rappresenta la funzione d’onda
completa y( x, t ) = ∑ An sin(kx)sin(ωt ) non può convergere. Si noti comunque che non c’è modo di
n
calcolare le ampiezze delle singole armoniche e dunque calcolarne l’energia (cfr il problema del
corpo nero). Possiamo calcolare la densità di frequenze, notando che:
n=
e derivando:
ovvero, per unità di lunghezza:
2l
λ
=
2l
ν
c
dn 2l
= ,
dν
c
nν =
2
.
c
PROBLEMA 5 (Fis. Gen. II Lab.)
Dimostrate che, se una componente del momento della quantità di moto è nota per essere 2h entro
il 5%, allora la sua posizione angolare nel piano perpendicolare a quella componente non può essere
specificata affatto.
Soluzione
Occorre applicare il principio d’indeterminazione di Heisenberg:
ΔLz Δθ ≥ h .
Se l’errore su ΔLz è appena del 5% di h , l’errore su θ sarà:
Δθ ≥ h / (0,05 ⋅ h) = 20rad >> 360° .
Il valore di θ è del tutto indeterminato.
PROBLEMA 6 (Fis. Gen. II Lab.)
Una lampadina da 2 watt irraggia in maniera isotropa. Una fotocella a distanza di 1m riceve la sua
luce che viene interamente ceduta ai suoi elettroni di conduzione vicini alla superficie. Se la luce è
un’onda classica e non un insieme di fotoni, quanto tempo dobbiamo aspettare prima di osservare
l’emissione di un elettrone dal momento in cui la lampada comincia ad illuminare la fotocella?
Soluzione
L’energia che viene assorbita da un atomo può essere quella che cade su una superficie dell’ordine
della sezione trasversale dell’atomo stesso ovvero π R2 . Tale energia per unità di tempo sarà pari a
W
π R2
= 0,5 ⋅10−20 J / s = 3,1⋅10−2 eV / s ,
4π l 2
con W la potenza irraggiata dalla lampadina e R = raggio dell’atomo : 10−10 m .
Se tale energia viene accumulata tutta su un elettrone di conduzione (ipotesi tanto ottimistica),
perché tale elettrone possa avere i diversi eV necessari ad uscire dal metallo, occorreranno
dell’ordine di 100s .
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