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APPUNTI DI FISICA GENERALE APPLICATA
PARTE TERZA
Elettricità, magnetismo e aspetti correlati di fisiologia umana
FRANCO CIOCCI, GIUSEPPE DATTOLI
ENEA – Unità Tecnica Sviluppo Applicazioni delle Radiazioni
Laboratorio Modellistica Matematica
Centro Ricerche Frascati, Roma
RT/2012/26/ENEA
AGENZIA NAZIONALE PER LE NUOVE TECNOLOGIE,
LʼENERGIA E LO SVILUPPO ECONOMICO SOSTENIBILE
APPUNTI DI FISICA GENERALE APPLICATA
PARTE TERZA
Elettricità, magnetismo e aspetti correlati di fisiologia umana
FRANCO CIOCCI, GIUSEPPE DATTOLI
ENEA – Unità Tecnica Sviluppo Applicazioni delle Radiazioni
Laboratorio Modellistica Matematica
Centro Ricerche Frascati, Roma
RT/2012/26/ENEA
I Rapporti tecnici sono scaricabili in formato pdf dal sito web ENEA alla pagina
http://www.enea.it/it/produzione-scientifica/rapporti-tecnici
I contenuti tecnico-scientifici dei rapporti tecnici dell'ENEA rispecchiano l'opinione degli autori e
non necessariamente quella dell'Agenzia.
The technical and scientific contents of these reports express the opinion of the authors but not
necessarily the opinion of ENEA.
APPUNTI DI FISICA GENERALE APPLICATA
Parte Terza
Elettricità, magnetismo e aspetti correlati di fisiologia umana
FRANCO CIOCCI, GIUSEPPE DATTOLI
Sommario
La terza parte del libro è dedicata allo studio dell'elettromagnetismo classico. Vengono trattati gli aspetti tecnici
concernenti la fisiologia umana, gli aspetti diagnostici e quelli relativi alla sicurezza . Vengono inoltre introdotte
nozioni di dosimetria attraverso una analisi dei principali meccanismi di generazione di radiazioni ionizzanti.
Particolare attenzione è dedicata agli strumenti diagnostici direttamente correlati ai fenomeni fisici di cui si tratta in
questa parte delle lezioni.
I primi capitoli trattano in modo approfondito i principali fenomeni legati all'elettricità e al magnetismo.
Nel primo capitolo si definiscono i concetti base legati ai fenomeni elettrici mentre nel secondo si definiscono e
analizzano i circuiti elettrici in corrente continua fino ad arrivare ad introdurre alcuni elementi di sicurezza elettrica.
Il terzo capitolo è dedicato al magnetismo e ai circuiti elettrici in corrente alternata mentre nel quarto si analizzano le
proprietà magnetiche della materia.
Il quinto e sesto capitolo sono interamente dedicati ai campi elettromagnetici; alla loro trattazione matematica, con
l'introduzione delle equazioni di Maxwell, alla generazione e propagazione di onde elettromagnetiche ed ai fenomeni
fisici ad esse correlati.
Il settimo capitolo si occupa degli aspetti fisiologici legati ai fenomeni elettrici e dei corrispondenti strumenti
diagnostici. In particolare si parla del funzionamento del muscolo cardiaco e delle relative patologie rilevabili con
l'elettrocardiografo; della trasmissione degli impulsi elettrici nelle cellule nervose e del cervello approfondendo anche,
in questo caso, il funzionamento di strumenti diagnostici quali l'elettroencefalografo e l'elettromiografo. Viene inoltre
effettuata una ulteriore analisi degli effetti della corrente elettrica sul corpo umano.
L'ultimo capitolo è infine dedicato alle radiazioni ionizzanti e alla dosimetria. In particolare si illustrano i principali
meccanismi che, a livello atomico, possono generare radiazioni ionizzanti. Si introducono i concetti di dosimetria e si
accenna agli effetti biologici delle radiazioni. Per ultimo si illustrano strumenti diagnostici quali la PET o la NMR.
Summary
The third part of the lectures is devoted to the study of classical electromagnetism. This section covers technical aspects
concerning electrical the human physiology, the diagnostic and safety.
Practical aspects relevant to dosimetry are discussed too, through an analysis of the mechanisms for the generation of
ionizing radiation. Particular attention is paid to the diagnostic tools directly related to physical phenomena relevant to
this part of the lectures.
The first chapters deal in depth the main phenomena associated with the electricity and magnetism.
In the first chapter we define the concepts associated with electrical phenomena, in the second we define and analyze
the direct current electrical circuits including some some elements of electrical safety.
The third chapter is devoted to magnetism and alternating current electrical circuits, in the fourth we analyze the
magnetic properties of matter.
The fifth and sixth chapters contain an analysis of the properties of the electromagnetic fields; their mathematical
treatment, with the introduction of Maxwell's equations, the generation and propagation of electromagnetic waves and
the physical phenomena related to them.
The seventh chapter deals with the physiological aspects related to electrical phenomena and their associated
diagnostic tools. In particular we discuss the functioning of the heart muscle and we give an idea of how the relevant
pathologies are detectable with the electrocardiograph. We analyze the transmission of electrical impulses in nerve
cells of the brain and explore the operation of diagnostic tools such as the electroencephalograph and the electromyograph.
Further problems of electrical safety concerning the effects of electric current on the human body are discussed.
The last chapter is devoted to the ionizing radiation dosimetry. In particular, we illustrate the main mechanisms that, at
the atomic level, can generate ionizing radiation. We introduce the concepts of dosimetry and mentions the biological
effects of radiation. Finally, we illustrate diagnostic tools such as PET and NMR.
4
5
INDICE GENERALE
CAPITOLO I 1. Cariche elettriche, legge di Coulomb e Campo Elettrico nel vuoto ............................................................. 8 2. Cariche, distribuzioni di cariche, teorema di Gauss e superfici Gaussiane ............................................. 18 3. Densità di carica superficiale e vettore di spostamento ............................................................................ 27 4. Potenziale Elettrico e Superfici Equipotenziali ........................................................................................... 28 5. Considerazioni Conclusive ............................................................................................................................... 36 CAPITOLO II CIRCUITI ELETTRICI IN CORRENTE CONTINUA
1. Introduzione ..................................................................................................................................................... 44 2. La legge di Ohm e le sue conseguenze.......................................................................................................... 51 3. Considerazioni aggiuntive.............................................................................................................................. 56 4. Circuiti elettrici e leggi di Kirchhoff .............................................................................................................. 61 5. Generatori di ddp ............................................................................................................................................. 68 6. Strumenti di misura ........................................................................................................................................ 71 7. Primi Elementi di sicurezza elettrica ............................................................................................................ 75 8. Elettricità statica ............................................................................................................................................. 80 CAPITOLO III MAGNETISMO 1. Introduzione ..................................................................................................................................................... 83 2. La legge di Ampere e di Biot­Savart .............................................................................................................. 90 3. Fenomenologia delle forze di natura magnetica ........................................................................................ 95 4. La legge di induzione di Faraday .................................................................................................................. 99 5. Qualche applicazione pratica: lo spettrometro di massa e il generatore di corrente alternata....... 103 6. L’induttanza e i circuiti elettrici ad essa associati ................................................................................... 108 7. Correnti Alternate .......................................................................................................................................... 112 8. Circuiti RLC, impedenza, fasi e generalizzazione della legge di Ohm .................................................... 115 9. Comportamento dinamico di un circuito RLC ............................................................................................ 119 10. Considerazioni conclusive .......................................................................................................................... 123 CAPITOLO IV PROPRIETA’ ELETTRICHE E MAGNETICHE DELLA MATERIA
1. Introduzione ................................................................................................................................................... 128 2. Cenno alle proprietà elettriche della materia ........................................................................................... 130 3. Calcolo delle costanti dielettriche di specifici materiali .......................................................................... 135 4. Mezzi Diamagnetici, Paramagnetici Ferromagnetici… ........................................................................... 138 5. Temperatura, caratteristiche magnetiche dei materiali e curva di isteresi magnetica .................... 146 6. Le correnti di Focault e cenni di Superconduttività .................................................................................. 150 7. Considerazioni conclusive ............................................................................................................................ 154 CAPITOLO V LE EQUAZIONI DI MAXWELL
1. Il dualismo elettricità e magnetismo .......................................................................................................... 159 2. Interludio matematico .................................................................................................................................. 163 3. La corrente di spostamento .......................................................................................................................... 167 4. Alcuni esempi specifici .................................................................................................................................. 171 5. Le Equazioni di Maxwell................................................................................................................................ 175 6. Le equazioni di Maxwell e la propagazione dei campi ............................................................................. 178 6
CAPITOLO VI EMISSIONE DA CARICHE IN MOTO, INTERAZIONE RADIAZIONE MATERIA
1. Cariche in moto e Campi ............................................................................................................................... 186 2. Impulso della radiazione e polarizzazione delle onde elettromagnetiche ........................................... 191 3. Interazione tra onde e cariche e effetti di diffusione di radiazione ....................................................... 194 4. La radiazione elettromagnetica e la luce visibile. .................................................................................... 196 5. Luce polarizzata e non, luce bianca e colori .............................................................................................. 203 CAPITOLO VII ASPETTI ELETTRICI DELLA FISIOLOGIA DEL CUORE, DEI SEGNALI NERVOSI E DEL CERVELLO
1. Introduzione ................................................................................................................................................... 214 2. Il sistema elettrico cardiaco e l’elettrocardiogramma ............................................................................ 217 3. Superfici equipotenziali ed ECG ................................................................................................................... 224 4. L’elettroencefalogramma ............................................................................................................................. 227 5. Le cellule nervose e la propagazione dei segnali elettrici ....................................................................... 231 6. La teoria dei cavi e la propagazione dei segnali elettrici lungo l’assone .............................................. 235 7. La propagazione dei segnali lungo le cellule nevose e il ruolo della mielina ....................................... 238 8. Elettromiogramma ........................................................................................................................................ 239 9. Effetti fisiologici della corrente sul corpo umano ..................................................................................... 243 10. Considerazioni Conclusive .......................................................................................................................... 247 CAPITOLO VIII LE RADIAZIONI E CENNI DI DOSIMETRIA
1. Introduzione ................................................................................................................................................... 249 2. Radiazioni ionizzanti .................................................................................................................................... 252 3. La Radioattivita’............................................................................................................................................. 259 4. Cenni di dosimetria: unità di misura .......................................................................................................... 264 5. Dosimetria e Quantità di dose equivalente ................................................................................................ 269 6. Effetti biologici delle radiazioni .................................................................................................................. 273 7. Le radiazioni da un punto di vista terapeutico ......................................................................................... 275 8. La PET e la NMR .............................................................................................................................................. 280 7
8
CAPITOLO I
1. Cariche elettriche, legge di Coulomb e Campo Elettrico nel vuoto Nelle precedenti parti di queste lezioni abbiamo trattato problematiche di Fisica
generale riguardanti questioni di meccanica, idraulica e termodinamica e abbiamo
visto come le nozioni apprese possano essere determinanti per comprendere alcuni
aspetti della Fisiologia umana.
In questa terza (ed ultima) parte estenderemo la nostra trattazione ad argomenti di
elettricità e magnetismo e più in generale di elettromagnetismo, che giocano un ruolo
altrettanto importante per una comprensione di meccanismi di fondamentale
importanza in fisiologia, quali la trasmissione dei segnali elettrici all’interno
dell’organismo o il funzionamento del sistema cardiaco.
Vedremo inoltre la rilevanza di tali nozioni in ambito diagnostico e terapeutico,
discutendo brevemente le problematiche associate alle radiazioni ed alla relativa
dosimetria.
Assumeremo che il lettore abbia conoscenze di base quali l’esistenza delle cariche
elettriche e che esistano corpi detti conduttori, che hanno al loro interno cariche libere
di muoversi. Torneremo in seguito sul concetto di conduttore e in particolare su
quello di conduttore in equilibrio; qui vogliamo semplicemente ricordare che la
presenza delle cariche può essere resa evidente da esperimenti classici quali quello
dell’elettroscopio a foglie d’oro, illustrato in Fig. 1.1.1. Una bacchetta di vetro
caricata per strofinio (con un panno di lana) carica a sua volta due foglioline di oro in
un elettroscopio. L’effetto di carica è evidente, perché le foglie, caricate per
induzione o per contatto tramite la bacchetta, tendono a respingersi.
Il risultato di questo esperimento è dunque interpretabile come segue:
corpi elettricamente carichi esercitano tra loro una forza
La legge con cui cariche elettriche puntiformi interagiscono nel vuoto attraendosi o
respingendosi è quella di Coulomb, di cui diamo una rappresentazione visiva in Fig.
1.1.2 e che può essere formulata come segue
q1 ⋅ q2
,
r2
1
FC = k
k=
(1.1)
4π ε 0
Dove q1 e q2 sono le cariche, r la relativa distanza e ε 0 è una quantità di importanza
fondamentale, detta permittività o costante dielettrica del vuoto, che sarà
ampiamente discussa nel seguito.
9
Fig. 1.1.1. Elettroscopio a foglie d'oro
L’intensità della forza di Coulomb è proporzionale al prodotto delle cariche e
decresce con il quadrato della distanza. L’analogia con la legge di attrazione di
Newton è evidente, ma, diversamente da questa, essa può essere sia attrattiva che
repulsiva, secondo la regola
Cariche uguali si respingono, mentre cariche opposte si attraggono
F+
+ q1
+ q1
+ q2
F+
F-
r
F+
− q2
F + = F- = k
q1 q2
r2
Fig. 1.1.2. Legge di Coulomb, si noti che l’equazione data in figura
è relativa al modulo della forza e non alla direzione.
L’unità di misura della carica è il Coulomb (C) e per conciliare l’eq. (1.1) con il
sistema MKS dobbiamo specificare il valore di k, che sperimentalmente risulta essere
1
4π ε 0
≅ 8.987 ⋅ 109
N ⋅ m2
C2
(1.2)
In base alla relazione precedente due cariche, di un Coulomb ciascuna, poste alla
distanza di un metro, si respingono (o si attraggono) con una forza pari a circa
9 ⋅ 10 9 N !!!.
10
La definizione di Coulomb come unità di riferimento non appare essere di estrema
praticità, ma torneremo in seguito su questo punto.
Abbiamo prima affermato che la legge di Coulomb è analoga, almeno da un punto di
vista formale, a quella di Newton. Ricordiamo pertanto che due masse m1,2 , poste a
distanza r l’una dall’altra, si attraggono reciprocamente con una forza che in modulo
è data da
FN = G
m1m2
,
r2
(1.3)
−11
−2
2
dove G è la costante di gravitazione universale pari a 6.67 ⋅ 10 kg m N .
Per rendere la legge di Newton ancora più formalmente simile a quella di Coulomb,
riscriveremo la costante G come
G=
1
4π γ 0
(1.4)
dove γ 0 assume il ruolo di permittività gravitazionale, torneremo nel seguito sul
significato fisico di tale quantità, che per il momento utilizzeremo solo come
parametro di confronto.
Negli esempi che seguono riportiamo alcune semplici considerazioni che
permetteranno di prendere dimestichezza con le quantità appena introdotte e che
incontreremo nei problemi di natura pratica, che affronteremo nel prosieguo delle
lezioni.
−19
La carica dell’elettrone (o quella del protone) è pari a qe ≅ 1.6 ⋅10 C e viene di
solito detta carica elementare.
Il raggio di Bohr, che determina la distanza media dell’elettrone dal nucleo (un
singolo protone) nell’atomo di idrogeno è 0.5 Å, dove 1 Å = 10-10 m 1 si calcoli la
forza di legame dovuta alla forza di Coulomb, sapendo inoltre che la massa
−31
dell’elettrone è circa me ≅ 9.31 ⋅ 10 kg e sapendo che il protone ha una massa 1836
volte superiore, si determini il rapporto tra la forza di attrazione Coulombiana e
quella gravitazionale.
FC ≅ 9.2 ⋅ 10 −8 N ,
FC
≅ 2.27 ⋅ 10 39
FG
(1.5).
E’ dunque evidente che la forza gravitazionale non gioca alcun ruolo nella stabilità
dell’atomo di idrogeno.
1
L’Angstrom è una unità di misura al di fuori del sistema MKS che viene usata in fisica atomica.
11
Si dimostri che la quantità di carica totale, intesa come somma dei valori assoluti
delle cariche positive e negative, contenuta in una massa m (elettricamente neutra) di
una certa sostanza, con peso atomico PA e numero atomico A è
Q=2
m
N A A qe
PA
(1.6)
23
−1
dove NA è il numero di Avogadro ( 6.022 ⋅ 10 ⋅ mol ).
Il problema si risolve facilmente notando che un corpo elettricamente neutro ha
uguali cariche negative e positive. Il numero di moli di una certa sostanza contenute
m
L
in una massa m della medesima è dato da
PA
Si calcoli la quantità di carica presente in un litro di acqua distillata.
In questo caso invitiamo il lettore a dimostrare la seguente generalizzazione della eq.
(1.6) nel caso molecolare
QM = 2
m
N A ∑ Ai qe
PM
i
(1.7)
Dove PM rappresenta il peso molecolare e Ai i numeri atomici degli atomi
componenti la molecola.
Tenuto dunque conto che la massa di un litro di acqua distillata corrisponde ad un kg
e che il peso molecolare dell’acqua è 18, possiamo stimare che esso risulta composto
da circa 55.5 moli di acqua, ovvero da 3.3 ⋅ 10 25 molecole di acqua e poiché ogni
molecola di acqua ha una carica pari a 10 qe la carica totale è pertanto circa
3.3 ⋅ 10 26 qe ≅ 5 ⋅ 10 7 C .
Tornando al problema dell’atomo di idrogeno si stimi
a) la velocità di rotazione dell’elettrone intorno al nucleo
b) l’energia totale del nucleo
Consideriamo il semplice modello di atomo riportato in Fig. 1.1.3 in cui un elettrone
ruoti intorno ad un nucleo centrale su un’orbita stazionaria; dalla eguaglianza tra la
forza attrattiva (Coulombiana) e la forza centrifuga2, otteniamo (e ≡ qe )
2
Come già notato nella prima parte di queste lezioni, a rigor di logica la forza centrifuga non è
definibile in un sistema di riferimento inerziale, per cui più correttamente si dovrebbe dire “si
v2
ottiene dalla seconda legge di Newton F = m a con F = forza centripeta Coulombiana e a =
”.
rA
12
me
Z e2
v2
=k 2
rA
rA
(1.8)
Dove Z è il numero di protoni presenti nel nucleo (nel caso dell’idrogeno Z=1 ) da
cui segue (si vedano i dati forniti in precedenza)
v=
rA
FC ≅ 2 ⋅ 10 6 m / s
me
+ Ze
(1.9)
e Seconda legge di Newton Energia cinetica
−
m v2
Z e2
Z e2
m v2
T= 2 =
Fcentripeta = r =
4πε0 r2
8πε0 r2
r
Energia potenziale
-Z e2
U=
4πε0 r2
L'Energia orbitale è negativa perché
si tratta di uno stato legato
-Z e2
T+U=
8πε0 r2
Energia totale di un singolo
elettrone in orbita attorno al
nucleo non schermato da altre
cariche negative
Fig. 1.1.3. Modello atomico di Bohr
L’energia totale di un atomo di idrogeno (Z=1), nelle condizioni stazionarie, è dunque
uguale alla somma dell’energia cinetica e potenziale; notando che l’energia
potenziale associata alla forza Coulombiana è formalmente identica a quella del caso
gravitazionale (con le ovvie modifiche di cui abbiamo già detto), otteniamo (si veda
la prima parte delle lezioni)3 (e ≡ qe )
1
e2
1
e2
2
E = me ve − k
= −k
= − FC rA ≅ −2.3 ⋅ 10 −18 J
2
2 rA
2
rA
(1.10)
Si noti che il valore negativo è dovuto al fatto che il sistema (elettrone + protone è un
sistema legato).
Gli esempi che abbiamo illustrato sono serviti a ricordare alcune questioni di
meccanica e in particolare il fatto che, entro certi limiti, possiamo trattare i problemi
3
Non si confondano le notazioni dell’energia meccanica e del campo elettrico; sebbene non
evidentissimo abbiamo usato per la “E” due simboli diversi.
13
associati alla dinamica delle cariche, secondo quanto imparato a proposito della forza
gravitazionale.
Consideriamo ora la Fig. 1.1.4 in cui abbiamo evidenziato come il campo elettrico
generato da una carica puntiforme Q, che assumeremo essere positiva, possa essere
visualizzato con una serie di linee irradiate dalla carica stessa. La carica puntiforme Q
eserciterà su una qualsiasi altra carica q una forza
F = q ⋅ E,
E=
1
Q
4π ε0 r2
(1.11)
Carica puntiforme Q
Superfici
equipotenziali
+
r
Linee del
campo elettrico
E=
Q
4πε0 r2
Fig. 1.1.4. Linee del campo elettrico e superfici equipotenziali generate da una
carica puntiforme.
L’equazione (1.11) è semplicemente una riscrittura della legge di Coulomb. Ogni
punto equidistante dalla carica individua quelle che diremo superfici equipotenziali,
intendendo con ciò che una carica generica in un qualsiasi punto di una di queste
superfici è soggetta allo stesso potenziale (per ulteriori commenti si veda il paragrafo
4)
Abbiamo fino ad ora ignorato largamente che la forza Coulombiana va intesa in senso
vettoriale e dunque ad essa va associato un verso, una direzione ed una intensità. Da
tale natura vettoriale segue quanto mostrato in Fig. 1.1.5, in cui si mostra il campo
elettrico generato in un punto dello spazio da due cariche puntiformi, come campo
elettrico risultante dalla composizione vettoriale dei singoli campi. Tale proprietà è
ovviamente estendibile ad un numero arbitrario di cariche puntiformi e viene detto
principio di sovrapposizione.
Quanto prima affermato è anche sufficiente per comprendere che le linee di forza del
campo elettrico sono definite in maniera tale che in ogni punto il vettore campo
elettrico è ad esse tangente.
14
Campo elettrico
risultante
E2
Campo elettrico
generato dalla
carica q2
Scomposizione
dei vettori
campi elettrici
Campo elettrico
generato dalla
carica q1
E
E
E1
E2
r1
+
r2
q1
E1
θ
E2y
+
α
E2x
q2
E1y
β
E1x
Fig. 1.1.5 Somma vettoriale di campi elettrici e principio di sovrapposizione.
Nel seguito scriveremo dunque (si veda la Fig. 1.1.6)
F = qE
(1.12)
Da tale relazione risulta che l’unità di misura per il campo elettrico sembrerebbe
essere il N/C, ma ritorneremo sull’argomento in seguito.
F = qE
E
r1
E2
Carica
campione q
E1
+
r2
Q1
+
Q2
Fig. 1.1.6. Linee di forza del campo elettrico e forza esercitata su una
carica campione q.
15
Consideriamo ora l’energia acquisita da una carica q, immersa in un campo elettrico
E , nello spostarsi per un tratto rettilineo di lunghezza l, è evidente che essa
corrisponde al lavoro fatto dal campo sulla carica, dunque
ΔU = q E ⋅ l
(1.13)
(utilizziamo U per indicare l’energia, invece di E per non creare confusioni con il
campo elettrico).
La relazione precedente può essere considerata corretta se il campo elettrico è
costante lungo il tratto l, se così non è, come nel caso del campo Coulombiano,
dovremo scrivere (si veda la Fig. 1.1.7)
rb
r
r
r b qQ
Δ U = ∫ q E (r ) ⋅ dr = ∫ k 2 dr = U a − U b
r
ra
ra
U a ,b = k q Q
(1.14)
1
, se si pone U ∞ = 0
ra ,b
dove i suffissi b, a si riferiscono alle posizione finali ed iniziali della carica q.
Si noti che l’energia potenziale, associata ad una carica puntiforme, è definita a meno
di una costante, perché quanto effettivamente misurato è la differenza di energia
potenziale e non il suo valore assoluto.
Inoltre si noti che nel caso del campo elettrostatico il lavoro compiuto non dipende
dal cammino percorso per portare una carica da un punto ad un altro, ma solo dai
punti di “partenza” e di “arrivo”
Insieme all’energia potenziale si introduce il potenziale elettrico, ovvero l'energia
potenziale per unità di carica, di cui parleremo in seguito.
Qq
Ua - Ub =
4πε0
Carica
campione q
1
1
ra rb
Va - Vb =
ra
+
rb
∞
4πε0
rb
U=
Q
r
Q
Q
+
r
1
1
ra rb
Qq
4πε0 r
q
Fig. 1.1.7. Energia potenziale della carica q immersa nel campo elettrico generato
U
q
dalla carica Q; con V è stato indicato potenziale elettrico dato da V = .
16
carica campione q'
carica puntiforme q1
+
Fx
qq'
Fx =
4πε0 x2
qq'
4πε0 a2
Δx
L=Fx x
Le aree in grigio rappresentano il
lavoro fatto sulla carica campione in
relazione ai rispettivi spostamenti
qq'
4πε0 b2
0
a
x x+Δ x
b
x
Fig. 1.1.8 Forza Colombiana e lavoro.
A questo punto è il caso di introdurre l’unità di misura del potenziale detta Volt e
definita come Joule/Coulomb. Possiamo approfittare di tale unità per definire il
campo elettrico in Volt/metro.
Applichiamo ora quanto imparato fino ad ora al meccanismo della ionizzazione
dell’atomo di idrogeno, che diremo ionizzato se saremo riusciti a separare l’elettrone
e il protone in maniera tale che tra queste cariche non esista più alcuna interazione;
dovremo cioè fornire al sistema una energia tale da fare in modo che la sua energia
totale sia zero, e tenuto conto dell’equazione (1.10) otteniamo
e2
UI = k
≅ 4.6 ⋅ 10 −18 J
rA
(1.15).
Nella Figura 1.1.9 riportiamo i livelli di energia possibili per l’atomo di idrogeno e
diamo una idea visiva del significato di energia di ionizzazione,
nella zona rosa (energia totale negativa) gli elettroni sono legati, nella zona azzurra
(energia totale positiva) gli elettroni sono liberi, il livello zero corrisponde alla
soglia di ionizzazione
Abbiamo tenuto a sottolineare che
il sistema atomico quando si trova in uno stato legato non può assumere tutti i
valori di energia della zona rosa, ma solo i livelli contrassegnati con n=1,2…
17
Accenneremo di nuovo, con qualche dettaglio in più, a questo importante punto nel
Capitolo conclusivo.
Ritornando alle unità di misura definiamo ora una unità di riferimento molto
importante partendo dall’osservazione che una carica posta in un potenziale V
possiede una energia potenziale, che, a parte una costante, è data da (si veda la (13.1))
U = qV
(1.16a)
facciamo notare che quando sono coinvolti valori di energia come quelli riportati in
eq. (1.14), si preferisce utilizzare, invece del Joule, una diversa unità di misura, nota
come electron Volt (eV) corrispondente a
1 eV = 1.9 ⋅ 10−19 J
(1.16b).
che è proprio l’energia acquisita da un elettrone che passi da un punto ad un altro tra
cui ci sia una differenza di potenziale di 1 V.
Ulteriori dettagli sul significato di tale unità saranno discussi nel seguito.
Energia di legame zero
significa che l'elettrone è libero
rispetto al nucleo di idrogeno.
I livelli energetici si addensano e si
avvicinano all'energia di ionizzazione.
-0.278 eV
elettrone libero
n= 5 n= 6 n= 7
n=
4
n= 3
Energia di legame (eV )
0
-2.0
n= 2
-4.0
-6.0
-12.0
-14.0
-0.544 eV
-0.850 eV
-1.511 eV
-3.4 eV
Livelli energetici dell'atomo di idrogeno
-8.0
-10.0
-0.378 eV
E=
n= 1
-13.6 eV
n2
elettrone legato al nucleo
stato fondamentale dell'elettrone
-13.6 eV
Fig. 1.1.9. Scala di energia dei livelli energetici dell’atomo di idrogeno.
18
2. Cariche, distribuzioni di cariche, teorema di Gauss e superfici Gaussiane Risulta evidente dalla precedente discussione che il sistema MKS è insufficiente per
un corretta descrizione dei fenomeni che coinvolgono le cariche e le loro interazioni,
sarebbe pertanto naturale inserire la carica come ulteriore dimensione.
Abbiamo visto in precedenza che il campo elettrico induce, su una particella carica,
una forza proporzionale alla carica e alla intensità del campo. Le cariche possono
essere dunque spostate e, conseguentemente, in una certa regione dello spazio si
determina un passaggio di cariche. Insieme al concetto di carica, dovremo introdurre
quello di corrente che è appunto la variazione, nel tempo, della carica. In Fig. 1.2.1
abbiamo riportato un certo numero di cariche elementari in moto in un cilindro di
sezione S. Indicheremo con n il numero di cariche per unità di volume e con vd la
velocità media delle cariche. Definita con Q la quantità di carica contenuta nel
volume cilindrico di altezza d, avremo
Q = neS d
(2.1)
Se si definisce l’intensità di corrente come la quantità di carica che attraversa una
superficie S nell’unità di tempo, avremo
I=
d
Q = n e S vd
dt
(2.2)
d
vd
-
-
-
n= numero di cariche per unità di volume
-
-
-e
Q = neSd
S
-
Fig.1.2.1. Rappresentazione microscopica delle correnti
Torneremo in seguito sul concetto di corrente e di densità di corrente, per il momento
ci accontentiamo di introdurre l’unità di misura della corrente, ovvero l’Ampère,
definita come
A=
C
s
(2.3).
19
Si consideri un fascio carico costituito da 104 elettroni/cm3 accelerati da un
campo elettrico costante pari a 103 V/m ; si determini la corrente ad una distanza
di 1 m dal punto di partenza e su una superficie di 1 cm3 ; cosa succede se si
misura la corrente dopo 1000 m?
Assumeremo che tutte le cariche abbiano inizialmente velocità nulla; avremo pertanto
che dopo una certa distanza tutti gli elettroni avranno acquisito la velocità (si utilizzi
il teorema dell’energia cinetica)
v=c
2d e E
m c2
(2.4)
Dove c è la velocità della luce ( c ≅ 3 ⋅ 10 8 m / s ); la formula (2.4) contiene c, anche se
non strettamente necessaria, per avere un riferimento diretto tra la velocità
dell’elettrone e quella della luce che è un limite invalicabile.
Dalla precedente equazione la corrente risulta essere
I = neS c
2d e E
≅ 3 ⋅ 10 −6 A
2
mc
Si noti che a 1000 m si ottiene
(2.5)
2d e E
> 1 , pertanto la (2.4) fornisce un valore
mc2
superiore alla velocità della luce
cosa è sbagliato nei nostri calcoli?
(per la risposta al quesito si veda l’ultimo Capitolo di queste lezioni).
Nel seguito parleremo di corpi conduttori o semplicemente di conduttori, intendendo
con questi quei corpi in cui le cariche possono muoversi liberamente, al contrario
degli isolanti in cui ciò non avviene. Ritorneremo nel seguito ampiamente su questo
concetto, per il momento ci accontenteremo di affermare che esistono e che possono
essere anche in una configurazione di equilibrio, in cui le cariche siano in una
configurazione stazionaria, che definiremo nel seguito.
Nell’esempio precedente abbiamo supposto l’esistenza, in una certa regione dello
spazio, di un campo elettrico costante (sia nel tempo che nello spazio). La cosa
potrebbe risultare poco chiara perché, come abbiamo visto, il campo generato da una
singola carica puntiforme varia con l’inverso del quadrato della distanza dalla carica
stessa.
Per comprendere come sia possibile realizzare un campo costante dovremo fare un
passo indietro e considerare la nozione di flusso di campo elettrico, che viene
mostrata nella Fig. (1.2.2) , in cui abbiamo riportato le linee di forza del campo che
attraversano una certa superficie. La definizione di flusso del campo risulta essere
pressoché naturale se la si visualizza come una sorta di flusso associato ad un liquido
20
ideale ed è anche evidente che esso è legato alla inclinazione delle linee del campo
rispetto alla superficie stessa; avremo pertanto, nel caso del flusso attraverso una
superficie attraverso cui il campo elettrico è costante
n
θ
S
E
n
S
Flusso Φ = E S cos(θ)
Campo elettrico
Fig. 1.2.2. Flusso del campo elettrico.
Φ ( E ) = E S cos(ϑ )
(2.6)
Più in generale il flusso associato ad un certo vettore si definisce come
Φ(V ) = V ⋅ S
(2.7)
che rappresenta il prodotto scalare tra il vettore V e il vettore S , che è il vettore
superficie orientata, il cui modulo e direzione sono specificati dall’area e dalla
normale della superficie stessa.
Nel caso più complicato, mostrato in Fig. 1.2.3, il flusso viene definito tramite un
integrale esteso a tutta la superficie, ovvero
Φ ( E ) = ∫ dS E cos(ϑ )
(2.8)
S
E θ
dS
Flusso del campo elettrico:
Φ = E cos(θ ) dS
Fig. 1.2.3. Flusso del campo elettrico attraverso una superficie generica.
Nel caso di una superficie chiusa, come quella mostrata in Fig. (1.2.4), la definizione
del flusso rimane la stessa con l’aggiunta che il vettore normale all’elemento di
superficie è sempre diretto verso l’esterno della superficie stessa.
21
Passiamo ora alla legge (o meno propriamente teorema) di Gauss, che afferma quanto
segue:
Il flusso del campo elettrico attraverso una certa superficie (si veda la Fig. 1.2.4)
è dato dalla carica totale contenuta all’interno della superficie divisa per la
permittività, ovvero
Φ( E ) =
Qint
(2.9)
ε0
E
θ
Flusso del campo elettrico:
dS
E dS =
Q
ε0
Fig. 1.2.4. Illustrazione della Legge di Gauss
La legge di Gauss è uno dei capisaldi dell’elettrostatica, e dell’elettromagnetismo più
in generale. Come vedremo nel seguito la legge svolge una funzione estremamente
complessa, nell’ambito dello sviluppo della teoria e il suo profondo legame con la
legge di Coulomb può essere compreso in base al seguente esempio
Si calcoli, utilizzando la legge di Gauss, il campo elettrico generato da una
carica puntiforme in un generico punto a distanza r da questa (Fig. 1.2.5)
E
r
Q
Fig. 1.2.5. Campo Elettrico generato da una Carica Puntiforme.
22
Sebbene immediata, la risposta al quesito precedente necessita di alcune precisazioni
tutt’altro che banali
a) il calcolo del campo richiede una scelta “intelligente” della superficie che
circonda la carica: non tutte le superfici possibili sono adeguate allo scopo; se
ad esempio volessimo calcolare il campo, racchiudendo la carica tramite una
superficie del tipo riportato in Fig. 1.2.4, avremmo sicuramente dei problemi di
calcolo (che però non inficiano la validità del teorema)
b) La superficie va scelta in maniera da sfruttare la simmetria del problema, che
in questo caso risulta essere sferica; potremo dunque assumere il campo
costante in modulo e diretto radialmente in ogni punto di una superficie sferica
con centro nella carica sorgente;
c) Con riferimento alla Fig. 1.2.5 e alle assunzioni precedenti avremo che il
campo elettrico è ortogonale in ogni punto alla superficie della sfera e essendo
costante in modulo, si avrà
Φ( E ) = E A =
A = 4π r
Q
ε0
2
,
⇒
E (r ) =
(2.10)
Q
4π ε 0 r 2
La relazione tra leggi di Coulomb e di Gauss è ora evidente.
Consideriamo ora una sfera di raggio R con una densità di carica superficiale
uniforme (si veda la Fig. 1.2.6); la domanda che ci poniamo è quale sia il campo
elettrico al di fuori e all’interno della sfera stessa.
δ=
Q
4π R
δ
r
E=
Q
4πε0 r
R
r
E=0
Fig. 1.2.6. Campo Elettrico all'interno e all'esterno di una sfera di raggio R con
densità di carica superficiale uniforme δ.
23
E’ fondamentale per le considerazioni che seguono che la carica sia uniformemente
distribuita e che dunque sulla sfera vi sia depositata carica con densità costante. In
base a tale assunzione potremo presumere che il campo elettrico su una superficie
sferica esterna sia costante e diretto radialmente, lo stesso vale per una superficie
interna. Come conseguenza del teorema di Gauss avremo quanto riportato di seguito
E=
1
Q
, r > R,
4π ε 0 r 2
E = 0,
(2.11).
r<R
All’interno della sfera il campo è dunque nullo, mentre all’esterno è equivalente al
campo generato da una singola carica Q posta al centro della sfera su cui è distribuita
la carica.
Quanto discusso fino ad ora non è dissimile da quanto già fatto nella prima parte delle
lezioni a proposito dell’attrazione gravitazionale all’interno e all’esterno di una sfera.
Più in generale potremmo affermare che il teorema di Gauss ha rilevanza per
qualsiasi fenomeno che coinvolga una forza centrale inversamente proporzionale al
quadrato della distanza, come nel caso della legge della gravitazione universale.
Approfittando di quest’ultima affermazione potremo ripetere una osservazione già
fatta nel caso del campo gravitazionale.
Si calcoli il campo elettrico all’interno di una sfera uniformemente carica di
raggio R e all’esterno di essa (Fig. 1.2.7)
Q
E
R
r
Fig. 1.2.7. Campo Elettrico all'interno di una sfera di raggio R uniformemente carica.
Se la sfera è uniformemente carica, indicando con λq la densità di carica volumetrica,
avremo,
Q
,
V
4
V = π R3
3
λq =
24
Il campo all’interno della sfera segue dal teorema di Gauss
Φ( E ) = E ⋅ A(r ) =
q(r )
ε0
, r < R,
A(r ) = 4 π r 2
dove A(r) è l’area della superficie della sfera interna e q(r) è la carica in essa
racchiusa, che calcoleremo come segue
Q
4
π r3 = 3 r3
3
R
e pertanto avremo
q(r ) = λ q
E (r ) =
Q
4π ε 0 R 3
r, r < R
mentre
E (r ) =
Q
,r > R
4π ε 0r 2
Quanto vale il campo per r = R ?
E’ dunque evidente che una carica di segno opposto a quella della sfera, se immersa
in questa sarà soggetta ad una forza di tipo armonico.
A parte le ulteriori conseguenze che discuteremo nel seguito, il teorema di Gauss ha
dunque come applicazione pratica il calcolo del campo elettrico dovuto ad una certa
distribuzione di carica, cosa che può essere fatta in maniera semplice se si sfrutta una
qualche simmetria della distribuzione e si sceglie adeguatamente la superficie. Non
sono molti i casi che offrono tale possibilità e le superfici associate sono dette
Gaussiane; un esempio è la già citata superficie sferica e ne discuteremo altre nel
seguito.
Consideriamo ora il caso di un piano (infinito) uniformemente carico, riportato in Fig.
1.2.8, denoteremo con σ la densità di carica superficiale e il nostro scopo è quello di
calcolare il campo in un punto generico all’esterno del piano, che, torniamo a ripetere,
ha una estensione infinita. Scegliamo pertanto una superficie cilindrica con base A,
come mostrato in figura, in maniera tale che la carica racchiusa all’interno della
superficie sia Q = σ A ; avendo assunto che la carica è in equilibrio, non possiamo
aspettarci che il campo elettrico sia diretto ortogonalmente alla superficie laterale
perché altrimenti si determinerebbe un moto di cariche. Il campo deve dunque essere
diretto perpendicolarmente alle superfici di base e, pertanto, applicando la legge di
Gauss, avremo
(2 A) E = σ A
ε0
(2.12a)
25
da cui segue
σ
E=
2ε 0
(2.12b).
La direzione del campo da una parte e dall’altra del piano sarà opposta, come indicato
in Fig. 1.2.8. E’ inoltre evidente che le direzioni dipendono dal segno della carica.
La cosa sorprendente del risultato precedente è che il campo elettrico non dipenda
dalla distanza dal piano; la cosa è valida, come vedremo meglio nel seguito, solo nel
caso di piano infinito. La si può considerare approssimativamente valida, nel caso di
un piano finito, quando la distanza dal piano è molto minore di quella dai bordi.
E
E=E
A
Superficie gaussiana
Fig. 1.2.8. Campo attraverso la superficie di un foglio infinitamente esteso e
uniformemente carico.
Una conseguenza molto importante del risultato precedente è la derivazione del
campo elettrico tra due piani infiniti, con una densità di carica uniforme su entrambe
le superfici, ma opposte.
Il calcolo del campo necessita dell’ausilio concettuale del principio di
sovrapposizione, pertanto si ha quanto mostrato in Fig. 1.2.9. A causa della
indipendenza dalla distanza e del principio di sovrapposizione i campi all’esterno
delle superfici, sono uguali in modulo ma di segno opposto, all’interno sono invece di
segno concorde e pertanto avremo
E in =
⎛ σ ⎞ σ
σ
⎟⎟ =
− ⎜⎜ −
2ε 0 ⎝ 2ε 0 ⎠ ε 0
(2.13)
26
Il lettore spieghi perché, se i piani non sono infiniti, la (2.13) non vale in
vicinanza dei bordi.
Campo elettrico tra i due piani
E =-
σ
2ε0
σ
ε0
+ + + + + + + + + + +
σ
σ
E = 2ε
0
E=
-σ
- - - - - - - - - - -
E=0
E=0
E=
σ
ε0
E=0
E=0
Fig. 1.2.9. Campo elettrico tra due piani conduttori infiniti uniformemente carichi.
Come ulteriore applicazione della legge di Gauss consideriamo il seguente esercizio
In Fig. 1.2.10 si riporta una linea infinita con densità lineare di carica λ (carica
per unità di lunghezza) costante; si dimostri che il campo elettrico sulla
superficie cilindrica intorno alla linea carica è
E=
λ
ε 0 2π r
(2.14)
E=E
E=0
+++
+
+
+++
+
dA
+++
+
+
+
+
r
l
++
Superficie gaussiana
Fig. 1.2.10. Campo generato da una distribuzione lineare infinita uniformemente carica.
La prima considerazione da fare è che il campo non può essere diretto lungo l’asse
della linea perché le cariche disposte su di essa non sarebbero più in equilibrio, quindi
non avremo flusso di campo attraverso le superfici laterali dell’ovvia superficie
27
Gaussiana che in questo caso è quella cilindrica. Applicando il teorema di Gauss
potremo dunque concludere che
2π r l E =
Q
ε0
dove l è l’altezza del cilindro riportato in Fig. 1.2.10. Dalla relazione precedente
Q
segue l’eq. (2.14) notando che λ = .
l
3. Densità di carica superficiale e vettore di spostamento Il concetto di densità di carica è evidentemente di importanza determinante per i
nostri discorsi. Notiamo pertanto che, nel caso di una superficie sferica
uniformemente carica, avremo che la densità di carica superficiale è legata al
potenziale dalla seguente relazione
σ (r ) =
∂V
Q
ε
ε
E
=
=
−
0
0
∂r
4π r 2
(3.1a)
È inoltre opportuno notare che il campo elettrico è legato al potenziale dalla relazione
r
∂V
E=−
rˆ
∂r
(3.1b)
La distribuzione di cariche relativa ad una determinata superficie è, infatti, legata alla
derivata del potenziale rispetto alla normale alla superficie, come illustrato in Fig.
1.3.1
A
Fig. 1.3.1. Superfici e densità di carica superficiale.
28
I risultati precedenti sono stati ottenuti nel caso molto particolare di una distribuzione
di carica sferica e con densità superficiale uniforme; le relazioni precedenti valgono
anche in presenza di superfici “appuntite” dove la densità di carica è maggiore e in
vicinanza delle quali il campo elettrico è più intenso. Per superfici appuntite
intendiamo regioni in cui esiste una forte dipendenza del potenziale dalla curvatura
della superficie stessa.
Nel paragrafo conclusivo discuteremo l’effetto delle “punte” dei conduttori in termini
meno vaghi.
Vedremo ora come alla densità di carica si possa associare un vettore, di importanza
fondamentale in elettromagnetismo. Riscriviamo l’equazione (13.2) nella forma
D = ε0E =
σ
(3.2)
2
che sembrerebbe essere una operazione assolutamente banale e invece
non lo è!
r
La relazione precedente suggerisce di definire un vettore D , detto vettore di
spostamento4, legato al campo elettrico dalla relazione
r
r
D = ε0E
(3.3).
Essendo la costante ε 0 dimensionale, i due campi non hanno le stesse dimensioni. Il
r
D
vettore
ha, infatti, le dimensioni di una densità di carica. La legge di Gauss,
espressa in termini del vettore spostamento elettrico, assume pertanto la forma
Φ( D) = Q
(3.4).
Vedremo nel seguito quanto importante e pregna di conseguenze fisiche sia la
r r
possibilità di poter distinguere tra i due vettori E, D .
4. Potenziale Elettrico e Superfici Equipotenziali Nella Fig. 1.4.1 abbiamo riportato una sfera con densità di carica superficiale
costante; notiamo che se la sfera è conduttrice e se il conduttore è in equilibrio, le
cariche si dispongono sulla superficie. Il campo elettrico è nullo all’interno della sfera,
mentre all’esterno è equivalente a quello generato da una carica puntiforme.
4
Il motivo di tale denominazione sarà chiarito nel seguito, quando parleremo di corrente di
spostamento.
29
+
+
+
+
+
+
R
+ + +
kQ
R
+
+
+
V
kQ
r
r
0
kQ
r2
E
0
R
r
Fig. 1.4.1. Campo elettrico e potenziale all’interno ed all’esterno di un
conduttore sferico.
Cerchiamo ora di discutere il problema da un punto di vista “energetico,
considerando una carica di prova posta a distanza infinita dalla sfera (Fig. 1.4.2)
riproponendo il ragionamento che abbiamo fatto nel paragrafo 1 per una carica
puntiforme.
Se la carica campione ha segno opposto a quella uniformemente distribuita sulla sfera,
sarà attratta dalla sfera, acquisendo una energia pari al lavoro fatto dalle forze del
campo elettrico su di essa,
r
qQ
qQ 1
1
=
U (r ) =
d
ρ
4 π ε 0 ∞∫ ρ 2
4π ε 0 r
(4.1).
Giunta sulla superficie della sfera l’energia acquisita sarà semplicemente U(R), tale
valore si conserva anche all’interno della sfera, non essendoci più campo elettrico che
compie lavoro sulla carica.
30
+
+
+
+
-
+
+
R
Q
+ + +
Carica
campione q
r
+ r
+
+
U(r) =
Qq
4πε0 r
∞
V(r) =
U(r)
q
Fig. 1.4.2. Energia potenziale della carica q immersa nel campo elettrico generato da
una sfera conduttrice uniformemente carica; Potenziale elettrico della
sfera conduttrice carica.
La situazione descritta non è dissimile dal caso gravitazionale. Ricordiamo che
abbiamo già introdotto la nozione di potenziale elettrico come l’energia potenziale
elettrostatica per unità di carica, ovvero
V (r ) =
U (r )
q
le cui dimensioni sono il Volt ovvero V =
(4.2)
J
.
C
Il calcolo del potenziale elettrico è di importanza fondamentale per quello che segue
ed altrettanto importanti sono i concetti ad esso associati.
Nella Fig. 1.4.3 abbiamo riportato una carica puntiforme e le linee di campo che da
essa si dipartono. Supponiamo ora di far muovere una carica di prova lungo una delle
linee rosse tratteggiate; poiché il campo elettrico è perpendicolare in ogni punto a
dette linee il lavoro compiuto sulla carica durante lo spostamento è nullo. Pertanto
l’energia della carica rimane invariata e si dice pertanto che le linee appartengono a
superfici equipotenziali (si tenga conto della simmetria sferica del problema in
studio). Volendo schematizzare ulteriormente, la situazione è concettualmente
identica al caso gravitazionale.
Sempre con riferimento alla Fig. 1.4.3 notiamo di nuovo che il lavoro fatto per
portare una carica dal punto A al punto B è indipendente dal cammino percorso ma
dipende solo dalla differenza di potenziale tra i due punti. Il lettore potrà agevolmente
verificare tale affermazione, utilizzando l’equazione (1.14) e la definizione (4.2),
tramite le quali potrà dimostrare che
ΔU = q (VB − VA )
(4.3)
31
B
Linee equipotenziali
Linee del
campo elettrico
VB - VA = E dS
E
θ
+
ds
E
A
E ds = E ds cos(θ )
Fig. 1.4.3. Superfici equipotenziali e Campi elettrici.
Una carica lasciata libera di muoversi su una superficie equipotenziale seguirà una
linea perpendicolare ad essa che è quella associata al campo elettrico (si veda la Fig.
1.4.4) in maniera non dissimile da un sasso che cade lungo un pendio.
+
+
++
++
10 V
++
++
++ + FE
+
9V
8V
7V
Linee equipotenziali
10 V
-
----0 -V ---
+ FE
4V
1V
2V
3V
Fig. 1.4.4. Superfici equipotenziali, campi elettrici e moto delle cariche tra due
conduttori di forma differente portati ad una differenza di potenziale di 10V.
Nella Fig. 1.4.5 riportiamo un altro esempio di superfici equipotenziali riferito al caso
di un campo elettrico costante (si ricordi che per piani affacciati, uniformemente
32
carichi il potenziale in ogni punto a distanza d dalle cariche positive è V = −
σ
d , si
ε0
veda l’eq. (2.13)
Linee equipotenziali
+
+
Il campo elettrico +
è sostanzialmente +
costante tra i due +
piani conduttori. +
+
+
-
Fig. 1.4.5. Linee equipotenziali e campo elettrico tra due piani conduttori finiti
La Fig. 1.4.6 riporta i campi elettrici e le superfici equipotenziali dovute ad una
configurazione di cariche piuttosto semplice detta di dipolo elettrico (due cariche
uguali in valore assoluto ma opposte in segno )
Linee di forza del
campo elettrico
Linee equipotenziali
E
+
-
E
Fig. 1.4.6. Linee di forza generate da due cariche puntiformi uguali e di
segno opposto: dipolo elettrico.
33
Non è difficile intuire l’orientamento delle linee di campo elettrico nel caso del
dipolo. L’uso del principio di sovrapposizione e di quanto abbiamo imparato
sull’andamento del campo per le cariche isolate ci permette di concludere che le linee
di campo “escono” dalla carica positiva per “rientrare” in quella negativa. La
derivazione delle superfici equipotenziali è meno ovvia, ma non è difficile arguire
che, per motivi di simmetria, esisterà una superficie a potenziale nullo e che le
superfici sferiche delle singole cariche saranno deformate dalla presenza dell’altra.
Altrettanto interessante è il caso delle due cariche uguali riportato in Fig. 1.4.7 , dove
abbiamo riportato solo le linee di campo e suggeriamo, come utile esercizio, di
sovrapporre le equipotenziali.
I problemi che proponiamo nel seguito costituiscono un utile esercizio che chiarisce
come si possa procedere in alcuni casi semplici per il calcolo del potenziale per
semplici distribuzioni di cariche.
+
E
E
+
Fig. 1.4.7. Linee di forza generate da due cariche puntiformi uguali e
dello stesso segno.
In Fig. 1.4.8 riportiamo due cariche uguali e di segno opposto, ad una distanza d
tra loro; si dimostri che il potenziale in un punto posto a grande distanza
(rispetto a d) è dato da.
V ≅
1
(q d ) cos(ϑ )
4π ε 0 r 2
(4.4)
34
P
r+
r+
+q
+q
+ θ
d 0
r-
-q -
+
d
-q
r-
θ
-
r- - r+
Fig. 1.4.8. Dipolo elettrostatico.
Il principio di sovrapposizione vale anche nel caso del potenziale, per cui, utilizzando
le notazione riportata in Fig. 1.4.8, si ha
V =
⎡1 1⎤
⎢ − ⎥,
4 π ε 0 ⎣ r+ r− ⎦
q
2
⎛d ⎞
r± = r 2 + ⎜ ⎟ m d r cos(θ )
⎝2⎠
Poiché abbiamo assunto che la distanza della carica di prova dal centro del dipolo è
molto maggiore della distanza tra le cariche possiamo procedere come segue
⎡
⎤
⎢
⎥
1 1 1⎢
1
1
⎥
− = ⎢
−
⎥,
2
2
r+ r− r
⎛ξ ⎞
⎢ 1 + ⎛ ξ ⎞ − ξ ⋅ cos(θ )
1 + ⎜ ⎟ + ξ ⋅ cos(θ ) ⎥⎥
⎜ ⎟
⎢
⎝2⎠
⎝2⎠
⎣
⎦
d
ξ=
r
Sviluppando in serie di ξ e fermandosi all’ordine più basso si ottiene
1 1 1
− ≅ ξ cos(θ )
r+ r− r
da cui segue l’eq. (4.4).
Nella Fig. 1.4.9 si mostra una distribuzione di carica, nota come quadrupolo
elettrico lineare, costituita da due cariche positive separate da una distanza 2d.
35
Nel centro è posta una carica negativa con valore doppio rispetto alle cariche
laterali. Invitiamo il lettore a dimostrare servendosi anche di quanto illustrato in
Figura, che, a grandi distanze, il campo elettrico generato da tale configurazione
4
di cariche ha un andamento come 1 / r , dove r è la distanza dalla carica
negativa.
y
+q +
-2q
-
x
+q +
Fig. 1.4.9. Distribuzione quadrupolare lineare.
Prima di procedere oltre torniamo al concetto di dipolo elettrico, costituito, come già
detto da due cariche uguali ma di segno contrario, poste ad una distanza d l’una
dall’altra. Assoceremo a questo sistema elementare un vettore che diremo di dipolo
elettrico, proporzionale al vettore posizione che congiunge le due cariche ed è diretto
nel verso negativo-positivo (si veda la Fig. 1.4.10), ovvero
r
r
p = qd
(4.5).
+
p
Fig. 1.4.10. Dipolo elettrico.
Consideriamo ora il caso di un dipolo immerso in un campo elettrico costante, come
mostrato in Fig. 1.4.11; l’effetto globale del campo non è quello di provocare una
accelerazione del sistema, ma quello di indurre un momento torcente a causa del fatto
che la carica positiva tende a seguire il campo, mentre quella negativa tende a
muoversi nella direzione opposta .
36
E’ abbastanza semplice convincersi che il momento indotto dal campo sul dipolo è
-
F
+
d
-
F
+
+
+
+
+
+
+
+
+
p=qd
-
E
τ
Fig. 1.4.11. Dipolo elettrico in un campo elettrico uniforme.
r
r
r
τ = p×E
(4.6)
mentre la sua energia è data da
r r
U = −p⋅E.
(4.7)
Il lettore riconoscerà quanto discusso nella prima parte di queste lezioni, in merito al
momento delle forze e viene pertanto invitato a riconsiderare quanto prima discusso
da un punto di vista puramente meccanico.
In questo paragrafo abbiamo appreso alcune nozioni di importanza fondamentale, per
quanto concerne i concetti relativi ai campi elettrici e alle superfici equipotenziali
associati a varie distribuzioni di cariche. Nei prossimi paragrafi trarremo ulteriori
conseguenze.
5. Considerazioni Conclusive Come già detto un conduttore è un materiale che possiede cariche libere di muoversi
al suo interno. Un conduttore si dice all’equilibrio quando (si veda la Fig. 1.5.1)
a) La carica elettrica totale è collocata interamente sulla sua superficie
b) Il campo elettrico all’interno del conduttore è nullo
c) Il campo elettrico esterno alla sua superficie è perpendicolare alla
superficie stessa
La condizione a) è semplicemente una conseguenza della legge di Coulomb: le
cariche si respingono e si dispongono il più lontano possibile le une dalle altre. Il
punto b) è una conseguenza della condizione di equilibrio; se vi fosse campo elettrico
37
all’interno le cariche non sarebbero ferme, ma in moto a causa della forza indotta dal
campo. Per lo stesso motivo non può esistere una componente parallela del campo in
superficie, perché questa agirebbe sulle cariche superficiali.
E perpendicolare
alla superficie
La carica elettrica è
collocata interamente
sulla superficie del
conduttore
+
+
+
++++++++++++
E = 0 all'interno del conduttore
++++++++++++
+
+
+
Fig. 1.5.1. Conduttore in equilibrio.
In Fig. 1.5.2 abbiamo riportato un conduttore all’equilibrio con una distribuzione di
carica superficiale pari a σ ; si spieghi:
i) perché il campo elettrico è diretto perpendicolarmente alla superficie
ii)
perché il campo all’interno del conduttore è nullo
iii)
si calcoli il valore del campo elettrico
La risposta ai primi due quesiti deriva semplicemente dall’assunzione che il
conduttore è in equilibrio. Scegliendo infine la superficie Gaussiana come mostrato in
figura evinciamo che, essendo la superficie “attiva”solo una, il campo elettrico è dato
da
E=
σ
ε0
(5.1)
ΔA
E
σ = carica per unità di area
E
σ
ΔA
ΔA
E=0
Sezione di piano
conduttore infinito
Fig. 1.5.2. Campo in prossimità della superficie di un conduttore all’equilibrio
con densità di carica superficiale costante.
38
Una conseguenza pratica della discussione precedente è la cosiddetta gabbia di
Faraday riportata in Fig. 1.5.3, che ha anche importanti ricadute pratiche per scopi
relativi allo schermaggio da radiazioni elettromagnetiche esterne.
Il principio di operazione della gabbia è facilmente comprensibile alla luce di quanto
detto. Se una carica viene indotta su un conduttore le cariche tendono a portarsi
all’equilibrio disponendosi alla massima distanza l’una dall’altra e mantenendo il
campo elettrico nullo all’interno, che risulterà insensibile (nel caso di conduttore
perfetto) alle variazioni elettrostatiche esterne.
Fig. 1.5.3. Gabbia di Faraday
Prima di concludere il capitolo vogliamo ribadire un concetto che di solito viene
affrontato nella parte introduttiva e che forse potrà essere maggiormente apprezzato
dopo aver discusso a lungo le problematiche relative alle cariche e al loro
comportamento. Abbiamo infatti parlato di sfere o di altri oggetti carichi, ma non
abbiamo mai chiarito come si carichino. Abbiamo assunto che il lettore conoscesse il
caricamento per strofinio, pertanto consideriamo una bacchetta di vetro caricata
negativamente e avvicinata ad una sfera conduttrice, inizialmente scarica (Fig. 1.5.4a).
La bacchetta carica negativamente attrarrà le cariche positive e respingerà quelle
negative (Fig. 1.5.4b). La sfera è globalmente neutra e per caricarla positivamente si
dovrà eliminare la carica negativa. Connettendo la sfera con la terra (Fig. 1.5.4c) si ha
che le cariche negative (essenzialmente elettroni) fluiranno verso il terreno.
Rimuovendo la connessione con il terreno (Fig. 1.5.4d) e la bacchetta (Fig. 1.5.4e) si
ha una ridistribuzione uniforme delle cariche positive.
Si potrebbe ritenere che sia possibile caricare a piacimento la sfera ripetendo
l’operazione che abbiamo appena descritto, ma il limite al trasferimento di carica è
imposto da varie limitazioni che cercheremo di chiarire.
Un ovvio limite fisico viene rappresentato dal fatto che debba esistere tra i due corpi
(quello che induce cariche e quello che le acquista) una differenza di potenziale,
quando entrambi si sono portati allo stesso potenziale il trasferimento di carica non è
più possibile.
39
(a)
(b)
(d)
(c)
terra
(e)
Fig. 1.5.4. Caricamento per induzione di una sfera conduttrice.
Tale problema potrebbe essere superato utilizzando l’accorgimento mostrato in Fig.
1.5.5, che è quello di caricare un conduttore sferico cavo dall’interno. L’operazione
può essere ripetuta varie volte senza incontrare il problema prima citato, perché la
carica si distribuisce sulla superficie esterna della sfera e, all’equilibrio, il campo
interno è nullo.
Un importante esempio di applicazione del concetto appena espresso è il generatore
elettrostatico di Van de Graaf, che permette di raggiungere potenziali dell’ordine di
300 kV.
Le cariche vengono
trasportate all’interno
della sfera superiore
tramite una cinghia di
seta messa in moto da
due pulegge.
-
La sfera esterna viene usata
per ridurre il potenziale.
Le cariche vengono
inizialmente
“spruzzate” sulla parte
inferiore tramite un
dispersore a punte.
+
Fig. 1.5.5. Generatore Elettrostatico di Van de Graaf
40
Anche in questo caso esiste un limite oltre il quale non si può andare.
Quando il potenziale è molto alto intorno alla sfera si raggiunge un campo elettrico
molto intenso che induce effetti di ionizzazione sull’aria circostante, dovuti al fatto
che gli elettroni vicini al campo vengono accelerati, acquistano energia, urtano sugli
atomi circostanti ionizzandoli formando nuovi elettroni che a loro volta producono
ionizzazione determinando una “valanga” di cariche, che costituisce la scarica la
quale è di solito è accompagnata da una scintilla associata alla ricombinazione degli
ioni formati nel processo; il rumore è invece dovuto ad un effetto di onda di pressione,
determinato dall’aumento locale di temperatura.
Un esempio di scarica è il fulmine che riportiamo in Fig. 1.5.6
Fig. 1.5.6. Fulmine e scariche secondarie
Ci si potrebbe chiedere quale sia il limite per il campo per la formazione della scarica.
Per determinare tale valore dovremo tener conto che
a) In media ogni elettrone ha un cammino libero medio5 in aria di circa 1 μ m
b) L’aria è composta essenzialmente di ossigeno e azoto i cui potenziali di
ionizzazione sono 12.5 e 15 eV rispettivamente
5
Per libero cammino medio si intende la distanza percorsa (in media) da ogni elettrone tra un urto e
il successivo
41
In base ai dati precedenti e alla definizione di eV concludiamo che il campo che
produce tale energia nell’intervallo di 1 μ m = 10 −6 m è (l’indice S sta per scarica)
ES =
ΔV
V
≅ 10 7
m
Δx
Il valore che abbiamo determinato è abbastanza vicino a quello misurato
sperimentalmente, che risulta essere di circa 1/3 inferiore.
Possiamo utilizzare tale valore per stimare il potenziale massimo a cui possiamo
portare una sfera o la carica massima che possiamo distribuire su di essa.
In base a quanto abbiamo imparato sappiamo che nel caso della sfera si ha
VS = ES R,
QS = 4 π ε 0 R 2 ES
per cui una sfera conduttrice con 10 cm di raggio può raggiungere potenziali
dell’ordine di 0.3 MV e una carica di circa 3 pC .
Prima di concludere questo paragrafo e quindi questo Capitolo introduttivo,
cerchiamo di applicare quanto imparato al già citato fenomeno dei fulmini, durante
una tempesta. Gli aspetti fisici dei fulmini sono estremamente complessi e nemmeno
perfettamente compresi nei dettagli; qui forniremo alcune informazioni che
torneranno utili quando ci occuperemo degli aspetti relativi ai danni di folgorazione
che i fulmini possono causare.
Il fulmine è una scarica elettrica che si instaura tra le nuvole e la terra quando si
raggiungono i valori di campo elettrico che abbiamo prima citato. Le nuvole si
possono caricare per strofinio a cause della pioggia che le attraversa e per urti tra
ammassi nuvolosi. La Fig. 1.5.7 mostra una situazione estremamente schematica, in
cui la parte superiore dell’ammasso nuvoloso è carico positivamente mentre quello
inferiore negativamente, il terreno sottostante si carica invece positivamente a causa
dell’induzione. Il campo elettrico sarà diretto dal suolo verso le nuvole come
mostrato in figura. Riguardo ai numeri di riferimento notiamo dunque che la
superficie affacciata nuvola-terreno è dell’ordine di qualche km, così come la sua
estensione verticale. La distanza nuvola-terreno è all’incirca 1 km.
Assumiamo ora che il campo elettrico tra le nuvole e il terreno sia costante. In queste
condizioni la differenza di potenziale è data da VS = E S h ; utilizzando il valore di
campo elettrico di scarica dato in precedenza e per h circa 1 km , si ottengono
potenziali dell’ordine di circa 3 10 9 V . Senza entrare nei dettagli del processo, notiamo
che le correnti coinvolte sono dell’ordine delle decine di kA, con potenze superiori
alle centinaia di MW .
Valori di questo tipo sono estremamente distruttivi e dannosi per la salute; centinaia
di persone perdono la vita a causa di folgorazioni da fulmine e le relative
problematiche saranno discusse nel prossimo Capitolo.
42
Nuvola di cariche positive di terra
Fig. 1.5.7. Formazione del fulmine; terra e nuvole accumulano cariche di segno
opposto.
44
CAPITOLO II
CIRCUITI ELETTRICI IN CORRENTE CONTINUA
1. Introduzione Nel Capitolo precedente ci siamo occupati di campi elettrici e di cariche statiche.
Abbiamo anche visto che le cariche soggette ad un campo elettrico, se libere di
muoversi, subiscono una accelerazione. Un campo elettrico costituisce, in linea di
principio, uno strumento per il trasporto delle cariche. Le cariche in moto
determinano una corrente elettrica.
In questo Capitolo introdurremo vari concetti, relativi alla corrente elettrica e ai
circuiti attraverso i quali questa può essere condotta.
Cominceremo ora a trattare il caso delle cariche in moto; dovremo però fare alcune
premesse in merito ad alcuni elementi noti come capacitori o conduttori, resistori e
generatori di forza elettromotrice.
Nella Fig. 2.1.1 mostriamo un condensatore ovvero due piani conduttori separati dal
vuoto o da un materiale dielettrico (caso che discuteremo nel seguito). Le cariche
sono indotte sulle superfici dei conduttori, ad esempio per strofinio o tramite qualsiasi
altra causa esterna e quando questo cessa l’energia elettrostatica rimane ivi
accumulata.
Fig. 2.1.1. Il Condensatore realizzato da E. G. Von Kleist (1745)
In base a quanto dimostrato nel precedente capitolo a proposito del campo elettrico
tra due piani infiniti affacciati con densità di carica superficiale uniforme, la
differenza di potenziale elettrico tra le armature di in un condensatore del tipo
riportato in Fig. 2.1.1 è dato da (si veda la Fig. 2.1.2)
V=
Qd
σ
d=
ε0
ε0S
(1.1).
45
+Q
-Q
V=
Campo elettrico
E
Qd
ε0 S
S = area dell'armatura
d = distanza di separazione tra le armature
Fig. 2.1.2. Potenziale elettrico tra due conduttori piano-paralleli.
Come abbiamo già detto, il potenziale corrisponde, dal punto di vista dimensionale,
ad una energia divisa per una carica, la sua unità di misura è il Volt (simbolo V) e
pertanto
V=
J
C
Un concetto molto importante è quello di capacità di un condensatore, che
rappresenta il rapporto tra la quantità di carica e il potenziale del sistema,
C=
Q
V
(1.2)
(l’unità di misura della capacità è il Farad simbolo F=C/V)
La capacità di un condensatore dipende dalla sua forma geometrica; nel caso
specifico del condensatore piano riportato in Fig. 2.1.2 otteniamo
C=
ε 0S
d
(1.3).
Vediamo ora di stabilire qualche analogia con quanto studiato nelle parti precedenti
di queste lezioni che ci permetta di “visualizzare” i concetti che stiamo apprendendo.
Abbiamo più volte sottolineato durante il corso di queste lezioni che i termini
svolgono in Fisica un ruolo importante. Il termine Capacità sta pertanto ad indicare
che, entro certi limiti, il condensatore può essere considerato come un contenitore.
L’analogia più diretta è, pertanto, quella della capacità di un contenitore di un fluido
(gas o liquido), se facciamo le seguenti corrispondenze (si veda la Fig. 2.1.3)
Q → volume di fluido
V → pressione esercitata per riempire il contenitore
46
energia
tensione =
carica
S
d
V = VB
joule
V=
coulomb
VB
energia
volume
p
F = mg
pressione =
pompa
p=0
V=0
batteria
Una presa è sotto tensione
ma la corrente è 0
p=
serbatoio
resistenza infinita
F Fd L
=
=
S Sd V
p=
joule
m3
Un rubinetto chiuso è
sotto pressione ma la
portata idrica è 0
resistenza infinita
Fig. 2.1.3. Analogia pressione potenziale elettrico.
Approfittiamo di tale analogia, per studiare il meccanismo con cui si carica un
condensatore. Come mostrato in Fig. 2.1.4 una pompa spinge un fluido ideale
attraverso un tubo per caricare un certo contenitore.
Capacità =
Carica accumulata
Tensione applicata
C=
Q
V
pompa
serbatoio
batteria
condensatore
Per fluidi comprimibili, es. aria
Capacità =
Volume equivalente del fluido
Pressione applicata al fluido
Fig. 2.1.4. Condensatore caricato tramite una batteria e contenitore di aria caricato
tramite una pompa.
47
Le equazioni che regolano tale meccanismo sono quelle già studiate nel caso della
respirazione polmonare ed infatti avremo
p = RI I q +
Veq
(1.4)
C
dove con Veq abbiamo indicato il volume del fluido, con C la capacità del contenitore
che ha le dimensioni di un volume per unità di pressione, inoltre
Iq =
d Veq
(1.5)
dt
rappresenta il flusso volumetrico e RI è la resistenza idraulica del sistema; si ricordi la
Legge di Poisseille Fig. 2.1.5
Variazione di tensione
V1
R
Variazione di pressione
V2
p1
Q
I
I=
V1- V2
R
Legge di Ohm per i circuiti elettrici
I= corrente elettrica
p2
R
Q=
p1- p 2
R
Legge di Poisseuille per i fluidi
Q= portata del fluido
Fig. 2.1.5. Analogia tra resistenza elettrica e idraulica.
Il riempimento del serbatoio è pertanto regolato dalla seguente equazione
differenziale
RI
d Veq
dt
+
1
Veq = p
C
(1.6)
Assumendo che il serbatoio sia inizialmente vuoto, si ha la seguente dipendenza
temporale del volume di fluido accumulato nel contenitore
t
− ⎤
⎡
τ
Veq (t ) = V ⎢1 − e ⎥,
⎣
⎦
p
Veq* =
, τ = RI C
RI
*
eq
(1.7)
48
dove Veq* rappresenta una sorta di volume asintotico, inoltre τ è il tempo
caratteristico del “circuito”.
Prima di andare oltre cerchiamo ora di utilizzare l’analogia di cui ci siamo serviti per
determinare l’energia elettrostatica “accumulata” in un condensatore. Ricordando che
il lavoro è legato a volume e pressione dalla relazione dL = p d V otteniamo come
energia immagazzinata
Veq
2
1
1 Veq
ℑ = ∫Ξd Ξ =
C 0
2 C
(1.8a )
che in termini di pressione potrà essere scritta come
ℑ=
1
C p2
2
(1.8 b).
A questo punto, semplicemente adattando le precedenti relazioni al caso elettrostatico,
avremo
ℑE =
1 Q2 1
= CV 2
2 C
2
(1.9)
che rappresenta l’energia immagazzinata all’interno di un condensatore.
Non è difficile derivare l’espressione precedente utilizzando un ragionamento diretto.
Il lavoro compiuto per portare la carica di un condensatore da Q a Q + d Q è
d ℑ E = VdQ =
Q
dQ ⇒
C
(1.10)
Q
1
⇒ ℑ E = ∫ Q dQ
C0
che una volta integrata fornisce la equazione (1.9).
Proponiamo ora il seguente problema :
Si dimostri che dalle equazione (1.9) segue che l’energia elettrostatica per unità
di volume di un condensatore può essere scritta come
W =
ε0
E2,
2
ℑ
W = E
Ad
(1.11)
2
1
⎛V ⎞
(Suggerimento: Si noti che ℑ E = ε 0 A d ⎜ ⎟ …).
2
⎝d⎠
49
Il risultato ottenuto in maniera così semplice vale in condizioni assolutamente più
generali e sarà un elemento importante nei prossimi Capitoli.
Discutiamo ora la possibilità di connettere uno o più condensatori in modi differenti.
Rimanendo nell’ambito dell’analogia idraulica, sostituiamo il contenitore di Fig.
2.1.4 con due contenitori in serie ovvero uno dopo l’altro (si veda la Fig. 2.1.6);
stante la definizione di capacità non abbiamo difficoltà a comprendere che la capacità
equivalente (o totale) può essere calcolata tenuto conto che la pressione risultante è
legata al volume totale e alle capacità dei singoli contenitori da
p = p1 + p 2 =
Veq
C1
+
Veq
(1.12)
C2
da cui segue che la capacità totale è legata alle singole capacità da
1
1
1
=
+
CT C1 C2
(1.13)
se invece i contenitori sono collegati in parallelo avremo
V q = Veq ,1 + Veq , 2 = C1 p + C 2 p
p1
pompa
p = p1 + p2
⇒
C T = C1 + C 2
p2
Veq
serbatoio
Veq
serbatoio
Capacità =
p
Veq,1
pompa
serbatoio
Veq,2
(1.14).
Per fluidi
comprimibili,
es. aria
Volume equivalente del fluido
Pressione applicata al fluido
Veq = Veq,1 + Veq,2
serbatoio
Fig. 2.1.6. Serbatoi d'aria in serie e in parallelo caricati tramite una pompa.
Nel caso dei condensatori in serie ed in parallelo avremo, in completa analogia con le
relazioni precedenti
−1
T
C
n
= ∑ Ci−1 ,
i =1
n
CT = ∑ Ci
i =1
(1.15)
50
dove Ci rappresentano le capacità di n condensatori connessi in serie o in parallelo ( si
veda la Fig. 2.1.7)
Condensatori in serie
C1
C2
Condensatori in parallelo
Cn
C1
C2
Cn
Fig. 2.1.7. Condensatori in serie e in parallelo.
Come già sappiamo, da quanto imparato sulle lezioni di idraulica, la legge di
Poiseuille permette di stabilire la nozione di resistenza idraulica, tale concetto può
essere “traslato” in maniera del tutto naturale al caso di resistenza elettrica.
La caduta di pressione ai capi di una condotta cilindrica di raggio r e lunghezza L è,
come ben noto, data da
P = RI Q ,
RI =
8 ηL
π r4
(1.16)
( η rappresenta la viscosità del liquido) mentre la caduta di tensione o differenza di
potenziale ai capi di un “resistore” è (si vedano le Fig. 2.1.5 e 2.1.8)
V = RI
(1.17)
che è la legge di Ohm di cui parleremo diffusamente nel prossimo paragrafo.
I
V
R
V2 2
P =V I=
=I R
R
Fig. 2.1.8. Legge di Ohm e Potenza dissipata.
51
2. La legge di Ohm e le sue conseguenze Nel paragrafo precedente abbiamo citato la legge di Ohm che, in base alla equazione
(1.15) potrebbe essere enunciata asserendo che
La caduta di tensione ai capi di un resistore è proporzionale alla corrente elettrica
che lo attraversa e la costante di proporzionalità è costituita da una quantità detta
resistenza
Sebbene l’affermazione precedente sia corretta la (1.15) non è esattamente la legge di
Ohm, che andrebbe formulata come segue
R=
V
I
(2.1).
Si potrebbe obiettare che l’eq. (2.1) e la (1.15) sono algebricamente equivalenti e che
pertanto le due relazioni rappresentano la medesima legge fisica.
Fortunatamente questo non è strettamente vero e le due formule, matematicamente
equivalenti, non sono necessariamente equivalenti da un punto di vista fisico, esse
rappresentano infatti due aspetti diversi di uno stesso fenomeno, che vanno discussi
separatamente.
Consideriamo dunque la relazione (2.1) che, espressa verbalmente, afferma che
Il rapporto tra la differenza di potenziale ai capi di un resistore e la corrente che lo
attraversa è una costante
La precedente equazione, introduce una nuova grandezza fisica (la resistenza) a
fronte di due noti, ovvero la corrente e la differenza di potenziale.
L’unità di misura della resistenza è l’Ohm (simbolo Ω ) e
Ω=
V
A
Da un punto di vista macroscopico non abbiamo difficoltà a comprendere che la
resistenza potrebbe essere definita in termini di lunghezza e di sezione, nel caso di un
conduttore “filiforme”, come segue
R=
ρL
A
(2.2)
che ricorda di nuovo la definizione della resistenza idraulica, ed infatti L e A sono
rispettivamente la lunghezza e la sezione traversa del resistore, mentre ρ , nota come
resistività potrebbe essere associata alla viscosità del liquido.
Sebbene la comprensione della resistenza dal punto di vista microscopico richieda
una trattazione basata sulla meccanica quantistica, cercheremo di chiarire il ruolo
giocato da questa ultima quantità, legandola al “modello” di corrente elettrica
52
sviluppato nel Capitolo introduttivo in termini di numero di cariche in moto
all’interno di un conduttore, ovvero (si veda la Fig. 2.2.1)
I = n e A vd
(2.3).
Se si inserisce la precedente equazione nella (2.1) e si utilizza la (2.2) otteniamo
ρL=
V
ne e v d
(2.4)
sapendo che V = E L possiamo scrivere infine una relazione tra campo elettrico e
velocità di “drift” (o di “deriva”) delle cariche
ρ=
E
ne e v d
(2.5)
vd
Campo elettrico E
filo di rame
Gli elettroni si muovono alla velocità
di Fermi e il campo elettrico
applicato genera piccola velocità di
spostamento che si sovrappone a
quella di Fermi determinando una
velocità media di spostamento degli
elettroni verso il polo positivo.
v
vd
Fig.2.2.1. Interpretazione microscopica della resistività.
La velocità vd , che abbiamo chiamato velocità di drift, è la velocità media degli
elettroni all’interno del conduttore e sarà determinata dal campo applicato, ma anche
dagli urti che gli elettroni subiscono durante il loro tragitto e dunque, in ultima analisi,
sarà legata alla struttura del materiale costituente il conduttore stesso.
Cerchiamo di capire meglio il significato fisico della quantità precedente, facendo il
seguente ragionamento.
Indichiamo con
Q = ne A L e
M = ne A L me
(2.6)
53
la carica complessiva e la massa degli elettroni soggetti al campo all’interno del
conduttore6 (me è la massa del singolo portatore di carica); se questi non subissero
alcun effetto di resistenza dopo un tratto L avrebbero acquisito una velocità pari a (si
ricordi il teorema dell’energia cinetica)
v=
2Q E L
M
(2.7)
definiamo ora la seguente quantità
QEL
v
=
,
vd
Td
1
Td = M v d2
2
(2.8),
ovvero il rapporto tra le velocità acquisite dagli elettroni senza effetti resistivi e la
velocità di drift che risulta essere legato al rapporto tra energia “imperturbata” e
energia (cinetica) di drift.
Dalla equazione (2.7) e dalla (2.5) si ottiene, dopo un po’ di passaggi, che il lettore è
invitato ad eseguire per proprio conto
2
⎞
ne e 2τ d
⎟⎟ = 2
ρ,
m
e
⎠
(2.9).
L
τd =
vd
E’ evidente che al crescere di ρ aumenta il divario tra velocità ideale e di drift.
Un parametro parimenti importante è la cosiddetta conduttività che è l’inverso della
resistività; dalla eq. (2.8) otteniamo
⎛ v
⎜⎜
⎝ vd
m eσ
v,
2 ne e 2τ d
vd =
σ=
1
(2.10)
ρ
mentre dalla (2.5) si ha
J =σ E
(2.11)
dove J è la densità di corrente ovvero la corrente per unità di superficie.
E’ evidente che la descrizione microscopica prima proposta suggerisce che esiste una
perdita continua di energia da parte delle cariche mentre la corrente fluisce nel
resistore.
6
E’ opportuno notare che non essendo più nel caso elettrostatico (ovvero per un sistema di cariche
in equilibrio) il campo all’interno del conduttore può essere non nullo.
54
Ricordando che il lavoro compiuto sulla carica macroscopica Q è dato da Q V e che
la potenza è legata alla derivata rispetto al tempo del lavoro, si ottiene, assumendo
costante nel tempo la differenza di potenziale
P=
d
(Q V ) = I V
dt
(2.12)
La precedente relazione è formalmente identica alla potenza di una pompa, come
discusso nel caso della legge di Poiseuille.
La potenza dissipata può essere scritta in termini della resistenza utilizzando la legge
di Ohm e infatti avremo
P = R I 2,
(2.13)
V2
P=
R
il cui significato fisico sarà discusso nel seguito.
Da un punto di vista macroscopico l’effetto di dissipazione si manifesterà sotto forma
di calore e il seguente esercizio può dare una idea più concreta
Si calcoli in quanto tempo una corrente di 10 A, che fluisce in un resistore da
1 kΩ , scioglie la massa di 1 kg di ghiaccio.
(Suggerimento: Si ricordi che la quantità di calore necessario per fondere una certa
massa di ghiaccio è Q = m λ dove m e λ sono la massa del ghiaccio e il suo calore
mλ
…. si faccia attenzione ai fattori di conversione
latente di fusione pertanto Δt =
RI2
Joule Calorie)
Nella figura (2.2.2) abbiamo riportato quelle che si chiamano resistenze in serie e in
parallelo. In base a quanto appreso non è difficile dimostrare quanto segue
a) la resistenza totale equivalente di n resistenze in serie è
n
RT = ∑ Ri
(2.14)
i =1
Consideriamo per semplicità due resistenze soltanto, ai cui capi sia applicata una
differenza di potenziale V ; la corrente che fluisce nelle singole resistenza è la stessa
per cui
V = V1 + V 2 = R1 I + R 2 I = ( R1 + R 2 ) I
per cui la resistenza totale è la somma delle due. Se si estende il ragionamento ad un
configurazione con più resistenze, si ottiene la (2.14).
55
b) la resistenza totale di n resistenze in parallelo è
n
RT−1 = ∑ Ri−1
(2.15)
i =1
Considerando di nuovo solo due resistenze si ottiene, visto che ai capi di ogni
resistenza la differenza di potenziale è la stessa
I = I1 + I 2 =
⎛ 1
V
V
1 ⎞
⎟⎟
+
= V ⎜⎜ +
R1 R2
R
R
2 ⎠
⎝ 1
Resistenze in serie
I
R1
R2
Rn
Req = R1 +R2 +...+ Rn
Vn
V1
V2
Vn
V V1 +V2 +...+ Vn V1 V2
Req = =
=
+ +...+
= R1 +R2 +...+ Rn
I
I
I
I
I
V
V
V
V
I
=
I
+I
+...+
I
=
+
+...+
=
1
2
n
Resistenze in parallelo
R1 R2
Rn Req
I1
V
In
I2
R1
R2
Rn
1
1
1
1
=
+
+...+
Req R1 R2
Rn
Fig. 2.2.2. Resistenze elettriche in serie e in parallelo.
Invitiamo inoltre il lettore a meditare sulla differenza rispetto al caso delle capacità e
a riflettere sul significato fisico.
In Fig. 2.2.3 abbiamo infine riportato un condensatore con una resistenza in serie; se
il condensatore è inizialmente scarico si dimostri che il suo potenziale varierà nel
tempo secondo la relazione
−
t
V (t ) = V0 (1 − e τ )
τ = RC
(2.16)
Si confrontino i risultati ottenuti con quelli illustrati in precedenza e relativi al caso
idraulico.
56
C
Vb = VR + VC
Quando il processo di
carica è in corso
Imax
Qmax
Q = C Vb [1- e-t /RC ]
Vb -t /RC
I=
e
R
Corrente di
carica
RC
0
Q Carica
Vb = IR +
aumenta t = 0
C
Corrente decresce
Carica sul
condensatore
2RC
3RC
4RC tempo
Q = 0, Vc = 0, I =
t→∞
CVb
Carica sul
condensatore
Vb
Vb
R
R
Corrente di carica
t= 0
Vb
R
Q → C Vb , Vc → Vb , I →0
Fig. 2.2.3. Circuito di carica di un condensatore.
L’esempio appena riportato, pur essendo estremamente semplice, va considerato con
molta attenzione e in particolare si invita il lettore a meditare sui seguenti punti
i)
l’energia totale si conserva ?
ii)
il processo è reversibile?
Per rispondere ai quesiti precedenti si stabilisca una analogia con un corpo soggetto
alla forza di gravità e ad una forza di attrito dipendente dalla velocità, in questo caso,
come illustrato nella parte I di queste lezioni. Si ricorda che le equazioni di moto per
il corpo possono essere scritte come F p = m
d
v + k v , dove Fp è la forza peso, ν la
dt
velocità m la massa del corpo e k il coefficiente di attrito.
3. Considerazioni aggiuntive Nei paragrafi precedenti abbiamo cominciato ad intuire che le cariche possono essere
fatte transitare tramite l’utilizzo di una pompa, ovvero di qualche cosa che generi una
differenza di potenziale7 (ddp) costante ai capi di un conduttore.
Consideriamo ora i circuiti riportati nelle Fig. (2.3.1)
7
Discuteremo in dettaglio tali generatori nel seguito.
57
(a)
I
I legge di Kirchhoff o di nodi
R0
I
1 I2
1
¾
I1
Vb
R1
I -I1-I2 = 0
R2
I1
I
R3
(b)
2
I2
2
¾
I1 + I2 - I = 0
II legge di Kirchhoff o delle maglie
R0
I
1
2
V=Vb I V=Vb
1
V4-V1= -Vb
Vb
R3
I
R1
R2
V= 0
V= 0
4
I R0+I1 R1 + I R0 -Vb= 0
I2
V2-V3= Vb
3
I2 R2-I1 R1= 0
Fig. 2.3.1. I e II legge di Kirchhoff.
Ed è opportuno notare che
a) La corrente in un resistore fluisce dal punto a potenziale maggiore a quello
minore, utilizzando di nuovo una analogia meccanica diremo che la corrente si
muove verso il” basso”
b) Il morsetto, indicato in Figura dal segmento più lungo, del generatore di ddp è
quello a potenziale maggiore (se la sua resistenza interna è trascurabile) ed è
indipendente dalla direzione di attraversamento della corrente.
Consideriamo la prima delle Fig. 2.3.1 (a) e scriviamo la legge di Ohm per il ramo
contenente sinistra come
V B = I 1 R1 ,
V B = I 2 R2
Da cui segue
(3.1)
58
I1 + I 2 = I B =
VB VB
V
1
1
+
= VB ( + ) = B ,
R1 R2
R1 R2
RT
(3.2)
R1 R2
RT =
R1 + R2
Poiché sappiamo che due resistenze in parallelo sono equivalenti alla singola
resistenza RT, la corrente IB rappresenta la corrente che fluirebbe nel resistore
equivalente a parità di ddp. Però potremmo interpretare le cose affermando che la
corrente IB, una volta raggiunto il punto di diramazione (nodo) (si veda la prima delle
Fig. 12b), si divide in due correnti in modo da soddisfare la relazione
I B − I1 − I 2 = 0
(3.3)
che può essere interpretata algebricamente, asserendo che la somma algebrica delle
correnti concorrenti in un nodo è nulla, con la convenzione che le correnti che si
avvicinano al nodo sono positive e quelle che si allontanano sono negative.
La parte destra delle Figure 2.3.1 è relativa al caso delle resistenze in serie e il loro
contenuto fisico è interpretabile in termini di quanto discusso in precedenza, in
particolare per quanto concerne la caduta di potenziale ai capi del resistore, che va
intesa in termini di due cadute di potenziale successive, che è un modo
complementare di vedere le resistenze in serie.
In Fig. 2.3.2 riproponiamo la nostra analogia idraulica. In particolare nel caso delle
resistenze in parallelo la “legge” (3.3) è interpretabile semplicemente come
conservazione della portata idraulica.
corrente =
Carica
secondo
Q
I
V = VB
V ≈ VB
Legge di Ohm
VB
I=
Volume di fluido
secondo
Portata =
ΔV
R
V=0
Legge di Poisseuille p
pompa
p=0
Q=
Δp
R
R
p≈0
R
V≈0
batteria
serbatoio
Fig. 2.3.2. Caduta di tensione in un circuito elettrico e caduta della pressione in un
circuito idraulico.
59
Carica
corrente =
secondo
Portata =
I = I1 + I2
V = VB
I1
VB
R1
V ≈ VB
I2
Volume di fluido
secondo
Q = Q1 + Q2
Q1
R1
pompa
R2
Q2
R2
p=0
V=0
Q = Q1 + Q2
I = I1 + I2
batteria
serbatoio
Fig. 2.3.3. Resistenze idrauliche ed elettriche in parallelo.
Il lettore realizzi l’analogia con le resistenze in serie
Una domanda piuttosto naturale riguarda la potenza dissipata nei due circuiti. Da un
punto di vista intuitivo possiamo dire che dovrebbe essere in entrambi i casi la
somma delle potenze dissipate nei singoli resistori e la dimostrazione è piuttosto
semplice, come qui di seguito provato.
Nel caso delle resistenze poste in parallelo avremo
PT =
V2 V2 V2
=
+
= P1 + P2
RT
R1 R2
per quanto, invece, concerne le resistenze in serie potremo scrivere
PT = V I = ( R1 I + R2 I ) I = R1 I 2 + R2 I 2 = P1 + P2
Si noti che il risultato precedente non implica che la potenza dissipata sia la stessa (a
parità di voltaggio e resistenze) per entrambi i circuiti; è interessante notare che essa
è maggiore nel caso delle resistenze in parallelo. La ragione è semplice però
invitiamo il lettore a riflettere su questo fatto.
Riteniamo infine opportuno aggiungere una piccola nota di natura “tecnica” sulle
resistenze o meglio su come se ne indichi il valore. Come mostrato in Fig. 2.3.4 e
nella Tabella I, i valori di resistenza sono codificati in 4 o 5 bande colorate8 (a,b,c,tol)
e la resistenza può essere calcolata secondo la relazione
8
Esistono codici a più di quattro bande che qui non discuteremo.
60
R[Ω] = ab ⋅ 10c ± tol[%]
Si noti che ab non rappresenta un prodotto, ma solo le cifre corrispondenti al colore
riportato, per cui alla sequenza riportata in Figura (marrone, rosso, verde e argento)
corrisponde un valore di resistenza pari a (12 ⋅ 10 5 ± 10%) Ω , nel caso non sia riportata
la banda di tolleranza allora a questa viene assegnato un valore di ± 20%
(a)
(b)
Fig. 2.3.4. Codice dei colori per le resistenze elettriche.
Tabella I
Codice dei colori per le resistenze elettriche.
Colore Valore Moltiplicatore
Tolleranza
(%)
Nero
0
0
-
Marrone
1
1
±1
Rosso
2
2
±2
Arancio
3
3
±0.05
Giallo
4
4
-
Verde
5
5
±0.5
Blue
6
6
±0.25
Violetto
7
7
±0.1
Grigio
8
8
-
Bianco
9
9
-
Oro
-
-1
±5
Argento
-
-2
±10
Niente
-
-
±20
Come esercizio il lettore derivi il valore della resistenza i cui colori sono riportati in
Fig. 2.3.4 (a)
Nei prossimi paragrafi descriveremo con maggiore dettaglio i problemi associati a
circuiti con corrente continua.
61
4. Circuiti elettrici e leggi di Kirchhoff Nel paragrafo precedente abbiamo considerato circuiti con un solo generatore di ddp,
cerchiamo ora di colmare tale lacuna facendo riferimento alla Fig. 2.4.1, in cui si
mostra un circuito attraversato da una corrente di intensità 0.125 A , che fluisce nella
direzione indicata. Il problema che poniamo è il seguente
Determinare la differenza di potenziale e il potenziale più alto per le seguenti
coppie di punti: (A,B), (B,C), (C,D), (D,E), (C,E), (E,C)
A
10.0 Ω
B
9.0 V
C
3.0 Ω
5.0 Ω
12.0 V
E
I = 0.125 A
D
6.0 Ω
Fig. 2.4.1. Circuito con due generatori di ddp.
La risposta al quesito presuppone le seguenti precisazioni
a) La corrente che attraversa il circuito è la stessa in tutti i suoi punti
b) La corrente attraversa il resistore dal potenziale più alto a quello più basso
c) Il terminale di un generatore segnato con la linea più lunga è sempre quello a
potenziale maggiore
d) Se la corrente attraversa il generatore dal morsetto a potenziale maggiore a
quello negativo il contributo della ddp al circuito va considerato con il segno
negativo
In base alle precisazioni precedenti non risulta difficile concludere che (si noti che è
stato assegnato un valore negativo alle cadute di tensione)
V AB = −1.25V ,
V A > VB
V BC = −9 V ,
V B > VC
VCD = −1.38V ,
VC > V D
V DE = 12 V ,
VE > VD ,
VCE = −10.6 V ,
V E > VC
V EC = ?
62
Nel circuito riportato in Fig. 2.4.2 è noto il verso di percorrenza della corrente e
la sua intensità (2 A), si determini la differenza di potenziale da B a A (i valori
delle ddp e delle resistenze sono riportate in Figura)
4.0 Ω
8.0 Ω
A
B
6.0 V
9.0 Ω
C
12.0 V
I = 2.0 A
Fig. 2.4.2. Circuito con tre generatori di ddp di cui una incognita.
.
Il quesito può essere risolto notando che il circuito è fatto da generatori di ddp e da
resistori attraversati da corrente. I resistori determinano una caduta di potenziale, che
viene reintegrata dai generatori; se interpretiamo la cosa in termini di una sorta di
conservazione dell’energia9, potremmo anche concludere che la somma algebrica dei
generatori di ddp e delle cadute di potenziale lungo tutto il circuito deve essere nulla.
per cui avremo
− V1 − R1 I + V x − R2 I + V2 − R3 I = 0 ⇒
⇒ V x = V1 − V2 + ( R1 + R2 + R3 ) I = 48V
Siamo ora in grado di enunciare i principi di Kirchhoff che regolano la connessione
tra corrente e tensioni nei circuiti, distingueremo tra legge dei nodi e legge delle
maglie.
In Fig. 2.4.3 abbiamo indicato quello che si chiama un nodo di correnti, dove
abbiamo disegnato 4 correnti, due che si avvicinano al nodo e due che si allontanano.
Assumendo positive le prime e negative le seconde, avremo
− (I 3 + I 4 ) + (I1 + I 2 ) = 0
(4.1a)
Che può essere così tradotta
In un nodo la somma algebrica delle correnti ad esso afferenti è nulla
9
La conservazione dell’energia in senso stretto non vale perché all’interno del resistore si ha una
dissipazione, meglio sarebbe dire che il campo elettrico lungo il circuito è nullo, torneremo su
questo punto in seguito.
63
n
∑I
i =1
i
=0
(4.1b)
I2
I3
I1
I4
I1 + I 2 = I 3 + I4
Fig. 2.4.3. Illustrazione delle correnti entranti ed uscenti da un nodo.
Il circuito riportato nella Figura 2.4.4 consta essenzialmente di due maglie, vale a dire
di due porzioni, una costituita da una resistenza e un generatore, l’altra da due
resistenze; tale caso semplice può essere complicato “ad libitum”, però qualsiasi
siano le complicazioni apportate, per ogni maglia vale il “protocollo” specificato
all’inizio del paragrafo. Potremo pertanto affermare che
In una maglia la somma algebrica delle tensioni e delle cadute di potenziale è nulla
Più delle parole valgono gli esempi pratici, consideriamo pertanto il circuito di Fig.
2.4.4. Fissiamo il verso di percorrenza delle correnti nelle maglie, come indicato in
figura e applichiamo ora quanto appreso in precedenza alla maglia di sinistra
R1
R3
a
I1
I2
R4
V1
I3
R2
V3
b
Fig. 2.4.4. Circuito a due maglie
.
V2
64
V1 − R1 I 1 − R4 I 3 − V3 − R2 I 2 = 0
per la maglia di destra, tenendo conto del verso di percorrenza delle correnti, avremo
− R3 I 2 − V2 + V3 + R4 I 3 = 0
che vanno combinate alla legge dei nodi
I1 = I 3 + I 2
Assumendo che le nostre incognite siano le correnti, potremo scrivere il sistema di tre
equazioni in tre incognite che ci permette di valutare le correnti che fluiscono nei
resistori, una volta note le caratteristiche del circuito. Scriviamo pertanto il nostro
sistema come
R1 I 1 + R4 I 3 + R2 I 2 = V1 − V3 ,
R3 I 2 − R4 I 3 = V3 − V2 ,
I1 − I 3 − I 2 = 0
Che, in forma matriciale, può essere scritta come
V = Rˆ I
⎛ R1 R2 R4 ⎞
⎜
⎟
ˆ
R = ⎜ 0 R3 − R4 ⎟
⎜ 1 −1 −1 ⎟
⎝
⎠
⎛ I1 ⎞
⎛ V1 − V3 ⎞
⎜ ⎟
⎜
⎟
I = ⎜ I 2 ⎟ V = ⎜V3 − V2 ⎟
⎜I ⎟
⎜ 0 ⎟
⎝ 3⎠
⎝
⎠
E’ dunque evidente che scritta in questa forma le leggi di Kirchhoff altro non sono
che una formulazione più generale della legge di Ohm10 e il lettore non avrà difficoltà
a comprendere che il loro significato fisico è riconducibile a quello della
conservazione dell’energia e della carica.
Si invita infine il lettore a considerare la possibilità di definire la potenza dissipata nel
circuito in termini matriciali.
In base alle relazioni precedenti, potremmo anche concludere che, per quanto
complicato sia un circuito elettrico, esso può essere ridotto ad un circuito che consta
semplicemente di un generatore e di un resistore.
Per meglio chiarire il concetto precedente, consideriamo il circuito di Fig. 2.4.5
10
Tale affermazione è certamente vera da un punto di vista matematico, da un punto di vista fisico
le cose sono leggermente più complesse. Vogliamo far notare che il formalismo matriciale può
essere utilizzato in modo estremamente proficuo per derivare quantità importanti come la potenza
dissipata, ma non discuteremo ulteriormente questo problema.
65
R1
Vb
A
A
R2
R3
r
VAB
La tensione di Thévenin e è la
tensione ai capi A e B a circuito
aperto.
La resistenza equivalente o di
Thévenin r è la resistenza che si
misurerebbe tra A e B a circuito
aperto con i generatori di
tensione cortocircuitati.
Circuito
equivalente
di Thévenin
e
B
B
e=
V1 R3
R1 +R2
r =R2 +
R1 R3
R1 +R2
Fig. 2.4.5. Teorema di Thévenin.
assumendo che il circuito sia chiuso ai capi A B, applicando le leggi di Kirchhoff
otteniamo
V = Rˆ I ,
⎛ R1
⎜
Rˆ = ⎜ 0
⎜1
⎝
R3 ⎞
⎟
R2 − R3 ⎟ ,
− 1 − 1 ⎟⎠
0
⎛V1 ⎞
⎜ ⎟
V =⎜0⎟
⎜0⎟
⎝ ⎠
Da cui ricaviamo, per la corrente I 2
I2 =
V1 R3
( R1 + R3 ) R2 + R1 R3
che può essere riscritta come
⎛ V R3
I 2 = ⎜⎜
⎝ R1 + R2
⎞ R1 + R3 e
⎟⎟
=
r
⎠ R1 R3
dove
e=
R3
V1 ,
R1 + R3
r = R2 +
R1 R3
R1 + R3
Il risultato precedente non è una semplice riscrittura ma suggerisce che ai capi A B il
circuito “appare” come il circuito ideale di Fig. 19b, costituto da un generatore ideale
con una resistenza in serie.
66
I risultati appena ottenuti permettono di formulare un teorema generale, noto come
teorema di Thévenin, che può essere enunciato come segue
Qualsiasi combinazione di generatori di ddp e di resistenze con due terminali è
equivalente a un singolo generatore ideale di tensione in serie ad una singola
resistenza(detta resistenza equivalente di Thévenin)
Per sorgente ideale di tensione intendiamo un generatore senza alcuna resistenza
interna, in maniera tale che qualsiasi variazione nella resistenza di carico esterna non
modifichi la tensione fornita.
Definiamo, invece, sorgente ideale di corrente una sorgente di corrente con una
resistenza infinita, in modo che ogni cambiamento nel carico di resistenze applicato
non produce alcun cambiamento della corrente erogata.
r
Un generatore ideale
di corrente ha
resistenza interna
infinita.
Un generatore ideale
di tensione ha
resistenza interna 0.
e=ir
e
Non cambia la tensione
ai capi del generatore
anche se cambia la
resistenza di carico.
i
r
Non cambia la corrente
ai capi del generatore
anche se cambia la
resistenza di carico.
Fig. 2.4.6. Generatori di tensioni e di corrente.
In Fig. 2.4.7 riportiamo la Figura 2.4.5, vista dalla prospettiva che coinvolge un
generatore ideale di corrente.
In questo caso vale il teorema di Norton che può essere formulato come segue
Qualsiasi combinazione di generatori di ddp e di resistenze con due terminali è
equivalente a un singolo generatore ideale di corrente in parallelo ad una singola
resistenza (detta resistenza equivalente di Norton)
Il lettore potrà verificare il teorema per proprio conto, dimostrando che la resistenza
equivalente di Norton è
i=
V1
r
r = R2 +
R1 R3
R1 + R3
67
A
A
R1
Vb
R2
R3
i
VAB
Circuito
r equivalente
di Norton
B
B
La corrente di Norton i è la
La resistenza di Norton o di Thévenin r
tensione ai capi A e B a circuito è la resistenza che si misurerebbe tra A
aperto divisa per la resistenza r. e B a circuito aperto con i generatori di
tensione cortocircuitati.
R1 R3
r =R2 +
R1 +R3
Fig. 2.4.7. Teorema di Norton.
In Fig. 2.4.8 abbiamo riportato come ulteriore esempio un circuito originale e i suoi
Thévenin e Norton equivalente. Invitiamo il lettore a verificare la correttezza dei
risultati.
(a)
¾
R1
(b)
R2
1 kΩ
2 kΩ
R3
A
V = 15 V
R4
¾
A
r
1 kΩ
(c)
¾
2 kΩ
i
e
r
2 kΩ
1 kΩ
B
B
e = 7.5 V
i =3.75 mA
Fig. 2.4.8. a) Circuito originale, b) Thévenin equivalente, (c) Norton equivalente.
In questo paragrafo abbiamo appreso come ridurre un circuito, comunque
complesso, ad un generatore ideale di corrente e tensione. Abbiamo fino ad ora
assunto che esistano dei generatori di forza elettromotrice; nel prossimo paragrafo
vedremo come questi siano realizzati in pratica e discuteremo inoltre come la
corrente e la differenza di potenziale possano essere misurate.
68
5. Generatori di ddp. Come abbiamo già visto il generatore di ddp è la causa della differenza di potenziale
fra due punti di un circuito aperto o del flusso di corrente elettrica all'interno di un
circuito.
Talvolta si usa anche il termine di generatore di forza elettro motrice (f.e.m)
Il termine Forza potrebbe essere un elemento di confusione, se considerato
nell’accezione moderna, riferita alla meccanica. Tale denominazione ha un’origine
antica, risalente ad Alessandro Volta, ma viene ancora comunemente accettata per
esprimere la massima differenza di potenziale che un generatore di tensione produce
fra i suoi poli o la differenza di potenziale fra gli elettrodi di una cella elettrochimica.
I generatori di f. e. m. possono essere di natura elettrochimica, elettromagnetica,
termoelettrica, fotoelettrica, piezoelettrica, ecc.
Di qualsiasi natura sia il generatore deve essere in grado da agire come una sorta di
serbatoio di energia per il circuito in modo tale da fornire una ddp costante durante la
sua operazione. La sua funzione primaria è quella di “pompare” cariche all’interno
del circuito, e poi quella di restituire l’energia persa all’interno del resistore
rimettendola in circolo. In questo senso va intesa la conservazione dell’energia di cui
si è parlato prima, che in tale contesto va re-interpretata solo come una condizione di
equilibrio.
Qualsiasi sia la natura del generatore ribadiamo che
a) il lavoro L necessario al trasporto delle cariche verso i rispettivi poli, è
direttamente proporzionale alla quantità di carica Q; la forza elettromotrice viene
definita come la quantità di lavoro compiuto per unità di carica, secondo la formula
∂L
e=
(5.1)
∂Q
b) L'unità di misura della forza elettromotrice è il Volt, la stessa che si impiega per
misurare il potenziale e la tensione11;
c) In un circuito chiuso, la differenza di potenziale ΔV misurata ai poli di un
generatore reale risulta sempre inferiore alla forza elettromotrice del generatore per
effetto della resistenza interna ri dello stesso:
Δ V = e − i ri
(5.2)
Riservandoci di discutere tipi differenti di f.e.m nel seguito, analizzeremo in questo
paragrafo le pile, che costituiscono un dispositivo in grado di convertire energia
chimica in energia elettrica.
11
l'unità di misura CGS è lo statvolt.
69
Il meccanismo chimico alla base del principio di funzionamento delle pile è noto
come reazione di ossido-riduzione. In base a tale processo, si ha, all’interno della pila,
uno scambio di elettroni da una sua parte costituente che viene ossidata, perdendo
elettroni, ed un'altra che subisce riduzione, acquistandoli. La pila consente di
utilizzare il flusso di elettroni tra le sue parti, fornendo una corrente elettrica continua,
il cui potenziale elettrico dipende delle reazioni di ossidazione e riduzione che in essa
avvengono. Una pila si scarica quando si raggiunge uno stato di equilibrio tra le parti
e la reazione di ossido-riduzione non ha più modo di avvenire.
Un esempio di tale discorso generale viene riportato in Fig. 2.5.1, dove viene
mostrata una cella elettrolitica, che è essenzialmente una pila di Daniel. Essa risulta
costituita da una anodo di zinco immerso in una soluzione acquosa di solfato di Zinco,
separato dal catodo di rame immerso in una soluzione acquosa di solfato di rame.
Lo zinco perde
elettroni più
rapidamente
del rame, cede
2 elettroni e va
nella soluzione
acquosa
Il flusso di elettroni è
equivalente agli ioni
trasportati
A causa della
reazione il
rame si
deposita sul
catodo
-
CuSO4
Zn++
Zinco
ZnSO4
Zn
Zn++ + 2e-
L'elettrodo dove avviene
l'ossidazione è chiamato
anodo
SO4
--
Rame
Catodo
Cu++ + 2e-
Zn
Il setto poroso permette il passaggio di
-ioni SO4 ma blocca gli ioni Zn e Cu
Fig. 2.5.1. Cella elettrolitica di Daniel
Gli atomi di zinco forniscono gli elettroni, divenendo così ioni positivi che passano
alla soluzione acquosa, causando una diminuzione della massa dell’elettrodo di zinco.
D’altro canto gli ioni rame, tramite gli elettroni acquisiti, diventano atomi neutri, che
si depositano sull’anodo di rame, aumentandone la massa.
Le reazioni chimiche, note come semi-reazioni possono essere scritte come
70
Zn(s) -> Zn2+(acq) + 2eCu2+(acq) + 2e- -> Cu(s)
dove s e acq stanno rispettivamente per solido e acquoso. La prima è una reazione di
ossidazione (perdita di elettroni) la seconda è una reazione di riduzione (acquisizione
di elettroni).
La continuazione del processo necessita del movimento degli ioni solfato, che bilanci
il flusso degli elettroni nel circuito esterno. Il ruolo della membrana porosa è anche
quello di inibire il trasporto degli ioni metallici, in modo da assicurare il movimento
selettivo degli ioni negativi nell’elettrolita da destra a sinistra.
L’esistenza di una forza elettromotrice è assicurata dal fatto che l’energia rilasciata
nel processo di ossidazione è maggiore di quella persa nel processo di riduzione.
Un semplice calcolo ci permetterà ora di capire quanta sia l’energia a disposizione
per il processo e perché la pila, trascorso un certo tempo di operazione, si “scarichi”.
Supponiamo, per semplicità, che nella soluzione acquosa del comparto rame sia
presente solo una mole di ioni SO42-. Il processo consisterà allora nel trasferire due
moli di elettroni attraverso il circuito esterno. La quantità di carica in una mole di
elettroni è, come già sappiamo, la costante di Faraday ( CF = N Ae ≅ 96.485 C )
L’energia elettrica sarà dunque data da ΔE ≅ C F E cell dove la forza
elettromotrice E cell può essere calcolata dai potenziali standard e nel caso zinco/rame si
ha Ecell ≅ 1.1V .12
Nel linguaggio comune le pile primarie vengono dette batterie e sono quelle pile le
cui reazioni chimiche interne sono irreversibili. In altre parole, non è possibile
invertire la reazione completa semplicemente fornendo energia alla pila; quindi, in
sostanza, quando tutti i reagenti della pila si trasformano completamente nei prodotti
finali, essa si scarica definitivamente divenendo inutilizzabile.
A questo tipo di generatori appartengono le comuni pile zinco/carbone, ma non
discuteremo ulteriori esempi. Ci limitiamo a ricordare che le pile secondarie o
accumulatori, sono quelle pile le cui reazioni chimiche interne sono reversibili. A
differenza delle pile primarie, somministrando energia elettrica a questi dispositivi, si
inverte il senso della reazione completa ottenendo la riformazione dei reagenti iniziali
a spese dei prodotti finali. Di fatto, quindi, la pila si ricarica. Un esempio è costituito
dall’accumulatore a piombo.
12
Una trattazione completa richiederebbe l’uso dell’equazione di Nernst che, per il il momento, ci
0.05916
limitiamo a citare soltanto Ecell = E 0 −
log(Q ) , dove E 0 è il potenziale standard di riduzione
n
per metà cella, n è il numero di elettroni trasferiti per metà cella e Q è il rapporto di reazione.
71
La cella piombo-acida è il costituente fondamentale dei comuni accumulatori per auto.
Utilizzano un anodo fatto di polvere di piombo (Pb) spugnosa e un catodo di diossido
di piombo (PbO2). L'elettrolita è una soluzione di acido solforico (H2SO4) 4,5 M. La
differenza di potenziale ai poli è di 2,1 V infatti negli accumulatori per automobili
troviamo sei celle piombo-acide in serie, che generano una differenza di potenziale
complessiva di 12 V.
Abbiamo detto che i generatori di fem sono caratterizzati da una resistenza
interna, che, di solito, è molto bassa, diciamo qualche frazione di Ω . Cosa
succede se si prova a mettere una batteria in corto (ovvero congiungere i poli della
batteria tra di loro) .
E’ evidente che rovineremmo semplicemente la pila, assumendo infatti che la pila sia
in grado di erogare 4.5 V e una resistenza interna di 0.5 Ω , avremmo una corrente 9A
e una potenza dissipata (all’interno) di 40.5 W
Le batterie dell’automobile sono invece caratterizzate da una resistenza ancora
minore ( 0.02 Ω ). Cosa succede nel caso di un corto accidentale di una batteria
d’automobile?
(La potenza dissipata è alta 7 kW , per tale motivo si ha un forte riscaldamento con
conseguente fuoriuscita dell’acido…, pertanto… meglio evitare)
6. Strumenti di misura Abbiamo fino ad ora parlato di correnti, resistenze e generatori di f.e.m , ma non
abbiamo fatto cenno a come tali quantità possano essere misurate.
L’antesignano dello strumento in grado di eseguire le misure di cui sopra è il
Galvanometro.
In Fig. 2.6.1 abbiamo riportato i tre possibili usi di tale strumento, che può infatti
essere impiegato come
a) Voltmetro,
misuratore di differenza di potenziale
b) Ohmetro,
misuratore di resistenza
c) Amperometro, misuratore dell’intensità di corrente
a seconda della configurazione del dispositivo che funge da strumento di misura.
Lo strumento di misura, impiegato in una delle sue possibili configurazioni, diventa
una parte integrante del circuito su cui si esegue la misura e deve, pertanto essere
impiegato in modo tale che il suo utilizzo non induca alcuna effettiva modifica della
quantità da misurare.
Pertanto, nel caso venga usato per misurare la differenza di potenziale tra due punti di
un circuito, esso viene posto in parallelo con la parte di circuito interessato alla
misura, con una resistenza sufficientemente alta da non determinare un apprezzabile
flusso di corrente attraverso di essa.
72
Voltmetro Rs
Il Voltmetro ha un'elevata resistenza
in serie Rs così da assorbire una
corrente trascurabile dal circuito
R0
Ohmmetro
RG
Amperometro
G
Rp
L' ohmmetro ha generatore di
tensione per far circolare una
piccola corrente nella
resistenza da misurare.
Contiene una resistenza di
calibrazione R0
Galvanometro
Comune
L' amperometro ha una resistenza di valore molto
basso in parallelo Rp . In tal modo solo una piccola
frazione di corrente arriva al galvanometro senza
inoltre produrre una apprezzabile caduta di tensione.
Fig. 2.6.1. Il Galvanometro nella sua triplice veste strumentale.
Riferendoci alla analogia idraulica, discussa nel Capitolo precedente, il voltmetro può
essere paragonato ad un misuratore di pressione. In Fig. 2.6.2 abbiamo specificato
tale corrispondenza e abbiamo messo in evidenza come entrambi gli strumenti
(voltmetro e misuratore di pressione) vadano messi in parallelo al circuito, nel caso
idraulico, l’alto valore della resistenza viene rappresentato dalla stenosi del tubo
conduttore.
A
VB
VAB
R
V
pompa
p
R
B
batteria
Il voltmetro è collegato in
parallelo per misurare la
caduta di tensione su un
elemento di circuito.
Il manometro è collegato in
parallelo per misurare la
caduta di pressione in una
regione di resistenza al flusso.
Fig. 2.6.2. Analogia tra voltmetero e manometro.
In figura 2.6.3 si mostra una applicazione “visiva” di quanto detto in precedenza:
flusso d’aria è in moto da sinistra verso destra nel tubo, il livello di liquido colorato
73
fornisce una idea della distribuzione della pressione nel tubo di trasporto. E’evidente
che la pressione diminuisce dove la stenosi è maggiore (si spieghi perché)
Fig. 2.6.3. Un misuratore di pressione idraulica (manometro).
Un discorso assolutamente analogo vale per l’amperometro (si veda la Fig. 2.6.4,
dove si mostra la relativa analogia idraulica) e il lettore non avrà alcuna difficoltà a
comprendere che, in questo caso, lo strumento va posto in serie con la parte di
circuito in cui si intende eseguire la misura. E’ altresì evidente che esso è costituito
da una piccola resistenza in parallelo in modo da far fluire in essa gran parte della
corrente da misurare.
I
A
VB
RL
pompa
R
batteria
L'amperometro è collegato in
serie per misurare la corrente
che scorre nella resistenza RL
Il flussimetro è collegato in serie
per misurare il flusso volumetrico
ma non deve alterare
apprezzabilmente il flusso stesso.
Fig. 2.6.4. Analogia tra un amperometro ed un flussimetro.
74
La resistenza Rp associata all’amperometro può essere calcolata sulla base di quanto
illustrato in Fig. 2.6.5.
Amperometro
I
A
VB
RL
RG
Rp
G
batteria
Il valore della resistenza
Rp è tale da ripartire la
corrente I in modo che la
corrente IG ottimizzi la
lettura del galvanometro.
IG
Galvanometro
Rp =
IG RG
I -IG
Fig. 2.6.5. Funzione della resistenza di Shunt Rp nell'amperometro.
Indicando rispettivamente con I G , RG la corrente nel galvanometro e la sua resistenza
e con I C la corrente che fluisce attraverso il circuito avremo, grazie alle leggi di
Kirchhhoff,
I A R A = I G RG ,
I A + IG = IC
(6.1).
La resistenza associata all’amperometro è pertanto data dalla relazione
RA =
I G RG
IC − IG
(6.2).
Valori tipici della corrente di galvanometro sono nell’ordine di pochi mA , pertanto
come esempio numerico notiamo che un Galvanometro con resistenza di 103 Ω e
I G = 3 ⋅ 10 −3 A richiede, se utilizzato per misurare una corrente di 40 mA una resistenza
R A di circa 81 Ω .
L’uso dello strumento come Voltmetro è altrettanto semplice, da un punto di vista
concettuale. In Fig.2.6.6 ne riportiamo lo schema di principio.
75
A
I
IR
VB
VAB V
R
Amperometro
IG
Rs
RG
B
batteria
Il valore della resistenza
Rs è tale da ripartire la
corrente I in modo che la
corrente IG ottimizzi la
lettura del galvanometro.
IG
G
Galvanometro
Rs =
VAB
- RG
IG
Fig. 2.6.2. . Funzione della resistenza in serie R s nel voltmetro.
Il sistema dispone di una piccola sorgente di tensione, necessaria per far fluire una
corrente all’interno della resistenza da misurare, inoltre è dotato di una resistenza da
calibrazione. Il lettore non avrà difficoltà a derivare la resistenza esterna in termini
della resistenza e del voltaggio interni.
Torneremo nei prossimi capitoli su una descrizione più dettagliata del Galvanometro
a equipaggio mobile, la cui comprensione necessita di nozioni di magnetismo che
svilupperemo nei due Capitoli successivi.
Dedicheremo invece il prossimo paragrafo ad un breve cenno degli effetti fisiologici
della corrente sul corpo umano, limiteremo la nostra trattazione a questioni
elementari ma importanti dal punto di vista di conoscenza pratica. Torneremo ad una
trattazione più approfondita nei Capitoli 6-7.
7. Primi Elementi di sicurezza elettrica In questo paragrafo discuteremo i primi rudimenti di quella che si potrebbe definire
sicurezza elettrica. Ci soffermeremo dapprima sugli effetti della corrente elettrica sul
corpo umano; è ben noto, infatti, che lo shock elettrico può essere letale e che severe
misure precauzionali vanno prese quando si ha a che fare con strumenti elettrici.
La prima domanda da porsi è:
sotto quali condizioni la corrente elettrica risulta pericolosa ?
76
La risposta a tale domanda non è semplicissima, ma il dato di riferimento principale è
l’intensità di corrente che attraversa il corpo. Tale valore dipende a sua volta da altre
quantità, quali il voltaggio che ha determinato la corrente e la resistenza della zona
del corpo attraversata.
La Tabella II fornisce un’idea, molto grossolana, delle quantità in gioco. I dati
riportati fanno riferimento ad un contatto di un secondo.
Tabella II
Effetti fisiologici della corrente.
Nelle colonne 3, 4 vengono riportati i valori di differenza di potenziale in
corrispondenza di due specifici valori di resistenza corporea per produrre i valori di
intensità di corrente specificati nella prima colonna. Gli effetti specificati nella
colonna 2 si riferiscono al contatto di un secondo.
Intensità di
Corrente
Effetto Fisiologico
DDP in
corrispondenza di
105 Ω di resistenza
Corporea
DDP in
corrispondenza di
10 3 Ω di resistenza
Corporea
Valore limite di
100 V
1V
percezione
Limite superiore
accettato come
500 V
5V
5 mA
valore di corrente
innocuo
Effetti di
10-20 mA
contrazione
1000-2000 V
10-20 V
muscolare*
Problemi di
100-300 mA
fibrillazione
10000-30000 V
100-300 V
ventricolare* *
Paralisi
respiratoria e
600 kV
6 kV
6A
possibile
combustione***
* La contrazione muscolare determina l’incapacità di lasciare la presa.
Il meccanismo di contrazione è legato a complessi effetti di fisiologia, che
coinvolgono problemi di trasmissione dei segnali elettrici attraverso le cellule
nervose che studieremo con un certo dettaglio nei prossimi capitoli
** Il contatto può essere fatale se prolungato oltre il secondo
*** Si possono verificare contrazioni ventricolari a carico del muscolo cardiaco.
1 mA
77
Il punto da tenere a mente è dunque che il parametro di riferimento fondamentale,
quando si parla di rischio elettrico, è l’intensità di corrente, ma, come abbiamo già
messo in evidenza, l’intensità di corrente dipende dalla differenza di potenziale del
generatore che la eroga e dalla resistenza offerta dal corpo alla corrente che lo
attraversa. L’esempio che segue potrà offrire un’idea chiara di quello che intendiamo
dire. Consideriamo pertanto il caso dei 120 V domestici e chiediamoci se questi
possano produrre un incidente grave.
La risposta non è univoca.
In condizioni normali, ovvero se si è perfettamente asciutti, la resistenza offerta dal
corpo è circa 105 Ω , pertanto, come semplice conseguenza della legge di Ohm, la
corrente che attraversa il corpo è di poco più di 1mA, ben lungi dal procurare effetti
allarmanti. Se il corpo è invece bagnato, o semplicemente sudato, la sua resistenza
scende fino a 103 Ω e pertanto la corrente che lo attraversa può superare il centinaio di
milli-Ampère e divenire letale.
L’esempio precedente chiarisce il ruolo giocato sia dalla corrente che dalla differenza
di potenziale e si comprende pure perché nei segnali di allarme si utilizza
l’avvertimento
PERICOLO: ALTE TENSIONI
e non alte correnti.
Vale anche notare che l’effetto di alte correnti (dell’ordine di qualche Ampère) che
attraversano il corpo, pur essendo letali, hanno effetti fisiologici diversi e piuttosto
che creare meccanismi di fibrillazione e quindi di interferenza con il sistema elettrico
cardiaco, possono produrre danni relativi alla combustione degli organi interni ed
esterni.
Descriveremo con maggiore dettaglio tali questioni nel prosieguo delle lezioni.
Vogliamo inoltre far rilevare che l’interazione con la corrente elettrica che porta a
effetti fibrilla tori ha un suo rovescio della medaglia positivo.
Una scarica elettrica può infatti fungere da defibrillatore allorché la fibrillazione sia
dovuta a un effetto di malfunzionamento del muscolo cardiaco, tutti questi problemi
saranno discussi in un Capitolo dedicato.
Una domanda che viene spesso rivolta è perché (si veda la Fig. 2.7.1 (a)) gli uccelli
possano sostare sui fili delle linee di trasporto delle alte tensioni senza averne alcun
danno. Prima di rispondere a questa domanda facciamo notare che il termine alta
tensione preso in assoluto non significa molto.
Si può infatti camminare ad alta quota senza avere alcun danno se si ha l’accortezza
di non cadere in un precipizio. Per una ragione analoga, se si toccano due punti allo
stesso potenziale, anche se molto alto, non si ha nessun passaggio di corrente e
pertanto non si determinerà alcun effetto fisiologico. Questo è esattamente quello che
succede all’uccello che tocca due punti allo stesso potenziale Cosa assolutamente
diversa è quella relativa alla Fig. 2.7.1 (b), in cui una persona tocca il punto a
tensione più alta e il terreno (si guardi con attenzione la figura e in particolare il
percorso della corrente).
78
L'uccello non
viene forgorato
La persona
viene folgorata
L'uccello non
viene forgorato
Alta tensione
tra generatore
e terra
Alta tensione
tra generatore
e terra
(a)
(b)
Percorso della corrente attraverso il suolo
Fig. 2.7.1. a) Uccello “indenne” sui fili dell’alta tensione
b) Persona “folgorata” perché in contatto con due punti a potenziale
diverso.
Contatti accidentali possono comunque produrre effetti letali anche quando si è
convinti di stare al sicuro, si vedano le Fig. 2.7.2, che invitiamo il lettore a
considerare con molta attenzione.
L'uccello non
viene forgorato
L'uccello non
viene forgorato
La persona non
viene folgorata
Alta tensione
tra generatore
e terra
Alta tensione
tra generatore
e terra
(a)
La persona
viene folgorata
(b)
contatto accidentale
dei fili dell'alta
tensione con un
albero che chiude il
circuito elettrico
Fig. 2.7.2. a) Uccello e persona indenni perché toccano punti allo stesso
potenziale.
b) Persona folgorata a causa di contatto accidentale con il terreno.
La Fig. 2.7.3 mostra invece un possibile incidente dovuto alla caduta di un cavo
dell’alta tensione. Anche in questo caso invitiamo il lettore ad applicare quanto
79
imparato per spiegare il meccanismo attraverso il quale si può determinare un
incidente letale.
?
10 V
2400
Volts
La persona
viene folgorata
2390 Volts
corrente attraverso il suolo
250 Volts
Fig. 2.7.3. Folgorazione da caduta di un cavo dell’alta tensione.
Durante i lavori a contatto con l’elettricità si devono prendere molte precauzioni. Una
di queste, banale ma efficace, e nota come quella della mano in tasca , consiste nel
lavorare con una sola mano, tenendo l’altra in tasca. Si tratta di una misura cautelare
che permette di evitare contatti accidentali con punti a tensioni diverse.
E’ inoltre buona norma indossare guanti e stivali isolanti, in modo da aumentare la
resistenza offerta dal corpo, come illustrato in Fig. 33, dove si mostra un circuito con
tre resistenze in serie costituite dalla resistenza del corpo, dei guanti e degli stivali.
Resistenza dei guanti
I
I
R3
R1
Resistenza del corpo
I
Resistenza degli stivali
Fig. 2.7.4. Circuito equivalente offerto dalle resistenze (in serie) del corpo, dei
guanti e degli stivali.
Le considerazioni svolte fino ad ora riguardano essenzialmente la corrente continua.
Discuteremo nei prossimi capitoli il caso delle correnti alternate e completeremo il
quadro finora delineato molto sommariamente dell’interazione tra corrente elettrica e
corpo umano.
80
8. Elettricità statica Molto spesso siamo avvertiamo piccole scariche elettriche dovute a quelle che, in
gergo corrente, vengono dette scariche da accumulo di elettricità statica. Come
sappiamo lo strofinio determina il trasferimento degli elettroni dalla superficie di un
materiale ad un altro; lo strofinio delle suole delle scarpe sulla moquette è un esempio
particolarmente diffuso. Tale accumulo di cariche può determinare una leggera scossa
elettrica, quando ad esempio un conduttore, carico positivamente, tocca un secondo
materiale carico positivamente.
Sebbene gli effetti siano al più fastidiosi, per quanto riguarda l’interazione con il
corpo umano, le scintille prodotte da elettricità statica possono determinare gravi
incidenti nella industria chimica.
Essendo il fenomeno dell’elettricità statica molto diffuso, dedicheremo questo
paragrafo ad alcune semplici considerazioni sulla non nocività dei relativi effetti, se
limitati alle conseguenze che possono avere sulla salute umana.
Da un punto di vista energetico il problema dell’interazione tra cariche statiche e
corpo umano può essere visto come l’accumulo da parte del corpo di una certa
quantità di energia, dovuta all’accumulo di una certa quantità di carica. Per stimare la
quantità di energia acquisita abbiamo bisogno di almeno due dati
a) La capacità del corpo inteso come una sorta di condensatore
b) Il potenziale elettrico acquisito.
Notiamo che 13 CC ≅ 100 − 300 pF ed essendo difficile che il potenziale possa essere
superiore a 2 ⋅ 104V , otteniamo
ℑ MAX =
1
2
C C V MAX
≅ 60 mJ
2
(7.1).
Un valore non particolarmente significativo, se paragonato con quello di una normale
lampadina, che consuma, in un secondo, un valore di energia almeno mille volte
superiore.
La sensazione di corrente è associata alla scarica del condensatore. In base a quanto
abbiamo appreso nel capitolo precedente possiamo stimare il tempo caratteristico
assumendo una resistenza di accoppiamento dell’ordine di una decina di k Ω ,
ottenendo
τ = R CC ≅ 10 4 ⋅ 3 ⋅ 10 −10 s = 3 ⋅ 10 −6 s
(7.2).
Avendo assunto un potenziale di circa ventimila Volt potremo aspettarci anche
correnti che possono raggiungere valori molto alti, persino parecchi Ampère.
13
Si noti che p è il prefisso per pico ( 10 −12 ).
81
La breve durata dell’impulso e il basso livello di energie accumulate sono tali da non
determinare alcun problema.
Si potrebbe obiettare che una resistenza minore (in condizioni di corpo bagnato)
potrebbe essere causa di maggiore corrente e dunque creare un danno sensibile; la
cosa non è vera perché una diminuzione della resistenza determina una diminuzione
dei tempi di scarica e i due effetti si compensano.
I valori di energia elettrostatica, citati in letteratura come dannosi, sono dell’ordine di
qualche Joule (superiori ai 5). Situazioni di pericolo da cariche elettrostatiche
possono avvenire in condizioni estreme, come in alcuni processi industriali, in cui le
cariche si accumulano in materiali con alta capacità, producendo valori di energia
elettrostatica, che possono arrecare seri danni.
La discussione che abbiamo sviluppato fino ad ora è stata molto limitata, perché le
conoscenze fin qui acquisite, non ci permettono di affrontare considerazioni più
profonde.
Abbiamo parlato di elettricità statica e non abbiamo fatto cenno a effetti piezoelettrici o tribo-elettrici; inoltre gli aspetti di natura fisiologica sono stati limitati ad
una sorta di manuale precauzionale.
Amplieremo i nostri orizzonti nei prossimi capitoli e torneremo con maggiore
dettaglio sugli aspetti fisiologici, qui solo accennati. Ci occuperemo, in particolare,
delle importanti questioni relative al sistema elettrico che presiede al funzionamento
del cuore e alle sue interazioni con le sorgenti esterni utilizzate a fini diagnostici,
terapeutici o dovuti a contatti accidentali.
83
CAPITOLO III
MAGNETISMO
1. Introduzione Nei capitoli precedenti abbiamo discusso i fenomeni elettrici e le proprietà del campo
Elettrico. Insieme alla fenomenologia illustrata in precedenza ne esiste una, ad essa
complementare, sommariamente illustrata in Fig. 3.1.1, dove vengono mostrate varie
sorgenti di campo magnetico.
N
N
N
S
Corrente
in un filo
Corrente in
un anello
S
Solenoide
S
Magnete
permanente
La terra
Fig. 3.1.1. Sorgenti di campo Magnetico.
Da sinistra verso destra la figura riporta il campo generato da una corrente “lineare”,
quello di una spira percorsa da corrente, di un solenoide, di una calamita e infine
quello terrestre.
La natura vettoriale del campo è evidente ed inoltre, rispetto al campo elettrico la
differenza essenziale è la chiusura delle linee di forza in modo tale che esso non
possa essere considerato come una sorgente, dovuto ad una sorta di carica.
In Fig. 3.1.2 abbiamo riportato il campo magnetico terrestre e quello di una comune
calamita. L’andamento delle linee del campo è quello di un dipolo elettrico, con il
campo uscente dal “polo” positivo e rientrante in quello negativo. E’ interessante
notare che il campo magnetico terrestre è tale che il polo sud magnetico coincide con
il nord geografico e viceversa.
Torneremo in seguito su questo punto.
E’ ben noto infatti che le cariche magnetiche non esistono o meglio non sono state
ancora identificate sperimentalmente, sebbene non vi siano ragioni di principio per
cui esse non possano esistere.
84
Linee di campo magnetico
N
S
N
S
Il polo nord geografico corrisponde
al polo sud magnetico
asse di
rotazione
Fig. 3.1.2. Campo magnetico terrestre.
In analogia a quanto accade con il campo elettrico, la presenza del campo magnetico
può essere rilevata utilizzando una carica di prova, non disponendo di una carica
magnetica si può utilizzare una carica elettrica, la quale, se in moto, subisce l’effetto
della cosiddetta forza di Lorentz data da
r
r r
F = qv ×B
(1.1)
Nelle Fig. 3.1.3 riportiamo la “geometria” della forza di Lorentz, il suo significato
fisico facendo il confronto tra il moto di una carica tra le armature di un condensare e
tra le espansioni polari di un magnete e infine la cosiddetta regola della mano destra,
utile per stabilire la direzione della forza, una volta note quelle del campo e della
velocità.
F= q v x B
Carica di prova
positiva q
B
+
v
Fig. 3.1.3. La forza di Lorentz dal punto di vista vettoriale.
Una semplice ispezione alla struttura dell’equazione (1.1) indica che
85
a) il campo magnetico ha le seguenti dimensioni
[B] = ⎡⎢ N ⋅ s ⎤⎥
(1.2)
⎣C ⋅ m ⎦
b) Da un punto di vista dimensionale vale l’identità
[B ] = ⎡⎢ E ⎤⎥
(1.3)
⎣V ⎦
Le relazioni precedenti, sebbene apparentemente banali, possono essere utilizzate per
ottenere indicazioni di notevole rilevanza.
Notiamo prima di tutto che nel sistema MKSA l’unità di campo magnetico è il Tesla
(T). In base alla (1.2) 1 T corrisponde all’intensità del campo magnetico che produce
la forza di un Newton su una carica di un Coulomb, in moto ad una velocità di un
metro al secondo14.
Come ulteriore elemento di riflessione, riteniamo opportuno mettere in evidenza il
fatto che il campo elettrico induce una forza su una carica data da (si veda la Fig.
3.1.4)
r
r
F =qE
(1.4)
In modo tale che, una volta confrontata con l’equazione (1.1), suggerisce che
r r r
E =v×B
(1.5)
Forza esercitata
dal campo elettrico
F=qE
+ + + + + + +
E
+
F
-
Forza di Lorentz
FL = q v B sinθ
Polo nord magnetico
N
+
F
- - - - - - -
B
FL
v
+
B
v
S
Polo sud magnetico
Fig. 3.1.4. a) Effetto del campo elettrico su una carica elettrica
b) Effetto del campo magnetico su una carica in moto, la forza è
ortogonale al piano del disegno e, in questo caso, entrante nel piano.
14
L’altra unità comunemente usata, il Gauss (G) che vale 1 G = 10 −4 T
86
Tale relazione va interpretata come segue
Supponiamo di essere la carica, in moto a velocità costante v.
In base al principio di relatività Galileiana, nulla vieta di considerarci fermi.
Supponiamo di incontrare un campo magnetico diretto in una direzione che non
sia parallela a quella di moto, in base alla forza di Lorentz subiamo una
deflessione ortogonale al moto, data la nostra assunzione di essere fermi
potremmo dedurre che il responsabile della forza sia proprio un campo elettrico,
esprimibile tramite l’equazione (1.5).
Pur rimanendo vero quanto testé affermato, è il caso di sottolineare che, diversamente
dal campo elettrico, il campo magnetico non compie lavoro sulla carica di prova.
Otteniamo infatti dalla relazione (1.5)
r r
r
r r
dL = q (v × B ) ⋅ dl = FL ⋅ dl = 0
Essendo la forza di Lorentz ortogonale allo spostamento nella direzione del moto
(Fig.3.1.5). Le importanze di questo fatto saranno discusse nel seguito di questo
capitolo.
F = qv x B
N
F
La mano destra si posiziona in modo
che le dita si chiudano immaginando
di ruotare il vettore v su B; il pollice
indica direzione e verso della forza
S
Polo nord
del magnete
v
Polo sud del
magnete
B
Il verso di avvitamento della vite coincide con la
rotazione del vettore v su B ; la forza coincide
con direzione e verso di avanzamento della vite
Fig. 3.1.5. Carica positiva in moto in un campo magnetico; convenzioni per il
prodotto vettoriale: regola della mano destra e della vite.
Un esperimento molto semplice per verificare la forza di Lorentz è il seguente: si
disponga un magnete nelle vicinanze dello schermo di un televisore o di un Computer,
il risultato è una distorsione delle immagini, dovuta alla distorsione delle traiettorie
87
degli elettroni che determinano l’immagine sullo schermo fluorescente. Un esempio è
riportato in Fig. 1.3.6, che rappresenta un’opera di Nam June Paik un artista
americano che ha realizzato opere d’arte, tramite l’alterazione delle immagini
televisive con un magnete15
Fig. 1.3.6. Nam June Paik TV-MAGNET
Il punto di partenza della nostra analisi è stato che non esistono le cariche magnetiche,
pertanto non è possibile stabilire una simmetria completa tra campi elettrici e
magnetici. Ci siamo mossi verso un parziale recupero della simmetria, notando che
l’equazione (1.5) permette di legare campi elettrici e magnetici. L’equazione (1.3)
pur essendo una semplice relazione dimensionale offre la possibilità di sviluppare un
ragionamento speculativo di notevole interesse. Sostituendo nella equazione
precedente il campo generato da una carica Q ad una distanza L , avremo
[B ] =
15
⎡ 1 ⎛ Q ⎞⎤
⎜ ⎟
4 π ε 0 ⎢⎣V ⎝ L2 ⎠⎥⎦
1
(1.6)
Si esegua l’esperimento solo se si ha intenzione di rottamare il televisore o il computer, l’effetto
del magnete (se particolarmente intenso) potrebbe creare danni non riparabili, distorcendo la visione
in maniera considerevole.
88
Qualora volessimo legare il campo magnetico alla corrente possiamo riscrivere
l’equazione (1.4) come
[B ] =
⎡V T
⎢
4π ε 0 ⎣ V 2
1
⎛ Q ⎞⎤
1
⎜⎜
⎟ =
2 ⎟⎥
⎝ T L ⎠⎦ 4 π ε 0
⎡ 1
⎢ 2
⎣V
⎛ I ⎞⎤
⎜⎜ ⎟⎟⎥,
⎝ L ⎠⎦
(1.7).
⎡Q ⎤
⎢⎣ T ⎥⎦ = [I ], [V T ] = [L ]
Le relazioni precedenti valgono solo dimensionalmente e rappresentano una relazione
tra correnti e campo magnetico.
L’equazione (1.7) è essenzialmente il teorema (o legge) di Ampère di solito scritto
nella forma (si vedano la Fig. 3.1.7 e la Fig. 3.1.1)
I
B
r
B = μ0
I
2π r
Fig. 3.1.7. Campo magnetico prodotto da una corrente rettilinea a distanza r.
B=
μ0 I
2π r
Dove μ 0 = 4 π 10 − 7
(1.8)
T m
è la permeabilità magnetica del vuoto. Il confronto tra le due
A
equazioni precedenti garantisce la validità (dimensionale) della seguente relazione
⎡
⎤
⎥
⎢⎣ ε 0 μ 0 ⎥⎦
[V ] = ⎢
1
(1.9)
su cui torneremo ampiamente nel seguito.
−1
Non è difficile rendersi conto che la costante μ 0 gioca, per quanto concerne i
fenomeni magnetici, lo stesso ruolo della costante ε 0 relativamente ai fenomeni
89
elettrici. Vedremo in seguito che un legame profondo tra le due costanti è costituito
dalla relazione
c=
1
(1.10)
ε 0 μ0
dove c è la velocità della luce.
In base a quanto affermato e stante l’esistenza del vettore spostamento dielettrico
r
r
D = ε 0 E potremo introdurre il campo
r
r
H = μ 0−1 B
(1.11)
⎡ A⎤
Detto Intensità Magnetica, le cui dimensioni sono [H ] = ⎢ ⎥ , ovvero quelle di una
⎣m⎦
densità lineare di corrente.
L’eq. (1.8) potrebbe essere considerata come l’analogo della legge di Gauss,
relativamente al campo elettrico, se si operano le seguenti corrispondenze
dimensionali
[E ] → [B],
⎡ 1 ⎤
⎢ 4 π ε ⎥ → [μ 0 ],
0⎦
⎣
[Q ] → [I ⋅ L].
(1.12).
Per quanto concerne la natura vettoriale del campo, è opportuno notare che il campo
è diretto tangenzialmente alle linee di forza circolari intorno alla corrente, mentre il
verso è quello anti orario se la corrente è rivolta verso l’alto, e viceversa se la
corrente è rivolta verso il basso.
Discuteremo ora un esperimento veramente semplice che permette di visualizzare
quanto appena detto. In Fig. 3.1.8 abbiamo riportato un ago calamitato, in cui il polo
nord punta verso il polo sud magnetico terrestre. Se disponiamo l’ago in vicinanza di
un filo percorso da corrente l’ago si disporrà secondo le linee di campo mostrate in
Fig. 3.1.5 e dalla orientazione dei poli si potrà inferire anche il verso della corrente.
Fig. 3.1.8 Ago magnetico.
90
2. La legge di Ampere e di Biot­Savart Il teorema di Ampère per geometrie più complicate (si veda la Fig. 3.2.1) di quella
riportata in precedenza (Fig. 3.1.7) può essere espresso nella seguente forma
∑ B ΔL = μ I
//
(2.1)
0
l’analogia con la legge di Gauss viene così resa più evidente.
I
Δl
B
B
Fig. 3.2.1. Legge di Ampère per una linea chiusa generica.
La relazione precedente fa riferimento ad una sommatoria su tratti di linea della curva
racchiudente la corrente e bisogna notare che, non essendo il campo (tangente) lo
stesso su tutti i punti del contorno, il tratto di curva Δl va scelto in maniera tale che il
campo lungo tale tratto risulti pressoché costante. Quanto appena detto può essere
tradotto, in termini meno grossolani, scrivendo il teorema di Ampére tramite la
seguente versione integrale16
r r
B
∫ ⋅ dl = μ0 I
(2.2)
Invitiamo il lettore a derivare dalla relazione precedente la legge di Ampère
relativa al semplice caso di Fig. 3.1.5 ed espressa dalla equazione (1.8).
(Si noti che, per ragioni di simmetria, il campo è lo stesso in ogni punto e che lungo
∫
un cerchio dl = 2 π r ).
Rinforzando la già citata corrispondenza con la legge di Gauss, va fatto notare che
alle superfici, racchiudenti le cariche, vanno sostituite la lunghezze delle curve, che
circondano le correnti.
16
Si noti che il simbolo ∫ ...ds rappresenta l’operazione di integrazione lungo la linea chiusa di
contorno del campo, nel caso specifico qui considerato si tratta di una integrazione sulle linee di
forza del campo magnetico, torneremo sul significato di tale notazione nel paragrafo conclusivo.
91
Nella Fig. 3.2.2 riportiamo alcuni esempi di applicazione della legge di Ampére
Campo magnetico
all'interno e all'esterno
di un conduttore lineare
B
I
N
I
S
I
I
I
B
Campo magnetico all'interno
e all'esterno di un solenoide
B
Campo magnetico all'interno
di un conduttore toroidale
Fig. 3.2.2. Esempi di applicazioni della legge di Ampère.
Il primo dei quali è il campo di un solenoide, che rappresenta uno strumento
costituito da una spira di corrente, con n avvolgimenti per unità di lunghezza. Tale
strumento, utile per ottenere un campo sull’asse abbastanza uniforme trova un gran
numero di applicazioni che discuteremo nel seguito.
Linea circuitale della
legge di Ampére
N
S
I
B = μ 0 nI
N
n=
L
B
I
L
Fig. 3.2.3. Campo generato da un solenoide, il rettangolo tratteggiato è la linea
circuitale di Ampére su cui viene calcolato il campo magnetico.
92
Una semplice applicazione della legge di Ampère, lungo la linea illustrata in Fig.
3.2.3, fornisce il seguente risultato
B L = μ0 N I →
→ B = μ0 n I , n =
N
L
(2.3).
La derivazione è volutamente “sciatta”, perché vorremmo che il lettore mediti sui
seguenti punti concettuali, necessari per una corretta deduzione del campo sull’asse
del solenoide
a) Perché si assume che il campo sull’asse è costante17?
b) Perché al di fuori del solenoide il campo si può assumere nullo18?
c) Perché il campo sui lati della del rettangolo di Ampére danno un
contributo totale nullo19?
Invitiamo il lettore a derivare l’espressione per il campo toroidale (si veda la Fig.
3.2.4), che sull’asse del toro vale
I
B
I
I
r
b
a
I
B
Fig. 3.2.4. Il toro e la sua geometria, la figura di destra mette in evidenza il
contributo di ogni singola spira.
17
Si utilizzi come parametro di riferimento il rapporto tra la sezione del solenoide e la sua lunghezza
Si tenga conto che le linee di forza del campo si addensano all’interno…
19
Si consideri il verso delle correnti…
18
93
Ni
2π r
(N= numero degli avvolgimenti)
B = μ0
(2.4).
(Suggerimento: si consideri il toro come un solenoide di lunghezza finita chiuso su
se stesso e si applichi il teorema di Ampère, tenendo presente che, per ragioni di
simmetria il campo deve essere circolare. Si noti inoltre che il campo sull’asse,
diversamente dal caso del solenoide, non è lo stesso in tutti i punti, e si dimostri
anche che il campo al di fuori del solenoide è nullo).
Ritorneremo più in dettaglio sui precedenti risultati nei prossimi Capitoli.
Veniamo ora alla cosiddetta legge di Biot-Savart, che permette il calcolo del campo
magnetico generato da un elemento infinitesimale di corrente ad una certa distanza r
dallo stesso, la relativa geometria viene illustrata in Fig. 3.2.5.
P
I
ΔL
r
ΔB
ur
Fig. 3.2.5. Geometria della legge di Biot-Savart.
In termini matematici la legge può essere espressa come segue
r r
r
I ΔL × ur
Δ B = μ0
4π r 2
r
Dove I Δ L è l’elemento di corrente20 e
(2.5)
r
ur
è il versore del vettore congiungente il
l’elemento di corrente e il punto P in cui si intende calcolare il campo.
In base alla relazione (2.5) il campo è ortogonale sia all’elemento di circuito, sia al
vettore r.
20
L’espressione elemento di corrente è impropria, si dovrebbe più correttamente dire prodotto tra la
r
corrente istantanea e il tratto infinitesimale Δ L attraversato.
94
La legge di cui sopra può essere giustificata utilizzando quanto abbiamo già appreso
sulla forza di Lorentz.
A tale scopo sostituiamo alla corrente l’espressione
I=
ΔQ
Δt
(2.6)
In modo da ottenere
r
r
r
ΔL
I Δ L = ΔQ
= ΔQ v
Δt
(2.7)
Utilizzando la precedente espressione e l’equazione (1.10), otteniamo
r vr ⎛ 1 Δ Q r ⎞
Δ B = 2 × ⎜⎜
u r ⎟⎟
c ⎝ 4π ε 0 r 2
⎠
(2.8)
Che infine può essere messa nella forma
r vr
r
ΔB = 2 ×ΔE
(2.9)
c
r
Dove Δ E è il campo elettrico “istantaneo” prodotto dalla carica ΔQ nel punto P a
distanza r da esso. L’equazione (2.9) altro non è che l’equazione (1.5) già discussa in
precedenza.
In base alla relazione precedente il campo elettrico e quello magnetico son ortogonali.
Inoltre invitiamo il lettore a prendere nota della presenza nella formula della velocità
della luce (al quadrato); il suo ruolo, tutt’altro che banale, sarà discusso nel seguito.
Una semplice applicazione della legge di Biot-Savart è relativa al calcolo del campo
al magnetico al centro di una spira circolare percorsa da corrente, come illustrato in
Fig. 3.2.6.
I
(a)
I
(b)
B
Campo generato al centro
di una spira circolare
Campo generato su un punto
dell’asse di una spira circolare
Fig. 3.2.6. Applicazioni della legge di Biot-Savart.
B
95
Notiamo quanto segue Δ L = r Δ ϑ , da cui otteniamo (dopo una integrazione su tutto
la circonferenza)
B=
μ0 I
(2.10).
2r
Riteniamo particolarmente istruttivo per il lettore eseguire il calcolo del campo
relativamente alla configurazione b) di Fig. 3.2.6.
(Suggerimento: Per quanto concerne la configurazione b) si tenga conto di quanto
illustrato nella figura 3.2.7, da cui si evince che, per motivi di simmetria, il campo
sarà diretto lungo la direzione z, il calcolo esplicito dimostrerà che
Bz =
μ0 I
1
3
⎛ ⎛ z ⎞2 ⎞ 2
⎜1 + ⎜ ⎟ ⎟
⎜ ⎝R⎠ ⎟
⎝
⎠
2R
x
IdL
R
y
θ
dBx
Per simmetria la
somma dei contributi dB
z
dBx è uguale a zero.
dB
z
Fig. 3.2.7. Geometria della legge di Biot-Savart.
3. Fenomenologia delle forze di natura magnetica Nei paragrafi precedenti abbiamo visto come la forza di Lorentz sia uno strumento
concettualmente importante per la derivazione delle leggi di Ampère e Biot-Savart e
permetta di giungere ad una visione del magnetismo come manifestazione di un
campo “geometricamente complementare” a quello elettrico.
In questo e nei paragrafi successivi utilizzeremo lo stesso punto di vista per ottenere
in maniera, altrettanto semplice, ulteriori risultati.
96
A tale scopo consideriamo (si veda la Fig. 3.3.1) due fili paralleli, posti ad una certa
distanza l’uno dall’altro, percorsi da due correnti di intensità diverse, che fluiscono
nello stesso verso.
B2
I2
ΔL
I1
I
B1 = μ0 1
2π r
FL
FL
ΔL
B2 = μ0
I2
2π r
Forza di Lorentz indotta dal
campo magnetico B1 sulle cariche
in moto con velocità v2 in un
trattoΔ L del secondo conduttore.
FL = q2 v2 x B1 = I2 ΔL x B1
FL
μ I I
= 0 1 2
ΔL
2π r
B1
Fig. 3.3.1. Fili percorsi da corrente e relative forza di attrazione (o repulsione se
la corrente fluisce in verso opposto).
Per effetto delle correnti, si eserciterà, tra i due fili, una forza attrattiva, che ora siamo
in grado di calcolare, applicando semplicemente quanto appreso fino ad ora.
Il ragionamento da seguire si articola infatti come segue
a) In base alla legge di Ampère i due fili generano un campo magnetico, quello
generato dal filo 1, sarà espresso come
B1 = μ0
I1
2π r
(3.1)
b) Nell’altro filo, dove fluisce la corrente I 2 , la carica in moto sarà soggetta alla
forza di Lorentz indotta dal campo magnetico del primo conduttore, avremo
pertanto
r r
Δ Q2 r r
I I
Δ F2 ,1 = Δ Q2 v 2 × B1 =
Δ L × B1 = μ 0 2 1 Δ L
(3.2)
2π r
Δt
Il lettore potrà completare la dimostrazione provando che F2,1 = F1, 2 , in modo da
concludere che la forza per unità di lunghezza, agente tra due fili percorsi da corrente,
è
Δ F2,1
I I
= μ0 2 1
(3.3).
ΔL
2π r
Il lettore rifletta sia sui risultati ottenuti, sia sul ragionamento utilizzato e in
particolare metta in luce l’importanza del principio di sovrapposizione, non
esplicitamente citato ma tacitamente ammesso.
Ulteriori esempi di conseguenza della forza di Lorentz vengono riportate in Fig. 3.3.2
97
Carica positiva in moto
in un campo magnetico
S
B
Cariche positive in moto
in un conduttore fermo in
un campo magnetico
S
F
+
v N
F
B
F = qvB
Le cariche sentono
una forza che ne
deflette la traiettoria
I
v
N
F = ILB
Il conduttore sente
una forza che lo tira
verso l'alto
Conduttore in moto in
un campo magnetico
+
S
B
F
fem = vBL
v
N
-
Le cariche migrano verso
gli estremi del conduttore
generando una fem
Fig. 3.3.2. Differenti manifestazioni dell'effetto del campo magnetico su cariche in
movimento:
a) Carica in moto tra le espansioni polari di un magnete.
b) Forza agente su un filo percorso da corrente posto tra le espansioni
polari di un magnete.
c) Corrente indotta in un filo conduttore in moto tra le espansioni
polari di un magnete.
In riferimento alla quale consideriamo l’esempio b) in merito al quale il lettore non
avrà alcuna difficoltà a dimostrare che
(3.4)
F = I LB
(Suggerimento: si noti che Δ F = Δ Q v B = I ΔL B... )
L’esempio c) è estremamente importante e va considerato con estrema cura.
Il filo, in moto tra le espansioni polari del magnete possiede cariche libere, la cui
velocità nella direzione perpendicolare al campo magnetico è esattamente quella
del filo. Come conseguenza della forza di Lorentz, le cariche cominceranno a
muoversi lungo il filo, come mostrato in Figura, generando così una corrente.
In base a quanto appreso nel Capitolo precedente una corrente ha bisogno di una
forza elettromotrice.
Tenuto presente che il moto è una conseguenza della forza di Lorentz, potremo
concludere quanto sinteticamente esposto nella formula che segue
Δ F = ΔQv B = ΔQ E
→
f em = E L = v B L
(3.5).
I passi logici ivi contenuti sono i seguenti
a) Alla forza di Lorentz associamo un campo elettrico responsabile del moto
lungo il filo
98
b) Da questo valutiamo la differenza di potenziale applicata ai capi del filo.
Una migliore illustrazione di quanto appena enunciato viene mostrato in Fig. 3.3.3, in
cui la forza elettromotrice indotta viene definita come
FORZA ELETTROMOTRICE CINETICA
L
v
Corrente
indotta
B ortogonale al piano e
verso l'osservatore
fem = v BL
Spira conduttrice in moto
con velocità v in un campo
magnetico stazionario
fem =
FL
q
+
v
-
+ v
B
F= q v B
fem = v BL
F
D
Fig. 3.3.3. Corrente e forza elettromotrice cinetica indotte in una spira in moto
in un campo magnetico.
Quanto appena discusso è il preludio alla legge di INDUZIONE di Faraday che
tratteremo in dettaglio nel prossimo paragrafo.
Prima di concludere questo paragrafo vorremmo mettere in evidenza un esperimento
piuttosto semplice che metta in evidenza sia l’effetto del campo sia l’effetto delle
forze ad esso associate. In Fig. 3.3.4 dove una ordinaria calamita viene posta su una
normale pila, successivamente cortocircuitata in modo che attraverso il filo passi
corrente, gli elettroni in moto saranno soggetti alla forza di Lorentz e pertanto il filo
tenderà a spostarsi nella direzione della forza mostrata nella stessa figura,
l’esperimento è semplice e poco costoso ed invitiamo il lettore ad eseguirlo per
proprio conto
F B v
Fig. 3.3.4. Batteria, calamita, filo percorso da corrente e forze magnetiche.
99
Con riferimento alla Fig. 3.3.5 il lettore dimostri che la fem indotta nella spira
rettangolare, mostrata in Figura e ruotante a velocità angolare ω in un campo
magnetico ortogonale in ogni punto alla sua superficie, è f em = ω ( B L r ) .
Il lettore discuta come tale tipo di campo magnetico sia realizzabile fisicamente.
θ
S
B
v
S
L
vxB
ω
Fig. 3.3.5. Spira rotante in Campo Magnetico ortogonale in ogni punto alla
superficie della spira.
4. La legge di induzione di Faraday Nel paragrafo precedente abbiamo concluso che una spira in moto attraverso un
campo magnetico viene percorsa da corrente anche se non c’è alcuna batteria che
“spinge” gli elettroni attraverso il circuito.
r
Ricordando la nozione di flusso di campo vettoriale V , ovvero
r
r r
Φ(V ) = V ⋅ S
(4.1)
r
dove S è una superficie orientata, come in Fig. (3.3.5), definiremo il flusso del
campo magnetico relativo alla superficie “spazzata dalla spira nel suo moto come (si
noti che il campo è ortogonale alla superficie)
r
Φ(B) = B L v t
(4.2)
(si noti che v t non è altro che la distanza percorsa dalla spira all’interno del campo).
Potremo pertanto associare la forza elettromotrice alla variazione (temporale) del
flusso del campo magnetico, secondo la relazione
v
∂ Φ( B )
f em ∝
(4.3).
∂t
Il valore assoluto sta ad indicare che abbiamo, per il momento, una indicazione molto
vaga che in generale una variazione del flusso del campo possa essere associata alla
generazione di una forza elettromotrice, ma non sappiamo, tra le tante cose, che
100
segno associare ad essa. Ad esempio se ad un flusso decrescente corrisponda una fem
negativa o viceversa.
A questo punto se noi assumessimo come vera la validità dell’equazione (4.3)
potremmo stabilire che ad ogni variazione del flusso del campo è associata una forza
elettromagnetica indotta in un circuito ad essa concatenato.
Il punto da tenere presente è che la fem indotta è indipendente dal modo in cui tale
variazione viene attuata, sia essa tramite una variazione del campo stesso o della
superficie interessata (si veda la Fig. 3.4.1 dove si fornisce una idea visiva di quanto
affermato).
Variazione della superficie S
Variazione di campo magnetico
N
N=4 Campo magnetico
dipendente dal
tempo
B(t)
B
Spira entrante
con velocità v
S
S
fem = -NS
dΦ(B) d (BS)
=
dt
dt
d B(t)
dt
v
N
v
fem = -NB
N
S
Magnete in
movimento
con velocità v
Spira rotante
con velocità
angolare ω
B
S(t)
d S(t)
dt
B
S
ω
S(t)
B
Fig. 3.4.1. Differenti manifestazioni della legge di Faraday.
Una questione fondamentale da dirimere è se tutta la fenomenologia della legge di
Faraday possa essere ricondotta alla forza di Lorentz, come nel caso cinetico prima
discusso.
La risposta alla domanda potrebbe essere fornita dal seguente esempio (che è una
versione concettuale dell’esperimento eseguito da Faraday). Consideriamo una spira
percorsa da corrente, sul cui asse sia posta una seconda spira (si veda la Fig. 18), tra
le due non esiste alcun contatto. La prima spira è collegata ad una batteria, la seconda
ad un galvanometro. Quando il collegamento con la batteria viene attivato, si ha un
improvvisa deviazione del galvanometro connesso alla seconda spira e si ha lo stesso
effetto quando il contatto viene disattivato. Durante il passaggio di corrente, ovvero
quando il fenomeno è stazionario non si rileva alcuna variazione di potenziale ai capi
della seconda spira.
101
La conclusione più semplice da trarre è che la forza elettromotrice misurata tramite il
galvanometro è indotta dalla variazione del campo magnetico, sull’asse della spira,
prima assente (contatto spento) e poi presente (contatto aperto) ma non dal suo valore
costante quando la corrente fluisce senza variazioni. Lo stesso si ripete alla chiusura
del contatto.
-
0
-
+
0
+
(2)
(1)
-
0
0
+
(3)
+
(4)
-
-
0
+
(5)
Fig. 3.4.2. Esperimento di Faraday.
Questo effetto è difficile da giustificare in termini di Forza di Lorentz ed
effettivamente dice qualche cosa di nuovo. Tale aspetto della legge di Faraday viene
detto
FORZA ELETTROMOTRICE DI TRASFORMATORE
A questo proposito il seguente commento di Feynman potrebbe risultare illuminante21
“So the "flux rule" that the emf in a circuit is equal to the rate of change of the
magnetic flux through the circuit applies whether the flux changes because the field
changes or because the circuit moves (or both).... Yet in ourr explanation of the rule
r
we have used two completely distinct laws for the two v × B cases for "circuit
moves" and
r r
∂ r
∇ × E = − B for "field changes".
∂t
We know of no other place in physics where such a simple and accurate general
principle requires for its real understanding an analysis in terms of two different
phenomena.”
r
Di seguito sono riportati alcuni simboli quali ∇ × il cui significato matematico e soprattutto fisico
sarà discusso nel Capitolo V.
21
102
1) Il galvanometro connesso al secondo avvolgimento non mostra alcuna
deflessione quando la prima spira non è connessa alla batteria
2) Una deflessione è evidente appena la batteria viene connessa
3) Subito dopo il galvanometro torna a non mostrare alcun segnale mentre la
corrente continua a fluire
4) Lo stesso effetto (ma con deflessione opposta) si nota quando si disattiva il
contatto.
5) Subito dopo il galvanometro torna a non mostrare alcun segnale mentre la
corrente continua a fluire.
L’utilizzo dei concetti e del formalismo della relatività ristretta permetterebbe di
eliminare tale dicotomia, ma questo aspetto del problema esula dai nostri interessi.
La Fig. 3.4.3 contiene ulteriori esempi in merito alla legge di induzione, che ci
permetteranno di rispondere alla questione lasciata in sospeso sul segno da porre
nella eq. (4.3) di fronte alla variazione del flusso del campo.
La figura riporta il caso di un magnete permanente che viene prima avvicinato o
allontanato da una spira, percorsa da corrente.
Come è evidente dal disegno il campo indotto si oppone sempre a quello applicato,
pertanto la legge si scriverà come
v
∂ Φ( B)
f em = −
(4.4)
∂t
e in questa forma viene detta legge di Faraday-Lenz.
ΔB
ΔB
B
N
Bindotto
+
ΔB
-
dentro
v
B
S
Bindotto
+
-
fuori
v
ΔB
B
N
Bindotto
-
+
fuori
v
B
S
Bindotto
-
Fig. 3.4.3. Legge di Faraday Lenz.
+
dentro
v
103
5. Qualche applicazione pratica: lo spettrometro di massa e il generatore di corrente alternata Il punto di partenza di questo Capitolo è stata la forza di Lorentz che abbiamo visto
essere in un certo senso complementare alla forza esercitata su una carica da un
campo elettrico, perché agisce su una carica in moto, inducendo una forza diretta
perpendicolarmente alla direzione del moto stesso.
Consideriamo dunque quanto mostrato in Fig. 3.5.1, in cui si riporta una carica q, che
interagisce con un campo magnetico ortogonale (uscente dal foglio) alla direzione di
moto. La forza esercitata sulla carica sarà ortogonale sia al campo che alla direzione
del moto. Abbiamo già fatto notare che contrariamente al caso del campo elettrico il
campo magnetico non compie lavoro sulla carica. La cosa può sembrare bizzarra,
perché noi sappiamo che una forza determina una accelerazione e questa a sua volta
determina una variazione di velocità. Le cose vanno ora viste in un contesto
leggermente più ampliato, ricordando che la forza, l’accelerazione e la velocità sono
vettori e che, pur non inducendo una variazione del modulo della velocità, la forza di
Lorentz determina una variazione della direzione del vettore.
+
B
r=
mv
qB
+
v
F
F= q v x B
r
mv2
F= q v B=
r
Se la velocità della carica è
prodotta da una tensione
accelerante V
1
mv2 = q V
2
v
+
v=
2q V
m
r=
1
B
2mV
q
Fig. 3.5.1. Deflessione di una carica in un campo magnetico: forza di Lorentz
e traiettorie circolari.
Scriviamo pertanto
m
r r
d r
v = qv × B
dt
Moltiplicando scalarmente ambo i lati per il vettore velocità otteniamo
(5.1)
104
r d r
r r r
m v ⋅ ( v ) = q v ⋅ ( v × B) = 0
dt
(5.2)
una possibile conclusione che possiamo trarre dalla relazione precedente è che 22
r d r
r2
1 d
(m v ) = 0
m v ⋅( v) =
2 dt
dt
(5.3).
In altre parole la Forza di Lorentz non induce alcuna variazione di energia cinetica e,
dunque, come conseguenza del teorema delle forze vive, non viene compiuto alcun
lavoro sulla carica.
L’eq. (5.2) può anche essere interpretata come il fatto che il moto è caratterizzato da
velocità e accelerazioni perpendicolari. Questa caratteristica è, come discusso nella
prima parte delle lezioni, propria del moto circolare uniforme.
La carica esegue dunque nel campo magnetico una traiettoria circolare, il cui raggio
può essere calcolato uguagliando l’accelerazione (centripeta) dovuta alla forza di
Lorentz con quella centrifuga del moto circolare uniforme, ovvero (assumiamo
velocità e campo ortogonali)
m v2
qvB =
r
⇒
r=
mv
qB
(5.4)
La fenomenologia associata alla forza di Lorentz trova varie applicazioni pratiche,
come ad esempio nel campo degli acceleratori di particelle, che discuteremo
nell’ultima parte di queste lezioni, quando parleremo dell’uso delle particelle cariche
in terapia oncologica.
In questo paragrafo discuteremo il cosiddetto spettrometro di massa, che è uno
strumento utilizzato per riconoscere una data specie chimica. Il relativo principio di
funzionamento viene mostrato in Fig. 3.5.2 ed in estrema sintesi potremo dire che
a) Una certa specie chimica subisce un processo di ionizzazione
b) Gli ioni vengono fatti passare in un campo elettrico accelerante, alla fine
del quale acquisiranno velocità diverse, a causa delle diverse condizioni
iniziali (perché?)
c) Successivamente sono inseriti in un “selettore”, in cui si selezionano quelli
con una velocità definita
d) Quelli selezionati attraversano una regione di spazio in cui è presente un
campo magnetico costante, qui, a causa della forza di Lorentz,
eseguiranno una traiettoria circolare il cui raggio è proporzionale alla
massa
22
Si noti che quando si tratta della derivata di un prodotto scalare si deve procedere come segue
(
)
r d r r d r
d r r
A + A⋅ B
A⋅ B = B ⋅
dx
dx
dx
105
+ + +
+ +
+
+
+
+
v
Es
+
+ v
Bs
B
v
- - -
Ionizzazione
Selettore di
accelerazione velocità
v=
2q V
m
Es
v=
Bs
F
mv
r=
qB
+
2r
velocità
selezionata
+
B ortogonale al piano e
verso l'osservatore
+
Fig. 3.5.2. Schema dello spettrometro di massa.
E’ dunque evidente che alla fine del processo il fattore discriminante è il raggio della
traiettoria percorsa.
In tutto questo, un ruolo fondamentale viene giocato dal selettore di velocità, il quale
consiste (si veda la Fig. 3.5.3) di due campi elettrici e magnetici incrociati. Le
particelle non deflesse saranno quelle su cui non agisce alcuna forza, ovvero quelle in
cui le forze elettriche e magnetiche si bilanciano, ovvero
q v Bs = q E s
(5.5)
velocità
selezionata
particelle troppo
veloci
FB = qvB
FB
S Bs + v
+ +
N
+
FE
+
+
Particelle
2q V
accelerate
v=
m
Es
v=
Bs
+
particelle
troppo lente
Es
FE = qE
Fig. 3.5.3. Schema di funzionamento del selettore di velocità.
106
Da cui si deduce che vengono selezionate cariche con velocità pari a modo tale che il
raggio dell’orbita circolare è
v=
Es
Bs
(5.6)
Se le particelle selezionate vengono successivamente iniettate in un campo magnetico
di intensità B si ottiene che eseguiranno una traiettoria di raggio
r=m
Es
Bs B
(5.7)
Noti i valori delle intensità dei campi e una volta misurato il raggio si determina la
massa da analizzare. La Fig. 3.5.4 indica il tipico display di un analizzatore di massa
isotopico, in corrispondenza di ogni numero di massa (e dunque di un raggio
specifico) viene indicata una corrente di raccolta, che specifica l’abbondanza relativa
di un isotopo rispetto agli altri.
Corrente di ioni positivi
Spettrografia di massa del Krypton
140
100
60
x 10
20
78
80
82
84
86
Unità di massa
Fig. 3.5.4. Spettrometria di massa: isotopi del Krypton
Nei capitoli precedenti abbiamo fatto riferimento soltanto a correnti continue, ovvero
correnti che non hanno alcuna dipendenza dal tempo. Nella Figura 3.5.5 abbiamo
riportato alcuni esempi di correnti dipendenti dal tempo e nel seguito vedremo come
la legge di Faraday ci permetta di generare correnti alternate, ovvero dipendenti dal
tempo e con un andamento sinusoidale.
In Fig. 3.5.6 riportiamo un esempio di generatore di fem alternata, in cui l’energia
meccanica viene trasferita ad una spira, posta tra le espansioni polari di un magnete,
che viene fatta ruotare ad una certa velocità angolare ω . Notando che se inizialmente
il piano della spira è parallelo al campo magnetico, otteniamo che, dopo un tempo
generico t, l’angolo formato dalla normale alla superficie della spira ed il campo è
proprio ω t (si veda la Figura) il flusso del campo magnetico attraverso la spira è
107
r r
B ⋅ S = B S cos( ω t )
(5.8)
otteniamo
f em = −
d
( B S cos(ω t ) ) = ω (B S )sin(ω t )
dt
(5.9).
Corrente (Amps)
DC
corrente
impulsata
corrente
continua
segnale aperiodico
di corrente
Tempo (sec)
0
AC
corrente
alternata
Fig. 3.5.5. Esempi di correnti dipendenti dal tempo, le correnti alternate vengono
di solito indicate con AC (Alternating Currents) quelle continue con
DC (Direct Currents).
VM
V(t )
ωt
V(t ) =VM sin(ω t )
ωt
Fig. 3.5.6. Generatore di forza Elettromotrice Alternata.
108
Torneremo in seguito sui problemi accennati in questo paragrafo.
6. L’induttanza e i circuiti elettrici ad essa associati Nella Figura 3.6.1 abbiamo riportato un solenoide messo in contatto, tramite una
resistenza, ad un generatore di Forza elettromotrice. In base a quanto sappiamo la
corrente, che fluirà attraverso il solenoide, indurrà una forza elettromotrice data da
dΦ( B)
N2 S
di
=−
μ0
f em = − N
dt
l
dt
Ponendo
N 2S
L = μ0
l
potremo scrivere l’equazione precedente come
f em = − L
(6.1)
(6.2)
di
dt
(6.3)
dove L viene detta Induttanza (in questo caso specifico si tratta dell’induttanza del
solenoide, vedremo nel seguito esempi diversi).
Applicando semplicemente la legge di Ohm e tenendo presente che il potenziale
consta di due contributi, quello associato al generatore esterno e quello dovuto
all’effetto di induzione, avremo
di
= Ri
(6.4).
dt
Un circuito costituto da una resistenza e da una induttanza viene detto circuito RL e
non è dissimile (concettualmente) da uno RC.
V + f em = V − L
I in crescita
I
ΔB
B
R
La fem si oppone alla
tensione applicata
L
V = IR + L
Bindotto
ΔI
Δt
Fig. 3.6.1. Circuito RL.
L’unità di misura dell’induttanza è l’Henry (H) esprimibile come
V ⋅s
H =
A
Il lettore non avrà difficoltà a dimostrare che
(6.5)
109
⎡L⎤
⎢⎣ R ⎥⎦ = [T ]
(6.6)
Ovvero che le unità di misura del rapporto induttanza resistenza sono quelle del
tempo.
La Fig. 3.6.2 supporta ulteriormente la già citata analogia tra circuiti RL ed RC, Il
lettore potrà verificare, per proprio conto, quanto riportato in Figura in merito
all’andamento delle correnti e della differenza di potenziale ai capi dell’induttore.
(Suggerimento: si riduca il problema alla seguente equazione differenziale
di
1
= − d t,
i − i0
τ
(6.7)
L
V
τ = , i0 =
R
R
e si confronti con quanto già fatto nel caso del circuito con capacitore, integrando
l’equazione (6.7) si ottiene infatti
−
t
i (t ) = i0 (1 − e )
τ
t=0 I
(6.8) ).
Imax →
Vb
R
Corrente
I=
R
L
Vb
tensione ai capi
dell'induttore
Vb = IR + L
ΔI
Δt
τ=
L
R
VL = Vb e-t R /L
Vb = VR + VL
aumenta
Vb
[1- e-t R /L ]
R
τ
0
diminuisce
t=0
t→∞
2τ
3τ
4τ tempo
I = 0, VR = 0, VL = VB
Vb
I → R , VR → Vb
Fig. 3.6.2. Crescita della corrente e conseguente caduta di tensione, τ è il tempo
caratteristico del circuito.
Integrando nel tempo l’equazione (6.8) si ha
t
−
⎡
⎤
τ
Q (t ) = ∫ i (ξ ) dξ =i0 ⎢t + τ ( e − 1)⎥
0
⎣
⎦
t
(6.9)
110
E si noti che limt→∞ Q(t ) = ∞ , si spieghi il significato di tale divergenza.
(Suggerimento: Si consideri la differenza tra accumulo di carica e transito di carica).
Si dimostri che l’induttanza di un toroide è
N 2S
L = μ0
2π r
(6.10)
L’induttanza in un circuito viene di solito indicate con il simbolo
Fig. 3.6.3. Simbolo convenzionale dell’induttanza.
Invitiamo il lettore a considerare il circuito riportato in Fig. 3.6.4 e a calcolare
l’andamento della corrente nei due rami.23
I1
R1
I2
R2
V
L1
L2
Fig. 3.6.4. Resistenze elettriche e induttanze in parallelo.
Suggerimento: Si tratti il problema come se si avesse a che fare con due resistenze in
parallelo, utilizzando la resistenza
d
Rˆ = R + L
dt
(6.11)
Generalizzando l’equazione di un circuito costituito da due resistenze ordinarie
R1 R2 i = ( R1 + R2 ) V
(6.12)
Si ottiene (perché?)
23
Questo esercizio può essere tralasciato in prima lettura, gli Autori ritengono che si tratti di un
buon test per verificare il livello di comprensione delle problematiche (sia fisiche che matematiche)
qui discusse.
111
d
d
) (1 + τ 2
) i = i0 ,
dt
dt
(1 + τ 1
R1 + R2
V
R1, 2
R1 R 2
E’ possibile utilizzare un formalismo analogo nel caso di un circuito RC ?)
τ 1, 2 =
L1, 2
i0 =
,
(6.13)
Concluderemo questo paragrafo calcolando l’energia immagazzinata in un induttore.
Il calcolo è piuttosto semplice, ricordando infatti che la potenza dissipata è legata alla
corrente e alla differenza di potenziale da
P = iV
(6.14)
Avremo
P = iV = i L
di
dt
(6.15)
Da cui segue
ℑ=
1 2
Li
2
(si ricordi che P =
(6.16)
dℑ
).
dt
Con riferimento alla Fig. 3.6.5 si dimostri che la densità di energia (energia per unità
di volume) immagazzinata in un solenoide è
ℑ=
1
2 μ0
B2
(6.17).
B = μ0 I
1
ℑ= LI2
2
l
Bindotto
N
l
I=
L = μ 0 N2
Bl
μ0 N
A
l
N = numero di spire
μ 0 = permeabilità magnetica
A = area della spira
Fig. 3.6.5. Calcolo dell’energia immagazzinata in un induttore di sezione A.
112
Si dimostri che anche la seguente quantità (E, B intensità del campo elettrico e
magnetico rispettivamente)
S=
EB
(6.18)
μ0
r 1 r r
S
E×B
ha le dimensioni di una densità di energia. Il ruolo giocato dal vettore =
μ0
sarà discusso nel prossimo capitolo.
7. Correnti Alternate Nei paragrafi precedenti abbiamo visto come sia possibile realizzare generatori di fem
alternata, è evidente che questi possono essere utilizzati per produrre correnti, non più
costanti nel tempo come quelle dovute ad una semplice batteria, ma con una
dipendenza temporale che rifletta, attraverso le proprietà del circuito utilizzato,
quella del generatore.
In Fig. 3.7.1 abbiamo riportato un alternatore collegato ad una induttanza
I(t ) =IM sin(ω t -
V(t )
L
π
)
2
I(t )
Veff =
VM
IM
VM
2
Ieff =
IM
2
V(t )
π
2
I(t )
ωt
V(t ) =VM sin(ω t )
La tensione ha un anticipo di fase sulla corrente di
π
2
Fig. 3.7.1 Corrente alternata in un induttore, diagramma tensione-corrente.
Stante l’equazione (6.3) potremo derivare la “forma” della corrente dalla relazione
113
L
di
= V0 sin(ωt )
dt
(7.1)
Dalla relazione precedente segue che la corrente può essere scritta come
φ
V0 t
V0
i(t ) =
ω
t
dt
=
sin(
'
)
'
sin(φ ' ) dφ ',
L t∫0
ω L φ∫0
φ =ωt
Ricordando che l’integrale è l’operazione inversa della derivata ,si ottiene
i (t ) = −i0 [cos(ω t ) − cos(ω t 0 ) ]
Scegliendo infine il tempo iniziale in modo tale che ω t 0 =
π
2
, la relazione precedente
può essere riscritta nella forma
i = −i0 cos(ω t ) = i0 sin(ω t −
i0 =
π
2
),
V0
V
= 0 ,
ω L XL
(7.2a)
XL = ω L
Ed è importante notare che X L ha le dimensioni di una resistenza.
π
Poiché cos( x ) = sin( x + ) , dalle relazioni precedenti segue una caratteristica
2
importante: corrente e forza elettromotrice sono sfasate (ovvero hanno una differenza
di fase) di
π
2
.
Una situazione analoga si ha nel caso di un capacitore. Il lettore commenti la Fig.
3.7.2 per proprio conto e dimostri che
i = i0 cos(ω t ) = i0 sin(ω t +
i0 = C ω V0 =
XC =
1
ωC
V0
,
XC
π
2
),
(7.2b)
114
I(t ) =IM sin(ω t +
π
)
2
I(t )
V(t )
Veff =
VM
IM
VM
2
Ieff =
IM
2
V(t )
I(t )
C
π
2
V(t ) =VM sin(ω t )
ωt
La tensione ha un ritardo di fase sulla corrente di
π
2
Fig. 3.7.2. Corrente alternata in un capacitore, diagramma tensione-corrente.
Il lettore dimostri anche che non esiste differenza di fase tra forza elettromotrice e
corrente nel caso del resistore (si veda la Fig. 3.7.3)
I(t ) =IM sin(ω t )
I(t )
V(t )
R
Veff =
VM
IM
VM
2
Ieff =
IM
2
V(t )
I(t )
ωt
V(t ) =VM sin(ω t )
Tensione e corrente sono in fase
Fig. 3.7.3. Corrente alternata in un resistore, diagramma tensione-corrente.
La differenza di fase tra tensione e corrente può essere resa generica utilizzando una
combinazione di elementi come nel caso indicato in Fig. 3.7.4, relativo ad un circuito
RC.
115
I(t ) =IM sin(ω t - φ )
I(t )
R
V(t )
Veff =
VM
IM
VM
2
Ieff =
IM
2
V(t )
I(t )
C
φ = tg -1 -
ωt
φ
V(t ) =VM sin(ω t )
1/ωC
R
La tensione ha un ritardo di faseφ sulla corrente
Fig. 3.7.4. Corrente alternata in circuito RC, diagramma tensione-corrente.
La conclusione che possiamo trarre dagli esempi proposti è che l’utilizzo di un
generatore di tensione alternata, determina una corrente anche essa alternata, ma con
ampiezza e fasi relative (alla tensione) dipendenti dal tipo di circuito utilizzato.
Questa ultima asserzione chiarisce l’espressione, un po’ sibillina, in neretto all’inizio
del paragrafo.
8. Circuiti RLC, impedenza, fasi e generalizzazione della legge di Ohm In Fig. 3.8.1 riportiamo un circuito RCL in serie, ovvero un circuito composto da un
resistore, un capacitore ed un induttore, posti in serie ad un generatore di forza
elettromotrice.
I(t ) =
V(t )
Z
Impedenza minima alla
frequenza di risonanza
R
V(t )
ω0 =
1
LC
Fig. 3.8.1. Circuito RLC.
116
Vedremo nel seguito del paragrafo che una caratteristica di tali tipi di circuiti è una
quantità nota come impedenza, di solito indicata con il simbolo Z, che gioca il ruolo
di una resistenza.
Come abbiamo già avuto modo di appurare in un circuito, in cui siano presenti
induttori e/o capacitori, esisterà sempre uno sfasamento tra le oscillazioni della
tensione e della corrente, ci aspettiamo che questo accada anche nel caso del circuito
di Fig. 3.8.2 , il nostro scopo è determinare
a) lo sfasamento relativo
b) come l’impedenza dipenda dai valori della resistenza, dell’induttanza e della
capacità.
Applicando la legge di Kirchoff al circuito di Fig. 3.8.2 avremo
V L + V R + VC = V
(8.1)
Il significato dei vari simboli viene illustrato in Fig. 3.8.2
R
I(t ) =
V(t )
Z
V(t )
VR = I R
VC = I XC
Z = R 2 + (XL - XC ) 2
1
XC =
C
ωC
f(Hz )
VL = I XL
L
X L = ωL
ω(rad/s ) =2π f
condizione di risonanza per il circuito RLC serie
1
ω0 =
Z=R
X C = XL φ = 0
LC
φ = tg -1 XL - XC
R
Im
XL
XC
φ
Re
R
Fig. 3.8.2. Impedenza e diagramma di fase del circuito RLC in serie.
Abbiamo già avuto modo di mettere in evidenza che
i)
il resistore non induce alcuno sfasamento tra corrente e tensione
ii)
il capacitore e l’induttore inducono due sfasamenti opposti di
π
2
117
In merito al punto ii) notiamo anche che le quantità XL,C giocano un ruolo analogo a
quello delle resistenze.
Il diagramma di Fig. 3.8.2 suggerisce pertanto di introdurre la seguente “resistenza
vettoriale”24
r
Z ≡ ( Z cos(ϕ ), Z sin(ϕ ), 0),
Z = R 2 + ( X L − X C )2 ,
(8.2).
⎛ X L − XC ⎞
⎟
R
⎝
⎠
ϕ = tg −1 ⎜
Notiamo che l’impedenza (o meglio il suo modulo) si riduce ad una pura resistenza se
X L = X C → ω0 =
1
LC
(8.3)
Chiariremo nel prossimo paragrafo il significato fisico della precedente relazione.
La conclusione di tutto questo discorso è che un circuito RLC, in serie come quello
riportato nella Figura precedente, induce uno sfasamento ϕ tra corrente e tensione
secondo le relazioni riportate nelle equazioni (8.2).
Come già anticipato, l’utilità di questo formalismo sta nel fatto che, ad esempio, la
legge di Ohm può essere generalizzata a tale circuito utilizzando l’impedenza alla
stregua dell’ordinaria resistenza, scrivendo cioè
(8.4).
V = Z I
Inoltre circuiti come quelli riportati in Fig. 3.8.3 possono essere trattati come ordinari
resistori in serie on in parallelo25.
Impedenze in serie
Z1
Z2
Impedenze in parallelo
Zn
Z1
Z2
Zn
Fig. 3.8.3. Impedenze in serie e in parallelo.
24
Una trattazione più rigorosa e agevole avrebbe richiesto il formalismo delle quantità complesse,
fuori dallo scopo delle presenti lezioni, invitiamo pertanto il lettore a visualizzare il significato
fisico-geometrico delle precedenti relazioni e a utilizzare ulteriori letture specializzate nel caso
desiderasse approfondire l’argomento.
25
Il formalismo vettoriale quando si sommano le impedenze in parallelo è ambiguo notiamo
r
r
1
Z− v
1
Z− v
pertanto che r = 2 , Z + ≡ ( Z cos(ϕ ), Z sin (ϕ ), 0), r = 2 , Z − ≡ ( Z cos(ϕ ),− Z sin (ϕ ), 0)
Z+ Z
Z+ Z
118
In base a quanto abbiamo appreso nei capitoli precedenti, la potenza dissipata in un
circuito è data dal prodotto IV, nel caso attuale le cose si complicano un pochino e
dovremo indicare tale prodotto come una sorta di prodotto scalare (si ricordi che le
resistenze e la tensione sono interpretati come vettori), se tra i due vettori esiste uno
sfasamento ϕ , avremo (perché?)
P = V I cos(ϕ ) = V I
R
R2 + (X L − X C )2
=V
2
R
R2 + (X L − X C )2
(8.5).
Dobbiamo ora precisare il significato di |V | e |I |, che, solo parzialmente può essere
considerato il modulo dei vettori ad essi associati.
Abbiamo infatti a che fare con quantità dipendenti dal tempo, pertanto dovremmo
distinguere tra quantità istantanee e quantità medie.
Consideriamo pertanto il diagramma corrente intensità riportato in Fig. 3.8.4, dove
mostriamo la corrente e la tensione con il relativo sfasamento. In analogia al caso dei
circuiti DC, avremo per quanto concerne la potenza istantanea
P (t ) = V0 i0 sin(ω t ) sin(ω t − ϕ )
(8.6)
Dove l’indice 0 denota il massimo valore della corrente o della tensione.
Veff =
VM
2
Ieff =
IM
2
VM
IM
V(t )
I(t )
φ
ωt
Fig. 3.8.4. Grafico corrente tensione alternata e relativo sfasamento.
Il valore medio sarà invece quello calcolato su un ciclo o periodo completo, ovvero
T
1
P = ∫ P (t ) dt ,
T 0
T=
2π
ω
Da cui si ottiene (perché?)
(8.7),
119
P=
V0 i0
cos(ϕ )
2 2
(8.8)
Che, una volta confrontata con l’equazione (8.5) fornisce la seguente identificazione
V0
,
2
i
I = 0
2
V =
(8.9),
Interpretati come i valori efficaci della tensione e della corrente26.
9. Comportamento dinamico di un circuito RLC Abbiamo visto in questo Capitolo e nei precedenti come si comporta un circuito,
ovvero come varino le correnti e le tensioni, in cui siano presenti elementi quali una
resistenza ed una capacità o una resistenza ed una induttanza. Consideriamo ora il
caso di un circuito LC, del tipo mostrato in Fig. 3.9.1 in cui si assume che
inizialmente il condensatore abbia una carica totale pari a q0.
Applicando la legge di Kirchoff potremo scrivere l’equazione differenziale per il
nostro circuito come
L
di q
+ =0
dt C
Dal momento che i =
(9.1a).
dq
potremo riscrivere la relazione precedente come
dt
d2 q 1
L 2 + q=0
dt
C
(9.1b)
L’equazione precedente ricorda quella di un oscillatore armonico, analogia supportata
dalla stessa Fig. 3.9.1 e dalla Tabella III.
26
Si noti che per valore efficace qui intendiamo lo scarto quadratico medio (SQM). Definendo lo
SQM di una variabile X come σ X =
X2 − X
2
, dove con ... si intende una operazione di
media associata alla distribuzione della variabile stessa, si dimostri che nel caso in
1
.
cui X = cos(φ ) si ha σ X =
2
120
i=0
+Qmax
C
E
vx = 0
k
L
t=0
b
-Qmax
x=0
S
Fig. 3.9.1. Analogia circuito LC oscillatore armonico
Tabella III
Analogia tra oscillatore armonico e circuito LC :
corrispondenza tra le quantità fisiche.
q
i
ΔV
R
C
L
i=
dq
dt
di d2 q
=
d t d t2
1
UL = Li2
2
1 q2
Uc =
2 C
2
i R
L
d2 q
dq q
+R
+ =0
2
dt C
dt
↔
↔
↔
↔
↔
↔
↔
x
vx
Fx
b
1/k
m
vx =
↔
d vx d 2 x
=
dt
d t2
1
2
T = m vx
2
1
U = k x2
2
ax
↔
↔
↔
↔
dx
dt
b vx
m
2
d2 x
dx
+b
+kx=0
2
dt
dt
La soluzione della nostra equazione può essere dunque ottenuta in completa analogia
a quanto fatto nel caso dell’oscillatore armonico, scrivendo infatti
121
d2 q
= −ω02 q,
2
dt
1
ω0 =
LC
(9.2),
data la nostra assunzione di condensatore inizialmente carico avremo
q(t ) = q0 cos(ω0 t )
(9.3).
Dalle relazioni precedenti si evince il significato fisico della ω 0 , che è dunque la
frequenza27 di oscillazione propria di un circuito LC. Il comportamento temporale
della corrente nel circuito sarà invece data da (perché?)
i (t ) = q0ω0 cos(ω0 t +
π
2
)
(9.4).
In conclusione, potremo affermare che in un circuito induttanza-capacità si determina
una sorta di oscillazione indefinite di carica (o di corrente), come in un oscillatore che
si muova in assenza di attrito.
Come sappiamo la resistenza gioca lo stesso ruolo dell’attrito. Ci aspetteremo
pertanto che la presenza del resistore determini un comportamento analogo ad una
sorta di oscillatore armonico smorzato, come illustrato in Fig. 3.9.2
Q
Qmax
0
t
Fig. 3.9.2. Oscillazioni smorzate della carica in un circuito RLC.
27
Dovremmo più precisamente parlare di pulsazione essendo la frequenza legata alla pulsazione da
ω = 2π f
122
Applicando la legge di Kirchoff al circuito includendo l’effetto della resistenza
avremo (si veda la Fig. 34 ultima riga per la relativa analogia meccanica)
L
d2 q
dq 1
R
+
+ q=0
d t2
dt C
(9.5)
Il lettore dimostri che lo smorzamento dei picchi è regolato da una relazione del
tipo
q = qM e
τ=
−
t
τ
,
L
R
(9.6).
Potremo in generale assumere che l’andamento temporale della carica sia dato da
q(t ) = q M e
−
t
cos(ω t )
τ
(9.7)
Il lettore dimostri che la frequenza di oscillazione è data da
ω=
1
τ
4 (ω0τ ) − 1
2
(9.8)
Se 4 (ω0τ ) − 1 < 0 , che l’andamento della corrente è dato da
2
π ⎤
⎡
i (t ) = e ⎢iL ,R cos(ω t + π ) + iC ,L cos(ω t + )⎥,
2 ⎦
⎣
q
iL,R = M , iC ,L = ω q M
−
t
τ
(9.9).
τ
e chiarisca anche il significato fisico dei vari termini che compaiono nella
relazione precedente.
2
Si consideri inoltre cosa succede se 4 (ω0τ ) − 1 < 0 .
Non discuteremo ulteriori esempi ma invitiamo chi è interessato a riconsiderare molto
attentamente i due ultimi paragrafi onde apprezzare meglio il ruolo di tali circuiti in
applicazioni di natura pratica.
123
10. Considerazioni conclusive Vediamo ora una possibile applicazione pratica di un circuito RLC. Consideriamo
dunque il caso in cui il potenziale V oscilli ad una frequenza ω. In base a quanto
abbiamo imparato nel paragrafo 8 la potenza dissipata nel circuito potrà essere scritta
come (il lettore derivi tale espressione per proprio conto)
P=
V
2
R
Φ (ω ,τ , ω0 )
Φ (ω ,τ , ω0 ) =
1
⎤
⎡⎛ ω ⎞
1 + Q ⎢⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥
⎥⎦
⎢⎣⎝ ω0 ⎠
2
2
,
(10.1).
2
Q = ω0τ
La funzione Φ ha un ruolo estremamente importante, che viene visivamente espresso
dalla Fig. 3.10.1, dove viene riportata in funzione ω per valori diversi di Q e per ω0
fisso. E’ evidente che il circuito funge in un certo senso da filtro e tende a dissipare
meno potenza se la frequenza a cui oscilla la tensione applicata è lontana dalla ω0,
che diremo frequenza di risonanza.
7
Potenza media ( μ W )
6
ω 0 = 107 rad/s
R = 3.5 Ω
5
Q = 14.3
4
Δω
3
2
1
0
R = 10 Ω
Q=5
ω0
9
10
11
12 ω x 106 rad/s
Fig. 3.10.1. Grafico della potenza in funzione della frequenza.
124
La qualità del circuito come filtro dipende da quanto sia stretta la curva intorno al
picco centrale, come è evidente, maggiore è Q più stretta sarà la curva, per tale
motivo tale termine viene detto fattore di qualità.
Un esempio di filtro viene illustrato in Fig. 3.10.2, dove si mostra la selezione di
frequenza nel caso di una radio a modulazione di ampiezza
frequenza
selezionata in kHz
Alto "Q"
Radio AM
1010
1000
990
980
970
960
950
940
930
920
Basso "Q"
10 kHz di
larghezza di banda
tra 540 e 1600 kHz
per 106 possibili
bande di frequenza
Fig. 3.10.2. Selezione di frequenza per una radio a modulazione di ampiezza
(AM=Amplitude Modulation)
Discuteremo l’importanza dei filtri quando parleremo di strumenti diagnostici quali
l’elettrocardiografo.
Prima di concludere è il caso di tornare alle forze di natura magnetica, per discutere
di un problema importante associato ai cosiddetti momenti magnetici. In Fig. 3.10.3
riportiamo una spira percorsa da corrente in un campo magnetico, la direzione del filo
e del campo formano un angolo α . Il filo sarà soggetto alle sue estremità a due forze
uguali ed opposte e pertanto ad un momento torcente dato da (perché?)
m = μ B sin(α ),
μ=IA
(10.2)
dove A rappresenta l’area della spira e μ viene detto momento magnetico della spira.
Il vettore associato al momento torcente è specificato da
r r r
m = μ×B
e risulta essere ortogonale sia alla superficie della spira che al campo.
(10.3)
125
F = ILB
L
2
α
spira
B
I
Braccio della leva
L
cos(α)
2
perpendicolare
al circuito
F
Fig. 3.10.3. Momento magnetico agente su una spira percorsa da corrente in un
campo magnetico.
Similmente al caso meccanico, potremo associare al momento magnetico una energia
potenziale secondo la relazione
r r
U = −μ ⋅ B
(10.4)
essa dipende dalle orientazioni relative del campo e della spira, come mostrato in Fig.
3.10.4, l’energia potenziale risulta minore quando campo e momento magnetico sono
allineati (si invita il lettore a fornire una spiegazione per tale asserzione.
S
Bassa
energia
μ
I
μ
I
Alta
energia
N
Fig. 3.10.4. Energia potenziale associata alla direzione momento magnetico di una
spira percorsa da corrente e immersa in un campo magnetico.
126
La lettura di corrente in un galvanometro avviene grazie all’effetto della forza
torcente appena descritta (il lettore consideri quanto illustrato in Fig. 3.10.5 e discuta
come si possa calibrare la lettura di corrente).
Fig. 3.10.5. Sistema di lettura del Galvanometro
In questo Capitolo abbiamo fatto appena un cenno ai problemi che coinvolgono
campi elettrici e magnetici e come questi siano legati tra di loro.
Abbiamo però trattato solo problemi che non coinvolgono i campi in presenza di
materia. Il prossimo Capitolo tenterà di coprire tale lacuna.
128
CAPITOLO IV
PROPRIETA’ ELETTRICHE E MAGNETICHE DELLA MATERIA
1. Introduzione Nei Capitoli precedenti abbiamo descritto la fenomenologia dei campi elettrici e
magnetici nel vuoto senza prendere in considerazione, o quasi, come questi si
comportino nei mezzi materiali. Abbiamo altresì fornito una descrizione
microscopica della corrente e della resistenza, ma non siamo stati molto esaurienti
sul perché un certo materiale un conduttore o perché altri non conducono la corrente
elettrica. Siamo anche stati vaghi sui magneti e non abbiamo discusso affatto perché
alcuni materiali sono delle “calamite” o come dovremmo dire, in termini meno
approssimativi, magneti permanenti.
Cominceremo ad esaminare in questo capitolo le proprietà elettriche e magnetiche
della materia, partendo dalla ovvia considerazione che la materia stessa è, entro certi
limiti, la manifestazione macroscopica delle cariche di cui essa è costituita e delle
interazioni che tra queste avvengono.
Quello che comunemente diciamo materia non è semplicemente la somma delle sue
parti costituenti, ma qualcosa di più, che include gli effetti dell’interazione tra le
stesse. Un elettrone e un protone separati sono semplicemente due particelle, se
combinate diventano un atomo di idrogeno, con tutta la complessità della
fenomenologia ad esso associata.
Sebbene banale il punto appena sollevato costituisce un concetto fondamentale per la
comprensione di quanto segue.
Il campo di una comune calamita è, ad esempio, il risultato dei campi generati dalle
correnti atomiche determinate dal moto degli elettroni attorno ai nuclei che
compongono i materiali detti ferromagnetici.
Abbiamo visto che le proprietà elettriche e magnetiche del vuoto sono regolate dalle
costanti ε0 e μ0 , che determinano quantità importanti come la capacità di un
condensatore o l’induttanza di un solenoide.
La materia si presenta, in condizioni ordinarie, neutra, pertanto l’azione di un campo
elettrico su uno specifico campione di materiale non ha l’effetto dell’applicazione di
una forza, nel senso meccanico del termine; e la massa in esame non subisce infatti
alcuna accelerazione.
Le cose cambiano a livello microscopico.
Consideriamo pertanto un mezzo isolante, in cui non ci sono elettroni liberi di
muoversi, come nei conduttori, ma vincolati attorno agli atomi, che a loro volta
possono essere disposti in una struttura cristallina. La risposta microscopica del
mezzo al campo esterno può essere pertanto un allungamento, una sorta di rotazione
o una combinazione delle due.
129
Prendiamo ad esempio un materiale costituito da atomi con perfetta simmetria sferica,
ovvero con un nucleo centrale positivo, immerso in una carica negativa,
uniformemente distribuita nell’intero volume sferico dell’atomo. L’applicazione del
campo elettrico determina una separazione delle cariche come mostrato in Fig. 4.1.1,
d
+
E
-q
+
+q
Fig. 4.1.1. Separazione delle cariche dovuta all'applicazione di un campo elettrico.
creando un momento di dipolo. La somma dei dipoli atomici associati ai singoli
atomi realizzerà un dipolo macroscopico, manifestazione della struttura microscopica
del materiale stesso. In tale case si parla di polarizzazione per deformazione.
Una struttura dipolare può esistere indipendentemente dal campo applicato.
Nel caso dell’acqua (si veda la fig. 4.1.2) esiste un eccesso di carica positiva intorno
all’atomo di idrogeno, negativa intorno agli atomi di ossigeno28.
La molecola di acqua ha dunque una componente dipolare che ne caratterizza molte
delle sue caratteristiche specifiche, quali la solubilità.
Fig. 4.1.2. Dipolo dell’acqua
28
A rigore dovremmo parlare di struttura multipolare, ma l’approssimazione dipolare è sufficiente
nel caso dell’acqua.
130
Un campo elettrico applicato a materiali con questa caratteristica induce un effetto di
allineamento dei dipoli, creando un campo detto di polarizzazione, che, come
vedremo nel seguito, si oppone al campo applicato, determinando quello che si
definisce comportamento dielettrico del mezzo 29 . In tale caso si parla di
polarizzazione per allineamento.
Quelli prima citati sono soltanto due esempi, esistono differenti tipi di materiali che
sono “suscettibili” al campo applicato in maniera più o meno marcata e in forme
diverse.
Analoghe considerazioni valgono per le proprietà magnetiche. In questo caso un
ruolo determinante è giocato dai momenti di dipolo magnetico elementari.
La risposta di un materiale ad un campo magnetico esterno può essere diamagnetica
oppure paramagnetica o ferromagnetica.
Nei materiali paramagnetici il campo magnetico applicato risulta essere rafforzato dai
dipoli costituenti. Il comportamento ferromagnetico è invece quello dei magneti
permanenti o di quei materiali che, come il ferro, divengono “calamite” una volta che
siano soggetti ad un campo esterno.
Le ragioni fisiche alla base di tale comportamento saranno discusse nel seguito.
2. Cenno alle proprietà elettriche della materia Vedremo in questo e nel prossimo paragrafo come possano essere introdotte alcune
costanti in grado di caratterizzare il comportamento elettrico e/o magnetico dei
materiali.
Come abbiamo visto nei capitoli precedenti, la capacità di un condensatore tra la cui
armature c’è il vuoto è data da
C=
ε0S
d
(2.1)
In Fig. 4.2.1, abbiamo riportato un condensatore riempito con un mezzo dielettrico.
Supporremo per semplicità che il mezzo sia omogeneo ed isotropo. Come abbiamo
accennato in precedenza, il campo elettrico tra le armature polarizza il dielettrico,
creando quello che si chiama un campo di polarizzazione (si vedano le fig. (4.2.1,
4.2.2)). E’ evidente che cariche di segno opposto tenderanno a bilanciare le cariche
presenti sulla superficie delle armature del condensatore.
Possiamo dunque affermare che il campo di polarizzazione si oppone a quello
presente tra le armature, producendo un indebolimento dello stesso. Da un punto di
vista puramente fenomenologico potremo rendere conto di tale effetto, introducendo
una costante εr detta costante dielettrica relativa nel caso di campi statici, scrivendo
29
Ricordiamo che δια è il prefisso Greco per contro.
131
E − E pol =
E
εr
=
σ
εr ε0
(2.2).
L’ovvia conseguenza di tale riduzione è che la capacità del sistema (armature +
dielettrico) diventa
C=
εr ε0S
(2.3).
d
ovvero essa viene aumentata di un fattore che è proprio la costante fenomenologica εr.
Dielettrico
non
polarizzato
Dielettrico
polarizzato dal
campo elettrico
applicato
E=0
+ + + + + + + + +
E 0
- - - - - - - - Fig. 4.2.1. Materiale Dielettrico non polarizzato e polarizzato tra le armature di un
condensatore.
+ + + + + + + +
E =
σ V
=
ε0 d
- - - - - - - ε0 S
C=
d
+ + + + + + + +
La capacità
aumenta di
un fattore εr
- - - - - - - σ
Eeff = E - Epol = ε ε
r 0
ε ε S
C = 0r 0
d
Fig. 4.2.2. Effetto di un dielettrico sulla capacità di un condensatore.
132
Vedremo nel seguito come si possano determinare i valori della costante dielettrica,
che è una misura del potere isolante30 del materiale. La costante può assumere valori
molto bassi come nel caso dell’aria, o qualche unità come nel caso del vetro o della
mica, fino a giungere a diverse centinaia come per il titaniato di stronzio.
In prima approssimazione, assumeremo che l’effetto del dielettrico è “solo” quello di
ridefinire le espressioni che contengono la costante dielettrica del vuoto ε 0 (teorema
di Gauss, Energia del campo elettrostatico…) tramite la sostituzione ε 0 → ε 0ε r .
Cercheremo ora di associare alla costante εr, altre quantità macroscopiche
direttamente misurabili.
Un dipolo elettrico è costituito da due cariche uguali ed opposte, separate da una
distanza d, il modulo del vettore dipolo elettrico (orientato nel verso carica negativa carica positiva) è dato semplicemente dal prodotto della carica per la distanza tra le
cariche. Quando si ha a che fare con un insieme di dipoli elementari risulta
conveniente introdurre un vettore di polarizzazione dato dalla somma vettoriale dei
singoli dipoli elementari
r
r
r
p = ∑ qi d i = N p
(2.4)
i
dove N è il numero di dipoli elementari e
indica una sorta di valore medio, che
r
tiene conto di tutte gli orientamenti dei dipoli e pertanto avere p = 0 non implica che
il mezzo non abbia una struttura dipolare intrinseca, ma solo che i dipoli elementari
sono distribuiti con orientazioni casuali.
Insieme al vettore polarizzazione è conveniente introdurre il vettore densità di
r
polarizzazione, indicato con P , definito come vettore di polarizzazione per unità di
volume, ovvero
r
r
P=n p ,
n=
N
V
(2.5)
dove n rappresenta il numero di dipoli per unità di volume.
Le dimensioni di tale vettore sono quelle di una densità di carica e non è difficile
rendersi conto, tramite un semplice esame della Fig. 4.2.3, che la densità di carica è
nulla all’interno del materiale e che è presente solo una densità superficiale di carica
r
legata a P dalla relazione
r r
QS = P ⋅ S
(2.6)
r
Dove Qs è la carica sulla superficie di area S e S è un vettore diretto verso l’esterno
del dielettrico.
30
Spesso i termini dielettrici ed isolante vengono utilizzati come sinonimi
133
+ + + + + + + +
- - - - - - La sonda misura
carica nulla
all'interno del
dielettrico
- - - - - - Volume della
sonda ideale
+ + + +
+ +
+ +
La sonda
misura
una carica non
compensata sulla
superficie
Fig. 4.2.3. Sonda ideale per la misura della densità di carica nel dielettrico
polarizzato.
Le dimensioni del vettore di polarizzazione sono dunque ler stesse del vettore
spostamento elettrico; possiamo pertanto definire il vettore D all’interno di un
dielettrico come costituito da due termini, ovvero
r
r r
D = εoE + P
(2.7a).
Poiché, come abbiamo già accennato, il ruolo della costante dielettrica relativa è
quello di ridefinire la costante ε0 quando sono coinvolti mezzi isolanti, possiamo
riscrivere il vettore spostamento in un materiale dielettrico come
r
r
D = εr ε0E
(2.7b)
Pertanto dalla eq. (2.5) segue che
r
r
P = ε 0 χ E,
χ = (1 − ε r )
(2.8)
dove χ viene detta suscettibilità 31 elettrica del mezzo. La relazione precedente,
valida nell’ipotesi in cui il mezzo sia isotropo, stabilisce una legame piuttosto
semplice tra densità di polarizzazione del mezzo ed il campo esterno applicato.
I seguenti problemi serviranno a chiarire ulteriormente il significato delle grandezze
prima introdotte.
31
Nomina sunt omina , ovvero i nomi rappresentano le funzioni, questo accade anche in Fisica!
134
Una sfera conduttrice elettricamente carica ha centro in O ed è immersa in un
dielettrico, omogeneo ed isotropo. Supposte note la carica q presente sulla sfera e
la costante ε r del dielettrico:
a) Si calcolino i vettori D , E , P in un generico punto esterno alla sfera;
b) Le cariche di polarizzazione di superficie.
Si noti che, come semplice conseguenza del teorema di Gauss al di fuori della sfera
avremo
D( r ) =
q
q
E (r )
→ E (r ) =
→ P(r ) = (ε r − 1)
,
2
2
ε0
4π r
4 π ε 0ε r r
Per le cariche di polarizzazione si ottiene (perché?)
Qp = −
ε r −1
q
εr
Su un tavolo è appoggiato un corpuscolo, elettricamente neutro ed isolante,
costituito da un materiale isotropo di densità ρ . Al di sopra del corpuscolo e
sulla sua verticale è posta una carica q praticamente puntiforme. Quando la
distanza fra carica e corpuscolo è inferiore ad un valore limite d, il corpuscolo si
solleva. Si calcoli la suscettibilità elettrica del materiale
ρ = 2 g / cm 3 , d =1cm, q = 10 −8 C , g = 9.8 m / s 2
La risoluzione del problema è piuttosto semplice e la strategia da seguire è la
seguente.
Si calcola il dipolo indotto nel materiale dielettrico dal campo elettrico generato dalla
carica; il dipolo induce a sua volta un campo elettrico ad una distanza d (si veda il
paragrafo 3 del Capitolo I) che determina una forza attrattiva sulla carica puntiforme.
Dopo aver uguagliato tale forza alla forza peso, si ottiene la seguente espressione per
la suscettibilità
χ
d5
= 2π ρ g 2 , χ ≅ 13.7
4π ε 0
q
L’esempio testé illustrato suggerisce che un buon metodo sperimentale per la
determinazione della suscettibilità è basato sull’utilizzo delle forze.
Si dimostri che la densità di energia all’interno di un dielettrico è data dalla
seguente relazione
ℑ=
1 r r
E⋅D
2
(2.9)
Si utilizzi la relazione (2.9) per risolvere il problema discusso precedentemente
135
3. Calcolo delle costanti dielettriche di specifici materiali Vedremo ora come le quantità macroscopiche prima introdotte possano essere
calcolate utilizzando un punto di vista microscopico.
Consideriamo, come primo esempio, un dielettrico costituito da un sistema atomico,
nel qual caso la polarizzazione indotta da un campo elettrico esterno può essere
calcolata piuttosto facilmente.
In base alla già citata Fig. 4.1.1, in cui viene mostrato un atomo idealizzato come una
sfera elettricamente neutra, con una carica centrale positiva q = Z e , e densità di
carica negativa data da
ρ=−
3Z e
4π R3
(3.1)
quando un campo elettrico statico esterno viene applicato a tale configurazione, la
carica positiva e quella negativa vengono separate da una distanza d, finché non si
determina una condizione di equilibrio tra la forze indotte dal campo e quelle
attrattive elettrostatiche.
Come semplice applicazione del teorema di Gauss possiamo concludere che (lo si
provi 32 ) la forza che si esercita tra nucleo e carica esterna ad una distanza d
all’interno della sfera è data da
( Z e) 2 d
F=
4π ε 0 R 3
(3.2)
Imponendo la condizione di equilibrio con il campo applicato possiamo calcolare il
valore di d, ottenendo
4π ε 0 R3 r
dE =
E
Ze
(3.3).
Alla precedente quantità potremo associare il seguente vettore di polarizzazione e una
suscettibilità atomica dato da
r
r
P = 4π ε 0n R3 E ,
(3.4).
χ A = 4π n R 3
dove n rappresenta il numero di atomi per unità di volume.
−9
Assumendo ad esempio come valori tipici n ≅ 3 ⋅ 10 19 cm −3 e R ≅ 6 ⋅ 10 cm
−5
calcoliamo χ A ≅ 8.14 ⋅ 10 , ε r ≅ 1.0000814 , commenteremo nel seguito il significato
di tali valori.
32
Si ricordi quanto discusso nella prima parte di queste lezioni in merito alle forze agenti su un
corpo in una sfera con densità di massa costante.
136
Il lettore utilizzi l’argomento prima sviluppato per dimostrare che i gas nobili,
l’idrogeno, l’aria hanno una costante dielettrica relativa poco diversa da quella del
vuoto.
Un ulteriore esempio di calcolo della costante dielettrica viene fornito dalla
cosiddetta polarizzabilità ionica, ovvero quella indotta dalla azione di un campo
elettrico statico su una sostanza realizzata tramite un legame ionico come ad esempio
un sale. In Fig. 4.3.1 è stato riportato un cristallo di Na Cl, che ha un momento di
dipolo macroscopico nullo, perché il dipolo del singolo legame viene compensato da
quello adiacente. Una volta superimposto il campo ci si aspetta che le cariche
vengano separate ulteriormente e che si raggiunga una condizione di equilibrio
tramite una reazione di natura elastica da parte del reticolo.
Non è pertanto difficile esprimere il vettore di polarizzazione del materiale come
r
P=
r
n e2 E
(3.5)
kR
dove kR è la costante elastica del reticolo.
d0
d 0+ d
E
Fig. 4.3.1. Polarizzazione ionica
Il valore della costante elastica del reticolo potrebbe essere calcolata in termini di
quantità microscopiche, come verrà accennato in seguito; qui notiamo semplicemente
che le costanti dielettriche, nel caso di campi statici, calcolabili con tale modello sono
ad esempio ε r ≅ 5.9 ( NaCl ), ε r ≅ 4.84 ( KCl ) .
Tratteremo, in quel che segue, la polarizzazione per orientamento in riferimento ad
un mezzo polare. La situazione è quella illustrata in Fig. 4.3.2, relativa all’acqua le
cui molecole sono dotate, come già detto, di un dipolo intrinseco. Quello che ci si
aspetta è che in assenza di campo applicato la distribuzione risulti casuale, mentre in
presenza del campo si manifesta un orientamento dei dipoli elementari indotto dal
campo stesso.
137
E
E=0
Fig. 4.3.2. Polarizzazione per orientamento.
L’energia associata al dipolo è, come abbiamo visto nel capitolo precedente, data da
(si veda la Fig. 4.3.3)
r r
r r
U (δ ) = − p ⋅ E = − p E cos(δ )
(3.6)
+
μ
δ
E
Fig. 4.3.3. Dipolo elettrico interagente con un campo esterno.
La procedura di calcolo si basa su una media eseguita su tutti i possibili angoli e
sull’effetto indotto dall’agitazione termica che si oppone all’effetto di allineamento
del campo, in modo da ottenere
r
Po ≅
r2 r
np E
3 KT
(3.7)
Nel caso dell’acqua l’equazione precedente fornisce (in condizioni standard) un
valore della costante dielettrica pari a circa 80.
Abbiamo proceduto nella nostra descrizione della fenomenologia dei dielettrici
utilizzando distinzioni drastiche; non possiamo infatti escludere che effetti di
polarizzazione atomica si sommino a quelli di orientamento, l’effetto dielettrico di
quest’ultimi sarà tale da rendere trascurabili quello atomico.
Prima di concludere questo paragrafo è opportuno fare un cenno ai materiali
ferroelettrici, ovvero quei materiali dotati di un dipolo macroscopico, anche in
138
assenza di un campo elettrico applicato. Materiali di tale tipo, come ad esempio il
Titaniato di Bario ( Ba Ti O3 ) , hanno costanti dielettriche estremamente alte.
La relativa fenomenologia ha forti analogie con quella dei materiali ferromagnetici,
che discuteremo nel prossimo paragrafo; faremo un ulteriore cenno ai materiali
ferroelettrici nel paragrafo conclusivo.
4. Mezzi Diamagnetici, Paramagnetici Ferromagnetici… Prima di entrare nello specifico teniamo a sottolineare di nuovo che le proprietà
magnetiche della materia sono una manifestazione dei dipoli elementari dovuti alle
correnti atomiche e agli stessi elettroni.
Ricordiamo dunque, a scanso di equivoci, che da un punto di vista classico
a) Ad un elettrone orbitante intorno ad un nucleo è associata una corrente data da
I =e
ω
2π
(4.1)
b) Il momento magnetico dovuto a tale corrente può essere definito come
(indicando con S la superficie dell’orbita descritta dall’elettrone)
r
1
morb = I S = e ω r 2
2
(4.2)
r
2
L
e ricordando che il momento angolare orbitale è orb = meω r
r
e r
morb = −
Lorb
2 me
(4.3)
Lorb
i
S =area dell'orbita
Fig. 4.4.1. Momento magnetico dovuto alla corrente generata da un elettrone
orbitante attorno al nucleo.
139
Gli elettroni sono inoltre caratterizzati da un ulteriore momento magnetico detto di
spin, dovuto ad una sorta di momento intrinseco33, ovvero
r
e r
ms = g
s
2 me
(4.4)
r
Dove g viene detto rapporto giromagnetico che è molto prossimo a 2 e s è il
momento angolare intrinseco dell’elettrone appunto lo spin, che in termini
estremamente grossolani potrebbe essere visualizzato come una sorta di momento
angolare dovuto alla rotazione dell’elettrone34, supposto sferico, intorno al proprio
asse.
Il valore dei tale momento angolare è legato alla cosiddetta costante di Planck h 35,
ovvero
1
s z = ± h,
2
h = 6.626 ⋅ 10 −34 J ⋅ s
(4.5)
dove il doppio segno indica le due possibili versi di rotazione (si veda la Fig. 4.4.2)
r
e
e
e
mspin
morb
spin up
mspin
spin down
Fig. 4.4.2. Momento magnetico orbitale e possibili orientazioni del momento
angolare intrinseco dell’elettrone (spin) .
In questo contesto assume particolare rilevanza il cosiddetto magnetone di Bohr
eh
J
≅ 9.27 ⋅ 10 − 24
(4.6)
2 me
T
Non possiamo entrare ulteriormente in merito al significato dello spin e del fattore g,
che accetteremo qui come conseguenza di un mero dato sperimentale (esperimento di
Stern e Gerlach) cui faremo cenno nei prossimi Capitoli.
μB =
33
Il concetto di spin non trova giustificazione nell’ambito della meccanica classica e il lettore può
visualizzare, in maniera piuttosto grossolana, tale momento angolare come una rotazione
dell’elettrone intorno al proprio asse.
34
Sottolineiamo che, rigorosamente parlando, lo spin non ha alcun analogo classico e che la sua
natura è interamente determinata da effetti quantistici che non possiamo in questo contesto.
35
La costante di Planck ha le dimensioni di un momento angolare, ovvero quelle di una azione
(energia per un tempo)
140
Considerazioni analoghe alle precedenti valgono per il campo magnetico. Possiamo
r
r
infatti definire una vettore densità di dipolo magnetico, con M = n m , (n è il numero
di dipoli per unità di volume)
r
Notiamo ora che le dimensioni di M sono quelle di una densità lineare di corrente
r
(ovvero le stesse del campo H ), è pertanto lecito specificare il vettore induzione
magnetico nel mezzo tramite la relazione
r
r r
B = μ0 (H + M )
(4.7),
r
r
B
=
μ
k
H
, otteniamo , in completa analogia con l’eq. (2.8), la
Supponendo che
0 m
seguente relazione
r
r
M = χm H ,
χ m = (k m − 1)
Dove χm è la suscettibilità magnetica. Inoltre
r
r
B = μr H ,
μ r = μ 0 (1 + χ m )
(4.8)
(4.9)
dove μ rappresenta la permeabilità magnetica del materiale.
Applicando di nuovo l’idea che nomen omen il termine permeabilità magnetica
rappresenta la “penetrabilità” di un certo materiale alle linee di forza dei un campo
magnetico esterno.
I dipoli possono essere indotti, come nel caso delle sostanze diamagnetiche, o
permanenti come nel caso di quelle paramagnetiche. Nel primo caso il vettore di
magnetizzazione risulterà opposto al campo applicato, per cui ci aspetteremo valori di
χ m negativi. Nell’altro caso i dipoli preesistenti, ma orientati in maniera casuale in
assenza di campo, si allineeranno nella direzione del campo applicato, determinando
un vettore di magnetizzazione concorde con il verso del campo magnetico esterno. Le
sostanze paramagnetiche sono caratterizzate da valori di χm positivi.
In base a quanto detto in precedenza l’effetto diamagnetico, ovvero quello dovuto ad
un campo indotto opposto a quello generante, dovrebbe essere caratteristico di tutti i
materiali. Le cose stanno esattamente così e possiamo, pertanto, affermare che tutti
gli atomi, e dunque tutte le molecole da essi composte, hanno un comportamento
diamagnetico, sovraimposto ad altre forme di magnetismo, che possono risultare
dominanti e pertanto l’effetto diamagnetico diviene difficilmente osservabile.
La causa prima del diamagnetismo sono gli elettroni all’interno del materiale, siano
essi orbitanti intorno al nucleo (come nel caso degli isolanti) o nelle bande di valenza
(come nei semiconduttori) o “liberi” (come nel caso dei metalli). Qualsiasi sia il loro
ruolo, gli elettroni sono sensibili ad ogni variazione di campo magnetico esterno. Nel
141
seguito vedremo come vada calcolata la risposta di un elettrone orbitante intorno al
nucleo ad una variazione di campo magnetico esterno.
I calcoli che seguono si basano sui seguenti fatti fisici, già discussi in precedenza
a) In basse alla legge di Faraday Neumann Lenz una variazione di flusso del
campo magnetico è responsabile di una forza elettromotrice indotta, che agirà
sull’elettrone stesso
b) Tale forza risulta proporzionale al variazione del flusso del campo magnetico e
la superficie di flusso è quella associata all’orbita descritta dagli elettroni
Le assunzioni di cui sopra ci permettono di scrivere quanto segue
me
d
v = e E,
dt
r
d
V
, V = − Φ ( H ),
l
dt
r
l = 2 π r , Φ( H ) = π r 2 H
E=
(4.10)
Dalla equazione precedente segue che
er d H
d
v=−
dt
2 me d t
(4.11)
dove abbiamo indicato con me e con e la massa e la carica dell’elettrone inoltre r
rappresenta il raggio dell’orbita descritta dall’elettrone.
La variazione di velocità che segue dalla relazione precedente è legata alla
variazione del campo magnetico dalla ovvia relazione36
Δv = −
er
H
2 me
(4.12)
Tale variazione di velocità sarà responsabile di una variazione di momento magnetico
orbitale, che risulterà essere data (in modulo) dalla relazione
r
e2r 2 H
Δ mo = −
4 me
(4.13)
che costituisce l’equazione essenziale per il diamagnetismo nel caso di elettrone
orbitante.
Se si tiene conto che l’effetto è ascrivibile a tutti gli Z elettroni attorno al nucleo si
ottiene infine l’espressione
36
Si noti che abbiamo assunto che il campo magnetico applicato è inizialmente nullo, pertanto
Δ H = H (t ) − H (0) = H .
142
r
Δ mo = −
Z e2 r
2
r
H
(4.14)
6 me
Dove r rappresenta una media sulle varie orbite atomiche e il fattore 6 si giustifica
come segue:
Qualora il vettore magnetico non sia perpendicolare all’orbita descritta dall’elettrone
e sia orientato arbitrariamente rispetto a questa, il vettore magnetico contribuirà in
media per i 2/3 della sua intensità, perché la componente nel piano dell’orbita non
produce alcun effetto.
Il vettore di magnetizzazione associato alla variazione di momento magnetico
orbitale potrà dunque essere scritto come
2
r
Z e2 r H
M dia = −
6 meV
(4.15)
da cui si ricava la seguente espressione per la suscettibilità diamagnetica
r
2
M dia
Z e2 r
χ dia =
=−
ρA
H
6 meV
(4.16)
dove ρA rappresenta il numero di atomi per unità di volume.
In Fig. 4.4.3 abbiamo riassunto in maniera visiva la risposta di un mezzo
diamagnetico ad un campo magnetico esterno
H
Fig. 4.4.3. Campo magnetico applicato e “risposta diamagnetica” del materiale.
Il lettore spieghi perché il neon è una sostanza diamagnetica.
2
2
6
(si ricordi la struttura del neon 1 s 2 s 2 p …)
143
Un materiale paramagnetico è uno caratterizzato, in assenza di un campo magnetico
applicato da una distribuzione casuale della direzione dei dipoli magnetici elementari
dei costituenti (si veda la Fig. 4.4.4). E’ pertanto evidente che, in assenza di un
campo esterno applicato, il vettore di magnetizzazione è nullo.
Fig. 4.4.4. Distribuzione casuale dei dipoli magnetici in una
sostanza paramagnetica.
Se al materiale viene applicato un campo esterno i dipoli tendono ad allinearsi nella
direzione del campo e il corrispondente vettore di magnetizzazione può essere
stimato come segue
r2
r
n m μ0 H
M para ≅
3 KT
(4.17)
r
Dove K è la costante di Boltzmann, m è l’intensità dei dipoli elementari e n il
numero di atomi per unità di volume. Il fattore KT al denominatore tiene conto
dell’effetto dell’agitazione termica, che tenderà ad opporsi all’azione di allineamento
del campo magnetico.
I materiali ferromagnetici (il ferro, il nichel, il cobalto…) sono caratterizzati dal
meccanismo di “allineamento a lungo raggio” in cui i momenti magnetici associati ai
singoli elettroni disaccoppiati tendono ad accoppiarsi in regioni dette domini
magnetici. All’interno di questi domini il campo può essere molto intenso, ma il
materiale nel suo insieme può apparire non magnetizzato a causa del fatto che nei
vari domini la direzione di magnetizzazione risulta essere casuale.
La magnetizzazione del materiale si manifesta tramite un campo applicato anche
debole (come mostrato in Fig. 4.4.5) e in base a tale meccanismo il campo applicato
risulta notevolmente amplificato. Chiariremo tale concetto quando discuteremo le
applicazioni di tali materiali.
Abbiamo accennato al ruolo giocato dalla temperatura per quanto concerne la
fenomenologia di tali materiali; nel prossimo paragrafo approfondiremo, sempre
limitandoci agli aspetti qualitativi, tale aspetto del problema.
144
N
In condizioni normali
l'orientamento dei domini è
casuale. Il materiale risulta
complessivamente non
La presenza di un campo magnetico esterno
magnetizzato
orienta i domini nella direzione del campo
Fig. 4.4.5. Ferromagnetismo e domini magnetici.
Invitiamo ora il lettore a considerare i seguenti problemi, la cui comprensione
fornisce un chiarimento ulteriore in merito alle quantità prima introdotte.
Un magnete, ha un campo di intensità H e una superficie S, viene avvicinato ad
un blocco di massa m con superficie identica a quella del magnete, le forze
magnetiche sono sufficienti a sollevare il blocco, si determini la suscettibilità
magnetica del materiale costituente il blocco.
Si spieghi perché il magnete deve essere “sufficientemente” vicino.
Si ricordi che la densità di energia di un materiale magnetico è (il lettore spieghi
perché)
1 r r
H ⋅M
2
(4.18)
ℑ=
per cui la forza agente sul blocco è (perché?)
r 1
F = μ0 χ m H 2 S
2
da cui segue
χm =
2m g
μ0 H 2 S
145
Si consideri quanto mostrato in Fig. 4.4.6 in cui si mostra un solenoide che si
avvolge intorno a un nucleo di ferro; si dimostri che il vettore induzione
magnetica sull’asse è dato da
B = μnI
B
N
S
I
I
Fig. 4.4.6. Solenoide con nucleo di ferro.
Si consideri quanto mostrato in Fig. 4.4.7, che mostra lo schema di principio di
un trasformatore che viene utilizzato per alzare o diminuire le tensioni
alternate; se ne discuta il principio di funzionamento e il ruolo giocato dal nucleo
di ferro
Vp = fem = -Np S
Vp
d B(t)
dt
Ip
Nucleo di ferro
d B(t)
dt
Is
Np
Ns
Circuito
primario
Vs = -Ns S
Campo magnetico
Vs
Circuito
secondario
Fig. 4.4.7. Principio di funzionamento del trasformatore.
R
146
5. Temperatura, caratteristiche magnetiche dei materiali e curva di isteresi magnetica Nella Fig. 4.5.1 viene riportata una sorta di Tabella in cui si mostra in maniera
qualitativa la dipendenza del vettore di magnetizzazione e della suscettibilità
magnetica di un dato materiale dal campo magnetico e dalla temperatura,
rispettivamente. Nella Tabella IV abbiamo invece riportato le unità di misura e le loro
conversioni dal CGS al SI, per le varie quantità di interesse.
M
M = χH
a) Diamagnetismo
χ
χ< 0
T
H
pendenza = χ
b) Paramagnetismo
χ = costante
M
pendenza = χ
χ = χ (H)
1
T
T
TCurie
χ
χ
H
M = χH
χ> 0
M
χ
c) Ferromagnetismo
H
T
Fig. 4.5.1. Dipendenza dalla temperatura del vettore intensità di magnetizzazione
e della suscettibilità magnetica.
Tabella IV
Unità di misura magnetica e conversioni tra i sistemi CGS e SI
CGS
Campo magnetico H
1 Oe
Induzione magnetica B
Magnetizzazione M
1 gauss
1 erg ⋅ Oe −1 ⋅ cm −3
SI
1000
A ⋅ m −1
4π
10 − 4 Tesla
1000 A ⋅ m −1
147
Nel caso del diamagnetismo esiste una dipendenza lineare (con pendenza negativa)
del vettore di magnetizzazione dal campo magnetico applicato e la suscettibilità
magnetica è praticamente indipendente dalla temperatura.
Nel caso dei paramagneti abbiamo una crescita lineare del vettore di magnetizzazione
con il campo magnetico applicato e una dipendenza inversa della suscettibilità
magnetica dalla temperatura.
La legge che lega vettore di magnetizzazione, campo applicato e temperatura
(assoluta) per i materiali paramagnetici è nota come legge di Curie e si esprime in
maniera piuttosto semplice ( χ para =
C
) dove C è una quantità caratteristica nota come
T
costante di Curie.
Nel caso dei materiali ferromagnetici esistono due punti importanti da sottolineare
a) La magnetizzazione aumenta fino a quando si raggiunge un valore di
saturazione
b) La dipendenza della temperatura della suscettibilità è piuttosto complessa (si
veda la Fig. 4.5.2 per maggiori dettagli); al di sopra di un certo valore della
temperatura, noto come punto di Curie, l’agitazione termica è tale che il ferro
magnete diventa un paramagnete e pertanto la legge di Curie per tali materiali
potrebbe essere riscritta come
χ ferro (T > TC ) ∝
1
T − TC
Magnetizzazione M( T)/M0
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
TC = 575
0.2
0.1
0
100
200
300
400
500
600
Temperatura ( °C )
Fig. 4.5.2. Dipendenza dalla temperatura della magnetizzazione nei materiali
ferromagnetici; le frecce mostrano che all’aumentare della
temperatura l’agitazione termica tende a superare le forze
elettroniche producendo un effetto di “randomizzazione”.
148
I materiali ferromagnetici, che includono le comuni calamite o per meglio dire i
magneti permanenti, quando sono soggetti ad un campo esterno mostrano un
comportamento noto come “isteresi” magnetica.
In Fig. 4.5.3 viene mostrato la curva di isteresi, rappresentativa di tale fenomeno.
densità
B di flusso
retentività
a
saturazione
b
Forza coercitiva
f
c
Forza di
magnetizzazione
H
e
saturazione
d
Fig. 4.5.3. Curva di isteresi e punti caratteristici.
Un materiale viene sottoposto ad un campo magnetico, la magnetizzazione cresce al
crescere del campo applicato fino a raggiungere il suo livello di saturazione. Se
l’intensità del campo esterno viene gradualmente ridotta, si assiste al fatto rilevante
che la curva di de-magnetizzazione è diversa da quella seguita prima e quando il
campo applicato è nullo, il corrispondente vettore B è diverso da zero ( i domini
magnetici conservano una sorta di memoria della storia passata, conservando quella
che si chiama magnetizzazione residua). Invertendo la direzione del campo e
aumentando la sua intensità si ottiene l’annullamento della magnetizzazione per un
valore del campo detto di coercizione. Aumentando ancora l’intensità del campo si
arriva ad un valore di saturazione della magnetizzazione con modulo uguale a quello
raggiunto in precedenza. Riportando il campo magnetico ad intensità nulla, si
percorre una curva di magnetizzazione su un ramo simmetrico a quello di
magnetizzazione.
Invitiamo ora il lettore a riflettere sul significato fisico dell’area all’interno della
curva di isteresi che rappresenta l’energia dissipata per ogni ciclo. In Fig. 4.5.4
abbiamo riportato varie forme di ciclo di isteresi, caratterizzate da un’area più o meno
grande e da una magnetizzazione residua più o meno grande. E’ evidente che
materiali con una area della curva ridotta, sono più appropriati per sistemi soggetti a
vari cicli, come nei trasformatori, per minimizzare l’effetto della potenza dissipata.
Mentre materiali con un ciclo di isteresi caratterizzato da grande magnetizzazione
residua e da grande area sono più appropriati per applicazioni, quali la registrazione
magnetica.
149
B
B
Forza
coercitiva
Forza
coercitiva
c
c
H
Materiale
ferromagnetico
"soft"
H
Materiale
ferromagnetico
"hard"
Fig. 4.5.4. Curve di isteresi per materiali ferromagnetici “soft” e “hard”.
Nella Fig. 4.5.6 viene mostrato il cosiddetto effetto Hall. Un materiale con
spessore b è immerso in un campo magnetico ortogonale alla sua superficie. Il
lettore dimostri che se all’interno del materiale viene fatta fluire una corrente I,
nella direzione longitudinale si misurerà ai capi della dimensione trasversa una
differenza di potenziale pari a
V=
I B Rh
b
(5.1)
dove Rh è una resistenza caratteristica nota come resistenza di Hall.
Si spieghi anche perché tale effetto viene sfruttato per la misura dei campi
magnetici
Forza magnetica
sulle cariche
negative trasportate
VH
Fe
Fm
d
Corrente primaria
Fm
I
Fe
Forza elettrica dalle
cariche accumulate
Fig. 4.5.6. Schema concettuale dell’effetto Hall.
150
6. Le correnti di Focault e cenni di Superconduttività Logicamente avremmo dovuto inserire l’argomento che stiamo per trattare nel
capitolo III, ma abbiamo ritenuto più utile trattarlo nel contesto più generale delle
proprietà magnetiche della materia, per non generare confusioni.
Le correnti di Foucault sono determinate in un certo conduttore dalle variazioni
dovute sia al moto del magnete rispetto al conduttore, sia ad una dipendenza
temporale del campo magnetico stesso. Un esempio viene illustrato in Fig. 4.6.1, che
mostra un disco metallico, che si muove in un campo magnetico (perpendicolare al
piano ed entrante nel foglio). Le cariche libere saranno soggette alla forza di Lorentz
e si muoveranno nel piano ortogonale al campo determinando le correnti circolari
mostrate in figura.
I
Correnti di Foucault
I
Correnti di Foucault
F
B
v
Fig. 4.6.1. Correnti di Foucault indotte in un disco conduttore in moto rispetto ad
un campo magnetico ad esso ortogonale.
Le correnti si sviluppano lungo la linea di discontinuità del campo dove c’è una
effettiva variazione.
Queste correnti sono correnti reali e dissipano potenza che si può stimare abbastanza
facilmente, se ci si limita all’essenziale.
Consideriamo dunque un conduttore di resistività ρ e un campo magnetico esterno
che varia con una certa frequenza ν ; in queste condizioni si ha, a causa della legge di
Faraday-Neumann-Lenz, che
V ∝ ν B S1
V 2 l ν 2 B 2 S1 l
P=
∝
ρ S2
ρ S2
(6.1)
dove S1 e S2 sono rispettivamente la superficie pertinente al flusso del campo
magnetico e quella effettivamente attraversata dalla corrente; notiamo allora che
S1 = l 2 ,
S2 = l ⋅ δ
(6.2)
151
dove δ è la profondità di penetrazione della corrente, dovuta al cosiddetto effetto
pelle, che è la tendenza delle correnti alternate a distribuirsi in un conduttore, in
maniera tale che la corrente sulla sua superficie sia maggiore di quella al suo interno.
La densità di corrente decresce infatti esponenzialmente con la profondità del
conduttore, secondo la relazione
J = JSe
−
d
δ
(6.3)
L’effetto pelle è dovuto alle correnti di Foucault che cancellano le correnti interne e
rafforzano quelle superficiali. Si veda la Fig. 4.6.2
IW
H
I
Fig. 4.6.2. Effetto Pelle e Correnti di Foucault.
Una delle applicazioni delle correnti di Foucault è la cosiddetta levitazione magnetica
il cui principio viene mostrato in Fig. 4.6.3, in cui si mostra una spira percorsa da
corrente alternata, che induce una corrente nel conduttore, che a sua volta induce un
campo speculare. Le linee di campo, uscenti, della spira incontrano linee uscenti e
pertanto i due poli Nord si respingono determinando il sollevamento della spira stessa.
La pressione magnetica che si esercita tra I due poli è (si verifichi la correttezza delle
dimensioni)
p=
B2
2 μ0
(6.5)
Pertanto, se A è la superficie della spira e m è la sua massa, il campo magnetico
necessario per tenerla in levitazione è
B = 2μ 0
mg
A
(6.6)
Le applicazioni pratiche di questo fenomeno sono i treni a levitazione magnetica, ma
è un argomento che non tratteremo.
152
Solenoide
Campo magnetico
generato dal solenoide
Campo magnetico
generato dalle
correnti di Foucault
Piano conduttore
Correnti di Foucault
Fig. 4.6.3. Correnti di Foucault e levitazione.
Prima di concludere questo paragrafo riteniamo opportuno fare un cenno alla
Superconduttività, un fenomeno scoperto durante il primo decennio del secolo scorso,
la cui comprensione teorica necessita dell’utilizzo della meccanica quantistica37.
La scoperta ad opera di Kamerling Onnes consisteva nel fatto che il mercurio a
temperature molto basse (dell’ordine di qualche K ) perde completamente la sua
resistività e pertanto la sua resistenza. In linea di principio un materiale
superconduttore può trasportare corrente senza che vi sia alcuna dispersione dovuta
ad effetto Joule. Una spira superconduttiva può trasportare correnti estremamente alte
in modo tale da generare campi magnetici molto intensi.
Il campo elettrico in un superconduttore è sempre nullo; infatti se ciò non fosse ai
capi di un superconduttore si instaurerebbe una differenza di potenziale, che a causa
della legge di Ohm dovrebbe richiedere una corrente infinita (visto che la resistenza
di un superconduttore è nulla).
Cerchiamo ora di spiegare un fatto che se non attentamente meditato potrebbe
apparire paradossale. Se ci si avvicina ad un materiale superconduttore con una
normale calamita si ha un effetto di levitazione come quello mostrato in figura 4.6.4.
Il motivo di ciò può essere spiegato come segue: l’avvicinamento del magnete
determina, a causa della legge di induzione, correnti di Foucault all’interno del
superconduttore. Poiché, come abbiamo detto, il campo elettrico deve essere nullo il
37
Alcuni aspetti come quelli relativi alla Superconduttività ad “alta” temperatura (superiore ai
35 K ) non sono del tutto chiari.
153
flusso del campo magnetico dal superconduttore deve essere nullo. La cosa è
possibile solo se le linee di campo del magnete esterno e quelle del campo delle
correnti indotte si compensano. Il risultato è dunque la creazione di una sorta di
repulsione che determina l’effetto di levitazione. E’ anche evidente che a causa del
fatto che la resistenza è nulla l’intensità di corrente che fluisce nel superconduttore
può essere arbitraria.
Magnete permanente
ad alto campo
residuo
S
Superconduttore
Y Ba2 Cu3 O7
N
N
S
Correnti indotte
Correnti indotte
Fig. 4.6.4. Levitazione di un magnete permanente indotta dalla interazione con un
materiale superconduttore.
In Fig. 4.6.5 illustriamo quello che si chiama effetto Meissner e riguarda l’espulsione
delle linee di campo dal materiale divenuto superconduttore; in questo caso si ha una
sorta di diamagnetismo perfetto.
ΔBesterno
I
Campo
magnetico
indotto
I
Diamagnetismo perfetto
Fig. 4.6.5. Effetto di transizione allo stato superconduttivo e “espulsione” delle
linee di campo magnetico.
154
Discuteremo brevemente, nel Capitolo
superconduttività a problemi di natura medica.
conclusivo,
l’applicazione
della
7. Considerazioni conclusive Nei paragrafi precedenti abbiamo assunto che l’unico campo agente sui dipoli
all’interno di un materiale dielettrico fosse quello applicato esternamente. La cosa è
certamente vera su una scala macroscopica, ma risulta poco credibile in vicinanza dei
dipoli elementari perchè gli atomi sono immersi in una pletora di campi associati alla
complessità delle interazioni che avvengono in vicinità degli atomi stessi.
Discuteremo ora un semplice argomento che ci permette di includere l’effetto del
campo “locale”, definito come la somma del campo esterno più quello dovuto alla
materia, ovvero
r
r
r
Eloc = Eex + E M
(7.1)
Il parametro microscopico che lega il vettore di polarizzazione al campo locale è la
polarizzazibilità elettrica α e infatti scriveremo
r
r
P = n α Eloc
(7.2)
La derivazione di un’espressione per il campo locale permette di stabilire una
relazione tra la costante microscopica α e quelle macroscopiche quali la costante
dielettrica.
r
Il ragionamento che seguiremo per il calcolo di Eloc fu originariamente suggerito da
Lorentz e fa riferimento alla Figura 4.7.1.
+
+
+
-
+
+
+
-
+
+
+
+
+
+
+
+
Eloc
Eprossimo
EL
Ep
Fig. 4.7.1 Calcolo del Campo Locale.
+
+
+
+
+
+
+
-
Eex
155
L’idea è quella di dividere il materiale attorno ad un dipolo in due parti: quello di una
regione sferica comprendente qualche decina di raggi atomici e quella al di fuori. Se
pensiamo di enucleare questa regione dall’interno del mezzo il campo esterno, dovuto
all’effetto della polarizzazione circostante, sarà equivalente al campo locale. Il dipolo
all’interno di un reticolo cubico isotropo è nullo. Il campo di polarizzazione esterno
induce una densità di carica sulla superficie della sfera, data da P cos(θ ) dove θ è
l’angolo tra la direzione del campo e la superficie della sfera (si veda la Fig. 4.7.2). Il
campo elettrico all’interno della sfera dovuto alle cariche di polarizzazione è
r
P
r
EM =
(7.3)
3ε 0
q = P cos(θ )
P
θ
Fig. 4.7.2 Effetto della polarizzazione elettrica sulla superficie della regione
sferica di Lorentz.
Il campo locale agente sul dipolo è dunque
r
r
r
P
Eloc = E ex +
3ε 0
(7.4)
Siamo a questo punto in grado di ottenere un risultato molto importante, noto come
relazione di Mossotti-Clausius, che riguarda il legame tra la polarizzabilità elettrica
del mezzo e la costante dielettrica.
Ricordiamo pertanto le due seguenti espressioni per il vettore di polarizzazione
r
r
P = n α Eloc ,
r
r
P = ε 0 (ε r − 1) E ex
(7.5)
La polarizzabilità α è il coefficiente che lega il vettore di polarizzazione al campo
elettrico locale, che è quello effettivamente sentito dai singoli dipoli; dalle relazioni
precedenti si ricava (perché?)
156
ε r − 1 nα
=
ε r + 2 3ε 0
(7.6)
che può essere inferita come semplice conseguenza (concettuale) delle considerazioni
svolte nel presente capitolo e nei precedenti.
Una domanda che sorge naturale è se esista un valore massimo del campo al di sopra
del quale il dielettrico si rompe.
Abbiamo citato solo alcuni tra i più comuni comportamenti della materia sotto
l’influenza dei campi elettrici o magnetici; la nostra analisi è stata estremamente
approssimativa e non abbiamo trattato questioni importanti come la risposta dei
materiali a campi non statici e abbiamo solo toccato la dipendenza dalla temperatura.
Torneremo su questi importanti aspetti nei prossimi paragrafi; in questo accenneremo
ad altre manifestazioni elettromagnetiche dei materiali, come ad esempio la
piezoelettricità o l’elettrostrizione.
pi
Σ i pi = 0
pi
Σ i pi
0
Fig. 4.7.3. Effetto di polarizzazione in materiale piezoelettrico indotto da una
deformazione della struttura cristallina.
In Fig. 4.7.3 abbiamo riportato la struttura cristallina di un materiale piezoelettrico
(come ad esempio l’ossido di silicio); in condizioni normali i dipoli esistenti sono tali
da annullarsi vicendevolmente. Quando il materiale subisce una deformazione la
situazione cambia e la condizione di equilibrio tra i dipoli non vale più. Il dipolo
macroscopico non è più nullo e il vettore spostamento dielettrico è interamente
determinato dal vettore di polarizzazione indotto. Il vettore di polarizzazione sarà a
sua volta proporzionale alla deformazione, cosicché si avrà
r Δl
P =
K
l
dove K è la costante piezoelettrica.
(7.7)
157
Con riferimento alla Figura 4.7.4 il lettore spieghi cosa succede quando un materiale
piezoelettrico viene sottoposto ad un campo esterno.
Insieme ai fenomeni piezoelettrici citiamo quelli relativi alla elettrostrizione, dovuti
sempre ad un effetto di polarizzazione indotta da deformazione. L’effetto,
caratteristico di tutti i materiali dielettrici, è significativamente inferiore a quello
piezoelettrico ed è dovuto alla presenza di domini elettrici, distribuiti in maniera
casuale. Quando al materiale viene applicato un campo i differenti lati dei domini si
caricano in maniera diversa, determinando una costrizione del materiale nella
direzione di applicazione del campo (e un allargamento nella direzione ortogonale). Il
lettore spieghi perché, contrariamente all’effetto piezoelettrico, la deformazione del
materiale è proporzionale al quadrato del campo.
Il lettore spieghi anche il fenomeno della piroelettricità che si manifesta in alcuni
materiali quando vengono scaldati uniformemente.
Piezoelettrico
I(t )
V(t )
V(t )
f(Hz )
f(Hz )
Fig. 4.7.4. Comportamento meccanico di un materiale piezoelettrico in presenza
di un segnale elettrico applicato.
Fenomenologie analoghe a quelle precedenti valgono anche per gli effetti magnetici
(piezomagnetismo, magnetostrizione…) ma non saranno ulteriormente discussi.
In questo capitolo le problematiche delle proprietà della materia sono state trattate in
modo estremamente qualitativo e parziale. Nel Capitolo VIII affronteremo ulteriori
aspetti delle problematiche qui solo accennate e vedremo come queste diventino uno
strumento prezioso per quanto concerne vari tipi di applicazioni diagnostiche.
159
CAPITOLO V
LE EQUAZIONI DI MAXWELL
1. Il dualismo elettricità e magnetismo Nel corso di queste lezioni abbiamo più volte fatto ricorso ad analogie tra la legge di
Ohm e altri fenomeni fisici quali la trasmissione del calore e la legge di Poisseuille.
Abbiamo infatti utilizzato la legge di Ohm come una sorta di paradigma, che
coinvolge i due concetti di flusso e di resistenza al flusso stesso.
Nei Capitoli precedenti non abbiamo avuto alcuna difficoltà ad introdurre i circuiti
elettrici e a studiarne le funzioni. Seguendo il paradigma prima citato, cercheremo di
capire se esista un analogo della legge di Ohm che coinvolge il campo magnetico e
come si possano definire strutture magnetiche assimilabili a circuiti.
Consideriamo pertanto quanto riportato in Fig. 5.1.1, dove si mostra un
avvolgimento di N spire intorno ad un materiale costituito da una sezione piena (core)
e da una parte in aria (gap). Dalla legge di Ampère si ricava
r r
NI = ∫ H ⋅ dl = H (l core + l gap )
(1.1).
Definiamo ora la seguente quantità
ℜα =
lα
μ Sα
α = core, gap
(1.2)
dove Sα rappresenta la sezione del materiale.
Da un punto di vista fisico la ℜ α rappresenta la cosiddetta riluttanza magnetica e
interpretando il termine a sinistra come una forza magnetomotiva (l’analogo della
forza elettromotrice), potremo riscrivere la (1.1) nella forma38
ℑ = ℜ Φ (B )
ℜ = ℜ core , ℜ gap (1.3).
38
Il termine forza magnetomotiva fu coniato da Hopkinsons e la (1.3) viene talvolta detta legge di
Hopkins.
160
con ℑ = N I . La riluttanza rappresenta, in questo contesto, la resistenza di quello che possiamo
considerare un circuito magnetico. L’equazione (1.3) contiene l’implicita
dimostrazione che le riluttanze si compongono in serie, allo stesso modo delle
resistenze elettriche (si veda la Fig. 5.1.1 dove l’analogia viene mostrata
esplicitamente).
I
Φ
N
V
Φ
μgap
I
Rcore
R1
F
lgap
Rgap
μcore
lcore
V
Φ=
R2
F
I=
Rcore +Rgap
V
R1 +R2
Fig. 5.1.1. Circuito magnetico e analogia con il circuito elettrico.
Una volta definito il criterio con cui stabilire l’analogia tra i circuiti elettrici e
magnetici, non è difficile immaginare un circuito con riluttanze in parallelo e
l’esistenza di leggi analoghe a quelle di Kirchhoff (Si veda la Tabella V e la Figura
5.1.2).
Tabella V
Leggi di Kirchoff per circuiti magnetici ed elettrici
Circuito Magnetico
Ni
=ℜ=
φ
l
μS
φ ∑ ℜ k = ∑ N mi m
k
m
Circuito Elettrico (DC)
Legge di Ohm:
I legge di Kirchoff :
i∑ R k = ∑V m
k
∑φ
k
k
=0
V
l
=R=
i
S ρ
m
II legge di Kirchoff :
∑i
k
k
=0
161
(a)
¾
(b)
Φ3
Φ2
i3
¾
Φ1
i
V
N
i2
i1
Φ1
Fig. 5.1.2. Circuito magnetico (a) e corrispondente circuito elettrico (b).
Dovremmo precisare ora che le analogie vanno sempre considerate “cum grano
salis”. Nel caso elettrico il flusso corrisponde ad un reale passaggio di corrente,
mentre nel caso magnetico si tratta solo del flusso delle linee di linee del campo,
senza che in questo processo vi sia un effettivo passaggio di materia.
Proviamo però a fidarci dell’analogia e chiediamoci a quale grandezza fisica
ℑ2
equivalga la quantità
, che nel caso elettrico rappresenta la potenza dissipata nel
ℜ
circuito. Ricordando la definizione prima data di forza magnetomotiva, avremo
ℑ2 N 2 I 2
=
ℜ
ℜ
(1.4)
Dalla definizione di riluttanza magnetica ricaviamo inoltre che
NA
N
=μ
ℜ
l
(1.5)
che è una quantità con le dimensioni di una induttanza39 (si veda il Cap. III par. 6).
2
Da un punto di vista dimensionale ℑ è dunque una energia.
ℜ
L’interpretazione della (1.5) come l’energia associata al campo indotto dalla bobina e
distribuito lungo tutto il circuito magnetico, richiede una derivazione meno
approssimativa.
39
Si noti che non abbiamo affermato che si tratta di una induttanza, ma di una quantità con le
dimensioni di una induttanza.
162
Invitiamo, pertanto, il lettore ad una più corretta derivazione in grado di supportare
l’interpretazione proposta.
(Suggerimento: Si confronti la (1.5) con la (6.2) del Capitolo III)
Nella Tabella VI abbiamo riportato un quadro riassuntivo delle possibili analogie che
si possono stabilire nel contesto degli argomenti trattati in questo paragrafo e teniamo
ancora a sottolineare che tutto il nostro ragionamento si fonda sulla equivalenza
(formale) tra il teorema della circuitazione elettrica e il teorema di Ampère e dunque
su una sorta di simmetria tra due leggi fondamentali della elettricità e del
magnetismo.
Nel prossimo paragrafo cercheremo di fornire, basandoci sempre sul principio di
simmetria, l’elemento che ci permetterà di guardare al complesso dei fenomeni fino
ad ora studiati come afferenti alla fenomenologia dei campi elettromagnetici piuttosto
che a quella dei campi elettrici e magnetici.
Tabella VI
Analogie tra circuiti magnetici ed elettrici
Circuito
Circuito
Simbolo
Unità
Magnetico
Elettrico (DC)
Intensità del
Intensità del
Ampere/metro
H
campo elettrico
campo magnetico
Simbolo
E
Flusso
φ
weber
Corrente
elettrica
i
Riluttanza
ℜ
Henry
Resistenza
elettrica
R
Induzione
Magnetica
B
Tesla
Densità di
corrente
J
Permeabilità
μ
Henry/metro
Conduttività
elettrica
σ
Relazione tra B e
H
Legge di
Hopkinson
r
r
B=μ H
Legge di Ohm
microscopica
r
r
J =σ E
ℑ=φ ℜ
Legge di Ohm
V =i R
Forza
magnetomotiva
r r
ℑ = ∫ H ⋅ dl
Forza
elettromotrice
r r
F = ∫ E ⋅ dl
Ampere-spira
163
2. Interludio matematico Nel corso di questo capitolo e di quelli precedenti abbiamo tentato di mantenere il
livello del formalismo matematico al minimo indispensabile, prima di procedere oltre
saremo, però, costretti ad una piccola deroga. Introdurremo un po’ di matematica,
meno elementare di quella adoperata fino ad ora, e chiariremo il significato di alcune
operazione matematiche che utilizzeremo nel seguito, ma che abbiamo sfiorato nel
Capitolo III a proposito della legge di Ampère.
La legge espressa in forma integrale si scrive nella forma
r r
H
∫ ⋅ dl = I ed esprime
quanto illustrato in Figura 5.2.1
(b)
(a)
I
r
H
Fig. 5.2.1. Illustrazione della legge di Ampére: campo magnetico prodotto da una
corrente rettilinea a distanza r.
La corrente che attraversa il filo è a sua volta specificata dal vettore densità di
r r
r
corrente tramite la relazione I = J ⋅ S , dove S è una superficie orientata, che
associamo alla sezione del filo (in figura la sezione è ortogonale alla direzione della
corrente, in generale l’orientamento relativo è arbitrario).
Da un punto di vista strettamente matematico potremmo interpretare le cose in
r
maniera differente e, visto che J può essere considerato come una distribuzione,
potremmo definire la densità di corrente come mostrato in Figura 4, ovvero diversa
da zero solo sulla superficie del filo, e zero altrove. In tal modo la corrente può essere
r r
J
definita tramite l’integrale ∫ ⋅ dS esteso alla superficie sul cui contorno calcoliamo
Σ
il campo magnetico.
164
La domanda che ora ci poniamo è come si possano legare i vettori campo magnetico
e densità di corrente, notando che, se un legame esiste, esso deve essere indipendente
dalla superficie di integrazione, dal momento che si suppone che esso continui a
valere anche se assumiamo nulla la sezione del filo.
Da un punto di vista matematico potremo esprimere tale osservazione come
r
r
H
⋅
d
l
r r
∫
J ⋅ n = lim
(2.1)
ΔS → 0
ΔS
Consideriamo, per semplicità, una superficie, racchiusa da un rettangolo, ortogonale
al filo percorso da corrente e calcoliamo l’integrale lungo le linee di contorno. Da un
punto di vista pittorico, rappresentiamo la struttura vettoriale associata a tale campo
come riportato in fig. 5.2.2.
z
P = (0 , y 0 , z 0)
Hy
Δz
3
P
ΔS = Δy Δz
Hz
4
2
Jx
1
Hy
x
Hz
L
Δy
y
H dl = Iincluso = Jx ΔS
Fig. 5.2.2. Relazione tra campo magnetico e densità di corrente. Ci aspettiamo che il vettore densità di corrente sia diretto lungo la direzione x.
Facendo riferimento al punto centrale indicato con P ≡ (0, y 0 , z 0 ) e considerando una
superficie molto piccola avremo che il campo potrà essere approssimato come
H y ( z ) ≅ H y0 +
∂H y
( z − z 0 ),
∂z
∂H z
H z ( y ) ≅ H z0 +
( y − y0)
∂y
(2.2)
165
L’integrale verrà calcolato lungo i quattro segmenti dove si ha
∂H y Δ z
,
∂z 2
∂H z Δ y
H z (Δ y ) ≅ H z0 +
,
∂y 2
∂H y Δ z
H y (Δ z ) ≅ H y0 +
,
∂z 2
H y ( 0) ≅
H z ( 0) ≅
H y0 −
H z0 −
(1)
( 2)
(2.3)
(3)
∂H z Δ y
,
∂y 2
( 4)
cosicché eseguendo esplicitamente il calcolo si ottiene
r r
r r
r r
r r
r r
⋅
=
⋅
+
⋅
+
⋅
+
H
d
l
H
d
l
H
d
l
H
d
l
H
∫
∫
∫
∫
∫ ⋅ dl =
1
2
3
⎛ ∂ Hz ∂ Hy ⎞
⎟⎟ Δ y Δ z
= ⎜⎜
−
∂
∂
y
z
⎝
⎠
4
(2.4)
ovvero
r r ⎛ ∂ Hz ∂ Hy
H
∫ ⋅ d l = ⎜⎜⎝ ∂ y − ∂ z
⎞
⎟⎟ Δ S
⎠
(2.5).
In conclusione abbiamo dimostrato che
Jx =
∂ Hz ∂ Hy
−
∂y
∂z
(2.6)
Qualora avessimo fatto le cose senza limitarci al caso bidimensionale avremmo
scoperto che
∂ Hz ∂ Hy
−
,
∂y
∂z
∂ Hx ∂ Hz
Jy =
−
,
∂z
∂x
∂ Hy ∂ Hx
Jz =
−
∂x
∂y
Jx =
(2.7)
166
In termini più sintetici la relazione precedente può essere scritta nella forma
r r r
∇×H = J
(2.8)
Dove abbiamo introdotto il seguente “vettore”
r ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞
⎟⎟
∇ ≡ ⎜⎜
,
,
⎝∂x ∂ y ∂z⎠
(2.9)
detto operatore “del” la cui azione su un generico vettore (o meglio campo vettoriale)
va interpretata come una sorta di prodotto vettoriale, ovvero
r r ⎛ ∂ Ez ∂ E y
∇ × E = ⎜⎜
−
y
∂
∂z
⎝
⎞ r ⎛ ∂ Ex ∂ Ez
⎟⎟ i + ⎜⎜
−
z
∂
∂z
⎝
⎠
⎞ r ⎛ ∂ E y ∂ Ex
⎟⎟ j + ⎜⎜
−
x
∂
∂y
⎠
⎝
⎞r
⎟⎟ k
⎠
(2.10 a)
o in forma di prodotto vettoriale come
r
i
r r
∂
∇× E =
∂x
Ex
r
k
∂
∂z
Ez
r
j
∂
∂y
Ey
(2.10 b)
r
r r r
i
,
j
,
k
∇
con
versori degli assi fondamentali. L’operatore × viene detto “rotore” , di
cui si fornisce una rappresentazione “visiva” nella Fig. 5.2.3
H ( x, y, z ) = Hx ( x, y ) i + Hy ( x, y ) j
y
i
j
∂
∂
∇xH=
∂x ∂y
Hx Hy
x
H
J
k
∂Hy ∂Hx
∂
=
k =J
∂x
∂y
∂z
0
y
x
z
Fig. 5.2.3 Significato “Geometrico”e Fisico dell’operatore rotore.
167
Sebbene la (2.10) sia una sorta di abuso di notazione essa è estremamente utile per lo
sviluppo di quanto segue.
In conclusione è opportuno notare che vale anche la seguente uguaglianza
r r r
r r
∫∇×F ⋅d S = ∫ F ⋅d l
(2.11).
Σ
nota come teorema di Stokes o teorema del rotore.
La quale stabilisce (si veda la Figura 5.2.4) che il flusso del rotore di un campo
vettoriale è pari all’integrale di linea del campo stesso lungo il contorno della
superficie stessa
Contorno della
superficie S
S
n
superficie
aperta S
Fig. 5.2.4. Geometria del teorema di Stokes.
Non dimostreremo il teorema precedente, ma il lettore potrà darne una giustificazione
utilizzando un ragionamento analogo a quello che ha portato all’eq. (2.8).
3. La corrente di spostamento Introdurremo ora un concetto di natura fondamentale, cominciando con una sorta di
paradosso.
Consideriamo un condensatore sotto carica e assumiamo che esso sia costituito da
superfici piane circolari di raggio R, affacciate ad una distanza d. In base a quello che
sappiamo il campo elettrico nel condensatore è dato da
E=
Q
σ
=
ε 0 ε 0π R 2
e la sua variazione è legata alla corrente di carica tramite la relazione
(3.1)
168
d
I
E=
dt
ε 0π R 2
(3.2)
La corrente che afferisce alle armature indurrà a sua volta un campo magnetico, che
può essere visualizzato facendo ricorso alla Figura 5.3.1. La corrente di conduzione I
fluisce lungo i bracci esterni delle armature, in cui abbiamo evidenziato due superfici,
una esterna e l’altra interna alle armature. Applicando il teorema di Ampère alla
superficie che circonda il ramo uscente dall’armatura sinistra, avremo
H=
I
(3.3). 2π R
Poiché non fluisce alcuna corrente all’interno del condensatore dovremmo concludere
che il campo magnetico sia nullo, mentre, per consistenza ci saremmo aspettati che
fosse lo stesso di quello che attraversa la superficie esterna.
I
I
ID
H
Fig. 5.3.1. Corrente entrante ed uscente tra le armature di un condensatore.
Il punto è ora risolvere il paradosso che diventa più stringente se si considera la
superficie a “sacco” di Fig. 5.3.2.
S2
Contorno
I
S
Q
S1
-Q
I
Armature del
condensatore
Fig. 5.3.2. Cammino di integrazione a sacco tra braccio e armature di un
condensatore.
169
La legge di Ampère è indipendente dalla forma della superficie scelta, purché la
corrente fluisca lungo un cammino continuo ed ininterrotto.
Nel nostro caso la corrente fluisce attraverso i bracci delle armature durante il
processo di carica del capacitore. Tale corrente genera un campo magnetico e, se
siamo sufficientemente lontani dal capacitore, il campo è sufficientemente simile a
quello generato da un filo infinito attraversato da corrente.
La corrente intercettata dipende dalla superficie scelta, e quella all’interno delle
armature non intercetta alcuna corrente!!!
L’uso del teorema di Ampére lungo la superficie interna è dunque dubbio, poiché non
esiste alcuna corrente, o meglio non esiste un mero trasporto di cariche, ovvero un
flusso di corrente. Abbiamo però visto che tra le armature esiste un campo elettrico,
possiamo pertanto affermare che, sebbene la superficie interna non intercetti corrente,
essa intercetta un flusso di campo elettrico dato da
r
Q
Φ( E ) =
ε0
(3.4)
Legato alla corrente che afferisce alle armature dalla relazione
r
∂
I
Φ( E ) =
ε0
∂t
(3.5)
A questo punto proviamo a farci tornare le cose asserendo che il campo magnetico
all’interno della spira è legato alla variazione del flusso secondo la relazione
r
∂
2 π r H = ε 0 S Φ( E )
∂t
(3.6)
Non vi è dubbio che la relazione precedente faccia tornare le cose, ma per il momento
si tratta solo di una affermazione priva di qualsiasi giustificazione.
Nel Capitolo introduttivo alla terza parte di queste lezioni abbiamo fatto notare che il
vettore spostamento dielettrico
r
r
D = ε0E
(3.7)
ha le dimensioni di una densità di carica. E’ pertanto evidente che la seguente
quantità
r
∂ r
JD = D
∂t
(3.8)
170
rappresenta, almeno da un punto di vista dimensionale, una densità di corrente.
Dimostreremo nel seguito che la (3.7) non è soltanto una definizione formale e che
nasconde qualcosa di estremamente sostanziale.
L’uso del formalismo precedente permette di riscrivere la legge Faraday Neumann
Lenz e la legge di Ampère in assenza di cariche e di correnti, come
r r
∂ r
∇ × E = −μ 0 H ,
∂t
r r
∇× H =0
(3.9)
Tra le due equazioni esiste una evidente mancanza di simmetria, che potremmo
eliminare facendo la “semplice” ipotesi, per il momento arbitraria, che la seconda
delle (3.9) vada in realtà scritta come
r r
∂ r r
∇ × H = ε0
E = JD
∂t
(3.10)
Ricordando che da un punto di vista dimensionale l’ operatore rotore è l’inverso di
una lunghezza, possiamo anche inferire che il prodotto delle costanti dielettrica e
magnetica del vuoto hanno le dimensioni del quadrato dell’inverso di una velocità,
−2
ovvero [ε 0 μ 0 ] = v . Stabilito quanto sopra, inserendo i fattori numerici, troviamo
[ ]
che
c=
1
ε 0 μ0
(3.11)
dove c è la velocità della luce nel vuoto.
A questo punto possiamo conciliare il “trucco” che ci ha permesso di risolvere il
paradosso, con quanto discusso ora. Il campo magnetico all’interno del condensatore
può essere calcolato come
r
r
r
∂
H
d
l
ε
Φ
(
E
)
⋅
=
0
∫c
∂t
(3.12)
e dunque
r r
∫ H ⋅ d l = ID
(3.13)
c
Dove I D è la corrente di spostamento definita come
ID = ε0
r
∂
Φ( E )
∂t
(3.14)
171
In base a quanto appreso nel paragrafo precedente, possiamo riscrivere l’eq. (3.13)
come
r r r
∇× H = JD
(3.15)
che è appunto la nostra ipotesi di partenza. Nel caso più generale la superficie
potrebbe incontrare sia corrente di conduzione che corrente di spostamento cosicché
la relazione precedente potrebbe essere scritta come
r
r
r
∂
H
⋅
d
l
=
I
+
Φ
E
ε
(
) = Ic + ID
c
0
∫c
∂t
r r r
r
∇ × H = Jc + JD
(3.16)
Dove gli indici C e D stanno ad indicare conduzione e spostamento (displacement).
La definizione (3.6) risolve il paradosso con cui abbiamo aperto il presente paragrafo.
Se utilizziamo la parte piana della superficie a sacco dovremo assumere E = 0, I C = I ,
se invece consideriamo la superficie a curva avremo I C = 0 ,
r
∂
I
Φ( E ) = .
∂t
ε0
Cercheremo, nei prossimi paragrafi, di stabilire meglio il significato della corrente di
spostamento come entità fisica, discutendo alcuni esempi che ne chiariscano la
natura ed il ruolo.
4. Alcuni esempi specifici Abbiamo introdotto il concetto di corrente di spostamento anche se non esiste alcuno
spostamento di cariche tra le armature del condensatore in cui c’è solo il vuoto e
nessun dielettrico La densità di corrente di spostamento può essere scritta come
r
∂ r
JD ≡ ε0
E
∂t
(4.1)
Il nome, dovuto allo stesso Maxwell, potrebbe essere sorgente di confusione, dal
momento che la derivata di un campo elettrico ha poco a che fare con una corrente
che secondo quanto abbiamo imparato corrisponde ad un trasferimento di cariche.
L’idea dietro tale definizione nasceva dal fatto che Maxwell era convinto che il vuoto
fosse solo il caso particolare di un mezzo dielettrico e che una sorta di meccanismo di
polarizzazione fosse responsabile di tale corrente. Oggi sappiamo che le cose non
stanno così, però i nomi restano e noi continueremo a riferirci alla corrente di
spostamento.
172
Alcuni materiali non sono né buoni conduttori né buoni dielettrici, in tale materiale
possono pertanto coesistere sia la corrente di conduzione che quella di spostamento.
Un esempio di tale coesistenza può essere quello di un materiale caratterizzato da una
certa conduttività σ e da una certa costante dielettrica εr , se il materiale viene
penetrato da un campo elettrico dipendente dal tempo (si ricordi che abbiamo assunto
trattarsi di un cattivo isolante) avremo
r r
r
r
∂ r
J = J C + J D = σ E + ε rε 0
E
∂t
(4.2)
Da cui risulta che il contributo di corrente di spostamento diventa maggiore quanto
più alta è la variazione del campo.
I quesiti che seguono possono essere utili per chiarire il concetto di corrente di
spostamento e il lettore dovrà ponderarli con grande attenzione.
In un materiale con una conducibilità σ = 5 S / m e ε r = 1 l’intensità del campo
elettrico è E = E0 sin(ω t ), E0 = 250 V / m trovare le correnti di conduzione e di
spostamento e per quale valore della frequenza sono uguali
( R. ν ≅ 89 .9 GHz )
Si dimostri che la corrente di spostamento nel dielettrico di un condensatore
piano-parallelo è uguale alla corrente di conduzione nei terminali
Si ricordi che la capacità di un condensatore piano è C = ε r ε 0
Q = ε rε 0
A
da cui segue
d
A
A d
V ⇒ I = ε rε 0
V
d
d dt
Dal calcolo del flusso del campo elettrico segue invece che
r
V
A d
Φ(E ) = ε rε 0 A ⇒ I = ε rε 0
V
d
d dt
Si consideri un condensatore a facce circolari parallele di area A e separate da
una distanza d . Lungo l’asse del condensatore è posta una spira di lunghezza d e
resistenza R che collega i due piatti. Assumendo che i terminali siano collegati ad
un generatore di forza elettromotrice alternata V = V0 sin(ω t ) , si risponda alle
seguenti domande
173
a) Quale è la corrente che fluisce nella spira?
b) Quale è la corrente di spostamento nel condensatore?
c) Quale è la corrente che arriva ai terminali esterni del condensatore?
d) Quale è il campo magnetico all’interno del condensatore ad una distanza r
(minore del raggio dei piatti) dall’asse?
Schematizziamo il circuito come mostrato in Fig. 5.4.1, ovvero un circuito RC in
parallelo,
IR
Vingresso
R
Ic
C
Vuscita
Fig. 5.4.1.
La corrente che fluisce attraverso il resistore è
IR =
V0
sin(ω t )
R
il campo elettrico tra le armature del condensatore è legato alla fem dalla relazione
V0
sin (ω t )
d
e pertanto il relativo flusso può essere scritto come
E (t ) =
Φ (t ) = A
V0
sin (ω t )
d
La corrente di spostamento è semplicemente data da
I D (t ) = ε 0 A
V0 ω
cos(ω t )
d
La carica elettrica sulle armature è
Q(t ) = CV (t ) ,
A
C = ε0
d
174
e la sua derivata temporale, che fornisce la corrente di carica, risulta essere
V0 ω
cos(ω t ) = I D .
d
La corrente totale è pertanto I = I C + I D .
IC = ε 0 A
Il campo magnetico, esteso alla regione indicata in Figura 5.4.2, viene, infine, fornito
da
I0
[sin(ω t ) + C Rω cos(ω t )] ,
2π r
H (t ) =
I0 =
V0
R
r
Fig. 5.4.2
Consideriamo ora un condensatore a facce parallele collegato ad una fem esterna, di
modo tale che il campo elettrico all’interno delle armature vari temporalmente come
E (t ) =
V0
sin (ω t )
d
r
Si dimostri che il modulo del vettore B lungo il contorno di una superficie circolare
di raggio r , parallela alle armature del capacitore, è
B(t ) = μ0 ε 0 r ω
V0
cos(ω t )
d
che è evidentemente dipendente dal tempo. Si dimostri che in base alla legge di
induzione tale dipendenza temporale sarà responsabile di un campo elettrico indotto,
di modo tale che il campo elettrico totale è dato da
V
ET (t ) = E (t ) + Eind (t ) = 0
d
⎡ μ0 ε 0 (r ω )2 ⎤
⎢1 −
⎥ sin (ω t )
4
⎣
⎦
175
Il risultato testé ottenuto permette di concludere che il campo elettrico è nullo a
R=
2
ω μ0 ε 0
=
2c
ω
ciò significa che il campo elettrico è confinato all’interno di un cilindro di raggio R.
ET max (r)
V0 /d
V0 sin(ω t )
d
R
r
Fig. 5.4.3. Cavità oscillante; ampiezza del campo elettrico in funzione di r.
Tale cilindro può essere dunque considerato come una cavità in cui è presente un
campo stazionario con una lunghezza d’onda pari a λ = π R ; una cavità cilindrica con
un raggio di 0.5 m, sarebbe dunque compatibile con un campo elettrico oscillante ad
una frequenza di circa 1.2 GHz. Chiariremo nel seguito che si tratta di radiazione
elettromagnetica analoga a quella con cui operano i forni a microonde.
5. Le Equazioni di Maxwell Sarebbe opportuno ora capire la reale portata dei risultati prima ottenuti.
Tutti i discorsi fatti, in questo e nei capitoli precedenti, ci portano a concludere come
il complesso dei fenomeni elettrici e magnetici possa essere descritto tramite le
seguenti equazioni (nel vuoto)
() ε
r
Φ (B ) = 0
r
Q
ΦE =
Teorema di Gauss
0
Assenza di cariche magnetiche
()
r r
r
d
⋅
=
−
Φ
E
d
l
B
∫
dt
r
r
r
d
⋅
=
+
Φ
D
H
d
l
I
∫
dt
( )
Legge di Faraday Neumann Lenz
(5.1)
176
le cui manipolazioni matematiche permettono di ottenere una descrizione completa
per quanto attiene ad interazioni tra cariche, correnti e campi.
Acquisiremo ora ulteriori strumenti matematici che ci permetteranno di eseguire
alcune elaborazioni matematiche, utili per meglio comprendere il significato fisico
delle equazioni precedenti.
r
Abbiamo, in precedenza, imparato ad utilizzare l’operatore vettoriale ∇ , come se
fosse un ordinario vettore, per cui possiamo ad esempio definire una operazione del
tipo
r r
∇ ⋅ a = ∂ x ax + ∂ y a y + ∂ z az
(5.2)
r
detta divergenza del vettore a che rappresenta una sorta di prodotto scalare tra il
r
r
vettore ∇ e un generico vettore a funzione delle coordinate. Il significato
geometrico di tale operazione viene riportato in Fig. 5.5.1.
v ( x, y, z ) = x i + y j + z k
v ( x, y, z ) = c k
z
z
v ( x, y, z ) = -x i - y j - z k
z
x
x
x
y
y
y
sorgente
∇ v=3
pozzo
∇ v=0
∇ v =-3
Fig. 5.5.1 Interpretazione Geometrica dell’operatore divergenza.
r
Il modulo quadro del vettore ∇ può essere ricavato da
r
r r
∇ 2 = ∇ ⋅ ∇ = ∂ x2 + ∂ y2 + ∂ z2
(5.3)
e viene pertanto immediatamente riconosciuto come l’operatore di Laplace o il
Laplaciano.
Il “prodotto”
r
∇f = ∂ x f , ∂ y f , ∂ z f
(5.4)
(
)
viene detto gradiente e associa alla funzione scalare f un campo vettoriale e si veda
la Fig. 5.5.2
177
Fig. 5.5.2. Campo scalare (curve di livello) e corrispondente gradiente
(curve tratteggiate).
Infine l’utilizzo di identità vettoriali, discusse nella prima parte delle lezioni, del tipo
r r r
r r r r r r
a × (b × c ) = ( a ⋅ c ) b − ( a ⋅ b ) c
permettono di definire la seguente operazione
r r r r r r r r
∇ × (∇ × a ) = ∇(∇ ⋅ a ) − ∇ 2 a
(5.5)
Per un campo a divergenza nulla si avrà
r r r
r2r
∇ × (∇ × b ) = −∇ b
r
r
Il lettore spieghi perché ∇ × (∇f ) = 0 e ne dia una giustificazione analitica e
geometrica.
Siamo a questo punto in grado di “visualizzare” il complesso di equazioni riportate
nella (5.1) riscrivendole in forma vettoriale (limitiamoci per il momento al caso del
vuoto, ovvero eliminiamo le complicazioni associate alla definizione dei campi
all’interno della materia)
r r ρ
∇⋅E = ,
ε0
r r
∇ ⋅ B = 0,
r r
r
∇ × E = −μ 0 ∂ t H ,
r r r
v
∇ × H = J + ε 0∂ t E
(5.6)
178
Queste equazioni (così come le (5.1) sono le equazioni di Maxwell e in un certo
senso il punto di arrivo di questa terza parte delle lezioni.
6. Le equazioni di Maxwell e la propagazione dei campi Le equazioni (5.2) sono anche il punto di partenza di un diverso modo di concepire i
campi elettrici e magnetici e le loro possibili interazioni. Applichiamo
infatti quello
r
che abbiamo imparato sulla manipolazione matematica del vettore ∇ e consideriamo
r
cosa succede ai campi in assenza di cariche e di correnti ponendo ρ = 0, J = 0 nelle
equazioni (5.2).
Operiamo
sulla terza equazione, applicando ad ambo i lati dell’eq. (6.1) l’operatore
r
∇ × , in modo da avere
r
r r
r r
∇ × (∇ × E ) = − μ 0 ∂ t (∇ × H )
(6.1)
in virtù della equazione (5.4), del fatto che il campo elettrico è, in assenza di cariche,
r r
r
a divergenza nulla e grazie al fatto che ∇ × H = ε 0 ∂ t E , possiamo scrivere l’eq. (6.1)
nella forma
r r 1 r
∇ 2 E − 2 ∂ t2 E = 0
c
(6.2a)
per la cui derivazione abbiamo utilizzato la relazione (3.5).
Il lettore può seguire lo stesso procedimento per dimostrare che il campo magnetico
soddisfa ad una analoga relazione, ovvero
r r 1
r
∇ 2 H − 2 ∂ t2 H = 0
c
(6.2b).
Le equazioni che abbiamo appena derivate sono molto simili a quelle ottenute nel
caso della propagazione delle onde sonore40. Esse rappresentano infatti l’equazione di
propagazione dei campi ad una velocità specifica che è proprio quella della luce.
Poiché ad ogni variazione di campo elettrico corrisponde una variazione di campo
elettrico, potremo considerare un unico campo ovvero quello elettromagnetico e
visualizzare la relativa propagazione nel vuoto come in Fig. 5.6.1, dove appaiono due
onde mutuamente ortogonali caratterizzate da una certa lunghezza d’onda e da una
certa ampiezza.
40
Esiste però una differenza sostanziale tra onde elettromagnetiche e acustiche, le prime sono
trasversali, le seconde longitudinali.
179
y
L'onda elettromagnetica trasporta l'energia del campo
elettrico e del campo magnetico nello spazio vuoto
x
λ
Variazione sinusoidale del campo
elettrico e del campo magnetico
Campo elettrico e campo
magnetico sono
mutuamente ortogonali
Campo magnetico
Campo elettrico
z
Fig. 5.6.1 Onda elettromagnetica monocromatica
Nella prima parte di queste lezioni ci siamo interessati delle propagazioni del suono
ed abbiamo stabilito che l’onda associata è di tipo longitudinale e che trasporta la
cosiddetta intensità acustica, ovvero la potenza sonora per unità di superficie. Sulla
base di ciò è naturale chiedersi
a) Quale è la natura delle onde elettromagnetiche
b) Cosa trasportano
Ci limiteremo per il momento al caso di propagazione nel vuoto, in assenza di cariche
e di correnti.
Il fatto che i campi siano ortogonali e si propaghino entrambi nella stessa direzione
suggerisce che le onde in questione siano, contrariamente a quanto avviene per il caso
del suono, onde trasversali. I vettori elettrici e magnetici oscillano infatti nella
direzione ortogonale a quella di propagazione.
Cerchiamo ora di capire che tipo di “informazione” fisica sia trasportata dall’onda
elettromagnetica nella direzione di moto. Costruiamo, pertanto, il seguente vettore
r r r
S = E×H
(6.3)
che, essendo ortogonale ad entrambi i campi, è orientato lungo l’asse di
propagazione.
Per comprenderne il significato fisico utilizzeremo un'analisi di tipo dimensionale,
r
notando che, avendo il vettore H le dimensioni di una densità lineare di corrente,
180
ovvero
[H ] = ⎡⎢ Q
⎤
⎥
⎣T L ⎦
(6.4)
ed essendo il prodotto del campo elettrico per una carica pari ad una forza, avremo
anche che
F ⎤
⎥
⎣T L ⎦
[E H ] = ⎡⎢
(6.5).
Ricordando infine che il prodotto di una forza per una lunghezza è un lavoro,
r
possiamo finalmente concludere che le dimensioni del vettore S sono
⎡
⎤
[S ] = ⎢ F L2 ⎥ = ⎡⎢ P ⎤⎥
⎣T L ⎦
⎣ A⎦
(6.6)
ovvero quelle di una intensità o potenza per unità di superficie.
r
S
Il vettore , detto vettore di Poynting, rappresenta dunque una densità di potenza
che si propaga nella stessa direzione dell’onda.
Cerchiamo ora di capire a quale forma di energia sia legata tale intensità. Sfrutteremo
ulteriormente l’ analisi dimensionale per ottenere altre informazioni, che pur essendo
di natura qualitativa, servono a fornire un’idea di come concetti di natura differente
possano essere combinati per ottenere un quadro unitario della fenomenologia in
questione.
Utilizzando di nuovo un ragionamento basato sulle dimensioni fisiche notiamo che,
dalle legge di Ohm segue che la quantità definita come segue
⎡E2 ⎤
[Π ] = ⎢ ⎥
⎣ Z0 ⎦
(6.7)
con E campo elettrico e Z0 una resistenza, è, almeno da un punto di vista
dimensionale, una intensità.
Confrontando la (6.5) con la (6.7) otteniamo che
[Z 0 ] = ⎡⎢ E ⎤⎥ = μ 0 ⎡⎢ E ⎤⎥
⎣H ⎦
⎣B⎦
Sappiamo inoltre che il campo elettrico e magnetico sono legati da
(6.8)
181
r r r
E =v×B
r
ed essendo v = c =
1
ε 0 μ0
, otteniamo dalla precedente relazione che Z0, detta
impedenza del vuoto, è esprimibile in termini delle costanti dielettrica e magnetica
come
Z0 =
μ0
1
=
= μ0c
ε 0 ε 0c
(6.9).
Il lettore può provare per proprio conto che la (6.9) ha effettivamente le dimensioni di
una resistenza e che il suo valore numerico è dato da
Z 0 ≅ 376.7 Ω
(6.10).
Utilizzando nuovamente il legame tra campo elettrico e magnetico possiamo anche
scrivere
r2
E
r2
c2 r
S =
=
H
Z0
Z0
2
=
c2
Z 0 μ 02
r2
B
(6.11).
Scriviamo infine
r 2 c2
r2 1 r2
S = (ε 0 E +
B )
μ0
2
(6.12a)
che può anche essere riscritta come
r2
r2
S = c 2ε 0 E
(6.12b).
Ricordando che il termine in parentesi tonda a destra della (6.12a) è l’energia
elettromagnetica per unità di volume, possiamo concludere che il vettore di Poynting
rappresenta la densità di energia trasportata dall’onda per unità di tempo, attraverso
una certa superficie.
Continuando a sfruttare l’analogia con il caso sonoro e ricordando che, da un punto di
vista dimensionale, il rapporto tra una intensità e una velocità è una pressione
potremmo azzardare la conclusione che la quantità
Pr =
r
S
(6.13)
c
sia la pressione associata alla radiazione, concetto su cui torneremo nel seguito.
182
Nella derivazione dell’eq. (6.12) abbiamo implicitamente utilizzato il fatto che il
contributo elettrico e magnetico alla densità (volumetrica) di energia dell’onda è lo
stesso, sicché la densità di energia trasportata dall’onda può scriversi come
ℑ=
r2 1 r2
r2
1
1 r2
(ε 0 E +
B ) = ε0 E =
B
2
μ0
μ0
(6.14)
Prima di procedere oltre cercheremo di far emergere il concetto di vettore di Poynting
da un ragionamento ancora più elementare di quello utilizzato fino ad ora.
Consideriamo dunque una superficie di un metro quadro e ci poniamo la domanda di
quale sia la potenza che fluisce attraverso tale superficie. Nella Fig. 13 abbiamo
riportato un parallelepipedo di superficie trasversale A e lato longitudinale c t che è la
lunghezza percorsa dalla radiazione in un tempo t. L’energia totale contenuta nella
scatola è
E = ε 0 E (c B ) A c t = ε 0 c 2 E B t = A
EB
t
μ0
In conclusione la relazione precedente ci dice che l’energia che fluisce attraverso la
nostra scatola per unità di superficie e di tempo è proprio
EB
E
=
μ0
At
che è proprio il vettore di Poynting.
Rimane ora da chiarire come specificare la lunghezza d’onda e la frequenza di
oscillazione associata all’onda.
In base a quanto imparato a proposito della propagazione delle onde nella prima parte
delle lezioni potremo scrivere che il legame tra la frequenza e la lunghezza d’onda
associata all’onda elettromagnetica è
λν = c
(6.15)
Pertanto nel caso di un’onda puramente sinusoidale scriveremo
r r
E = E 0 sin(k z − ω t ),
r
r
H = H 0 sin( k z − ω t ),
k=
2π
λ
,ω =
2π c
(6.16).
λ
Quando ci si riferisce a questo tipo di onde si dice che si ha a che fare con un’onda
piana, caratterizzata, nel piano trasverso da una superficie (piana) infinita
183
propagantesi nella direzione longitudinale (Fig. 5.6.2). Da un punto di vista spaziale
le onde piane non hanno né un inizio né una fine e sono, pertanto, una utile
astrazione.
Fronte d’onda
Onda piana
Fig. 5.6.2. Fronte d’onda associato ad un’onda piana.
Vediamo ora come si possano determinare intensità , ovvero la potenza per unità di
superficie, trasportata dall’onda mostrata in Fig. 5.6.2.
Dalla equazione (6.16) segue che
r E 02
S =
sin(ϕ ) 2 ,
μ0
(6.17a)
φ = k z −ωt
e il valor medio calcolato rispetto alla fase è (si veda la Fig. 5.6.3)
r
E 02
S =
2 μ0
(6.17b)
Nel caso di un’onda che trasporti un campo elettrico di intensità pari a 100 V/m,
otterremo una intensità di circa 13
W
nell’ipotesi un’onda del genere incidesse sul
m2
corpo umano non ci sarebbe alcuna conseguenza significativa (si ricordi che il corpo
umano irraggia una intensità pari a circa 57
trasporti un campo elettrico 10 4
V
.
m
W
). Ben diverso è il caso di un’onda che
m2
sin( φ )
184
1.0
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-10
-5
0
5
10
φ
Fig. 5.6.3. Vettore di Poynting in funzione della fase; la linea tratteggiata
rappresenta il valore medio.
In questo paragrafo abbiamo dato, sebbene in un contesto molto idealizzato, una idea
delle conseguenze che si possono trarre dalle equazioni di Maxwell e come certi
concetti quali il vettore di Poynting portino a comprendere come il campo
elettromagnetico trasporti con sé una energia, una pressione di radiazione e altro
come vedremo nel seguito. La trattazione proposta parte da campi che esistono ma
non abbiamo specificato come siano prodotti.
Nel prossimo Capitolo tratteremo aspetti meno “idealizzati” partendo dal quesito cosa
determina un campo elettromagnetico.
186
CAPITOLO VI
EMISSIONE DA CARICHE IN MOTO, INTERAZIONE RADIAZIONE
MATERIA
1. Cariche in moto e Campi Nel precedente capitolo abbiamo potuto apprezzare, sebbene in un contesto molto
idealizzato, come dalle equazioni di Maxwell si dipani tutta una nuova
fenomenologia in cui concetti, quali il vettore di Poynting, giocano un ruolo
fondamentale. Le considerazioni fino ad ora svolte sono relative alla propagazione
delle onde piane che, come abbiamo già detto, rappresentano una sorta di astrazione
dal momento che “esistono” nello spazio libero e nel tempo in maniera indefinita, nel
senso che non possiamo stabilire il loro inizio e la loro fine.
La trattazione da noi proposta è partita da campi che esistono a priori, ma non
abbiamo specificato come siano prodotti. In questo Capitolo cercheremo di essere
meno astratti ponendoci come primo quesito cosa determina un campo
elettromagnetico.
Consideriamo ora quanto riportato in Fig. 6.1.1(a), in cui vengono mostrate le linee
del campo elettrico statico prodotto da una carica ferma.
Supponiamo ora di accelerare la carica per un tempo finito Δt , dopo il quale la carica
si troverà in un altro punto da cui emergeranno le linee di campo relative alla carica.
Poiché sappiamo che i campi si propagano alla velocità della luce, le linee di campo
relative alla carica nella posizione iniziale, saranno “informate” dell’avvenuta
accelerazione dopo un tempo determinato dalla velocità di propagazione del segnale,
che è il campo stesso. Le linee di campo associate alla nuova posizione si
combineranno con quelle relative alla posizione iniziale, determinando una sorta di
disturbo, che si manifesta come una discontinuità nelle linee del campo elettrico (si
veda la Fig. 6.1.1(b)), poiché tale disturbo è dipendente dal tempo ad ogni variazione
del campo elettrico corrisponderà una analoga variazione del campo magnetico, il
“disturbo” in questione potrà essere interpretato come la propagazione dell’onda
elettromagnetica. E’ importante notare che, in base al modello proposto, non si
riscontra alcuna variazione delle linee del campo lungo la direzione del moto.
187
c
(a)
c
(b)
+
+
c
c
Fig. 6.1.1. linee di campo elettrico generate da una carica ferma (a) e
radiazione emessa da una carica accelerata (b).
Nello spazio l’onda si propagherà, in analogia a quanto accade per le onde sonore,
come un’onda sferica, il cui fronte tenderà a divenire sempre più simile a quello di
un’onda piana quanto più ci si allontana dalla sorgente (si veda la Fig. 6.1.2)).
Torneremo su questo punto, detto approssimazione di campo lontano, alla fine del
presente paragrafo.
Fronte d'onda
sferico
Fronte d'onda
piano
Fig. 6.1.2. Fronte d’onda sferico.
Cerchiamo ora di capire come il campo prodotto dipenda dall’accelerazione a cui la
carica è soggetta.
Come mostrato in Fig. 6.1.3, la carica è posta nel centro di un sistema di riferimento e
il nostro scopo è definire il campo elettrico in un generico punto P. Nel seguito
faremo riferimento al solo campo di radiazione, trascurando quello statico, che
introdurremo in seguito.
188
r
t’ = t - c
a(t’ )
a
+
S(t )
P
r
B(t )
E(t )
Fig. 6.1.3. Sistema di riferimento di una carica in moto accelerato
In base a quanto discusso in precedenza non è difficile rendersi conto che il campo
irraggiato debba essere
a) proporzionale alla carica accelerata e alla intensità dell’accelerazione
r
b) diretto perpendicolarmente al vettore di propagazione r ,
r
c) Inversamente proporzionale al modulo di r
s
d) Proporzionale al seno dell’angolo formato dal vettore r con la direzione di
oscillazione
In merito a questo ultimo punto si ricordi che, in base alla interpretazione data in Fig.
6.1.1(b), la perturbazione delle linee di forza tende a diminuire al crescere dell’angolo
θ fino ad annullarsi in direzione parallela al moto della carica. E’ inoltre opportuno
r r r
a
notare che i vettori , r , E giacciono tutti nello stesso piano.
Facciamo inoltre notare come il tempo t, relativo al punto in cui vengono osservati i
campi elettrico e magnetico, è differente dal tempo t’ (tempo ritardato), relativo
r
all’istante di accelerazione; infatti i campi impiegano un tempo finito t − t ′ = per
c
propagarsi ad una distanza r dalla carica accelerata.
In conclusione avremo
r
r
a
E ∝ q r rˆ⊥ sin(ϑ )
r
(1.1a)
r
dove rˆ⊥ è il vettore unitario nella direzione ortogonale a r .
Una espressione che tenga conto delle dimensioni giuste è altresì data da
r
E=
r
a
q r rˆ⊥ sin(ϑ )
4π ε 0 c 2 r
1
(1.1b)
189
Il vettore di Poynting sarà invece dato da (perché?)
v ⎛ 1 ⎞ 1 (q a )2
2
⎟⎟
S = ⎜⎜
rˆ(sin(ϑ ))
r
2
2
⎝ 16π ε 0 ⎠ c r
(1.2)
ci aspettiamo pertanto che la potenza sia irraggiata con la distribuzione angolare
riportata in Fig. 6.1.4, in Fig. 6.1.5 abbiamo riportato una distribuzione più realistica
che tiene anche conto anche della distanza. In Fig. 6.1.6 viene riportato invece
l’andamento tridimensionale della radiazione dipolare che è una sorta di ciambella,
dovuta alla simmetria sferica del processo di emissione.
z
θ
I(θ )
x
Fig. 6.1.4. Distribuzione angolare nel piano x-z della radiazione emessa da
una carica oscillante nella direzione z.
Fig. 6.1.5. Dipolo oscillante lungo la direzione z e campo emesso nel piano x-z
190
Fig. 6.1.6. Distribuzione Spaziale della radiazione di dipolo.
Prima di concludere questo paragrafo è opportuno ritornare al concetto di
propagazione di un’onda nello spazio. Abbiamo prima ricordato il significato di
un’onda piana e in Fig. 6.1.7 riportiamo la propagazione nello spazio di un’onda
sferica. Abbiamo già affrontato la relativa problematica quando abbiamo parlato del
suono e una delle conseguenze è che la intensità (sia essa elettromagnetica o sonora)
mostra la seguente dipendenza dalla distanza dalla sorgente
I 1 ⎛ r2 ⎞
=⎜ ⎟
I 2 ⎜⎝ r1 ⎟⎠
2
(1.3)
S
r
2r
3r
Fig. 6.1.7. Propagazione dei fronti d’onda sferici a partire da una sorgente
puntiforme.
Infine, con riferimento alla Fig. 6.1.2 ? possiamo notare che quando la distanza dalla
sorgente soddisfa la condizione
191
rλ
>> 1
2d 2
(1.4)
dove λ è la lunghezza d’onda della radiazione e d è una porzione di segmento
appartenente alla tangente al fronte di propagazione, l’onda può essere considerata
un’onda piana. La condizione (1.4) viene comunemente detta approssimazione di
campo lontano e verrà ulteriormente commentata nel seguito.
2. Impulso della radiazione e polarizzazione delle onde elettromagnetiche Supponiamo ora che un’onda elettromagnetica (ad esempio un’onda piana)
interagisca con una carica ferma; in base a quanto abbiamo appreso accadrà quanto
segue
a) Il campo elettrico induce uno spostamento lungo la direzione del campo e la
carica acquista una certa velocità, che per un tempo abbastanza piccolo
potremo assumere proporzionale al campo stesso, ovvero
r q r
v = E Δt
m
(2.1)
b) A questo punto entra in gioco il campo magnetico che interagirà con la carica
in moto grazie alla forza di Lorentz di modo tale che
r
r
q2
r r q2 r r
F = qv × B =
E × BΔt =
μ0 S Δ t =
m
m
2
r
1 q r
S
t
4
π
R
S
=
Δ
=
Δ t.
q
ε 0 mc2
(2.2)
q2
Rq =
4π ε 0 m c 2
1
dove Rq è una quantità con le dimensioni di una lunghezza.
In base alla equazione (2.2), possiamo concludere che la forza agente sulla carica è
diretta come il vettore di Poynting, ovvero nella stessa direzione di moto dell’onda, Si
veda la Fig. 6.2.1.
192
E(t )
q
v=
EΔt
m
+
B(t )
E(t )
q2
F= q v x B =
μ SΔt
v
m 0
+
S(t )
B(t )
1
S= μ E x B
0
Fig. 6.2.1. Onda piana incidente su una carica ferma: pressione di radiazione.
Cerchiamo ora di analizzare la precedente equazione con maggiore attenzione,
scrivendo
r
r
S
F = 4 π Rq Δ x ,
c
(2.3)
Δ x = cΔt
(
)
r
S
come la
La forma ora proposta rafforza la nostra interpretazione della quantità
c
pressione di radiazione. Poiché abbiamo interpretato la (2.3) in termini di una forza
nella direzione del vettore di Poynting, potremmo anche concludere che la radiazione
è caratterizzata da un impulso diretto nella direzione di propagazione dell’onda, dato
da
r
S
v
p em = A Δ t
c
(2.4)
Qualora noi considerassimo l’onda come una sovrapposizione di fotoni l’impulso
definito dall’equazione precedente dovrebbe essere costituto dalla somma dei singoli
impulsi.
Un secondo punto da chiarire è il ruolo giocato dalla polarizzazione dell’onda
elettromagnetica.
Cerchiamo ora di chiarire cosa si intenda con onda polarizzata. Nella Fig. 6.2.2 (a) si
mostra un’onda polarizzata linearmente, in cui il vettore di polarizzazione oscilla
nella direzione verticale. Nella Fig. 6.2.2 (b) riportiamo un’onda elettromagnetica in
cui è indicata la direzione di polarizzazione del campo elettrico (e conseguentemente
di quello magnetico).
193
(a)
y
z
Campo Elettrico
(b)
x
y
z
x
Campo Magnetico
Fig. 6.2.2. Onda linearmente polarizzata e onda elettromagnetica linearmente
polarizzata.
La radiazione elettromagnetica oscillante ad una certa frequenza si dice polarizzata se
è costituita da sovrapposizioni di onde tutte con la stessa direzione di polarizzazione.
La radiazione proveniente dal sole o da una comune lampadina non è polarizzata, nel
senso che le varie componenti della radiazione non hanno una polarizzazione
privilegiata, ma diretta in tutte le possibili direzioni, come mostrato in Fig. 6.2.3.
Nei prossimi paragrafi discuteremo ulteriormente la fenomenologia della
polarizzazione e le sue conseguenze da un punto di vista pratico.
Fig. 6.2.3. Luce non polarizzata e selezione di polarizzazione attraverso un
polarizzatore (si veda nel seguito)
194
3. Interazione tra onde e cariche e effetti di diffusione di radiazione Nel paragrafo precedente abbiamo visto cosa succede ad una carica che interagisce
con un’onda elettromagnetica, ma cosa succede invece all’onda? Ricordando quanto
discusso nel primo paragrafo, una carica accelerata diviene a sua volta sorgente di
radiazione elettromagnetica. Dunque la radiazione viene diffusa; questo effetto può
essere facilmente compreso anche in base a quanto è stato illustrato nella figura 6.1.3.
La carica viene sottoposta ad una accelerazione, che dipende dall’intensità del campo
stesso; pertanto in base all’eq. (1.1) avremo che il campo diffuso ad una certa
distanza r e ad un certo angolo è
r
r
Ei
E d = Rq r rˆ⊥ sin(ϑ )
(3.1)
r
L’intensità diffusa sarà invece legata al vettore di Poynting della radiazione incidente
secondo la relazione
⎛ Rq
I d = ⎜⎜ r
⎝ r
2
⎞ r
⎟ S i (sin(ϑ ) )2
⎟
⎠
(3.2).
La potenza totale irraggiata su tutto l’angolo solido da una carica soggetta ad una
r
certa accelerazione a è
2 Rq r 2
P= m
a
3 c
(3.3)
nota come formula di Larmor, che viene qui data senza dimostrazione; invitiamo il
lettore a giustificarla da un punto di vista dimensionale, analizzarne il significato
fisico e a trovarne una spiegazione in termini qualitativi.
Consideriamo ora il caso in cui una certa radiazione di frequenza ω incida su un
dipolo elettrico, obbligandolo ad oscillare; il lettore dimostri (in termini qualitativi),
applicando quanto discusso fino ad ora, che la radiazione diffusa ad una distanza
r >>
c
(3.4)
ω
e ad un angolo θ è
r
μ 0 p 02ω 4
2
(
)
sin(
ϑ
)
,
S =
2
2
32 π c r
p0 = q0 d
(3.5)
195
(si noti che l’accelerazione indotta è proporzionale a ω 2 d , si noti inoltri che
l’approssimazione (3.4) è l’approssimazione di campo lontano).
Nelle relazioni precedenti non abbiamo fatto cenno alla direzione di polarizzazione
dell’onda. Tornando al caso appena discusso, se il dipolo ha una direzione di
oscillazione obbligata che forma un angolo ϕ con la direzione di polarizzazione del
campo non abbiamo difficoltà a comprendere che la radiazione diffusa sarà ancora
data dalla (3.5) ma sarà proporzionale a (cos(ϕ ) ) . Se si tratta invece di radiazione
non polarizzata otterremo la radiazione diffusa mediando sull’angolo ϕ e pertanto
otterremo un valore che è la metà del caso della luce completamente polarizzata.
Consideriamo ora il caso della radiazione da dipolo magnetico, che è quella irraggiata
da una spira di corrente attraverso cui fluisce una intensità di corrente dipendente dal
tempo (si veda la Fig. 6.3.2)
2
Fig. 6.3.2. Bobina percorsa da una corrente dipendente dal tempo.
Indicando con
m (t ) = π b 2 I (t )
I (t ) = I 0 cos(ω t )
(3.6)
il momento magnetico associato alla spira di raggio b, si può determinare il vettore di
Poynting medio associato alla radiazione emessa da tale dipolo oscillante come
r
μ 0 m02ω 4
2
(
)
ϑ
sin(
)
,
S =
32 π 2 c 3 r 2
m0 = π b I 0
2
(3.7).
196
Sebbene formalmente simili le due espressioni mostrano, ad una più attenta analisi,
una differenza significativa. Indicando con Pde , Pdm la potenza irraggiata da un dipolo
elettrico e da uno magnetico si ottiene
2
⎛ π b2 I ⎞
Pdm ⎛ m0 ⎞
⎟ = ⎜⎜
⎟⎟
=⎜
Pde ⎜⎝ q0 d c ⎟⎠
q
d
c
⎝ 0 ⎠
2
(3.8)
Per operare un confronto a parità di condizioni, porremo d = π b e assumendo che la
carica che circola nella spira sia tale che I 0 = q0ω ; si ottiene
2
Pdm ⎛ ω b ⎞
=⎜
⎟ << 1
Pde ⎝ c ⎠
(3.9)
ovvero che la radiazione da dipolo magnetico è significativamente inferiore a quella
del dipolo elettrico.
4. La radiazione elettromagnetica e la luce visibile. Le considerazioni dei precedenti paragrafi sono estremamente semplificate e si
riferiscono a cariche praticamente puntiformi, in moto a velocità molto inferiori
rispetto a quella della luce. La descrizione è comunque sufficientemente accurata da
garantire una comprensione adeguata dei fenomeni che discuteremo nei prossimi
capitoli e che attengono a questioni di natura fisiologica e diagnostica.
In questo paragrafo affronteremo da un diverso punto di vista alcuni problemi di
ottica che abbiamo discusso nella prima parte di queste lezioni e approfitteremo di
quanto abbiamo appreso in merito al legame tra onde luminose e radiazione
elettromagnetica.
Ci siamo fino ad ora riferiti alla propagazione di radiazione elettromagnetica nel
vuoto; cosa cambia se la radiazione si propaga in un mezzo? Da una semplice
estensione della formula che lega la velocità della luce alle costanti elettromagnetiche
del vuoto potremo scrivere
v=
1
εμ
n = ε r μr
=
1
1
ε 0μ0
ε r μr
=
c
,
n
(4.1)
Dove n rappresenta l’indice di rifrazione, di cui abbiamo già parlato nella prima parte
di queste lezioni.
197
Prendendo, come esempio, il caso dell’acqua avremo, per le frequenze tipiche della
luce visibile, ε r ≅ 1.77, μr ≅ 1 e pertanto l’indice di rifrazione dell’acqua è circa 1.33 41
Nella prima parte di queste lezioni abbiamo anche visto che se due fasci si propagano
con velocità diverse in due diversi mezzi (Fig. 6.4.1) avremo che gli angoli di
incidenza e di rifrazione sono legati tra loro dalla legge di Snell, ovvero
sin(θ1 ) v1 n2
= =
sin(θ 2 ) v2 n1
(4.2)
e abbiamo dimostrato come essa sia una conseguenza del fatto che il tempo impiegato
dal raggio luminoso nel percorrere la distanza tra i punti P e Q con le due velocità
diverse caratteristiche dei due mezzi sia minimo.
P
n1
n2
θ1
n2 > n1
v2
O
interfaccia
v1
v1 =
θ2
Q
εr μr
n=
v2 =
c
εr1 μr1
c
εr2 μr2
=
c
n1
=
c
n2
Fig. 6.4.1. Rifrazione ottica all’interfaccia di due mezzi con diverso indice n.
La condizione di “tempo minimo”, nota come principio di Fermat, è uno dei capisaldi
non solo dell’ottica ma anche della meccanica.
All’epoca di Newton, quando l’ottica cominciava ad essere formulata nella sua
accezione moderna, esistevano essenzialmente due punti di vista sulla propagazione
della luce: quello corpuscolare e quello ondulatorio. La legge di Snell fu proprio uno
dei banchi di prova per la correttezza dell’una o dell’altra interpretazione.
L’ipotesi corpuscolare, sostenuta dallo stesso Newton, cercava di spiegare la Legge di
Snell come segue. La luce consiste di particelle che nel passaggio tra un mezzo ed un
altro subiscono una accelerazione42, pertanto la componente verticale della velocità
passando dal primo al secondo mezzo aumenta mentre quella orizzontale si conserva,
ragion per cui (si veda la Fig. 6.4.2).
v1 sin(θ1 ) = v2 sin(θ 2 )
(4.3)
L’equazione precedente, derivata dalla teoria corpuscolare, non è la legge di Snell!!!
Pertanto tale interpretazione è inadeguata a rendere conto della legge della riflessione
e rifrazione.
41
Per essere più precisi avremo che la velocità della luce in acqua è circa 0.752 volte la velocità
della luce nel vuoto.
42
Newton non spiegò come ciò avvenisse ma affermò soltanto che avveniva
198
Newton giustificò tale effetto in analogia con una sferetta che rotola su un piano
inclinato con una traiettoria inclinata di un angolo θ rispetto alla normale al bordo del
piano; tale angolo può essere ridotto se la sferetta subisce un aumento repentino di
velocità, ad esempio a causa di un dislivello sul piano stesso.
θ1
interfaccia
θ2
Fig. 6.4.2. Teoria Newtoniana della rifrazione ottica.
Nel capitolo precedente abbiamo concluso, sulla base della teoria di Maxwell, che la
radiazione elettromagnetica, e quindi la luce, si comportano come onde.
L’interpretazione ondulatoria fu proposta, molto prima che fossero formulate le
equazioni di Maxwell, da Huygens che suggerì il “principio” 43 di propagazione delle
onde luminose, che viene schematizzato in Fig. 6.4.3, in cui si mostra la costruzione
di Huygens di un fronte d’onda piano e che può essere spiegata come segue.
I punti sul piano AA' sono i punti
sorgenti di onde sferiche il cui
inviluppo ad un tempo successivo
determina il nuovo fronte d’onda.
A
B
Fronte d’onda nuovo
c Δt
Inviluppo dei fronti
d'onda sferici
Punti sorgenti di
onde sferiche
Fronte d’onda vecchio
A'
B'
Fig. 6.4.3. Costruzione di Huygens di un fronte d'onda piano.
43
Il principio oggi è noto come principio di Huyghens-Fresnel
199
Al tempo t = 0 il fronte d’onda è intercettato dal piano AA’, ogni punto del piano è la
sorgente di un’onda sferica che si muoverà dopo un tempo Δt di una distanza c Δt e il
nuovo fronte d’onda sarà individuato dal piano tangente alle singole onde sferiche.
Un analogo argomento vale nel caso della costruzione del fronte di onde sferiche,
come mostrato in Fig. 6.4.4.
Inviluppo dei fronti
d'onda sferici
c Δt
Punti sorgenti di
onde sferiche
Fronte d’onda vecchio
Fronte d’onda nuovo
Fig. 6.4.4. Costruzione di Huygens di un’onda sferico.
L’interpretazione della legge di Snell, tramite l’uso del principio di Huygens, viene
infine mostrata in Fig.6.4.5 , che ricalca il punto di vista geometrico discusso nel Cap.
X della prima parte di queste lezioni.
Tornando all’equazione (4.1) possiamo concludere che sono le proprietà elettriche e
magnetiche della materia a determinare il rallentamento di un’onda e l’eventuale
deviazione dei raggi associati tra due mezzi con diverso indice di rifrazione.
θ1
θ1
BC = v1 Δt
B
θ1 C
A
θ2
AD = v2 Δt
D
θ2
n2 > n1
θ2
AC =
BC
AD
=
sin(θ 1) sin(θ 2)
Fig. 6.4.5. Interpretazione geometrica della legge di Snell.
200
Dalla equazione (4.2) e dal fatto che il seno di un angolo non può essere maggiore di
1 segue che nel passaggio dal mezzo 1 al mezzo 2 con n2 > n1 esisterà un angolo un
angolo critico, al di sopra del quale la luce non viene rifratta, ma è totalmente riflessa.
Questo fenomeno viene illustrato in Fig. 6.4.6. Invitiamo il lettore a dimostrare che
nel caso del passaggio dall’acqua ( n ≅ 1.33 ) all’aria ( n ≅ 1 ) l’angolo critico è
θ c ≅ 48.6 0 .
trasmissione
parziale
R
raggi normali alla superficie
non sono deflessi
Riflessione
n1
totale θ >θc
θc
θc
d
riflessione
parziale
n2
sin(θc ) =
n2
n1
Angolo
critico
Fig. 6.4.6. Riflessione e rifrazione e angolo critico.
Esiste un angolo critico nel passaggio dall’aria all’acqua?
Una applicazione importante del meccanismo della riflessione totale è quella del
trasporto della luce in fibre ottiche (Fig. 6.4.7), utilizzate anche per ragioni
diagnostiche, che discuteremo nel Capitolo VIII.
Fig. 6.4.7. Propagazione della luce in una fibra ottica.
Prima di procedere oltre, è il caso di chiarire in maniera più quantitativa quali siano le
“porzioni” di intensità di radiazione riflesse e rifratte e se la polarizzazione della
radiazione abbia rilevanza o meno in tale processo.
In Fig. 6.4.8 riportiamo l’analogo di quanto mostrato in Fig. 6.4.1, ma con
significative aggiunte che mettono in evidenza il piano di interfaccia tra i due mezzi,
201
il piano di incidenza e le direzione di polarizzazione della luce incidente, ortogonale
o parallela al piano di incidenza.
Raggio incidente
n1
i
i
Piano di
incidenza
r
interfaccia
Raggio riflesso
r
t
t
n2
Raggio rifratto
Fig. 6.4.8. Riflessione e rifrazione della luce scomposta nelle sue componenti di
polarizzazione parallele ed ortogonali al piano di incidenza.
Non entreremo nel merito della loro derivazione specifica, però facciamo notare che
esse sono una conseguenza delle equazioni di Maxwell44 e che la loro derivazione si
basa su condizioni cinematiche, che riguardano il corretto raccordo tra i vettori
d’onda della radiazione incidente, riflessa e rifratta e le condizioni di continuità dei
campi sulla linea di separazione delle superfici.
Il risultato ottenuto da Fresnel può essere sintetizzato in termini delle seguenti
equazioni
r|| =
tan( θ i − θ t )
sin( θ i − θ t )
, r⊥ = −
,
tan( θ i + θ t )
sin( θ i + θ t )
t || =
2 sin( θ t ) cos( θ i )
,
sin( θ i + θ t ) cos( θ i + θ t )
t⊥ =
2 sin( θ t ) cos( θ i )
sin( θ i + θ t )
44
(4.4)
Questa affermazione potrebbe essere messa in discussione perché tali relazioni furono derivate da
Fresnel verso l’inizio del secolo XIX prima della formulazione delle equazioni di Maxwell.
L’utilizzo delle equazioni di Maxwell permettono la loro derivazione senza ipotesi ad hoc ed in
maniera estremamente rigorosa.
202
dove r,t rappresentano i rapporti tra
rifratta (in realtà t sta per trasmessa)
trasmissione, rispettivamente.
Dalle equazioni precedenti possiamo
pratica. Notiamo che, a parte il caso
radiazione riflessa è nulla quando
θi + θt =
l’intensità incidente e riflessa e incidente e
e vengono detti coefficienti di riflessione e
trarre una conclusione di notevole rilevanza
banale θ i = θ t , la componente parallela della
π
(4.5).
2
Si ottiene pertanto che tutta la componente riflessa ha polarizzazione ortogonale.
Il lettore potrà dimostrare che, dalla legge di Snell e dalla condizione (4.5), segue l’
uguaglianza
n
tan (θ B ) = t
(4.6)
ni
che definisce il cosiddetto angolo di Brewster, ovvero l’angolo di incidenza per cui di
un’onda viene riflessa solo la componente ortogonale, si veda la Fig. 6.4.9, dove si
riportano anche gli andamenti delle polarizzazioni parziali, in funzione dell’angolo di
incidenza, nel caso di indice di rifrazione 1.5.
Luce riflessa polarizzata
linearmente
Luce incidente con
l'angolo di Brewster
α
β
100%
Intensità riflessa (%)
α
50%
Angolo di Brewster
I coefficienti di riflessione
sono differenti per le
componenti dell'onda
0%
parallela e perpendicolare
30
60
90
al piano di incidenza.
Angolo di incidenza
Fig. 6.4.9. Angolo di Brewster e andamento delle percentuali di polarizzazione
parallela e perpendicolare al piano di incidenza in funzione
dell’angolo di incidenza per n =1.5.
La polarizzazione per riflessione è uno dei meccanismi possibili che permettono di
selezionare una sola componente di polarizzazione. Nel caso dell’acqua l’angolo di
o
o
Brewster è circa θ B ≅ 53 mentre per il vetro si ha θ B ≅ 56 .
203
5. Luce polarizzata e non, luce bianca e colori La luce visibile è, come sappiamo, radiazione elettromagnetica, che viene riflessa o
rifratta secondo le leggi di Snell. In Fig. 6.5.1, si mostra un prisma illuminato da una
lampada. Il fascio di luce bianca45 viene diretto su una delle facce del prisma, con un
certo angolo di incidenza e dalla faccia opposta emerge il fascio “scomposto” in
componenti “cromatiche”, “disperse” ad angoli differenti. Poiché ad ogni colore
corrisponde una frequenza (o corrispondentemente una lunghezza d’onda nel vuoto
λ = v c ). Potremo concludere che l’indice di rifrazione di un mezzo è funzione della
frequenza dell’onda. Nella figura abbiamo riportato le lunghezze d’onda dei vari
colori e abbiamo di nuovo evidenziato il fatto che la luce visibile copre solo una
porzione dello spettro della radiazione elettromagnetica.
Sorgente di
luce bianca
Spettro visibile
Prisma
400 nm
750 nm
10-15 10-14 10-13 10-12 10-11 10-10 10-9 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 1
Raggi γ
Raggi UV
X
Radiazione
infrarossa
10
Onde radio
Microonde
102 103 104 105
Corrente
alternata
Fig. 6.5.1. Decomposizione spettrale della luce “bianca”.
L’indice di rifrazione aumenta leggermente al diminuire della lunghezza d’onda,
come mostrato in Fig. 6.5.2 per diversi tipi di vetro mentre nel caso dell’acqua il
rosso ha n r ≅ 1.33 mentre per il blu si ha nb ≅ 1.34 .
A causa di ciò, applicando la legge di Snell, avremo che le differente componenti
cromatiche si propagheranno ad angoli diversi nel prisma e si disperderanno allo
interno, e verranno ulteriormente separate una volta che il raggio emerge dal prisma.
Suggeriamo al lettore di stabilire una analogia con quanto discusso nel caso della
spettrometria di massa.
45
Per luce bianca si intende la luce visibile, fornita da una qualsiasi sorgente naturale e non, in cui i
le differenti componenti cromatiche sono sovrapposte; il cervello umano non distingue, in questo
caso, le singole componenti.
204
1.54
Vetro Crown
1.52
n 1.50
Acrilico
1.48
Quarzo fuso
1.46
400
500
600
λ(nm)
700
Fig. 6.5.2. Dipendenza dell’indice di rifrazione dalla lunghezza d’onda λ (nm).
E’ evidente che il fenomeno della dispersione non avviene se le facce che delimitano
i due mezzi sono parallele, come mostrato in Fig. 6.5.3. Il fascio luminoso emergerà
dalla faccia opposta, parallelamente alla zona di ingresso senza alcuna dispersione
all’uscita, per cui l’occhio percepirà un fascio di luce bianca.
n1
θ1
n2
n2 > n1
θ1
Raggi provenienti da posizione
diverse e di colori diversi
complessivamente si ricombinano
deflessione del blu
deflessione del giallo
deflessione del rosso
Fig. 6.5.3 Fascio di luce bianca tra le facce di due mezzi a facce parallele.
Nel paragrafo precedente abbiamo parlato di luce polarizzata ed abbiamo mostrato
come tramite il meccanismo della riflessione si possa ottenere luce polarizzata da
radiazione non polarizzata. Tale meccanismo non è unico e ne esistono altri, alcuni
dei quali riportati in Fig. 6.5.4
Esistono alcuni materiali detti dicroici, che assorbono la luce in maniera maggiore o
minore a seconda della polarizzazione, essendo caratterizzati da un asse di
trasmissione, che lascia passare radiazione polarizzata in tale direzione. Un materiale
fortemente dicroico è il polaroid.
205
Le molecole si comportano
come dipoli che irraggiano e
che non disperdono energia
lungo l'asse del dipolo.
Scattering
α
Certi materiali cristallini,
illuminati da luce polarizzata,
mostrano indici di rifrazione
differenti nelle due direzioni di
polarizzazione.
Possono essere costruiti prismi in
riflessione totale per eliminare uno
dei piani di polarizzazione
90°
α
β
Prisma di Nicol
68°
Angolo di Brewster
E
O
Birifrangenza
Fig. 6.5.4. Metodi per ottenere luce polarizzata.
In Fig. 6.5.5 si mostra come questo materiale agisca da polarizzatore trasmettendo
solo la componente verticale della luce incidente, non polarizzata
Fig. 6.5.5. Assorbimento della luce in un materiale dicroico.
In Fig. 6.5.6 si mostrano due polaroid in cui il secondo è ruotato rispetto al primo di
un angolo θ ; l’intensità emergente dal secondo polarizzatore avrà una polarizzazione
diretta come illustrato in figura ma con intensità ridotta secondo la formula
206
I = I 0 cos(θ ) 2
(5.1)
nota come legge di Malus.
Orientamento
della parte
trasmessa
componente
assorbita
E0 θ
E
I
I0
θ=
π
I= 0
2
θ
Fig. 6.5.6. Polarizzatori ruotati e legge di Malus.
E’ evidente che la radiazione fornita dalla luce solare non è polarizzata, nel senso che
i campi associati non avranno una direzione di polarizzazione privilegiata si veda la
Fig. 6.5.7, in cui si mostra la luce solare non polarizzata, che può venire parzialmente
polarizzata per riflessione o completamente polarizzata tramite un polarizzatore (in
questo caso un paio di occhiali).
Luce non polarizzata
Luce parzialmente
polarizzata nel
piano orizzontale a
causa della
riflessione
Il riverbero viene
fortemente ridotto
Il riverbero viene
ridotto in misura
molto maggiore
dell'attenuazione
subita dalla luce
diretta
Le lenti trasmettono solo luce
polarizzata verticalmente
Fig. 6.5.7. Effetto di polarizzazione della luce solare.
207
L’effetto della polarizzazione è quello di ridurre in maniera significativa il cosiddetto
riverbero, come mostrato in Fig. 6.5.8 dove si riporta la foto dello stesso paesaggio
senza e con un filtro polarizzatore. Come si vede nel secondo caso il riverbero è
significativamente ridotto.
Fig. 6.5.8a . Foto senza (sinistra) e con (destra) filtro polarizzatore
Fig. 6.5.8b. In questa foto l’effetto di polarizzazione viene realizzato dalla luce
riflessa dall’acqua. Il cielo è infatti più azzurro e le nubi più bianche.
Nella figura 6.5.9 vengono invece mostrate una spiaggia con un cielo azzurro e un
arcobaleno; ci chiediamo cosa abbiano questi fenomeni a che fare con quanto studiato
fino ad ora.
208
Fig. 6.5.9. Il cielo azzurro e rosso Arco baleno primario (il colore più esterno è il
rosso) e secondario (il colore più esterno è il blu)
La domanda sul perché il cielo sia blu è piuttosto ricorrente e la risposta non è
intuitiva. Applicando quanto abbiamo imparato nel paragrafo precedente a proposito
della diffusione da parte di un dipolo possiamo immaginare il processo di diffusione
della luce solare come mostrato in Fig. 6.5.10, dove si mostra l’intensità della luce
solare diffusa dalle molecole dell’aria. Il processo è noto come diffusione di Rayleigh
e l’intensità diffusa può essere calcolata tramite la seguente formula
8 π 4α 2
I d = I i 4 2 (1 + cos θ 2 )
λR
(5.2).
La diffusione di Rayleigh
a 400 nm è 9.4 volte più
grande che a 700 nm a
parità di intensità della
radiazione incidente
Diffusione di Rayleigh
della luce solare con le
molecole d'aria
La forte dipendenza della
diffusione di Rayleigh dalla
lunghezza d'onda è la causa
della colorazione blu del cielo
I
1
λ4
Fig. 6.5.10. Diffusione di Rayleigh della luce solare.
Che è riportata senza dimostrazione. Si può comunque constatare che è analoga alla
equazione (2.6b) relativa alla radiazione da dipolo elettrico, il coefficiente α
rappresenta la polarizzabilità della molecola, che, come già visto nel capitolo
precedente, lega il campo incidente al dipolo indotto tramite la relazione
r
r
E =α p
(5.3)
209
Luce solare diffusa (%)
L’equazione (5.2) mette in evidenza come, al diminuire della lunghezza d’onda della
intensità incidente, si abbia un significativo aumento della radiazione diffusa, le
porzioni relative sono mostrate in Fig. 6.5.11. A parità di intensità incidente la
radiazione blu è circa 10 volte maggiore di quella rossa. Questo spiega perché il cielo
è blu. Il lettore cerchi ora di spiegare perché non è viola.
La diffusione di Rayleigh causa
la colorazione blu del cielo
25
20
15
10
5
400
500
600
λ(nm)
700
la luce rossa (grandi
lunghezze d’onda)
passa praticamente
indisturbata. Fig. 6.5.11. Intensità diffusa a vari colori a parità di radiazione incidente e
rappresentazione qualitativa del fenomeno. Il fatto che la radiazione a maggiore lunghezza d’onda passi praticamente indisturbata
spiega perché i tramonti sono rossi, come il lettore può facilmente arguire per proprio
conto.
La diffusione di Rayleigh avviene quando la luce viene diffusa da particelle di
dimensioni modeste rispetto alla lunghezza d’onda della radiazione incidente
( d ≤ λ 10 ); nel caso di diffusione di luce in ambiente in cui siano sospese particelle
di dimensioni maggiori, come nel caso di Fig. 6.5.12, si parla di diffusione di Mie.
In questo caso la radiazione diffusa è poco dipendente dalla lunghezza d’onda e
determina un effetto di riverbero dovuto a luce bianca.
Non è purtroppo possibile trattare tutti i vari aspetti della diffusione di radiazione, che
costituiscono elementi di esperienza comune; come ultimo esempio discuteremo
come la fenomenologia dell’arcobaleno possa essere compresa nell’ambito delle
considerazioni fino ad ora sviluppate.
210
Fig. 6.5.12 Diffusione di Mie ed effetto opalescenza
L’arcobaleno è un fenomeno abbastanza complesso che viene schematizzato in Fig.
6.5.13, che mostra il sole che illumina una regione di spazio dove c’è stato un
acquazzone (per cui l’aria è molto umida) i raggi solari vengono in parte riflessi dalle
goccioline di acqua, come illustrato in Fig. 6.5.14 dove si indica anche come
vengono selezionati i colori.
La luce viene riflessa dalla parte interna delle gocce di acqua ed poi rifratta verso
l’esterno dalla parte del sole. Tenuto conto dell’indice di rifrazione dell’acqua e della
sua dipendenza dalla lunghezza d’onda, l’angolo formato dalla luce bianca incidente
e la luce viola uscente è di circa 40°, mentre per la luce rossa si hanno circa 42°.
Fig. 6.5.13 Luce bianca solare e formazione dei colori nell’arcobaleno
211
Facendo di nuovo riferimento alla Fig. 6.5.14 facciamo notare che, a causa degli
angoli di uscita le gocce più in alto defletteranno maggiore colore rosso mentre quelle
più in basso maggiore colore viola.
Luce solare
Rosso
Verde
Violetto
42°
40°
Fig. 6.5.14. Luce riflessa e rifratta in una goccia di acqua supposta sferica. Nella Fig. 6.5.15 si mostra il fenomeno del doppio arcobaleno, quello più intenso
viene detto primario, mentre quello meno intenso, con la disposizione cromatica
invertita rispetto al primo, è detto secondario. Il meccanismo di selezione del secondo
arcobaleno è dovuto al fatto che la luce, prima di uscire, esegue due riflessioni
all’interno della goccia d’acqua. Archi di ordine superiore sono in linea di principio
possibili, ma sono di intensità notevolmente inferiore.
parziale ulteriore riflessione
Luce solare
spettro
secondario
Spettro primario
40°
Violetto
Verde
Rosso
II
42°
I
Più debole
e più esteso
Rosso
Verde
Violetto
Fig. 6.5.15 Formazione dello spettro primario e degli ordini successivi in una
gocciolina di pioggia , approssimativamente sferica, a causa delle
riflessioni multiple al suo interno.
212
Non riteniamo utile approfondire ulteriormente questi aspetti della propagazione della
luce e ci avvarremo di quanto appreso in questo Capitolo nei prossimi dedicati alle
applicazioni.
Cionondimeno si potrebbe chiedere perché abbiamo insistito su argomenti quali il
cielo azzurro e l’arcobaleno, in un libro di Fisica dedicato a studenti del corso di
laurea in Medicina e scienze sanitarie; a parte le risposte ovvie basate su aspetti
tecnici crediamo che la bellezza che a volte la natura riesca ad esprimere sia un
patrimonio comune e vada al di là delle specializzazioni culturali. L’impatto emotivo
e cromatico della Figura 6.5.16 è forse una risposta adeguata anche in termini medici
Fig. 6.5.16. Un seguace Patch Adams46 e un piccolo paziente
46
Ricordiamo che Patch Adams è il medico inventore della Gesundhite therapy, basata sulla
convinzione che il sorriso, i colori e l’umorismo abbiano un impatto fondamentale sulla salute dei
pazienti.
214
CAPITOLO VII
ASPETTI ELETTRICI DELLA FISIOLOGIA DEL CUORE, DEI SEGNALI
NERVOSI E DEL CERVELLO
1. Introduzione In questo Capitolo applicheremo quanto imparato nei precedenti Capitoli a questioni
di natura fisiologica, relative al sistema cardiaco e alla propagazione dei segnali
(elettrici) nel sistema nervoso e cerebrale.
Abbiamo già avuto modo di studiare gli aspetti energetici ed idraulici della pompa
cardiaca, la cui funzione viene schematizzata nella Fig. 7.1.1, mentre ora ci
accingiamo ad approfondirne gli aspetti elettrici.
Atrio
destro
Ventricolo
destro
Riceve il sangue
dalla vena cava
superiore
Pompa il sangue
nell'arteria
polmonare
circuito
sistemico
circuito
polmonare
Circolazione corporea
ossigenazione
Pompa il sangue
nell'aorta
Riceve il sangue
ossigenato dalla
vena polmonare
Ventricolo
sinistro
Atrio
sinistro
Fig. 7.1.1. Principali funzioni della pompa cardiaca.
Il cuore è costituito da quattro grosse camere: l’atrio destro e sinistro e il ventricolo
destro e sinistro (si veda la Fig. 7.1.2) attraverso cui si propagano le contrazioni
ritmiche del muscolo cardiaco che pompano il sangue, fondamentale per la
sopravvivenza dell’organismo.
215
Vena
polmonare
Fig. 7.1.2. Struttura del cuore
Le contrazioni avvengono in risposta ai segnali elettrici periodici provenienti dal
“pacemaker” 47 naturale del sistema cardiaco, costituito da un insieme di fibre
nervose, detto nodo seno-atriale (SA), che occupano una regione di circa 1 mm
quadrato posta nella parte superiore dell’atrio ventricolare destro (si veda la Fig.
7.1.3) .
Fibre di
Purkinje
Fig. 7.1.3. La linea di trasporto che dal nodo SA si dirama a tutto il muscolo
cardiaco.
47
La traduzione di pacemaker sarebbe “battistrada” ma in questo contesto va inteso come strumento
che regola il passo.
216
Come tutte le cellule nervose quelle del nodo SA sono in grado di produrre impulsi
elettrici, che nel caso in questione innescano una sequenza di eventi elettrici nel
cuore, che controllano la successione delle contrazioni del muscolo.
Nella descrizione precedente abbiamo citato le cellule nervose e la loro capacità di
produrre segnali elettrici.
Nella Fig. 7.1.4 abbiamo riportato la struttura di una cellula nervosa, la quale esplica
una funzione molteplice, che potrebbe essere descritta come quella di ricevitore, di
trasmittente e di linea di trasmissione.
Impulso nervoso
Trasmissione
chimica
Stimolazione
Fig. 7.1.4. Struttura di una cellula nervosa.
La funzione della cellula è infatti quella di trasmettere un segnale dai dentriti fino
all’intreccio di assoni terminali. Lo stimolo induce il PA (action potential) nella
membrana cellulare, che a sua volta gioca il ruolo dello stimolo per i segmenti
adiacenti della cellula. L’impulso così generato si propaga lungo l’assone, le ragioni
per cui esso viene prodotto sono dovute ad una fenomenologia piuttosto complessa
che discuteremo nella seconda parte di questo Capitolo.
Il PA prevede un rapido cambiamento di carica tra l'interno e l'esterno della
membrana cellulare (Fig. 7.1.5). L'esterno è caricato positivamente, l'interno
negativamente. Durante un potenziale d'azione l'informazione nervosa viene
trasmessa saltando da un Nodo di Ranvier all'altro (ovvero, negli spazi intermielinici,
in cui la guaina mielinica che ricopre i neuroni si interrompe); dura alcuni ms, seguiti
da un periodo refrattario, prima assoluto, quindi relativo; infine si ristabilisce un
potenziale di riposo.
Il comportamento delle cellule cardiache si differenzia nello sviluppo del potenziale
d'azione.
217
+ 40 mV
0
Potenziale
di riposo
0.5 ms
4.4 ms
- 70 mV
Fig. 7.1.5. Esempio di PA.
Potenziale di membrana (mV )
Notiamo che in condizioni di riposo una cellula cardiaca ha un potenziale di circa -80
mV (misurato dall’interno verso l’esterno) e sotto l’azione di uno stimolo esterno si
porta ad un potenziale positivo (20 mV circa), come mostrato in Fig. 7.1.6.
+ 20 mV
L' ingresso del calcio
prolunga la durata
del PA miocardico.
0
- 20 mV
- 40 mV
- 60 mV
- 80 mV
- 100 mV
Potenziale
di riposo
0
100
200
300
Tempo (ms)
Fig. 7.1.6. Il PA delle cellule miocardiche.
Il segnale si trasmette alle altre cellule e un’onda si propaga nel muscolo cardiaco
dalla parte superiore alla parte inferiore.
L'ingresso del calcio prolunga la durata del PA in questo modo il miocardio, tra una
contrazione e l'altra permette ai ventricoli di riempirsi di sangue.
Nel prossimo paragrafo discuteremo con maggiore dettaglio gli aspetti fisiologici, qui
appena accennati e come i segnali elettrici provenienti dal cuore siano utilizzabili
come uno strumento diagnostico.
2. Il sistema elettrico cardiaco e l’elettrocardiogramma 218
Quello che stiamo per descrivere è un sistema estremamente complesso e sofisticato;
la natura ha impiegato miliardi di anni per fornire uno strumento in grado di pompare
75 ml di sangue ogni centesimo di minuto all’incirca, impiegando una potenza non
superiore ai 2 W per un media di 75 anni. Nell’arco di una intera vita il cuore pompa
circa 200 mila metri cubi di sangue, impiegando una energia di circa 3 miliardi di
Joule.
Per quello che vale esprimersi in questi termini, i numeri che abbiamo appena fornito
fanno impressione, specialmente se si pensa che il sangue ha la funzione di distribuire
energia a tutto il sistema, per un totale 300 miliardi di Joule (se ci limitiamo al solo
metabolismo basale) nel corso della vita di un individuo.
Se il cuore ha un malfunzionamento di soli 4 secondi (ovvero si ha una interruzione
di 5 battiti) la mancanza di afflusso di sangue al cervello determina uno svenimento e
se il problema persiste per pochi minuti si producono danni cerebrali irreversibili.
Abbiamo citato questi tempi anche per mettere in evidenza che il sistema cardiaco
deve aver sviluppato sistemi di “controllo” estremamente veloci per prevenire
disturbi.
Abbiamo prima detto che le cellule nervose del seno atriale inducono un PA
portandosi da -80 mV a +20 mV; tale segnale si propaga dall’alto verso il basso
trasmettendosi attraverso gli assoni delle cellule nervose (cercheremo di essere meno
qualitativi nei prossimi paragrafi). L’onda si propaga dunque dagli atri ai ventricoli
seguendo quanto illustrato in Fig. 7.1.6.
Quando le cellule hanno raggiunto il potenziale di + 20 mV (dall’interno verso
l’esterno) si contraggono. Successivamente, in circa 0.2 secondi, la cellula torna al
potenziale originale, cosicché il segnale si propaga dal basso verso l’alto, muovendosi
dalle camere ventricolari a quelle atriali. Quest’ultimo processo impiega circa un
secondo e dopo si ricomincia daccapo.
Le cellule si comportano come cellule muscolari e il cuore stesso, come più volte
detto, è un grande muscolo.
In Fig. 7.2.1 abbiamo schematizzato le cellule cardiache come una sfera di circa 10
μm di diametro con un potenziale interno di -80 mV. Le cariche sono disposte in
maniera tale che quelle positive siano distribuite all’esterno e quelle negative
all’interno. Come conseguenza del teorema di Gauss non vi è campo elettrico
all’esterno. Esisterà comunque un campo che attraversa la superficie, come mostrato
in figura.
219
Membrana
+
+
+
+ --- +
+ - +
+ -- - -- +
+
+
+
- 100 mV
V
0
Fig. 7.2.1. Rappresentazione schematica di una cellula miocardica a riposo.
Consideriamo ora il meccanismo di depolarizzazione che cambia il potenziale da -80
a + 20 mV.
Il processo di depolarizzazione e ri-polarizzazione dipende dall'apertura e chiusura
dei canali ionici, mostrati in Fig. 7.2.2, da parte del potenziale d'azione. L'ingresso
dello ione calcio prolunga il periodo refrattario.
Ca++
Na+
K-
canale canale
sodio potassio
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
+
+
+
+
+
-
membrana
Potenziale
di riposo
+
+
-
+
-
+
+
-
++
+
+
-
+
-
+
Apertura del
canale sodio
K-
-
-
+
+
+
-
+
+ - +
+ ++ - - +
-
-
+
+
+
-- - - - --
+
+
Apertura del
canale sodio chiuso
canale potassio e
e ripristino del
ingresso del calcio potenziale di riposo
Fig. 7.2.2. Canali ionici e potenziale d'azione.
Consideriamo ora quanto riportato in Fig. 7.2.3. In (b) la depolarizzazione della fibra
si propaga assieme al potenziale di azione. A tale configurazione è associato un
campo elettrico che ha approssimativamente la forma di un campo di dipolo che si
propaga anch'esso lungo la fibra . In (d), in concomitanza con la chiusura dei canali
sodio, il processo viene invertito e la ri-polarizzazione della fibra si propagherà in
220
verso opposto riportandola al potenziale originale. Anche in questo caso si
propagherà un campo dipolare. L'intero processo si manifesta dunque con la presenza
di un campo di dipolo oscillante.
I meccanismi di propagazione dei segnali elettrici nelle strutture cellulari e il ruolo
della membrana cellulare verranno ulteriormente approfonditi nei paragrafi 5 e 6
dove saranno illustrate le modalità di propagazione degli impulsi nervosi aiutandoci
anche con alcuni schemi circuitali equivalenti.
- - + + +
+ + - - -
(a)
+ + + + +
- - - - - - - - + + + + +
+ + - - - - + + +
+ + + - - - - + +
- - - + +
+ + + - -
(b)
- - - - + + + + +
(c)
+ + + + +
- - - - fibra
depolarizzata
(d)
Fig. 7.2.3. processo di depolarizzazione in una fibra miocardica.
La Fig. 7.2.4 fornisce un’ idea piuttosto schematica del campo dipolare oscillante ma
suggerisce che a questo campo dovrà essere associato una differenza di potenziale
misurabile in vari punti del corpo.
Cerchiamo ora di essere meno vaghi. In base a quanto detto prima e a quanto
mostrato in Fig. 7.2.5 l’impulso elettrico parte dal nodo SA diretto simultaneamente
verso l’atrio destro, quello sinistro e il nodo atrio ventricolare (AV). Poiché il
ventricolo destro è prossimo al nodo seno atriale è il primo a depolarizzarsi, il che
determina la prima contrazione e quindi il pompaggio del sangue da parte dell’atrio
destro rispetto all’atrio sinistro. L’impulso viene ritardato al nodo AV, per permettere
ai ventricoli di riempirsi di sangue. Dopo di che il nodo AV propaga il segnale alle
fibre del fascio di His e alle fibre di Purkinje. Questo segnale induce la contrazione
dei ventricoli che permette di irrorare i polmoni ed il resto del corpo.
221
+
-
Fig. 7.2.4. linee equipotenziali sulla superficie del corpo.
R
ECG
T
P
Q S
SA
Muscolatura
atriale
AV
Fibre di
Purkinje
Muscolatura
ventricolare
0
100
200
300
400
Tempo (ms)
Fig. 7.2.5. Funzionamento del cuore e relativi segnali elettrici.
500
222
Ogni fase del processo appena descritto è caratterizzata da un segnale elettrico
rilevabile tramite un elettrocardiografo, che fornisce un tracciato noto come
elettrocardiogramma (ECG).
Le fasi prima descritte sono caratterizzate da una serie di segnali registrati dallo
strumento e riportati nella Figura 7.2.6 .
Il complesso dei segnali dette onde vanno interpretati come segue:
- L’onda P è associata al meccanismo di depolarizzazione degli atri
- L’intervallo PR è associato al ritardo al nodo atrio ventricolare
- Il complesso QRS è associato alla depolarizzazione dei ventricoli
- Il segmento ST è associato all’inizio del processo di ri-polarizzazione
- L’onda T è associata alla ri-polarizzazione ventricolare
L’ampiezza del segnale non supera i 2-3 mV. L’onda R risulta essere la più alta di
tutte perché è connessa alla depolarizzazione del ventricolo e dunque ad una massa
maggiore.
Intervallo PR
R
Depolarizzazione
ventricolare
Depolarizzazione
atriale
Ripolarizzazione
ventricolare
T
Ritardo
nodale
P
Sistole
atriale
0
100
Q
S
200
Sistole ventricolare
300
400
500
Tempo (ms)
Fig. 7.2.6. Sequenza temporale dell'ECG.
E’ dunque evidente come un tracciato atipico, come quelli mostrati in Fig. 7.2.7, e
7.2.8 possa indicare problemi di funzionamento.
223
0,86 s
ECG normale
0,57 s
Tachicardia sinusoidale
Extrasistole ventricolare
Elevata tachicardia atriale(flutter)
Flutter con blocco AV
Fibrillazione atriale
Fig. 7.2.7. Esempi di tracciati con alterazioni della conduzione e del ritmo
confrontati con un tracciato normale.
Infarto
Ischemia
Fig. 7.2.8. Alterazioni ECG in relazione a infarto e ischemia.
224
3. Superfici equipotenziali ed ECG Tornando a quanto è stato discusso nei paragrafi precedenti le contrazioni del
muscolo cardiaco sono indotte da segnali (involontari) di natura elettrica, che partono
dal nodo seno atriale verso l’atrio e il nodo atrio ventricolare che, a sua volta, induce
una contrazione dei ventricoli. La sequenza degli stimoli ha una frequenza di circa
0.83 Hz (corrispondente a 72 battiti al minuto).
Il campo dipolare che si propaga lungo il muscolo sarà caratterizzato dalle linee del
campo stesso e dalle linee equipotenziali, perpendicolari alla linea del campo.
La figura 7.3.1 mostra le mappe delle linee equipotenziali rilevate sulla superficie del
corpo in corrispondenza dell'istante in cui si verifica il picco R. I potenziali indicati
sono espressi in millivolt; è anche evidente una variazione periodica associata alla
periodicità degli impulsi stessi.
Linee equipotenziali
in mV
.
-0.75 -0.25
0
-0.8-0.5
0.5
1
-1
1.5
0.5
0
-0.5
-0.25
Fig. 7.3.1. Linee equipotenziali sul petto e sulla schiena in coincidenza col picco R.
L’ECG fornisce una rappresentazione delle superfici potenziali in certe posizioni del
petto o delle spalle.
Il sistema delle 12 derivazioni dell’ECG prevede 6 registrazioni dal torace e 6 dagli
arti.
Ognuna delle 12 derivazioni guarda allo stesso fenomeno, cioè la conduzione
dell’impulso elettrico attraverso il cuore, ma da punti differenti.
Le 6 derivazioni dagli arti sono:
225
-
3 derivazioni bipolari (derivazioni standard) che registrano la differenza di
potenziale elettrico tra due punti elettricamente equidistanti dal cuore (la Ia
registra la differenza di potenziale tra il braccio sinistro e quello destro, la IIa
tra la gamba sinistra e il braccio sinistro e la IIIa tra la gamba sinistra e il
braccio sinistro). Queste 3 derivazioni formano il cosiddetto triangolo di
Einthoven, al centro del quale viene posto il cuore.
-
3 derivazioni unipolari (amplificate 1,5 volte) che registrano la differenza di
potenziale elettrico tra un arto e un elemento che viene preso come valore
zero (RA per il braccio destro, LA per il braccio sinistro e LL per la gamba
sinistra).
Le altre 6 derivazioni vengono registrate dal torace e sono definite derivazioni
toraciche o precordiali e sono unipolari.
Le posizioni tipiche su cui posizionare i terminali dell’elettrocardiografo per le tre
derivazioni bipolari sono illustrate in Fig. 7.3.2, spalla destra, spalla sinistra e gamba
sinistra.
A
40 cm
60°
I
II
80°
B
III
53 cm
60 cm
40°
C
Fig. 7.3.2. Le derivazioni bipolari per l'ECG. Posizioni dell’elettrocardiografo ai
vertici del triangolo detto di Einthoven.
Le posizioni tipiche su cui posizionare i terminali dell’elettrocardiografo per le
derivazioni unipolari sono illustrate in Fig. 7.3.3,
226
Derivazioni di Goldberger
RA
LA
LL
RA
LA
1
2 Elettrodo
+ 3 positivo
45
6
-
Rigth Arm
Left Arm
Left Leg
Derivazioni di Wilson
LL
Elettrodo
negativo
V6
+
V5
V4
V1 V2 V3
Fig. 7.3.3. ECG: Derivazioni unipolari di Goldberger e di Wilson.
Nella Fig. 7.3.4 abbiamo riportato un tracciato che mostra una dei problemi più gravi
a carico del sistema cardiaco, nota come fibrillazione.
Fibrillazione ventricolare
Fig. 7.3.4. Tracciato ecocardiografico che evidenzia una fibrillazione ventricolare.
Il tracciato mette in evidenza che i ventricoli fluttuano in assenza di qualsiasi segnale
elettrico periodico con un andamento totalmente caotico. Dopo un attacco di questo
tipo, con il cuore che funziona in assenza di un pompaggio sincrono, si perde
coscienza in 5 secondi e, in assenza di un adeguato trattamento, l’esito dell’attacco è
fatale.
L’intervento più appropriato è l’uso del defibrillatore, che consiste nell’applicazione
di due grossi elettrodi applicati come in Fig. 7.3.5, in grado di fornire un ampère di
corrente a 3000 V per circa un decimo di secondo. Un tale impulso sarebbe in grado
di uccidere il paziente, ma può avere l’effetto inverso, invece di indurre una
defibrillazione potrebbero risolverla.
227
Fig. 7.3.5. Placche del defibrillatore e loro posizionamento sul torace.
Sebbene estremamente preliminari le informazioni fornite in questi paragrafi siano
utili a comprendere il complicato intreccio tra l’elettromagnetismo come scienza a sé
stante e come e perché l’ausilio di strumenti quali il defibrillatore e il pacemaker
artificiale possano essere un valido ausilio per correggere alcune deficienze elettriche
del sistema cardiaco.
4. L’elettroencefalogramma Il cervello come il cuore è sede di una intensa attività elettrica Fig. 7.4.1
Fig. 7.4.1. Il cervello come sede di una attività elettrica
228
I segnali provenienti da tale attività possono fornire importanti informazioni sul
funzionamento del cervello stesso o in merito ai suoi possibili malfunzionamenti.
Pertanto,
insieme
all’ECG,
un
ruolo
importante
viene
giocato
dall’elettroencefalogramma (EEG), che misura i segnali elettrici provenienti dal
cervello, a differenza del cuore il cervello non è un muscolo, le sue funzioni non sono
pertanto interpretabili in termini meccanici e dunque i segnali associati alle sue
funzioni assumono un ruolo più sottile, su cui non potremo addentrarci. Sta di fatto
comunque che le “onde” cerebrali hanno comportamenti che possono rivelare stati di
serenità, di emozioni e quant’altro. Come ciò avvenga è molto difficile da spiegare e
non è affatto chiaro, la complessità del sistema cerebrale richiede dunque un
atteggiamento molto pragmatico, volto a coglierne gli aspetti fenomenologici da
inquadrare in un contesto teorico, che al momento non è definito nella sua interezza.
Come nel caso dell’ECG il posizionamento degli elettrodi dipende dai risultati che si
vogliono ottenere, le posizioni comunemente adottate sono mostrate in Fig. 7.4.2
Misura di EEG
F
P
C
T
O
Numeri pari
Numeri dispari
z
area frontale
area parietale
area centrale
area temporale
area occipitale
elettrodi a destra
elettrodi a sinistra
elettrodi sulla mediana
Fig. 7.4.2. Posizionamento degli elettrodi sul cranio, Gli elettrodi vengono
applicati in base a coordinate standard sistema internazionale 10-20
intrdotto dalla International Federation of Elettroencephalography nel
1958.
I potenziali misurati sono quelli tra gli elettrodi ed uno di riferimento, di solito
collocato in vicinanza di un orecchio. Di solito si utilizzano posizionamenti
229
simmetrici in modo da evidenziare possibili asimmetrie (destra/sinistra) di
funzionamento, i segnali tipici sono estremamente bassi dell’ordine di 30-50 μ V , i
segnali di EEG sono pertanto soggetti a problemi di rumore. In Fig. 7.4.3 viene
riportato alcuni tracciati di EEG relativi a una persona sana impegnata in attività
diverse.
Tracciato EEG
Si distinguono4 tipi di onde cerebrali:
Onde alfa (tra 8 e 14 Hz)
caratteristiche degli stati di
rilassamento e meditazione
Onde beta (tra 14 e 30 Hz)
caratteristiche dello stato di veglia
Onde theta (tra 4 e 8 Hz)
caratteristiche dello stato di sogno
onde delta (tra 0,5 e 4 Hz),
caratteristiche dello stato di sonno
Fig. 7.4.3. Tipiche onde cerebrali in varie condizioni fisiologiche.
La frequenza del segnale dipende dalla attività mentale della persona. Uno stato di
rilassamento corrisponde a frequenze tra i 3 e i 13 Hz. La Figura 7.4.4 mostra l’EEG
di una persona che dorme, in cui si mostra che le prime fasi del sonno sono
caratterizzate da frequenze più alte, che nel caso di sonno profondo.
230
Fig. 7.4.5. Tracciato EEG in due diverse fasi del sonno.
Infine notiamo che problemi cerebrali come l’epilessia sono caratterizzati nelle sue
forme più gravi da segnali di EEG superiori a 100 μ V (Fig. 7.4.6).
Fig. 7.4.6. Tracciato EEG ed epilessia nelle sue due forme di Grande e Piccolo Male.
231
5. Le cellule nervose e la propagazione dei segnali elettrici Nel paragrafo precedente abbiamo descritto in termini molto qualitativi come si
propaga un segnale elettrico lungo gli assoni di una cellula nervosa. In questo
paragrafo cercheremo di essere meno vaghi.
La struttura base del sistema nervoso è la cellula nervosa o neurone, che permette la
ricezione e la trasmissione degli impulsi elettrici alla base di qualsiasi trasferimento
di informazione. La struttura dei neuroni è simile in tutti gli organismi viventi, molto
di quello che si conosce sulle loro proprietà è stato studiato sui calamari. La
differenza non sta dunque nel tipo ma nel numero, una aragosta ha ad esempio
qualche migliaio di neuroni, il cervello umano circa 100 miliardi (come il numero di
stelle nella nostra galassia) e visto che, in media ogni neurone è legato ad altri 100
mila, il numero delle connessioni neurali possibili si aggira pertanto intorno ai 10
milioni di miliardi.
Come abbiamo già visto, il singolo neurone è una struttura piuttosto complessa,
costituita dagli assoni, il nucleo, i dentriti e le sinapsi. Il nucleo è il centro del sistema
che contiene le informazioni genetiche che presiedono all’operazione della cellula, i
dentriti sono le antenne riceventi e le sinapsi sono i punti di contatto con gli altri
neuroni, l’assone è una lunga fibra che trasmette il segnale al ricettore terminale. La
cellula opera in modo unidirezionale, dai dentriti all’assone, che ha un diametro di
10-20 μ m e una lunghezza che nel caso degli esseri umani può raggiungere anche il
metro. L’impulso elettrico viaggia, lungo l’assone, ad una velocità di che va dagli 0.6
ai 100 m/s .
In questo e nel prossimo paragrafo discuteremo come il segnale elettrico si propaghi
lungo la fibra, applicando quanto abbiamo imparato sui circuiti, sulle capacità e sui
materiali dielettrici.
La strategia che seguiremo è quella di specificare cosa determini le condizioni per la
propagazione di un segnale elettrico lungo una fibra nervosa che considereremo come
una sorta di cavo elettrico.
Abbiamo già discusso il meccanismo di propagazione in termini qualitativi, facendo
notare che il segnale si propaga a causa del fenomeno di depolarizzazione dovuta ad
una variazione del potenziale di equilibrio tra la parte interna ed esterna della cellula.
Tale differenza di potenziale è associata alla differente concentrazione di ioni
positivi e negativi da entrambi i lati (si veda la Fig. 7.5.1)
232
interno dell'assone
Na + = 15
K+
fluido extracellulare
mMoli
litro
= 150
ce /ci
Na + = 145
9.7
K+
0.03
=5
Misc + = 5
Cl -
Cl -
=9
Misc - = 156
= 125
Misc - = 30
V= -70 mV
13.9
0.2
V= 0
Fig. 7.5.1. Ioni e relative concentrazioni all'interno e all’esterno dell’assone.
Quando la membrana si trova in condizioni di equilibrio termodinamico la differenza
di potenziale tra la parte interna ed esterna può essere calcolata tramite l’equazione di
Nernst-Goldman, scritta, in unità pratiche, come segue
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
⎡ X+ e⎤
⎡ X− e⎤
Δ V = Vi − Ve ≅ −61.5 mV ln ⎢ + ⎥ = 61.5 mV ln ⎢ − ⎥
⎣⎢ X i ⎥⎦
⎣⎢ X i ⎦⎥
2
(5.1)
Dove [X ± ]e,i indica la concentrazione dello ione positivo o negativo esterno o interno
alla membrana. Utilizzando quanto mostrato in Fig. 7.5.1 abbiamo ad esempio
[Na ]
[Na ]
+
e
+
≅ 9.7 → Δ V ≅ −120 mV , il potenziale effettivo va calcolato come valore medio
in
utilizzando le varie concentrazioni riportate nella medesima figura.
Lo spessore della membrana è di circa
la membrana è E = −
5 − 6 nm
e pertanto il campo elettrico attraverso
Δ V 70 ⋅10−3V
V
≅
= 1.17 ⋅107 .
−9
Δ x 6 ⋅10 m
m
Approssimiamo ora l’assone come mostrato in Fig. 7.5.2 e assimiliamolo ad un cavo
di forma cilindrica.
La carica accumulata sulla superficie può essere calcolata tramite la formula
233
Q = ε rε 0 S E
(5.2)
dove εr è la costante dielettrica relativa del materiale intracellulare. la capacità del
capacitore associato all’assone può essere scritta come
Cm = ε r ε 0
2π L
,
⎛b⎞
ln⎜ ⎟
⎝a⎠
(5.3)
L
a
b
Fig. 7.5.2. Schematizzazione dell’assone come un capacitore cilindrico.
La membrana non è un isolante perfetto pertanto possiamo calcolare la quantità di
corrente (e pertanto di carica) che fluisce attraverso di essa utilizzando la
schematizzazione circuitale mostrata in Fig. 7.5.3
Im
Ii
Ii
R
C
Vi - Ve
Fig. 7.5.3. Circuito equivalente per la conduzione di carica tra l’interno e
l’esterno della membrana dell’assone.
La resistenza associata alla membrana è
234
Rm =
ρ mb
(5.4)
S
Dove ρ m denota la resistività del materiale della membrana. In base a quanto abbiamo
imparato nei capitoli
−
t
Q(t ) = Q0 e ,
τ
τ = Rm C m = ρ m
2π
⎛b⎞
ln⎜ ⎟
⎝a⎠
(5.5)
Abbiamo dunque stabilito che la carica può fluire attraverso la membrana secondo la
relazione precedente determinando una variazione di polarizzazione, come mostrato
in Fig. 7.5.4; tale variazione determina la propagazione del segnale elettrico lungo
l’assone. Nel prossimo paragrafo chiariremo ulteriormente questo punto.
flusso di corrente esterna
membrana
+ + + + - - - + + + + + + +
- - - - + + + - - - - - - Assone
- - - - + + + - - - - - - + + + + - - - + + + + + + +
depolarizzazione
ripolarizzazione
direzione di trasmissione
Potenziale d'azione
Fig. 7.5.4. Propagazione del potenziale d'azione e della depolarizzazione dell'assone.
Prima di concludere questa breve disamina, cerchiamo di fissare qualche numero di
riferimento utile per gli sviluppi successivi.
Tenuto conto che ε r ≅ 7 , ρ m ≅ 1 .6 ⋅ 10 7 Ω m ricaviamo τ ≅ 10 −3 s . I dati a nostra
disposizione permettono di calcolare una capacità dell’assone per unità di superficie
F
−4 C
. Nel caso di una fibra di
pari a circa 0 .01 2 e una densità di carica ≅ 7 ⋅10
m
m2
235
lunghezza di L = 1 m con una membrana di spessore b ≅ 10 nm ed un raggio
a ≅ 2 .5 μ m otteniamo un valore della capacità della cellula dato da
C=
ε rε 0
b
( 2 π a L ) ≅ 0.1 μ F , utilizzando inoltre il dato di 70 mV di differenza di
potenziale tra l’esterno e l’interno otteniamo una carica superficiale di
Q = C V ≅ 6 . 8 nC .
6. La teoria dei cavi e la propagazione dei segnali elettrici lungo l’assone La parte interna ed esterna dell’assone contengono un liquido conduttivo, pertanto la
corrente può fluire sia all’interno che all’esterno dell’assone. La resistenza interna è
data da (si veda la Fig. 7.6.1)
Ri = ri L ,
ri =
ρi
π a2
(6.1)
dove ri è la resistenza per unità di superficie e ρi è la resistività dell’ ”asso plasma”,
che può essere quantificata in 0 .5 Ω m
L
Ii
a
a
b
Ri
Ii
Fig. 7.6.1. Schematizzazione dell’assone.
Abbiamo già fatto notare che quando un segnale elettrico, o un qualsiasi stimolo
eccita la cellula nervosa il sistema non rimane più in equilibrio e le cariche possono
fluire da una parte all’altra della membrana, determinando un cambio di
concentrazione e dunque un cambio di potenziale. Cerchiamo ora come questo
segnale, locale, si propaghi lungo la fibra nervosa per portare lo stimolo al cervello.
236
E’ evidente che la corrente che attraversa la membrana ecciterà una corrente lungo
l’asse della fibra. Consideriamo quanto mostrato in Fig. 7.6.1, notando che le correnti
interessate al processo sono quelle relative
a) alla schematizzazione circuitale di Fig. 7.6.2 I m + Cm
d Vm
che attraversano la
dt
membrana
b) La corrente interna diretta lungo l’assone I i (x) , che dipende dalla coordinata di
propagazione x , tramite la relazione
1 dV
I i ( x) =
ri d x
(6.2).
L’equazione (6.2) contiene una ulteriore importante assunzione relativa alla
dipendenza del potenziale dalla coordinata di propagazione.
Im
Ii(x)
Ii(x+δx)
a
x
x + δx
Fig. 7.6.2. Correnti di membrana ed interne in una cellula nervosa.
Le correnti longitudinali in due punti leggermente diversi ( x , x + δ x ) non saranno
pertanto le stesse. Dalla legge di Kirchhoff applicata alle correnti riportate in Fig.
7.6.2 che fluiscono attraverso la membrana e all’interno dell’assone si ottiene
I i ( x) = I i ( x + δ x) + I m + C m
dV
dt
Notando ora che, in virtù della eq. (6.1), per piccoli spostamenti si ottiene
(6.3).
237
1 ⎡d V
d 2V ⎤
d
+δ x 2 ⎥
I i ( x) = ⎢
I i ( x + δ x) ≅ I i ( x ) + δ x
dx ⎦
dx
ri ⎣ d x
(6.4).
Inserendo tutto nella eq. (6.2) otteniamo infine
Cm d V
1 d 2 V Cm
Im,
=
−
ΔS d t 2 π a ri d x 2 Δ S
(6.5)
ΔS = 2 π a δ x
Quest’ultima equazione costituisce la cosiddetta equazione di trasmissione dei
cavi e stabilisce che la variazione del potenziale sia dovuto alla corrente che
fluisce attraverso la membrana e alla variazione della tensione lungo l’asse di
propagazione. Nella Fig. 7.6.3 viene mostrata una sorta di schematizzazione
circuitale, che rende conto dell’interpretazione della propagazione del segnale
elettrico lungo la fibra nervosa in termini della teoria dei cavi
Fluido extracellulare
Cm
Rm
Cm
Rl
Rm
Rl
Cm
Rm
Cm
Rl
Rm
Cm
Rm
Rl
Resistenza della membrana
Resistenza longitudinale
Capacità dovuta alle forze
elettrostatiche
Fig. 7.6.3. Fibra nervosa schematizzata come circuiti resistenza-capacità
collegati tramite la resistenza del “plasma-assone”.
Vedremo nel prossimo paragrafo come gli argomenti trattati possano avere
importanti riflessi sullo studio di una malattia grave come la sclerosi a placche.
238
7. La propagazione dei segnali lungo le cellule nevose e il ruolo della mielina Cerchiamo ora di sfruttare l’equazione (6.4) per trarre ulteriori informazioni senza
entrare in dettagli matematici e scriviamola nella forma seguente
2
dV
2 d V
τ
=l
+ ΔV
dt
d x2
(7.1)
dove abbiamo posto
ρm a b
,
ρi 2
l=
(7.2)
τ = ε rε 0 ρm ,
e Δ V è la differenza di potenziale dovuta alla cellula nervosa . Poiché l ,τ hanno le
dimensioni di una lunghezza e di un tempo, rispettivamente, potremmo anche
concludere che
v=
l
τ
=
1
ab
(7.3)
ε r ε 0 2 ρi ρ m
E’ dunque evidente che la velocità di propagazione dipende sia dallo spessore della
membrana che dal raggio dell’assone. Utilizzando i valori tipici dati in precedenza si
ottiene la seguente formula pratica per la velocità
[
]
v m ⋅ s −1 ≅ 2.5 a[μ m]b[μ m]
(7.4)
Una velocità di propagazione di almeno 1 m/s richiede, assumendo ad esempio che
tara lo spessore della membrana ed il raggio dell’assone esista la seguente relazione
−1
b ≅ 0 .4 a otteniamo v m s ≅ 0.45 a[μ m] . Nei paragrafi precedenti abbiamo utilizzato
valori dello spessore nettamente inferiori, in realtà la membrana è ricoperta da una
guaina di mielina (Fig. 7.7.1) che ha la funzione di aumentare la velocità di
propagazione del segnale.
[
]
Una idea di come si propaghi il segnale si può ottenere dalla soluzione dell’eq. (7.1)
che fornisce l’evoluzione della differenza di potenziale lungo l’assone. La
derivazione di tale soluzione va un po’ al di là degli scopi di queste lezioni, notiamo
però che la sua forma non è dissimile da quella che caratterizza la propagazione del
calore in una sbarra.
239
Non entreremo in ulteriori dettagli, però vogliamo far notare che alcune gravi
patologie, come la sclerosi multipla, sono associate a difetti di mielinizzazione degli
assoni.
Fig. 7.7.1. Guaina mielinica intorno all’assone e nodi Di Ranvier
8. Elettromiogramma Il sistema dei nervi è il sistema di sensori del corpo che ricevono un segnale
(temperatura, pressione…) e trasmettono il segnale elettrico ad esso associato al
cervello o corda spinale, dove nasce il segnale di risposta, che viene trasmesso dai
nervi motori alle fibre muscolari.
Il segnale trasmesso determina la contrazione dei muscoli, la velocità di trasmissione
determina il tempo di risposta. L’elettromiografia permette di misurare la velocità di
risposta del muscolo, permettendo così di stabilire la funzionalità del muscolo stesso.
L’attività muscolare viene misurata tramite l’impianto di sensori sotto la pelle dentro
le fibre muscolari. Gli elettrodi prelevano il segnale, che viene amplificato e
successivamente registrato temporalmente. Uno schema di principio viene mostrato
in Fig. 7.8.1.
240
Amplificatore
Tempo di
riferimento
per l'EMG
Stimolatore
EMG
Potenziale
d'azione
Latenza
1 mV
6 ms
7 ms
tempo
Fig. 7.8.1 Schema di principio per la misura della del segnale dell’impulso
nervoso lungo le innervature del braccio: l’impulso viene stimolato
e poi rilevato dopo essere stato amplificato.
La forma e l’intensità del segnale dipende dal tipo di elettrodi utilizzato; un elettrodo
ad ago è, ad esempio, preferibile per lo studio della propagazione degli impulsi lungo
un fascio che interessa un numero limitato di fibre di assoni, un elettrodo largo
permette di esplorare un angolo solido maggiore e pertanto di raccogliere più segnale,
in questo caso, però, si ha a che fare con un impulso integrato su fasci costituiti da
molti assoni. Le relative forme d’onda sono riportate nelle Fig. 7.8.2
1 mV
0
2
-1 mV
1 mV
Elettrodo ad ago
4 msec
Elettrodo a piastrina
0
2
4 msec
-1 mV
Fig. 7.8.2. Forme di impulso a seconda della forma degli elettrodi.
Sebbene i sensori possano misurare segnali volontari, si preferisce uno stimolo
esterno per eseguire l’esame miografico. Il segnale di stimolo è solitamente costituito
da un impulso con una ampiezza massima di un centinaio di Volt e una durata di
241
pochi decimi di ms. Il segnale di risposta può essere rilevato dopo un certo tempo di
latenza, dovuto al tempo di risposta del sistema nervoso. Assumendo una velocità di
100 m/s per la propagazione del segnale, il tempo di ritardo τ tra l’impulso stimolante
e il segnale misurato ad una distanza di 0.5 m è all’incirca 5 ms, con una ampiezza di
1mV.
Si può ottenere la risposta di differenti muscoli motori o sensoriali, scegliendo livelli
diversi dell’ampiezza del segnale stimolante.
Impulsi piuttosto deboli possono essere rilevati dai nervi sensori e la risposta
associata ha un tempo di latenza piuttosto alto, a causa del fatto che il segnale deve
raggiungere il cervello e il segnale di risposta deve raggiungere l’elettrodo i tempi di
latenza sono stimabili nell’ordine di 15 ms.
Il tempo di latenza è dunque associato alla velocità di propagazione del segnale
elettrico lungo le fibre nervose, nella discussione precedente abbiamo assunto una
velocità media di propagazione intorno ai 100 m/s. Una misura diretta della velocità
di propagazione, lungo un nervo motorio, viene effettuata come mostrato in Fig. 7.8.3
dove si utilizzano due segnali stimolanti, applicati in posizioni diverse, e poi si
misura la differenza dei tempi di risposta con un elettrodo. Poiché il ritardo è noto,
così come la distanza percorsa, la velocità sarà semplicemente determinata da
v=
Δx
τ
=
0.25 m
≅ 62.5 m / s
4 ⋅ 10 −3 s
d
Amplificatore
2°stimolo
1°stimolo
EMG
1
tempo
t1
t2
2
tempo
Fig. 7.8.3. Schema di misura della velocità di propagazione dell’impulso nervoso.
242
Nel caso si voglia misurare la velocità dell’impulso lungo un nervo sensorio si usa un
solo segnale di stimolo e il segnale di risposta viene rilevato con diversi elettrodi
situati in posizioni diverse (si veda la Fig. 7.8.4).
La differenza nei tempi di risposta fornisce le informazioni necessarie sulla velocità
di propagazione. Per quanto concerne l’esempio riportato in figura si ottiene
0.25 m
≅ 58 m / s
4.3 ⋅ 10 −3
0 .2 m
=
≅ 50 m / s
4 ⋅ 10 −3 s
v1, 2 =
v 2,3
da cui si deduce che il segnale non ha la stessa velocità in tutti i punti, la qual cosa
potrebbe essere interpretata, tenuto conto di quanto detto nel paragrafo precedente,
come dovuta a non omogeneità delle dimensioni dell’assone o delle resistività
associate.
d2
d1
3°stimolo
d3
2°stimolo
1°stimolo
Amplificatore
EMG
1
t1
2
t2
3
t3
tempo
Fig. 7.8.4. Schema di misura della velocità degli impulsi nervosi con l’utilizzo
di più elettrodi.
243
9. Effetti fisiologici della corrente sul corpo umano Dopo le nozioni di fisiologia apprese in questo Capitolo siamo in grado di fornire un
quadro, ancorché parziale, delle problematiche inerenti gli effetti della corrente
elettrica sul corpo umano.
Come già visto nel Capitolo II, Il passaggio della corrente elettrica attraverso il corpo
umano può essere la causa di numerose alterazioni fisiologiche che vanno dalla
sensazione appena percepibile fino alla morte. Tra questi due estremi esiste un
ventaglio di possibili conseguenze determinate da parametri quali intensità della
corrente, durata del contatto e frequenza, nel caso si tratti di corrente alternata.
Nella Fig. 7.9.1 sono riportate le regioni di rischio, in un grafico corrente-durata del
contatto, per l’intervallo di frequenze 50-60 Hz.
Fibrillazione
ventricolare
10 4
Danni fisici
permanenti,
bruciature
Tempo (ms)
panico
10 3
fatica
Paralisi
respiratoria
10 2
Soglia della
percezione
10
0.1
0.5 1
Contrazione
miocardica
sostenuta
Soglia del distacco
volontario (let-go)
10
100
1000
10000
Corrente nel corpo (mA)
Fig. 7.9.1. Risposta del corpo umano al contatto elettrico. Grafico Intensità di
corrente-durata del contatto e zone di rischio.
Descriveremo con maggior dettaglio il contenuto informativo della Fig. 32, ora
notiamo che da essa si evince che l’interazione tra sistema fisiologico umano e
corrente può essere grossolanamente ascritta a due diverse fenomenologie: quella
dovuta all’Interferenza con l’attività delle cellule nervose, quella ascrivibile ad effetti
di potenza.
244
Descriveremo in questo paragrafo gli effetti di interferenza che si riferiscono a
intensità di corrente relativamente basse.
A tal riguardo, notiamo che la corrente che attraversa il corpo eccita il potenziale di
azione della cellula, solo se supera un certo valore di soglia, che a sua volta dipende
dalla durata dell’impulso di corrente secondo la relazione
I =
I0
1− e
−
(9.1)
t
H
detta curva di eccitazione (Fig. 8.9.2).
Le quantità I 0 , H , che ivi appaiono, sono costanti caratteristiche della cellula nervosa,
il termine I0 è l’intensità di soglia detta reobase, corrispondente a tempi di contatto
indefiniti e H è legato alla cronassia, ovvero al tempo
tc = ln(2) H
(9.2)
Intensità dello stimolo
che è il tempo corrispondente alla intensità 2I0 sulla curva di eccitazione e dunque il
tempo minimo di applicazione dell’impulso per ottenere lo stimolo cellulare
I
I=
I0
1-e – t /H
2 x reobase
2I0
I0
0
tc = ln(2)H
cronassia
reobase
tc
Durata dello stimolo t
Fig. 7.9.2. Curva di eccitazione, ovvero curva di Lapique intensità-tempo.
In Fig. 7.9.3 si mostra uno stimolo elettrico di durata appropriata che induce
l’eccitazione del potenziale di azione.
245
stimolo
Potenziale resistente
della membrana
+ + + + + + +
- - - - - - - - - - - - + + + + + + +
+
+
+
+
+
--+
+
membrana
+
- +
- +
- +
+
depolarizzazione
Potenziale di soglia
ΔV
stimolo
durata
Potenziale d'azione
Fig. 7.9.3. Interazione tra impulso di corrente e membrana cellulare.
“
E’ importante sottolineare che, una volta superata la soglia, l’ampiezza del potenziale
d’azione, indotto dallo stimolo è indipendente dalla intensità di corrente.
La curva di eccitabilità si riferisce ad impulsi sufficientemente distanziati nel tempo,
che determinano la “accensione” periodica del potenziale di azione, solo se la
distanza tra i singoli impulsi è molto maggiore del tempo di “refrattarietà assoluta”,
ovvero dell’intervallo di tempo all’interno del quale l’applicazione di uno stimolo,
sebbene intenso, non produce alcuna eccitazione. Si definisce altresì “refrattarietà
relativa” l’intervallo di tempo , conseguente a quello di refrattarietà assoluta, in cui
solo un impulso più intenso del precedente può determinare l’eccitazione cellulare.
In conseguenza di quanto appena discusso, nella ipotesi di durata indefinita dello
stimolo, si ha il cosiddetto fenomeno di accomodamento cellulare., caratterizzato dal
fatto che la corrente produce una eccitazione seguita dal periodo refrattario, dopo il
quale non si verifica alcuna successiva eccitazione, a meno che non si aumenti
l’intensità dell’impulso stimolante.
La corrente alternata può essere visualizzata come una serie di impulsi che si
susseguono in intervalli di tempo dati da ΔT ≅ 1 . Correnti alternate di alta frequenza
2ν
possono essere dunque visualizzate come una serie di impulsi a breve distanza e
inevitabilmente alzano la soglia di eccitazione. Per tale ragione nell’uso
dell’elettrobisturi si utilizzano correnti di alta intensità oscillanti a qualche MHz, che
non causano folgorazioni al paziente a cui vengono applicate.
Veniamo ora ad una discussione più accurata di quanto contenuto in Fig. 32; a parte
la soglia di percezione che ha un significato ovvio è meno comprensibile quella che è
stata indicata come soglia di “let-go”, che in termini più precisi andrebbe definita
come soglia di Tetanizzazione. Il meccanismo alla base di tale risposta fisiologica
può essere compreso sulla base di quanto appena detto. La corrente determina
246
l’innesco del potenziale d’azione e una conseguente contrazione muscolare; più
stimoli opportunamente intervallati producono una sovrapposizione di contrazioni
che in certi casi diventa tale da non permettere di lasciare la presa di contatto.
Nell’intervallo di frequenza della figura si tratta di valori che di intensità di corrente
di soglia, al di sopra dei 10 mA per le donne e 15 mA per gli uomini.
L’interruzione della respirazione è sempre un problema legato ad un problema di
natura muscolare e infine la fibrillazione, mostrata in figura 33 è ascrivibile ad
analoghe fenomenologie.
La figura mostra un tracciato ecocardiografico e l’instaurarsi di un fenomeno di
fibrillazione con conseguente calo della pressione.
Le curve indicate con c1, 2 , 3 sono relative alla soglia di fibrillazione e a valori di
intensità e durata temporale che determinano una probabilità di fibrillazione del 5% e
10% rispettivamente.
Un impulso di corrente può invece essere utilizzato per ristabilire il normale ritmo
cardiaco, nel caso di fibrillazione. L’uso di un defibrillatore permette di ricomporre il
normale tracciato eco-cardiografico ed è come se si ripercorresse all’indietro il
tracciato di Fig. 7.9.4.
Fibrillazione ventricolare
Punto caratteristico della fibrillazione
Caduta di
pressione
mmhg
120
80
40
0
pressione
Movimento disordinato dei ventricoli
Fig. 7.9.4. Fibrillazione e conseguente calo di pressione.
247
10. Considerazioni Conclusive Abbiamo fatto notare che ad alte correnti i problemi più rilevanti sono quelli dovuti
alle ustioni causate dall’effetto Joule, ovvero dal riscaldamento indotto dalla corrente
nel materiale che attraversa. Il corpo umano non sfugge a questa regola.
Come visto nei capitoli precedenti la corrente dissipa potenza e induce calore che
determina un aumento di temperatura, più o meno accentuato a seconda della capacità
termica del corpo interessato. In termini analitici avremo
c S l ΔT = ρ
l 2
I Δt
S
(10.1)
Dove c è la capacità termica per unità di volume e S,l sono, rispettivamente, la
sezione e lo spessore della regione attraversata dalla corrente.
Una corrente I che attraversa un materiale di resistività ρ per un intervallo di tempo
Δt produce dunque un innalzamento di temperatura pari a
ΔT =
ρ⎛I⎞
2
(10.2a)
⎜ ⎟ Δt
c ⎝S⎠
che può essere riscritta come
ΔT =
ρ
c
(10.2b),
J 2Δ t
da cui si evince che l’effetto è legato alla densità di corrente J.
Ad alte tensioni gli effetti termici sono dominanti sugli altri, le ustioni elettriche sono
profonde e le più difficili da guarire. Per dare una idea della pericolosità facciamo
notare che una densità di corrente pari a 50
mA
determina in 10 secondi la completa
mm 2
carbonizzazione della pelle in pochi secondi, valori di una decina di
mA
non
mm 2
provocano conseguenze significative.
Una trattazione più dettagliata delle problematiche fino ad ora discusse, diventa
troppo specialistica e, pertanto, poco utile per un corso di natura istituzionale.
249
CAPITOLO VIII
LE RADIAZIONI E CENNI DI DOSIMETRIA
1. Introduzione Questo è il Capitolo conclusivo della terza parte delle lezioni di Fisica Applicata a
problematiche di natura sanitaria e conclude l’intero corso delle lezioni. Al tempo
stesso apre una finestra su altre aree di interesse, la cui comprensione richiede una
conoscenza che va al di là di quella acquisita sino ad ora. Tratteremo infatti il
problema delle radiazioni elettromagnetiche ionizzanti e non, e come queste possano
essere utilizzate a fini diagnostici e/o terapeutici. Cercheremo di tenere la descrizione
ad un livello qualitativo e pratico, provando a trasmettere solo l’essenziale, nella
speranza che sia di stimolo per futuri approfondimenti.
Nei capitoli precedenti abbiamo parlato di radiazione elettromagnetica e nella Fig.
8.1.1 abbiamo riportato il relativo spettro che si estende dai raggi gamma fino alle
onde radio.
Frequenza
ν (Hz)
Energia del
fotone
E = hν (eV)
Lunghezza
d'onda λ (m)
1021 1020 1019 1018 1017 1016 1015 1014 1013 1012 1011 1010 109 108 107 106 105
107 106 105 104 103 102 10
1 10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9
10-13 10-12 10-11 10-10 10-9 10-8 10-7 10-6 10-5 10-4 10-3 10-2 10-1 1
Raggi γ
Raggi UV
X
Radiazione
infrarossa
10
Onde radio
Microonde
Fig. 8.1.1. Spettro della radiazione elettromagnetica .
102 103
250
Non vi è parte dello spettro elettromagnetico che non abbia un interesse sanitario, sia
dal punto di vista protezionistico che da quello diagnostico, strumentale o terapeutico.
Il termine radiazione applicato alle sole onde elettromagnetiche è comunque
riduttivo; abbiamo infatti già parlato di radiazione e di dose nel caso delle onde
sonore e dovremmo includere, in tale generico contesto, le radiazioni associate a
particelle cariche, quali gli elettroni o le particelle alfa, derivanti da processi di
decadimento nucleare.
In questo Capitolo discuteremo i vari aspetti della relativa problematica e forniremo
alcuni elementi che riteniamo di notevole importanza per la formazione medico
sanitaria.
Nel corso del Capitolo V abbiamo introdotto il concetto di fotone, come componente
elementare dell’onda elettromagnetica. L’idea di fotone è il punto di arrivo moderno
della visione corpuscolare della luce e rappresenta una particella priva di massa in
grado di trasportare impulso. Abbiamo visto che l’energia trasferita da un’onda ad un
dipolo elettrico è tanto maggiore quanto minore è la sua lunghezza d’onda. Possiamo
pertanto assumere che l’energia dell’onda sia inversamente proporzionale alla sua
lunghezza d’onda, ovvero direttamente proporzionale alla sua frequenza.
Abbiamo anche visto che dalla teoria di Maxwell segue la definizione di una sorta di
impulso dell’onda elettromagnetica (p), legato al vettore di Poynting ( Pγ ) tramite la
relazione
p = Pr A Δt
r
S
Pr =
c
(1.1)
dove A e Δ t sono la superficie su cui l’onda incide e la durata dell’interazione,
rispettivamente.
Alla luce di quanto detto prima, possiamo affermare che la (1.1) è la manifestazione
macroscopica dell’impulso dovuto alle singole componenti elementari.
r
Il vettore S ha le dimensioni di una intensità, ovvero di una potenza per unità di
superficie, se assumiamo che l’onda in considerazione sia monocromatica e che sia
costituita da un insieme di particelle identiche potremo scrivere che l’energia
associata all’onda sia
E = n hν
(1.2)
251
dove n è il numero di particelle componenti, h una costante che definiremo in seguito
c
e ν=
è la frequenza associata all’onda. La potenza dell’onda è data dalla
λ
variazione della sua energia nel tempo; per come sono state definite l’unica quantità
che può variare nel tempo è il numero di fotoni, per cui avremo
r
S = n& hν
(1.3)
dove n& rappresenta il numero di fotoni per unità di tempo e di superficie
cosicché la pressione di radiazione potrà essere scritta come segue
Pr = n& h k ,
k=
2π
λ
,h =
h
2π
(1.4)
nella precedente equazione abbiamo indicato con k il modulo del vettore d’onda,
diretto nella direzione di propagazione. In base alle argomentazione precedenti
concludiamo dunque che, quando un’onda incide ortogonalmente su una superficie A
per un tempo Δt essa sarà in grado di trasferire un impulso, nella direzione del moto
pari a
r
r
p = nhk
(1.5).
n = n& A Δ t
Come ci aspettavamo l’impulso è legato al numero di fotoni costituenti l’onda e alla
r
quantità h k , che potremo riconoscere come l’impulso del singolo fotone.
La costante h prima introdotta ha le dimensioni di una azione ovvero di una energia
per un tempo ed è nota come costante di Planck e il suo valore numerico è
h ≅ 2 π ⋅ 1.055 ⋅ 10 −34 J ⋅ s
(la costante h viene talvolta detta costante di Planck ridotta)
Come applicazione delle formule precedenti calcoliamo il numero di fotoni assorbiti
2
da una superficie di 1mm su cui incida per un secondo radiazione infrarossa di
intensità pari a 5
W
.
m2
252
Dall’equazione (1.2) otteniamo (perché?)
n=
r
S Aλ
2π h c
(1.6)
da cui, assumendo una lunghezza d’onda di 10 μ m , si ha n ≅ 2.5 ⋅1014 .
Consideriamo ora l’energia del singolo fotone che come abbiamo visto è data da
e f = hν =
hc
λ
(1.7)
L’aspetto interessante della relazione precedente è che l’energia è espressa in termini
di due costanti universali (h e c), per cui l’energia dei fotoni potrà essere espressa in
vario modo, a seconda della convenienza specifica, in ogni caso la frequenza o la
lunghezza d’onda sono sufficienti a specificarne l’energia.
Le relazione che segue è estremamente utile ed invitiamo il lettore a derivarla per
proprio conto
1.24 ⋅103
e f [e V ] ≅
λ [n m]
(1.8)
che esprime la relazione diretta tra elettron-volt e lunghezza d’onda.
2. Radiazioni ionizzanti Non a caso abbiamo concluso il paragrafo precedente mettendo in evidenza il legame
tra energia del singolo fotone e l’elettron-volt che è l’energia cinetica acquisita da un
elettrone sottoposto alla differenza di potenziale di 1V. Un elettrone che assorbisse
l’energia di un fotone di lunghezza d’onda di circa 1240 nm acquisirebbe dunque
un’analoga quantità di energia.
Abbiamo fatto cenno alla struttura atomica nel capitolo introduttivo ed abbiamo
accennato al fatto che l’atomo è costituto da un nucleo centrale intorno a cui, secondo
il modello semiclassico di Bohr, si muovono gli elettroni eseguendo orbite circolari
(si veda la Fig. 8.2.1)
253
n=3
n=2
n=1
e
ΔE = hν
+ Ze
Fig. 8.2.1. Modello atomico di Bohr
Gli elettroni sono legati al nucleo tramite la forza di Coulomb e si assume che si
muovano su orbite particolari, che definiremo di seguito.
Nel caso dell’atomo di idrogeno l’energia del singolo elettrone che orbita intorno al
nucleo sarà dunque data dalla somma dell’energia cinetica e dell’energia potenziale
1
1 e2
2 2
E = mω r −
2
4π ε 0 r
(2.1)
Dove ω è la velocità angolare dell’elettrone orbitante intorno al nucleo. In condizioni
di equilibrio ovvero quando la forza centrifuga eguaglia la forza di Coulomb, avremo
e2
mω r =
4π ε 0 r 2
1
2
e2
,
E=−
8π ε 0 r
1
(2.2)
Si ricordi che l’energia è negativa perché rappresenta quella dell’elettrone legato al
nucleo.
A questo punto assumeremo che le sole orbite stazionarie siano quelle in cui
l’elettrone ha un momento angolare che è un multiplo intero di quella che si chiama
la costante di Planck ( h )
m r 2ω = n h
(2.3).
254
L’equazione precedente è il frutto di una ipotesi ad hoc, la cui validità viene
successivamente verificata per via sperimentale.
Dalla prima delle equazioni (2.2) e dalla (2.3) si ha
m ω 2r 2 =
e2
= n hω
4π ε 0 r
1
(2.4)
e inoltre, combinando questo risultato con la seconda delle equazioni (2.2) otteniamo
r=
4π ε 0
(n h )2 ,
2
em
2
1 ⎛ e2 ⎞ 1
⎟⎟
E = − ⎜⎜
2 ⎝ 4 π ε 0 ⎠ (nh )2
(2.5).
Dalle relazioni precedenti segue dunque che
a) Il raggio atomico cresce al crescere del numero intero n, detto numero
quantico principale
b) L’energia di legame è inversamente proporzionale al quadrato di n
c) Non tutte le orbite e l’energie sono ammesse, ma solo quelle determinate dal
numero n.
Quello che abbiamo delineato è il modello atomico di Bohr che ha costituito il primo
tentativo di spiegare la struttura atomica degli atomi basandosi su una ipotesi di
natura “quantistica” 48 . Sebbene tale modello sia inadeguato per una descrizione
corretta del complesso della fenomenologia atomica lo considereremo sufficiente per
i nostri scopi e notiamo pertanto che in forma pratica l’energia dell’atomo di idrogeno
potrà essere scritta come
E=−
13.6 eV
n2
(2.6)
Si veda anche il Capitolo introduttivo.
Il livello energetico più interno è quello con n=1, che corrisponde al cosiddetto stato
fondamentale. L’energia necessaria per ionizzare l’atomo di idrogeno con l’elettrone
48
Il modello di Bohr, formulato nel 1913, fu il primo a fornire una spiegazione coerente della
struttura spettrale dei sistemi idrogenoidi e pose le basi per gli sviluppi successivi. Oggi riferendosi
a tale modello si usa il termine “Vecchia Teoria dei Quanti”.
255
nel livello fondamentale è dunque 13.6 eV e può essere ottenuta utilizzando
radiazione elettromagnetica ultravioletta (UV).
Come abbiamo visto in precedenza l’energia di legame dipende dalla forza di
Coulomb è pertanto lecito attendersi che per atomi più pesanti e dunque con una
carica maggiore del nucleo l’energia di legame sia maggiore e che pertanto ci si
debba attendere che nelle transizioni atomiche siano coinvolte energie anche
superiori ai 13.6 eV necessari per la ionizzazione dell’atomo di idrogeno.
Muovendosi verso le lunghezze d’onda minori (ovvero energie o frequenze maggiori)
dello spettro elettromagnetico dopo i raggi UV incontriamo i raggi X. Tanto per
definire una soglia diremo radiazione X la radiazione elettromagnetica di energia
superiore a 120 eV. L’emissione in questa regione spettrale è determinata dalle
transizioni degli elettroni nelle regioni interne dell’atomo (si veda la Fig. 8.2.2a). Tali
transizioni possono essere ad esempio indotte quando un elettrone interno viene
strappato tramite un urto con elettroni esterni di alta energia. Il posto vacante lasciato
dell’elettrone viene occupato da un altro elettrone orbitante in un livello superiore, il
quale, portandosi ad una energia inferiore, libera un fotone di energia pari alla
differenza tra le energie del livello lasciato vacante e quella del suo livello di
appartenenza (Fig. 8.2.2b)
Elettrone
estratto
M
K
Elettrone incidente con
energia maggiore di
quella di legame
dell'orbitale K
+ Ze
n=1
ΔE = hν
L
n=2
n=3
fotoni X di energia pari a
quella di transizione
Fig. 8.2.2a. Transizione “interne” atomiche indotte dall’urto di elettroni di alta
energia su atomi pesanti.
256
n=5
Kδ
n=4
Lγ
Lβ
n=3
n=2
n=1
Lα
Kγ
Kα
Kβ
K
Mα
L
Mβ
M
N
Fig. 8.2.2b. Denominazione delle righe X per le transizioni dai livelli superiori a
quelli inferiori. Le righe K designano le transizioni allo stato
fondamentale (n=1) , ecc.
Nella figura 8.2.3 viene mostrato lo spettro di emissione dei raggi X da parte di un
elemento pesante (una targhetta di molibdeno). La struttura spettrale è data da due
righe molto intense e da una parte continua nota come fondo di “bremsstrahlung”,
che è un termine che indica la radiazione da frenamento.
Kα
Intensità relativa
3
2
1
Kβ
Fondo da radiazione
di bremsstrahlung
0.02
Righe di emissione di
raggi X da una
targhetta di
molibdeno
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
Lunghezza d'onda ( nm )
Fig. 8.2.3. Spettro di emissione dei raggi X.
257
Come abbiamo già detto le transizioni tra i livelli interni ed esterni sono determinate
dall’urto con elettroni esterni che possono sia cedere la propria energia agli elettroni
strappandoli dalla propria orbita o essere deviati dal campo del nucleo e perdere
energia a causa della accelerazione indotta dalla forza di Coulomb (Fig. 8.2.4).
elettroni
accelerati
emettono
radiazione
+
Fig. 8.2.4. Emissione di radiazione da frenamento(bremsstrahlung).
Si invita il lettore a dimostrare, utilizzando la formula di Larmor, che la potenza
emessa per effetto di bremsstrahlung dagli elettroni in moto in prossimità del nucleo
può essere scritta come
Re3
2
P ≅ me c 4 ,
3
R
e2
Re =
4 π ε 0 me c 2
(2.7).
dove Re viene detto raggio classico dell’elettrone e R è la minima distanza
dell’elettrone dal nucleo.
Torneremo a discutere nel seguito delle proprietà dei raggi X, e parleremo anche
delle radiazioni non ionizzanti intese come quelle aventi energia inferiore a quella di
ionizzazione; in particolare discuteremo la radiazione infrarossa e le microonde.
Concludiamo questo paragrafo, descrivendo un fenomeno naturale spettacolare che
coinvolge gli effetti appena studiati ovvero quello delle aurore boreali, emissioni di
luce visibile nella regione dei poli, dovuta all’interazione delle particelle cariche
costituenti il vento solare49 e interagenti con l’atmosfera terrestre.
49
Il Sole durante la sua attività subisce una sorta di “evaporazione” di particelle provenienti dalla
sua corona. Questa perdita è dovuta alle alte temperature che conferiscono ai protoni e agli elettroni
una energia sufficiente per sfuggire al campo gravitazionale del sole. In vicinanza della terra esse
258
Fig. 8.2.5. Aurora Boreale
Queste particelle vengono canalizzate dalle linee di forza del campo magnetico
terrestre verso il polo nord o sud (dove si addensano le linee di campo, si veda la Fig.
8.2.6)
Particella +
carica
Linee di campo magnetico
Polo
nord
Fig. 8.2.6. Effetto di intrappolamento delle particelle cariche provenienti dal sole
da parte delle linee del campo magnetico terrestre
hanno una velocità di circa 400 km/s la cattura da parte delle linee del campo magnetico terrestre
determina la loro deflessione verso i poli con le conseguenze appena descritte.
259
Ed essendo sufficientemente energetiche riescono a eccitare le molecole dell’aria in
particolare quelle dell’ossigeno e dell’azoto le quali ritornando allo stato
fondamentale emettono la luce che caratterizza le aurore boreali.
Si dimostri che le particelle cariche seguono una traiettoria ad elica, che avvolge
le linee di campo con un raggio pari a
R=
m v sin (ϑ )
qB
dove ϑ è l’angolo tra la direzione della velocità e quella del campo.
3. La Radioattivita’ Abbiamo fino ad ora discusso di problematiche che riguardano alcuni aspetti della
fisica degli atomi ma abbiamo taciuto di cosa succeda nel nucleo, che è composto da
neutroni e protoni. All’interno del nucleo le forze in gioco non sono solo quelle
elettromagnetiche, ma alla sua stabilità concorrono forze a corto raggio note come le
forze nucleari (137 volte più intense di quelle elettromagnetiche e pertanto dette forze
“forti”), le quali bilanciano l’effetto repulsivo di quelle Colombiane (si veda la Fig.
8.3.1). Quando tale meccanismo di bilancio viene perturbato si determinano i
fenomeni detti radioattivi caratterizzati dall’emissione da parte del nucleo di
“radiazioni” di alta energia
Raggi
gamma
Particelle
+ alfa
+
n
+ n +
+ n
+ n n
n + n +
Nn +
+
n +
+ + + n +
n++ n
Forza elettromagnetica
n n
+ + n + + Ze
repulsiva
γ
α
Particelle
beta
-
β
Forza nucleare
attrattiva
Fig. 8.3.1. Forze concorrenti alla stabilità del nucleo e tre tipi di decadimento
radioattivo denominati, secondo la classificazione di Rutherford,
decadimenti α, β, γ.
260
Il raggio del nucleo è chiaramente dipendente dal numero dei suoi componenti
A = Z + N secondo la formula
R = R0 3 A ,
R0 ≅ 1.2 fm,
1 fm = 10
−15
(3.1)
m
In Figura 8.3.1 vengono inoltre riportati tre tipi di decadimento radioattivo
denominati, secondo la classificazione di Rutherford, decadimenti α, β, γ.
La radiazione α è costituita da un nucleo di elio (due neutroni e due protoni) che
viene espulso dal nucleo (si veda la Fig. 8.3.2).
γ
α
Particella
alfa
FE
FN
β
n
n +
+
+ n +
Nn
+
+
n +
++
Protone
n +
+ n
α
Neutrone
n
+ n +
Fig. 8.3.2. Decadimenti α.
La comprensione di come questo possa avvenire va al di là delle possibilità offerte
da questo corso, e richiede infatti conoscenze di meccanica quantistica che vanno al
di là dello scopo di queste lezioni. Utilizzando termini estremamente grossolani
possiamo affermare che nuclei pesanti come il radio emettono un nucleo di Elio
trasformandosi in un nucleo con minore massa e meno instabile. Un esempio viene
riportato in Fig. 8.3.3 dove si riporta il diagramma di energia di un nucleo di radio
che decade, per decadimento α, in uno di elio secondo la reazione
226
88
4
Ra → 222
86 Rn + 2 He
L’energia cinetica delle particelle espulse è dell’ordine di qualche MeV.
261
226
88
Ra
4.785 MeV
n+
+n
α
α
4.602
5.5%
4.785 MeV
94.4%
n+
+n
0.186 MeV
3.3%
222
86 Rn
γ
0
Fig. 8.3.3. Livelli energetici del decadimento del Radio 226.
Il decadimento β 50 riguarda invece un processo che coinvolge forze dette deboli
(ovvero circa diecimila volte meno intense di quella elettromagnetica). Tali forze
sono ad esempio responsabili del decadimento del neutrone, che decade in un protone
come riportato qui di seguito
n → p + e − + ve
(3.2)
−
dove e è l’elettrone (il raggio β) e con ν e viene indicata una particella nota come
(anti-) neutrino con carica nulla e massa estremamente piccola (ma non nulla) di cui
non ci occuperemo ulteriormente51.
Un esempio di decadimento debole di un nucleo viene riportato in Fig. 8.3.4
La figura mostra il decadimento di un nucleo (A,Z) che emette un elettrone (e un
neutrino) trasformandosi in un nucleo con A=(Z+1)+(N-1). Si riporta anche il
Discuteremo nel seguito i processi che coinvolgono i decadimenti β + di fondamentale importanza
nella diagnostica medica.
50
51
Il neutrino fu introdotto negli anni 30 del secolo scorso dal fisico W. Pauli per spiegare
l’apparente violazione della conservazione dell’energia in tali processi di decadimento; inizialmente
la teoria fu formulata assumendo che la massa del neutrino fosse nulla, studi più recenti hanno
dimostrato che il neutrino ha massa, sebbene estremamente piccola. La particella che appare nella
equazione (3.3) è in realtà l’antineutrino elettronico (altri tre tipi di neutrini insieme alle loro
antiparticelle sono stati osservati negli esperimenti), aggiungiamo tale commento per ragioni di
correttezza, ma non entreremo in ulteriori distinzioni.
262
processo a livello di struttura interna del singolo neutrone i cui componenti
elementari (quarks) subiscono un decadimento di natura debole
+
Decadimento di
un neutrone
per interazione
debole in 32
15 P
udu
L'interazione debole converte un quark
down in un quark up cambiando un
neutrone in un protone
n
-
νe
W
-
e-
n
+
+
N n
+ n
+
+
n +
+ n
+
n
+
32
15
P
udd
β-
+
+
N n
+ +
+
n +
+
+ n
32
+
+
n
16 S
Nella tavola periodica il processo
di decadimento sposta il nucleo di
fosforo nella posizione dello zolfo
n
C6
N7
O8
F9
Si 14 P 15 S 16 Cl 17
Ge 32 As 33 Se 34 Br 35
Fig. 8.3.4. Esempio di decadimento debole:
P→1362S +e− +νe
32
15
Veniamo infine al decadimento γ , che è essenzialmente radiazione elettromagnetica
costituita da fotoni con energia estremamente alta (dell’ordine dei milioni di eV). Si
veda la Fig. 8.3.5 che mostra l’effetto combinato di un decadimento β seguito da una
emissione γ .
Il meccanismo di produzione dei raggi gamma non è dissimile da quello dei raggi X,
la differenza essenziale è che essi sono prodotti dalla ridistribuzione interna dei livelli
nucleari; un nucleo può infatti trovarsi in uno stato eccitato (rotazionale o
vibrazionale52) e riportarsi allo stato fondamentale tramite l’emissione di un fotone γ .
52
Con questa terminologia vogliamo semplicemente dire che il nucleo ha energia in eccesso sotto
forma di energia rotazionale (ovvero ruota intorno ad un asse privilegiato) o vibrazionale (il nucleo
oscilla come soggetto ad una forza elastica).
263
60
27
Co
β
1.491 MeV
raro
e
--
60
28
Ni
2.823 MeV
0.318 MeV
99+ %
-
2.505 MeV
**
γ
β-
1.173 MeV
1.332 MeV
-
e
60
28
-
60
28
Ni *
γ
1.332 MeV
Ni
0
γ
Fig. 8.3.5. Livelli energetici nucleari e decadimenti β e γ.
L'esempio illustra il decadimento del Cobalto in Nichel.
Un ulteriore esempio è riportato in Fig. 8.3.6.
57
27
Co
νe
Cattura
Elettronica
57
26
Neutrino
Fe **
1.02 MeV
0.136 MeV
γ
γ
raro
57
26
Fe
Fig. 8.3.6.
57
*
26 Fe
γ
14.4 keV
0
L'esempio illustra il decadimento, innescato dalla cattura di un
elettrone, del Cobalto in Ferro .
In Fig. 8.3.6 la trasformazione dell'isotopo di cobalto inizia con la cattura di un
elettrone di uno degli orbitali più interni da parte del nucleo: vale la pena di illustrare
più approfonditamente questo ulteriore processo di decadimento nucleare mostrato in
fig. 8.3.7. La cattura elettronica avviene con maggior probabilità rispetto ad altri
processi per gli elementi con alto numero atomico. Quando il nucleo è instabile per
264
difetto di neutroni un elettrone degli orbitali più interni può venire catturato dal
nucleo dove un protone si trasformerà in neutrone con la conseguente emissione di un
neutrino. Il numero Z si riduce di una unità e l'atomo si trasforma in un elemento
chimico differente, situato a sinistra nella tavola di Mendelejev. Il riposizionamento
degli elettroni orbitali, che si spostano verso l'orbitale più interno, rimasto privo di un
elettrone, provoca la liberazione dell'energia in eccesso sotto forma di radiazioni X.
Neutrino
νe
M
L
e-
K
+ Ze
fotoni X di energia
pari a quella di
transizione
elettronica
+(Z-1)e + n0
Fig. 8.3.7. Cattura Elettronica
Nel prossimo paragrafo discuteremo con maggiore attenzione il loro impatto con i
sistemi biologici.
4. Cenni di dosimetria: unità di misura Prima di entrare nello specifico di come si definiscano le dosi di radiazione e come
queste impattino sull’ambiente circostante e sugli organismi viventi dovremo
apprendere ulteriori nozioni fondamentali in merito ai decadimenti radioattivi. A tale
scopo notiamo che un decadimento sarà caratterizzato da una legge oraria del tipo
espresso in Fig. 8.4.1
L’attività di decadimento di una data sostanza si definisce come A = − λ N dove λ è
detta costante di decadimento e N è il numero di nuclei soggetti al decadimento
stesso.
Se N0 rappresenta il numero iniziale di nuclei di una sostanza in grado di decadere, ad
esempio, per emissione α, ci aspettiamo che l’andamento del numero di nuclei nel
tempo sia regolato dalla seguente relazione
265
d
N = −λ N
dt
(4.1)
che è una semplice equazione differenziale, la cui soluzione può essere scritta nella
forma
N (t ) = N 0 e − λ t
(4.2)
N
N0
1
N e-λ t
N0
τ 1/2 = tempo di dimezzamento
0.5
λ = 0.693
τ1/2
0.25
0.125
0
τ1/2
2τ1/2
3τ1/2
t
Fig. 8.4.1. Legge del decadimento radioattivo.
la precedente relazione fornisce il numero di nuclei che possono decadere per
decadimento α al generico tempo t, misurato dall’istante in cui il numero era N0. La
relazione (4.2) è simile alla legge del decadimento della carica di un condensatore in
un circuito RC e la quantità λ ha le dimensioni dell’inverso di un tempo e può anche
essere scritta come
λ=
1
τ
(4.3)
dove τ viene detto tempo di vita medio, e rappresenta il tempo entro cui il numero di
N0
≅ 0.368 N 0 ; il tempo di dimezzamento è invece dato (lo si
atomi si riducono a
e
provi) da
τ 1 / 2 = ln( 2) τ ≅ 0.693τ
(4.4)
In Fig. 8.4.2 abbiamo riportato il tempo di dimezzamento per decadimento α per vari
nuclei, in funzione dell’energia cinetica delle α emesse
266
1020
τ 1/2 ( s)
Serie del Torio
Serie dell'Uranio
Serie dell'Attinio
Serie del Nettunio
1015
1010
105
1
10-5
10-10
4
6
8
10
Energia cinetica delle particelle α (MeV)
Fig. 8.4.2. Tempo di dimezzamento di vari nuclei in funzione delle energia delle
particelle α.
Quando si parla di dose di radiazione e di associate unità di misura occorre fare un
certo numero di distinzioni.
Bisogna prima di tutto precisare l’attività della sorgente radioattiva, ovvero una unità
di riferimento che specifichi il numero di decadimenti per unità di tempo. Tenuto poi
conto che le radiazioni hanno differente proprietà di penetrazione, si dovrà definire
una unità di misura che specifichi la dose assorbita. Infine si dovrà quantificare
l’effetto biologico.
Le due unità relative all’attività della sorgente sono
Bequerel ≡ Bq = 1 decadimento/s
(4.5)
Curie ≡ Ci = 3.7 ⋅ 1010 Bq
Come esempio di applicazione consideriamo il seguente problema:
Quale attività avrà una sorgente di
24
Na con τ 1 / 2 ≅ 15 h ed una attività iniziale di
10 M Bq dopo 2.5 giorni
A(2.5 g ) = 10 e
7
−
ln( 2 )
2.5⋅24
15
Bq ≅ 0.625 MBq ≅ 21 μ Ci
267
Quando la radiazione colpisce un certo materiale l’effetto sarà quello di cedere la sua
energia al materiale producendo un effetto di ionizzazione che può essere utilizzato
come una misura dell’esposizione del materiale alla radiazione.
L’unità di riferimento è il Roengten (R) che è definito come la quantità di radiazione
che produce 2.58 ⋅ 10 −4 Coulomb per chilogrammo d’aria in condizioni di temperatura e
di pressione standard, avremo dunque
1 R = 2.58 ⋅ 10 − 4
C
kg
(4.6)
attualmente il Roengten è in disuso e il sistema internazionale ha adottato il Coulomb
a chilogrammo. L’unità di intensità di esposizione è l’ ER, definita come il numero
di ionizzazioni per unità di tempo indotto da una certa sorgente puntiforme. Il legame
tra tale l’ER e l’attività della sorgente si esprime come segue
ER =
Γ
A
d2
(4.7)
dove d è la distanza del materiale dalla sorgente (supposta puntiforme) e Γ è la
costante di esposizione, caratteristica della sorgente di radiazione, alcuni esempi del
valore di tale costante per differenti sorgenti radioattive sono riportate nella Tab. VII
Tabella VII
R ⋅ cm 2
. Costante di esposizione in
h ⋅ m Ci
Sorgente
137
Cs
57
Co
Γ
3.3
13.2 22
12.3 60
13.3 Na
Co
L’unità di misura della dose assorbita di radiazione è stata tradizionalmente il rad ,
definita come
268
rad =
10 −2 J
kg
e oggi sostituita dal Gray (=Gy), legata al rad da
Gy = 10 2 rad
Vediamo ora come si usino le precedenti unità. A tale scopo ricordiamo che per i
tessuti molli del corpo umano l’energia media di ionizzazione è ≅ 36.5
corrispondente all’esposizione di 3.876 ⋅ 10 3
precedenti, da cui si ricava che
C C
= Gy
kg J
J
, la dose
C
C
. Tenuto conto delle relazioni
kg
, si ottiene che la dose assorbita è
D ≅ 9.42 ⋅ 10 −3 Gy .
Si utilizzi il dato precedente per risolvere il seguente problema:
Quale è la dose ricevuta da una persona che lavori per due ore ad una distanza
media di 0.5 m da una sorgente di 22 Na con una attività di 100 μ Ci ?
Dalla equazione (4.7) e dalla Tab. 1 si ottiene ER ≅ 0.48
mR
dopo 2 ore di
h ,
esposizione si ottengono 0.96 milli Roentgen; pertanto dal dato precedente si ha che
la dose assorbita è D ≅ 0.96 ⋅ 10 −3 ⋅ 0.9.42 rad ≅ 0.9 mrad .
Si definisce tasso di radiazione assorbita la seguente quantità
DR = A
Er [J ]
m[kg ]
dove A è l’attività della sorgente E r [J ] , è l’energia della radiazione e m è la massa del
materiale assorbente.
Il seguente quesito chiarisce il significato della precedente unità di misura
Un paziente riceve una iniezione di 1.1 ⋅ 10 8 Bq di 131I che si accumula nella tiroide
( m ≅ 20 g ). L’energia media della radiazione emessa è E r ≅ 4.8 ⋅ 10 −16 J ; quale è il
tasso di radiazione assorbito dalla tiroide?
Una semplice applicazione delle formule precedenti ci permette di concludere che
269
D R ≅ 1.1 ⋅ 10 8
4.8 ⋅ 10 −16
J
≅ 2.64 ⋅ 10 − 4
≅ 0.026 rad / s
−2
s kg
2 ⋅ 10
Le quantità prima definite sono in larga misura indipendenti dalla natura delle
radiazioni emesse, il danno biologico ad essa associato dipende però dalla perdita di
energia della radiazione all’interno del corpo e dallo specifico organo colpito. Tali
perdite sono legate alla natura della radiazione stessa, come vedremo nel prossimo
paragrafo.
5. Dosimetria e Quantità di dose equivalente In Fig. 8.5.1 diamo un’idea di quale sia il potere penetrante dei diversi tipi di
radiazione.
calcestruzzo
α
β
γ
carta
1m
α
βγ
calcestruzzo
Fig. 8.5.1. Potere di penetrazione delle radiazioni ionizzanti.
Per tenere conto di tale effetto e per determinare gli effetti biologici dei differenti tipi
di radiazione, si utilizza una ulteriore quantità (di natura empirica) detta dose
equivalente, definita come segue
H =QD
dove Q è il fattore di qualità che dipende dal potere di ionizzazione della radiazione
per unità di lunghezza, in Fig. 8.5.2 riportiamo tale quantità in funzione dell’energia
per diversi tipi di radiazione. Si noti che Q è proporzionale allo Z della radiazione
ionizzante ed è circa 1 per raggi X,γ,β.
270
Fattore di qualità
Quando le particelle α sono più energetiche si determina una diminuzione del fattore
di qualità legata al fatto che hanno una maggiore energia per superare le forze che
possono determinare eventuali intrappolamenti
La radiazione crea maggiore danno biologico al crescere del parametro Q .
Particelle α
20
Diminuzione del fattore
di qualità al crescere
dell'energia
Deuteroni
10
Neutroni
Radiazione X, β, γ
0
0.01
0.1
1
10
Energia di radiazione (MeV)
100
Fig. 8.5.2. Fattore Q e sua dipendenza dall’energia.
L’unità per la dose equivalente di radiazione è il Sievert o il rem definiti come segue
Sv = Q ⋅ 1Gy,
rem = Q ⋅ 1 rad ,
1Sv = 100 rem
Consideriamo pertanto il seguente quesito
Un lavoratore riceve una dose (total body) pari a 0.1 m Gy da neutroni di 2 MeV,
quale è la dose equivalente assorbita?
Dalla Fig. 8.4.2 si rileva il valore del fattore di qualità dei neutroni a 2 MeV e
pertanto si può stimare una dose assorbita di H ≅ 1.1 mSv = 0.11 rem .
Non a caso abbiamo parlato di irradiazione di “total body” , perché non tutti gli
organi rispondono allo stesso modo alla radiazione; per rendere conto di questo si
introduce un fattore di peso che specifichi il rischio di esposizione per ogni organo.
271
In Tab. VIII abbiamo riportato tali fattori per i vari organi e da queste potremmo
arguire che una dose equivalente a 1mSv per lo stomaco determina la stessa
probabilità di danneggiamento di una dose pari a
0.12
mSv ≅ 12 m Sv nel caso delle ossa.
0.01
Tabella VIII
Fattori di peso per la dose di radiazione equivalente relativi ai singoli organi
Organi o tessuti
Fattori di peso dei tessuti wT
(T= tissue)
Gonadi
0.20
Midollo osseo, colon, polmone, stomaco
0.12
Mammella, fegato, esofago, tiroide, Vescica,
rimanenti organi e tessuti
0.05
Pelle, Superficie ossea
0.01 Più in generale quando si parla di irradiazione non uniforme si intende che ogni
organo assorbe una quantità di radiazione specifica e la radiazione equivalente
relativa a tutto il corpo potrà essere stimata secondo la relazione
Hε = ∑ HT ,
T
H T = wT H T , s
dove H T ,s è la dose di radiazione assorbita dallo specifico organo. Nel caso di
radiazione uniforme si ha H T ,s = H e poiché
∑w
T
= 1 , si ha che H ε = H .
T
I seguenti quesiti possono essere di ausilio a comprendere come districarsi nell’uso
delle unità.
Quale è la dose effettiva H ricevuta da un lavoratore in una irradiazione total
body di 8.4 mGy di raggi γ e 1.2 mGy di neutroni da 80 KeV ?
(R. 15.6 mSv)
Durante il corso dell’anno un lavoratore riceve una dose di 8 mGy da particelle
alfa depositate nella lingua e 180 mGy da particelle beta nella tiroide e 140 mGy
da radiazione esterna total body; quale è la dose effettiva per questo lavoratore?
(R. 42 mSv)
272
Nella Tab. IX riportiamo un (utile) sommario delle varie unità introdotte e di altre
quantità collegate a quelle prima introdotte.
Quantità
Esposizione
Dose
assorbita
Tabella IX
Unità di misura dosimetriche
Unità Unità
Corrispondenza tra le
simbolo
Descrizione
Correnti SI
quantità fisiche
Ammontare della
ionizzazione per
massa di aria
Roentgen
C/Kg
(R)
X
1 R = 2.58 ⋅ 10−4 C kg
Rad
quantità di energia
(Radiation Gray
depositata per unità
Absorbed (Gy)
di massa
Dose)
D
1 rad = 10 mGy
1 joule Kg = 1 Gy
Energia cinetica
"
"
Kerma trasferita per unità di
massa del mezzo
Energia cinetica
"
"
Air Kerma trasferita per unità di
massa d'aria
Misura dell'energia
Dose
di radiazione totale
erg
J
integrale assorbita dalla massa
esposta
rem
Misura degli effetti
Dose
biologici e del danno (Roentgen Sievert
Equivalent (Sv)
equivalente
specifico su un
in Man)
organo o tessuto
Somma delle dosi
assorbite dai singoli
Dose
"
"
efficace organi e tessuti per i
rispettivi fattori di
ponderazione
numero di
Curie Bequerel
decadimenti al
Attività
(Ci)
(Bq)
secondo
K
KA
D1
H
HE
A
K (mGy) = 3.39 ⋅10 2 ⋅ X (C Kg )
K (mGy) = 0.0873⋅ X (R )
10 mGy (K A ) ≈ 1.1 R ( X )
10 mGy (K A ) ≈ 13 mGy (D)
⎛ joule ⎞
⎟⎟ ⋅ M ( Kg ) = D1 ( J )
D ⎜⎜
⎝ Kg ⎠
H (Sv) = wT ⋅ D(Gy) = D1 (J )
1 rem = 10 mSv
H E (Sv) = ∑ wT ⋅ H T (Sv)
T
1 Ci = 3.7 ⋅ 1010 Bq
(
1 Bq = 1 dps sec −1
)
E’ evidente che le quantità discusse in questo e nel paragrafo precedente sono
semplicemente fattori di riferimento, il loro contenuto fisico è, apparentemente,
insignificante, riteniamo però estremamente importante che il lettore le riconsideri
con attenzione valutandone l’importanza in merito ai fattori di rischio che
discuteremo nel seguito.
273
6. Effetti biologici delle radiazioni Spesso l’idea delle radiazioni è accompagnata dalla percezione di possibili gravi
effetti mutageni (si veda la Fig. 8.6.1).
A scanso di equivoci premettiamo che non esiste evidenza diretta di effetti genetici
indotti da radiazione in esseri umani, perfino in condizioni di dosi massicce. Le varie
analisi effettuate tendono a mettere in evidenza che possibili disordini genetici
potrebbero verificarsi con una probabilità estremamente piccola, dell’ordine di
qualche unità su un milione di nati, per Sv di esposizione dei genitori.
Fig. 8.6.1. Trasformazione di uno degli Autori dopo 6 mesi di irraggiamento da
Kriptonite blu.
Qualche esempio di esposizione alla dose efficace di 10 μ Sv viene riportato di
seguito
•
Tre giorni di visita ad Atlanta (USA)
Due giorni di vista a Roma (italia)
Circa sette ore in alcune zone nello Stato di Spirito Santo in Brasile
•
Si aumenta la dose di 10 μ Sv
•
Se si guarda la TV per un anno
Se si porta per un anno un orologio luminoso
In un volo per gli Stati Uniti
Se si vive un anno presso una centrale nucleare che opera in condizioni normali
•
•
•
•
•
Nella Tabella X riportiamo la quantità di radiazione ricevuta nell’arco di un anno da
un qualsiasi cittadino in condizioni di vita normali
274
Tabella X
Dose di radiazione annuale per i comuni cittadini
Sorgente
Esposizione in mSv/anno
Raggi Cosmici
0.45
Radiazione ambientale (Escluso il Radon)
0.60
Radiazione da materiale radioattivo ingerito
tramite cibi, bevande..
0.25
Diagnostica (raggi X)
0.70
Totale
2.00
Il rischio di morte per cancro associato alla dose di 10 μ Sv è circa 1.25 ⋅ 10 −7 , mentre
la diminuzione media in prospettiva di vita associata alla stessa quantità è circa 1.2
minuti, che equivalgono a
•
•
•
Attraversare la strade per tre volte
Tre tiri di sigaretta
10 Calorie per una persona già in sovra-peso
Abbiamo citato il fumo delle sigarette per mettere in evidenza un reale rischio per la
salute in cui la correlazione è più che evidente, come mostrato in Fig.8.6.2;
Fig. 8.6.2. Correlazione fumo di sigarette-cancro ai polmoni.
275
la figura riporta uno studio statistico effettuato dal Cancer Research UK
sull’incidenza di cancro al polmone in correlazione con la percentuale di fumatori in
Gran Bretagna. La correlazione è talmente evidente da non necessitare ulteriori
commenti.
Livelli di dose che possano costituire un rischio reale sono riportati nella Tab. XI,
dove sono associati agli effetti clinici
Tabella XI
Effetti da radiazione e relative dosi
Effetto
Dose Sv
Nessun effetto osservabile
0-0.25
Lievi effetti a carico del sangue
0.251.00
Riduzione significativa delle piastrine e dei globuli bianchi(situazione
reversibile)
1.002.00
Gravi alterazioni ematiche, nausea, perdita dei capelli, emorragia e in molti
casi la morte
2.005.00
Morte in meno di 2 mesi per l’80% dei casi
>6.00
Nel caso dell’incidente nucleare di Chernobyl furono misurate dosi assorbite di
131
I superiori ai 2.00 Sv nella tiroide di alcuni bambini.
7. Le radiazioni da un punto di vista terapeutico Nei capitoli precedenti abbiamo visto che una carica può essere accelerata da un
campo elettrico, per cui la velocità acquisita da una elettrone sottoposto ad un campo
elettrico di 1 V / m è, assumendo che l’elettrone sia inizialmente fermo,
eE
t
(7.1).
m
Abbiamo già fatto notare che se assumiamo incondizionatamente valida una relazione
di questo tipo incorriamo in una contraddizione, infatti essa ci dice che dopo un
tempo
v=
t>
m
c
eE
(7.2)
276
(ovvero 1.7 ms per l’esempio specifico) l’elettrone raggiungerebbe una velocità
superiore a quella della luce. Cosa in contraddizione con il fatto che questa
costituisce un limite invalicabile.
La contraddizione risiede nel fatto che la relazione (7.1) è corretta solo nel limite di
velocità molto inferiori a quelle della luce. Quando ciò non accade la (7.1) va corretta
in maniera tale che all’aumentare della velocità si inneschi un meccanismo che le
impedisca di andare oltre il limite della velocità della luce.
Non possiamo addentrarci in come e perché ciò si verifichi, perché dovremmo usare i
concetti e il formalismo della relatività ristretta, qui ci accontentiamo di dire che
l’aumento della velocità è accompagnato da un aumento della massa, che diventa così
grande quando la velocità è prossima a quella della luce da non permettere che la
particella soggetta ad una certa accelerazione raggiunga la velocità della luce.
La cosa non riguarda solo le particelle dotate di carica e vale in generale, pertanto, in
un contesto relativistico, la seconda legge della dinamica viene espressa come
d
[m(v ) ⋅ v] = F , m(v) =
dt
m0
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
(7.3)
2
Il senso di tale equazione è esattamente quello che abbiamo premesso, alla massa del
corpo abbiamo sostituito una massa dipendente dalla velocità in cui m0 è la massa
della particella a velocità nulla. Per come sono state scritte le cose la massa della
particella aumenta all’aumentare della velocità stessa, divenendo infinita nel limite in
cui v tende alla velocità della luce. Proprio in questa sorta di “massificazione” indotta
dalla velocità stessa risiede il meccanismo che garantisce l’invalicabilità della
velocità della luce.53
L’equazione (7.3) è una equazione differenziale che possiamo risolvere abbastanza
facilmente, ottenendo
γ (v ) ⋅ v = a t ,
53
a=
F
, γ (v ) =
m0
1
⎛v⎞
1− ⎜ ⎟
⎝c⎠
2
(7.4)
Le ragioni addotte non costituiscono in alcun modo una giustificazione delle formule (9.4) le
quali necessitano in inquadramento nel contesto dei principi della relatività ristretta. La nostra
trattazione è pertanto estremamente carente da questo punto di vista ed è solo tesa a fornire una idea
di come possano essere trattate alcune problematiche specifiche alla fisica degli acceleratori di
particelle cariche in cui queste vengono accelerate fino a velocità prossime a quelle della luce.
277
Dalla relazione precedente si ottiene, per la velocità,
v=
at
⎛ at ⎞
1+ ⎜ ⎟
⎝ c ⎠
2
,
.
(7.5)
che costituisce l’equazione del moto uniformemente accelerato in relatività ristretta.
E’ facile verificare che, per tempi infiniti, l’eq. (7.5) tende alla velocità c. La
situazione è illustrata in Fig. 8.7.1, dove si riporta, in funzione del tempo, la velocità
raggiunta da una particella soggetta ad una accelerazione di 10 11 m / s 2 54, nei casi in
cui il problema viene trattato in approssimazione classica e in quello in cui si
includono gli effetti relativistici. E’ evidente che le trattazioni coincidono nel limite
di basse velocità, ovvero di velocità molto inferiori rispetto a quelle della luce.
4x108
v (m/sec)
3x108
2x108
a =1011 m/sec2
108
0
0
2x10 -3 4x10 -3 6x10 -3 8x10 -3 0.01
t (sec)
Fig. 8.7.1. Velocità acquisita da una particella soggetta ad una accelerazione di
1011m/s2, la linea continua rappresenta l’andamento “relativistico” quella
tratteggiata l’approssimazione classica.
Le conclusioni che si possono trarre sono molteplici, noi ci limiteremo a sottolineare
di nuovo che l’aumento di velocità e quindi di energia corrisponde ad un incremento
di massa e dunque quello che abbiamo definito “massificazione”, non è altro che
l’aumento dell’inerzia della particella accelerata al crescere della velocità55.
54
L’accelerazione indotta da un campo elettrico di 1 V/m su un elettrone è pari a circa
1.7 ⋅ 1011 m / s 2 .
55
Dovremmo citare particelle prive di massa, come i fotoni che (per definizione) si muovono alla
velocità della luce, ma riteniamo sufficiente per i nostri scopi quanto fino ad ora discusso.
278
Le nozioni apprese nel corso di queste lezioni ed in questo capitolo ci permettono di
arguire che una particella carica può essere accelerata tramite un campo elettrico e
che può essere guidata tramite un campo magnetico. In tal modo le si può far
acquisire energia e la si può poi dirigere contro un bersaglio (tessuti malati) in cui
questa rilascia una grande quantità di dose di radiazione.
Nella Fig. 8.7.2 abbiamo riportato un ciclotrone, ovvero un acceleratore di protoni,
costituito da due semicerchi separati da una gap. In tale interstizio è presente un
campo elettrico che accelera i protoni ogni volta che lo attraversano. Un campo
magnetico costante fa eseguire alle particelle una traiettoria circolare il cui raggio
aumenta all’aumentare dell’energia. I protoni vengono estratti quando hanno
raggiunto l’energia desiderata.
Il campo magnetico curva le
traiettorie delle particelle cariche
Il segnale a onda
quadra della
radiofrequenza
genera un campo
elettrico nella
regione(gap) tra i
due elettrodi
semicircolari cavi
+
Il campo elettrico
accelera le
particelle cariche
ad ogni
attraversamento
della gap
Fig. 8.7.2. Schema di funzionamento di un Ciclotrone.
Sebbene i ciclotroni non siano i candidati per far raggiungere energie relativistiche ai
protoni, per ragioni che qui non possiamo discutere, vogliamo far notare che protoni
“quasi relativistici” hanno assunto un ruolo rilevante in quella che viene detta proton
terapia oncologica.
L’interesse per i protoni nella terapia tumorale nasce dal fatto che fasci protoni con
energia cinetica compresa tra 60 e 240 Mev ( che hanno velocità che è una frazione
279
significativa della velocità della luce56tra i 20 e il 45%) una volta “sparati” su un
tessuto, perdono la loro energia trasferendola per ionizzazione all’ambiente
circostante, con un comportamento che è peculiare rispetto a fotoni di energia
comparabile. La “storia” dei rispettivi LET (Linear Transfer Energy) viene mostrata
in Fig. 8.7.3, dove si riporta il profilo della perdita di energia in funzione della
lunghezza di penetrazione.
Mentre la perdita di energia dei fotoni gamma è dominata da collisioni in cui c’è una
perdita significativa di energia nei primi strati del tessuto, i protoni perdono, invece,
energia trasferendola, in quantità modeste agli elettroni. La perdita di energia finale
dipende dal gran numero di elettroni liberi presenti che frenano la carica positiva.
Questo fatto è un vantaggio estremamente significativo, perché si può sfruttare
l’assorbimento di dose nella zona dove è presente la massa tumorale senza
danneggiare il tessuto sano.
100
Raggi γ 6
MeV
Dose relativa
80
60
Elettroni 20
MeV
40
Protoni 200
MeV
20
0
0
5
10
15
20
25
30
Penetrazione in acqua (cm)
Fig. 8.7.3. Differenze tra la deposizione di energia in acqua dei raggi gamma, degli
elettroni e dei protoni, in funzione della profondità di penetrazione.
56
Nel caso relativistico il legame tra energia cinetica T e velocità è dato da v = c
massa a riposo del protone corrisponde ad una energia di circa 938 MeV
T
m c2 + T
, la
280
8. La PET e la NMR La Fisica, come abbiamo visto, è un campo culturalmente ricchissimo ed in continua
evoluzione, concetti un tempo ristretti agli addetti ai lavori in campi estremamente
specialistici cominciano a costituire un patrimonio culturale comune a settori
scientifici diversi. L’antimateria e i momenti di dipolo magnetico nucleare, su cui si
basano due dei capisaldi della diagnostica medica odierna, costituiscono un esempio
genuino di come idee, nate nei laboratori di Fisica e per lunghi anni utilizzate solo in
ambito di ricerca non applicativa, siano entrati nella corrente pratica medica.
Consideriamo la cosiddetta PET acrostico di positron emission tomography , ovvero
tomografia ad emissione di positroni.
Prima di spiegare di che cosa si tratti, cerchiamo di chiarire cosa sia un positrone
(detta anche particella β + ), che costituisce l’antiparticella dell’elettrone, ovvero, detto
in termini brutali, una particella con la stessa massa dell’elettrone, ma con carica
opposta.
Alcuni radio-isotopi decadono emettendo tale particella, che una volta che interagisce
con un elettrone produce, per annichilazione57 due raggi gamma (Fig. 8.8.1).
Annichilazione
di coppie
γ
positrone
+
elettrone Energia = 2 me c 2
γ
Fig. 8.8.1. Annichilazione di un elettrone e di un positrone e conseguente
formazioni di due raggi gamma, che si muovono in direzioni opposte
per garantire la conservazione dell’impulso.
In Fig. 8.8.2 riportiamo visivamente l’idea di base su cui poggia il cosiddetto PETscan.
Nella figura si mostra una zona del cervello dove si è accumulato l’isotopo emettitore
che viene rilevato con quattro rivelatori di raggi gamma, l’identificazione è resa
57
Per annichilazione si intende il processo secondo il quale l’incontro tra una particella e la sua
antiparticella determinano la “sparizione” delle particelle con la creazione di radiazione
elettromagnetica sotto forma di raggi gamma.
281
possibile dal fatto che, per ragioni di conservazione dell’impulso, i fotoni vengono
emessi con un angolo di 180 0 .
γ
Raggi γ
simultanei
Annichilazione a 180°
γ
elettronepositrone
Fig. 8.8.2. PET SCAN.
L’emettitore di positroni attualmente più impiegato nella PET è un isotopo del fluoro
( 18 F ) che viene inserito in molecole di glucosio, successivamente somministrata al
paziente. Il glucosio passa dal sangue al cervello e viene assorbito là dove l’attività
metabolica è intensa. I tumori cerebrali possono essere pertanto rivelati tramite questa
analisi, perché sono sede di vasi con una notevole vascolarizzazione e con una
conseguente aumentata attività metabolica.
La PET può essere utilizzata per verificare, se in conseguenza di una qualche terapia,
una certa zona interessata da un tumore sia diventata metabolicamente inattiva.
Veniamo ora alla descrizione della NMR, acronimo di Nuclear Magnetic Resonance
(Risonanza Magnetica Nucleare), il cui principio di funzionamento richiede alcune
premesse sui momenti di dipolo magnetico del nucleo atomico58.
Abbiamo già avuto modo di mettere in evidenza che gli elettroni sono caratterizzati
da un momento angolare intrinseco detto spin (Fig. 8.8.3), e che a questo è legato un
momento di dipolo magnetico, definito in termini di magnetoni di Bohr come
58
Si noti che la NMR non fa impiego di radiazioni ionizzanti.
282
1
g μB ,
2
eh
J
μB =
≅ 9.274 ⋅ 10 − 24 ,
2 me
T
μ =
(8.1)
g≅2
Al pari dell’elettrone, anche i costituenti del nucleo, i nucleoni ovvero i protoni e i
neutroni, sono dotati di uno spin e di un momento magnetico59, più piccolo di quello
dell’elettrone a causa del fatto che essi hanno una massa di circa 1000 volte più
grande di quella dell’elettrone. Gli spin dei singoli nucleoni si sommano in modo da
realizzare un momento magnetico del nucleo, che possa interagire con un campo
magnetico esterno.
S
e
Fig. 8.8.3. Momento intrinseco dell'elettrone.
Come abbiamo già visto, un dipolo magnetico in un campo magnetico esterno, tende
ad allinearsi con il campo esterno eseguendo un moto di precessione, analogo al moto
di precessione di una trottola illustrato in Fig. 8.8.4.
In Figura abbiamo riportati gli elementi essenziali che permettono il calcolo della
frequenza di precessione, che nel caso della trottola è data da
ν =
ωp
,
2π
mr g
ωp =
Iω
59
(8.2)
Risulta certamente strano che il neutrone che è una particella neutra abbia un momento magnetico,
le ragioni risiedono nel fatto che il neutrone ha a sua volta una struttura interna, che determina un
momento magnetico non nullo.
283
ΔL
Δθ =
ΔL
Lsin(φ)
Momento angolare
φ
L=Iω
CM
Momento torcente
ΔL
τ = mg r sin(φ ) =
Δt
braccio della leva
Direzione della
precessione
Lsin(φ )
Δθ
mg
φ r
Velocità
angolare di
precessione
Δθ
ωp =
Δt
ωp =
ΔL
τ
=
Δt L sin(φ ) L sin(φ )
ωp =
mg r
Iω
b = r sin(φ )
Fig. 8.8.4. Moto di precessione di una trottola nel campo gravitazionale terrestre.
La velocità angolare di precessione di una trottola è inversamente
proporzionale alla sua velocità di rotazione.
Nella equazione precedente I ω è il momento angolare “intrinseco” della trottola
associato alla rotazione intorno al proprio asse ( I è il momento di inerzia della
trottola).
Possiamo ora sfruttare l’eq. (8.2) per stabilire quale debba essere la frequenza di
precessione nel caso del momento magnetico, stabiliamo, pertanto, le seguenti
analogie (si veda anche la Fig. 8.8.5)
m r → μ,
g → B,
Iω → s
(8.3)
In maniera tale da ottenere
ωL = 2
μB
h
Nel caso del protone la frequenza di Larmor è 42.58 MHz/T.
(8.4)
284
B
Δθ =
s sin(φ )
Δs
s sin(φ)
Δθ
Δs
φ
Momento torcente
μ=
τ= μ xB
Frequenza
di Larmor
ωL =
s
Direzione della
precessione
Momento
magnetico
ge
s
2mp
2μ B
h
Fig. 8.8.5. Precessione del momento magnetico intorno ad un campo magnetico
esterno.
Ricordiamo ora che quando un dipolo magnetico viene posto in un campo magnetico
ha una energia pari a
r r
E = −μ ⋅ B
(8.5)
S
Bassa
energia
μ
I
μ
I
Alta
energia
N
Fig. 8.8.6. Momento di dipolo in campo Magnetico.
285
La condizione di minima energia si ottiene quando i momenti magnetici sono
allineati con il campo.
Se volessimo far in modo di “eccitare” il sistema facendolo disporre il momento
magnetico in direzione antiparallela alle linee di campo, potremmo inviare sul dipolo
un segnale elettromagnetico “risonante” con la frequenza di Larmor che ne
caratterizza il moto di precessione.
Quello che ci si aspetta è quanto illustrato in Fig. 8.8.7: il segnale eccita i dipoli che
poi “rilassano” riportandosi allo stato fondamentale emettendo radiazione alla stessa
frequenza di quella eccitante.
B0
Livello energetico
(degenere) per
un protone con
spin = ± 1/2
βIl segnale RF in
risonanza induce un
salto energetico dallo
stato di spin +1/2 allo
stato - 1/2
RF
s = -1/2
emissione di un
fotone di energia
pari alla
differenza dei
s = +1/2 due livelli
energetici
Fase di
rilassamento
del protone
Fig. 8.8.7. Processo di eccitazione e rilassamento del protone.
Vediamo ora cosa c’entri tutto questo con la diagnostica.
L’utilizzo della Risonanza Magnetica Nucleare è uno dei mezzi di indagine più
efficienti nella moderna diagnostica e tende a dare una immagine dei tessuti tramite i
protoni ( e dunque dell’idrogeno) presenti in essi (Fig. 8.8.8).
Dal momento che la densità di protoni varia da tessuto a tessuto, si ottiene una
immagine per contrasto, come mostrato in Fig. 8.8.9. Molti dei protoni presenti nel
tessuto sono quelli presenti in acqua pertanto la tecnica è particolarmente utile per lo
studio di tessuti come il cervello o gli occhi. Le ossa del cranio non hanno molti
protoni e pertanto sono “visibili” come zone oscure (Fig. 8.8.9).
286
Segnale RF a banda
larga risonante con
la ωL dei protoni
B0
Segnale
amplificato
t
Il Campo magnetico statico B0
induce un moto di precessione
del momento magnetico di spin
del protone alla frequenza ωL
B0 + Bg
Segnale NMR dei protoni ad una
sola frequenza di emissione per la
presenza del solo campo statico B0
Trasformata
di Fourier
ν
Ricezione dei fotoni emessi nella
fase di rilassamento del protone e
successiva amplificazione
Segnale
amplificato
Trasformata
di Fourier
Sovrapposizione di un campo
magnetico di ampiezza crescente Bg
che determina un gradiente spaziale
Segnale NMR dei protoni variabile
in frequenza con la posizione a
causa del gradiente del campo Bg
Fig. 8.8.8. Schema di funzionamento della NMR.
Fig. 8.8.9 Immagine del cervello tramite NMR
287
Concludiamo con un esempio di utilizzo della radiazione natura non medica e solo in
un senso lato associato alla diagnostica. Ci riferiamo al metodo di datazione con il
carbonio 14 (si veda la Fig. 8.8.10).
p
Carbonio
14
ossigeno
16
O
14
CO2
n
Azoto
14
C
16
O
14
N
n
I raggi cosmici
producono
neutroni
I neutroni interagiscono
con 14N e producono 14C
ossigeno
C forma CO2 con due 16O
Animali e piante
assumono CO2
Quando un organismo muore
il rapporto 14C/12C decresce
Fig. 8.8.10. Formazione del 14C e acquisizione da parte degli organismi viventi.
L’isotopo 14 del Carbonio è prodotto nella nostra atmosfera dal bombardamento di
azoto 14 da parte dei neutroni prodotti dai raggi cosmici, in base alla reazione
n + 14 N →14 C + p . Gli organismi viventi assumono il
14
C come mostrato in figura,
quando l’organismo muore, tale assunzione cessa e la concentrazione di tale isotopo
decresce (rispetto al 12C che è stabile). L' emivita dell’isotopo è, all’incirca, 5730
anni, l’uso di tale tecnica è pertanto utile per risalire all’età degli oggetti, contenenti
residui organici, fino a 45.000 anni fa.
288
In Questa serie di lezioni abbiamo presentato un corso di Fisica Generale dedicato
agli studenti di medicina e di Ingegneria bio-medica o di qualsiasi altro corso in cui
la conoscenza della Fisica sia importante nell’ambito di applicazioni sanitarie. La
strada è stata abbastanza lunga, perché, come abbiamo visto, la fisiologia umana è
complessa e la fenomenologia associata richiede conoscenze che vanno al di là di
quelle discusse in queste lezioni. Riteniamo che quanto appreso fino ad ora possa
costituire un adeguato punto di partenza, per studi più specialistici sia per quanto
concerne l’aspetto fisiologico che quello diagnostico o terapeutico.
Edito dall’
Servizio Comunicazione
Lungotevere Thaon di Revel, 76 - 00196 Roma
www.enea.it
Stampa: Tecnografico ENEA - CR Frascati
Pervenuto il 10.12.2012
Finito di stampare nel mese di gennaio 2013
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