I tre problemi del millennio con i numeri primi

- I TRE PROBLEMI DEL MILLENNIO
CON IN COMUNE I NUMERI PRIMI (Ipotesi di Riemann, Congettura di Birch e Swinnerton –Dyer,
P = NP , limitatamente alla sola fattorizzazione veloce)
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier francesco Roggero
Abstract
In this paper we show some connections between
the three
millennium ‘s problem based on prime numbers: Riemann hypothesis,,
Birch and Swinnerton’ s conjecture and P = NP ) limited at factoring
of N = p*q with N is a RSA- number
Riassunto
In questo lavoro, dopo una breve descrizione dei tre problemi del
millennio con in comune i numeri primi, parleremo delle loro possibili
connessioni, la cui conoscenza potrebbe essere utile per eventuali
dimostrazioni di qualcuno di essi. Per ognuno, aggiungeremo qualche
nostro piccolo contributo matematico, da sviluppare in un secondo
tempo, da parte nostra o altrui.
Ipotesi di Riemann (funzione zeta e numeri primi)
Nostro contributo: parte reale ½ della funzione zeta come media
aritmetica tra i due valori di uno stesso zero, ½ + bi , ½ -bi
Congettura di Birch –Swinnerton –Dyer
Nostro contributo: distribuzione dei numeri congruenti, di cui una
buona parte sono anche numeri primi (Rif. 1)
P = NP (sottoproblema : fattorizzazione veloce , Rif.2)
(semiprimi prodotti tra p e q con rapporto q/p da un minimo di 1
escluso, ad un massimo di 2,25)
Nostri contributi:
Ipotesi percentuale (Rif. 3)
Teorema fondamentale dellaFattorizzazione ( Rif. 4)
Fattorizzazione veloce con N + d2 = s2 se d è molto piccola
(connessione con ipotesi percentuale, vedi esempi nelle prossime
pagine)
°°°°°°°°°°
Cominciamo dalle possibili connessioni tra i tre problemi:
Ipotesi di Riemann
↓ (a)
Ipotesi di Birch
e Swinnerton – Dyer
↓
→
(c)
(b)
P = NP (fattorizzazione veloce
come sottoproblema
Tra l’ipotesi di Riemann ci sono somiglianze tra alcune funzioni della
congettura di Birch e Swinnerton – Dyer e le funzioni
L (E , s ) ,
estensioni della nota funzione zeta.
Tra l’ipotesi di Riemann e la fattorizzazione c’è qualche relazione
(metodi di fattorizzazione che presuppongono la verità della RH ma
non ancora in grado di mettere in pericolo la crittografia RSA).
Tra la congettura di Birch e Swinnerton – Dyer e la fattorizzazione
non c’è una relazione diretta, ma solo indiretta: sulla congettura di
Birch e Swinnerton – Dyer è fondata la crittografia a curve ellittiche
(ECC, 10 volte più sicura a parità di lunghezza delle rispettive chiavi),
sulla fattorizzazione (o meglio sulle sue difficoltà per prodotti
grandissimi, per es. i numeri RSA) è invece fondata la crittografia
RSA.
Prima però diamo una breve descrizione, anche parziale, da
Wikipedia, dei tre problemi. Altre ottime definizioni sono
reperibili sul libro di Keith Devlin “I problemi del Millennio”;
Longanesi &C.
“Ipotesi di Riemann
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
Parte reale e immaginaria dei valori assunti dalla funzione zeta lungo la linea critica Re(x)=1/2. Si
possono notare i primi zeri non banali in Im(x) = ±14,135, ±21,022 e ±25,011.
In teoria dei numeri analitica, l'ipotesi di Riemann è una congettura sulla distribuzione degli zeri
non banali della funzione zeta di Riemann ζ(s), definita come
∞
ζ (s ) := ∑
1
s
n =1 n
per un numero complesso s con parte reale maggiore di 1 e prolungabile analiticamente a una
funzione meromorfa su tutto il piano complesso.
La congettura fu formulata per la prima volta nel 1859 da Bernhard Riemann, matematico di
Gottinga. Considerata il più importante problema aperto della matematica,[1] è uno dei ventitré
problemi di Hilbert e uno dei sette Millennium Problems, per la soluzione di ciascuno dei quali il
Clay Mathematics Institute ha offerto un premio da un milione di dollari. La sua importanza deriva
dalle conseguenze che una sua dimostrazione avrebbe sulla teoria dei numeri primi. Sebbene la
maggior parte dei matematici ritenga l'ipotesi di Riemann vera, vi sono alcune eccezioni, come
quelle notevoli di J. E. Littlewood e Atle Selberg.
Dall'equazione funzionale discende che la funzione zeta di Riemann ζ(s) ha zeri, detti banali, negli
interi pari negativi, s = −2, s = −4, s = −6, ... La congettura di Riemann riguarda invece gli zeri non
banali e afferma che
« La parte reale di ogni radice non banale è 1/2 »
In altre parole, le radici non banali dovrebbero trovarsi tutte sulla retta descritta dall'equazione s =
1/2 + it (indicata come critical line in Fig. 3) con t numero reale e i unità immaginaria.
….
Rapporti con la teoria dei numeri primi
Il primo legame tra la funzione zeta e i numeri primi era già stato scoperto da Eulero, che notò che
per ogni numero reale maggiore di 1, vale la formula prodotto di Eulero,
ζ (x ) =
∞
1
,
−x
p _ primo 1 − p
∏
dove, nella produttoria, p spazia tra tutti i numeri primi. “
Nella funzione zeta vera e propria, com’è noto, x è sostituito da s,
numero complesso.
Nostro possibile contributo:
Parte reale ½ della funzione zeta come media aritmetica tra i due
valori di uno stesso zero, ½ + bi , ½ -bi ;
per esempio, con uno zero generico qualsiasi, abbiamo:
1/2
+
bi +
1/2
-
bi =
1
+
0
(1
+
0) / 2
= 1 / 2 = parte reale di tutti gli zeri ?
Esempio per i numeri complessi coniugati 2 +3i e 2 -3i
2 +3i +
2 - 3i =
4 + 0i = 4;
media aritmetica (4+0i) /2 = 4 + 0)/2 = 4/2 = 2
La media aritmetica si riduce quindi, in ogni caso, sempre alla parte
reale: ½ nel primo esempio, 2 nel secondo: più in generale, nella
parte reale dei due numeri complessi coniugati, poiché le parti
immaginarie, essendo opposte, nella somma algebrica della media
aritmetica si annullano a vicenda.
Potrebbe essere questa ( primo esempio) la semplice soluzione per
l’ipotesi di Riemann?
La struttura matematica della formula della funzione zeta ,
permetterebbe , secondo noi, di far passare tutti gli zeri di zeta dalla
media aritmetica ½ tra due zeri complessi coniugati; nella suddetta
media le due parti immaginarie opposte e simmetriche a ½, si
annullano a vicenda, e rimane solo la cifra 1, che divisa per due come
da media aritmetica (1 + 0)/2 = 1/2, Ulteriori nostre future ricerche
in queste direzione potrebbero confermare o meno la nostra
congettura, nel primo caso valida per tutti gli zeri (senza alcun contro
esempio, per quanto grande possa essere, come pensano molti
matematici) e quindi l’ ipotesi di Riemann sarebbe vera.
Finora i nostri contributi sulla RH sono basati su alcune ipotesi RH
equivalenti (RH1, RH2, RH3, funzione di Landau, congettura di Levy,
vedi Riferimenti finali), ma con questa nostra congettura sulla media
aritmetica sopra accennata affronteremo la RH sul suo terreno
naturale, la funzione zeta e i suoi zeri, numeri complessi coniugati e
connessi ai numeri primi dal prodotto di Eulero esteso al campo
complesso.
Esempio con uno zero vero, esattamente il terzo ( ma per qualunque
altro zero è lo stesso) : ½ + 25.01085758014568876321379099
½ + 25.01085758014568876321379099i +
½ - 25.01085758014568876321379099 i =
1 + 0
Media aritmetica (1 + 0)/2 = ½ parte reale di tutti gli infiniti zeri ?
Chiameremo tutto questo come “Congettura del gruppo DNR (dalle
iniziali dei nostri cognomi) e ci ritorneremo in futuro, nel caso
trovassimo nuovi indizi .
Congettura di Birch e Swinnerton-Dyer
Da Wikipedia, l'enciclopedia libera.
In matematica, la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer riguarda un particolare tipo di curve, le
curve ellittiche nei numeri razionali. Questa congettura si basa sul fatto che le equazioni abbiano
finite o infinite soluzioni razionali. Il decimo problema di Hilbert era simile ma trattava delle
equazioni diofantee, e si è dimostrato che non si è in grado neanche di decidere se esiste o no una
soluzione.
Indice
Contesto
Tra i problemi presentati da Hilbert, il decimo riguardava le equazione diofantee, ovvero quelle
equazioni in più incognite di cui si cercano le soluzioni intere. Nel 1970 Yuri Matiyasevich
dimostrò che non esiste un metodo generale per risolverle. Tuttavia quando le soluzioni sono i punti
di una varietà abeliana, la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer afferma che la dimensione del
gruppo dei punti razionali della curva è legata al comportamento di una certa funzione
valori di s vicini a 1.
, per
Introduzione matematica
Nel 1922 Louis Mordell ha dimostrato il teorema di Mordell, che afferma che il gruppo di punti
razionali su una curva ellittica ha una base finita. Questo significa che per ogni curva ellittica vi è
un sottogruppo finito di punti razionali sulla curva, da cui tutti i successivi punti razionali possono
essere generati. Se il numero di punti razionali su una curva è infinito, allora un certo punto di una
base finita deve avere ordine infinito.
Il numero di punti con base indipendente è chiamato grado della curva, ed è un'importante proprietà
di invarianza di una curva ellittica. Se il rango di una curva ellittica è 0, allora la curva ha solo un
numero finito di punti razionali. D'altro canto, se il grado della curva è maggiore di 0, allora la
curva ha un numero infinito di punti razionali. Sebbene il teorema di Mordell mostra che il grado di
una curva ellittica è sempre finito, non fornisce un metodo efficace per calcolare la posizione di
ogni curva. Il rango di alcune curve ellittiche può essere calcolato utilizzando metodi numerici, ma
(allo stato attuale delle conoscenze), questi non possono essere generalizzati per gestire tutte le
curve.
Una funzione L L(E , s ) può essere definita per una curva ellittica E con la costruzione di un
prodotto di Eulero dal numero di punti sulla curva modulo ogni numero primo p. Questa
funzione L è analoga alla funzione zeta di Riemann e alle serie L di Dirichlet che è definita per
una forma quadratica binaria. Si tratta di un caso particolare di una funzione L di HasseWeil.
La naturale definizione di L(E, s) converge solo per valori di s nel piano complesso con Re(s ) > 3 / 2 .
Helmut Hasse ha congetturato che L(E , s ) potrebbe essere estesa per prolungamento analitico in
tutto il piano complesso. Questa ipotesi è stata dimostrata da Max Deuring per curve ellittiche con
moltiplicazione complessa. È stato successivamente dimostrato che è vero per tutte le curve
ellittiche, come una conseguenza del teorema di modularità.
Trovare punti razionali su una generica curva ellittica è un problema difficile. Trovare i punti
su una curva ellittica modulo p numero primo invece è concettualmente semplice, in quanto vi
sono solo un numero finito di possibilità da controllare. Tuttavia, per grandi numeri primi è
computazionalmente faticoso.
Enunciato della congettura
La congettura di Birch e Swinnerton-Dyer asserisce che il rango r di una curva ellittica E è pari
all'ordine di annullamento in s=1 di L(E , s ) .
Ossia valgono
L(r ) (E ,1) ≠ 0
e
L(k ) (E ,1) = 0
∀k < r .
(L’evidenza in rosso è nostra, per mostrare la connessione con i
numeri primi).
Nostro contributo: I numeri congruenti e la congettura di Birch e
Swinnerton –Dyer, (Rif. 1), dal quale riportiamo il pezzo riguardante
la distribuzione degli infiniti numeri congruenti, di cui circa la metà
sono primi, e quindi anch’essi infiniti,e che sono molto importanti
circa l’infinità o meno dei punti razionali sulle curve ellittiche.
Brano da Rif.1 (“LA CONGETTURA DI BIRCH E SWINNERTON
– DYER E I NUMERI CONGRUENTI “)
“…Vediamo ora la distribuzione dei numeri congruenti (in rosso, a
gruppi di tre, quattro o cinque numeri consecutivi, con qualche raro
numero congruente “single” (34, 41, 65…) almeno fino a 126.
5, 6, 7,
13, 14, 15,
20, 21, 22, 23, 24,
28, 29, 30, 31, 34,
37, 38, 39, 41,
45, 46, 47,
52, 53, 54, 55, 56,
60, 61, 62, 63, 65,
69, 70, 71
77, 78, 79, 80,
84, 85, 86, 87, 88,
92, 93, 94, 95, 96,
101, 102, 103,
109, 110, 111, 112,
116, 117, 118, 119,120,
124,125, 126
Numeri congruenti fino a 126
5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39, 41, 45,
46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84,
85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116,
117, 118, 119, 120, 124, 125, 126
Come possiamo vedere, i numeri congruenti sono spesso a gruppi di
alcuni numeri consecutivi (tre, quattro o cinque), con solo qualche
single ogni tanto; ma anche i numeri non congruenti hanno la stessa
struttura: gruppi consecutivi di tre, quattro o cinque numeri (in nero).
Quindi, almeno fino a 126 (massimo numero congruente della lista)
non ci sono gruppi consecutivi di massimo cinque numeri congruenti e
non congruenti, né minori di tre. Quindi dato un numero n qualsiasi,
entro n + 6 ci sarà sicuramente un numero congruente. Anche questa
nostra osservazione potrebbe essere utile per successivi studi sui
numeri congruenti, con o senza possibili conseguenze per la
congettura di Birch.
Ecco i numeri non congruenti consecutivi, distribuiti in modo simile
ai numeri congruenti
1, 2, 3, 4
8, 9, 10, 11, 12
16, 17, 18, 19
25, 26, 27
32, 33, 34, 35, 36
40, 41, 42, 43, 44
48, 49, 50, 51
57, 58, 59
64 (single); essendo un quadrato, non può essere congruente
66, 67, 68
72, 73, 74, 75, 76
81, 82, 83
89, 90, 91
97, 98, 99, 100
104, 105, 106, 107, 108
113, 114, 115
121, 122 , 123.
Anche i numeri non congruenti, quindi, si susseguono generalmente
in gruppi di tre, quattro, al massimo cinque, numeri consecutivi, con
qualche raro single (64, quadrato).
Vediamoli meglio in una tabella di 10 numeri consecutivi per
osservare meglio l’andamento dei gruppi di numeri consecutivi (in
rosso i numeri congruenti, in nero i numeri non congruenti, in blu i
quadrati, non congruenti):
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
101 102 103 104 105 106 107 108 109 110
111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
121 122 123 124 125 126
Notiamo che non sono congruenti i quadrati (cosa già nota), ma
nemmeno le metà dei quadrati pari, per es. 2, 8, 18, 32, 50 (nostra
osservazione, forse perché hanno qualche somiglianza con n e 2n se n è
primo di una determinata forma, vedi in seguito).
Ma anche che ci sono, in verticale, gruppi di due numeri congruenti o
non congruenti che terminano per la stessa cifra, e un po’ più
raramente gruppi di tre (per es. 45, 55 e 65 per i numeri congruenti e
48, 58 e 68 per i numeri non congruenti).
I numeri congruenti più numerosi che terminano con la stessa cifra
sono quelli che terminano con 5 (ben otto contro una media di sei e
sette per le altre cifre). I gruppi di cinque numeri congruenti
consecutivi sono sottolineati, e ce ne sono ben cinque, contro due di
numeri non congruenti. Tutte queste osservazioni potrebbero essere
utili ai fini dello studio delle curve ellittiche connesse alla crittografia
ECC e infine anche allo studio della stessa congettura di Birch.
Non conosciamo liste più numerose di numeri congruenti, per poter
confermare questo andamento oltre il numero 126, ma pensiamo di sì,
essendo il rapporto tra numeri naturali N e numeri congruenti C, di
circa N/C ≈ 2, infatti fino a 126 ce ne sono 73, e 126/73 = 1,72 ≈ 2;
mentre di numeri non congruenti ce ne sono 53 , e 126/53 = 2,37 ≈ 2
Ci sarà pure un motivo per questa strana distribuzione, in attesa di
essere dimostrata in seguito.
In quanto ai numeri primi congruenti, riportiamo il seguente brano:
Numeri primi , segnati in lilla grassetto
5, 6, 7, 13, 14, 15, 20, 21, 22, 23, 24, 28, 29, 30, 31, 34, 37, 38, 39,41, 45,
46, 47, 52, 53, 54, 55, 56, 60, 61, 62, 63, 65, 69, 70, 71, 77, 78, 79, 80, 84,
85, 86, 87, 88, 92, 93, 94, 95, 96, 101, 102, 103, 109, 110, 111, 112, 116,
117, 118, 119, 120, 124, 125, 126
Ben 16 numeri congruenti sono anche numeri primi, dato questo
che potrebbe eventualmente utile in seguito; una percentuale quindi
di 16/1,26 = 12,69 % ”
Osserviamo qui la presenza di tre coppie di gemelli, con
differenza 2 : 5 e 7, 29 e 31, 101 e 103; alcune coppie, ben sei, con
differenza 6 :
7 e 13, 23 e 29, 31 e 37, 41 e 47, 47 e 53, 103 e 109
(coppie di numeri primi detti, com’è noto , “sexy”). Le altre differenze,
come 4, 8, 10, ecc. sono invece poco rappresentate). Anche questa
osservazione potrebbe essere interessante ai fini della dimostrazione
della congettura di Birch e Swinnerton –Dyer.
Vediamo infine la fattorizzazione dei numeri congruenti e dei numeri
non congruenti per poterne dedurre qualche eventuale regolarità
degna di rilievo.
TABELLA Fattori di numeri congruenti
e non congruenti fino a 30.
fattori
Numeri
fattori
non
congruenti
primo
2*3
primo
primo
2*7
3*5
2*2*5
3*7
2*11
primo
2*2*2*3
2*2*7
primo
2*3*5
4
8
9
10
11
12
16
17
18
19
26
27
Numeri
congruenti
5
6
7
13
14
15
20
21
22
23
24
28
29
30
2*2
2*2*2
3*3
2*5
primo
2*2*3
2*2*2*2
primo
2*3*3
primo
2*13
3*3*3
Notiamo che 5 è presente come fattore più frequente nei numeri
congruenti (quattro volte) che nei numeri non congruenti (una sola
volta) fino a 30 mentre fino a 126 contiamo 15 presenze come fattore
tra i numeri congruenti e solo 10 presenze tra i numeri non congruenti,
forse anche come conseguenza che i numeri congruenti che terminano
per 5 sono più numerosi dei numeri congruenti che terminano per
cifre diverse da 5.
Possiamo concludere, per questo problema del millennio, dicendo che
le nostre osservazioni, tabelle ecc. potrebbero essere utili per ulteriori
ricerche sui numeri congruenti, sia di per se stessi, sia in relazione ad
una possibile dimostrazione della congettura di Birch. Un piccolo
passo avanti, insomma, verso tale possibilità “
“Classi di complessità P e NP “, da Wikipedia“
Diagramma delle classi di complessità, ipotizzando che P ≠ NP. Se P = NP, le tre classi sono
coincidenti.
Il problema delle classi P e NP è un problema tuttora aperto nella teoria della complessità
computazionale.
Un premio di un milione di dollari è stato offerto per la soluzione corretta (si tratta di uno dei
problemi del millennio).
Indice
Definizione
A livello informale, esso richiede di determinare se ogni problema per il quale un computer è in
grado di verificare la correttezza di una soluzione positiva, in un tempo accettabile, è anche un
problema che può essere risolto dal computer in un tempo accettabile (ovvero se il computer è in
grado di trovare da solo una soluzione positiva in un tempo accettabile).
Se la risposta è no, allora esistono problemi per i quali è più complesso calcolare una certa
soluzione che verificarla.
Una definizione formale fa uso delle classi di complessità P e NP. La prima consiste di tutti quei
problemi di decisione che possono essere risolti con una macchina sequenziale deterministica in un
tempo che è polinomiale rispetto alla dimensione dei dati di ingresso; la seconda consiste di tutti
quei problemi di decisione le cui soluzioni positive possono essere verificate in tempo polinomiale
avendo le giuste informazioni, o, equivalentemente, la cui soluzione può essere trovata in tempo
polinomiale con una macchina non deterministica. Il problema delle classi P e NP si risolve quindi
nella seguente domanda:
P è uguale a NP?
Un esempio per avere un'idea di cosa ciò vuole dire. Supponiamo di voler calcolare tutti i
divisori (primi o no) di un numero n. Il problema, quindi, è trovare tutti i numeri x tali che x è
un divisore di n.
È abbastanza facile verificare che un certo numero x0 è divisore di n; è sufficiente svolgere
l'operazione di divisione e controllare il resto: se è pari a zero, il numero è un divisore,
altrimenti non lo è. Il numero di passaggi richiesti per eseguire l'operazione di divisione è
tanto maggiore quanto maggiore è il numero x0, tuttavia essa risulta sempre abbastanza
veloce perché il tempo da essa richiesto sia considerato accettabile.
Al contrario, potrebbe non essere altrettanto facile determinare l'insieme di tutti i divisori.
Infatti, quasi tutti i metodi[1] finora ideati nel corso dei secoli richiedono un tempo che
aumenta rapidamente al crescere del valore di n, troppo perché esso sia considerato
accettabile.
Le parti in grassetto nero evidenziano i brani che ci interessano.
Commento : per il numero RSA – 2048 , di 617 cifre (Rif.2), il tempo
di calcolo previsto è di circa 15 miliardi di anni, pari all’età
dell’universo.
Con una nostra congettura forte sui numeri RSA ( p circa almeno il
67% di n √N) il calcolo si può ridurre a “soli” 5 miliardi di anni… ;
non è molto, ma la congettura è perfezionabile. La difficoltà temporale
non dipende tanto dalla lunghezza di N (in questo 617 cifre) , ma
dalla lunghezza di d (semidifferenza d = (q – p )/2 ), che per i numeri
RSA al massimo è circa il 35% di n quando il rapporto q/p = 2 o
molto vicino a 2. Numeri RSA enormi potrebbero avere p e q con
differenze di poche cifre, e quindi fattorizzabili più velocemente con
l’algoritmo di Fermat . (Vedi anche Rif. 2).
Qualche piccolo esempio: N = 15061 * 15149 = 228 159 089,
con d =D/2 = = (15149 - 15061) = 88/2 = 44 , e con semisomma
s = s/2 = (15061 +15149 )/2 = 30210/2 = 15105
n =√N = √228 159 089 = 15104, 93
Ma facciamo finta di conoscere soltanto N = 228 159 089.
Se usiamo l’algoritmo di Fermat a ritroso, a partire da n, e cioè
N +d2 = S , e con semisomma √S = s, da cui poi p= s – d e q = s + d
Se sommiamo N a tutti i quadrati successivi dei numeri naturali,
dobbiamo arrivare a N + 442 per arrivare al quadrato perfetto
S=s2, infatti 228 159 089 + 1936 = 228 161 025 = 151052
(tutti i tentativi con d minore di 44 non danno quadrati perfetti)
Ora possiamo trovare facilmente :
p = s - d = 15105 – 44 = 15061
q = s + d = 15061 + 44 = 15149
con soli d = 44 tentativi.
Con il metodo “forza bruta”, cioè dividendo n per tutti i numeri primi
fino ad n, sarebbero stati necessari circa π(n) = 15104 = 15104/9,62 =
1570 numeri primi, troviamo quello giusto (15061) verso il 93% di
15104 Infatti 15104*0,93 = 14046 , con p compreso tra questo
numero ed n = 15104;
la percentuale 93% di n è
approssimativamente indicata dalla parte decimale di n = 15104, 93.
Ma non sempre la parte decimale della radice quadrata dà questo
suggerimento, valido di solito solo per parti decimali prossime ad 1,
tipo 0, 90 ecc. tipico di bassi rapporti (prossimi ad 1 come limite
inferiore, per esempio 1,1 , 1,2 o poco più). Per altri rapporti più alti,
fino a 2,10 (circa il limite massimo per i numeri RSA , tale indicazione
funziona solo raramente. (Vedi Rif. 3 e Rif. 4)
Approfondimento delle connessioni e i nostri contributi
(a) Ipotesi di Riemann e congettura di Birch e Swinnerton – Dyer
La connessione è la somiglianza tra l’equazioni delle funzioni zeta di
Riemannn e le equazioni
L (E , s )
di Dirichlet, come visto da
Wikipedia:
Una funzione L L(E , s ) può essere definita per una curva ellittica E con la costruzione di un
prodotto di Eulero dal numero di punti sulla curva modulo ogni numero primo p. Questa
funzione L è analoga alla funzione zeta di Riemann e alle serie L di Dirichlet che è definita per
una forma quadratica binaria. Si tratta di un caso particolare di una funzione L di HasseWeil.
Sia la funzione zeta di Riemann, sia il prodotto di Eulero, sia una
funzione
L L (E , s )
sono basati sui numeri primi (filo rosso comune ai
tre problemi del millennio oggetti di questo articolo)
(b) Ipotesi di Riemann e fattorizzazione veloce
Questa connessione è debole: dall’ipotesi di Riemann non discendono
elementi importanti per la fattorizzazione veloce in grado di mettere
in pericolo la crittografia RSA, come molti erroneamente e
frettolosamente pensano. Tutto ciò che abbiamo trovato è il seguente
brano, tratto dl libro di Keith Devlin (op. cit.)
“ …Poiché l’ipotesi di Riemann ci dice moltissimo sui numeri primi, la
sua potrebbe benissimo portarci a un fondamentale progresso sulle
tecniche di fattorizzazione.E questo non perché in tal caso finalmente
sapremo che l’ipotesi è vera; infatti, sospettando che lo fosse, sono anni
che i matematici ne studiano le conseguenze. In effetti, alcuni metodi di
fattorizzazione funzionano presupponendo che essa sia vera”
Commento: la crittografia RSA non è stata ancora violata, quindi tali
metodi non sono ancora abbastanza potenti per poterla violare .
Nostri contributi :
Algoritmo di Fermat con d2 se d è molto piccola, vedere “ipotesi
Percentuale” sulla parte decimale (Rif.1 e 2). Quindi P = NP, per
quanto riguarda il sottoproblema della fattorizzazione, potrebbe
essere vero solo in questi casi, quale che sia la lunghezza di N: la
difficoltà computazionale dipende ora dalla lunghezza di d,
semidifferenza d = (q - p)/2 con N + d2 = S da cui poi s = √S
e
con p = s – d e q = s + d
Poiché compare la semisomma s = (p + q)/2, vi potrebbe essere
coinvolta la congettura di Goldbach. Vedi esempio per
N = 15061 * 15149 = 228 159 089 nelle pagine precedenti
riguardanti la complessità computazionale e il sottoproblema della
fattorizzazione. La difficoltà computazionale , quindi, più che alla
lunghezza in numero di cifre del numero N = p*q, è legata alla
lunghezza in cifre del numero d = semidifferenza tra q e p, quindi
indipendentemente dalla lunghezza del numero N. Se d è piccola, il
tempo computazionale è in proporzione anch’esso piccolo, rispetto a
quello previsto con il metodo detto “ forza bruta”, cioè di dividere N
per tutti i numeri primi minori della sua radice quadrata.
Queste nostre osservazioni ed esempi (altri si possono leggere nei
riferimenti finali sulla fattorizzazione) potrebbero essere utili a
comprendere e superare meglio le difficoltà del problema P = NP in
generale e del sottoproblema della fattorizzazione veloce in
particolare, e sulle cui attuali difficoltà si basa la crittografia RSA, la
cui violazione però non è tra i nostri scopi e nemmeno la violazione
della crittografia ECC, ancora più difficile da violare, perché i
tentativi a ritroso sono più difficili di quelli possibili per fattorizzare
N , accennati in questo lavoro (algoritmo di Fermat quando d è molto
piccola, cosa suggerita dall’alta parte decimale di n =√N solo quando
il rapporto q/p è basso ed è prossimo ad 1)
(c) Connessione tra la congettura di Birch e la fattorizzazione veloce:
due sistemi di crittografia, la crittografia ECC basata sulle curve
ellittiche e sulle difficoltà di trovare i punti razionali e la Crittografia
RSA basata invece sulle difficoltà della fattorizzazione di prodotti
molto grandi di due numeri primi di alcune centinaia di cifre.
La crittografia ECC è, ricordiamo, dieci volte più sicura della
crittografia RSA a parità di lunghezza della chiave pubblica, per
esempio chiave di 100 cifre nella crittografia ECC è sicura come una
chiave di 1000 cifre nella crittografia RSA.
Nostro contributo: nessuno
Citiamo però da Wikipedia, la voce
Lenstra elliptic curve factorization
con l’esternal link:
Factorization using the Elliptic Curve Method
alle quali rimandiamo per eventuali approfondimenti.
Conclusioni
Concludiamo con la speranza che questo lavoro divulgativo e con
qualche nostro modesto contributo possa permettere a qualche
matematico volenteroso di farsi un’idea dei tre problemi del millennio,
e magari anche di risolverne qualcuno, o per lo meno contribuire ad
una sua eventuale soluzione definitiva da parte di altri.
Caltanissetta 2.2.2014
Riferimenti
tutti sul nostro sito (http://xoomer.alice.it/stringtheory
1) “CONGETTURA DI BIRCH E SWINNERTON – DYER E I
NUMERI CONGRUENTI”
Gruppo “B. Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli, Pier Francesco Roggero
Abstract
In this paper we show some connections between Birch –and Swinnerton–
Dyer’s conjecture and the congruent numbers
2)”PROPOSTA DI FATTORIZZARE IL NUMERO
RSA- 2048 (cercando p tra il 70 % e il 71% della sua radice
quadrata, corrispondente ad un rapporto r = q/p ≈ 2)”
Gruppo “B. Riemann
Nardelli Michele, Francesco Di Noto
Abstract
In this paper we will propose the factoring of the number RSA – 2048, to
find p next to 70% of its sqrt (r = q/p ≈ 2
3)”Ipotesi su p < n come possibile percentuale di n = √N per
una fattorizzazione più veloce “
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
Abstract
In this paper we show our conjecture about “mathematical
spettroscopy” able to speed up factoring of N = p*q with p < n
as possible percent of n = √N, where N = p*q
4) “IL TEOREMA FONDAMENTALE DELLA
FATTORIZZAZIONE “
Gruppo “B.Riemann”*
Francesco Di Noto, Michele Nardelli
Abstract
In this paper we show our Fundamental Theorem about
Factorization.
Altri Riferimenti
Molti altri articoli vari sull’ipotesi di Riemann, Ipotesi RH –
equivalenti , sul problema P = NP e sul suo sottoproblema della
fattorizzazione veloce, sul nostro sito:
(http://xoomer.alice.it/stringtheory, ai quali rimandiamo
Fine

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