Corso di dottorato: “Metodi variazionali per la meccanica e i materiali” Lezione 11: Un risultato di semicontinuità Michela Eleuteri Università degli Studi di Milano Università degli Studi di Firenze February 6, 2014 Quasi-convessità e semicontinuità Quesito La quasi-convessità è anche una condizione sufficiente per la semicontinuità inferiore in una topologia sufficientemente debole per garantire l’esistenza dei minimi? Marcellini P.: “Approximation of quasiconvex functions and lower semicontinuity of multiple integrals”, Manus. Math., 51, (1985), 1-28. Teorema Sia f (z) una funzione quasi-convessa tale che 0 ≤ f (z) ≤ c (1 + |z| p ) con p ≥ 1. Allora, il funzionale F (u) = Z f (∇u) dx è semicontinuo Ω 1,p inferiormente nella topologia debole di Wloc (Ω; RN ). Michela Eleuteri Lezione 11 Quasi-convessità e semicontinuità Quesito La quasi-convessità è anche una condizione sufficiente per la semicontinuità inferiore in una topologia sufficientemente debole per garantire l’esistenza dei minimi? Marcellini P.: “Approximation of quasiconvex functions and lower semicontinuity of multiple integrals”, Manus. Math., 51, (1985), 1-28. Teorema Sia f (z) una funzione quasi-convessa tale che 0 ≤ f (z) ≤ c (1 + |z| p ) con p ≥ 1. Allora, il funzionale F (u) = Z f (∇u) dx è semicontinuo Ω 1,p inferiormente nella topologia debole di Wloc (Ω; RN ). Michela Eleuteri Lezione 11 Quasi-convessità e semicontinuità Quesito La quasi-convessità è anche una condizione sufficiente per la semicontinuità inferiore in una topologia sufficientemente debole per garantire l’esistenza dei minimi? Marcellini P.: “Approximation of quasiconvex functions and lower semicontinuity of multiple integrals”, Manus. Math., 51, (1985), 1-28. Teorema Sia f (z) una funzione quasi-convessa tale che 0 ≤ f (z) ≤ c (1 + |z| p ) con p ≥ 1. Allora, il funzionale F (u) = Z f (∇u) dx è semicontinuo Ω 1,p inferiormente nella topologia debole di Wloc (Ω; RN ). Michela Eleuteri Lezione 11 Quasi-convessità e semicontinuità Acerbi E., Fusco N.: “Semicontinuity problems in the calculus of variations”, Arch. Rat. Mech. Anal., 86, (1984), 125-145. Teorema Sia f (x, u, z) una funzione quasi-convessa che soddisfa la seguente condizione −a(|z|r + |u|t ) − h(x) ≤ f (x, u, z) ≤ g(x, u) (1 + |z| p ), pn con p > 1, 1 ≤ r < p, 1 ≤ t < p∗ = n−p (t ≥ 1 if p ≥ n); h ∈ L1 (Ω) e g ≥ 0 funzione Zdi Caratheodory in Ω × RN . Allora il funzionale F (u) = f (x, u(x), ∇u(x)) dx è semicontinuo inferiormente nella topologia Ω 1,p debole di Wloc (Ω; RN ) ν |z| p ≤ f (x, u, z) ≤ g(x, u) (1 + |z| p ). Michela Eleuteri Lezione 11 Quasi-convessità e semicontinuità Acerbi E., Fusco N.: “Semicontinuity problems in the calculus of variations”, Arch. Rat. Mech. Anal., 86, (1984), 125-145. Teorema Sia f (x, u, z) una funzione quasi-convessa che soddisfa la seguente condizione −a(|z|r + |u|t ) − h(x) ≤ f (x, u, z) ≤ g(x, u) (1 + |z| p ), pn con p > 1, 1 ≤ r < p, 1 ≤ t < p∗ = n−p (t ≥ 1 if p ≥ n); h ∈ L1 (Ω) e g ≥ 0 funzione Zdi Caratheodory in Ω × RN . Allora il funzionale F (u) = f (x, u(x), ∇u(x)) dx è semicontinuo inferiormente nella topologia Ω 1,p debole di Wloc (Ω; RN ) ν |z| p ≤ f (x, u, z) ≤ g(x, u) (1 + |z| p ). Michela Eleuteri Lezione 11 Quasi-convessità e semicontinuità Acerbi E., Fusco N.: “Semicontinuity problems in the calculus of variations”, Arch. Rat. Mech. Anal., 86, (1984), 125-145. Teorema Sia f (x, u, z) una funzione quasi-convessa che soddisfa la seguente condizione −a(|z|r + |u|t ) − h(x) ≤ f (x, u, z) ≤ g(x, u) (1 + |z| p ), pn con p > 1, 1 ≤ r < p, 1 ≤ t < p∗ = n−p (t ≥ 1 if p ≥ n); h ∈ L1 (Ω) e g ≥ 0 funzione Zdi Caratheodory in Ω × RN . Allora il funzionale F (u) = f (x, u(x), ∇u(x)) dx è semicontinuo inferiormente nella topologia Ω 1,p debole di Wloc (Ω; RN ) ν |z| p ≤ f (x, u, z) ≤ g(x, u) (1 + |z| p ). Michela Eleuteri Lezione 11 Riassumendo: convessità e semicontinuità CONVESSITÀ ⇒ SCI (Lezione 9) Convessità condizione sufficiente per semicontinuità inferiore nella topologia debole di W 1,p SCI ⇒ CONVESSITÀ (Lezione 10) Convessità condizione necessaria per semicontinuità inferiore nella topologia debole di W 1,p (se n = 1 o N = 1) CONVESSITÀ ⇔ SCI (caso scalare) Convessità condizione necessaria e sufficiente per semicontinuità inferiore nella topologia debole di W 1,p Michela Eleuteri Lezione 11 Riassumendo: convessità e semicontinuità CONVESSITÀ ⇒ SCI (Lezione 9) Convessità condizione sufficiente per semicontinuità inferiore nella topologia debole di W 1,p SCI ⇒ CONVESSITÀ (Lezione 10) Convessità condizione necessaria per semicontinuità inferiore nella topologia debole di W 1,p (se n = 1 o N = 1) CONVESSITÀ ⇔ SCI (caso scalare) Convessità condizione necessaria e sufficiente per semicontinuità inferiore nella topologia debole di W 1,p Michela Eleuteri Lezione 11 Riassumendo: convessità e semicontinuità CONVESSITÀ ⇒ SCI (Lezione 9) Convessità condizione sufficiente per semicontinuità inferiore nella topologia debole di W 1,p SCI ⇒ CONVESSITÀ (Lezione 10) Convessità condizione necessaria per semicontinuità inferiore nella topologia debole di W 1,p (se n = 1 o N = 1) CONVESSITÀ ⇔ SCI (caso scalare) Convessità condizione necessaria e sufficiente per semicontinuità inferiore nella topologia debole di W 1,p Michela Eleuteri Lezione 11 Riassumendo: quasi-convessità e semicontinuità SCI ⇒ QUASI - CONVESSITÀ (Lezione 10) Quasi-convessità condizione necessaria per semicontinuità inferiore nella topologia debole∗ di W 1,∞ (equivalentemente nella L-convergenza) ma se F è SCI nella topologia debole di W 1,p allora è SCI nella topologia debole∗ di W 1,∞ quindi... SCI ⇒ QUASI - CONVESSITÀ (Lezione 10) ...Quasi-convessità condizione necessaria per semicontinuità inferiore anche nella topologia debole di W 1,p SCI ⇔ QUASI - CONVESSITÀ (Lezione 11) Quasi-convessità condizione necessaria e sufficiente per semicontinuità inferiore nella topologia debole di W 1,p Michela Eleuteri Lezione 11 Riassumendo: quasi-convessità e semicontinuità SCI ⇒ QUASI - CONVESSITÀ (Lezione 10) Quasi-convessità condizione necessaria per semicontinuità inferiore nella topologia debole∗ di W 1,∞ (equivalentemente nella L-convergenza) ma se F è SCI nella topologia debole di W 1,p allora è SCI nella topologia debole∗ di W 1,∞ quindi... SCI ⇒ QUASI - CONVESSITÀ (Lezione 10) ...Quasi-convessità condizione necessaria per semicontinuità inferiore anche nella topologia debole di W 1,p SCI ⇔ QUASI - CONVESSITÀ (Lezione 11) Quasi-convessità condizione necessaria e sufficiente per semicontinuità inferiore nella topologia debole di W 1,p Michela Eleuteri Lezione 11 Riassumendo: quasi-convessità e semicontinuità SCI ⇒ QUASI - CONVESSITÀ (Lezione 10) Quasi-convessità condizione necessaria per semicontinuità inferiore nella topologia debole∗ di W 1,∞ (equivalentemente nella L-convergenza) ma se F è SCI nella topologia debole di W 1,p allora è SCI nella topologia debole∗ di W 1,∞ quindi... SCI ⇒ QUASI - CONVESSITÀ (Lezione 10) ...Quasi-convessità condizione necessaria per semicontinuità inferiore anche nella topologia debole di W 1,p SCI ⇔ QUASI - CONVESSITÀ (Lezione 11) Quasi-convessità condizione necessaria e sufficiente per semicontinuità inferiore nella topologia debole di W 1,p Michela Eleuteri Lezione 11
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