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Corso di dottorato: “Metodi variazionali per la
meccanica e i materiali”
Lezione 11: Un risultato di semicontinuità
Michela Eleuteri
Università degli Studi di Milano
Università degli Studi di Firenze
February 6, 2014
Quasi-convessità e semicontinuità
Quesito
La quasi-convessità è anche una condizione sufficiente per la semicontinuità
inferiore in una topologia sufficientemente debole per garantire l’esistenza
dei minimi?
Marcellini P.: “Approximation of quasiconvex functions and lower
semicontinuity of multiple integrals”, Manus. Math., 51, (1985), 1-28.
Teorema
Sia f (z) una funzione quasi-convessa tale che
0 ≤ f (z) ≤ c (1 + |z| p )
con p ≥ 1. Allora, il funzionale F (u) =
Z
f (∇u) dx è semicontinuo
Ω
1,p
inferiormente nella topologia debole di Wloc (Ω; RN ).
Michela Eleuteri
Lezione 11
Quasi-convessità e semicontinuità
Quesito
La quasi-convessità è anche una condizione sufficiente per la semicontinuità
inferiore in una topologia sufficientemente debole per garantire l’esistenza
dei minimi?
Marcellini P.: “Approximation of quasiconvex functions and lower
semicontinuity of multiple integrals”, Manus. Math., 51, (1985), 1-28.
Teorema
Sia f (z) una funzione quasi-convessa tale che
0 ≤ f (z) ≤ c (1 + |z| p )
con p ≥ 1. Allora, il funzionale F (u) =
Z
f (∇u) dx è semicontinuo
Ω
1,p
inferiormente nella topologia debole di Wloc (Ω; RN ).
Michela Eleuteri
Lezione 11
Quasi-convessità e semicontinuità
Quesito
La quasi-convessità è anche una condizione sufficiente per la semicontinuità
inferiore in una topologia sufficientemente debole per garantire l’esistenza
dei minimi?
Marcellini P.: “Approximation of quasiconvex functions and lower
semicontinuity of multiple integrals”, Manus. Math., 51, (1985), 1-28.
Teorema
Sia f (z) una funzione quasi-convessa tale che
0 ≤ f (z) ≤ c (1 + |z| p )
con p ≥ 1. Allora, il funzionale F (u) =
Z
f (∇u) dx è semicontinuo
Ω
1,p
inferiormente nella topologia debole di Wloc (Ω; RN ).
Michela Eleuteri
Lezione 11
Quasi-convessità e semicontinuità
Acerbi E., Fusco N.: “Semicontinuity problems in the calculus of variations”,
Arch. Rat. Mech. Anal., 86, (1984), 125-145.
Teorema
Sia f (x, u, z) una funzione quasi-convessa che soddisfa la seguente
condizione
−a(|z|r + |u|t ) − h(x) ≤ f (x, u, z) ≤ g(x, u) (1 + |z| p ),
pn
con p > 1, 1 ≤ r < p, 1 ≤ t < p∗ = n−p (t ≥ 1 if p ≥ n); h ∈ L1 (Ω) e g ≥ 0
funzione Zdi Caratheodory in Ω × RN . Allora il funzionale
F (u) =
f (x, u(x), ∇u(x)) dx è semicontinuo inferiormente nella topologia
Ω
1,p
debole di Wloc (Ω; RN )
ν |z| p ≤ f (x, u, z) ≤ g(x, u) (1 + |z| p ).
Michela Eleuteri
Lezione 11
Quasi-convessità e semicontinuità
Acerbi E., Fusco N.: “Semicontinuity problems in the calculus of variations”,
Arch. Rat. Mech. Anal., 86, (1984), 125-145.
Teorema
Sia f (x, u, z) una funzione quasi-convessa che soddisfa la seguente
condizione
−a(|z|r + |u|t ) − h(x) ≤ f (x, u, z) ≤ g(x, u) (1 + |z| p ),
pn
con p > 1, 1 ≤ r < p, 1 ≤ t < p∗ = n−p (t ≥ 1 if p ≥ n); h ∈ L1 (Ω) e g ≥ 0
funzione Zdi Caratheodory in Ω × RN . Allora il funzionale
F (u) =
f (x, u(x), ∇u(x)) dx è semicontinuo inferiormente nella topologia
Ω
1,p
debole di Wloc (Ω; RN )
ν |z| p ≤ f (x, u, z) ≤ g(x, u) (1 + |z| p ).
Michela Eleuteri
Lezione 11
Quasi-convessità e semicontinuità
Acerbi E., Fusco N.: “Semicontinuity problems in the calculus of variations”,
Arch. Rat. Mech. Anal., 86, (1984), 125-145.
Teorema
Sia f (x, u, z) una funzione quasi-convessa che soddisfa la seguente
condizione
−a(|z|r + |u|t ) − h(x) ≤ f (x, u, z) ≤ g(x, u) (1 + |z| p ),
pn
con p > 1, 1 ≤ r < p, 1 ≤ t < p∗ = n−p (t ≥ 1 if p ≥ n); h ∈ L1 (Ω) e g ≥ 0
funzione Zdi Caratheodory in Ω × RN . Allora il funzionale
F (u) =
f (x, u(x), ∇u(x)) dx è semicontinuo inferiormente nella topologia
Ω
1,p
debole di Wloc (Ω; RN )
ν |z| p ≤ f (x, u, z) ≤ g(x, u) (1 + |z| p ).
Michela Eleuteri
Lezione 11
Riassumendo: convessità e semicontinuità
CONVESSITÀ
⇒ SCI (Lezione 9)
Convessità condizione sufficiente per semicontinuità inferiore nella
topologia debole di W 1,p
SCI ⇒ CONVESSITÀ (Lezione 10)
Convessità condizione necessaria per semicontinuità inferiore nella
topologia debole di W 1,p (se n = 1 o N = 1)
CONVESSITÀ
⇔ SCI (caso scalare)
Convessità condizione necessaria e sufficiente per semicontinuità inferiore
nella topologia debole di W 1,p
Michela Eleuteri
Lezione 11
Riassumendo: convessità e semicontinuità
CONVESSITÀ
⇒ SCI (Lezione 9)
Convessità condizione sufficiente per semicontinuità inferiore nella
topologia debole di W 1,p
SCI ⇒ CONVESSITÀ (Lezione 10)
Convessità condizione necessaria per semicontinuità inferiore nella
topologia debole di W 1,p (se n = 1 o N = 1)
CONVESSITÀ
⇔ SCI (caso scalare)
Convessità condizione necessaria e sufficiente per semicontinuità inferiore
nella topologia debole di W 1,p
Michela Eleuteri
Lezione 11
Riassumendo: convessità e semicontinuità
CONVESSITÀ
⇒ SCI (Lezione 9)
Convessità condizione sufficiente per semicontinuità inferiore nella
topologia debole di W 1,p
SCI ⇒ CONVESSITÀ (Lezione 10)
Convessità condizione necessaria per semicontinuità inferiore nella
topologia debole di W 1,p (se n = 1 o N = 1)
CONVESSITÀ
⇔ SCI (caso scalare)
Convessità condizione necessaria e sufficiente per semicontinuità inferiore
nella topologia debole di W 1,p
Michela Eleuteri
Lezione 11
Riassumendo: quasi-convessità e semicontinuità
SCI ⇒ QUASI - CONVESSITÀ (Lezione 10)
Quasi-convessità condizione necessaria per semicontinuità inferiore nella
topologia debole∗ di W 1,∞ (equivalentemente nella L-convergenza) ma se F
è SCI nella topologia debole di W 1,p allora è SCI nella topologia debole∗ di
W 1,∞ quindi...
SCI ⇒ QUASI - CONVESSITÀ (Lezione 10)
...Quasi-convessità condizione necessaria per semicontinuità inferiore
anche nella topologia debole di W 1,p
SCI ⇔ QUASI - CONVESSITÀ (Lezione 11)
Quasi-convessità condizione necessaria e sufficiente per semicontinuità
inferiore nella topologia debole di W 1,p
Michela Eleuteri
Lezione 11
Riassumendo: quasi-convessità e semicontinuità
SCI ⇒ QUASI - CONVESSITÀ (Lezione 10)
Quasi-convessità condizione necessaria per semicontinuità inferiore nella
topologia debole∗ di W 1,∞ (equivalentemente nella L-convergenza) ma se F
è SCI nella topologia debole di W 1,p allora è SCI nella topologia debole∗ di
W 1,∞ quindi...
SCI ⇒ QUASI - CONVESSITÀ (Lezione 10)
...Quasi-convessità condizione necessaria per semicontinuità inferiore
anche nella topologia debole di W 1,p
SCI ⇔ QUASI - CONVESSITÀ (Lezione 11)
Quasi-convessità condizione necessaria e sufficiente per semicontinuità
inferiore nella topologia debole di W 1,p
Michela Eleuteri
Lezione 11
Riassumendo: quasi-convessità e semicontinuità
SCI ⇒ QUASI - CONVESSITÀ (Lezione 10)
Quasi-convessità condizione necessaria per semicontinuità inferiore nella
topologia debole∗ di W 1,∞ (equivalentemente nella L-convergenza) ma se F
è SCI nella topologia debole di W 1,p allora è SCI nella topologia debole∗ di
W 1,∞ quindi...
SCI ⇒ QUASI - CONVESSITÀ (Lezione 10)
...Quasi-convessità condizione necessaria per semicontinuità inferiore
anche nella topologia debole di W 1,p
SCI ⇔ QUASI - CONVESSITÀ (Lezione 11)
Quasi-convessità condizione necessaria e sufficiente per semicontinuità
inferiore nella topologia debole di W 1,p
Michela Eleuteri
Lezione 11
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