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Elementi di Teoria degli Insiemi
Matematica Generale
Definizioni




Insieme: collezione oggetti distinti
Notazioni: A, B, C  elementi: a,b,c
Insieme universale: S (spazio di riferimento)
Insieme vuoto ! (nessun elemento)
 Appartenenza:
 Non appartenenza:
a! A
a! A
 Rappresentazione:
1. per tabulazione:
A = {1, 3, 5}
2. per caratteristica:
{
}
A = x !! : x < 6,dispari
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Matematica Generale
Terminologia
Data una proprieta` P ed un insieme S, ha senso chiedersi se:
 La propr. P sia verificata da almeno un elemento di S
 La propr. P sia verificata da ogni elemento di S
 La propr P sia verificata da esattamente un elemento di S
Quantificatore universale:
! (per ogni)
Quantificatore esistenziale:
Unicita`:
! (esiste almeno un)
! (!! = esiste un unico)
• Osservazione “metafisica”: l’esistere e` una proprieta? Ha senso
chiedersi se esiste un elemento di un insieme con la proprieta` di
esistere?
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Matematica Generale
Esempi: Proposizioni con quantificatori e loro negazione
Proposizione S1: ! a "A # a ha la proprieta` P
Proposizione S2: $ a "A # a ha la proprieta` P
Proposizione S3: ! a "A # $b "B con la propr. P
Proposizione S4: $ a "A : !b "B, b ha la propr. P
Proposizione S5: !a "A con propr. P # $b "B con propr. Q
Proposizione !S1: ! a "A : a non ha la proprieta` P
Proposizione !S2: # a "A : a non ha la proprieta` P
Proposizione !S3: ! a "A : #b "B, b non ha la propr. P
Proposizione !S4: # a "A : !b "B : b non ha la propr. P
Proposizione !S5: !a "A con propr. P : #b "B, b non ha la propr. Q
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Matematica Generale
Insiemi uguali:
A = B sse
!x "A # x "B
!x "B # x "A
Insiemi congiunti (o “non disgiunti):
A e B sono congiunti se !x "A : x "B
Insiemi disgiunti:
A e B sono disgiunti se !x "A # x $B
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Matematica Generale
DIAGRAMMI DI EULERO-VENN
 Insiemi DISGIUNTI
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Matematica Generale
 Insiemi CONGIUNTI
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Matematica Generale
Relazione di Inclusione:
A ! B se "x # A $ x # B
Proprietà:
– transitiva:
A! A
A! B"B !C # A!C
– antisimmetrica:
A" B#B " A! A= B
– riflessiva:
 Inclusione propria:
A! B : A ! B, B # A
"
 Insieme della parti:
P( A) = {X : X ! A}
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Matematica Generale
 Inclusione propria
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Matematica Generale
Operazioni insiemistiche
1. Intersezione:
A ! B = {x " S : x " A # x " B}
A # B = {x ! S : x ! A " x ! B}
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Matematica Generale
 Proprieta`:
A!A = A
A!B = B!A
A ! B " A; A ! B " B
A !# = #
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Matematica Generale
Teor: A e B disgiunti sse A ! B = "
Dim #
per ip: $x %A # x &B. Ragionando per assurdo, se fosse
A ! B ' " # (x %A ! B # x %A e x %B che contraddice l'ip.
Dim !
per ip: A " B = #. Preso x $A sara` dunque x %B. Quindi A e B
sono disgiunti.
Di conseguenza:
A e B sono congiunti sse A ! B " #
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Matematica Generale
Teor: A ! B " A # B = A
Dim $
Essendo sempre vero che A # B ! A, basta dimostrare che
A ! A # B. Sia dunque x %A. Allora per ipotesi x %B.
Dunque x %A # B. Abbiamo dunque provato che
&x %A $ x %A # B. Quindi A ! A # B.
Dim !
Sia x "A. Per ip allora x "A # B e quindi x "B.
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Matematica Generale
2. Unione:
A ! B = {x " S : x " A # x " B}
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Matematica Generale
 Proprietà:
A!A = A
A!B = B!A
A, B " A ! B
A !# = A
Propr. distributive:
(A ! B) " C = (A " C) ! (B " C)
(A " B) ! C = (A ! C) " (B ! C)
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Matematica Generale
Teor: A ! B " A # B = B
Dim $
La tesi e` A # B = B. Essendo sempre B ! A # B basta dimostrare
che A # B ! B. Sia dunque x %A # B $ x %A & x %B.
Se x %B il teorema e` dimostrato. Se invece x %A, per l'ipotesi
A ! B si ha anche x %B. Dunque abbiamo provato che
'x %A # B $ x %B. E dunque A # B ! B.
Dim !
Sia x "A. Essendo A # A $ B % x "A $ B.
Quindi, per l'ipotesi, x "B. Quindi: &x "A % x "B
ovvero A # B.
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Matematica Generale
3. Differenza:
A \ B = {x # S : x # A " x ! B}
A \ B = {x # S : x # A " x ! B}
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Matematica Generale
 Proprietà:
A\B! A
A\ A="
A\" = A
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Matematica Generale
Teor: A ! B = " # A \ B = A
Dim $
Essendo sempre A \ B % A, basta dimostrare che A % A \ B.
Sia x &A. Allora per ip. x 'B (altrimenti sarebbe x &A ! B
che non e` possibile). Dunque x &A \ B.
Quindi A % A \ B.
Dim !
Supponiamo, per assurdo, che A " B # $. Quindi esiste
x %A " B. Quindi x %A e x %B, quindi x &A \ B.
Ma questo e` assurdo perche` per ipotesi A = A \ B
mentre abbiamo trovato un x che e` in A ma non in A \ B.
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Matematica Generale
Esempio
A = {1,2,3} B = {2,3,5}
A ! B = {2,3}
A " B = {1,2,3,5}
A \ B = {}
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Matematica Generale
4. Operazione di complemento di A (in S)
A = S \ A = {x ! S : x " A}
c
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Matematica Generale
Proprietà:
c
A! A = S
c
A" A = #
c c
(A ) = A
c
A \ B = A " B (dimostrare per casa)
c
A= B$ A = B
c
c
c
A % B $ B % A (dimostrare per casa)
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Matematica Generale
Regole di De Morgan:
c
c
( A ! B) = A " B
c
( A " B)c = Ac ! B c
Dim:
(A ! B)C = { x "S : x #A ! B} = { x "S : x #A $ x #B}
{
}
AC % BC = x "S : x "AC $ x "BC = { x "S : x #A $ x #B}
(A ! B)C = { x "S : x #A ! B} = { x "S : x #A $ x #B}
{
}
AC % BC = x "S : x "AC $ x "BC = { x "S : x #A $ x #B}
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Matematica Generale
6. Prodotto cartesiano:
A ! B = {( a, b) : a " A, b " B}
•
•
•
•
•
•
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Matematica Generale
Esempio
A = {1,2} B = {5,6}
A ! B = {(1,5 ), (1,6 ), (2,5 ), (2,6 )}
A! B " B ! A
Esempio
A = !, B = !
A ! B = ! ! ! = ! 2 = {(x, y) : x, y "!}
Esempio
A = !, B = ", C = {1, 3, !15}
A " B " C = {(x, y, z) : x #!, y #", z #{1, 3, !15}}
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