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C - E. Curiel

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IL CALCOLO COMBINATORIO:
fornisce dei metodi rapidi per calcolare il numero di
elementi di un insieme,una volta fissata una legge di
composizione di tale insieme.
1. Raggruppamenti: se un uomo ha 3 abiti A = {1,2,3} e 2
camicie B = {a,b} , quanti modi ha per scegliere un
abbinamento abito -camicia? Per problemi di questo
tipo è utile disegnare un diagramma ad albero, dove
ci sono le tre alternative per l’abito indicate con 1,2,3 e
le tre alternative a,b,c, per la scelta della camicia.
Seguendo un dato cammino da sx a dx lungo i rami
dell’albero, si ottiene una particolare scelta, delle 6=3X2
possibili coppie = numero di coppie ordinate il cui primo
elemento è in A e il secondo elemento è in B = cardinalità
del prodotto cartesiano tra i due insiemi AXB.
Se l’uomo deve anche abbinare una cravatta a scelta tra 3,
quante scelte avrà? 6X3=18= n° rami
T1. Se gli insiemi A1,A2,…,Ak contengono rispettivamente
n1,n2,…,nk oggetti, il numero di modi diversi di scegliere
prima un oggetto in A1, poi un oggetto in A2,…, infine un
oggetto in Ak è
N=n1.n2….nk.
Esempi
1. In quanti modi diversi una commissione di 25 alunni
può scegliere un presidente ,quindi il vicepresidente e
poi un segretario ? N=25.24.23= modi diversi
( NB: è come una estrazione da un’urna di 25 palline
numerate senza reinserimento, si ottengono terne
ordinate..)
2. Se un test di ammissione ad un corso consiste di 12
domande Vero-Falso,in quanti modi diversi uno
studente può svolgere l’intero test con una risposta per
ciascuna domanda?
N=2.2.2….2=212=4096.
*******
2. Se in particolare n1= n2=…= nk = n, si ha N = nk, che
rappresenta il numero delle disposizioni con ripetizione di
n oggetti presi a gruppi di k,ossia gruppi che si possono
formare di k oggetti, anche ripetibili, scelti tra n a
disposizione
Esempio: Si lancia 5 volte una moneta,quante sono le
possibili successioni di T e C ottenibili? N=2.2.2.2.2=25,
tipo: TTTTT,TCTTT,CTTTT,….,CCTCC,CCCCT,….
Le disposizioni con ripetizione di n oggetti di classe k ,
differiscono tra loro per almeno un oggetto oppure per
l’ordine
Si indicano col simbolo D’n,k= nk, k>0.
Esempio: quante parole di 3 lettere (anche senza
significato) si possono scrivere con le 21 lettere
dell’alfabeto?
D’21,3=213=9261. tipo: aba, aab, abc, bac,…., zxz, zzz
NB: è come una estrazione di 3 palline successive da
un’urna contenente 21 palline ,su cui sono scritte le
lettere dell’alfabeto, con reinserimento della pallina ad
ogni estrazione.
Esempi:
· In quanti modi si possono presentare le facce di due
dadi (distinguibili) ? D’6,2= 62
· Quante coppie formate da due cifre dispari? D’3,2= 9
· In quanti modi si possono presentare le facce di 3 dadi?
D’6,3= 63= 216 di cui quante terne formate da tre
numeri pari?
D’3,3= 33= 27.
· Quante targhe automobilistiche costituite dalla
sequenza
2 lettere-3 cifre-2 lettere si possono formare ?
sono 25.25.10.10.10.25.25= 390.625.000
( le disposizioni si moltiplicano)
E se voglio contare le parole (anche prive di significato)
formate da 3 lettere diverse con le 21 lettere dell’alfabeto,
cioè senza ripetizioni?
Usando il diagramma ad albero……
ne conto 21.20.19=7980 un po’ di meno chiaramente…
Quanti codici del bancomat posso generare formati da 5
cifre tutte diverse? 10.9.8.7.6=30240
NB: è come una estrazione di 5 palline da un’urna
contenente 10 palline numera teda 0 a 9 , senza
reinserimento della pallina ad ogni estrazione.
Quindi le scelte di volta in volta calano di una unità,
moltiplico i valori decrescenti e mi fermo fino alla
“lunghezza” prefissata della sequenza ordinata da costruire.
3. Queste sequenze sono ordinate e non presentano
ripetizioni e si chiamano: Disposizioni semplici di n
oggetti presi a gruppi di k con k £ n , e differiscono tra
loro per almeno un elemento o per l’ordine
Si indicano col simbolo Dn,k= n.(n-1).(n-2).(n-3)….(n-k+1)
Altri esempi
· In quanti modi 10 persone possono sedersi su una
panchina che ha solo 4 posti? D10,4=10.9.8.7=5040
· In quanti modi 10 persone si possono disporre in fila di
attesa davanti ad uno sportello postale? Idem
· In una gara con 40 concorrenti, quante sono le possibili
classifiche dei primi tre? D40,3=40.39.38=59280
· Quante sono le partite di andata e di ritorno che si
disputano in un campionato a 13 squadre?
D13,2=13.12=156 partite
· Determinare quante bandiere tricolori ( a bande
verticali) si possono formare con i 7 colori dello spetto.
D7,3=7.6.5=210
· Quanti sono i numeri naturali formati da al più 4 cifre
dispari distinte?
Devo contare: i numeri dispari di una cifra(in tutto 5) +
i numeri di due cifre dispari (D5,2=5.4=20) +
i numeri formati da tre cifre dispari (D5,3=5.4.3=60) +
i numeri formati da quattro cifre dispari (
D5,4=5.4.3.2=120)
In totale i numeri richiesti sono: 5+20+60+120 = 205
· Trovare quanti numeri di 4 cifre possono essere formati
con le 10 cifre se
a) si ammettono ripetizioni
b) non si ammettono ripetizioni
a) la prima cifra è scelta tra 9 ( la cifra 0 no!), le altre tre
cifre si scelgono tra le 10 disponibili,
N = 9 × 10 × 10 × 10 = 9000
b) la prima cifra è scelta tra 9 , per le altre tre cifre conto
le disposizioni semplici di 9 cifre: D9,3=9.8.7=504
quindi in tutto contiamo 9 × 504 = 4536 .
· Dati due insiemi A = {a , b , c } e B = {1, 2 ,3 , 4 }
quante sono le funzioni f di dominio A e codominio B?
Ad ogni elemento di A associo uno ed un solo elemento
di B, quindi ho 4 possibili scelte per a, quattro possibili
scelte per b, idem per c, in tutto 4.4.4=43=64 =D’4,3
funzioni. In generale: se card(A)=k e card(B)=n, nk =n°
di funzioni da A in B.
Se sono richieste solo le funzioni iniettive allora dovrò
considerare le disposizioni semplici D4,3=4.3.2=24 .
*******
4. Nel caso particolare in cui k = n le disposizioni semplici
si chiamano Permutazioni semplici : sono i gruppi formati
ciascuno da tutti gli n oggetti dati e che differiscono solo
per l’ordine degli oggetti.
T: il numero delle permutazioni di n oggetti distinti è
P n = n!
P n =D n,n =n.(n-1).(n-2)….(n-n+1)=
=n.(n-1).(n-2)….3.2.1=n!
Esempi
· Quanti numeri di 6 cifre distinte possiamo scrivere
usando gli elementi dell’insieme A = {2,3,4,7,8,9}
Sono P6=6!=6.5.4.3.2.1=720
· Quante parole si possono formare con le 5 vocali? 120
· Si sistemano in uno scaffale 4 libri di matematica, 6 di
fisica, 2 di chimica. Contare quante sistemazioni sono
possibili se
a) i libri di ogni materia devono stare insieme
b) solo i libri di matematica devono stare insieme
a) num di sistemazioni dei libri di mat: 4!
num di sistemazioni dei libri di fisica : 6!
num di sistemazioni dei libri di chimica: 2!
num di sistemazione dei tre gruppi diversi :3!
N = 4!6!2!3!=207360
b) considero tutto un blocco unico l’insieme dei libri di
mat che va permutato con gli altri 8 libri (fisica +
chimica) e poi permuto i 4 testi di matematica,
per un totale di 9!×4! = 8709120 .
· In quanti modi diversi 4 ragazzi e 3 ragazze possono
occupare una fila di 7 posti supposto che i ragazzi
vogliono stare tutti vicini e le ragazze pure.
2!×4!×3!= 288
· 7 ragazzi si devono disporre attorno ad un tavolo
rotondo su 7 sedie. Quante sono le possibili
disposizioni ?
Si tratta di un esempio di permutazione circolare.
Se le sedie fossero in fila le disposizioni sarebbero
P7=7!
Essendo disposti su una circonferenza bisogna fare
attenzione che alcune disposizioni si possono
ripresentare, anzi ogni possibile disposizioni circolare
si può ripresentare 7 volte ( 7 rotazioni su se stessa)
quindi il totale è N = P7/7=6!=720.
Quante sono le possibili disposizioni se due dei ragazzi
non possono essere posti vicini? In tale caso penso alla
coppia formata da questi due ragazzi che non si
sopportano come fosse una sola persona, quindi
permuto circolarmente 6 ragazzi ottenendo P6/6=5!
disposizioni e tengo conto che questi due ragazzi
possono essere scambiati tra loro in 2! modi. Pertanto
moltiplicando 5!X2!=240 otteniamo le disposizioni con
i due ragazzi vicini.
Per rispondere sottraggo dal totale 720 la quantità 240
e ottengo 480 disposizioni.
· Quanti sono gli anagrammi della parola “Roma”?
P4=4!=24
· Quanti sono gli anagrammi della parola “Matematica”?
Ci sono 10 lettere di cui 2M, 3A, 2T.
Le due lettere M possono permutare in 2! modi
Le tre lettere A possono permutare in 3! modi
Le due lettere T possono permutare in 2! modi.
Pertanto per evitare di contare anagrammi ripetuti, si
deve dividere il 10! Per tutte queste possibili ripetizioni
Ossia N = 10!/(2!3!2!)= 151200
· 5 palline rosse, 2 bianche, 3 azzurre, devono essere
sistemate in fila; se tutte le palline dello stesso
colore sono indistinguibili, quante sistemazioni sono
possibili?
N=
10!
= 2520
5!×2!×3!
· Cinque automobili debbono effettuare
contemporaneamente rifornimento . Determinare in
quanti modi ciò può avvenire supponendo che vi
siano: a) 5 distributori; b) 8 distributori
a) 5!=120 b) 8.7.6.5.4=6720
*******
Cominciano a comparire troppi fattoriali…, definiamo
quindi
la funzione n!
Si pone 0!=1
1!=1
…
n! = n × (n - 1) × (n - 2 ) × (n - 3) × ..... × 2 × 1
Proprietà: n! = n × (n - 1)! oppure (n + 1)! = (n + 1) × n! relazione
che permette di definire tale funzione in modo ricorsivo
ponendo
ìï0! = 1
í( n + 1)! = ( n + 1) × n!
ïî
se
n¹0
Tramite il fattoriale possiamo calcolare le disposizioni
semplici di n oggetti di classe k mediante questa formula
alternativa:
Dn , k =
n!
( n - k )!
*******
5.
In una disposizione semplice siamo interessati all’ordine
degli oggetti, ad esempio il gruppo “abc” è diverso dal
gruppo “bca”.
Se invece l’ORDINE di scelta NON interessa allora
parliamo di Combinazioni .
Le Combinazioni semplici sono tutti i gruppi di k
oggetti che si possono formare scelti da un insieme di n
oggetti distinti, in modo che i gruppi differiscano per
almeno un oggetto.
Il numero delle combinazioni di n oggetti di classe k è
dato da:
C n ,k =
D n ,k
Pk
=
ænö
n!
= çç ÷÷
(n - k )!×k! è k ø
con
0£k £n
Quest’ultimo detto coefficiente binomiale perché
compare nello sviluppo della potenza del binomio di
ænö
= å çç ÷÷ a n - k × b k
k =0 è k ø
ænö
ænö
æ0ö
n!
çç ÷÷ =
= 1 = çç ÷÷
e in particolare çç 0 ÷÷ = 1
0
n
0
!
n
!
è ø
è ø
è ø
ænö
æn ö
n!
n (n - 1)!
çç ÷÷ =
÷÷
=
= n = çç
;
1
n
1
(
n
1
)
!
1
!
(
n
1
)
!
è ø
è
ø
Newton (a + b )
n
NB:
n
Proprietà dei coefficienti binomiali:
ænö
n!
çç ÷÷ =
è k ø (n - k )!×k!
Legge dei tre fattoriali
æn ö ænö n - k
çç
÷÷ = çç ÷÷ ×
è k + 1ø è k ø k + 1
ænö æn
ö
çç ÷÷ = çç
÷÷
èk ø èn - k ø
æ n ö æ n - 1 ö æ n - 1ö
çç ÷÷ = çç
÷÷ + çç
÷÷
è k ø è k - 1ø è k ø
Formula di ricorrenza
Legge delle classi complementari
Formula di Stiefel
Si dimostra (per induzione e non solo..) che vale
ænö ænö ænö
ænö
çç ÷÷ + çç ÷÷ + çç ÷÷ + ...... + çç ÷÷ = 2 n
è 0 ø è1 ø è 2 ø
ènø
che dà la cardinalità dell’insieme P (A),
insieme delle parti di A ( cioè di tutti i sottoinsiemi di A),
se A contiene n elementi.
Esempi
· *Tra le persone presenti in questa aula quante strette
di mano si possono fare, se ogni persona stringe la
mano a tutte le altre una sola volta?
Dato che non si tiene conto dell’ordine si tratta di
calcolare le combinazioni di 40 persone di classe 2:
C 40 , 2 =
40!
= 780
38!×2!
· In un torneo quadrangolare di calcio, ciascuna della
quattro squadre partecipanti A,B,C,D ,deve
incontrare le altre tre squadre una sola volta.
Quante partite vengono giocate in tutto? Si scelgono
tutte le possibili coppie tra le 4 squadre senza
ripetizioni e senza tener conto dell’ordine,quindi sono
delle combinazioni
C4,2 =
4×3
=6
2!
· Quante squadre di calcio si possono formare con 30
giocatori?
æ 30 ö
30!
C 30 ,11 = çç ÷÷ =
= 54 . 627 .300
è11 ø 19!×11!
· In quanti modi 10 oggetti diversi possono essere
suddivisi in due gruppi contenenti rispettivamente 4
e 6 oggetti?
æ10 ö 10!
10! æ10 ö
C10 , 4 = çç ÷÷ =
= 210 =
= çç ÷÷ = C10 , 6
4
6
!
×
4
!
4
!
×
6
!
è ø
è6 ø
per la formula delle classi complementari.
· Contare quante sono le diagonali di un poligono
convesso di n lati.
In un poligono di n lati ci sono n vertici, allora
contiamo
ænö
çç ÷÷
è2ø
segmenti che uniscono tali vertici per
formare le diagonali, ma n di questi sono i lati del
poligono, che devono essere sottratti, quindi il
numero di diagonali =
ænö
n ( n - 3)
çç ÷÷ - n =
2
è2ø
.
· Siano dati nello spazio n punti P1, P2,….., Pn .
Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a
due?
Quanti i triangoli che hanno per vertici questi punti
(supposto che nessuna terna sia allineata)?
Quanti i tetraedri (supposto che nessuna terna sia
complanare)? Calcolare quanto richiesto per n=50.
æ n ö æ 50 ö
C n , 2 = çç ÷÷ = çç ÷÷
è2ø è2 ø
;
æ n ö æ 50 ö
C n , 3 = çç ÷÷ = çç ÷÷
è3 ø è3 ø
;
æ n ö æ 50 ö
C n , 4 = çç ÷÷ = çç ÷÷
è4ø è4 ø
· Determinare quanti colori si possono ottenere
combinando in tutti i modi possibili i 7 colori dello
spettro. (27-1=127)
· Un barman dispone di 20 tipi diversi di liquori.
Calcolare il numero di cocktails che egli può
preparare utilizzando 3 dei 20 liquori.
æ 20 ö
C 20 , 3 = çç ÷÷ = 1140
è3 ø
· In quanti modi si possono scegliere due
rappresentanti degli studenti di una classe di 30
alunni?
C 30 , 2 =
30 × 29
= 435
2!
· Con 7 consonanti e 5 vocali quante parole (anche
prive di significato) costituite da 4 consonanti
diverse e 3 vocali diverse si possono formare?
æ7ö
çç ÷÷ sono
è 4ø
æ5ö
çç ÷÷ “
è3ø
le possibili scelte delle consonati
“
“
“
“
vocali
Inoltre le complessive 7 lettere possono essere
permutate tra loro in 7! modi, quindi in tutto il numero
di parole sarà
æ 7 ö æ5ö
çç ÷÷ . çç ÷÷ .7!=1764000
è 4ø è3ø
· Una classe è formata da 27 alunni: 15 femmine e
12 maschi. Si deve formare una delegazione di 5
alunni, di cui 3 femmine e 2 maschi. Quante sono
le possibili delegazioni?
æ15 ö æ12 ö 15 × 14 × 13 12 × 11
çç ÷÷ × çç ÷÷ =
×
= 30 .030
3
2
3
!
2
!
è ø è ø
· Si vuole formare una commissione scientifica
costituita da 2 matematici e 3 fisici. La scelta può
essere fatta tra 5 matematici e 7 fisici. In quanti
modi può essere fatta la commissione se
a) può essere incluso qualsiasi matematico e qualsiasi
fisico :
æ5ö æ7ö
C 5, 2 × C 7 , 3 = çç ÷÷ × çç ÷÷ = 350
è 2ø è3ø
b) Un certo fisico deve far parte della commissione
æ5 ö æ6ö
C 5, 2 × C 6 , 2 = çç ÷÷ × çç ÷÷ = 150
è2ø è2ø
· Calcolare quante sono le possibili cinquine che si
possono estrarre da un’urna contenente i numeri da
1 a 90 ( nel gioco del Lotto, non conta l’ordine di
estrazione dei numeri e sono estrazioni senza
reinserimento,quindi si usano quasi sempre le
æ 90 ö
C 90 , 5 = çç ÷÷ = 43 .949 .268
è5 ø
combinazioni semplici)
· Calcolare quante sono le possibili cinquine che si
possono estrarre da un’urna contenente i numeri da
1 a 90,ognuna delle quali comprenda però i
numeri : 1,2,3.
Si tratta di contare tutte le possibili estrazioni
contenenti il terno 1-2-3.
Rimangono altri 87 numeri disponibili, quindi sono
C87 , 2 =
87 × 86
= 3741
2!
· Quante sono le estrazioni che realizzano un determinato
ambo, ad esempio quello formato dai numeri 1-90 ?
oppure una determinata quaterna?
88 × 87 × 86
= 109 .736
3!
86
=
= 86
1!
Per l’ambo:
C 88 , 3 =
Per la quaterna :
C86 ,1
Queste informazioni serviranno per specifici esercizi di
calcolo delle probabilità.
· Considerando un mazzo di 40 carte calcolare quante
possibili coppie si possono formare estraendo:
a) 2 carte contemporaneamente
b) 2 carte successivamente senza rimettere la prima carta
estratta nel mazzo
c) 2 carte successivamente rimettendo la prima carta nel
mazzo
a)C40,2=780 b) 40.39=1560 c) 402=1600
*******
6.
Infine ci sono anche le Combinazioni con ripetizione di n
elementi distinti di classe k ( con k £ n Ú k ³ n ), in cui
-ogni elemento può essere ripetuto al max k volte
-non interessa l’ordine degli elementi
-è diverso il numero di volte col quale si ripete un elemento
Si calcolano con la formula
æ n + k - 1ö
÷÷
C 'n , k = C n + k -1, k = çç
k
è
ø
Si riconoscono in quanto n indica o il n° di scatole o
cassetti o contenitori o persone cui assegnare qualcosa o n°
di possibilità come esito - risultato di un test
Mentre k indica il n° massimo di oggetti tutti indistinguibili
tra loro da introdurre negli n cassetti o da distribuire alle n
persone.
Esempi
· Si vogliono distribuire 10 oggetti eguali in 3 cassetti.
In quanti modi è possibile effettuare la distribuzione?
Sono le combinazioni di n = 3 elementi (i cassetti) di
classe k=10.
æ12 ö æ12 ö
C '3,10 = çç ÷÷ = çç ÷÷ = 66
è10 ø è 2 ø
Questo problema non è banale: rappresenta un modello di
alcuni fenomeni; ad esempio è utilizzato nella soluzione del
problema della determinazione di come si possono
distribuire k particelle indistinguibili in n contenitori.
· In quanti modi è possibile distribuire 4 caramelle
( uguali) fra 2 bambini?
In questo caso si ha n=2 e k=4,
una possibile distribuzione potrebbe essere 4 caramelle al
bimbo 1 e 0 al bimbo 2, opp.2 caramelle a testa, opp. 1
caramella al bimbo 1 e 3 al secondo, ecc…Sono
combinazioni di 2 elementi ( i bimbi) di classe 4 ( le
caramelle).
æ5ö
C '2 , 4 = çç ÷÷ = 5
è 4ø
che possiamo elencare:
1-1-1-1; 1-1-1-2 ; 1-1-2-2 ; 1-2-2-2 ; 2-2-2-2.
· Un bambino colora di bianco o rosso o verde 5 quadratini
che ha disegnato. I possibili modi con i quali il bambino
può colorare i quadratini indipendentemente dall’ordine
sono:
a) 12
b) 60 c) 10 d) 125 e) 21
Sol.: n=3 scelte di colore, k=5=n° max di oggetti
(colori) ripetuti.
æ7ö
C '3, 5 = çç ÷÷ = 21
è5ø
· Si devono preparare dei panini avendo a disposizione
salame, prosciutto e formaggio. Quanti panini diversi si
possono preparare ,mettendo in ognuno cinque fette della
stessa qualità o di qualità diverse?
æ7ö
C '3, 5 = çç ÷÷ = 21
è5ø
· Nel consiglio comunale di una cittadina sono previsti 15
seggi. In quanti modi 3 partiti A,B,C possono
aggiudicarsi i 15 seggi?
æ17 ö æ17 ö
C '3,15 = çç ÷÷ = çç ÷÷ = 136
è15 ø è 2 ø
· Lancio una moneta 4 volte,conto le possibili
composizioni di testa e croce senza tenere conto
dell’ordine:
TTTT, TTTC, TTCC, TCCC, CCCC
n = 2, possibili risultati
k = n° di lanci =n° di risultati ripetuti , fino a 4 volte
Quindi C'2,4 = C5,4 = 5
· In una famiglia i figli sono tre. Calcola quante diverse
possibilità ci sono fra numero di maschi e numero di
femmine ( non conta l’ordine di nascita).
n = 2 tipi
k = 3 n° massimo di ripetizioni
C'2,3 =C4,3 = 4 , ossia FFF, FFM, FMM,MMM.
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