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Progetto Matematica e Società
IL TEOREMA DI NAPOLEONE
Alunna
Baldini Sara
1. Motivazioni
Ho deciso di approfondire il teorema di Napoleone perché ritengo che sia un argomento che possa
catturare l’attenzione degli studenti tramite l’utilizzo di Geogebra, infatti essi possono cimentarsi
in prima persona a realizzare figure geometriche, quali i triangoli equilateri, isosceli, punto medio,
asse del segmento e così via. Grazie a questo lato pratico gli alunni possono comprendere meglio
la costruzione e la natura delle entità geometriche proposte.
Inoltre reputo che il teorema sia un buono spunto per far riflettere sull’importanza della
dimostrazione in matematica.
L’idea del mio progetto è quella di creare un percorso didattico da sviluppare insieme ad una
classe nell’arco dei cinque anni.
Durante il primo anno seguirei il seguente schema:
-
Inquadrare il teorema all’interno del suo periodo storico;
-
Enunciare il teorema di Napoleone;
-
Costruire il triangolo di Napoleone con l’utilizzo di Geogebra e coinvolgere gli studenti in
alcune attività riguardanti l’argomento proposto;
-
Fornire una dimostrazione con gli strumenti che conoscono.
Negli anni successivi, proporrei agli studenti di cimentarsi in prima persona a dimostrare il
teorema, perché possono applicare gli argomenti svolti a lezione, capendone meglio la loro
importanza ed utilità.
Ad esempio consiglierei agli studenti della classe quarta di fornire una dimostrazione che utilizza le
funzioni trigonometriche, mentre a quelli della classe quinta una che prevede l’utilizzo dei numeri
complessi.
2. Un po’ di Storia
Analizzeremo il teorema di Napoleone, sul quale sono stati avanzati dubbi sulla paternità, sebbene
sia noto che Napoleone Bonaparte avesse doti matematiche; infatti le sue biografie affermano:
“Per i suoi insegnanti Napoleone era un allievo modello e promettente, specialmente in
matematica (…). L’ispettore scolastico scrisse che l’attitudine di Napoleone per la matematica lo
rendeva adatto alla marina, ma alla fine se decise che avrebbe dovuto tentare l’ingresso in
artiglieria.”
Nel 1796, durante la campagna di Italia, Napoleone incontrò il matematico italiano Lorenzo
Mascheroni e fu subito affascinato dal suo libro “Geometria del compasso.” Si ritiene che il
teorema di Napoleone sia in realtà opera di Mascheroni, ma che abbia voluto rendere omaggio
all’imperatore.
Un’ulteriore prova dell’interesse di Napoleone verso la matematica è il fatto che egli facesse parte
dell’Ecole Polytechnique, la quale doveva formare ingegneri. Inoltre fu proprio per volontà di
Napoleone che venne fondata la Scuola Normale di Pisa, che doveva formare professori, che a loro
volta avrebbero istruito i migliori giovani più dotati del tempo.
3. Il teorema di Napoleone e Geogebra
Teorema: Su ogni lato del triangolo arbitrario si costruisce un triangolo equilatero.
Colleghiamo i centri di questi tre triangoli equilateri, otteniamo un triangolo equilatero.
Grazie a Geogebra gli alunni possono rappresentare graficamente il teorema e verificarne
subito la tesi.
Adesso propongo alcune domande agli studenti.
1. Cosa succede se costruisco i triangoli internamente?
Si può osservare che il teorema continua a valere.
2. E’ vero che il baricentro del triangolo di Napoleone coincide con il baricentro del
triangolo iniziale?
Grazie a Geogebra la risposta è immediata. A seguito della costruzione dei baricentri
dei due triangoli gli alunni possono osservare che in realtà essi coincidono nel punto K.
3. Cosa possiamo osservare se costruiamo triangoli isosceli?
Grazie all’utilizzo di Geogebra gli studenti possono notare che se uniamo i centri di questi
tre triangoli isosceli, il nuovo triangolo non eredita la proprietà di essere isoscele.
4. Cosa possiamo osservare se costruiamo quadrati sui lati del triangolo?
Grazie al fatto che possiamo spostare i vertici in Geogebra gli studenti possono
congetturare che se il vertice A si avvicina al vertice B allora il triangolo di Napoleone
tenda ad essere un triangolo rettangolo.
5. Cosa succede se i triangoli costruiti sono simili tra loro e sono nella stessa orientazione?
Dopo vari tentativi gli studenti possono congetturare che esista una generalizzazione
del teorema di Napoleone, cioè che la figura ottenuta con i centri dei triangoli costruiti
sia a loro simile.
6. Si dicono tassellature i modi di ricoprire il piano con una o più figure geometriche
ripetute all’infinito, senza sovrapposizioni.
Si può utilizzare il teorema di Napoleone per ottenere una tassellatura del piano.
Proporrei dunque agli studenti di creare la propria tassellatura.
Si prova adesso a costruire una tassellatura del piano nel caso in cui sul triangolo di partenza si
costruiscano quadrati. Si osserva che non è possibile eseguire la tassellatura del piano perché
non otteniamo triangoli uguali, ad esempio il triangolo BRE non è congruente al triangolo di
partenza ABC.
4. Dimostrazione
Dopo aver presentato il teorema di Napoleone forniamo varie dimostrazioni da
eseguire nell’arco dei cinque anni.
L’utilizzo di Geogebra permette di compiere la seguente dimostrazione proprio al
computer, perché richiede esclusivamente una rotazione di un angolo di 60°. Per
questo motivo dopo aver posto le domande precedenti proporrei proprio ai ragazzi di
seguire le seguenti istruzioni:
Costruiamo un altro triangolo equilatero nel vertice A1. Ruotiamo la figura in senso
antiorario di un angolo di 60° intorno a C; il triangolo originariamente centrato in B si
sposta nella posizione occupata dal triangolo centrato in D. Allora i segmenti CB e CD
sono di ugual lunghezza e formano un angolo di 60°. Nella stessa maniera, ruotando la
figura in senso orario di un angolo di 60° intorno al vertice A, il triangolo
originariamente centrato in B si sposta nella posizione che era occupata dal triangolo in
D, così i segmenti AB e AD sono uguali e formano un angolo di 60°. Pertanto il
segmento AC divide a metà gli angoli in A e C. Il triangolo ABC ha un angolo di 60° in
ciascun vertice, perciò è equilatero.
Dimostrazione da fornire nella prima classe:
Si taccino le tre circonferenze circoscritte ai tre triangoli equilateri. Esse si incontrano in due punti
B e G. La congiungente i due centri HI è perpendicolare alla corda AK e la congiungente i due centri
IJ è perpendicolare alla corda GC.
Essendo BG e GC due corde della circonferenza circoscritta al triangolo BCE, vale che l’angolo GIH
è la metà dell’angolo GIB ed analogamente l’angolo GIJ è la metà dell’angolo GIC. Di conseguenza
l’angolo HIJ è la metà dell’angolo BIC, che essendo un angolo al centro misura per costruzione
120°. Ne segue che l’angolo HIJ misura 60°.
Analoghe considerazioni per gli angoli in H e in J.
Dopo aver presentato questo lavoro, lo proporrei agli studenti dopo due anni, cioè durante la
classe terza. Nel programma ministeriale, le classi terze devono svolgere la trigonometria, quindi
proporrei agli alunni di cimentarsi nuovamente a dimostrare il teorema di Napoleone solo con le
conoscenza trigonometriche. In questo modo essi possono applicare le loro conoscenze in maniera
più stimolante, rispetto agli usuali esercizi assegnati durante l’anno.
Dimostrazione trigonometrica:
Per le proprietà dei triangoli equilateri otteniamo che AP è 2/3 dell’altezza del triangolo
equilatero ACS, mentre AR è 2/3 dell’altezza del triangolo equilatero ACT. AP=AB/
Applico il teorema del coseno al triangolo APR ed ottengo:
Svolgendo i conti ed utilizzando le espressioni di AP e AR otteniamo
Analogamente applicando il teorema del coseno al triangolo ACB si ottiene:
e AR=AC/
.
Sia S l’area del triangolo ABC, dalla formula dell’area si ottiene
. Unendo tutte
queste identità otteniamo la misura di PR, ovvero:
+2
. Ripetendo lo stesso ragionamento agli altri lati, ottengo che hanno
tutti la stessa misura e dunque il triangolo PQR è equilatero.
Infine proporrei in quinta superiore una dimostrazione che utilizza i numeri complessi, di cui ne
fornisco alcuni passaggi chiave.
Sia ABC il triangolo iniziale, mentre sia IHG il triangolo di Napoleone. Se il triangolo ABC è
equilatero, il baricentro è stabilito da:
Con
Grazie alle proprietà dei numeri complessi vale
A;
con
I baricentri dei due triangolo coincidono infatti I+H+G=A+B+C. Assumiamo senza perdita di
generalità che A+B+C=0, di conseguenza vale I+H+G=0. Affinchè il triangolo IHG sia equilatero
devo mostrare che
Utilizzando l’espressione di H, G, I otteniamo:
Poiché A+B+C=0 otteniamo Sapendo che
seguente relazione:
si vede che dobbiamo verificare la
per le proprietà dei triangoli con numeri
complessi. Sempre per la caratterizzazione dei triangoli equilateri possiamo dedurre che il teorema
di Napoleone è equilatero.
Fornisco adesso un esempio di dimostrazione basato sempre sulla rotazione.
In un triangolo qualsiasi, l’area è data dalla seguente formula:
Consideriamo un triangolo qualsiasi ABC come in figura, tracciamo l’altezza (h) BH e la retta
parallela alla base (b) AC passante per il punto medio degli altri due lati. L’altezza BH viene divisa in
due parti uguali. Effettuiamo una rotazione in verso orario del triangolo BEF’ attorno a F’.
Otteniamo il parallelogramma AEE’B’; quest’ultimo ha base AC e altezza DG, che è metà
dell’altezza del triangolo di partenza. Utilizziamo la formula dell’area del parallelogramma e
otteniamo dunque: A=b*h:2= AC*BH:2.
Bibliografia
[1] “Il teorema di Napoleone: è noto in Italia?”, Vladimir Georgiev
[2] “Il teorema di Napoleone”, Roberto Bigono
[3] “I teoremi di Napoleone”, Lorenzo Roi
[4] “La geometria di Napoleone”, Federico Peiretti
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