Interpreting the English Village: Landscape and Community at

Il Mini - Idroelettrico
Sezione 8 – Esercizi
Corso di ENERGETICA
A.A. 2011/2012
Docente: Prof. Ing. Renato Ricci
Appendice - Esercizi
Esercizio N.1
Assumendo un’altezza d’acqua di 1 m, una larghezza di base del canale
trapezoidale di 1,5 m, una pendenza delle scarpate 2/1 (v/h), una
pendenza del fondo di 0,001 ed un coefficiente di Manning di 0,015,
calcolare la portata Q e la velocità media V nel canale.
Dalla tabella, facendo attenzione che z=1/2, e dalle formule di Manning si
ottengono:
A = (1, 5 + 0, 5×1)×1 = 2 m2
P = 1, 5 + 2 1 + 0, 52 = 3, 736 m
R = A / P = 2 / 3, 736 = 0, 54 m
AR2/3 S 2 × 0, 54 2/3 0, 001
Q=
=
= 2, 78 m3 / s
n
0, 015
V = Q / A = 2, 78 / 2 = 1, 39 m/ s
Esercizio N.2
Determinare la pendenza di un canale a sezione trapezoidale rivestito con cemento lisciato (n=0,011) con larghezza di base 2
m, inclinazione delle sponde 1/2 (v/h) ed un’altezza d’acqua di moto uniforme di 1,2 m. La portata d’interesse è 17,5 m3/s.
A = (2 + 2 ×1, 2) ×1, 2 = 5, 28 m2
P = 2 + 2 ×1, 2 × 1+ 2 2 = 7, 37 m
R = A / P = 5, 28 / 7, 37 = 0, 72 m
2
2
æ 17, 5× 0, 011 ö
æ Qn ö
S= ç
=ç
= 0, 002
2/3 ÷
è AR ø
è 5, 28× 0, 72 2/3 ÷ø
2
Appendice - Esercizi
Esercizio N.3
Un canale trapezoidale ha larghezza di base 3 m e pendenza delle sponde 1,5/1 (=z/1). Il canale è rivestito con calcestruzzo
non lisciato e la sua pendenza è 0,0016, mentre la portata convogliata è di 21 m3/s. Calcolare l’altezza di moto uniforme.
Per risolvere il problema occorre determinare attraverso un processo iterativo la y che permette al fattore di sezione di
assumere il valore costante dato dalla prima equazione:
FS = AR2/3 = nQ / S = 0, 013× 21 / 0, 0016 = 6,825
y = 1, 5
A = 7,875
R = 0, 937
FS = 7, 539
ma
y = 1, 4
A = 7,140
R = 0,887
FS = 6, 553
y = 1, 425
A = 7, 321
R = 0, 900
FS = 6,822
A(y) = (3 +1, 5y)y
P(y) = 3 + 2y 1+1, 5
2
R(y) = A(y) / P(y)
® y = y : A(y)R2/3 (y) = 6,825
Esercizio N.4
Progettare un canale trapezoidale per una portata di 11 m3/s. Il canale sarà rivestito con calcestruzzo lisciato ed avrà
pendenza 0,001.
Il progetto di canali artificiali è un processo che richiede i seguenti passi:
• Stimare il coefficiente n di scabrezza
• Calcolare il fattore di sezione FS
• Se è richiesto l’uso di una sezione ottimale si utilizzano i valori della relativa tabella
• Verificare che la velocità sia sufficientemente alta da evitare la formazione di depositi o di flora acquatica.
• Verificare il numero di Froude per vedere se la corrente è idraulicamente lenta o veloce.
• Definire il franco di progetto.
3
Appendice - Esercizi
…. continua Esercizio N.4
Per poter determinare una soluzione occorrerà porre delle ipotesi progettuali di dimensionamento e quindi verificare dai
calcoli che le ipotesi siano fattibili
n = 0, 012
dal processo iterativo si ottiene y = 0,77
V = 11 / 5,806 = 1,89 m/ s
f = franco tabelle USBR-USA = 37 cm
FS = nQ / S = 0, 013×11 / 0, 001 = 4,174
ìï b = 6 m
ipotesi progettuali í
ïî z = 2
T = 6 + 2 × 2 × 0, 77 = 9, 08 m
Y = A / T = 5,806 / 9, 08 = 0, 639
Fr = V / gY = 1,89 / 9, 816 × 0, 639 = 0, 76 (corrente lenta)
allora il processo iterativo vorrà
A(y) = (6 + 2y)y
P(y) = 6 + 2y 1+ 2 2
R(y) = A(y) / P(y)
® y = y : A(y)R2/3 (y) = FS = 4,174
i calcoli del processo iterativo danno:
y =1
A=8
R = 0, 764
FS = 6, 685
y = 0, 8
A = 6, 08
R = 0, 635
FS = 4, 491
y = 0, 77
A = 5,8
R = 0, 615
FS = 4,198
4
Appendice - Esercizi
Esercizio n.5
Un impianto ha un salto lordo di 85 m, una portata di 3 m3/s ed una condotta in acciaio saldato lunga 173 m. Calcolare il
diametro in modo che le perdite distribuite non superino il 4% del salto lordo.
1
Q = ARh2 3 Se1 2
n
h æ nQ ö
® S= f = ç 2/3 ÷
L è ARh ø
2
p D2 æ D ö
p D8/3
8/3
AR =
ç ÷ = 5/3 = 0, 31 D
4 è4ø
4
2/3
2/3
h
quindi
hf æ nQ ö æ nQ ö
n2Q2
=ç
÷ =ç
÷ = 10, 3 5,333
L è ARh2/3 ø è 0, 31 D8/3 ø
D
2
ponendo come limite
2
æ
n2Q2 L ö
÷÷
® D = çç10, 3
h
è
ø
f
0,1875
hf ,max = 0, 04H
æ n2Q2 L ö
D = 2, 69 ç
÷
H
è
ø
0,1875
æ 0, 012 2 × 32 ×173 ö
= 2, 69 ç
÷
85
è
ø
0,1875
= 0,88 m
5
Appendice - Esercizi
Esercizio n.6
dall’esempio precedente, valutiamo le perdite di carico associate alla
scelta di applicare un tubo di diametro pari a D = 1 m. Il raggio di curvatura
nelle curve è pari a quattro volte il diametro. All’imbocco del bacino di
carico è posta una griglia di superficie totale 6 m2 inclinata di 60°
sull’orizzontale e dotata di barre d’acciaio inox di spessore 12 mm e
interspazio 70 mm. Lo schema della condotta è illustrato in figura.
Per la grata possiamo porre K1=1 (sporcamento), mentre β = 2,4. La velocità
nella griglia vale:
V0 =
1 æ s+ b ö æ Q ö 1
æ 70 +12 ö æ 3 ö 1
=ç
= 0, 7 m/ s
çè
÷ø çè ÷ø
÷ç ÷
K1 b
S sin a è 70 ø è 6 ø sin 60°
la perdita di carico della grata vale:
4
4
2
2
æ s ö 3 V0
æ 12 ö 3 0, 7
hf = b ç ÷
sin a = 2, 4 × ç ÷
× 0,866 = 0, 0049 m
è b ø 2g
è 70 ø 2 × 9,816
le perdite concentrate (curve e valvole) ammontano a:
K 25 = 0,17× 25 / 90 = 0, 047 ® h25 = K 5V 2 / 2g = 0, 039 m
la perdita all'imbocco si ottengono dopo aver valutato la velocità nella condotta
Q 3× 4
12
=
=
= 3,82 m/ s
2
A pD
3.14 ×12
V2
3,82 2
h1 = K e
= 0, 08
= 0, 06 m
2g
2 × 9,816
V=
K 45 = 0,17× 45 / 90 = 0, 085 ® h45 = K 5V 2 / 2g = 0, 063 m
K 65 = 0,17× 65 / 90 = 0,123
® h60 = K 5V 2 / 2g = 0, 091 m
KV = 0,15
® hV = K 5V 2 / 2g = 0,11 m
H net = 85 - å h = 85 - 2, 68 = 82, 32 m
la perdita distribuite si calcolano con le formule di Manning
h2 = L1
410/3 n2 Q2
10, 3× 0, 012 2 ×32
=
173
= 2, 31 m
p 2 d116/3
15,333
le perdite complessive incidono per:
3,15%
6
Appendice - Esercizi
Esercizio n.7
Calcolare la velocità di un’onda di pressione, nel caso di chiusura istantanea, in un condotto di 400 mm di diametro e 4 mm
di spessore per un tubo di acciaio e per un tubo di PVC di spessore 14 mm. Calcolare l’aumento di pressione in caso di
chiusura istantanea della valvola con la velocità iniziale posta a 4,0 m/s.
k
2,1×10 6
cacciao =
=
= 1024 m/ s
æ kD ö
æ 2,1×10 6 × 400 ö 3
çè 1+ ÷ø r
çè 1+ 2,1×1011 × 4 ÷ø 10
Ee
DPacciao c× DV 1024 × 4
=
=
= 417m
g
g
9,8
2,1×10 6
cPVC =
= 305m/ s
æ 2,1×10 6 × 400 ö 3
çè 1+ 2, 75×10 9 ×14 ÷ø 10
DPPVC 305× 4
=
=123m
g
9,8
c = velocità dell’onda di pressione [m/s]
D = diametro del condotto [m]
E = modulo di elasticità del tubo [N/m2]
e = spessore del tubo [mm]
k = modulo di compressione dell’acqua
= 2,2 e9 N/m2
ρ = densità acqua = 1000 kg/m3
ΔP= salto di pressione tra la pressione statica
iniziale P0 e la massima pressione P nel tempo T
(in metri di colonna d’acqua).
ΔV = variazione di velocità dell’acqua
7
Appendice - Esercizi
Esercizio n.8
Calcolare lo spessore della condotta canalizzata nell’Esempio 6 se il tempo di chiusura delle valvole è di 3 secondi. I dati
erano: Salto lordo 85 m, Portata 3 m3/s, Diametro interno 1 m, Lunghezza condotta 173 m.
Per prima cosa bisogna ipotizzare uno spessore di progetto di 5 mm su cui attuare le verifiche strutturali, iniziando con il
calcolo della velocità dell’onda c.
c=
6
k
2,1×10
=
= 836, 7m/ s ;
æ kD ö
æ 2,1×10 6 ×1000 ö 3
çè 1+ ÷ø r
çè 1+ 2,1×1011 × 5 ÷ø 10
Ee
2
æ LV ö æ 173×3,82 ö
N=ç 0÷ =ç
÷ = 0, 07
è tP0 g ø è 3×85×9,81ø
æN
ö
æ 0, 07
ö ìï +25, 65 m
N2
0, 072
DP = P0 ç ±
+ N ÷ = 85 ç
±
+ 0, 07 ÷ = í
2
4
2
4
è
ø
è
ø ïî -19, 58 m
2
;
P = 85 + 25, 65 = 110, 65m = 11, 06 kgf / cm
2
3
3
T = 2L / c = 2 ×173 / 836, 7 = 0, 415s ü
ï
Q
4
® t > T ma 10t < T
= 3,82 m/ s
ý ® V0 = = 3
2
A
3,14
×1
ï
® si può applicare Allievi
þ
ì
P D 11, 06 ×1000
e
=
=
= 4, 95mm
ï
2
s
2
×1400
® í
f
ï e = 2, 5× D +1, 2 = 3, 7mm
î min
OK
OK
æ eö
æ 5 ö
PC = 882500 ç ÷ = 882500 × ç
= 0,11kgf / cm2 ® PC £ 0, 49 kgf / cm2 ® d = 7, 47
÷
è Dø
è 1000 ø
3
= 22, 46 cm
0,11
8
Appendice - Esercizi
Esercizio n.9
Q = portata nominale = 3 m3/s
Hg = salto lordo = 85 m
d1 = diametro condotta forzata nel primo tratto = 1,5 m
d2 = diametro condotta forzata nel secondo tratto = 1,2 m
rc = raggio curvatura = 4d (d = diametro della condotta)
α = inclinazione della grata alla sezione di presa della condotta
forzata = 60°
s = spessore della grata = 12 mm
b = passo della grata = 70 mm
V0 = velocità all’ingresso della grata = 1 m/s (in genere è tra 0,25 e 1)
K1 = fattore di sporcamento della grata = 0,8 per sistemi auto –
pulenti.
h90 = perdita di carico per la curva a 90° = 0,18 m
La sezione della grata si ottiene dal calcolo
S=
1 æ s+ b ö æ Q ö 1
1 æ 82 ö æ 3 ö 1
=
= 5, 07 m2
çè
÷ø ç ÷
çè ÷ø çè ÷ø
K1 b è V0 ø sin a 0,8 70 1 sin 60°
Per praticità poniamo S = 6 m2, che comporta una velocità
all’ingresso della grata di 0,85 m/s comunque accettabile. La perdita
di carico attraverso la griglia sarà data da (l’angolo alfa è stato usato
nel calcolo della sezione):
æ sö
h1 = b ç ÷
è bø
4/3
æ V02 ö
æ 12 ö
çè 2g ÷ø sin a = 2, 4 çè 70 ÷ø
4/3
æ 0, 82 ö
çè 2 × 9,81÷ø sin 60° = 0, 007 m
Le perdite di attrito nei vari tratti dipendono dalle velocità medie che
saranno
3× 4
12
V1 = 2 =
= 1, 7 m/ s
V2 = 2, 7 m/ s
p d1 3.14 ×1, 52
Utilizzando il metodo di Manning avremo che i due tratti di diverso
diametro
410/3 n2 Q2
410/30, 012 2 32
h2 = L1
= (90 +18)
= 0,18 m
p 2 d116/3
3,14 21, 516/3
h3 = (5 + 45 +15)
410/3 × 0, 012 2 ×32
= 0, 32 m
3,14 2 ×1, 216/3
A risultati simili si giunge applicando Colebrook con scabrezza
relativa (e/D) di circa 0,0005
9
Appendice - Esercizi
Le altre perdite concentrate nel circuito idraulico consistono in:
Tipo di perdita
coeff. K
perdite h
h4
Perdita di ingresso nel condotto
0.040
0.006
m
h5
perdita per curva a 25° nel tratto a d1
0.047
0.007
m
h6
restringimento conico a 30° da d1 a d2
0.033
0.012
m
h7
perdita per curva a 45° nel tratto a d2
0.085
0.030
m
h8
perdita per curva a 70° nel tratto a d2
0.132
0.047
m
h9
perdita nella valvola alla fine del condotto
0.150
0.054
m
Dove:
K 5 = 0,17 × 25 / 90
® h5 = K 5V12 / 2g
K 6 = 0, 5× (0, 2 + 0, 25) ×[(1 / 0, 722) -1]2
® h5 = K 5V22 / 2g
K 7 = 0,17 × 45 / 90
® h5 = K 5V22 / 2g
K8 = 0,17 × 70 / 90
® h5 = K 5V22 / 2g
9
H = å hi = 0, 66 m
i =1
H net = 85 - 0, 66 = 84, 34 m
10
Appendice - Esercizi
Esercizio
Supponiamo ancora di dover installare una turbina di 1500 kW di potenza in un impianto con un salto di 400 m, direttamente
accoppiata ad un generatore da 1.000 rpm. Calcolando il numero di giri caratteristico ci conferma che dobbiamo scegliere una
Pelton ad un getto.
nC,kW
1/2
Pm,kW
1000 1500
= n 5/4 =
= 21, 65
1,25
H
400
Esercizio
Calcolare l’altezza di aspirazione che non generi fenomeni di cavitazione per una turbina Francis (nS pari a 150), applicata ad
un salto di 100 m se installata a livello del mare o a 2000 s.l.m.
Approssimando una variazione di pressione con la quota pari a 1,1 m ogni 1000 m, partendo dai 10,3 m H2O del livello del
mare, avremo:
s T = 7, 54 ×10 -5 × n1,41
= 0, 088 ; H atm,0 slm = 10, 3m; H atm,2000 slm = 10, 3 -1,1× 2 = 8,1m
S
z0slm = 10, 3 - 0, 09 - 0, 088×100 = 1, 39 m z2000 slm = 8,1 - 0, 09 - 0, 088×100 = -0,81m
11
Appendice - Esercizi
Esercizio
Selezionare una turbina per un salto di 200 m e una portata di 1,5 m3/s, installata in una centrale a 1000 m di quota.
Dalla mappa dei campi di lavoro si determina in prima analisi il punto di progetto e quindi le scelte possibili sulla tipologia di turbina. Nel nostro
caso le scelte possibili sono Pelton o Francis. Calcoliamo la potenza e il numero di giri caratteristico, assumendo un rendimento complessivo di 0,85
alle condizioni nominali.
P[kW] = hr gHQ /1000 = 0.85×1000 × 9, 81× 200 ×1, 5 /1000 = 2500 kW
nC = n
P
H
54
=n
2500
= 0, 0665 n
200 5 4
E’ sempre più conveniente utilizzare una taglia di generatore esistente in
commercio ed adattare la turbina con un moltiplicatore di giri piuttosto che
farsi fare un generatore ad hoc. Ciò che serve è quindi fissare il tipo di
alternatore con cui deve essere accoppiata la turbina per determinarne il
numero di giri n.
n = 150 rpm
® nS = 10
®
nessuna
n = 375 rpm
® nS = 24, 9
®
Pelton 1 getto
n = 750 rpm
® nS = 49, 9
®
Pelton 4 getti
n = 1000 rpm ® nS = 66, 5
®
Francis
n = 1500 rpm ® nS = 99, 75 ®
Francis
PUNTO DI
PROGETTO
Sotto 375 rpm non ci sono né Francis né Pelton con nS adatto. La Pelton a 4
getti è proprio al limite del campo di lavoro. Potremmo scegliere la Pelton a
singolo getto. Il generatore può essere a 16 poli da 375 rpm o 8 poli da 750:
scegliamo quest’ultimo con un moltiplicatore di giri da 2/1.
12
Appendice - Esercizi
Nelle Pelton il getto arriva ad un ugello distributore regolato con una spina; ipotizzando una perdita del distributore del 3% (φ=0,97) si possono
determinare la velocità nella sezione di uscita dal distributore (vd) e la velocità periferica alla pala (girante) di massimo rendimento (V0), che si può
dimostrare pari a circa la metà della vd .
vd = j 2gH
V0 = 0, 47 × vd =
pD
n
60
®D=
60 × 0, 47 × j 2gH
60
H
200
V0 =
» 38, 567
= 38, 567
= 1, 45 m
pn
pn
n
375
Allo stesso generatore da 1500 rpm avremmo potuto accoppiare in collegamento diretto una Francis. In questo caso nS = 99,75. Dalla verifica a
cavitazione si vede come esso lo scarico debba essere quasi un metro sotto il pelo acqua di valle, cioè si tratta di un’installazione che richiede un
significativo lavoro di scavo.
v0e = 0, 69 m/ s
®
D0 =
60v0e 2gH
= 0, 55 m
pn
v0s = 0, 49 m/ s
® DS =
60v0 s 2gH
= 0, 39 m
pn
verifica a cavitazione
s T = 7, 54 ×10 -5 × n1,41
= 7, 54 ×10 -5 × 99, 751,41 = 0, 0496
S
H atm,1000 slm = 10, 3 -1,1×1 = 9, 2 m
®
z = H atm - H vap - s T H = 9, 2 - 0, 09 - 0, 0496 × 200 = -0,81 m
Una ulteriore alternativa possibile potrebbe essere un generatore con n=1000 rpm.
Anche in questo caso si potrebbe optare per una Francis a collegamento diretto.
Similmente otterremmo:
v0e = 0, 60 m/ s ; De = 0, 79 m
v0 s = 0, 373 m/ s ; DS = 0, 446 m
s T = 0, 027 ; z = 3, 62 m
13
Appendice - Esercizi
Si vuole ristrutturare un impianto con un salto netto di H=100 m, equipaggiato con una turbina Francis in pessimo stato. Esiste un’offerta
per una turbina di seconda mano, praticamente nuova, le cui caratteristiche nominali sono: H=120 m, P=1.000 kW, n=750 rpm, eta=0,90.
Calcolare che portata può turbinare, con i parametri dell’impianto da ristrutturare, quale sarà la potenza generata e a che velocità dovrà
girare.
Iniziamo con il valutare il numero di giri caratteristico e la portata nominale della turbina.
nS = n
P
H5 4
1000
= 750
= 59, 72
120 5 4
P
1000 ×10 3
Q=
=
= 0, 944 m3 / s
3
hr gH 0, 9 ×10 × 9,81×120
In questo caso, avendo una turbina che deve operare in condizioni di progetto al di fuori delle sue condizioni nominali, dobbiamo ricorrere alle
equazioni della similitudine, applicabili nel caso che il diametro della turbina rimanga costante.
n2 = n1
H2
100
= 750
= 685 rpm
H1
120
Q2 = Q1
H2
100
= 0, 944
= 0,862 m3 / s
H1
120
3
æn ö
æ 685 ö
P2 = P1 ç 2 ÷ = 1000 ç
= 762 kW
è 750 ÷ø
è n1 ø
3
14

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