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Problema2-Europa 2014
PROBLEMA 1
Si consideri, in un riferimento cartesiano Oxy , la funzione f xx x 1x kcon k R.
1. Si dica come varia il grafico di f xal variare di k k 0, 0 k 1, k 1.
2. Per quali valori di k le due regioni delimitate dal grafico di f xe dall’asse x (una posta al
di sopra, l’altra al di sotto dell’asse x ) hanno aree uguali?
3. Si ponga k 2 e sia Γ il grafico corrispondente. Preso un punto P di Γ avente ascissa
compressa tra 0 e 1, si indichino con Q e R le proiezioni ortogonali di P rispettivamente
sull’asse delle ascisse e sull’asse delle ordinate. L’area e il perimetro del rettangolo OQPR
ammettono entrambi un valore massimo?
4. Sia R la regione finita delimitata da Γ e dalla retta t tangente a Γ nell’origine O. Si consideri
il solido W di base R, le cui sezioni con piani ortogonali all’asse delle ascisse sono tutti
semicerchi i cui diametri hanno gli estremi uno su t l’altro su Γ. Qual è l’altezza massima del
solido W? Si calcoli il volume di W.
Soluzione
1.f(x) è una funzione polinomiale grado 3, quindi continua e derivabile i R.
Possiamo affermare che
a) il coefficiente del termine di terzo grado ( indipendente da k ) è positivo, pertanto
b) f(x) ha 3 zeri e Il suo grafico incontra l’asse x nei punti (0;0) , (1;0), (k;0) . Se k=0 o k=1 due
degli zeri coincidono ( tangenza all’asse x)
c) La derivata
è un polinomio di secondo grado il cui discriminante
è positivo,
pertanto ammette sempre due zeri reali e distinti (ciascuno compreso tra una coppia di zeri di f(x));
è altresì positiva nell’intervallo esterno alle radici, negativa nell’intervallo interno.
d)
Il punto di flesso, che è anche centro di simmetria, ha ascissa
Se k=-1 il punto di flesso coincide con l’origine O e il grafico è simmetrico rispetto all’origine
(funzione dispari)
Soluzione di Adriana Lanza
Problema2-Europa 2014
Dalle precedenti considerazioni si evince che f(x) cresce da
fino ad una valore di massimo
relativo, decresce fino ad un minimo relativo e poi cresce tendendo a
Al variare di k cambiano solo le posizioni reciproche degli zeri e l’ascissa del massimo passa da
valori negativi al valore 0 e poi a valori positivi, mentre quella del minimo resta positiva o nulla.
k<0
k=-1
k=1/2
k=0
k=1
0<k<1
k>1
2.
Soluzione accettabile k=-1
Se 0<k<1
Se k>1
Le due aree sono uguali quando uno dei tre zeri è il punto medio degli altri due
Soluzione di Adriana Lanza
k=2
Problema2-Europa 2014
3.Area
è compreso tra 0 e 1
Segno d i S’(x)
0+++++++
S(x)
Minimo m= 0
Massimo
Perimetro
Funzione crescente- il minimo e il massimo corrispondono ai casi limite
Soluzione di Adriana Lanza
Problema2-Europa 2014
4.Retta tangente in O y=2x
Ulteriore punto di incontro A(3:6)
Raggio generica sezione r(x)=
Area generica sezione
Il punto di maggior distanza corrisponde al valore massimo del raggio
Il raggio è massimo per x=2
Volume
Soluzione di Adriana Lanza
r-max= 2
=
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