Corso di Geotecnica EA 2006-07 CAPACITÀ PORTANTE DEI TERRENI ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 1 OBIETTIVO CONOSCERE IL CARICO MASSIMO, O IL CARICO ULTIMO O IL CARICO LIMITE CHE PUÒ SOPPORTARE LA FONDAZIONE PRIMA DELLA ROTTURA DEL TERRENO ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 2 CRITERI DI VERIFICA D.M.14/09/2005 Confronto tra: • Azione di progetto Ed (nella verifica di capacità portante è il carico verticale trasmesso dalla sovrastruttura; nella verifica a scorrimento è il carico orizzontale trasmesso dalla sovrastruttura) • Resistenza di progetto Rd (funzione della resistenza del terreno e della combinazione di carichi agente sulla fondazione) • Deve risultare Ed ≤ Rd ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 3 ANALISI DEI CARICHI Combinazione statica RISULTATO Per ogni fondazione: -Forza normale -Forza orizzontale -momento Tutte le azioni (permanenti,variabili) sono incrementate (l’analisi della struttura va ripetuta almeno due volte, una con coefficienti A1 e una con coefficienti A2) ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 4 CALCOLO DELLE AZIONI • COMBINAZIONE STATICA Le azioni vengono amplificate secondo due gruppi di coefficienti parziali Gruppo A1 (A2) • Azioni permanenti favorevoli γG=1.0 (1.0) • Azioni permanenti sfavorevoli γG=1.4 (1.0) (0) • Azioni variabili favorevoli γQ= 0 • Azioni variabili sfavorevoli γQ=1.5 (1.3) ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 5 ANALISI DEI CARICHI Combinazione sismica RISULTATO Per ogni fondazione: -Forza normale* -Forza orizzontale* -Momento* * diverse dalla combinazione statica Tutte le azioni (sisma, permanenti,variabili) non sono incrementate ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 6 COMBINAZIONE SISMICA OSSERVAZIONI • Gli effetti dell’azione sismica sono valutati tenendo conto delle masse associate ai seguenti carichi gravitazionali Gk + ∑ψ 2i Qki • Non si distinguono azioni variabili favorevoli e sfavorevoli (vanno incluse tutte le azioni variabili) • Coefficienti ψ2 dipendono dalla destinazione d’uso ψ2 = 0.30 per abitazioni, uffici e scale ψ2 = 0.60 per uffici aperti al pubblico, scuole, negozi, autorimesse ψ2 = 0.20 per tetti e coperture ψ2 = 0.80 per magazzini e archivi ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 7 COMBINAZIONE SISMICA • Le azioni di progetto Nd Md Hd derivano dall’analisi strutturale ottenuta con γ E E + γ G Gk + γ P Pk + ∑ψ 2iγ Q Qki • Coefficienti parziali UNITARI E + Gk + Pk + ∑ψ 2i Qki • • • • E = azione sismica Pk = precompressione Gk = carichi permanenti Qk carichi variabili ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 8 CRITERI DI VERIFICA CON D.M.14/09/2005 Passaggio da valori caratteristici (pedice k) a valori di progetto (pedice d) Esistono due gruppi di coefficienti - Gruppo M1 (tutti i coeff. = 1) con azioni incrementate con coeff. del gruppo A1 - Gruppo M2 con azioni incrementate con coeff. del gruppo A2 c’d = c’k/1.25 tanφ’d=tanφ’k/1.25 cud=cuk/1.40 γd = γk /1.00 ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 9 RISULTATO DELLE INDAGINI VALORI CARATTERISTICI DELLE PROPRIETÀ DEL TERRENO γk Peso di volume Coesione efficace c’k Angolo di resistenza al taglio φ’k Resistenza non drenata cu,k ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 10 CAPACITÀ PORTANTE CALCOLO di Rd METODI DI ANALISI • EQUILIBRIO LIMITE (limit equilibrium) • ANALISI LIMITE (limit analysis) – Estremo inferiore – teorema statico (lower bound) – Estremo superiore – teorema cinematico (upper bound) • METODO DELLE CARATTERISTICHE ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 11 CAPACITÀ PORTANTE CALCOLO DI Rd • Soluzione di Terzaghi q lim = cN c + 0 .5 B γ N γ + qN q IPOTESI RESTRITTIVE • Terreno omogeneo e isotropo • Fondazione superficiale • Fondazione nastriforme • Carico centrato (Md = 0) • Carico orizzontale nullo (Hd = 0) • Piano di posa orizzontale • Terreno a fianchi orizzontale ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 12 CAPACITÀ PORTANTE FATTORI DI CAPACITÀ PORTANTE I valori Nc ed Nq sono stati ricavati con soluzioni rigorose φ 'd ⎞ 2⎛ N q = tan ⎜ 45° + ⎟ exp(π ⋅ tan φ 'd ) 2 ⎠ ⎝ Nc = Nq −1 tan φ 'd Per Nγ la soluzione analitica esatta non esiste ( ) N γ = 2 N q − 1 tan φ 'd ( ) Fond. ruvida (EC 7) N γ = N q − 1 tan 1.4φ 'd Meyerhof (1963) N γ = 1.5 N q − 1 tan φ 'd Brinch Hansen (1970) N γ = 2 N q + 1 tan φ ' d Vesic (1973) Caquot Kerisel (1953) (1997) - ruvida N γ = tan φ 'd exp(0.66 + 5.11 tanMichalowski φ 'd ) N γ = tan φ 'd exp(5.1 tan φ 'd )Michalowski (1997) - liscia ( ( ) ) ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 13 CAPACITÀ PORTANTE OSSERVAZIONI sulla formula di Terzaghi • Sovrapposizione degli effetti con terreno rigidoplastico • Soluzione non esatta teoricamente ma a vantaggio di sicurezza • Soluzioni esatte solo per Nc e per Nq • Per Nγ non esiste una soluzione esatta • Nc e per Nq sono praticamente indipendenti dalla ruvidezza della fondazione • Nγ dipende dalla ruvidezza della fondazione ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 14 CAPACITÀ PORTANTE CALCOLO DI Rd Soluzione generale di Brinch Hansen Correzioni rispetto alla soluzione di Terzaghi • Fondazione superficiale – coeff. d • Fondazione nastriforme – coeff. s • Carico centrato (Md = 0) – met. empirico B’=B-2e • Carico orizzontale nullo (Hd = 0) – coeff. i • Piano di posa orizzontale – coeff. b • Terreno a fianchi orizzontale – coeff. g qlim=cNcscdcicbcgc +0.5BγNγsγiγbγgγ +qNqsqdqiqbqgq ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 15 SPECIALIZZAZIONE DELLA FORMULA Terreni a bassa permeabilità - Breve termine (cond. non drenate c =cu; φ= φu = 0) qlim = cu Nc ( ) + q - Lungo termine (cond. Drenate c = c’ φ = φ’ > 0) qlim = c’ Nc ( ) + 0.5BγNγ ( ) + qNq ( ) Terreni ad alta permeabilità (es. sabbie c’=0) - Breve termine ≈ lungo termine (cond. drenate) qlim = 0.5BγNγ ( ) + qNq ( ) ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 16 Verifiche a breve termine Grafico di Skempton • Il valore di Nc è già corretto per due fattori – Forma della fondazione – Profondità del piano di posa • Nc(SK)=Ncscdc D B ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 17 Capacità portante COEFFICIENTI CORRETTIVI • CORREZIONI DI FORMA sc = sq N q − 1 Nq −1 sγ = 1 − 0.3 sγ = 0.7 B' (forma rettangolare) L' (forma quadrata o circolare) B' sq = 1 + sinφ 'd (forma rettangolare) L' sγ = 1 + sinφ 'd (forma quadrata o circolare) ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 18 Capacità portante COEFFICIENTI CORRETTIVI CORREZIONI PER PROFONDITÀ DEL PIANO DI POSA • Nell’annesso D dell’EC7 si dice di tener conto dell’approfondimento, ma non sono indicate le formule dei coefficienti correttivi • Scelta a vantaggio di sicurezza dc=dg=dq=1 • In letteratura (Vesic, 1973) d q = 1 + 2 tan φ 'd (1 − sin φ 'd ) 2 D per D < B B d q = 1 + 2 tan φ 'd (1 − sin φ 'd ) 2 arctan(D B ) dγ = 1 dc = dq − 1 − dq N c tan φ 'd ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 19 CORREZIONE PER CARICO ECCENTRICO PROCEDURA SEMPLIFICATA DI MEYERHOF (suggerita in EC7) Si considera carico centrato in area ridotta L’ A’ = B’L’ B’ B’ = B – 2eB B L’ = L – 2eL L ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 20 Capacità portante COEFFICIENTI CORRETTIVI CORREZIONI PER L’INCLINAZIONE DEL CARICO ic = iq − Nd iq − 1 ⎡ ⎤ Hd iγ = ⎢1 − ⎥ ⎣ N d + A' cd cot φd ⎦ N c tan φd ⎡ ⎤ Hd iq = ⎢1 − ⎥ ⎣ N d + A' cd cot φd ⎦ m +1 Hd m m = mB = [2 + B' L'] [1 + B ' L'] H d parallela a B m = mL = [2 + L' B '] [1 + L' B '] H d parallela a L m = mθ = mL cos 2θ + mB sin 2θ H d inclinata di θ rispetto a L ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 21 Suggerimento di Bowles Non usare i coefficienti di forma (s) insieme a quelli di inclinazione (i) ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 22 Capacità portante COEFFICIENTI CORRETTIVI CORREZIONI PER L’INCLINAZIONE DEL PIANO DI POSA (angolo α rispetto all’orizzontale) bc = bq − 1− bq N c tan φd bq = bγ = (1 − α tan φd )2 α espresso in radianti ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 23 COEFFICIENTI CORRETTIVI CORREZIONE PER INCLINAZIONE TERRENO LATERALE (angolo ω rispetto all’orizzontale) • Nell’annesso D dell’EC7 si dice di tener conto dell’inclinazione della superficie del terreno, ma non sono indicate le formule dei coefficienti correttivi • In letteratura (Brinch Hansen, 1970) gc = gq − gq −1 N c tan φd g q = gγ = (1 − tan ω )2 ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 24 Effetto della falda Per analisi non drenate: effetto trascurabile (si ragiona in tensioni totali, al massimo cambia il peso di volume del terreno se la falda è superiore al piano di posa) qlim= cuNc+q = cuNc+γD Per analisi drenate (es. in sabbie) la posizione della falda è importante qlim= 0.5Bγ’Nγ+qNq+uo γ ’= peso di volume efficace del terreno sotto il piano di posa: Se la falda è ad una profondità d >B dal piano di posa γ ’= peso di volume totale (es. 18 kN/m3) Se la falda è sul piano di posa o sopra γ ’= peso di volume alleggerito γ’ = γsat – γw (es. 18-10 = 8 kN/m3) Se la falda è in posizione intermedia (d < B) si raccomanda una interpolazione lineare (es. se d=0.5 B γ’= (18+8)/2=13 kN/m3) q = pressione verticale efficace a fianco del piano di posa Se la falda è sopra il piano di posa q = ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 25 Effetto della falda qlim= 0.5Bγ’Nγ+qNq+uo q = pressione verticale efficace a fianco del piano di posa u0 = pressione interstiziale sul piano di posa Se la falda è sopra il piano di posa q = (D-dw)γ1+dwγ’1 = Dγ1-uo u0 = dwγw Se la falda è sotto il piano di posa q = Dγ 1 u0 = 0 ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche D γ1 dw u0 26 Effetto della falda Per analisi drenate (es. in sabbie) la posizione della falda è importante qlim= 0.5Bγ’Nγ+qNq+uo γ’ = peso di volume efficace del terreno sotto il piano di posa: Se la falda è ad una profondità d >B dal piano di posa γ ’= peso di volume totale (es. 18 kN/m3) Se la falda è sul piano di posa o sopra γ ’= peso di volume alleggerito γ’ = γsat – γw (es. 18-10 = 8 kN/m3) Se la falda è in posizione intermedia (d < B) si raccomanda una interpolazione lineare (es. se d=0.5 B γ’= (18+8)/2=13 kN/m3) q = pressione verticale efficace a fianco del piano di posa Se la falda è sopra il piano di posa q = ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 27 Riassunto dei coefficienti correttivi Terzaghi sc sγ B L Brinch Hansen B L B L s c = 1 + 0.2 K p (rett) sγ = 1 + 0.1K p B L sq = 1 + 0.1K p B L s c = 1 + 0.3 sγ = 1− 0.2 Meyerhof Vesic Nq B Nc L sc = 1 + sγ = 1− 0.4 B L sγ = 0.6 (circ) sq sq = 1 dc NO dγ NO dq NO ic NO θ° ⎞ ⎛ i c = ⎜1 − ⎟ ⎝ 90° ⎠ 2 iγ NO θ° ⎞ ⎛ iγ = ⎜1 − ⎟ 90 °⎠ ⎝ 2 ⎛ 0.7 −α°/ 450 ⎞ iγ =⎜⎜1− H⎟⎟ ⎝ V + Accotφ ⎠ iq NO θ° ⎞ ⎛ i q = ⎜1 − ⎟ ⎝ 90° ⎠ 2 ⎛ 0.5H ⎞ ⎟ iq = ⎜⎜1− V Accotφ ⎟⎠ + ⎝ d c = 1 + 0.2 K p sq = 1 + d c = 1 + 0.4k D B D B D d q = 1 + 0.1 K p B B tan φ L dγ = 1 dγ = 1 + 0.1 K p d q = 1 + 2 tan φ (1 − sinφ ) 2 k ic = i q − 1 − iq ic = i q − Nq −1 1 − iq Nq −1 m+1 5 ⎛ ⎞ H ⎟⎟ iγ = ⎜⎜1− + V Ac cot φ ⎝ ⎠ 5 ⎛ ⎞ H ⎟⎟ iq = ⎜⎜1− V + Ac cot φ ⎝ ⎠ α° m gc NO NO gγ gq bc NO NO g γ = (1 − 0.5 tan ω ) 147° 2 g γ = (1 − tan ω ) NO NO g q = (1 − 0.5 tan ω ) g q = (1 − tan ω ) NO NO bγ bq NO NO bγ = exp(−2α tan φ ) α° 147° 2 bγ = (1 − α tan φ ) NO NO bq = exp(−2.7α tan φ ) bq = (1 − α tan φ ) gc =1 − 5 5 bc = 1 − 2 Osservazioni A è l’area efficace B’L’ nel caso di carichi non centrati c è l’adesione alla base D è la profondità del piano di posa Nel calcolo dei coefficienti di profondità si prende sempre B ( e non B’) ω è l’inclinazione del pendio positiva se verso il basso α è l’inclinazione del piano di posa positiva verso l’alto Secondo Bowles i coefficienti di forma s non vanno utilizzati insieme a quelli di inclinazione i Il coefficiente m di Vesic dipende dalla direzione della forza orizzontale H 2+ B / L 2+ L/ B m= m= se H parallelo a B se H parallelo a L 1+ B / L 1+ L / B k=D/B per D/B<1 oppure k=arctan(D/B) se D/B >1 2 ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 28 COEFFICIENTI CORRETTIVI CALCOLO DI Rd Soluzione generale di Brinch Hansen in presenza di sisma Coefficienti correttivi per inerzia del terreno qlim=cNcscdcicbcgczc+0.5BγNγsγiγbγgγzγ+qNqsqdqiqbqgqzq zc = 1 − 0.32k h = 1 − 0.32 ⎡ kh ⎤ z q = zγ = ⎢1 − ⎥ tan φ d ⎦ ⎣ Sa g g 0.35 Paolucci e Pecker 1997 ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 29 ESEMPIO DI CALCOLO • Fondazione nastriforme B = 1.8 m • Sabbia c’k= 0 φ’k = 38° γ = 19 kN/m3 • Azioni A2: Nd = 330 kN/m Md = 65 kNm/m Hd = 40 kN/m • Parametri del terreno M2: c’d= 0 φ’d = arctan(tan38°/1.25)=32° • Resistenza M2 q lim = cN c d c s c ic b c g c + 0 .5 B 'γ N γ d γ s γ iγ b γ g ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche γ + qN q d q s q iq b q g q 30 ESEMPIO DI CALCOLO Resistenza M2 qlim = cN c d c sc ic bc g c + 0.5 B ' γN γ dγ sγ iγ bγ gγ + qN q d q sq iq bq g q qlim = 0.5 B ' γN γ dγ sγ iγ bγ gγ = 0.5 B ' γN γ iγ Fattori di capacità portante 32° ⎞ ⎛ N q = tan 2 ⎜ 45° + ⎟ exp(π ⋅ tan 32°) = 23.2 2 ⎝ ⎠ N γ = 2(23.2 − 1) tan 32° = 27.7 Area ridotta B’ = B – 2e = 1.8 – 2Md/Nd=1.41 m Correzione per forza orizzontale m = mB = [2 + B ' L'] [1 + B ' L'] = 2 ⎡ ⎤ Hd iγ = ⎢1 − ⎥ ⎣ N d + A' cd cot φd ⎦ m +1 ⎡ H ⎤ = ⎢1 − d ⎥ ⎣ Nd ⎦ m +1 40 ⎤ ⎡ = ⎢1 − ⎣ 330 ⎥⎦ ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 2+1 = 0.678 31 ESEMPIO DI CALCOLO Resistenza M2 qlim = 0.5(1.41)(19 )(27.7 )(0.678) = 252 kN/m 2 Rd = qlim B' = (252)(1.41) = 355 kN/m VERIFICA SLU CAPACITÀ PORTANTE Nd = 330 kN/m < 355 kN/m = Rd Verifica soddisfatta Stesso esempio (falda a p.c.) q = 0 . 5 (1 . 41 )(9 )(27 .7 )(0 . 678 ) = 193 kN/m 2 Rd = qlim B' = (119)(1.41) = 168 kN/m < N d lim ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 32 VERIFICA A SLITTAMENTO (EC7) E d ≤ Rd Hd ≤ Fd +Rp Rp si trascura Fd = Nd tanδd (cond. drenate) Fd = cu,d A (cond. non drenate) Scelta di δd (EC7) δd = φ’cv fondazioni gettate in opera δd = 2/3 φ’cv fondazioni lisce prefabb. ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 33 ESEMPIO DI CALCOLO • Fondazione nastriforme B = 2 m • Sabbia c’k= 0 φ’k = 38° γ = 19 kN/m3 • Sisma zona 2 – terreno C - kh = 0.3125 • Azioni sismiche: Nd = 340 kN/m Md = 75 kNm/m Hd = 50 kN/m • Parametri del terreno M2: c’d= 0 φ’d = arctan(tan38°/1.25)=32° • Resistenza M2 q lim = cN c d c s c ic b c g c + 0 .5 B 'γ N γ d γ s γ iγ b γ g ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche γ + qN q d q s q iq b q g q 34 ESEMPIO DI CALCOLO Resistenza M2 – cond. più sfavorevole q lim = cN c d c s c ic b c g c z c + 0 . 5 B ' γ N γ d γ s γ iγ bγ g γ z γ + qN q d q s q i q b q g q z q qlim = 0.5 B' γN γ dγ sγ iγ bγ gγ zγ = 0.5B' γN γ iγ zγ Fattori di capacità portante 32° ⎞ ⎛ N q = tan 2 ⎜ 45° + ⎟ exp(π ⋅ tan 32°) = 23.2 ⎝ 2 ⎠ N γ = 2(23.2 − 1) tan 32° = 27.7 Area ridotta B’ = B – 2e = 2 – 2(75)/(340)=1.56 m Correzione per forza orizzontale m = mB = [2 + B ' L'] [1 + B ' L'] = 2 ⎡ ⎤ Hd iγ = ⎢1 − ⎥ ⎣ N d + A' cd cot φd ⎦ m +1 ⎡ H ⎤ = ⎢1 − d ⎥ ⎣ Nd ⎦ Correzione per inerzia terreno zγ = [1 − k h tan φ 'd ] 0.35 m +1 50 ⎤ ⎡ = ⎢1 − ⎣ 340 ⎥⎦ = [1 − 0.3125 tan 32°] 0.35 2 +1 = 0.62 = 0.78 ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 35 ESEMPIO DI CALCOLO Resistenza M2 qlim = 0.5(1.56 )(19 )(27.7 )(0.62 )(0.78) = 199 kN/m 2 Rd = qlim B' = (199)(1.56) = 310 kN/m VERIFICA SLU CAPACITÀ PORTANTE Nd = 340 kN/m < 310 kN/m = Rd Verifica non soddisfatta In zona 3 qlim = 0.5(1.56 )(19 )(27.7 )(0.62 )(0.88) = 224 kN/m 2 Rd = qlim B' = (224)(1.56) = 349 kN/m > N d Verifica soddisfatta ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 36 ESEMPIO DI CALCOLO VERIFICA SLU A SLITTAMENTO • Ed = 50 kN/m • Rd = Nd tanδd = 340 tan32° = 212 kN/m Verifica soddisfatta ing. Ivo Bellezza – Università Politecnica delle Marche 37
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