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ASPETTATIVE RAZIONALI 1. Il modello di formazione delle

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ASPETTATIVE RAZIONALI
MARIO TIRELLI
1. Il modello di formazione delle aspettative
Il modello di formazione delle aspettative noto come modello di aspettative razionali `e stato
introdotto da Muth nel 1960. La sua analisi partiva dall’osservazione del fatto che i modelli
di formazione delle aspettative utilizzati dagli economisti del tempo non erano “razionali” in
quanto non consentivano di incorporare prontamente le variazioni dell’informazione posseduta
da un operatore. Viceversa, un modello con aspettative razionali deve formare le proprie
aspettative usando tutta l’informazione disponibile. In altre parole, le aspettative sono razionali
se calcolate come la media condizionata all’informazione disponibile e se l’operatore le aggiorna
in modo bayesiano, cio`e usando la Legge di Bayes. Per capire l’innovazione `e utile fare un passo
indietro e guardare ai modelli di formazione delle aspettative usati fino ad allora.
Gi`a negli anni ‘930 Fisher cercava di rappresentare le aspettative di inflazione usando un
modello di previsione statistico. Egli suggeriva l’utilizzo di un modello a ritardi distribuiti
(DL = distributed lag)1 che esprimeva il valore atteso dell’inflazione del periodo t nel periodo
precedente, come una media pesata dei valori dell’inflazione corrente e passata, pt−s , s = 1, .....:
s−1
Et−1 pt = Σ∞
pt−s ,
s=1 α
(1)
0 < α < 1. Nerlove negli anni ‘950 suggerisce l’uso di modelli di aspettative adattive
(2)
Et−1 pt = Et−2 pt−1 + η (pt−1 − Et−2 pt−1 )
0 < η < 1. Questo modello, molto usato dagli economisti fino al decennio successivo `e in realt`a
anch’esso un modello DL. Per verificare ci`o, basta trattare questo modello come una equazione
alle differenze e, ad esempio, risolverla per iterazioni successive, come segue.
Et−1 pt = Et−2 pt−1 + η (pt−1 − Et−2 pt−1 )
= (1 − η)Et−2 pt−1 + ηpt−1
= (1 − η)((1 − η)Et−3 pt−2 + ηpt−2 ) + ηpt−1
= (1 − η)2 Et−3 pt−2 + η((1 − η)pt−2 + pt−1 )
= (1 − η)3 Et−4 pt−3 + η((1 − η)2 pt−3 + (1 − η)pt−2 + pt−1 )
................................
= (1 − η) Et−s−1 pt−s−1 + η
s
s−1
∑
(1 − η)j pt−1−j
j=0
1In generale, un modello a ritardi distribuiti ha una struttura, x = Σ∞ β y
t
s=0 t t−s + vt .
1
2
MARIO TIRELLI
per s che va a infinito, si ottiene il seguente modello a ritardi distribuiti,
Et pt+1 = η
∞
∑
(1 − η)j pt−j
j=0
La domanda da porsi `e quando e perch´e dovrebbe essere corretto o efficiente usare un modello
di formazione delle aspettative DL? La risposta `e nel caso in cui l’individuo ritiene che questo
sia il vero modello generatore della variabile di interesse. Se l’individuo ritiene che i prezzi siano
generati da un modello DL, ma non `e a conoscenza del valore dei coefficienti, pu`o stimarli;
questo, in presenza di dati limitati (ad es. serie storiche corte), apre un problema di affidabilit`a
delle stime. Se i coefficienti da stimare sono ’troppi’ rispetto ai dati disponibili, Muth suggerisce
di introdurre delle restrizioni a priori, raccomandando in primo luogo che il modello sia razionale
(nel senso che le stime vengano compiute utilizzando tutta l’informazione disponibile). Nel
caso dei prezzi, qualsiasi sia il modello statistico che li genera, l’individuo dovrebbe formare
l’aspettativa sul livello futuro dei prezzi usando la media condizionata alle realizzazioni dei
prezzi osservate per il passato,
Et pt+1 = E(pt+1 | pt , pt−1 , ....)
Per capire il diverso punto di vista `e utile ricorrere a un esempio.
Esempio 1. Supponiamo che un individuo sia interessato a conoscere il prezzo della benzina
e che a un dato momento venga a conoscenza del fatto che il prezzo della benzina potrebbe
in ogni periodo raddoppiare, passando dagli 1 euro attuali a 2 euro e che se ci`
o avvenisse
comporterebbe il permanere del nuovo livello di prezzo per sempre nel futuro. Se l’individuo
forma le proprie aspettative con un modello DL (con qualsiasi 0 < η < 1), a partire dal periodo
t = 0 e supponendo che p0 = 1 e ps = 2 per ogni s ≥ 1, la sua aspettativa al tempo t sul livello
dei prezzi al tempo t + 1 `e,
Et pt+1 = η[pt + (1 − η)pt−1 + ... + (1 − η)t p0 ]
= 2η[1 + (1 − η) + ... + (1 − η)t−1 ] + η(1 − η)t
=2
1 − (1 − η)t
+ η(1 − η)t
1 − (1 − η)
= 2 − (1 − η t )(2 − η)
minore di 2 per ogni t < ∞. In altri termini, l’errore di previsione compiuto nel primo periodo
determina un errore di previsione sistematico (bench´e decrescente) nei periodi successivi, che
svanisce solo per t che va a infinito. Questo denota, secondo Muth, un comportamento irrazionale, perch´e l’individuo non usa l’informazione che ha in merito alla distribuzione dei prezzi.
Se invece di formare le proprie aspettative in base alla media semplice, usasse la media condizionata, ovvero tenesse in conto delle relazioni statistiche che legano prezzi nei vari periodi,
allora non appena osservato che il livello di prezzo ha assunto valore 2 dovrebbe concludere che
il valore atteso dei prezzi in ogni periodo successivo `e 2; in altri termini, nell’esempio presente,
l’unica struttura DL razionale `e una con η = 1, che corrisponde a Et pt+1 = E(pt+1 | pt ).
ASPETTATIVE RAZIONALI
3
Nei modelli di aspettative razionali non si assume che l’individuo sia a conoscenza esatta del
modello che genera i prezzi, ma piuttosto che abbia qualche informazione sul modello statistico
che lo genera. L’individuo potrebbe conoscere la distribuzione (marginale) del livello dei prezzi
in ogni periodo, o potrebbe anche avere informazione in merito alla funzione di probabilit`a congiunta tra il livello dei prezzi corrente e il livello dei prezzi nei periodi precedenti e/o passati.
Inoltre potrebbe conoscere la distribuzione congiunta dei prezzi e di altre variabili. In tutti questi casi l’aspettativa razionale si forma sfruttando tutti i legami di dipendenza statistica, ovvero
tutta l’informazione che pu`o essere utile per prevedere la variabile di interesse. Formalmente,
sia pt+1 la variabile il cui valore si desidera predire e sia y t un processo stocastico troncato a
t, del quale si osservano le realizzazioni; ad esempio, nel caso dei precedente supponevamo di
avere y t := (pt , pt−1 , ...., p0 ). L’individuo `e a conoscenza della funzione di densit`a congiunta
f (pt+1 , y t ) di (pt+1 , y t ) e quindi delle marginali,2
∫
∫
t
t
t
fp (pt+1 ) :=
f (pt+1 , y )dy , fy (y ) :=
f (pt+1 , y t )dpt+1
Y
P
oppure della distribuzione condizionata f (pt+1 |
ovvero la distribuzione di pt+1 per una
t
data realizzazione di y . Quindi, former`a l’aspettativa su pt+1 , a t come,
∫
t
(AR)
Et pt+1 := E(pt+1 | y ) =
pt+1 f (pt+1 | y t )dpt+1
y t ),
P
L’aspettativa viene quindi rivista (o aggiornata) secondo un meccanismo di updating bayesiano,
usando il fatto che,
f (pt+1 , y t )
f (pt+1 | y t ) =
fy (y t )
Nel caso di variabili casuali discrete, con pt+1 che ammette S realizzazioni (pt+1 (1), .., pt+1 (s), .., pt+1 (S)),
Et pt+1 := E(pt+1 | y t ) =
S
∑
pt+1 (s)f (pt+1 (s) | y t )
s=1
`
2. Proprieta
Illustriamo ora le principali propriet`a del modello AR. A tal fine, semplifichiamo la notazione
sopprimendo gli indici temporali t, quando possibile; p `e la variabile da predire e y le variabili
la cui realizzazione viene osservata. Inoltre, definiamo l’errore di previsione,
u := p − E(p | y)
Ortogonalit`
a, E(u | y) = 0. L’errore di previsione ha una media condizionata pari a zero;
interpretabile dicendo che l’individuo razionale non compie errori sistematici di previsione.
E(u | y) = E(p − E(p | y) | y)
= E(p | y) − E(p | y) = 0
Di seguito, presentiamo altre due propriet`a dell’errore di previsione che discendono da
quest’ultima.
2Ipotizziamo, per semplicit`
a che le distribuzioni siano stazionarie e indichiamo con P e Y il dominio delle
variabili considerate.
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MARIO TIRELLI
Non-distorsione, E(u) = 0. La media incondizionata dell’errore di previsione `e nulla.
E(u) = E(p − E(p | y))
∫ ∫
=
(p − E(p | y)) f (p, y)dpdy
Y P
[∫
]
∫ ∫
∫
=
pf (p | y)fy (y)dpdy −
E(p | y)
f (p, y)dp dy
Y P
Y
P
]
∫ [∫
∫
=
pf (p | y)dp fY (y)dy −
E(p | y)fy (y)dy
Y
P
Y
∫
∫
=
E(p | y)fy (y)dy −
E(p | y)fy (y)dy = 0
Y
Y
Efficienza, Cov(u, y) = 0.
Cov(u, y) = E(uy) − E(u)E(y)
∫ ∫
= E(uy) =
(p − E(p | y)) yf (p, y)dpdy
Y P
[∫
]
∫
=
y
(p − E(p | y)) f (p | y)dp fy (y)dy
Y
P
∫
=
y [E(u | y)] fy (y)dy
Y
∫
= E(u | y)
yfy (y)dy = 0
Y
dove nel penultimo passaggio abbiamo usato la definizione di errore di previsione u e nell’ultimo
la propriet`a di ortogonalit`a.
Coerenza, E(pt+i | y t ) ̸= E(pt+i | y t+j ), i > j, solo se y t ̸= y t+j . In parole, si parla di
coerenza quando le aspettative condizionate a set informativi definiti rispetto a periodi diversi
sono diverse solo se tali set informativi sono effettivamente diversi.
Queste propriet`a sono importanti. Se l’errore di previsione fosse in media-condizionata diverso da zero, significherebbe che vi `e un errore di previsione sistematico, quindi il modello
di formazione delle aspettative potrebbe essere migliorato sfruttando l’informazione che deriva dagli errori di previsione. In proposito, osserviamo che, alla propriet`a di ortogonalit`a si
aggiunge quindi quella di errori di previsione serialmente incorrelati.
La propriet`a di efficienza `e soddisfatta solo se l’operatore conosce il vero modello generatore
della variabile di interesse. Per comprendere ci`o supponiamo che il vero modello (ad es. la
funzione/forma ridotta dei prezzi di equilibrio) che genera p sia
pt+1 = a0 + a1 yt + εt+1
con εt+1 che rappresenta la componente accidentale (non spiegata da y) del modello; tale
componente–proprio perch´e accidentale– `e identicamente e indipendentemente distribuita con
media nulla. Supponiamo che gli operatori formulino le aspettative secondo il modello,
Et pt+1 = b0 + b1 yt
ASPETTATIVE RAZIONALI
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L’errore di previsione `e
pt+1 − Et pt+1 = (a0 − b0 ) + (a1 − b1 ) yt + εt+1
Quindi, sole se gli operatori sono a conoscenza del vero modello strutturale di p, ovvero se
a0 = b0 e a1 = b1 , `e possibile concludere che l’errore di previsione coincider`a con la componente
accidentale εt+1 (non spiegata da yt ) del modello vero e sar`a invece indipendente da yt , come
previsto dalla propriet`a di efficienza.
In fine, queste propriet`a delle AR implicano una importante regola o legge.
Legge delle aspettative iterate. Osservate che E(p | y) `e una funzione di y, dato che misura
il valore atteso di p per una data realizzazione di y. Essendo y una variabile casuale (o un set
di variabili casuali), posso anche determinare il valore atteso di E(p | y) rispetto a y,
∫
E(E(p | y)) =
E(p | y)fy (y)dy
Y
]
∫ [∫
=
pf (p | y)dp fy (y)dy
Y
P
]
∫ [∫
f (p, y)
dp fy (y)dy
=
p
fy (y)
Y
P
∫ ∫
=
pf (p, y)dpdy = E(p)
Y
P
E’ anche possibile mostrare una versione un po’ pi`
u complicata delle legge delle aspettative
iterate, che riguarda la media condizionata a insiemi contenuti in quelli informativi originari.
Per chiarire, considerate E(E(pt+1 | pt ) | pt−1 ); si pu`o mostrare che quest’ultima `e uguale a
E(pt+1 | pt−1 ). Pi`
u in generale,
(
)
E E(pt+1 | y t ) | xt = E(pt+1 | xt ), solo se xt ⊆ y t
questo implica, a fortiori, che l’aspettativa non cambia se condizionata a xt = y t .
Esempio 2 (Martingale). Considerate una random walk, pt = pt−1 + ut , ut ∼ iid(0, σt2 ).
L’insieme informativo `e y t−1 = (ut−1 , ut−2 , ...). Dato y t−1 , il valore di pt−1 `e completamente
determinato e siamo in condizioni di calcolare il valore atteso di pt come segue,
E(pt | y t−1 ) = E(pt−1 + ut | y t−1 ) = pt−1
(pt , y t−1 ) `e un esempio di martingala. Ora considerate E(pt |y t−2 ). Per la legge delle aspettative
iterate, dato che y t−2 ⊆ y t−1 ,
E(E(pt | y t−1 ) | y t−2 ) = E(pt | y t−2 ) = E(pt−2 + ut−1 + ut | y t−2 ) = pt−2
Per induzione,
E(pt | y t−j ) = pt−j , per qualsiasi 0 ≤ j ≤ t
Per riassumere.
(1) L’operatore che forma le proprie aspettative ”razionalmente”, nel senso di Muth, pu`o
essere molto ignorante, nel senso di molto poco informato; potrebbe essere in grado
di osservare le realizzazioni di alcune variabili economiche e non di altre e per questo
formulare aspettative avendo solo una conoscenza molto ristretta della realt`a economica.
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MARIO TIRELLI
In tal senso la nozione di aspettative razionali non `e sinonimo di onniscienza, ma di uso
efficiente dell’informazione statistica a disposizione.
(2) Un operatore ”ignorante”, con aspettative razionali, pu`o imparare dalla realt`a che lo
circonda e diventare ”informato”, secondo il modello statistico di apprendimento bayesiano. Prevedere l’andamento dei prezzi di borsa di un’azione dopo aver letto i report
degli analisti e i dati di bilancio della societ`a emittente consente di ridurre l’errore di
previsione.
(3) Il modello di aspettative razionali si basa sul concetto di aspettativa matematica condizionata ed `e quindi applicabile a qualsiasi processo stocastico. Ci`o non `e cos`ı per i
modelli DL, la cui struttura pu`o non adattarsi bene alla previsione di alcuni processi,
determinandone una previsione sistematicamente distorta.
Modelli lineari e log-lineari. La maggior parte dei modelli macroeconomici con aspettative
razionali sono formulati in forma log-lineare. Considerate due variabili casuali p, y con una
funzione di probabilit`a bivariata normale, f (p, y) e supponete che esse siano legate fra loro dal
seguente modello o lineare,
(3)
p = a + by
Se i coefficienti a, b non sono noti, possiamo stimarli. Lo stimatore lineare pi`
u efficiente tra
b
quelli non distorti (detto BLUE) si trova scegliendo (b
a, b) che minimizzano il valore atteso del
quadrato degli errori di previsione (mean square error, MSE), inoltre tali coefficienti consentono
di calcolare la media condizionata,
E(p | y) = b
a + bby
(4)
Mostriamo queste due propriet`a nei seguenti lemmi,
Lemma 3. Supponiamo che un individuo sia a conoscenza che il modello generatore dei prezzi
sia lineare, come in (3). I coefficienti della retta di regressione ottenuti come applicando uno
stimatore BLUE sono,
(5)
b
a := E(p) −
Cov(p, y)
Cov(p, y)
E(y), bb :=
V ar(y)
V ar(y)
Dimostrazione. Sia, pb := b
a + bby. L’errore di previsione `e u := p − pb. Risolviamo il seguente
problema di minimo,
min E(u2 )
b
a,b
b
Le condizioni del primo ordine sono sufficienti,
E[p − (b
a + bby)](−1) = 0
E[p − (b
a + bby)]y = 0
Risolvendo si ottiene la (5).
Lemma 4. La media condizionata E(p | y) si computa come nella (4),
E(p | y) = b
a + bbp
ASPETTATIVE RAZIONALI
7
con i coefficienti riportati nella (5).
Dimostrazione. Usando la definizione di media condizionata e imponendo che essa abbia una
forma lineare in y con coefficienti a e b,
∫
pf (p, y)dp
E(p | y) = P
= a + by
fy (y)
Mostriamo ora che (a, b) coincidono con (b
a, bb) nella (5). Riarrangiando i termini dei due membri
a destra del primo segno di uguale,
∫
(6)
pf (p, y)dp = (a + by) fy (y)
P
e integrando rispetto a y :
∫ ∫
∫
pf (p, y)dpdy =
Y
P
(a + by) fy (y)dy
∫
∫
E(p) = a
fy (y)dy + b
yfy (y)dy
Y
Y
(7)
Y
E(p) = a + bE(y)
Pre-moltiplicando (6) per y e integrando per y :
∫ ∫
∫
ypf (p, y)dpdy =
(a + by) yfy (y)dy
Y
(8)
P
Y
E(py) = aE(y) + bE(y 2 )
(
)
Cov(p, y) + E(p)E(y) = aE(y) + b V ar(y) + (E(y))2
Risolvendo a sistema la (7) e la (8) possiamo ricavare i coefficienti a e b che risultano rispettivamente uguali a (b
a, bb) nella (5).
3. Equilibrio con aspettative razionali
L’aspetto veramente nuovo trattato nella letteratura economica, rispetto a quella statistica, riguarda ancora una volta il ruolo che le interazioni tra operatori finiscono per avere nel
processo di apprendimento individuale. I singoli operatori imparano dall’osservazione del comportamento di altri operatori o -pi`
u semplicemente- dall’andamento delle variabili di mercato
come i prezzi. Questo aspetto `e tutt’altro che banale e complica notevolmente l’apparato logicoanalitico del quale l’economista `e chiamato a servirsi per rappresentare la realt`a. Infatti, le
prime estensioni della nozione di equilibrio walrasiano a economie con incertezza e asimmetrie
informative mancano di cogliere questo aspetto (si veda Radner (1968)).
Considerate un’economia di puro scambio di due periodi t = 0, 1 ed incertezza nel secondo
periodo rappresentata da S possibili stati di natura, indicizzati con s in S = (0, 1, .., S), dove
s = 0 viene interpretato come t = 0. Nell’economia vi `e una sola merce in ogni periodo e
stato di natura e S + 1 mercati perfettamente competitivi che aprono a t = 0; in ciascun
mercato s viene scambiata la stessa merce con un contratto che prevede la consegna della
stessa se lo stato s si verifica. Ci sono I operatori indicizzati con i. Ciascun operatore i `e
caratterizzato da (U i , ei , P i ), che denotano rispettivamente le preferenze, le dotazioni iniziali e
l’insieme informativo. L’economia ha S + 1 mercati contingenti
8
MARIO TIRELLI
Struttura informativa. Sia Ω = {1, 2, .., S} lo spazio degli stati di natura possibili. A priori,
gli individui posseggono tutti la stessa informazione (Ω, Σ, π), dove Σ `e la sigma-algebra degli
eventi Ω e π : Σ → [0, 1] `e una funzione di probabilit`a. A t = 0, prima che aprano i mercati,
gli individui possono ricevere dei segnali che ne modificano l’informazione. Ciascun individuo
i ricevere un segnale y i tra i tanti possibili Y i , che gli rivela qualche informazione sugli stati
di natura; esiste una mappa misurabile σ i : Y i → Σ che associa a ciascun segnale y in Y i un
elemento di Σ, Oi (y),
P i = {Oi (y) : y ∈ Y i }
P i ⊆ Σ `e la partizione degli stati associata a ciascun segnale in Y i . Il segnale y `e noninformativo se Oi (y) = Σ; `e perfettamente informativo se Oi (y) = {s} per qualche s in Ω; `e
informativo (ma impreciso–noise) se non `e perfettamente informativo e soddisfa Oi (y) ⊂ Σ.
A P i `e associata una funzione di probabilit`a condizionata, π(s | y) che assume valore zero per
ogni s non-appartenente a Oi (y).
Ad esempio, S = 3,
Ω = {1, 2, 3}, Σ = {({1}, {2}, {3}), ({1}, {2, 3}), ({1, 2}, {3}), ({1, 3}, {2}), Ω}.
Se per l’individuo i, Y i = {y1 , y2 }, σ(y1 ) = {1} = Oi (y1 ), σ(y2 ) = {2, 3} = Oi (y2 ), ne deriva
che, P i = {Oi (y1 ), Oi (y2 )}.
Le preferenze dell’individuo i sono rappresentate da una funzione di utilit`a attesa,
∑
U i (x0 , .., xs , ...; π i ) = ui0 (x0 ) +
πsi ui1 (xs ), u′t (·) > 0, u′′t (·) < 0, t = 0, 1
s≥1
dove πsi rappresenta la probabilit`a che si verifichi l’evento s condizionatamente all’informazione
posseduta da i a t = 0 (a priori, π i = π, o successivamente alla ricezione del segnale–interim–
i
y i , π i = π(s | y i )). i ha dotazioni iniziali definite da, ei : Ω → RS+1
+ , con es > 0 per qualche s
∑ i
e e¯s := i es > 0, per ogni s in S.
S+1
Dato un vettore di prezzi p = (p0 , p1 , .., pS ) ∈ R++
, la domanda di beni contingenti di i `e
definita come la soluzione del problema,
∑
max U i (x0 , .., xs , ...; π i ) :
ps (xs − eis ) ≤ 0
x>0
s≥0
Se il problema di massimo viene risolto dopo l’arrivo del segnale allora la domanda `e una
funzione,
xi (p, y i )
in RS+1
con elemento tipico, xis (p, y i ).
+
Definizione 5 (Equilibrio Arrow-Debreu-Radner (ADR)). Per ogni y = (y 1 , ..., y I ) in Y ,
S+1
p ∈ R++
`e un equilibrio ADR di un’economia (ui , ei , y i )i=1,..,I , se e solo se soddisfa,
∑
∑
xis (p, y i ) =
eis , per ogni s ∈ S
i
i
Osservate che al variare del segnale ricevuto dagli individui y = (y 1 , ..., y I ), potrebbero
variare anche le probabilit`a che essi associano ai diversi stati di natura e quindi le loro domande
di beni contingenti. Conseguentemente, `e naturale aspettarsi che al variare di y varino anche i
ASPETTATIVE RAZIONALI
9
prezzi di equilibrio p. In altri termini, dovrebbe essere possibile definire una mappa (funzione
o corrispondenza) ϕ(·) che lega i prezzi di equilibrio ai segnali, p = ϕ(y). Supponiamo che tale
mappa sia una funzione invertibile (iniettiva e suriettiva), allora osservando i prezzi di equilibrio
gli individui possono estrarre l’informazione privata di tutta l’economia: y = ϕ−1 (p).3 Dato che
i segnali sono realizzazioni di variabili casuali, anche ϕ−1 (p) rappresenta una variabile casuale.
La domanda che sorge spontanea `e perch´e gli individui non cercano di sfruttare l’informazione
contenuta nei prezzi e cosa avviene se gli individui sfruttano tale informazione? La risposta `e
che l’equilibrio ADR si rompe. Chiariamo la questione con un esempio.
Esempio 6. L’economia `e come quella considerata in precedenza, con I = 2, S = 3, e¯s = 1
in ogni s = S. Gli operatori sono identici in tutto eccetto, eventualmente, per l’informazione
che posseggono al momento di prendere le decisioni, a t = 0. Ciascuno di loro ha preferenze
rappresentate da,
∑
πsi log(xs )
U i (x0 , .., xs , ...; π i ) = x0 +
s≥1
e e¯s = 1 per ogni s in S. Per una data distribuzione delle dotazioni iniziali e, e prezzi p,
∑
l’individuo i ha una ricchezza wi (p) = s ps eis . La domanda di i, per allocazioni interne, `e
quindi rappresentata da,
xi0 (p) = wi (p) − α, xis (p; y i ) =
απsi
, per ogni s > 0
ps
Per ogni s > 0, la domanda aggregata di beni contingenti `e,
∑
α ∑ i
xis (p, y) =
πs
ps
i
i
Normalizzando il prezzo del bene s = 0 a uno, i prezzi di equilibrio ADR dei beni contingenti
sono determinati da,
∑
ps = α
π(s | y i ), per ogni s > 0
i
con ϕs (y) := α(π(s |
+ π(s |
In primo luogo, consideriamo il caso in cui le decisioni vengano prese sulla base dell’informazione e-ante, comune a tutti, rappresentata da probabilit`
a a-priori uniformi, πs = 1/3 per
ogni s > 0. I prezzi di equilibrio ADR sono
y1)
y 2 )).
p = (1, 0.75α, 0.75α, 0.75α)
Confrontiamo ora i prezzi con quelli di equilibrio ADR ottenuti a seguito di un segnale informa(
)
tivo ricevuto dai due individui, y = y 1 , y 2 . Supponiamo che i = 1 riceve un segnale perfetto
y 1 = {1}, che gli indica si verificher`
a lo stato 1; mentre il segnale di 2 `e non-informativo,
2
y = Ω. I prezzi di equilibrio ADR sono,
p = (1, (1 + 0.75)α, 0.25α, 0.25α)
3In questo caso si dice che i prezzi sono una ’statistica sufficiente’ per determinare tutta l’informazione
esistente nell’economia.
10
MARIO TIRELLI
Infatti, per ogni s > 0, πs2 = πs e π i = π(· | y 1 ) = (1, 0, 0). Osservate come i segnali
hanno cambiato i prezzi candidati all’equilibrio e riflettete sul fatto che l’individuo 2 potrebbe–
utilizzando la funzione che li determina–desiderare rivedere le proprie decisioni accrescendo la
sua domanda relativa del bene s = 1. Se ci`
o avvenisse, l’equilibrio ADR si romperebbe.
Sin dal volume X di ”Value and Capital” di J. Hicks, gli economisti hanno distinto tra
’equilibri temporanei’ e equilibri che soddisfano la condizione che i prezzi attesi e quelli realizzati
coincidono–ovvero, per dirla a la Hicks, equilibri con ’stazionari’. Questi ultimi sono appunto
’stazionari’ nel senso che non danno luogo a alcuna successiva revisione delle decisioni prese.
Gli equilibri temporanei possono essere rappresentati come una successione di equilibri ADR,
mentre la nozione di equilibri ’stazionari’ pu`o essere fatta corrispondere con quella degli equilibri
con aspettative razionali. Questa sintesi `e di molto successiva agli studi di Hicks. Radner alla
fine degli anni ’60 e poi Lucas e Green introducono la nozione di equilibrio con aspettative
razionali.4
Considerate un’economia come quella descritta in precedenza, nella quale gli individui ricevono un profilo di segnali y in Y . Inoltre, essi osservano i prezzi e p = (p0 , p1 , .., pS ) e sono a
(
)
conoscenza del modello generatore dei prezzi, una funzione ϕ : Y → P , ϕ (y) = p, y = ..y i , ..
in Y = Y 1 ×..×Y I . Data questa informazione, i sceglie (x0 , x1 , .., xS ) in modo da massimizzare
la sua funzione di utilit`a attesa
[
]
E ui (x0 , x1 , .., xS ) | y i , p (y)
sotto il vincolo di bilancio determinato ai prezzi p.
Definizione 7 (Equilibrio con Aspettative Razionali). Per qualsiasi profilo di segnali y in Y ,
un equilibrio con AR in un’economia (ui , ei , y i )i=1,..,I `e una funzione di prezzo ϕ : Y → P con
ϕ(y) = p, che soddisfa,
∑
∑
xis (ϕ(y), y i , y)) =
eis , per ogni s ∈ S
i
Sia
i
(
Z(y) :=
....,
∑
xis (ϕ(y), y i , y))
i
−
∑
)
eis , ....
i
Quest’ultima `e la mappa degli eccessi di domanda, Z : Y → P . I prezzi di equilibrio con AR
sono un punto fisso di,
Z ◦ ϕ−1 : P → P
L’esistenza di un equilibrio con AR pu`o quindi essere ridotta all’esistenza di un tale punto fisso.
C’`e per`o un altro modo di pensare alla costruzione di un equilibrio con aspettative razionali.
Osservate che, in generale, se esiste un equilibrio ADR nel quale tutti gli individui osservano
il segnale ricevuto da tutti gli altri, y, allora `e possibile inferire che esiste un equilibrio con
4Lucas R. E. (1972) ”Expectations and the neutrality of money”, Journal of Economic Theory, 4, p.103-124; si
veda anche Green J (1973) ”Information, efficiency and equilibrium”, Discussion Paper n.284. Harvard Institute
of Economic Research. Il lavoro di Radner `e del 1967; si veda per`
o, Radner R. (1979) ”Rational expectation
equilibrium: generic existence and the information revealed by prices”, Econometrica, 47, p.655-678.
ASPETTATIVE RAZIONALI
11
aspettative razionali nel quale sono i prezzi che (all’equilibrio) rivelano interamente l’informazione proveniente dai segnali, sono fully revealing. A tal fine `e sufficente riuscire a costruire
una mappa di prezzo ϕ(·) che sia una funzione iniettiva. L’idea `e semplice: se p = ϕ(y) `e il
vettore dei prezzi di un’economia nella quale tutta l’informazione `e pubblica e rappresentata
da un segnale comune y, allora basta dimostrare che al variare di y varia ϕ(y) ed esiste almeno
un individuo che desidera modificare le proprie scelte (ovvero la sua domanda di qualche bene
cambia); ci`o vuol dire, appunto, che ϕ(·) `e iniettiva: ϕ(y) ̸= ϕ(y′ ) quando y ̸= y′ . Grazie
all’iniettivit`a di ϕ si ha che i prezzi di equilibrio, proprio in quanto assumono valori diversi al
variare di y sono in grado di rivelare interamente l’informazione contenuta nei segnali.
Ancora una volta, gli equilibri fully revealing hanno le stesse caratteristiche (stessa allocazione) degli ADR, nei quali –all’equilibrio– tutti sono perfettamente informati, nel senso che
finiscono per avere tutta l’informazione contenuta in y. Tale equivalenza consente di estendere l’analisi di efficienza degli equilibri ADR con informazione simmetrica agli equilibri fully
revealing.
A questo punto la domanda da porsi `e la seguente: la propriet`a di iniettivit`a (o di invertibilit`a) della funzione di prezzo p `e generale, oppure vale in condizioni particolari? Senza
spingerci oltre nell’analisi `e importante rilevare che vi sono molte situazioni nelle quali tale
propriet`a viene meno e gli equilibri con aspettative razionali non sono fully revealing, ma solo
partially revealing. Citiamo due casi molto noti in letteratura, che tuttavia non sono gli unici.
(1) Informazione costosa.5 Sino ad ora abbiamo ipotizzato che acquisire informazione
sia un’attivit`a priva di costo. Supponiamo ora che i segnali siano costosi. In tal caso
gli operatori che sono a conoscenza della funzione di prezzo ϕ(·) sanno che possono
acquistare informazione guardando i prezzi di mercato e ’invertendo’ ϕ; fanno freeriding sull’informazione. Tuttavia, se tutti gli operatori fanno altrettanto, similmente
al caso dei beni pubblici, nessuno acquista informazione e il segnale effettivamente
contenuto dai prezzi sar`a insignificante; ovvero i prezzi non saranno informativi. Ma
se cos`ı `e, allora gli operatori capiscono che acquistare un segnale `e vantaggioso; ...cos`ı
facendo si innesca un discorso circolare, che pu`o essere usato per mostrare che in una
tale economia non esiste alcun equilibrio con aspettative razionali. Un modo per evitare
questo “noioso” problema `e quello di metter un po’ di disturbo informativo (noise) nel
modello, in modo da evitare che i prezzi possano essere fully revealing e allo stesso
tempo dare nuova rilevanza economica all’osservazione dei segnali individuali. Ci`o si
verifica se, ad esempio, per alcuni valori dei prezzi di equilibrio, vi `e incertezza in merito
a vero stato di natura (la mappa ϕ non `e iniettiva).
(2) Mercati incompleti. Tutta l’analisi svolta in precedenza con mercati contingenti
completi pu`o essere riformulata ipotizzando che vi siano mercati finanziari completi
(ad esempio un sistema completo di Arrow-securities6) che consentano agli operatori
5Grossman S., J. Stilitz (1980), ”On the impossibility of informationally efficient markets”, American
economic Review, 70, p.393-408.
6La tipica Arrow security s `
e un asset che paga un’unit`
a del numerario nel solo stato di natura s. Se vi sono
S stati di natura possibili, si ha un sistema completo di Arrow securities se tutte le s = 1, .., S securities sono
scambiabili.
12
MARIO TIRELLI
di diversificare in modo efficiente il rischio. In questo caso, la funzione di prezzo da
considerare `e relativa ai prezzi delle attivit`a finanziarie. Tuttavia, se i mercati sono
incompleti e le attivit`a finanziarie sono nominali (hanno rendimenti denominati direttamente in moneta), allora possono esistere equilibri non-fully revealing.7 In questo
caso la funzione di prezzo perde l’iniettivit`a e allo stesso vettore di prezzi corrispondono
segnali informativi diversi sullo stato dell’economia.
Come ultimo punto `e bene osservare che nella nozione di equilibrio con aspettative razionali,
ϕ(·), in quanto funzione di una variabile casuale (un vettore di variabili casuali), `e a sua volta
una variabile casuale; in tal senso, si dice che ϕ `e misurabile. Nell’esempio precedente, i prezzi
dipendono dai segnali y attraverso funzioni di probabilit`a π. Sulla natura ’statistica’ degli
equilibri con aspettative razionali presentiamo un altro esempio.
Esempio 8. Un’economia `e fatta di N imprese identiche. La domanda (inversa) di ciascuna
impresa al tempo t `e pet = D(Qt , εet ), Qt =output totale, εet disturbo stocastico. L’impresa, data
la struttura (differenziabile e convessa) dei costi C (·) e i prezzi attesi, sceglie di produrre qt in
modo da massimizzare il profitto atteso: M axqt E pet × qt − C (qt ) . Produce quindi qt : E pet =
C ′ (qt ). Sia h = (C ′ (·))−1 , l’impresa offre qt = h (E pet ) . L’offerta di mercato `e Qt = N qt =
N h (E pet ). Sostituendo nella domanda,
(9)
pt = D(N h (E pet ) , εet )
Osservate che pet `e una variabile casuale perch´e `e una funzione di εet . Chiaramente se E pet ̸=
pt = ED(N h (E pet ) , εet ), gli operatori vorranno rivedere le proprie decisioni. L’unica situazione nella quale nessun’impresa desidera rivedere le proprie decisioni `e una con E pet = p∗t =
ED(N h (p∗t ) , εet ). p∗t che realizza tale condizione per ogni t `e un equilibrio con aspettative razionali; ´e il punto fisso p∗t = ED(N h (p∗t ) , εet ). Ovviamente ci`
o richiede che gli operatori siano
a conoscenza della funzione di distribuzione di pet ; o meglio, dei legami di dipendenza statistica
tra pet e εet e della funzione dei prezzi di equilibrio.
Per concludere, la nozione di equilibrio razionale implica che gli operatori formino le proprie
aspettative usando il modello di aspettative razionali sulla base del vero modello che governa
le variabili economiche. Quest’ultima propriet`a `e implicata dall’ipotesi che che gli operatori
conoscano i legami di dipendenza statistica tra le variabili di mercato (nel nostro esempio i
prezzi) e le altre variabili casuali che in qualche modo le influenzano (i segnali y o i disturbi
stocastici ε). Abbiamo osservato che l’esistenza di equilibri partially revealing dimostra che
tali ipotesi - bench´e forti - non implicano l’esatta conoscenza dello stato di natura, ovvero la
capacit`a di apprendere dall’osservazione delle variabili di mercato tutta l’informazione rilevante
dell’economia.
7
Rahi R. (1995), ”Partially revealing rational expectations equilibria with nominal assets”, Jurnal of Mathematical Economics, 24, p.137-146. Poemarchakis H, P. Siconolfi (1993), ”Asset markets and information revealed
by prices”, Economic Theory, 3, p.645-662.
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