Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi SULLA FORMULAZIONE RELATIVA ` GENERALE DELL’ELETTRODINAMICA IN RELATIVITA G IOVANNI C RUPI S UNTO . In questo lavoro si dimostra come la tecnica delle proiezioni di Cattaneo fornisce un metodo lineare e fisicamente espressivo per la formulazione relativa dell’elettrodinamica in Relativit`a generale. S UMMARY. In this paper we show that the projective technique proposed by Cattaneo provides a simple as well as physically expressive method to the relative formulation of the electrodynamics in general relativity. 1. – Per ci`o che e` a me noto, la formulazione relativa in Relativit`a generale delle equazioni elettrodinamiche si conduce seguendo un metodo analogo a quello che si adotta in relativit`a ristretta, allorch´e si passa dalla formulazione tensoriale nello spazio di Minkowski a quella maxvelliana relativa ad un assegnato riferimento inerziale [1, pp. 415–419]. Tale procedimento, in Relativit`a generale, oltre a presentarsi piuttosto laborioso, lascia in ombra la fondamentale distinzione tra riferimento fisico e sistema di coordinate. Com’`e noto, anche in Relativit`a generale, in uno stesso riferimento fisico possono essere introdotti infiniti sistemi di coordinate adattate (o fisicamente ammissibili) [2, cap. VII]. La distinzione dei ruoli tra riferimento fisico e sistema di coordinate ad esso associato si manifesta ben chiara nello schema delle proiezioni naturali di Cattaneo. Nel presente lavoro si mostra come i metodi di Cattaneo rendono estremamente semplice e lineare la formulazione relativa dell’elettrodinamica in Relativit`a generale. 2. – Consideriamo una variet`a riemanniana spazio–temporale curva, V 4 , riferita ad un sistema di coordinate locali generali (xi ) e dotata in ogni punto di una metrica iperbolica normale ds2 = gik dxi dxk (i, k = 1, 2, 3, 4) (1) α 4 di segnatura +++−; le (x ) (α = 1, 2, 3) indicano coordinate spaziali ed x = ct fornisce la coordinata temporale. Com’`e noto, in V 4 , le equazioni tensoriali dell’elettrodinamica sono suscettibili della forma ∇i Fkl + ∇l Fik + ∇k Fli = 0, (2) ∇k F ik = si , (3) dove ∇i indica l’operatore di derivazione covariante, Fik le componenti covarianti del tensore elettromagnetico ed si le componenti controvarianti della quadridensit`a di corrente. La (2) pu`o essere anche scritta, pi`u espressivamente, nella forma E sikh Fkh/i = 0, (4) oppure ∂ . (5) E sikh ∂i Fkh = 0 ∂i = ∂xi 321 322 G. C RUPI 3. – Un riferimento fisico in V 4 resta caratterizzato da un campo di vettori unitari γ di specie temporale (γ · γ = −1); e lo spazio tangente Tx associato al generico punto (xi ) pu`o essere decomposto nella somma di due sottospazi supplementari ed ortogonali tra loro: Tx = Σ + θ, (6) i dove θ e` unidimensionale e parallelo a γ(x ), Σ e` tridimensionale ed ortogonale a γ(xi ). E` appena necessario ricordare che θ e Σ rappresentano localmente tempo e piattaforma spaziale relativi al riferimento fisico individuato dal campo γ. Dare alle equazioni elettromagnetiche forma relativa ad un assegnato riferimento fisico, in Relativit`a generale, significa esplicitare l’aspetto che assumono localmente le proiezioni delle equazioni quadridimensionali (2) e (3) sulla base spaziale Σ e lungo la linea temporale θ. E` della ricerca di queste proiezioni che ora vogliamo occuparci, applicando la tecnica delle proiezioni di Cattaneo. Richiamiamo che, nell’ambito di tale tecnica, introdotto un sistema di coordinate fisicamente ammissibili, si costruiscono i due tensori γik = gik + γi γk , (7) νik = −γi γk , gi4 γi = √−g44 , (8) 1 . γ4 = √ γ α = 0, −g44 Il tensore γik , che viene chiamato proiettore spaziale, permette di effettuare le proiezioni sulla piattaforma spaziale Σ, ed il tensore νik , detto proiettore temporale, consente di costruire le proiezioni sulla linea θ. Procediamo, adesso, al calcolo della proiezione spaziale dell’equazione (5). Per motivi di semplicit`a, nel seguito, svilupperemo i calcoli in un riferimento tempo– ortogonale. In tale riferimento: gα4 γα = √ = 0. (9) −g44 La proiezione spaziale della generica componente della (5) e` data da γrs E rikh ∂i Fkh = 0, (10) dove γrs = δrs + γr γ s . (11) La (10) pu`o essere trascritta nella forma γαs E αikh ∂i Fkh = 0 (α = 1, 2, 3), δ4s essendo = 0 perch´e il tensore Inoltre, dopo la (11) e la (9), γrs e` di tipo spaziale. γαs = δαs , (13) e quindi, tenendo conto che E βikh ∂i Fkh = 0 (12) γα4 = δα4 = 0, la (12) e` riconducibile alla (β = 1, 2, 3). Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi (14) S ULLA FORMULAZIONE RELATIVA DELL’ ELETTRODINAMICA IN RELATIVIT A` GENERALE Da questa, per β = 1, 2, 3, si deducono le equazioni ∂2 F34 − ∂3 F24 + ∂4 F23 = 0, ∂3 F14 − ∂1 F34 + ∂4 F31 = 0, ∂ F − ∂ F + ∂ F = 0. 1 24 2 14 323 (15) 4 12 Allo scopo di dare una rigorosa interpretazione relativa alle (15), applichiamo l’operazione di decomposizione naturale, secondo Cattaneo [2], al tensore elettromagnetico Fik . Cos`ı, si ha: Fik = Feik + Fei γk − γi Fek , (16) dove Feik = γir γks Frs , (17) r s e Fi = −γi γ Frs (18) sono tensori spaziali appartenenti alla base Σ. Da (16) o da (17), in coordinate tempo–ortogonali, si deduce Fαβ = Feαβ . (19) E questa ci permette di affermare che le quantit`a F32 , F13 , F21 , (20) che figurano nelle (15), sono suscettibili di essere considerate come le componenti significative ed indipendenti di un tensore dello spazio tridimensionale Σ di metrica: dσ 2 = γαβ dxα dxβ . (21) e In Σ al tensore emisimmetrico Fαβ = Fαβ si pu`o associare lo pseudovettore duale, definito da 1 (22) B ν = E ναβ Fαβ , 2 dove E ναβ e` lo pseudo–tensore di Ricci associato allo spazio Σ. Da (22), per ν = 1, 2, 3, si trae F31 F12 F23 B1 = √ , B2 = √ , B3 = √ , (23) γ γ γ con γ = det kγαβ k . (24) Il vettore tridimensionale B, per estensione di linguaggio, possiamo chiamarlo vettore induzione magnetica. Esaminiamo, ora, la relazione Fα4 = Feα γ4 (25) che si trae dalla (16) per i = α (α = 1, 2, 3) e k = 4. Com’`e noto, le Feα possono essere concepite come le componenti covarianti di un vettore tridimensionale appartenente allo spazio Σ. Inoltre, osserviamo che una trasformazione puramente spaziale di coordinate che riguardi i punti di Σ, e` suscettibile di essere espressa nella forma ( 0α x = x0α (x1 , x2 , x3 ), (26) x04 = x4 . Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi 324 G. C RUPI E questa rappresenta una trasformazione interna al riferimento fisico. E` facile verificare che in una trasformazione del tipo (26) la γ4 si comporta come una quantit`a invariante. Allora, le Fα4 per α = 1, 2, 3, si possono concepire come le componenti covarianti di un vettore tridimensionale appartenente alla base spaziale Σ. Poniamo Eα = Fα4 . (27) Per naturale estensione di ci`o che e` noto in Relativit`a ristretta, chiameremo Eα intensit`a del campo elettrico in Σ. Incidentalmente, osserviamo che, al vettore tridimensionale Feα pu`o essere attribuito un esplicito significato fisico. Infatti, dopo la (27) e la (8)1 , da (25) si trae Eα . (28) −Fα = √ −g44 Adesso, avendo interpretato le Eα come componenti covarianti del trivettore inten√ sit`a del campo elettrico in Σ, sembra del tutto naturale concepire le quantit`a Eα / −g44 , proporzionali ad Eα , come componenti del trivettore spostamento elettrico D, cio`e Eα Dα = √ . (29) −g44 Quindi, la (28) assume la forma −Feα = Dα , (30) e questa ci consente, appunto, di interpretare il trivettore Feα come l’opposto del vettore spostamento elettrico D. La (29) coincide con una nota relazione [1, p.418]. Dopo la (27) e le (23), le (15) possono essere sintetizzate nella 1 √ E αβν ∂β Eν + √ ∂t ( γB α ) = 0, c γ oppure 1 √ rot E = − √ ∂t ( γB) . (31) c γ La proiezione temporale di (5) conduce all’equazione 1 √ √ ∂α ( γB α ) = 0, γ che pu`o essere trascritta nella forma: div B = 0. (32) Le proiezioni, spaziale e temporale, di (3) forniscono, rispettivamente: 1 ρu √ rot H = √ ∂t ( γD) + , c γ c div D = ρ, (33) (34) con evidente significato dei simboli. I dettagli sulle deduzioni formali e sulle interpretazioni delle (32), (33) e (34), qui omesse per brevit`a, saranno oggetto di una successiva pubblicazione. Le equazioni (31), (32), (33) e (34) sostanzialmente coincidono con quelle riportate dal Møller [1, p. 419]. Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi S ULLA FORMULAZIONE RELATIVA DELL’ ELETTRODINAMICA IN RELATIVIT A` GENERALE 325 Il contributo di questo lavoro, preminentemente, consiste nell’aver mostrato che la tecnica delle proiezioni di Cattaneo fornisce, tra l’altro, un metodo lineare e fisicamente espressivo anche nella formulazione relativa dell’elettrodinamica in Relativit`a generale. Da recenti indicazioni, cortesemente fornitemi da D. Galletto, ho appreso — dopo la presentazione di questo lavoro — che della medesima problematica si e` gi`a occupato P. Benvenuti [3]. Nel ringraziare vivamente il collega Galletto, mi propongo, in un prossimo lavoro, di riprendere la ricerca anche nell’ambito di un interessante confronto con le assunzioni e con i risultati di Benvenuti. Riferimenti bibliografici [1] C. Møller. The Theory of Relativity. Second Edition, Clarendon Press, Oxford, 1972. [2] C. Cattaneo. Introduzione alla teoria einsteiniana della gravitazione. Libreria Eredi V. Veschi, Roma. [3] P. Benvenuti. Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Sez. III, XIV, 171–193, 1960. Giovanni Crupi. Sulla formulazione relativa dell’elettrodinamica in relativit`a generale. Atti della Accademia delle Scienze di Torino, Suppl., 120, 87–94, 1986. Universit`a degli Studi di Messina Dipartimento di Matematica Memorie Scientifiche di Giovanni Crupi
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