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Caratteristiche della sezione - Il-Cubo

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Iter per esercizi
Se ho una trave e la sua sezione con la forza applicata :
Se ho solo la sezione con la forza applicata :
risolvo prima la trave con la statica per trovarne i diagrammi N, T Mf e
vedere in che punto essi sono massimi, punti nei quali dovrò effettuare la
verifica.
non ci sarà momento quindi non ci sarà flessione, ma potranno esserci solo
sforzo normale, taglio e torsione. In questo caso non posso trovare i
diagrammi statici e la verifica si effettua : per il taglio………………. Per la
torsione dove lo spessore è maggiore se la sezione è costituita da rettangoli
allungati, dove la sezione è minore se la sezione è biconnessa o
pluriconnessa.
• Disegno i diagrammi statici di N , T , Mf
Dai diagrammi della statica di N sforzo normale, T taglio e Mf momento flettente, mi rendo conto del tipo di
sollecitazione cui è sottoposta la trave : se c’ è momento flettente, ci sarà flessione, ecc.
Per tracciare i diagrammi con la statica ho bisogno di avere le reazioni quindi risolvo la struttura che può essere :
isostatica, iperstatica o labile.
- Se è iperstatica utilizzo le equazioni di congruenza per trovare le incognite iperstatiche : 1 equazione di
congruenza per ogni grado di iperstaticità ossia per ogni reazione sovrabbondante. Trovate le incognite
iperstatiche, aiutandomi se possibile con gli schemi notevoli, risolvo la trave come se fosse isostatica e trovo
le restanti reazioni.
- Ora che conosco le reazioni posso tracciare i diagrammi di N (sforzo normale) T(taglio) Mf (momento
flettente), c’è anche Torsione ossia momento Torcente MT se esiste una distanza tra il centro di taglio C e la
forza applicata.
Dai diagrammi conosco la sollecitazione cui è sottoposta la trave (Sforzo Normale, Flessione, Taglio, Momento
Torcente). La sollecitazione sarà : semplice (se è presente una sola sollecitazione solo sforzo normale, solo flessione,
solo taglio ecc.) oppure composta (se sono presenti più di una sollecitazione es. taglio,flessione e torsione).
Dai diagrammi ricavo la sezione maggiormente sollecitata su cui dovrò fare la verifica.
Calcolo il valore max. delle tensioni nelle sezioni in cui N T Mf sono max. Per poter determinare le σ e le τ devo prima
determinare Baricentro, Momento D’inerzia e Centrifugo, Assi Principali d’Inerzia, Asse di sollecitazione,Asse Neutro,
Asse di Flessione.
• Momento Statico dell‘intera figura Sx rispetto all’asse x e Sy rispetto all’asse y
Si possono calcolare come somma o differenza dei momenti statici delle varie aree che costituiscono il profilato :
S1x =A1Y’G1 Y’G1 Y’G2 Y’Gn sono le distanze X’ e Y’ sono gli assi di
riferimento che per nostra
S x =A2Y’G2 lungo l’asse Y’ al baricentro
Sx = S1x + S2x +Snx 2
comodità di calcolo scegliamo
dell’area
1,2…n
Snx =AnY’Gn
passanti per il maggior
S1y =A1X’G1 X’G1 X’G2 X’Gn sono le distanze numero di baricentri delle
figure parziali. Il momento
S2y =A2X’G2 lungo l’asse X’ al baricentro
Sy = S1y + S2y +Sny
statico può essere (+) o (-)
Sny =AnX’Gn dell’area 1,2…n
dipende dalla distanza.
1
•
X G′ =
YG′ =
Baricentro G della figura :
Sy ′
A
Sx ′
A
Se la figura ha 2 assi di simmetria il baricentro è nell’intersezione di questi assi altrimenti :
Le coordinate del baricentro G sono :
Se la figura ha 1 asse di simmetria mi serve una sola coordinata l’altra è data dalla distanza dall’asse
di simmetria all’asse X’ o Y’ scelti da noi.
Se la figura è scomponibile in 2 figure parziali di cui cono noti i baricentri G1 eG2 G appartiene alla
retta passante per G1G2.
Il baricentro si può calcolare anche con il poligono funicolare.
Coordinata
lungo l’asse X’
Coordinata
lungo l’asse Y’
A è l’area
totale del
profilato
G
G1
G2
Ricerca grafica del Si scompone la figura in figure parziali, di ognuna delle quali si trova il baricentro Gi. In ogni
baricentro (con il baricentro parziale si applica un vettore di modulo proporzionale all’area Ai, tali vettori si
disegnano paralleli e concordi, se c’è qualche area da sottrarre il relativo vettore si disegna
poligono funicolare
discorde. (questo sia in orizzontale che in verticale se dobbiamo determinare entrambe le
coordinate). Si costruisce un poligono funicolare sia per i vettori orizzontali che per quelli
verticali, le risultanti ottenute dai 2 poligono, si intersecano e danno luogo al baricentro G
di tutte le figure parziali ossia al baricentro dell’intera figura.
1
2
G
1
2
3
4
I Poligono
3
4
5
6
8
7
5
6
II Poligono
7
8
Si costruisce un solo poligono funicolare cioè si trova un solo asse centrale quando l’altro è
già noto cioè :
-se la figura possiede un asse di simmetria, basta trovare l’altro e dalla loro intersezione si
ottiene G.
-se la figura è scomponibile in 2 figure parziali di cui sono noti i baricentri G1 G2, G
appartiene alla retta passante per G1G2 quindi basta trovare un solo asse di simmetria e
dall’intersezione con l’asse passante per G1G2 si ottiene G.
G1
1
G
G2
2
Un solo poligono
3
1
3
2
2
•
Momento d’inerzia Ix rispetto all’asse x, Iy rispetto all’asse y :
I Momenti d’inerzia si calcolano rispetto agli assi X e Y (//X’ e Y’) passanti per il baricentro totale del profilato. Si
usa il Teorema del Trasporto del momento d’inerzia. Si possono calcolare come somma o differenza dei momenti
d’inerzia delle varie aree che costituiscono il profilato :
Ix1 = Ix0 +A1 Y2G1G
Ix0=bh3/12
2
(per un
Ix = Ix1 + Ix2 +Ixn Ix2 = Ix0 +A2 Y G2G
Ix=Iy=πR4/4 Ix0 (Iy0) è il momento d’inerzia del rettangolo considerato
rettangolo)
2
Ixn = Ix0 +An Y GnG
(per un
rispetto agli assi passanti per il suo baricentro.
Iy1 = Iy0 +A1 X2G1G
cerchio)
Il momento d’inerzia è sempre (+)
Iy0=b3h/12
(per un
Iy = Iy1 + Iy2 +Iyn Iy2 = Iy0 +A2 X2G2G
rettangolo)
Iyn = Iy0 +An X2GnG
• Momento Centrifugo Ixy
Si può calcolare come somma o differenza dei momenti centrifughi delle varie aree che costituiscono il profilato : Si
usa il Teorema del Trasporto del momento centrifugo. Per i segni delle distanze bisogna guardare la convenzione usata
per il momento statico.
I1xy = Ix0y0 + A1 XG1G YG1G
Ix0y0 è il momento centrifugo rispetto agli assi x0 y0 ;dato che li scelgo
passanti per il baricentro dell’area parziale, è sempre nullo.
Ixy =I1xy + I2xy + Inxy I2xy = Ix0y0 + A2 XG2G YG2G
X
G e YG sono le distanze lungo l’asse X e Y dai baricentri delle figure parziali
Inxy = Ix0y0 + An XGnG YGnG
ad X e Y
•
Assi Principali d’inerzia ξ e η o Analiticamente o Graficamente.
questi sono anche assi principali d’inerzia ξ η , - la loro intersezione determina il baricentro G della sezione ed
in centro di taglio C che in questo caso coincide con il baricentro G -.
questo è asse principale d’inerzia ξ(se è più vicino a x) o η(se è più vicino a y), l’altro
solo asse di simmetria asse di simmetria sarà il suo ortogonale.
se ha 2 assi di simmetria
se la figura presenta 1
Analiticamente trovo αξ ossia l’angolo che ξ forma con l’asse X, per trovare αξ utilizzo la formula :
tg 2α ξ =
2 I xy
Iy − Ix
da cui 2 α ξ
= arctg
2 I xy
αξ è l’angolo che ξ forma non l’asse X
Iy − Ix
αη è l’angolo che η forma non l’asse X ossia l’ortogonale di ξ
αξ +180 °= αη
Graficamente utilizzo il cerchio di Mhor
Ho bisogno di
Ix, Iy, Ixy.
Disegno gli assi, sull’asse X riporto in scala i valori Ix e Iy partendo dall’origine. Riporto da Ix e parallelamente all’asse Y, il
valore di Ixy. Questo al di sopra (+) o al di sotto (-) dell’asse X. Considero il punto medio del segmento IxIy questo è il centro C
della circonferenza. Unisco questo punto con l’estremo di Ixy ed ottengo il raggio della circonferenza. Disegno la circonferenza.
Il Polo è proprio l’intersezione della circonferenza con l’estremo di Ixy. La circonferenza interseca l’asse X in 2 punti H e K
unendo H e K con il polo ottengo gli assi principali d’inerzia che saranno tra loro ortogonali.
η
Y
C=
P
Iη
Ixy
Ix + Iy
2
ξ
2
I ς I X + IY
 I − IX 
2
=
±  Y
 + I XY
Iη
2
2


O
C
Ix
Iξ valore del max
momento d’inerzia
Iη valore del min
momento d’inerzia
X
ρς =
ρη =
Iξ
Iς
A
Iη
A
Iy
3
• Determino l’Asse di Sollecitazione s
l’asse di sollecitazione s che è il coniugato dell’asse neutro, l’asse di sollecitazione s è l’asse che contiene la forza, se
c’è un momento M è l’asse che contiene la coppia
F
sollecitazione
se c’è un momento M
sollecitazione
Negativo
Si pone il verso della coppia in modo che avviti l’asse (+)
Positivo
sollecitazione
• Determino l’Asse Neutro n
se la forza F è // o ≡ (coincidente) con un asse principale d’inerzia : n ⊥ s, altrimenti so che l’asse neutro n è sempre il
coniugato dell’asse di sollecitazione s quindi si costruisce con la regola del coniugio oppure con la costruzione. (Vedi
geometria delle masse)
Costruzione : data una direzione s costruire la sua direzione coniugata.
Abbiamo detto che l’asse n è sempre il coniugato dell’asse di sollecitazione, quindi dato l’asse di sollecitazione
costruiamo il suo coniugato n. Nel caso in cui l’asse s passi per il baricentro G per trovare il suo coniugato traccio una
// ad s che interseca i raggi principali d’inerzia ξ e η in 2 punti x e y. Determino prima i punti coniugati di x e y ossia x
e y.
Coniugato di x : Ribalto col compasso il raggio ρ dove si trova x (il punto del quale voglio conoscere il suo coniugato)
sull’altro asse centrale d’inerzia e trovo un punto P1. Unisco P1 trovato con x e mando la perpendicolare ⊥ a p1x da P1
fino all’asse che contiene x. Il punto così individuato è il coniugato di x ossia x.
Coniugato di y : Ribalto col compasso il raggio ρ dove si trova y (il punto del quale voglio conoscere il suo coniugato)
sull’altro asse centrale d’inerzia e trovo un punto P2 . Unisco P2 trovato con y e mando la perpendicolare ⊥ a p2y da P2
fino all’asse che contiene y. Il punto così individuato è il coniugato di y ossia y.
L’antipolo della retta s (asse di sollecitazione) si ottiene tracciando le parallele a ξ e η passanti per x e y il loro punto
d’intersezione è l’antipolo C della retta s.
L’asse neutro n si ottiene unendo l’antipolo C con il baricentro G.
Determino l’Asse di Flessione f
è sempre ortogonale all’asse neutro n cioè : f ⊥ n
•
Conoscendo ora l’asse di sollecitazione s, l’asse di flessione, f l’asse neutro : stabilisco con precisione il tipo di
sollecitazione ossia : se la flessione è retta o deviata, se la presso-flessione (o tenso-flessione) è retta o deviata. Le
altre le posso stabilire a priori.
Calcolerò ora le σmax (Sforzo normale, Flessione Retta o Deviata, Pressoflessione o Tensoflessione) e le τmax
Taglio e Torsione)
• Verifiche
Dopo aver individuato quale sezione è maggiormente sollecitata e conoscendo le σmax e le τmax si fa la verifica di
resistenza in quella sezione o il progetto della sezione : se sollecitazione semplice la verifica è : σz≤σam se
sollecitazione composta è : σ id ≤ σ amm
Nota
Se i valori N, T, Mf sono massimi tutti in un punto verifico la sezione in quel punto con il criterio di Van Mises……. Se ci sono 2 sezioni in una ho per
es. taglio max, nell’altra avrò flessione max, verifico a taglio e flessione tutte e 2 le sezioni con il criterio di Van Mises e utilizzo nella verifica la σid
maggiore. Al posto della τ se ho una sollecitazione composta metto la somma per es. della τ da taglio + la τ da torsione. Alla fine devo verificare se :
σ id = σ 2 + 3τ 2
B σ id
≤ σ amm
4
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