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Cap.4 Le Leve e le macchine semplici

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Cap.4 Le Leve e le macchine semplici
4.1 Le macchine semplici
Le macchine semplici sono macchine che non possono essere scomposte in
macchine ancora più elementari; sono le macchine che erano già disponibili
nell’antichità. Si basano sulla sola forza muscolare col principio di
amplificazione della forza con espedienti meccanici.
Un qualsiasi dispositivo atto a vincere una forza (resistenza) con la sola forza
muscolare (potenza) è detta macchina semplice
Sono macchine semplici: carrucole; leve; piano inclinato; ingranaggi dentati;
manovella; cuneo; catene; cuscinetti e molla
4.2 La leva
Macchina semplice che consiste in un corpo rigido (di norma costituito da
una sbarra) girevole intorno a un asse fisso (detto fulcro) e soggetto
all’azione di due forze tradizionalmente dette l’una potenza (la forza
muscolare) e l’altra resistenza (la forza che occorre vincere)
4.2.1 Gli elementi delle leve
Una leva è costituita da un’asta rigida e da un fulcro intorno al quale l’asta può
ruotare. Da una parte dell’asta c’è la forza da vincere che prende il nome di
resistenza e dalla parte opposta si la forza necessaria a vincere la resistenza a
cui diamo il nome di potenza. La distanza fra la resistenza e il fulcro prende il nome
di braccio della resistenza, la distanza fra la resistenza e il fulcro prende il nome di
braccio della resistenza.
Fig.1
4.2.2 Leve vantaggiose
Una leva si dice vantaggiosa quando si riesce a muovere la resistenza con
una potenza minore (fig.1); questo si verifica quando il braccio della potenza è
maggiore del braccio della resistenza.
4.2.3 Leve indifferenti
Una leva si dice indifferente quando si riesce a muovere la resistenza con
una potenza uguale (fig.2); questo si verifica quando il braccio della potenza è Fig. 2
uguale al braccio della resistenza.
4.2.4 Leve svantaggiose
Una leva si dice svantaggiosa quando si riesce a muovere la resistenza con
una potenza minore (fig.3); questo si verifica quando il braccio della potenza è
minore del braccio della resistenza.
Fig.3 Fonte matematicaweb.it
4.3 Legge della leva
Nelle leve la lunghezza dei bracci della potenza e della resistenza sono
altrettanto importanti dei valori di quest’ultimi; in una condizione di equilibrio
bisogna tener conto di entrambi i valori
L’equilibrio si ottiene quando il braccio della potenza per la potenza è uguale
alla resistenza per il braccio della resistenza
R x br = P x bp oppure R : P = br : bp
4.4 Tipi di leva
Esistono tre tipi di leva
1. Leve di primo genere (fig. 4)
2. Leve di secondo genere (fig. 5)
3. Leve di terzo genere (fig. 6)
4.4.1 Leve di primo genere
Di definiscono leve di primo genere quelle leve in cui il fulcro si trova sempre
Fig. 4
fra la potenza e la resistenza.
Possono essere vantaggiose, svantaggiose o indifferenti a seconda della
lunghezza dei bracci della potenza e della resistenza.
4.4.2 Leve di secondo genere
Di definiscono leve di secondo genere quelle leve in cui il la resistenza si
trova sempre fra il fulcro e la potenza
Per definizione sono sempre vantaggiose
Fig. 5
4.4.3 Leve di terzo genere
Di definiscono leve di terzo genere quelle leve in cui il la potenza si trova Fig. 6
sempre fra il fulcro e la resistenza
Per definizione sono sempre svantaggiose
4.5 Il piano inclinato
Il piano inclinato è una macchina semplice che mi consente di far salire un
oggetto con una forza minore di quella del suo peso. Come si vede nella figura
8 la grande massa E è equilibrata dalla piccola massa F, come mai?
Vediamo quali sono gli elementi che abbiamo a in figura: la lunghezza l del
piano inclinato, altezza h, il peso di E e il peso di F.
Fig. 7
PE può essere scomposta in due componenti, una che la fa rotolare verso il
basso Pef (parallela al piano inclinato) e una perpendicolare al piano (che non
ha alcuna influenza sul nostro problema e può essere trascurata).
Per mantenere il corpo in equilibrio basta equilibrare questa forza ( Pef ) che è
minore di PE perciò il piano inclinato è vantaggioso. Per motivi che
risulteranno chiari alle scuole superiori e per non andare troppo oltre rispetto
a ciò che è richiesto ad un corso di scuola media possiamo concludere che la
condizione di equilibrio è data dalla relazione:
Fig. 8
PE x h = PEf x l ovvero
Pef = PE x h : l
Perciò il piano inclinato sarà tanto più vantaggioso quanto più sarà lungo.
4.5 La vite
La vite è una macchina semplice che deriva dal piano inclinato, come possiamo
verificare arrotolando un triangolo rettangolo di carta attorno a una matita:
l’ipotenusa del triangolo costituisce il piano inclinato che si arrotola attorno Fig. 9
alla matita, proprio come una vite.
Lo sforzo da compiere per far penetrare una vite è tanto minore quanto più
piccolo è il suo passo, ossia la distanza tra due spire.
4.6 Il cuneo
Il cuneo, formato dall’unione di due piani inclinati, scompone la potenza in
due direzioni, perpendicolari ai due piani che lo costituiscono; nel materiale in
cui è inserito, per esempio un ceppo di legno, vengono quindi applicate due Fig. 10
forze divergenti (fig. 10).
Il cuneo è una macchina vantaggiosa, perché la potenza è sempre inferiore alla
resistenza alla resistenza.
Sfruttano lo stesso principio del cuneo tutti gli utensili che servono per
spaccare o per tagliare, come le asce e le lame dei coltelli.
4.7 Carrucola semplice
La carrucola serve per sollevare pesi; si tratta di una particolare leva di primo
genere costituita da un disco girevole solcato intorno al quale viene fatta
passare una fune
La resistenza è il peso e la forza applicata è la potenza per sollevarlo
Dalla seguente figura (fig. 11) si vede come essa sia una leva indifferente
Si tratta comunque di uno strumento utile perché permette di far cambiare di Fig. 11 Fonte:Ivolda Vòllaro,
verso ad una forza e di sfruttare il perso del corpo per far salire un oggetto
"Natura senza misteri",
osservazioni ed elementi di
4.8 Carrucola mobile
carrucola mobile utilizza un sistema di carrucole di cui una è fissa e le altre scienze naturali per la scuola
media (volume II), Bergamo,
sono mobili; si tratta di una leva di secondo genere con la resistenza situata fra Minerva Italica, 1968
il fulcro e la potenza perciò è sempre vantaggiosa.
Nel caso più semplice della carrucola doppia si ha che il braccio della potenza è
il doppio di quello della resistenza perciò basta un forza di 50 N per
equilibrarne una di 100 N
L’aggiunta di ulteriori carrucole contribuisce a far diminuire la forza necessaria
per sollevare un corpo
4.9 Galileo e l’illusione di ingannare la natura
Quando riscoprirono e si diffusero gli scritti di Archimede e dei “geometri”
dell’antichità si diffuse fra gli ingegneri l’illusione di “ poter ingannare la natura
attraverso le leve”. C’è un celebre passaggio di Galileo tratto da “Le
Meccaniche” che mette in guardia da questa illusione “ Finalmente non è da
passare sotto silenzio quella considerazione, la quale da principio si disse esser Fig. 12
necessaria d'avere in tutti gì'instrumenti mecanici: cioè, che quanto si
guadagna di forza per mezo loro, altrettanto si scapita nel tempo e nella
velocità. Il che per avventura non potria parere ad alcuno così vero e manifesto
nella presente speculazione; anzi pare che qui si multiplichi la forza senza che il
motore si muova per più lungo viaggio che il mobile.”
Galileo Galilei «Le Meccaniche» 1594
4.10 Archimede
Quando si pensa alle macchine semplici è d’obbligo citare la figura di
Archimede quello che più di ogni altro ha tratto dalle macchine semplici il
massimo della loro potenzialità, tuttavia cercheremo ci mettere in evidenza
tutta la sua opera.
4.11 Archimede matematico
Nella “Misura del cerchio” Archimede dà la dimostrazione che “Ogni cerchio è
uguale ad un triangolo rettangolo che ha un cateto uguale al raggio e l’altro
uguale alla circonferenza del cerchio”
La più importante opera matematica di Archimede è certamente il suo trattato
“Della sfera e del cilindro” in cui dimostra che “la superficie del solido inscritto
è uguale ai 2/3 della superficie totale del cilindro; e così il volume della sfera è i
2/3 del volume del cilindro”. (Fig. 13)
La spirale oraria, una delle curve studiate con maggiore originalità da
Archimede (fig. 14), la spirale oraria è stata riprodotta nei capitelli ionici.
Fig. 13
4.12 Archimede scienziato
Ci sono molti aneddoti su Archimede e difficilmente si riesce a separare la
leggenda dalla realtà. Gerone, tiranno di Siracusa (la parola tiranno
nell’antichità non ha necessariamente il nostro significato anche se è da lì che
deriva; nel mondo greco si definiva tiranno colui che si appropriava del potere
(spesso con l’appoggio del popolo) rovesciando le oligarchie aristocratiche e
governando da solo la città) voleva sapere se la sua corona fosse veramente
d’oro e questo dubbio lo assillava perciò si rivolse ad Archimede per risolvere il
problema. Sembra che lo scienziato lo abbia risolto mentre veniva immerso (il
termine potrebbe anche essere corretto visto che uno degli aneddoti che Fig. 14
giravano riguardava il fatto che si lavava poco perché questo lo distoglieva dai
calcoli in cui era continuamente immerso) in una vasca d’acqua piena fino
all’orlo e la fuoriuscita dell’acqua dovuta al suo volume gli abbia aspirato il
modo per provare se la corona fosse veramente d’oro o meno (fig. 15).
4.13 Archimede ingegnere civile
Per dimostrare la potenza di Siracusa il tiranno Gedone fece costruire la più
grande nave mai costruita nel Mediterraneo, superata solo in epoca moderna.
(In figura 15 viene mostrata la nave Siracusya vista da prua in un modello
costruito nel 1980 in Sicilia da Guido Vallone).
L’originale era lungo probabilmente circa 120 metri, aveva 40 rematori per
ogni gruppo di remi, era fornita di 8 enormi torri e circondata da una palizzata Fig. 15 un’incisione di Cornelio
Meyer nel volume Nuovi
e da numerose macchine da guerra.
Il varo di una simile nave non doveva essere una cosa semplice e pertanto Ritrovamenti, Komarek, Roma
1696, carta 6
Archimede si mise all’opera affinché questo potesse essere fatto da un
numero limitato di persone attraverso un complesso sistema di carrucole e
pulegge (detto anche paranco) inventato da Archimede per spostare con un
piccolo sforzo anche pesi molto grandi, come quello della nave (nella
ricostruzione che ne fa Gian Maria Mazzuchelli in una tavola della sua
biografia di Archimede, Rizzardi, Brescia 1737 fig. 17)
Ad Archimede si deve l’invenzione della vite idraulica (un esemplare di vite di
Archimede costruito con legno di quercia e ritrovato in una miniera romana in Fig. 16
Spagna fig. 18). È stato calcolato che seguendo le istruzioni di Vitruvio con una
coclea (così si chiamava) si potevano sollevare di 1 metro quasi 200 litri
d’acqua al minuto; un altro esempio di impiego della vite idraulica
nell’irrigazione (fig. 19)
4.14 Archimede ingegnere militare
La leggenda vuole che Archimede con i suoi specchi incendiasse le navi
romane; questa leggenda ha il suo fondamento su una sua probabile scoperta
Fig. 18
cioè che gli specchi parabolici concentravano i raggi in un unico punto. Qui è
mostrato un litòbolo, una specie di catapulta o lanciapietre usata da
Archimede per la difesa di Siracusa (fig. 20)
Fig. 18
Fig. 19
fig. 20
fig. 21
Altro strumento leggendario legato al nome di Archimede è la mano di ferro la
cui funzione dovrebbe essere quella di afferrare le navi dalla prua, alzarle e
farle ricadere in acqua (fig. 21)
4.15 Archimede aneddoti
L’aneddoto più conosciuto vuole Archimede correre nudo sulle strade di
Siracusa gridando con entusiasmo per la città “Éureka! Éureka!” (Ho trovato!
Ho trovato!), in festa per avere scoperto come smascherare l’orefice che
aveva imbrogliato Gerone: qui è raffigurato Archimede che esce nudo dal
bagno è una delle pitture realizzate da Giulio Parigi fra il 1599 e il 1600 per lo Fig. 22
Stanzino delle Matematiche nella Galleria degli Uffizi a Firenze (fig. 22)
Nella figura 23 osserviamo il dipinto realizzato da Giulio Parigi nel 1600 in cui si
vede Archimede unto di olio mentre disegna figure geometriche sul suo corpo
(fig. 23). Si dice che egli, intento nei calcoli, trascurasse di fare il bagno e i suoi
servi dovevano prenderlo e costringerlo a forza poi, alla fine del bagno,
mentre lo ungevano di olio, secondo le abitudini dell’epoca, riprendeva la sua
attività preferita
Archimede, grande studioso del funzionamento di macchine semplici, non
poteva certo trascurare le leve, celebre è la sua frase …. “Datemi una leva e
punto d’appoggio e solleverò il mondo”. Il principio della leva di Archimede
Fig. 23
illustrato in un particolare settecentesco del soffitto dello Stanzino delle
Matematiche nella Galleria degli Uffizi a Firenze (fig. 24)
4.16 Archimede curiosità
Lo stomachion è un gioco attribuito ad Archimede basato su 14 pezzi differenti
che insieme formano un quadrato.
lo Stomachion che in qualche modo deve essere arrivato in oriente viste le
notevoli affinità fra questo gioco e il Tangram (fig. 25). Col tempo il numero
Fig. 24
dei pezzi sarebbe diminuito da 14 a 7 probabilmente per motivi filosofici visto
che la parola Tangram significa gioco delle sette saggezze (fig. 26)
fig. 26
Fig. 25
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