Download, 19 giugno 2014

PIL
Luigi Balletta, Salvatore Modica
31 luglio 2014
Indice
1
Contabilità
1
2
Prezzi, quantità, tempo e tassi
9
2.1
Indici di prezzo e inazione
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2
Scambi e beni a date diverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
2.3
Tassi di interesse
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3.1
Il tasso di interesse nominale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.3.2
Il tasso reale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3.3
Interesse e sconto fra
t
e
t+s.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3
Due esempi più elaborati
17
4
Esercizi
20
5
Soluzioni
23
1
Contabilità
Vedremo cos'è il PIL, come si calcola e come se ne segue l'andamento nel tempo attraverso esempi
concreti che lo inquadreranno da varie angolazioni. PIL sta per
Prodotto Interno Lordo, dove Interno
si capisce (si riferisce a una economia nazionale), Lordo poi lo vediamo, e Prodotto è il valore dei
beni nali prodotti. In Italia il PIL è circa 1500 Miliardi di Euro. Questo ovviamente non vuol dire
niente nché non si specica
in quanto tempo
PIL è stato dell'ordine dei 1500 Miliardi
usso.
si produce; la frase corretta è che negli ultimi anni il
l'anno.
Quindi, prima cosa da tenere presente: il PIL
È il reddito annuale della nazione.
1
è un
Esempio 1 (Beni Intermedi e Valore Aggiunto). In questa economia ci sono 3 settori che producono
con il solo lavoro (e la capacità produttiva/imprenditoriale): gli agricoltori che producono grano, i
mugnai che trasformano il grano prodotto in farina, e i panettieri che trasformano la farina in pane.
Nel PIL non possiamo contare grano e farina perché sono interamente distrutti nei vari stadi del
processo produttivo, cioè sono impiegati come beni intermedi; dobbiamo contare solo il valore del
pane, che è quello che eettivamente le persone in questa economia consumano.
Quindi il PIL è
Settore
Ricavi
Produttivo
(1)
Costo Beni
Valore Aggiunto
Intermedi
(1)-(2)
(2)
Grano
24
Farina
40
24
16
Pane
75
40
35
PIL
75
75,
24
75
uguale al valore dei beni
nali, cioè non usati come beni intermedi.
ricavi dei vari settori meno il valore dei beni usati nei processi produttivi:
40).
E' uguale ai
75 = (24 + 40 + 75) − (24 +
La cosa interessante è vedere quanto contribuisce ogni settore. Per esempio i mugnai hanno
trasformato grano, valore 24, in farina di valore 40; cioè nel loro processo produttivo hanno
valore
16.
Valore Aggiunto.
E così si chiama la dierenza fra ricavi e costi dei beni intermedi:
È esattamente quello dell'IVA, Imposta sul Valore Aggiunto - ne riparleremo.
è uguale ai ricavi, perché non hanno usato beni intermedi (soltanto lavoro).
vediamo che il PIL è la somma dei valori aggiunti dai vari settori:
aggiunto
Per gli agricoltori
Dall'ultima colonna
75 = 24 + (40 − 24) + (75 − 40).
Dunque
P IL =
dove
V Aj
è il valore aggiunto del settore
j,
X
j
V Aj
che mostra
da dove viene
Esempio 2 (Distribuzione del Reddito). Ora ci chiediamo
risposta non potrà che essere:
un esempio.
a chi va
il reddito prodotto.
ciò che viene prodotto, e la
a quelli che partecipano al processo produttivo.
Vediamolo con
Qui ci sono due settori, quello siderurgico e quello automobilistico, e di nuovo si
assume (molto irrealisticamente) che l'unico fattore produttivo sia il lavoro.
Nel secondo settore
si usa l'acciaio prodotto dal primo. Qui prendiamo in considerazione la remunerazione del fattore
produttivo (lavoro), e deniamo
protto
come residuo ricavo meno costi (come abbiamo fatto nella
parte di Microeconomia) che è di fatto la remunerazione dell'attività imprenditoriale.
2
Settore
Ricavi
Produttivo
(1)
Siderurgia
100
Automobili
210
PIL
210
Costo Beni
Costo
Intermedi
Lavoro
(2)
(3)
100
Protti
(1)-(2)-(3)
Valore
Aggiunto
(1)-(2)
80
20
100
70
40
110
210
Nota che per ogni settore, e quindi anche in aggregato, abbiamo
Profitto = Ricavo − Costo Beni Intermedi − Costo Lavoro = Valore Aggiunto − Costo Lavoro
dove il Costo Lavoro non sono altro che i Salari:
Costo Lavoro = Salari .
Da qui vediamo che
PIL = Somma Valori Aggiunti = Salari + Profitti
cioè, il PIL è distribuito a lavoratori e imprenditori:
Settore
Produttivo
Valore
Costo
Aggiunto
Lavoro
(1)
(2)
Protti
(1)-(2)
Siderurgia
100
80
20
Automobili
110
70
40
Somma
210
150
60
Questo ti dovrebbe ricordare il diagramma di usso visto all'inizio del corso: le spese per beni
nali, ricavi delle imprese, sono uguali ai redditi distribuiti alle famiglie (comprese quelle degli
imprenditori). Mettiamo qui la rappresentazione che si trova su Wikipedia (alla voce Circular Flow
of Income) come reminder:
Più in generale fra i fattori produttivi ci sono i beni capitali, e il reddito da capitale (altro costo) è
rappresentato dagli interessi. E c'è anche lo Stato che entra nella produzione indirettamente tramite
i beni pubblici di cui le imprese usufruiscono. Il costo di questo intervento sono le Imposte Indirette
- quelle sul valore aggiunto per l'appunto. Quindi la relazione di distribuzione diventa:
PIL = Somma Valori Aggiunti = Salari + Profitti + Interessi + Imposte Indirette
3
Nota che stiamo scrivendo
Profitto = Ricavo − Costo Beni Intermedi − Costo Lavoro − Costo Capitale − Imposte Indirette
e qui, a parte l'aggiunta delle imposte, c'è da notare l'accento che si pone sui costi dei beni intermedi
- che non abbiamo evidenziato in Micro - che vanno evidenziati per arrivare alla misura del PIL dove
vanno evitate le duplicazioni.
Esempio 3 (Tecnologia e Prezzi). Negli esempi precedenti abbiamo sommato
valori, ovvero somme
in euro che rappresentavano il valore del PIL, il valore aggiunto dei settori, salari, protti etc. In
questo esempio decomponiamo il valore introducendo tecnologia e prezzi, così possiamo fare Ricavo
= Prezzo
×
Quantità. Ci sono 2 settori, Grano e Brioche (Pane non può essere perché comincia
per P che indica prezzi). Indicando con
G, B, L
quantità di grano, brioche e lavoro, i due settori
impiegano rispettivamente le tecnologie
G(L) = 4L,
B(L, G) = min{L, G/5}
cioè: nel settore Grano 1 unità di lavoro ne produce 4 di grano, nel settore Brioche 1 brioche è
prodotta con 1 unità di lavoro e 5 di grano. La produzione è descritta nella seguente tabella:
Settori
Q.tà usata di
Grano
2500
Brioche
1200
I prezzi siano dati da
Settore
Produttivo
L
Q.tà usata di
G
Q.tà prodotta di
G
Q.tà prodotta di
10000
6000
(pL , pG , pB ) = (2, 1, 8).
Ricavi
1200
Dunque abbiamo
Costo Beni
Costo
Intermedi
Lavoro
Protti
Valore
Aggiunto
10000 × 1
1200 × 8
10000
6000 × 1
2500 × 2
1200 × 2
5000
Brioche
1200
3600
Somma
19600
6000
7400
6200
13600
Grano
B
Da questa tabella si vede quello che ci interessa. Il PIL è 13600, che possiamo calcolare come ricavi
meno costi beni intermedi:
netto degli utilizzi:
10000 × 1 + 1200 × 8 − 6000 × 1;
(10000 − 6000) × 1 + 12000 × 8,
nei processi; o come somma dei valori aggiunti,
reddito nazionale sono rispettivamente
o come somma dei valori prodotti al
dove 4000 sono le unità di grano non utilizzate
10000 + 3600.
7400/13600 = 54%
e
Inoltre, le quote di salari e protti nel
6200/13600 = 46%.
Esempio 4 (Come funziona l'IVA). L'IVA la paga il compratore. Se poi un compratore
a un altro
Il signor
B,
A
quest'ultimo paga ad
A
quello che
A
A
rivende
ha pagato più l'imposta sul valore aggiunto di
A.
trattiene quello che aveva pagato e versa la parte riguardante il proprio valore aggiunto
4
allo Stato. Se il prodotto arriva al consumatore nale lui paga l'imposta sul valore del bene, cioè
su tutto il valore aggiunto; e tramite i versamenti dei venditori quello che lui paga arriva allo Stato.
Vediamolo con i numeri, con IVA al 10% (CBI per Costi Beni Intermedi).
Settori
Ricavi
A
B
C
100
CBI
VA
Entrate IVA
Uscite IVA
Versamenti
100
10
130
100
30
13
10
10
3
200
130
70
20
13
7
Spesa
Consumatori
Gettito
200
20
Stato
Qui
B
paga
compra da
10
per
100e,
e alla ne
C
che li versa all'Erario, incassa
da
C , 10
B
se li tiene (quelli che aveva aveva pagato
che ha comprato, e
7.
I consumatori nali
pagano 20 e non scaricano nulla. In generale chi rivende non paga IVA, cioè
Entrate IVA=Uscite
riprende dai
dai
20
13
In gergo,
che incassa da
scarica
C.
10
13
Per l'IVA,
130
li versa.
B
200e.
vende ai consumatori nali per
che aveva pagato li
e
3
A
A
10
ad
A)
ad
20
di IVA su
C ,
nel senso che i
Questi a sua volta paga
che incassa dai consumatori recupera i
13
13
a
B
sui
che aveva pagato e versa
IVA+Versamenti all'Erario ; l'IVA la la paga tutta l'ultimo che compra e non rivende.
di questo meccanismo è che se per esempio
C
fallisce, cioè non crea valore aggiunto, lo Stato ha già
incassato la parte di imposta sul valore aggiunto creato da
all'atto dell'acquisto, ed
A
e
B
La cosa furba
A
e
B (13
su
130)
perché
C
li ha pagati
li hanno versati.
Esempio 5 (Il PIL è Lordo: gli Ammortamenti). Qui tabella non ce n'è, la situazione è semplice:
con lavoro e macchinari pre-esistenti si sono prodotti beni agricoli e macchinari nuovi per un valore
complessivo di 2000. Non sono stati usati beni prodotti nei processi produttivi. Quindi il PIL è 2000.
Ma i macchinari vecchi si sono in parte ammortati - radice etimologica
morte
stimata del loro valore di 300. Non ne dobbiamo tenere conto? Nel prodotto
conto. Ma il prodotto
-, con una perdita
lordo
non se ne tiene
netto, cioè al netto degli ammortamenti, è 2000 − 300 = 1700.
Si chiama per
l'appunto PIN, dove N sta per netto.
Di solito si usa il PIL nei conti economici nazionali, perché il valore degli ammortamenti è un
valore
stimato,
e spesso è anche manipolato nei bilanci per scelta strategica.
Poiché nelle varie
economie si può supporre che gli ammortamenti siano simili, l'errore in cui si incorre è lo stesso per
tutti e i dati internazionali sono paragonabili.
Includendo gli ammortamenti, la relazione di distribuzione diventa:
PIL = Somma VA = Salari + Profitti + Interessi + Imposte Indirette + Ammortamenti
5
Ovviamente gli ammortamenti non sono un reddito, ma sono implicitamente nel primo membro
quindi vanno messi anche al secondo per bilanciare.
Esempio 6 (Risorse e Impieghi). La relazione qui sopra risponde alla domanda
che viene prodotto.
a chi va
quello
Pensando al PIL come valori di beni prodotti, l'altro aspetto interessante è:
cosa ne facciamo di queste
risorse ?
Cioè, come le
impieghiamo ?
Che tipo di beni produciamo?
Qui non ci interessa una classicazione tipo beni di prima necessità e beni di lusso; ci occupiamo
del PIL perché siamo interessati al suo andamento nel tempo, in particolare alla sua crescita.
E
questa è determinata dalla crescita dei fattori produttivi, fondamentalmente capitale e lavoro. Ma
la forza lavoro cresce per cause determinate in buona parte al di fuori del sistema economico, quindi
bisogna concentrarsi sulla accumulazione di capitale, che è data dal usso di investimenti che si fanno
nell'economia. Quindi ci interessa sapere quanti investimenti facciamo, e quanto del prodotto invece
utilizziamo per soddisfare i nostri bisogni di consumo presente. La risposta alla domanda di sopra è
dunque che i beni prodotti vengono impiegati fondamentalmente in due modi: come beni di
e come beni di
investimento 1 .
consumo
Nota che gli investimenti sono investimenti in capacità produttiva,
quindi in ultima analisi in consumo futuro. Essi includono, oltre al capitale sso, anche la variazione
delle scorte di materie prime e prodotti niti, che è quindi vista come un impiego delle imprese.
Quindi gli impieghi li possiamo pensare come consumo presente e consumo futuro. Denotando con
C
ed
I
il valore di consumi e investimenti, abbiamo dunque
PIL = C + I.
Le cose sono un minimo più complicate perché mancano Stato e rapporti con l'estero. Gli acquisti
di beni e servizi da parte delle Amministrazioni Pubbliche sono di solito contabilizzati a parte, e si
indicano con la lettera
G.
È importante ricordare che
sono valutati al costo :
per esempio il lavoro
di un docente universitario vale nel PIL quanto il suo stipendio, sia che sia bravo sia che non lo sia.
Il motivo di questa convenzione è che per molte attività dello Stato è dicile quanticare l'output
(si pensi alla difesa del territorio). Inoltre, spesso non esiste un mercato, e quindi non c'è un prezzo
di vendita a cui valutare la quantità prodotta. È un problema che si sta cominciando ad arontare
seriamente. I rapporti con l'estero riguardano qui Importazioni ed Esportazioni, dove le importazioni
sono di fatto risorse a nostra disposizione, mentre le Esportazioni sono un possibile impiego. Quindi
la relazione generale fra risorse e impieghi è la seguente:
PIL + Importazioni = C + G + I + Esportazioni .
Questa relazione dà luogo a quello che si chiama proprio Conto delle risorse e degli Impieghi, fonda-
1 Nota
che questa classicazione è puramente contabile.
ovvero è sempre vera perché abbiamo
denito
L'identità che ne deriva è quindi un'identità contabile,
il PIL come essere composto da beni di consumo ed investimento.
6
mentale in tutte le statistiche economiche. Quella di sotto riguarda l'Italia nel 2010 ed è pubblicata
dall'Istat, i valori sono quelli veri. Nota la variazione delle scorte sotto la voce investimenti, e che
gli ammortamenti non sono cosa da poco.
Conto Economico delle Risorse e degli Impieghi, Anno 2010 (Milioni di Euro)
Risorse
2 000 535.5
Prodotto Interno Lordo
Importazioni
Impieghi
1 556 028.6
2 000 535.5
Spesa per Consumi
444 506.9
1 268 372.7
Famiglie
934 293.1
Amministrazioni Pubbliche
334 079.6
Investimenti
317 368.4
Investimenti ssi netti
41 836.3
Ammortamenti
264 062.4
Variazione delle scorte
9 104.5
Oggetti di valore
2 365.3
Esportazioni
In conclusione, indicando le esportazioni nette con
414 794.3
NX ≡ Esportazioni − Importazioni , possiamo
scrivere il PIL come
Y = C + I + G + N X.
Esempio 3 (Continua: Tecnologia e Prezzi). Nell'esempio 3 come è ripartito il PIL fra consumi e
investimenti? Le brioche sono chiaramente consumo, mentre il grano non utilizzato nella produzione
di brioche verrà piantato per ottenere altro grano in futuro, quindi è investimento.
P IL = 13600
è diviso in
C = 9600
(valore delle brioche) ed
I = 4000
Dunque il
(valore del grano non
utilizzato come bene intermedio nella produzione del bene di consumo).
Esempio 6 (Continua: I Risparmi). Come denire
Risparmio ?
La risposta è semplice: quello che
non si consuma. Per abbreviare cominciamo a usare la lettera che si usa sempre per il PIL, la
caso semplice
Y = C + I.
Si denisce quindi risparmio
da cui direttamente discende
I = S,
S (S
per Savings) la dierenza
l'uguaglianza fra risparmi e investimenti.
consumato è per denizione investito,
Y.
Nel
S := Y − C ,
Quello che non è
se non in macchinari in variazione delle scorte.
Nel caso
generale abbiamo
S := Y − C − G − NX ,
da cui di nuovo la relazione
S = I.
Altra cosa interessante è che indicando con
T
le imposte
complessive (dirette e indirette), il reddito eettivamente disponibile ai cittadini per consumo o
risparmio è
Y − NX − T,
da cui dalla relazioni di sopra segue
S = (Y − NX − T − C) + (T − G) = Risparmi Privati + Risparmi Pubblici ,
dove questi ultimi sono la dierenza fra le entrate pubbliche
T
e le spese
G.
Esempio 6 (Continua: Risparmi Investimenti e Decit Pubblico). Il decit pubblico in un certo
anno è la dierenza fra uscite ed entrate pubbliche:
7
G − T.
Ricordando che il totale dei risparmi è
uguale agli investimenti:
(Y − NX − T − C) + (T − G) = I
otteniamo
Y − NX − T − C = I + (G − T )
che dice che il risparmio privato nanzia investimenti produttivi e decit pubblico.
Esempio 7 (Variazioni del PIL nel tempo: PIL nominale e PIL reale). Come già osservato, il PIL si
misura per vedere come varia nel tempo. E qui cominciano i problemi, perché nel tempo variano le
quantità ma anche i prezzi, quindi si deve capire quanto una data variazione di valore, per esempio
in aumento, rietta un più alto tenore di vita, maggiori investimenti eccetera, e quanto sia invece
l'eetto di un aumento del livello dei prezzi. Vediamo un esempio, poi torniamo sull'argomento nella
prossima sezione.
Tasso
PIL
Tasso
Cre-
Prezzi
Cre-
scita
2005
scita
1350
93%
850
21%
1.59
1600
18%
800
-6%
2
Q.tà
Prezzo
Q.tà
Prezzo
Pizze
Pizze
Pane
Pane
2005
100
5
200
1
700
2006
150
7
100
3
2007
120
10
200
2
Anno
PIL
nominale
700
t
e
t+1
PIL
1
I tassi di crescita sono deniti come incrementi relativi. Per qualunque variabile
fra
Deatore
x, il tasso di crescita
è denito come
xt+1 − xt
.
xt
Per esempio la crescita del PIL
nominale
(1350 − 700)/700 = 0.928 = 92.8%.
(cioè calcolato a prezzi correnti) fra il 2005 e il 2006 è
Il problema è che nel frattempo sono anche aumentati i prezzi.
Per apprezzare le variazioni nella produzione reale isolando l'eetto della variazione dei prezzi si
calcola il PIL nei vari anni a prezzi costanti, che si chiama PIL
reale.2
Valutando la produzione a
prezzi costanti dell'anno 2005 si vede che i tassi di crescita cambiano in modo rilevante.
Per scomporre la variazione totale in variazione del PIL reale e variazione dei prezzi si denisce
un indice
reale
Pt
PILbt ,
del livello dei prezzi - detto
deatore del PIL - dividendo PIL nominale PILt
per il PIL
dove il soprascritto indica che quest'ultimo è calcolato a prezzi di un anno base
Pt :=
b:
PILt
.
PILbt
Il rapporto riette la variazione dei prezzi perché le quantità sono uguali sia al numeratore che
al denominatore. Il deatore nel nostro esempio è riportato nell'ultima colonna della tabella. La
2 Calcolare
il PIL
a prezzi costanti
signica valutare la produzione al tempo
t, t + 1, t + 2
arbitrariamente scelto, che si denisce anno base. Nell'esempio l'anno base è il 2005.
8
etc. ai prezzi di un anno
scomposizione a questo punto è semplice, perché da
PILt = Pt · PILbt
valore=prezzo per quantità - si ottiene subito, per due periodi diversi
PILt
=
PILs
- che ricorda la relazione
s
e
t,
Pt PILbt
Ps PILbs
in cui il primo fattore riette la variazione del livello dei prezzi, il secondo la variazione del PIL
reale. Nel nostro esempio, fra il 2006 e il 2007 abbiamo
1.18 =
1600
2 800
=
= 1.26 · 0.94.
1350
1.59 850
Esempio 7 (Continua: Caveat). La estrazioni delle variabili reali richiede sempre scelte in qualche
misura arbitrarie. Nel caso del PIL reale la scelta arbitraria riguarda l'anno base, che può condizionare anche pesantemente i risultati. Vediamolo in un esempio estremo cambiando i numeri nella
tabella di sopra.
Q.tà
Prezzo
Q.tà
Prezzo
Pizze
Pizze
Pane
Pane
2005
2
1
1
2
4
2006
1
2
2
1
4
Anno
PIL
Tasso
Tasso
PIL
Tasso
PIL
Cre-
Prezzi
Cre-
Prezzi
Cre-
scita
2005
scita
2006
scita
0
5
25%
4
4
5
-20%
Ricapitolando
Abbiamo calcolato il PIL come somma dei valori dei beni prodotti al netto degli utilizzi, e somma dei
valori aggiunti. Lo abbiamo scomposto come somma dei redditi dei fattori produttivi (con protto
come residuo). E abbiamo classicato gli impieghi delle risorse prodotte nelle due categorie generali
di consumo e investimento (che serve al consumo futuro). Negli ultimi esempi abbiamo cominciato
a parlare di tempo, prezzi e quantità, e di questo continuiamo a parlare nella sezione che segue.
2
Prezzi, quantità, tempo e tassi
Cominciamo col riscrivere il PIL esplicitamente in generale, e in forma più compatta. Come abbiamo
visto PIL è valore, cioè prezzi per quantità, del vettore dei beni nali. Ci siano
ed
m
imprese
j = 1, 2, . . . m.
Siano
Xi (j), Xiint (j)
e usato come bene intermedio dall'impresa
j.
le quantità del bene
X
j
Xi (j),
beni
Xiint =
9
X
j
Xiint (j).
i = 1, 2, . . . n,
rispettivamente prodotto
Dunque le quantità totali del bene
prodotte e usate nei processi produttivi sono
Xi =
i
n
i
rispettivamente
Se
p = (p1 , p2 , . . . pn )
è il vettore dei prezzi abbiamo dunque (la prima relazione per denizione, la
seconda sostituendo da sopra e invertendo le sommatorie, la terza di nuovo per denizione)
PIL
X
X
pi Xi −
pi Xiint
i
i
i
X hX
X
=
pi Xi (j) −
pi Xiint (j)
j
i
i
X
=
VAj
=
j
dove
con
VAj
è il valore aggiunto dell'impresa
X = (X1 , . . . Xn )
il vettore dei beni
usate nei processi), così
pX :=
P
i
pi Xi .
PIL =
P
i
pi Xi .
A questo punto se
Xt
j . Adesso semplichiamo un po' la notazione.
nali
Denotiamo
prodotti nell'economia (già al netto delle quantità
E usiamo la notazione matriciale per questo tipo di somme:
è il vettore dei beni nali prodotti a
t
e
pt
è il corrispondente
vettore dei prezzi possiamo scrivere semplicemente
PILt = pt Xt .
2.1 Indici di prezzo e inazione
Il deatore del PIL che abbiamo visto non è altro che
Pt =
pt Xt
:= PtPA .
pb Xt
Numeratore e denominatore sono di fatto medie dei prezzi ponderate con pesi
Xit /
P
i
Xit .
Il
problema è che quando costruiamo la sequenza degli indici così ottenuti nel tempo i pesi vanno
cambiando. L'indice così ottenuto - con pesi al tempo
che l'ha inventato. Per questo lo abbiamo chiamato
t
- si chiama di Paasche, dal signor Paasche
PtPA .
3
Un indice più puro della variazione dei prezzi (quello che usa il Fondo Monetario Internazionale)
si ottiene lasciando ssi i pesi, usando per esempio le quantità prodotte al tempo base
b,
cioè
Xb ,
in
modo che calcolando l'indice nel tempo variano soltanto i prezzi. Si ottiene così l'indice di prezzo di
Laspeyres (il nome del suo inventore), che si chiama anche
PtLA =
Indice dei Prezzi al Consumo :
pt Xb
.
pb Xb
Come vedremo è questo l'indice che emerge in modo naturale quando vogliamo paragonare il potere
3 Un
numero indice è il rapporto tra il valore di una determinata variabile ad un certo tempo ed il valore della stessa
variabile ad un tempo di riferimento. Quindi, se l'indice ha valore maggiore di 1 la variabile che stiamo misurando è
cresciuta rispetto al periodo di riferimento.
10
d'acquisto in periodi diversi (vedi esempio 9) o quando dobbiamo denire il tasso di interesse reale.
Nota 1.
4 Né l'indice di Laspeyres né quello di Paasche sono ad 'utilità costante', cioè non tengono
conto dell'eetto sostituzione. Per quello di Laspeyres per esempio si osserva che
necessario a consumare
Xb
al tempo t, ma con quel reddito ai prezzi
pt
pt Xb
è il reddito
i consumatori sceglierebbero
un altro paniere collocandosi su una curva di indierenza più alta. Per mantenerli sulla curva di
indierenza di
Xb
basterebbe un reddito inferiore al numeratore dell'indice di Laspeyres (ricorda il
discorso sulla compensazione monetaria quando abbiamo studiato gli eetti reddito e sostituzione).
Allo stesso modo si può osservare che nell'indice di Paasche è il denominatore ad essere più alto di
quanto basterebbe per mantenere i consumatori sulla curva di indierenza di
Xt .
Vedi esercizio 9.
Nella realtà della contabilità nazionale, quando si considerano indici di prezzi su periodi lunghi
i pesi si fanno variare comunque, ottenendo indici concatenati. Dettagli nell'esempio 12.
Nota 2.
Indici analoghi si possono costruire per misurare variazioni di quantità, pesandole con prezzi.
Per esempio l'indice di quantità di Laspeyres
QLA
t
QLA
=
t
Osserva che il deatore del PIL
PtPA
tiene i prezzi ssi a
pb :
pb Xt
.
pb Xb
è la variazione totale in rapporto alla variazione (Laspeyres)
delle quantità:
PtPA =
pt Xt /pb Xb
QLA
t
cioè variazione del PIL depurata dalla variazione delle quantità. In questo senso è un indice dei
prezzi calibrato sul PIL.
Qualunque sia l'indice
Pt
utilizzato, il
tasso di inazione πt
da
t
a
t+1
è denito come il tasso
di crescita dell'indice:
1 + πt =
Pt+1
.
Pt
Ovviamente la denizione dipende da quale indice del livello dei prezzi si usa. Per esempio se si usa
Laspeyres, con
X = Xb ,
risulta
1 + πt = pt+1 X/pt X
(giusto?).
Analogamente si denisce il tasso di inazione fra due periodi
s, t:
l'inazione
πt,t+s da t a t + s,
è allora denita da
1 + πt,t+s =
4 In
Pt+s
.
Pt
questo e nei capitoli che seguono le Note sono di fatto approfondimenti. Le Osservazioni invece saranno
parti essenziali.
11
πt,t+s = (Pt+s − Pt )/Pt
t + 1.
La relazione fra
è la variazione relativa dei prezzi. Nota che
πt,t+s
e i tassi di inazione fra
t
e
t+s
πt ≡ πt,t+1 ,
l'inazione fra
t
e
è la seguente, come è facile vericare:
1 + πt,t+s = (1 + πt ) · (1 + πt+1 ) · . . . · (1 + πt+s−1 ).
2.2 Scambi e beni a date diverse
Per andare avanti conviene usare una abbreviazione comoda. Se
vieremo x unità di
a
con
x a;
a
è un bene o un paniere abbre-
e per dire che queste si scambiano con
y
unità di
b
(cioè con
y b)
scriveremo
x a ' y b.
Assumeremo che questa relazione sia
per ogni
p
k > 0.
nel senso che
xa ' yb
se e solo se
kx a ' ky b
c ha prezzo
3 c ' 3p e,
L'interpretazione è ovvia. Dalla linearità segue per esempio che se il bene
in Euro (una unità di
cioè 3 unità di
lineare,
c
c
si scambia con
si scambieranno con
3p
anche che dallo stesso argomento segue
p
unità di Euro), cioè
1 c ' p e,
allora
unità di Euro; e così per ogni multiplo positivo. Osserva
1 e ' 1/p c
(se una unità costa 2 Euro, con 1 Euro ne
viene mezza unità).
È importante realizzare che un bene è denito, oltre che dalle sue speciche siche, dall'istante
in cui è disponibile: un Euro oggi è un bene diverso da un Euro fra 10 anni, e lo stesso vale per
una mela.
Parlando di tassi di interesse questa precisazione sarà indispensabile.
metteremo come apice il tempo in cui il bene è disponibile.
e ,e
t
t+1
e così via; e lo stesso per un paniere
Mettendo le date, se
pt
è il prezzo di
1 et+1 '
c
X,
parleremo di
al tempo
1 t+1
c ,
pt+1
t
Quindi per esempio parleremo di
X t , X t+1
- cioè il prezzo di
α et+1 '
Per esplicitarla
eccetera.
ct
- sarà per esempio
α t+1
c .
pt+1
(1)
Esempio 8. L'indice di Laspeyres è alla base delle contrattazioni sulle indicizzazioni delle retribu-
zioni: Xb mi costava
perché a prezzi
pt
pb Xb , ora mi costa pt Xb , mi devi dare la dierenza
tu consumi un paniere diverso da
Xb .
Precisamente:
- No ti devo dare di meno
PtLA è uguale al numero di
Euro necessari a comprare a t la stessa frazione di Xb che si comprava a b con 1 Euro.
1 Xbb ' pb Xb eb da cui per linearità (1/pb Xb ) Xbb ' 1 eb ;
' pt Xb et da cui (1/pb Xb ) Xbt ' (pt Xb /pb Xb ) et = PtLA et .
Abbiamo in eetti
1 Xt
b
d'altra parte
Esempio 9 (Conversione di somme in periodi diversi). Quanto varrebbe oggi in termini di potere
d'acquisto un stipendio di
10000
Euro l'anno di vent'anni fa?
12
Intuitivamente, la risposta è devi
tener conto dell'inazione. In generale la domanda è: si ha una certa quantità
t,
k
di Euro al tempo
t + s? In termini più
t
precisi la domanda può essere formulata come segue: ssa un paniere X = Xb ; con k e si comprava
t
' α X ; quanto ci vorrebbe
una frazione α di X , cioè, nella notazione appena introdotta, k e
t+s
0
0
ora per ricomprarla, cioè, per quale k vale k e
' α X ? La risposta è pronta nella denizione
LA t+s
LA
LA t
e
comprano la stessa
e e Pt+s
di Pt
, per linearità. Infatti dall'Esempio 8 segue che Pt
per esempio uno stipendio; quanto varrebbe in termini reali questa somma a
α di Xb , quella che si comprava a b con un Euro. Per linearità saranno quindi equivalenti
t
LA
LA
LA t+s
e , e quindi anche k et e kPt+s
/PtLA et+s . Ovviamente è opportuno
anche 1 e e Pt+s /Pt
t
t+s
LA
scegliere Pt = Pt
, nel qual caso il risultato dice che k e sono equivalenti a k(1 + πt,t+s ) e
:
frazione
il moltiplicatore è l'eetto inazione fra
t
e
t + s.
2.3 Tassi di interesse
Il tasso di interesse nominale è il prezzo della moneta oggi in termini di moneta domani: se un
Euro oggi è scambiabile con
1.02
Euro domani il tasso di interesse è
0.02 = 2%.
Per il tasso reale
vale lo stesso discorso quando però si scambiano beni reali.
2.3.1
Il tasso di interesse nominale.
Il tasso di interesse nominale
it
da
t
a
t+1
è denito
dalla relazione
1 et ' 1 + it et+1
che dice che un Euro a
t
è scambiabile con
1 + it
Euro a
t + 1.
Nota, dalla linearità, anche lo sconto:
1 t
e
1 + it
1 et+1 '
che dice che in cambio un Euro domani puoi avere solo
1/(1 + it )
Euro oggi.
Esempio 10 (Il Prezzo dei BOT). Il BOT è un pezzo di carta emesso al tempo
Al tempo t + 1 ti darò un Euro .
Quanto vale? Se
PtB
è il suo prezzo (in Euro a
t
su cui sta scritto
t),
stiamo dicendo
PtB et ' 1 et+1 ,
che per linearità è equivalente a
1 et ' 1/PtB et+1 .
PtB =
Dalla denizione di
1
.
1 + it
13
it
segue allora:
Nota che prezzo alto vuol dire interesse basso (e viceversa).
2.3.2
Per il tasso reale
Il tasso reale.
Chiamiamo
1 unità di
cominciamo dal denirlo per un singolo bene
rtc il tasso di interesse reale in termini del bene c.
c
a
t
la relazione fra
è scambiabile con
rtc
ed
it ?
1 + rtc
possono essere scambiati con
essere scambiati con
c
unità di
a
c.
La denizione è analoga alla precedente:
t + 1.
Cioè:
1 ct ' 1 + rtc ct+1 .
Qual è
L'idea è che il tasso reale è il tasso nominale depurato dell'inazione.
Per vederlo precisamente: 1 unità di
t
rt ,
c
t
a
pt (1 + it )
pt (1 + it )/pt+1
a
pt
può essere scambiata con
t + 1,
unità di
c
a
ed inne
t + 1.
pt (1 + it )
Euro a
t;
inoltre
Euro al tempo
pt
t+1
Euro a
possono
In altri termini (guarda gli esempi in (1)):
pt (1 + it ) t+1
1 + it t+1
1 ct ' pt et ' pt (1 + it ) et+1 '
c
=
c .
pt+1
pt+1 /pt
Dunque il tasso reale è
prezzo di
c,
1 + rtc = (1 + it )/(pt+1 /pt ),
che possiamo chiamare
nell'anno base
rt
diviso l'inazione sul
1 + it
.
1 + πtc
denito rispetto a un paniere sso
b),
1 + it
πtc :
1 + rtc =
Il tasso reale
cioè il tasso nominale
X
(per esempio il vettore dei beni prodotti
è dato dalla relazione
1 X t ' 1 + rt X t+1 .
E la relazione fra
it
ed
rt
è praticamente già fatta:
1 X t ' pt X et ' (1 + it )pt X et+1 =
Nota che qui
p
t+1
1 + it
1 + it
X .
pt+1 X et+1 '
pt+1 X/pt X
pt+1 X/pt X
rappresenta il vettore di prezzi dei beni presenti nel paniere
LA
pt+1 X/pt X = Pt+1
/PtLA = 1 + πt ,
scambio di
c
i = 200%
e
Dall'uguaglianza
otteniamo la relazione generale
1 + rt =
Per esempio se
X.
π = 100%
sarà
1 + it
.
1 + πt
r = 50%
(verica con la formula e immaginando lo
in pratica).
Per numeri piccoli vale la semplice approssimazione
grandi, vedi l'esempio appena fatto dove
rt = it − πt
i − r = 100% 6= 50%),
di entrambi i membri e usando l'approssimazione
che si ottiene prendendo i logaritmi
ln(1 + x) ' x.
14
(che non funziona con numeri
Esempio 11 (Valutazione degli investimenti). Un progetto di investimento comporta dei costi
presenti
C
t
a
e un usso di ricavi futuri frutto di produzione
yt+1 , yt+2 , . . . yt+T ,
e il problema è
valutare questo usso per vedere se copre il costo. Prendiamo il caso semplice che si produca solo
a
t+1
(cioè
T = 1).
parte incasserò
pt+1 yt+1 et+1 ;
C ≤ pt+1 yt+1 /(1 + it ).
C
Prendendo a prestito
paniere sso
X
pt+1 .
(1 + it )C et+1 ,
quindi l'investimento è da realizzare se
Più alto è il denominatore
rt
quindi sembrano esserci due elementi contro,
vende a prezzi
oggi devo ridare
(1 + it )C ≤ pt+1 yt+1 ,
1 + it = (1 + rt )(1 + πt )
e
πt .
cioè se
più basso il rendimento,
Ma l'inazione è anche a favore perché si
y
Per vederlo meglio assumiamo che
con cui si calcola il livello dei prezzi:
quando d'altra
aumenti di prezzo più o meno come il
pt+1 yt+1 /pt yt+1 ≈ pt+1 X/pt X = 1 + πt .
Allora
la relazione di prima diventa
C≤
pt yt+1 (1 + πt )
yt+1
= pt
,
(1 + rt )(1 + πt )
1 + rt
che dice che in questo caso l'investimento si può valutare usando prezzi costanti per il bene e
scontando le quantità future al tasso reale. Dato
pt yt+1 ,
più basso è
rt
più l'investimento diventa
conveniente. Questo è importante. Lo rivedremo più avanti nei modelli di Macroeconomia in cui si
assumerà che gli investimenti dipendono dal tasso reale.
2.3.3
Interesse e sconto fra
prezzo di
et+1
in termini di
lo sconto reale è dato da
et .
t
e
t+s.
Abbiamo già avuto modo di notare che
Si chiama convenzionalmente sconto, da
1/(1 + rt ).
da t a t + s
1 et ' 1 + it,t+s et+s ,
dove per il caso reale abbiamo ancora ssato
1 + rt,t+s ]
è il prezzo di
et
[risp.
a
t.
è il
Analogamente
Il discorso di interesse e sconto si estende facilmente a più
periodi. Deniamo interesse nominale e reale
[risp.
t+1
1/(1 + it )
X t]
con le relazioni
1 X t ' 1 + rt,t+s X t+s ,
X = Xb
(vettore PIL al tempo
in termini di
et+s
[risp.
X t+s ].
b).
Dunque
1 + it,t+s
Abbiamo per esempio
1 et ' 1 + it et+1 ' (1 + it ) · (1 + it+1 ) et+2 ,
cioè
1 + it,t+2 = (1 + it ) · (1 + it+1 ).
Nota che
it = it,t+1
e analogamente
rt = rt,t+1 .
In modo analogo (se vuoi essere preciso, per induzione) si trovano facilmente le relazioni seguenti:
1 + it,t+s = (1 + it ) · (1 + it+1 ) · . . . · (1 + it+s−1 )
1 + rt,t+s = (1 + rt ) · (1 + rt+1 ) · . . . · (1 + rt+s−1 ).
15
E da queste segue immediatamente che
1 + rt,t+s =
Per lo sconto da
t + s a t si divide
per
1 + it,t+s
1 + it,t+s
.
1 + πt,t+s
o per
1 + rt,t+s
a seconda che si voglia usare interesse
nominale o reale. La dierenza è importante, come vedremo subito nell'esempio che segue.
Osservazione.
Nel caso di tassi costanti
it+s = i, rt+s = r
1 + it,t+s = (1 + i)s ,
Nota 3.
Nell'esempio 9 abbiamo concluso che
s≥0
per ogni
le formule si semplicano:
1 + rt,t+s = (1 + r)s .
1 et
è `equivalente' a
che entrambe le quantità comprano la stessa frazione di dato
X.
(1 + πt,t+s ) et+s
È bene osservare che questo non
implica che le due quantità di Euro siano scambiabili. Per esempio se it,t+s è alto e poi
basso,
1 et
è scambiabile con
quella che si comprava a
t
(1 + it,t+s ) et+s
con un Euro.
nel senso
con cui si comprerà una frazione di
πt,t+s
X
risulta
più alta di
Esempio 12 (PIL reale a valori concatenati). Questo non è per gli esami, ma giusto per saperlo,
il PIL reale nella pratica dei conti pubblici si calcola in un modo un po' più sosticato di come
abbiamo visto noi, usando indici concatenati. Lo mettiamo qui così se ti capita di doverlo sapere
ce l'hai a portata di mano. Il punto di partenza è che possiamo sempre scrivere
ps Xt =
ps Xt
ps Xs
ps Xs
cioè: il PIL reale (come calcolato da noi) al tempo
tempo
0
t con base t = s è il prodotto del PIL nominale al
per l'indice Laspeyres della variazione delle quantità - che ha senso se ci pensi un attimo.
Questo metodo, come abbiamo visto nella sezione precedente, è particolarmente sensibile alla scelta
dell'anno base, che diventa un problema rilevante quando si utilizza un anno base relativamente
lontano dall'anno per cui stiamo calcolando il PIL. L'uso degli indici concatenati si propone di
superare questo limite sostituendo l'indice
ps Xt /ps Xs
con un indice di variazione di quantità meno
ancorato all'anno base, che tiene conto delle variazioni in tutto il periodo considerato. Il metodo degli
indici concatenati consiste nel calcolare una variazione percentuale
tra anni adiacenti,
ottenendo in
questo modo una successione di tassi di variazione, per poi calcolare il PIL reale rispetto ad un anno
di riferimento come prodotto tra il PIL nominale nell'anno di riferimento ed il tasso di variazione.
5 immaginando di dover calcolare il PIL reale per
Illustriamo schematicamente la procedura
5 Dal
2005 l'ISTAT utilizza questa procedura per il calcolo del PIL reale.
16
{1, .., T }.
l'intervallo
1. Si calcola in ogni anno l'indice di Laspeyres delle quantità utilizzando i prezzi del periodo
immediatamente
precedente
2. Si concatenano gli indici.
fra
1
e
3. Preso
t
s
QLA
t,t−1 = pt−1 Xt /pt−1 Xt−1 .
6 In ogni periodo t, l'indice concatenato della variazione delle quantità
è la produttoria degli indici al punto 1 dall'inizio della serie no a t:
ItC =
Q
i≤t
QLA
i .
come anno di riferimento, si prende come indice di variazione delle quantità fra
il rapporto
ItC /IsC ,
e si denisce PIL reale a
t,
base
s
quanto fatto prima come prodotto fra PIL nominale ad
- chiamiamolo
P ILt,s
s
e
t
analogamente a
s, P ILs , per questo indice di variazione
delle quantità:
P ILt,s =
3
ItC
P ILs
IsC
Due esempi più elaborati
Esempio 13 (Economia dei servizi). In questo esempio introduciamo incertezza e rischio per vedere
come le assicurazioni, che sono una parte importante del settore dei servizi, entrano nel PIL - cioè
cosa producono.
Per farlo considereremo un'economia prima e dopo l'entrata di una impresa di
assicurazioni.
La situazione di partenza è la seguente. Ci sono quattro famiglie. La quarta digiuna. Le prime
tre producono ciascuna 3 mele, ma una di loro a caso ne perde 2. Il calcolo del PIL è banale: alla
ne dell'anno ci sono
9−2=7
mele, quindi - in termini di mele - il PIL è 7.
Nella seconda economia la quarta famiglia - che chiameremo Lina - propone ad ognuna delle
altre il seguente contratto di assicurazione: Tu mi dai una mela, e se ne perdi 2 te le dò io. È una
proposta ragionevole? Senza assicurazione la famiglia produttrice di mele ha
e
1
con probabilità
1/3;
il valore atteso
(2/3) · 3 + (1/3) · 1 = 2 + 1/3
quell'uno; con l'assicurazione invece c'è la sicurezza di avere
2.
3
è più di
con probabilità
2,
2/3,
ma c'è il rischio di
Se si è abbastanza avversi al rischio
si può accettare. Assumiamo che questo sia il caso per le tre famiglie produttrici di mele. Allora:
7 Alla ne dell'anno
ognuna dà una mela a Lina; Lina incassa 3, e dà 2 a quella che sore la perdita.
le tre famiglie hanno 2 e Lina ha 1, sicché di nuovo
P IL = 7.
Tutti stanno meglio (le famiglie
produttrici perché altrimenti non avrebbero accettato il contratto) ma il PIL non è aumentato, è
solo redistribuito: mentre prima i valori aggiunti erano
- adesso sono
6 In
(2, 2, 2, 1).
- con l'1 in uno dei primi tre posti
Lina si è guadagnata la sua parte.
pratica si fa la stessa cosa che abbiamo fatto per calcolare l'interesse o l'inazione su più periodi,
(1 + r1 ) · (1 + r2 ) . . . (1 + rt+s−1 )
7 Se
(3, 3, 1, 0)
o
1 + πt,t+s = (1 + πt ) · (1 + πt+1 ) · . . . · (1 + πt+s−1 ).
vuoi, la famiglia che sore perdita potrebbe essere anche Lina - non cambia niente.
17
1 + rt,t+s =
A questo punto viene spontaneo chiedersi: ma allora il valore aggiunto del settore assicurativo
è sempre tolto a qualcun altro senza reale aggiunta al PIL? La risposta è No.
Cambiamo i
numeri dell'esempio e vediamo come in pratica il settore assicurativo può accrescere il PIL. In
questa economia ognuna delle tre famiglie di poco fa può produrre
subisce una perdita di
11
che la porta a
Qui il valore atteso della produzione è
−6
5
mele, ma una di loro a caso
(che prenderebbe dalle scorte, investimento negativo).
(2/3) · 5 + (1/3) · (−6) = 1 + 1/3
ma c'è quel
−6
che pesa,
ed essendo le nostre famiglie avverse al rischio preferiscono non produrre aatto, cioè preferiscono
0
con certezza alla lotteria
producessero,
(5, −6)
con probabilità
(2/3, 1/3).
Quindi,
5 + 5 − 6 = 4, ma è zero perché non vogliono rischiare.
P IL = 0.
Potrebbe essere, se
Entra in campo Lina con la sua
proposta: Dammi 4 mele, e se sori la perdita ti dò io le 11. Accettando la famiglia avrà adesso
1 mela di sicuro, che è più di
0
di sicuro che era già meglio della produzione aleatoria considerata
poco fa - quindi accetta, e produce tranquilla. Lina d'altra parte incassa
11
3 · 4 = 12
di premi e paga
in rimborsi quindi ha un valore aggiunto di 1. E anche per gli altri il valore aggiunto (la quantità
contabilizzata alla ne dell'anno) è 1; quindi adesso
P IL = 4 > 0.
In questo esempio non solo la
compagnia assicurativa si è guadagnata la sua parte, ma ha anche reso possibile un incremento reale
di PIL.
Esempio 14 (Economia Reale). Anche questo esempio è un po' più complesso di quello delle sezioni
precedenti, e lo usiamo anche come ponte per il modello di crescita che studieremo tra poco. Nei
processi produttivi di questa economia si impiegano lavoro e macchinari di varie età, e come sempre
si utilizzano beni prodotti come beni intermedi.
lavoro,
B
brioche ed
Mi
macchinari già usati per
I beni nell'economia sono:
i
lo stock di capitale, incluse le scorte di grano, è:
G
grano,
F
ferro,
anni (M0 sono nuovi). Alla ne dell'anno
10M0 , 18M1 , 10M2 , 50G
eccetera). La tabella seguente descrive i processi produttivi dell'anno
t
L
t−1
(cioè 10 unità di
M0
e riporta i prezzi. In riga ci
sono le quantità di fattori produttivi utilizzate nella produzione del settore e la quantità prodotta
del bene.
Per esempio nel settore Ferro si usa il vettore di fattori
(0, 10, 20, 0, 5, 8, 0, 0)
(G, F, L, B, M0 , M1 , M2 M3 ) =
(riga) e si producono 100 unità. Nelle colonne si leggono le quantità di beni
utilizzati come fattori produttivi nei vari settori (che si dovranno sottrarre per calcolare il PIL!),
per esempio il grano è usato nei settori Grano e Brioche (colonna), e le brioche non sono usate per
produrre altri beni.
Nota che si utilizzano 12 macchine nuove, le 10 in stock più 2 prodotte nel
periodo corrente.
18
Fattori produttivi e Beni intermedi
Settori
G
Produttivi
Grano
50
Ferro
Brioche
Macchine
F
L
Prezzi
1
M0
5
10
7
10
20
5
75
M0
B
M1
M2
20
4
7
2
Quantità
Prodotte
200
100
8
5
200
10
5
25
7
3
20
40
M3
15
0
Nota anche che i fattori produttivi sono ferro lavoro e macchine, in altri termini materie prime
lavoro e capitale. Riprenderemo questa osservazione nel prossimo capitolo scrivendo la funzione di
produzione aggregata come
Y = F (M, K, L).
Intanto calcoliamo il PIL, usando le quantità nette dagli impieghi (nota che nel prodotto lordo
non si sottraggono le macchine prodotte e utilizzate):
PIL = 1 × (200 − 50 − 75) + 4 × (100 − 5 − 10 − 40) + 2 × 200 + 15 × 25 = 1030.
I valori aggiunti dei 4 settori: Grano
1 × 200 − 1 × 50 − 4 × 5,
eccetera.
Nota bene che non si
sottrae il valore dell'usura delle macchine utilizzate - stiamo parlando di prodotto
ammortamenti
D (D
lordo !
Per gli
per Deprezzamento) dobbiamo calcolare la perdita di valore dei vari tipi di
macchinari. Indicando con
pi
il prezzo dei macchinari di età
i
abbiamo
D = 12 × (p0 − p1 ) + 18 × (p1 − p2 ) + 10 × (p2 − p3 ) = 12 × 8 + 18 × 4 + 10 × 3 = 198
dove 12 sono le macchine nuove utilizzate nella produzione dell'anno in corso, vedi la colonna di
M0
nella tabella, da cui
PIN = PIL − D = 832.
Nota che la perdita di valore di un macchinario
è denita qui come la dierenza tra il prezzo di un macchinario usato per
un macchinario usato per
t
t−1
anni e il prezzo di
anni. Per calcolare consumi e investimenti ricordiamo che questi ultimi
comprendono le variazioni delle scorte, e supporremo che le scorte di grano sono diminuite di 10.
Quindi oltre alle brioche si è consumato grano per
75 + 10;
come sappiamo le scorte di ferro sono
aumentate di 45.
Quindi
che
C = 1 × 85 + 2 × 200 = 485
Y = C + I.
ed
I = 15 × 25 − 1 × 10 + 4 × 45 = 545.
Nota (controlla)
Sorvoliamo sulla distribuzione del reddito, perché qui è complicata dai redditi di
capitale.
Denotando con
Kt−1
e
Kt
calcoliamo adesso la variazione
il valore dello stock di capitale all'inizio e alla ne del periodo,
∆K = Kt − Kt−1 .
Ricordando che due macchine prodotte (nuove)
sono state usate durante l'anno abbiamo
Kt−1 = 10p0 + 18p1 + 10p2 + 50 × 1 = 356 ,
quindi
∆K = 703 − 356 = 347.
Kt = 23p0 + 12p1 + 18p2 + 40 × 1 + 45 × 4 = 703
La cosa importante da notare è che risulta (controlla!)
∆K = I − D
19
che dice che l'incremento di capitale è uguale agli investimenti (lordi)
compri 20 lampadine, 4 si ammortano, lo stock aumenta di 16.
meno
gli ammortamenti:
Rivedremo questa equazione nel
prossimo capitolo.
4
Esercizi
Esercizio 1. Modica l'esempio 1 assumendo che per produrre 75 di pane sia necessario utilizzare
solo 30 della farina prodotta, i rimanenti 10 vengono consumati come bene nale.
Tutte le altre
ipotesi non cambiano. Ricalcola il PIL e spiega cosa è cambiato nel contributo del valore aggiunto
di ogni settore.
Esercizio 2. Completa la seguente tabella e calcola la quota di PIL che va in salari e protti:
Settore
Produttivo
Ricavi
Costo Beni
Costo
Intermedi
Lavoro
Protti
Valore
Aggiunto
Siderurgia
150
0
100
?
150
Automobili
280
150
?
60
?
PIL
?
?
Esercizio 3. Assumi che un'economia produca Grano, Zucchero e Brioche attraverso le funzioni di
produzione
G(L) = 5L, Z(L) = 4L, B(L, Z, G) = min{L, Z/2, G/4},
e che tutto il grano prodotto ed i
5/8
dello zucchero vengano utilizzati nella produzione di brioche.
Completa la seguente tabella:
Settori
Q.tà
Q.tà
Q.tà
Q.tà
Q.tà
Q.tà
usata di
usata di
usata di
prodotta
prodotta
prodotta
L
G
Z
Grano
1000
Zucchero
1000
Brioche
1250
di
G
di Z
di
B
?
?
?
?
Esercizio 4. Per l'economia dell'Esercizio 3 assumi il vettore di prezzi
?
(pL , pZ , pG , pB ) = (2, 3, 1, 12)
e calcola valore aggiunto, costo del lavoro, protti e PIL.
Esercizio 5. In questa economia ci sono due imprese A e B i cui bilanci sono descritti nella tavola
seguente
20
Impresa
A
B
Costi
Ricavi
Costi
Tessuti
50
30
Legname
100
70
Ricavi
Tavoli
200
Poltrone
150
Salari
80
180
Ammortamenti
10
30
Protti
50
20
Calcola la percentuale di imposte indirette nel PIL.
Esercizio 6. Una tassa sulla vendita al dettaglio (Retail Sales Tax, RST) agisce solo sulle transazioni
di beni nali, e non su quelle di beni intermedi. (i) Assumendo che volumi e prezzi non cambino,
quale aliquota di RST garantisce lo stesso gettito dell'IVA al 20%?
Spiega.
(ii) Paragona le due
tasse in termini di incentivi all'evasione.
Esercizio 7. (PPP) Il tasso di cambio
Con la
MI
ed
tra due paesi
I
e
J , E J/I ,
è denito come le unità di
J necessarie ad acquistare una unità del paniere nel paese I.
I
' E J/I X J . Il tasso di cambio nominale E J/I tra le monete
notazione nel testo, 1 X
M J utilizzate nei paesi è denito da 1 M I ' E J/I M J . Il vettore dei prezzi dei beni
un paniere
X
reale
disponibile nel paese
nel paniere sono rispettivamente
pI
e
pJ .
(i) Interpreta la relazione che denisce il tasso di cambio
nominale (ii) Trova la relazione di scambiabilità tra 1 unità di paniere
X
nel paese
Utilizzando la linearità, trova la relazione di scambiabilità tra 1 unità di paniere
la moneta del paese
dove
J.
(iv) Utilizzando i risultati precedenti, dimostra che
P P P J/I ≡ pJ X/pI X.
(PPP è l'acronimo di
X
I
ed
MI.
nel paese
(iii)
I
e
E J/I = E J/I /P P P J/I ,
Purchasing Power Parity.)
Esercizio 8. Si hanno a disposizione i seguenti dati
Quantità
Prezzo
Quantità
Prezzo
Carne
Carne
Latte
Latte
1990
1020
10
2305
1
2000
1215
12
x
y
Anno
Si sa inoltre che nel 2000 PIL nominale e reale sono rispettivamente 17955 e 14650.
Si calcolino
prezzo e quantità di Latte nel 2000.
Esercizio 9 (Eetto sostituzione). Considera questi dati sulla produzione annuale di un'economia:
21
Quantità
Prezzo
Quantità
Prezzo
Quantità
Prezzo
Fragole
Fragole
Mele
Mele
Ciliege
Ciliege
1999
80
12
1200
0.8
60
5
2000
100
10
1000
1
50
7
2001
110
8
800
1.2
40
10
Anno
(i) Calcola Deatore PIL e Indice dei Prezzi al Consumo, con anno base 2000.
(ii) A cosa è dovuta la dierenza tra i due indici? (
Sugg.
uno non tiene conto dell'eetto sostituzione.)
Esercizio 10. Considera la seguente economia, in cui si producono i beni
prezzi
qA , pA
A, B, C
con quantità e
eccetera
Anno
qA
pA
qB
pB
qC
pC
2000
1000
100
100
1020
30
10500
2001
990
105
106
970
31
10800
Calcola il tasso di crescita del PIL reale fra i due anni e l'inazione misurata con l'indice dei prezzi
al consumo e con il deatore del PIL.
Esercizio 11. In un paese si produce oro grezzo e gioielli d'oro. Nell'anno
produce
100kg
di oro (usando solo lavoro), il settore gioielliero (che usa
per fabbricare gioielli) fattura
2005
300
unità. Il prezzo dell'oro è
la produzione resta invariata ma i prezzi diventano
nominale del paese nel
2000?
3
e
1,
50kg
il settore minerario
di oro grezzo e lavoro
quello di un gioiello è
3,
2005
(ii) Qual è il PIL reale nel
2000
3.
Nell'anno
rispettivamente. (i) Qual è il PIL
a prezzi del
2000?
(iii) Qual è il
deatore del PIL?
Esercizio 12. Dimostra che l'indice dei prezzi al consumo può essere scritto come
PtLA =
dove
mi ≡ pi,b Xi,b
e
Ri,t ≡ pi,t /pi,b .
X
i
mi Ri,t /
X
i
mi ,
Interpreta.
Esercizio 13. Dimostra che il tasso di crescita del PIL reale a valori concatenati dell'esempio 12
non dipende dall'anno di riferimento.
Esercizio 14 (Micro: il vincolo di bilancio intertemporale.). Questo esercizio riprende il problema
di allocazione intertemporale del consumo visto nel corso di Micro, aggiungendo l'inazione.
consumatore al tempo
t
deve scegliere un paniere
22
(ct , ct+1 )
dove
ct
e
ct+1
Il
denotano consumo nel
periodo corrente e futuro. Il reddito è costituito da
di
ct
è
pt = 1 ,
mt
e interesse nominale e inazione sono
unità di moneta a
it
e
πt .
t ed mt+1
a
t + 1.
Il prezzo
Qual è il vincolo di bilancio del nostro
consumatore?
Esercizio 15. Nella seguente economia si producono motori per auto e moto, auto e moto come
descritto nella seguente tabella negli anni 2000 e 2001. Nei settori Auto e Moto si utilizza un motore
per unità prodotta. Calcola il tasso di crescita del PIL reale (base 2000) nel periodo.
Motori
5
Auto
Moto
p
q
p
q
p
q
2000
5
150
20
100
10
50
2001
10
230
20
101
12
60
Soluzioni
Soluzione Es 1.
Il valore aggiunto del settore Pane ora è
altri settori non cambia, ed il PIL è
24 + 16 + 45 = 85.
75 − 30 = 45.
Il valore aggiunto degli
Mentre prima i ricavi di 40 del settore Farina
derivavano interamente dall'utilizzo di questa nel settore Pane come bene intermedio, ora la Farina
viene venduta per 10 come bene nale, che va quindi ad aumentare il PIL.
Soluzione Es 2.
Il valore aggiunto del settore automobili è
280 − 150 = 130,
quindi il PIL è
150+130 = 280. Questo è uguale ai ricavi del settore Automobili poiché tutto il prodotto siderurgico
è utilizzato per produrre automobili.
I protti del settore siderurgia sono
costo del lavoro del settore Automobili è
280 − 150 − 60 = 70.
150 − 100 = 50.
La quota di PIL che va in salari è
(100+70)/280=60.7%, la quota di PIL che va in protti è (50+60)/280=39.3%.
Soluzione Es 3.
Settori
Q.tà
Q.tà
Q.tà
Q.tà
Q.tà
Q.tà
usata di
usata di
usata di
prodotta
prodotta
prodotta
L
G
Z
Grano
1000
Zucchero
1000
Brioche
1250
di
G
di Z
di
B
5000
4000
5000
2500
1250
Soluzione Es 4.
Settore
Produttivo
Ricavi
Costo Beni
Costo
Intermedi
Lavoro
Protti
Valore
Aggiunto
Grano
5000
0
2000
3000
5000
Zucchero
12000
0
2000
10000
12000
Brioche
15000
12500
2500
0
2500
Somma
32000
12500
6500
13000
19500
23
Il
I Valori Aggiunti sono rispettivamente
Soluzione Es 5.
di salari ammortamenti e protti ammonta a
30/400% = 7.5%
370
150
e
250
da cui il PIL è
400.
Il totale
da cui le imposte indirette costituiscono il
100 ·
del PIL.
(i) Una RST al 20%, cioè esattamente la stessa aliquota dell'IVA. La ragione è
Soluzione Es 6.
semplice. Il valore dei beni nali è la somma dei valori aggiunti a ciascuno stadio della produzione.
Quindi
0.2P IL =
P
j
0.2V Aj . In altri termini,
il meccanismo di raccolta dell'IVA descritto nel testo
equivale ad una RST in cui i versamenti vengono fatti in stadi successivi, invece che in un'unica
soluzione. (ii) Il meccanismo di raccolta dell'IVA comporta meno incentivi all'evasione poiché ciascun compratore di beni intermedi può dedurre l'IVA pagata dalla somma che deve versare relativa
all'IVA incassata. Può fare questo solo se possiede la relativa fattura. Con una RST, invece, solo il
compratore di beni nali paga l'IVA, che non può scaricare.
Soluzione Es 7.
I
si scambia con
E J/I
unità di mone-
1.2 allora 1 Euro si
I
I
' pI X M ' pI XE J/I M J . (iv)
(iii) 1 X
scambia con 1.2 Dollari. (ii)
pI XE J/I M J ' pI XE J/I /pJ X | X J , e quindi dal punto precedente 1 X I ' pI XE J/I /pJ X | X J ,
ta del paese
J.
(i) Una unità della moneta del paese
Ad esempio, se il tasso di cambio nominale Dollaro/Euro è
1 X I ' pI X M I .
che è la relazione da dimostrare.
Soluzione Es 8.
Dalla denizione di PIL reale
14650 = 1215 · 10 + x · 1
questo punto dalla denizione di PIL nominale si ottiene
si ottiene
17955 = 1215 · 12 + 2500 · y
x = 2500.
da cui
A
y = 1.35.
Soluzione Es 9. (i) L'indice dei prezzi al consumo. con anno base 2000, nei vari anni è:
LA
P1999
=
LA
LA
0.957, P2000
= 1, P2001
= 1.064.
PA
P1999
=
Il deatore del PIL, con anno base 2000, nei vari anni è:
PA
PA
0.917, P2000
= 1, P2001
= 1.027.
(ii) L'indice dei prezzi al consumo pesa i prezzi con le quantità
dell'anno base, e quindi non tiene conto degli aggiustamenti nel consumo dovuti alla variazione dei
prezzi relativi.
Soluzione Es 10.
315 = 517
0.03021,
e
Indicando con
P ILR
t
il PIL reale in migliaia a
P ILR
2001 = 99 + 108.12 + 325.5 = 532.62,
poco più del
3%.
l'inazione con l'indice dei prezzi è circa
ottenendo
si ha
P ILR
2000 = 100 + 102 +
con tasso di crescita
532.62/517 − 1 =
L'indice dei prezzi al consumo nel 2000 è uguale al PIL; nel 2001 è
1000 ∗ 105 + 100 ∗ 970 + 30 ∗ 10800 = 526000
il PIL nominale nel 2001:
t
con tasso di crescita
1.74%.
526/517 − 1 = 0.01741,
Per misurarla con il deatore dobbiamo calcolare
990 ∗ 105 + 106 ∗ 970 + 31 ∗ 10800 = 541570
541570/532620 = 1.0168
cioè
e dividerlo per il PIL reale,
da cui l'inazione con questo procedimento risulta
ci aspettavamo risulta più bassa).
24
1.68%
(come
Soluzione Es 11. (i) I valori aggiunti a prezzi del
50 = 850
2000 sono 100 per il settore minerario e 300 × 3 −
per il settore gioielliero. Il PIL nominale è allora
del PIL nominale del
950.
(ii) Il PIL reale nel 2005 è lo stesso
2000, cioè 950. (iii) Il PIL nominale nel 2005 è 100 × 3 + 300 × 3 − 50 × 3 = 1050.
Il deatore del PIL è quindi 1050/950=1.10.
Soluzione Es 12. L'indice dei prezzi al consumo è
PtLA =
P
i
pi,t Xi,b /
P
i
pi,b Xi,b .
La formula si
ottiene moltiplicando e dividendo ciascun termine della sommatoria al numeratore per
interpretare come media ponderata dei rapporti
all'anno
t,
pesate per la spesa per
i
Ri,t ,
Si può
che sono le variazioni dei prezzi dall'anno base
nell'anno base.
Soluzione Es 13. Calcolando il tasso di crescita del PIL reale tra
C
P ILt,s )/P ILt,s = (It+1
− ItC )/ItC ,
pi,b .
che non dipende da
t
e
t+1
otteniamo
(P ILt+1,s −
s.
Soluzione Es 14. Bisogna esprimere tutto in una singola unità di conto. Prendendo ad esempio la
moneta al tempo
t+1
il vincolo è
(1 + it )ct + (1 + πt )ct+1 = (1 + it )mt + mt+1
Soluzione Es 15. I motori sono beni intermedi. Nel 2000 sono tutti utilizzati nella produzione di
auto e moto e non si contano, quindi il PIL nel 2000 è 2500. Nel 2001 sono utilizzati
i rimanenti
nel 2001 è
230 − 161 = 69
dunque
rimangono come investimenti in scorte, quindi il PIL reale (prezzi 2000)
101 · 20 + 60 · 10 + 69 · 5 = 2965.
risultato come
Nota che sommando i valori aggiunti otteniamo lo stesso
230 · 5 + (101 · 20 − 101 · 5) + (60 · 10 − 60 · 5).
2965−2500
2500
= 0.186
101 + 60 motori,
cioè
18.6%.
25
Il tasso di crescita del PIL reale è

Download Report