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Appunti Topografia

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APPUNTI DI TOPOGRAFIA - Alberto Vipraio Tiberi - 3a T serale 2012/13
SISTEMI DI COORDINATE
Sistema Cartesiano Ortogonale
Ha come riferimento due assi, asse delle Ascisse e
asse delle Ordinate, perpendicolari, ossia che
formano un angolo retto e che si incontrano nel
punto O detto origine.
Gli assi sono orientati in verso crescente, indicato
dalla freccia, il punto O coincide con lo zero. A
sinistra e sotto lo zero corrispondono i valori
negativi che aumenteranno man mano che si
allontanano sempre più dallo zero.
Il sistema cartesiano serve a determinare in modo
univoco la posizione di un punto su un piano. Se
aggiungo un asse Z, che esce dal piano, posso
determinare anche un punto esterno al piano. Le
coordinate nel Sistema Cartesiano Ortogonale
piano sono due: X e Y.
Traccio una parallela all'asse dell’ascissa e una
all’asse dell'ordinata dal punto P, leggo il valore di
XP e YP e ottengo il valore della coordinata al punto
P.
Sistema Polare
Il sistema di riferimento è costituito da un polo e da
un semiasse polare (o asse di direzione).
Nel sistema polare le coordinate sono sempre due
ma non sono due distanze come nell'asse
cartesiano bensì una distanza OP dall’origine e
l'angolo (OP) formato dall'asse polare che ruota in
senso orario intorno al polo fino a sovrapporsi al
segmento OP.
Quindi per determinare il punto P, prendo la
distanza del punto P da O poi calcolo l'angolo
determinato dalla rotazione oraria dell'asse polare
sino alla sovrapposizione al segmento OP.
Da cui:
P = OP ; (OP)
dove:
OP è la distanza di O da P e (OP) è l’angolo di
direzione (o l’angolo azimutale di OP).
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APPUNTI DI TOPOGRAFIA - Alberto Vipraio Tiberi - 3a T serale 2012/13
TRASFORMAZIONI (O CONVERSIONI) TRA SISTEMI DI COORDINATE
Consideriamo un punto P in un sistema di assi
cartesiani. Consideriamo anche un sistema polare
con il polo O coincidente con intersezione degli assi
cartesiani e l'asse polare coincidente con l'asse
delle ordinate. Con il cerchio goniometrico possiamo
definire la relazione tra XP-YP e (OP)-OP, perché OP
è come il raggio del cerchio goniometrico, (OP) è
come l'angolo generico α che disegnavamo
all'interno del cerchio goniometrico, XP e YP sono
come le tg.
Per il 1° TTR possiamo scrivere:
XP = OP x sen (OP)
Per il 2° TTR possiamo scrivere:
YP = OP x cos (OP)
Quindi dalle coordinate polari otteniamo quelle
cartesiane
Per il 3° TTR :
(OP) = arc tg XP
YP
Prestando attenzione al risultato che se:
XP>0 ; YP>0 non devo aggiungere niente
XP>0 ; YP<0 devo aggiungere 200
gon
XP<0 ; YP<0 devo aggiungere 200
gon
XP<0 ; YP>0 devo aggiungere 400
gon
ANGOLO AZIMUTALE
Consideriamo un segmento AB
Definiamo angolo azimutale del segmento AB (o angolo di
direzione) l'angolo formato tra la parallele all'asse Y passante
per il primo punto e il segmento.
Individuiamo sull'angolo azimutale la figura di un triangolo
rettangolo dove poter scrivere i teoremi:
1° TTR
2° TTR
3° TTR
XB - XA = AB x sen (AB)
YB –YA = AB x cos (AB)
XB – XA = tg (AB) AB = XP
= YP
YB – YA
sen (AB) cos (AB)
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APPUNTI DI TOPOGRAFIA - Alberto Vipraio Tiberi - 3a T serale 2012/13
LA TERRA
Il geoide è la forma della terra, ma con questa definizione non
chiariamo molto perché la forma del geoide è riconducibile solo alla
terra.
Pensando ad una forma simile alla terra, la sfera è quella più simile
al pianeta. Gli elementi che non permettono di ricondurre la sfera
alla forma della terra sono la rotazione, che avviene sul suo asse
che passa attraverso i poli. Ciò comporta che ogni massa che
compone la terra sia soggetta alla forza centrifuga.
Un punto sulla terra è soggetto a due forze opposte FC, forza
centrifuga e P, la forza gravitazionale (o forza peso). Due oggetti in
natura sono soggetti alla legge di Newton (due corpi si attraggono
proporzionalmente alla loro massa e inversamente alla loro
distanza).
Al variare della posizione del punto sulla terra notiamo che la FC,
che è perpendicolare all'asse di rotazione diminuisce in prossimità
dello stesso mentre rimane invariata la forza peso.
L'equilibrio tra le forze lo otteniamo se osserviamo il punto a livello
dell'equatore.
Considerando la sua FC la terra doveva essere più simile ad un ellissoide ma ciò non è così perché la
rotazione non è l'unico fattore che influisce. Tra quelli meno trascurabili abbiamo la densità (massa per unità
di volume). Questo fa sì che se in un punto abbiamo una fossa oceanica e in un altro abbiamo della terra
emersa troveremo una differenza di attrazione (è da considerare anche il fatto che le zone interne della terra
non hanno la stessa densità e che quindi la forza di attrazione varia).
Possiamo quindi considerare l’ellissoide con delle ondulazioni che possono essere nell'ordine di grandezza
fino a 50-100 m di quota e questa figura è riconducibile al geoide.
I parametri dell’ellissoide più recente, WGS 84, danno il semiasse condotto dall'equatore di 6378 km circa e
l'asse condotto dal polo di 6356 km circa. La superficie del geoide è definita come la superficie
equipotenziale del campo gravitazionale terrestre in cui la forza di gravità ha un valore costante che passa
per il livello medio del mare nell'ipotesi che questo sia esteso anche sotto i continenti.
Le superfici che approssimano il geoide dalle più indicate alle meno indicate sono:
- Ellissoide
- Sfera Locale
- Piano topografico
In quali situazioni possiamo sostituire la superficie ellissoidica, sferica e piana al geoide?
Problemi Planimetrici
quando ci si occupa della proiezione di quello che
viene rilevato rispetto la superficie di rilevamento
Problemi Altimetrici
quando si considera la distanza di un punto dalla
superficie di riferimento
La Normale alla superficie di riferimento si utilizza quando ci riferiamo all’ellissoide, alla sfera e al piano
topografico.
La Normale è la perpendicolare al piano topografico,
la perpendicolare ad un punto della sfera
corrisponde al raggio di curvatura di quel punto.
Nel Geoide la Normale si chiama Verticale, è
perpendicolare al geoide in corrispondenza di un
certo punto ma ha una caratteristica che è
determinabile modo semplice fisicamente: se
prendiamo un filo a piombo determiniamo la
direzione della verticale che è l'unica di queste
Normali che rappresenta il geoide.
Il Geoide, dal punto di vista altimetrico, è il
riferimento più facile perché con i mareografi che
stabiliscono il punto di quota zero con delle
operazioni topografiche dette “livellazioni”,
determinando i dislivelli, siamo in grado di trovare la
quota ortometrica che corrisponde alla distanza di
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APPUNTI DI TOPOGRAFIA - Alberto Vipraio Tiberi - 3a T serale 2012/13
un punto dal geoide.
In campo planimetrico se l'estensione del rilievo è globale, ad esempio se parliamo di sistemi di navigazione
GPS se ci interessa avere un'unica superficie pur ammettendo delle distorsioni, l’ellissoide ha la superficie
che ci consente di schematizzare meglio. Il geoide quindi è sempre valida come superficie a livello globale
di riferimento ma ha il problema di essere complicato quindi considerato dal punto di vista altimetrico ma mai
planimetrico.
Per estensioni di grande raggio, interi stati o continenti, si usa sempre l’Ellissoide ma solo ellissoidi che
approssimano bene il geoide per una certa regione, ad esempio in Italia l'Istituto Geografico Nazionale ha
stabilito un geoide che vale per tutto il territorio nazionale italiano.
La Sfera Locale, dal punto di vista planimetrico, per estensioni dell'ordine di grandezza dei 100 km, secondo
il criterio che l'errore che commetto considerando la Sfera anziché l’ellissoide è nell'ordine di grandezza
dell'errore dato dagli strumenti di misura, se io misuro una distanza ed ottengo un errore di un milionesimo
della distanza data, lo stesso errore lo ottengo considerando la Sfera anziché l’Ellissoide come superficie di
riferimento e quindi è un errore ammissibile. Il campo sferico, dal punto di vista planimetrico di 100 km, si
riferisce ad una sfera che viene determinata in un punto della terra utilizzando come raggio √ ρ • N, dove ρ
ed N solo due parametri del raggio di curvatura dell’Ellissoide selezionato da un piano detto" Gran Normale".
La Sfera Locale può essere ritenuta valida come superficie di riferimento per spazi non superiori a 100 km.
Dal punto di vista altimetrico questa estensione si riduce a 20-25 km perché dal punto di vista planimetrico
sostituiamo al tratto di ellisse l'arco di circonferenza, la differenza sulla lunghezza è minima; dal punto di
vista altimetrico invece sostituiamo ad una certa quota un certo dislivello quindi la differenza tra la quota
calcolata rispetto all’ellisse e quella calcolata rispetto alla Sfera assume una differenza importante con 20-25
km di distanza.
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APPUNTI DI TOPOGRAFIA - Alberto Vipraio Tiberi - 3a T serale 2012/13
Nel Campo Topografico intendiamo l'estensione alla quale è consentito di approssimare la superficie di
riferimento
La proiezione di A e B sulla Sfera locale individua i punti A0 e B0. Se anziché utilizzare la Sfera locale
utilizziamo un piano topografico tangente alla Sfera locale in A0 le proiezioni di A e B sulla superficie di
riferimento saranno su A1 e B1 dove A1 essendo sempre il punto di tangenza corrisponde sempre a A0, B1 è
diverso da B0 e dista in senso altimetrico da B0 nella misura x. Da B0 a O (che è il centro della Terra) verrà
definito R, raggio.
Dal punto di vista planimetrico, in campo topografico, la distanza AB è uguale alla distanza A 1B1; in campo
sferico alla distanza AB è data dallo sviluppo dell'arco di circonferenza A0B0 (campo sferico). Supponiamo
che l'angolo AB (le Normali passanti in A e B) riferito al centro della Terra, angolo detto ω, per il campo
sferico A0B0 sarà dato dal prodotto del R per l'angolo espresso in rad.
In campo topografico la distanza sarà data dal R moltiplicando la tg ω.
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APPUNTI DI TOPOGRAFIA - Alberto Vipraio Tiberi - 3a T serale 2012/13
Campo sferico AB = A0B0 = R ω
rad
Campo topografico AB = A1B1= R tg ω
infatti A1B1 è un triangolo rettangolo, il cateto è il raggio R, l'altro cateto è uguale al primo cateto per la tg
dell'angolo opposto all'incognita (III TTR).
La differenza tra la distanza topografiche e sferica sarà data da:
ε ε = errore; L = lunghezza)
R tg ω - ωrad = L (
ossia dato da:
R tg ω - R
ω
rad
è lecito quindi sostituire la Sfera con il Piano Topografico quando l'errore
degli strumenti che usiamo.
εL è inferiore all'errore di misura
Errore Altimetrico
Dobbiamo determinare X, il teorema di Pitagora applicato al triangolo A0B10 dice che:
2
2
D + R =(R+X)
2
dove D = AB
2
2
2
2
2
2
D + R = R + X + 2 RX (dividiamo per 2R tutti termini)
D = X + 2RX
2R 2R 2R
→ X = D2
2R
↓
0
(possiamo considerarlo quasi 0 perché X è l’errore, l’errore ammissibile sarà nell’ordine del cm)
Riassumendo:
Errore Planimetrico
εL =
Errore Altimetrico
2
R tg ω - ω
X=D
2R
rad
Considerando per entrambi R = 6337
km (Raggio della Sfera Locale, Terra)
D (distanza AB) = 1 km
↓
ω = arc tg
1_
6337
εL =
-6
8 x 10 m = 8 µm
-63
X=
10
_ =0,078 m
2 x 6377 x 10-3 m
X=
4 x 10
_ =0,312 m
-3
2 x 6377 x 10 m
errore molto piccolo
l’errore è tanto più grande quanto
maggiore è la distanza
se D = 2 km
εL =
-5
6,6 x 10 m = 66 µm
-63
se D = 10 km
εL =
-3
8 x 10 m = 8 mm
aumento imponente
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APPUNTI DI TOPOGRAFIA - Alberto Vipraio Tiberi - 3a T serale 2012/13
SEGNALI E MIRE
I segnali e le mire sono dispositivi che hanno le seguenti funzioni:
 i Segnali servono a materializzare un punto, ossia individuarlo fisicamente;
 le Mire servono a visualizzare un punto, ossia renderlo visibile da una certa distanza.
Un esempio di segnale è un chiodo, se posizioniamo un chiodo sull'asfalto materializiamo un punto, la mira
invece è il dispositivo (ad esempio l'asta a bande) che mi permette di rendere visibile il segnale da lontano.
I segnali possono essere provvisori quando la loro durata è limitata nel tempo (ad esempio il chiodo), o
permanenti quando durano per sempre (un pilastrino di calcestruzzo con una rondella di ottone alla sua
sommità oppure un segnale all'interno di un pozzetto chiuso da un chiusino). La palina è una mira
provvisoria, lo spigolo di un fabbricato è una mira permanente.
I segnali e le mire possono essere inoltre artificiali quando appositamente costruiti o posizionati dall'uomo
per dare un riferimento ad un punto e permettere ciò, o naturali perché non nascono con lo scopo specifico
di assolvere alla funzione di segnale o mira.
A volte le mire e i segnali coincidono, ad esempio lo spigolo di un fabbricato.
I segnali e le mire possono essere di maggiore o minore precisione, per esempio nello spigolo del fabbricato
occorre stabilire la quota di riferimento del punto, il pilastrino con il cerchietto di ottone è più preciso.
Le mire sono caratterizzate da colori vivaci ed assi di simmetria ben definiti.
Strumenti di Mira
 Palina
 Prisma (riflettore delle onde elettromagnetiche che permette la valutazione della distanza con
l'elettrodistanziometro).
 Mire di precisione montate su treppiede (tramite le viti del piatto di base garantiscono la verticalità).
Strumenti di Segnale





Chiodi;
Picchetti di legno o di ferro;
Pilastrini;
Centrini, all'interno di pozzetti;
Strutture (per esempio sommità di un campanile).
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APPUNTI DI TOPOGRAFIA - Alberto Vipraio Tiberi - 3a T serale 2012/13
I segnali possono essere accessibili o no (se vi si può fare o meno base di stazionamento).
Il pilastrini di cemento possono avere sulla sommità un piattello con la possibilità di fissare il Teodolite,
particolarmente nei casi che debbano assolvere frequentemente la funzione di punto di valutazione per la
loro stabilità di strutture.
Le mire, se utilizzate da distanze notevoli, possono essere costituite direttamente dai tralicci.
Il pilastrini, essendo dei punti di riferimento molto importanti per le reti trigonometriche di rilievo, possono
avere oltre il centrino sulla sommità, un centrino di profondità che nel caso di distruzione del pilastrino
permette il suo ripristino senza perdere il punto di riferimento.
Treppiedi
Treppiedi per mire provvisorie
Strumenti semplici
Filo a piombo
Livella
Longimetri
Squadri Agrimensori (servono ad individuare gli allineamenti ortogonali, si dispongono in modo da
g
individuare attraverso le fenditure disposte ad angolo di 100 . Strumento di relativa precisione
utilizzabile solo per gli scavi. Il limite di questo strumento è che se la Palina si trova molto più in alto o
molto più in basso non si riuscirà ad individuarla nella fessura. Per ovviare a questo problema si
usano gli Squadri Sferici che aumentano il campo di visione. La scala graduata alla base fornisce la
possibilità di utilizzarlo come una sorta di goniometro. Possono presentare inoltre fili di riferimento
all'interno delle feritoie, scale graduate o bussole);
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APPUNTI DI TOPOGRAFIA - Alberto Vipraio Tiberi - 3a T serale 2012/13
Triplometro (o Canna Metrica, per applicare la misurazione a coltellazione dei terreni non orizzontali o
particolarmente scoscesi.
Teodolite e Tacheometro (il Tacheometro è meno preciso perché meno sensibile). È costituito dal
cannocchiale che deve essere girevole per collimare i punti che sono a quota maggiore o minore. Il
Tacheometro non misura oltre la seconda cifra decimale mentre il Teodolite può raggiungere sino alla
quarta cifra decimale (i 10 millesimi di gon).
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APPUNTI DI TOPOGRAFIA - Alberto Vipraio Tiberi - 3a T serale 2012/13
Cannocchiale
Piatto di Base fissato al treppiede tramite il
Vitone.
Basamento che può essere reso orizzontale
tramite il livellamento con le vite
calanti, prima se ne regolano dure ed
infine la terza.
Alidada parte girevole dello strumento a
forma di forcella. Il suo asse verticale
si chiama Asse Principale. L'Asse
Secondario è invece l'asse di
rotazione del cannocchiale.
L'asse ottico del cannocchiale è detto anche
“di collimazione”. Il cerchio orizzontale
è graduato come un goniometro da
disegno e serve a misurare gli angoli
azimutali relativi allo zero. Il cerchio
verticale serve a misurare gli angoli
zenitali, ossia quelli formati tra quelli
verticali e l'asse di collimazione.
L'angolo zenitale, al contrario
dell'angolo azimutale ha sempre una
direzione di riferimento che è varia.
Per misurare un angolo azimutale bisogna fissare il cerchio orizzontale rispetto al basamento in modo da
fissare lo zero e bloccare la rotazione dell’Alidada rispetto il cerchio del basamento. Questo consente
di lasciare lo zero fermo portando l’Alidada a fare una lettura angolare in una direzione, una seconda
lettura angolare con una seconda direzione e trovare la misura dell'angolo azimutale tra le due
differenti direzioni.
Per trovare l'angolo direttamente:
- devo definire lo zero;
- bloccare il cerchio dell’Alidada;
- sbloccare il cerchio del basamento;
- portare lo zero sulla prima direzione;
- bloccare il cerchio al basamento;
- sbloccare il cerchio dall’Alidada;
- fare la seconda collimazione.
La lettura alla seconda collimazione è quella dell'angolo cercato. Operazione sconsigliata perché più
laboriosa e meno precisa.
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