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Appunti funzioni elementari

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Funzioni, grafici, relazioni
1
1. Il concetto di funzione reale di variabile reale
In generale una funzione `e rappresentata da una legge che fa corrispondere ad ogni elemento di un insieme X uno ed un solo elemento di un insieme Y . Ad esempio ad ogni
cittadino italiano `e associato, secondo una certa regola, il suo codice fiscale. In questo
caso l’insieme X `e costituito da tutti i cittadini italiani e l’insieme Y da tutti i codici
fiscali generati. Inoltre ad ogni cittadino `e assegnato uno ed un solo codice fiscale.
Noi qui siamo interessati ad introdurre le funzioni reali di variabile reale; ci`o significa
che, se indichiamo con il simbolo R l’insieme dei numeri reali, allora sia X che Y sono
sottoinsiemi di R.
Ad esempio se ad ogni numero reale x facciamo corrispondere il numero 3 x, allora abbiamo definito la funzione f (x) = 3 x. Qui f `e il nome che abbiamo dato alla funzione
ed x `e il generico elemento dell’insieme X, in questo caso coincidente con R, dove essa
`e definita. Osserviamo che il nome di ogni funzione che noi definiamo `e arbitrariamente
scelto da noi. Cos`ı potevamo chiamare la funzione g oppure ciccio; in questo ultimo caso
avremmo scritto ciccio(x) = 3 x. E’ per`o evidente che questo nome poco si addice ad una
funzione!
E’ bene qui introdurre nel modo pi`
u semplice possibile le definizioni e le notazioni che ci
serviranno. Esse si estendono banalmente anche a funzioni di differente specie.
Qui f `e la funzione che abbiamo definito, ma anche una altra qualsiasi funzione reale di
variabile reale.
ˆ f `e il nome della funzione e poich´e si tratta di una funzione reale di variabile reale
possiamo scrivere
f :X→Y
(X ⊆ R e Y = R) .
I due punti significano definita e la freccia evidenzia il percorso dall’insieme X dei
numeri reali per i quali `e definita la funzione e Y l’insieme che contiene i valori
ottenuti mediante la funzione f .
ˆ L’insieme X si chiama dominio della funzione f e Y `e il codominio. Spesso si scrive
R al posto di Y poich´e la funzione `e reale.
2
Funzioni, grafici, relazioni
ˆ Spesso l’insieme X `e costituito da tutti i numeri reali per i quali `e possibile calcolare
la funzione; per questo motivo spesso si parla di campo di esistenza, che denomina
pertanto l’insieme di tutti i valori reali per i quali `e possibile calcolare la funzione.
Il domino deve essere contenuto nel campo di esistenza, ma `e possibile che, per
qualche ragione, non coincida con esso. In ogni caso `e necessario definire il dominio
prima di poterla usare.
ˆ Usualmente si scrive semplicemente f per indicare la funzione e f (x) il valore assunto
dalla funzione in corrispondenza al numero reale x. Ad esempio, se f (x) = 3 x, allora
f (2) = 6, f (−1) = −3, .. Talvolta si scrive anche y = f (x) per indicare che y `e il
valore della funzione f in corrispondenza al numero x.
Ecco alcuni semplici esempi di funzioni e del loro campo di esistenza.
1
Consideriamo la funzione f (x) = . In questo caso x non pu`o essere zero; pertanto X `e
x
l’insieme (o un suo sottoinsieme) dei numeri reali eccetto lo zero e quindi X non coincide
x
con R. La funzione 2
non `e definita per x = 1 e x = −1; allora il suo dominio non
x −1
dovr`a includere tali numeri.
2. Grafico di una funzione
Ad ogni funzione possiamo associare un insieme di punti del piano cartesiano.
ˆ Data la funzione f : X → Y si chiama grafico della funzione f l’insieme dei punti,
del piano cartesiano, aventi coordinate (x, f (x)) ottenuti al variare di x in X.
(x2 − 1)(x + 2)
Ad esempio consideriamo la funzione f (x) =
.
x2 + 1
Questa funzione `e definita per ogni numero reale x; cio`e il suo campo di esistenza `e R.
Una tabella di punti del grafico `e la seguente
x
y
−2
0
−1
0
0 −2
1
0
2 2.4
3
4
Funzioni, grafici, relazioni
3
Il grafico (una sua parte) di questa funzione `e
f
+7.0
+6.0
+5.0
+4.0
+3.0
+2.0
+1.0
−6.0
−4.0
−2.0
+2.0
−1.0
+4.0
+6.0
x
−2.0
−3.0
−4.0
−5.0
−6.0
−7.0
La figura, ottenuta mediante un semplice programma di grafica, permette di evidenziare
alcune propriet`a della funzione, come esistenza di punti dove la funzione si annulla (zeri
della funzione), massimi, minimi o altro.
Per evidenti motivi spesso le figure mostreranno soltanto una parte dell’intero grafico.
Nel seguito eviteremo di precisare questo fatto.
3. Funzioni suriettive, corrispondenze biunivoche e funzione composte
Molto spesso diciamo che R `e il codominio, perch´e non `e importante specificare quale sia
esattamente l’insieme dei valori della funzione al variare di x nel dominio X. Ad esempio
la funzione
1
1 + x2
`e definita in tutto R; quindi possiamo scegliere il dominio X = R e Y = R come codominio.
f (x) =
Al variare di x in R otteniamo per`o soltanto tutti i numeri positivi e minori od uguali ad
uno (si pu`o dimostrare ci`o senza grandi difficolt`a anche in modo elementare).
4
Funzioni, grafici, relazioni
ˆ Si chiama immagine della funzione f : X → Y , l’insieme, che si denota con la
scrittura f (X), di tutti e soli i valori della funzione f ottenuti al variare di x in X.
Attenzione alla differenza: f (x) `e un numero, mentre f (X) `e un insieme!
Ovviamente l’immagine della funzione f `e contenuta nel codominio, ma non coincide con
esso necessariamente, come abbiamo gi`a visto nel precedente esempio.
In altre parole e in modo pi`
u complicato, la definizione di immagine della funzione f
significa che per ogni y∗ ∈ f (X) esiste almeno un elemento x∗ ∈ X tale che f (x∗ ) = y∗ e
inoltre se y∗ ∈
/ f (X), allora non esiste x∗ ∈ X tale che f (x∗ ) = y∗ .
ˆ Se, data la funzione f : X → Y , accade che f (X) = Y , allora diremo che la funzione
f `e suriettiva. Ovviamente ogni funzione `e suriettiva se scegliamo Y = f (X).
Ad esempio la funzione
f : R →]0, +1]
dove f (x) =
1
1 + x2
`e suriettiva.
Nel significato (pi`
u complicato) di immagine di una funzione abbiamo scritto
“esiste almeno un elemento x∗ ∈ X tale che f (x∗ ) = y∗ ”
poich´e gli elementi x∗ ∈ X tale che f (x∗ ) = y∗ potrebbero essere pi`
u di uno. Infatti ad
esempio per la funzione sopra definita si ha
1
1
1
=
= .
2
2
1+1
1 + (−1)
2
Quindi sia per x = 1 che per x = −1 ritroviamo lo stesso valore di f .
ˆ Se la funzione f : X → Y `e suriettiva ed inoltre per ogni y∗ ∈ f (X) esiste un unico
elemento x∗ ∈ X tale che f (x∗ ) = y∗ , allora diremo che la funzione f definisce una
corrispondenza biunivoca tra l’insieme X e l’insieme Y .
Ad esempio la funzione f (x) = 3 x con dominio R e codominio R stabilisce una corrispony∗
denza biunivoca. Infatti se y∗ `e un qualsiasi numero reale, allora soltanto se x∗ =
si ha
3
f (x∗ ) = y∗ . Il risultato `e ottenuto, in questo caso semplicemente, risolvendo l’equazione
f (x∗ ) = y∗
che qui `e 3 x∗ = y∗ .
Funzioni, grafici, relazioni
5
In generale per sapere se una funzione f definisce una corrispondenza biunivoca tra il suo
dominio e la sua immagine occorre risolvere i seguenti problemi:
1. trovare l’immagine della funzione f ;
2. dimostrare che, per ogni y∗ ∈ f (X), l’equazione f (x) = y∗ , dove qui x `e l’incognita,
ammette una sola soluzione.
Introduciamo una semplice ma importante definizione.
ˆ Siano f : X → Y e g : Y → Z due funzioni reali di variabile reale. Allora la funzione
h : X → Z definita da h(x) = g(f (x)) si chiama funzione composta mediante le
funzioni f e g.
g(f(x))
f(x)
g(y)
x
y
X
z
Y
Z
E’ bene notare che la funzione g deve essere definita nell’immagine della funzione f . Ad
1
1
esempio se f : R →]0, 1] `e definita da f (x) =
e g :]0, 1] → R `e definita da g(y) = ,
2
1+x
y
allora la funzione composta ha dominio e codominio R ed `e h(x) = 1 + x2 .
4. Funzioni invertibili e funzioni inverse
Vedremo in seguito che la propriet`a di una funzione di determinare una corrispondenza
biunivoca `e importante.
ˆ Diciamo che la funzione f : X → Y `e invertibile se essa `e suriettiva e stabilisce una
corrispondenza biunivoca tra l’insieme X e l’insieme Y .
6
Funzioni, grafici, relazioni
In virt`
u della corrispondenza biunivoca possiamo costruire un’altra funzione definita in
Y che associa ad ogni y∗ ∈ Y l’unico elemento x∗ ∈ X tale che f (x∗ ) = y∗ .
ˆ Se la funzione f : X → Y `e invertibile, si definisce funzione inversa la funzione, che
si denota con f −1 , definita nell’insieme Y e avente come immagine X tale che
f −1 (f (x)) = x ∀ x ∈ X
e
f (f −1 (y)) = y
∀y ∈ Y .
(1)
La funzione inversa `e quindi quella che ad ogni y∗ ∈ Y associa l’unico elemento
x∗ ∈ X tale che f (x∗ ) = y∗ .
Un semplice disegno permette di comprendere pi`
u facilmente il concetto di funzione inversa
e le importanti propriet`a introdotte nella (1).
f(x)
y
x
X
f −1(y)
Y
Ad esempio la funzione f (x) = 2 x + 1 `e definita in R ed `e invertibile. La funzione inversa
y−1
`e definita in R ed `e f −1 (y) =
.
2
La funzione x2 `e definita in R ma non `e invertibile. Infatti, tenendo conto che la sua
immagine `e l’insieme [0, +∞[, ad esempio, la funzione vale 4 sia per x = 2 che per
x = −2. Se per`o consideriamo la stessa legge x2 definita nell’intervallo [0, +∞[ invece
che in R si ha:
ˆ la funzione f : [0, +∞[→ [0, +∞[ definita da f (x) = x2 `e invertibile e la sua funzione
inversa si chiama radice quadrata, che `e quindi definita nell’intervallo [0, +∞[ ed ha
Funzioni, grafici, relazioni
7
come immagine ancora l’intervallo [0, +∞[. La funzione radice quadrata `e cos`ı
importante che, oltre ad avere un suo nome, ha un particolare simbolo: la radice
√
quadrata di x si scrive infatti x. Talvolta si usa anche un’altra notazione, che
vedremo pi`
u avanti, per le funzioni potenze.
Il grafico della radice quadrata `e
+7.5
f
+7.0
+6.5
+6.0
+5.5
+5.0
+4.5
+4.0
+3.5
+3.0
+2.5
+2.0
+1.5
+1.0
+0.5
−1.0
−0.5
+1.0
+2.5
+4.0
+5.5
+7.0
x
−1.0
−1.5
La definizione data di funzione radice quadrata `e quella corretta. Spesso si dice
“la radice quadrata di x `e quel numero non negativo che elevato al quadrato vale x”.
Questa non `e la definizione di radice quadrata ma una conseguenza della (1). Infatti si
ha
√
x2 = x ∀ x ∈ [0, +∞[
e
√
( y)2 = y
∀ y ∈ [0, +∞[
E’ stato necessario scrivere esplicitamente l’insieme per la x e la y per evitare un errore
che sar`a chiaro quando introdurremo la funzione valore assoluto.
8
Funzioni, grafici, relazioni
5. Le funzioni potenza e radice
Le funzioni potenze sono definite in modo elementare quando l’esponente `e un intero
positivo; infatti, se n `e un numero intero positivo, allora
ˆ la potenza n-sima di un numero reale x `e la funzione, denotata dalla scrittura xn ,
definita in R dalla legge
xn = x
...... · x} .
| · x ·{z
n fattori
Se n = 2 la potenza si chiama anche quadrato di x; quando n = 3 si chiama anche
cubo del numero x.
La seguente figura mostra il grafico della potenza quadrato (linea continua blu), della
potenza cubo (linea con trattini verdi) e della potenza x4 (linea con piccoli trattini rossi).
y
+7.0
+6.0
+5.0
+4.0
+3.0
+2.0
+1.0
−6.0
−4.0
−2.0
−1.0
+2.0
+4.0
−2.0
−3.0
−4.0
−5.0
−6.0
−7.0
ˆ Si definisce x0 = 1 per ogni numero reale x.
+6.0
x
Funzioni, grafici, relazioni
9
Quando l’esponente `e positivo e pari, la funzione potenza non `e invertibile in R, come
abbiamo gi`a visto nel caso n = 2, ma se consideriamo come dominio l’intervallo [0, +∞[
allora esister`a la funzione inversa. Se invece l’esponente `e positivo e dispari la funzione
potenza sar`a invertibile in tutto R.
ˆ Sia n un qualsiasi numero intero positivo. Si definisce radice n-sima la funzione
inversa di xn definita in R se n `e dispari, o in [0, +∞[ se n `e pari. La funzione radice
√
√
1
n-sima di x si indica con la scrittura n x oppure x n . Anche per la funzione x si
1
pu`o usare la stessa notazione e pertanto x 2 `e ancora la radice quadrata di x.
In base alla (1) possiamo scrivere
√
n
xn = x ∀ x ≥ 0 ,
n
√
n
x = x ∀x ≥ 0
(per ogni intero positivo n) .
Queste relazioni continuano a sussistere anche se x `e negativo purch´e n sia dispari.
ˆ Se n `e un numero intero positivo, si definisce la potenza
x−n =
1
xn
∀ x ∈ R , x 6= 0 .
In questo caso l’esponente `e quindi un intero negativo.
ˆ Sia q =
n
un numero razionale positivo. Si definisce
m
xq =
n
√
m
x
∀x ≥ 0
Si pu`o dimostrare che xq `e anche uguale a
x−q =
e
√
m
1
xq
∀x > 0.
xn .
E’ possibile anche, in certi casi, considerare valori di x negativi, ma occorre fare
2
3
attenzione. Ad esempio ha senso (−4) 3 , ma non `e definito (−4) 2 .
Spesso per evitare confusioni si definiscono le potenze con esponente, che non `e intero
positivo, solo per x positivo. Poi, caso per caso, si vede se `e possibile estendere la
definizione anche per x nullo o negativo. Questa scelta pu`o essere molto valida.
ˆ Si pu`
o definire, non con ragionamenti elementari, la potenza di un numero reale
positivo con esponente irrazionale α; essa si scrive xα .
10
Funzioni, grafici, relazioni
In generale, se α e β sono due qualsiasi numeri reali, valgono le seguenti propriet`a
1. xα+β = xα · xβ
∀ x > 0;
xα
xβ
β α
2. xα−β = xα · x−β =
∀ x > 0;
3. xα·β = (xα )β = x
1 α
1
α
4. x β = (xα ) β = x β
∀ x > 0;
∀ x > 0 e β non nullo.
Ad esempio la funzione xπ ´e definita in [0, +∞[ (zero incluso) ed il suo grafico ´e
f
+10.0
+9.0
+8.0
+7.0
+6.0
+5.0
+4.0
+3.0
+2.0
+1.0
−0.4
+0.4
+1.0
+1.6
+2.2
x
Utilizzando le funzioni potenze con esponente intero positivo si ottengono due importanti
classi di funzioni: i polinomi e le funzioni razionali.
ˆ Un polinomio `e la somma del prodotto di numeri reali per potenze di x con esponente
intero positivo o nullo. Ad esempio due polinomi sono
f (x) = x5 − 6 x3 + 2 x − 1 ,
Ogni polinomio `e definito in tutto R.
g(x) = 3 x4 +
√
1 2
x + πx − 2.
2
Funzioni, grafici, relazioni
11
ˆ Una funzione razionale `e il rapporto di due polinomi. Essa definita in tutto R
eccettuati gli eventuali punti dove il polinomio a denominatore si annulla. Esempi
di funzioni razionali sono
f (x) =
x−2
x2 − 1
∀ x 6= ±1 ,
g(x) =
x4 + x2 + 1
x−3
∀ x 6= 3 .
1
.
x
Essa `e definita ovunque eccetto che per x = 0. L’immagine `e ancora tutto R tranne lo
1
zero; la funzione `e invertibile e la sua inversa `e la funzione f −1 (y) = .
y
Il grafico, qui riportato, `e anche un ben noto luogo geometrico che si chiama iperbole
Una semplice funzione razionale con interessanti propriet`a `e la funzione f (x) =
equilatera.
f
+7.0
+6.0
+5.0
+4.0
+3.0
+2.0
+1.0
−6.0
−4.0
−2.0
−1.0
+2.0
+4.0
+6.0
x
−2.0
−3.0
−4.0
−5.0
−6.0
−7.0
In geometria analitica la pi`
u generale iperbole equilatera, in un opportuno sistema di
coordinate cartesiane, si scrive xy = k, dove k `e una costante non nulla. Applicando per`o
1
una semplice trasformazione di coordinate diventa y = .
x
12
Funzioni, grafici, relazioni
6. La funzione valore assoluto
Un particolare funzione legata alle potenze `e la funzione valore assoluto.
ˆ Per ogni x reale si definisce valore assoluto di x la funzione
x
se x ≥ 0
|x| =
−x se x < 0
√
√
E’ facile verificare che |x| = x2 per ogni x ∈ R. Quindi `e corretto scrivere x2 = x
soltanto quando x `e positivo o nullo!
Il grafico di |x| `e
f
+11.0
+10.0
+9.0
+8.0
+7.0
+6.0
+5.0
+4.0
+3.0
+2.0
+1.0
−6.0
−4.0
−2.0
−1.0
+2.0
+4.0
+6.0
x
−2.0
−3.0
Occorre prestare attenzione a questa funzione in quanto purtroppo spesso un uso non
corretto conduce ad errori. Ad esempio le seguenti affermazioni sono vere.
1. |2| = 2.
2. L’equazione |x| = 2 `e equivalente a x = ±2, cio`e x = 2 oppure x = −2.
E’ invece errato scrivere |2| = ±2.
Funzioni, grafici, relazioni
13
7. Le funzioni esponenziali
Le funzione esponenziali sono strettamente legate alle potenze con esponente reali; infatti
ci`o che cambia `e soltanto la posizione della variabile indipendente x, che nelle potenze
occupa la base mentre nelle funzioni esponenziali occupa l’esponente.
ˆ Sia a un numero positivo. La funzione f (x) = ax `e la funzione esponenziale avente
come base a. Essa `e definita in tutto R.
Il legame con le potenze `e ora evidente, poich´e il calcolo di una funzione esponenziale
richiede le medesime operazioni necessarie per il calcolo di una potenza. Ad esempio 23 `e
sia il valore della potenza x3 per x = 2, che della funzione esponenziale 2x per x = 3.
f
+11.0
+10.0
+9.0
+8.0
+7.0
+6.0
+5.0
+4.0
+3.0
+2.0
+1.0
−6.0
−4.0
−2.0
−1.0
+2.0
+4.0
+6.0
x
−2.0
−3.0
Il grafico della funzione 2x .
Quando la base a `e uguale ad 1, la funzione che si ottiene `e costante. Questo caso `e poco
interessante, poich´e soltanto se a `e positivo e diverso da 1, la funzione esponenziale ax `e
invertibile. Inoltre se a `e positivo e diverso da 1, l’immagine della funzione f (x) = ax `e
costituita da tutti i numeri reali positivi.
14
Funzioni, grafici, relazioni
La base pi`
u utilizzata `e il numero di Nepero e, che `e irrazionale ed `e approssimativamente
uguale a 2.718281828459. Talvolta si scrive f (x) = exp(x) invece di f (x) = ex .
Questa funzione esponenziale `e presente in moltissime equazioni e problemi sia della fisica
che della chimica.
f
+11.0
+10.0
+9.0
+8.0
+7.0
+6.0
+5.0
+4.0
+3.0
+2.0
+1.0
−6.0
−4.0
−2.0
−1.0
+2.0
+4.0
+6.0
x
−2.0
−3.0
Il grafico della funzione ex .
Le principali propriet`a delle funzioni esponenziali si ottengono direttamente dalle propriet`a delle potenze e sono le seguenti.
1. ax+t = ax · at
∀ x e t ∈ R;
2. ax·t = (ax )t = at
x
∀ x e t ∈ R.
Solo per curiosit`a si definiscono anche funzioni con base ed esponente variabile come
f (x) = xx , che ha come dominio l’insieme dei numeri x reali e positivi.
Funzioni, grafici, relazioni
15
f
+5.5
+5.0
+4.5
+4.0
+3.5
+3.0
+2.5
+2.0
+1.5
+1.0
+0.5
−2.0
−1.0
−0.5
+1.0
+2.0
+3.0
+4.0
x
−1.0
−1.5
Il grafico della funzione 10x .
8. Le funzioni logaritmo
Abbiamo visto che la funzione esponenziale ax `e invertibile nell’ipotesi che a sia positivo e
diverso da 1. In questo caso la funzione inversa `e definita per ogni numero reale positivo,
si chiama logaritmo in base a e si scrive loga y. Tenendo conto delle relazioni tra una
funzione e la sua inversa (1) si hanno le seguenti identit`a
loga ax = x ∀ x ∈ R ,
aloga y = y
∀ y > 0.
Utilizzando queste identit`a si possono dimostrare le seguenti propriet`a
1. loga (x t) = loga x + loga t ∀ x > 0 e ∀ t > 0;
2. loga
x
= loga x − loga t ∀ x > 0 e ∀ t > 0;
t
3. loga xt = t loga x ∀ x > 0 e ∀ t ∈ R;
4. loga x = (loga b) (logb x)
∀ x > 0 e ∀ b > 0 e diverso da 1.
16
Funzioni, grafici, relazioni
L’ultima propriet`a chiarisce il motivo per il quale usualmente vengono utilizzate due sole
basi: il numero e ed il numero 10. Il logaritmo in base e si chiama logaritmo naturale
e spesso si scrive semplicemente log x invece di loge x. Il logaritmo in base 10 si chiama
logaritmo volgare o di Briggs e spesso si scrive semplicemente Log x invece di log10 x.
Altre notazioni sono anche comunemente usate per indicare questi due logaritmi.
y
+7.0
+6.0
+5.0
+4.0
+3.0
+2.0
+1.0
−1.0
+2.0
+4.0
+6.0
x
+8.0
−1.0
−2.0
−3.0
Il grafico delle funzioni log x (linea continua) e Log x (linea tratteggiata).
9. Le funzioni trigonometriche
Si consideri nel piano cartesiano la circonferenza di centro l’origine e raggio 1.
y
P
α
O
A
x
Funzioni, grafici, relazioni
17
L’equazione di questa circonferenza `e x2 + y 2 = 1. Questa particolare circonferenza si
chiama circonferenza trigonometrica.
Sia P un generico punto della circonferenza ed A il punto della stessa avente coordinate
(1, 0). Consideriamo l’angolo α formato dai due segmenti OA e OP e determinato dalla
seguente regola:
1. 0 ≤ α ≤
π
, oppure in gradi 0° ≤ α ≤ 90°, se P appartiene al I quadrante;
2
π
≤ α ≤ π, oppure in gradi 90° ≤ α ≤ 180°, se P appartiene al II quadrante;
2
3
3. π ≤ α ≤ π, oppure in gradi 180° ≤ α ≤ 270°, se P appartiene al III quadrante;
2
3
4. π ≤ α < 2 π, oppure in gradi 270° ≤ α < 360°, se P appartiene al IV quadrante e
2
non coincide con A.
2.
Questa scelta non `e l’unica; infatti vi sono anche altre possibilit`a per definire gli angoli
nella circonferenza trigonometrica. Quando si usano semplici numeri reali invece che
gradi, si dice che il valore dell’angolo α `e espresso in radianti.
ˆ Ad ogni punto P `e quindi associato univocamente un solo numero reale α apparte-
nente all’intervallo [0, 2 π[ (2 π `e escluso). E’ evidente che la corrispondenza stabilita
tra P e α `e biunivoca. Definiamo due funzioni seno e coseno.
1. cos : [0, 2 π[→ R e cos(α) `e il valore dell’ascissa del punto P della circonferenza
trigonometrica corrispondente all’angolo α;
2. sen : [0, 2 π[→ R e sen(α) `e il valore dell’ordinata del punto P della circonferenza trigonometrica corrispondente all’angolo α.
Alcuni valori notevoli sono:
α
0
cos α
1
sen α
0
π
6
√
3
2
1
2
π
4
√
2
2
√
2
2
π
3
1
2
√
3
2
π
2
π
3
π
2
0
−1
0
1
0
−1
18
Funzioni, grafici, relazioni
E’ utile estendere la definizione di queste funzioni all’intero asse reale. Ci`o `e possibile,
definendo
sen (α + 2 k π) = sen α e
cos(α + 2 k π) = cos α
∀ α ∈ [0, 2 π[ e ∀ k ∈ Z.
Si definiscono anche altre funzioni trigonometriche; la pi`
u importante `e la funzione tangente definita da
tg α =
sen α
cos α
∀ α 6=
π
+ k π , k ∈ Z.
2
f
+6.0
+5.0
+4.0
+3.0
+2.0
+1.0
−3π/2
−π
−π/2
+π/2
−1.0
−2.0
−3.0
−4.0
−5.0
−6.0
La funzione cos α.
+π
+3π/2
x
Funzioni, grafici, relazioni
19
f
+6.0
+5.0
+4.0
+3.0
+2.0
+1.0
−3π/2
−π
−π/2
+π/2
−1.0
−2.0
−3.0
−4.0
−5.0
−6.0
La funzione sen α.
+π
+3π/2
x
20
Funzioni, grafici, relazioni
Principali formule trigonometriche
sen2 α + cos2 α = 1
cos(−α) = cosα
sen(−α) = − senα
tg(−α) = − tgα
cos(α + 2π) = cosα
π
− α = senα
cos
2
π
cos
+ α = − senα
2
sen(α + 2π) = senα
π
sen
− α = cosα
2
π
sen
+ α = cosα
2
tg(α + π) = tgα
π
1
tg
−α =
2
tgα
π
1
tg
+α =−
2
tgα
cos(π − α) = − cosα
sen(π − α) = senα
tg(π − α) = − tgα
cos(π + α) = − cosα
sen(π + α) = − senα
tg(π + α) = tgα
cos2 α =
1
1 + tg2 α
sen2 α =
tg2 α
1 + tg2 α
cosα senα =
cos(2α) = cos2 α − sen2 α
sen(2α) = 2 senα cosα
tg(2α) =
α r 1 + cosα
cos
=
2
2
α r 1 − cosα
sen
=
2
2
tg
cosα =
1 − tg2 α2
1 + tg2 α2
senα =
2 tg α2
1 + tg2 α2
cos(α ± β) = cosα cosβ ∓ senα senβ
tg(α ± β) =
α
2
tgα =
=
tgα
1 + tg2 α
2 tgα
1 − tg2 α
senα
1 + cosα
2 tg α2
1 − tg2 α2
sen(α ± β) = senα cosβ ± cosα senβ
tgα ± tgβ
1 ∓ tgα tgβ
cosα + cosβ = 2 cos
α+β
α−β
cos
2
2
cosα − cosβ = −2 sen
α+β
α−β
cos
2
2
senα − senβ = 2 cos
senα + senβ = 2 sen
cosα cosβ =
1
[ cos(α + β) + cos(α − β)]
2
senα cosβ =
1
[ sen(α + β) + sen(α − β)]
2
senα senβ =
α+β
α−β
sen
2
2
α+β
α−β
sen
2
2
1
[ cos(α − β) − cos(α + β)]
2
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