Istituzioni di Algebra Superiore per il corso di Laurea in Matematica
Anno accedemico 2014-15, I Semestre
Docente: Alberto De Sole
Diario delle lezioni
19 gennaio 2015
Mercoled`ı 1 ottobre.
Lettura: Humphreys I.1.1, I.1.2
• Presentazione del corso.
• Definizione di algebra. Algebre associative, commutative e unitare.
• Definizione di algebra di Lie.
• Esempio: R3 con il prodotto vettoriale.
• Proposizione: data un’algebra associativa (A, ·), abbiamo un’algebra di Lie (A, [· , ·]),
dove [a, b] = a · b − b · a.
• Esempio: gln .
• Sottoalgebra di un’algebra di Lie.
• Esempi: matrici diagonali, triangolari superiori, e strettamente triangolari superiori.
• Algebre di Lie classiche: sln , on , spn .
Gioved`ı 2 ottobre.
Lettura: Humphreys I.1.2, I.1.3
• Forme bilineari non degeneri simmetriche e antisimmetriche su uno spazio V e corrispondenti algebre di Lie o(V ) e sp(V ).
• Struttura di sl2 in base standard (H, E, F ).
• Algebra di Lie non-abeliana di dimensione 2: g = Kx ⊕ Ky, con [x, y] = x
• Derivazioni di un’algebra A.
• Proposizione: Der(A) ⊂ gl(A) `e una sottoalgebra di Lie.
• Derivazioni interne di un’algebra di Lie g: ad x, x ∈ g.
• Proposizione: Der0 (g) ⊂ Der(g) `e una sottoalgebra di Lie.
Venerd`ı 3 ottobre.
Lettura: Humphreys I.2.1, I.2.2
• Sottoalgebre e ideali di un’algebra di Lie.
• Quoziente di un’algebra di Lie per un ideale.
• Omomorfismi di algebre di Lie e teoremi di isomorfismo.
• Algebre di Lie semplici.
• Esempio: sl2 `e semplice.
• Rappresentazioni di un’algebra di Lie.
• Rappresentazione aggiunta.
Esercizi (Settimana 1):
(1) (a) Dimostrare che ogni forma bilineare non-degenere simmetrica su uno spazio vettoriale complesso V ha la forma, in coordinate, (X|Y ) = X t SY , dove S `e una matrice
simmetrica non-degenere. Dimostrare inoltre che `e sempre possibile scegliere la base
di V in modo da avere S = 1I.
(b) Dimostrare che se uno spazio vettoriale complesso V ammette una forma bilineare
non-degenere antisimmetrica, allora ha dimensione pari n = 2k. Dimostrare che
ogni forma bilineare non-degenere antisimmetrica su V ha la forma, in coordinate,
(X|Y ) = X t AY , dove A `e una matrice simmetrica non-degenere. Dimostrare inoltre
che
`e sempre
possibile scegliere la base di V in modo che la matrice A sia J =
0 1I
.
−1I 0
(2) Verificare che l’unica possibile algebra di Lie di dimensione 2: g = Kx ⊕ Ky, con [x, y] =
x, `e effettivamente un’algebra di Lie. Trovare un’algebra di Lie lineare isomorfa a g.
(3) (Hum.1.1) Descrivere la struttura di algebra di Lie di (R3 , ×) (prodotto vettoriale)
specificando il bracket fra gli elementi della base canonica.
1
(4) (Hum.1.5) Sia x ∈ gln una matrice con autovalori distinti λ1 , . . . , λn . Dimostrare che
ad(x) ∈ gl(g) `e un’applicazione lineare diagonalizzabile con autovalori λi − λj , i, j =
1, . . . , n.
(5) (Hum.2.1) Dimostrare che lo spazio Der0 (g) delle derivazioni interne di g `e un’ideale di
Der(g).
(6) (Hum.2.2) Dimostrare che [sln , sln ] = sln per ogni n.
Mercoled`ı 8 ottobre.
Lettura: Humphreys I.2.1, I.2.2
• Serie derivata e serie discendente centrale di un’algebra di Lie.
• Algebre di Lie risolubili.
• Algebre di Lie nilpotenti.
• Esempi: bn `e risolubile e nn `e nilpotente.
• Gradazione di gln : gln = ⊕n−1
k=−n+1 gln [k].
• Osservazioni: g abeliano ⇒ g nilpotente ⇒ g risolubile ⇔ g0 risolubile.
• Proposizione: siano g un’algebra di Lie, h ⊂ g una sottoalgebra, e I, J ⊂ g ideali.
(a) g nilpotente ⇒ h nilpotente, e g risolubile ⇒ h risolubile;
(b) g nilpotente ⇒ g/I nilpotente, e g risolubile ⇒ g/I risolubile;
(c) I risolubile, g/I risolubile ⇒ g risolubile (NON `e vero per nilpotente);
(d) I, J risolubili ⇒ I +P
J risolubile.
• Radicale di g: Rad(g) = Jideali risolubili J.
• Definizione: g `e semisemplice se Rad(g) = 0.
• Proposizione: g/ Rad(g) `e semisemplice.
Gioved`ı 9 ottobre.
Lettura: Humphreys I.3.1, I.3.2, I.3.3
• Lemma: se T ∈ End(V ) `e nilpotente, allora ad(T ) ∈ End(End V ) `e nilpotente.
• Teorema 1: se g ⊂ gl(V ) `e una sottoalgebra composta da endomorfismi nilpotenti, allora
esiste 0 6= v ∈ V tale che X(v) = 0 per ogni X ∈ g.
• Teorema 2: se g ⊂ gl(V ) `e una sottoalgebra composta da endomorfismi nilpotenti, allora
esiste una base di V tale che ogni X ∈ g ha matrice strettamente triangolare superiore:
g ⊂ nn .
• Teorema (Engel): g `e nilpotente se e solo se ad x ∈ End(g) `e un endomorfismo nilpotente
per ogni x ∈ g.
Venerd`ı 10 ottobre.
Lettura: Humphreys II.4.1, II.4.2
• Teorema 3: se g ⊂ gl(V ) `e una sottoalgebra risolubile, allora esiste λ ∈ g∗ e 0 6= v ∈ V
tale che X(v) = λ(X)v per ogni X ∈ g.
• Teorema 4 (Lie): se g ⊂ gl(V ) `e una sottoalgebra risolubile, allora esiste una base di V
tale che ogni X ∈ g ha matrice triangolare superiore: g ⊂ bn .
• Teorema (decomposizione di Jordan): dato un endomorfismo X : V → V ,
(a) ∃! Xs semisemplice e Xn nilpotente tali che X = Xs + Xn e [Xs , Xn ] = 0;
(b) Xs = P (X) e Xn = Q(X), dove P e Q sono polinomi tali che P (0) = Q(0) = 0;
(c) se A ⊂ B ⊂ V sono sottospazi tali che X(B) ⊂ A, allora Xs (B) ⊂ A e Xn (B) ⊂ A.
Esercizi (Settimana 2):
(1) (Hum.3.1) Dimostrare che g(k) ⊂ g e gk ⊂ g sono ideali.
(2) Dimostrare che: I, J nilpotenti ⇒ I + J nilpotente.
(3) Data un’algebra di Lie g ed un ideale risolubile I ⊂ g, dimostrare il teorema di corrispondenza tra ideali
∼
¯ ⊂ g/I} ←→
{ideali risolubili J
{ideali risolubili I ⊂ J ⊂ g/I}
(4) (Hum.3.3) Dimostrare che sl(2, F) `e nilpotente se la caratteristica del campo F `e 2.
(5) (Hum.3.4) Dimostrare che g `e risolubile se e solo se ad(g) `e risolubile.
(6) (Hum.3.7) Sia g nilpotente e sia h ⊂ g una sottoalgebra propria. Dimostrare che Ng (h)
include h propriamente.
2
(7) (Hum.3.8) Sia g 6= 0 nilpotente. Dimostrare che esiste un ideale I ⊂ g di codimensione
1.
Mercoled`ı 15 ottobre.
Lettura: Humphreys II.4.3
0
• Proposizione: g `e risolubile se e solo se g `e nilpotente.
• Definizione: una forma bilineare simmetrica su g `e invariante se ([a, b]|c) = (a|[b, c]).
• Forma traccia associata ad una rappresentazione φ : g → gl(V ) di g su V : (a|b)V =
TrV (φ(a) ◦ φ(b)).
• Forma di Killing di g: κ(a, b) = Trg (ad a ◦ ad b).
• Teorema (criterio di risolubilit`
a di Cartan): g ⊂ gl(V ) `e risolubile se e solo se ([g, g]|g)V =
0.
• Lemma: se x = xs + xn `e la decomposizione di Jordan di x ∈ End(V ), allora ad x =
ad xs + ad xn `e la decomposizione di Jordan di ad x ∈ End(End V ).
Gioved`ı 16 ottobre.
Lettura: Humphreys II.5.1
• Corollario (del Teorema di Cartan): g `e risolubile se e solo se κ([g, g], g) = 0.
• Teorema (criterio di semisemplicit`a): g `e semisemplice se e solo se k `e non-degenere.
• Lemma: se I ⊂ g `e un ideale, allora κI = κg |I×I .
• Esempio: forma traccia e forma di Killing di sl2 .
Venerd`ı 17 ottobre.
Lettura: Humphreys II.5.2, II.6.1
• Somma diretta di algebre di Lie.
• Proposizione: sia g un’algebra di Lie e siano I1 , . . . , Is ⊂ g sottoalgebre. Se g = I1 ⊕
· · · ⊕ Is ⊂ `e somma diretta di sottospazi vettoriali, allora `e somma diretta di algebre di
Lie se e solo se I1 , . . . , Is ⊂ g sono ideali.
• Teorema: sia g un’algebra di Lie semisemplice.
(i) esistono ideali I1 , . . . , Is ⊂ g che sono semplici (come algebre di Lie), tali che
g = I1 ⊕ · · · ⊕ Is ;
(ii) la decomposizione `e unica, nel senso che I1 , . . . , Is sono tutti e soli gli ideali semplici
di g;
(iii) la decomposizione `e ortogonale rispetto alla forma di Killing.
• Rappresentazioni, sottorappresentazioni, rappresentazioni irriducibili, somma diretta di
rappresentazioni.
• Osservazione: le sottorappresentazioni della rappresentazione aggiunta sono gli ideali di
g, e le sottorappresentazioni irriducibili sono gli ideali semplici.
• Rappresentazioni dell’algebra di Lie di dimensione 1 (su C): una qualunque rappresentazione `e data da uno spazio vettoriale V con un fissato endomorfismo X ∈ End(V );
le rappresentazioni irriducibili hanno dimensione 1; le rappresentazioni completamente
riducibili sono date da un endomorfismo X diagonalizzabile..
• Enunciato del Teorema di Weyl: se g `e un’algebra di Lie semisemplice, allora qualunque
rappresentazione `e completamente riducibile come somma diretta di sottorappresentazioni irriducibili.
Esercizi (Settimana 3):
(1) Dimostrare che se adg [g, g] `e nilpotente, allora ad[g,g] [g, g] `e nilpotente.
(2) Dimostrare che se (· | ·) : g × g → C `e una forma bilieare simmetrica invariante, allora
ker(· | ·) = {a ∈ g | (a|g) = 0} `e un ideale di g.
(3) Dimostrare l’implicazione “ovvia” del teorema di Cartan: se g ⊂ gl(V ) `e risolubile,
allora ([g, g]|g)V = 0.
(4) Esercizio di algebra lineare: sia V uno spazio vettoriale complesso, sia (· | ·) una forma
bilineare simmetrica non-degenere su V , e sia S la matrice (simmetrica) associata a
questa forma bilineare in una fissata base di V .
(a) Dimostrare che (· | ·) `e non-degenere (ovvero V ⊥ = 0) se e solo se S `e non-degenere
(ovvero det S 6= 0).
3
(b) Dimostrare che, se U ⊂ V `e un sottospazio, allora dim V = dim U + dim U ⊥ .
(c) Dedurre che se U ∩ U ⊥ = 0, allora V = U ⊕ U ⊥ .
(d) Far vedere con un esempio che, in generale, non `e vero che V = U ⊕ U ⊥ .
(5) Sia τ la forma traccia di sln , e sia κ la forma di Killing di sln . Dimostrare che κ = 2nτ .
Verificare che la forma traccia (e dunque la forma di Killing) di sln `e non-degenere.
Dedurre che sln `e semisemplice.
(6) Diciamo che una rappresentazione V di g `e indecomponibile se non si pu`o decomporre
come somma diretta di due sottorappresentazioni proprie. Si consideri l’algebra di Lie
di dimensione 1 g = Cx. Descrivere tutte le rappresentazioni indecomponibili.
(7) Si consideri l’algebra di Lie reale di dimensione 1 g = Rx. Descrivere tutte le rappresentazioni reali irriducibili di g.
Mercoled`ı 22 ottobre.
• Rappresentazioni e moduli.
• Sottorappresentazione, rappresentazione quoziente.
• Rappresentazioni irriducibili.
• Somma diretta di sottorappresentazioni.
• Rappresentazioni indecomponibili.
• Rappresentazioni completamente riducibili.
• Rappresentazione duale V ∗ .
• Rappresentazione Hom(V, W ).
• Rappresentazione prodotto tensoriale V ⊗ W .
Lettura: Humphreys 6.1
Gioved`ı 23 ottobre.
Lettura: Humphreys 6.2
• Omomorfismo e isomorfismo di rappresentazioni di g.
• Proposizione: se T : V → W `e un omomorfismo di rappresentazioni di g, allora ker(T ) ⊂
V `e una sottorappresentazione di V e Im(T ) ⊂ W `e una sottorappresentazione di W .
• Teoremi di isomorfismo per algebre semisemplici.
• Lemma di Schur.
• Operatore di Casimir CV ∈ End(V ) associto ad una rappresentazione fedele V di g.
• Proposizione: l’operatore di Casimir `e un omomorfismo di rappresentazioni: CV ∈
dim g
Endg (V ); se V `e irriducibile, allora CV = dim
V 1IV .
Venerd`ı 24 ottobre.
Lettura: Humphreys 6.3
• Lemma: se g `e semisemplice, allora [g, g] = g.
• Teorema di Weyl: se g `e semisemplice, allora ogni rappresentazione V di g `e completamente riducibile come somma diretta di irriducibile.
Esercizi (Settimana 4):
(1) Dimostrare che le nozioni di rappresentazione di un’algebra di Lie g su uno spazio
vettoriale V , e di g-modulo V , sono equivalenti. Ovvero:
(a) se φ : g → gl(V ) `e una rappresentazione di g su V , allora V `e un g-modulo con
azione a · v := φ(a)(v);
(b) se V `e un g-modulo con azione a · v, allora abbiamo una rappresentazione φ : g →
gl(V ) di g su V data da φ(a)(v) := a · v.
(2) Dimostrare che le seguenti propriet`a sono equivalenti per un algebra di Lie g su C:
(i) g `e semisemplice;
(ii) qualunque rappresentazione di g `e completamente riducibile come somma diretta
di sottorappresentazioni irriducibili;
(iii) per ogni rappresentazioni V di g ed ogni sottorappresentazione U ⊂ V esiste una
sottorappresentazione U 0 ⊂ V complementare a U , ovvero t.c. V = U ⊕ U 0 .
(3) Sia g un’algebra di Lie e siano V, W due rappresentazioni di g Dimostrare che l’azione
di g su Hom(V, W ) data da (a · T )(v) = a(T (v)) − T (a · v) definisce una rappresentazione
di g su Hom(V, W ).
4
(4) (a) Dati spazi vettoriali V e W , trovare un isomorfismo canonico χ : Hom(V, W ) '
W ⊗ V ∗.
(b) Se V e W sono rappresentazioni di g, allora χ : Hom(V, W ) ' W ⊗ V ∗ `e un
isomorfismo di rappresentazioni.
(5) (a) Dimostrare il Teorema di isomorfismo per le rappresentazioni di g: se T : V →
W `e un omomorfismo di rappresentazioni di g, allora esiste un isomorfismo di
∼
rappresentazioni T¯ : V / ker T −→ Im T .
(b) Dimostrare il Teorema di corrispondenza tra le sottorappresentazioni: sia V `e
una rappresentazione di g, e sia U ⊂ V una sottorappresentazione. Allora esiste
una corrispondenza biunivoca (canonica) tra le sottorappresentazioni W di V che
contengoono U , e le sottorappresentazioni W/U di V /U
(6) Dimostrare che l’operatore di Casimir CV non dipende dalla scelta della base duale.
Mercoled`ı 29 ottobre.
Lettura: Humphreys 7.1, 7.2
∂
∂
f=
h = x ∂x
− y ∂y
.
• Rappresentazione di sl2 su C[x, y]: e =
• Decomposizione in irriducibili: C[x, y] = ⊕n∈Z+ Vn , dove Vn = C[x, y][n] `e la sottorappresentazione dei polinomi omogenei di grado n.
• Teoria delle rappresentazioni (in dimensione finita) di sl2 : ogni rappresentazione `e completamente riducibile come somma diretta di irriducibili, e le rappresentazioni irriducibili
di sl2 sono tutte e sole le rappresentazioni Vn , n ∈ Z+ .
∂
,
x ∂y
Gioved`ı 30 ottobre.
∂
y ∂x
,
Lettura: Humphreys 5.4, 6.4
• Teorema 1: sia g ⊂ gl(V ) una sottoalgebra semisemplice, e sia x = s + n la decomposizione di Jordan in gl(V ) di x ∈ g. Allora s, n ∈ g.
• Teorema 2: sia g ⊂ gl(V ) una sottoalgebra semisemplice. Allora x = s + n `e la decomposizione di Jordan in End(V ) di x ∈ g se e solo se ad(x) = ad(s) + ad(n) `e la
decomposizione di Jordan in End(g) di ad(x).
• Decomposizione di Jordan astratta in un algebra di Lie semisemplice. Elementi semisemplici e elementi nilpotenti.
• Teorema 3: sia φ : g → gl(V ) una rappresentazione dell’algebra di Lie semisemplice g
sullo spazio vettoriale V , e sia x = s + n la decomposizione di Jordan astratta di x ∈ g.
Allora φ(x) = ad(s) + ad(n) `e la decomposizione di Jordan di ad(x) in End(V ).
• Corollario: se x ∈ g `e un elemento semisemplice (rispettivamente nilpotente), allora
φ(x) ∈ End(V ) `e diagonalizzabile (risp. nilpotente) per ogni rappresentazione φ : g →
gl(V ) di g.
Venerd`ı 31 ottobre.
Lettura: Humphreys 8.1
• Teorema: sia g un’algebra di Lie semisemplice e sia h ⊂ g una sottoalgebra che consiste
di elementi semisemplici. Allora h `e abeliana.
• Definizione: una sottoalgebra di Cartan h ⊂ g `e una sottoalgebra massimale che consiste
di elementi semisemplici (in particolare, `e abeliana).
• Esempio: una sottoalgebra di Cartan di sln `e h = δn ∩ sln .
• Radice α ∈ h∗ \{0} di una sottoalgebra di Cartan h ⊂ g; vettore radice x ∈ g t.c.
[h, x] = α(h)x per ogni h ∈ h; spazio radice gα = {x ∈ g | [h, x] = α(h)x ∀ h ∈ h};
sistema di radici Φ ⊂ h∗ \{0}.
• Decomposizione in spazi radice: g = g0 ⊕ ⊕α∈Φ gα .
• Esempio: sistema di radici di sln : Φ = {i −j | i 6= j = 1, . . . , n} ⊂ h∗ , e decomposizione
in spazi radice: sln = h ⊕ ⊕i6=j gi −j , dove h = δn ∩ sln e gi −j = CEij .
Esercizi (Settimana 5):
(1) Sia V una rappresentazione di sl2 = he, h, f i e sia v0 ∈ V tale che ev0 = 0 e hv0 = λ0 v0 .
Dimostrare che, per ogni i ≥ 0, vale e(f i v0 ) = i(λ0 − i + 1)f i−1 v0 .
5
(2) Sia (come costruito a lezione) V = hv0 , f v0 , . . . , f n v0 i, una rappresentazione (irriducibile) di sl2 tale che ev0 = 0, hv0 = nv0 , e tale che f n+1 v0 = 0. Dimostrare che, riscalando
i vettori di base opportunamente, le matrici dell’azione di e, h e f sono:
0 1
0
0
0
n
0
n 0
0 2
n
−
2
.. ..
.. ..
e=
,
h
=
,
f
=
.
.
.
.
..
.
0
n
2
0
0
−n
0
0
0
1 0
(3) Sia h ⊂ gl(V ) una sottoalgebra abeliana che consiste di endomorfismi diagonalizzabili.
Dimostrare che esiste una base B = (e1 , . . . , en ) di V in cui tuttli gli elementi T ∈ h
sono simultaneamente diagonali.
(4) (a) Sia V uno spazio vettoriale e sia U ⊂ V un sottospazio. Dimostrare che lo spazio
U ∗ `e canonicamente isomorfo allo spazio V ∗ /J, dove
J = f ∈ V ∗ f (u) = 0 ∀u ∈ U
x1
.
.
(b) Sia h = h = 0
. 0 x1 + · · · + xn = 0 ⊂ δn = {matrici diagonali
xn
n × n}. Sia 1 , . . . , n la base “canonica” di δn∗ (duale della base E11 , . . . , Enn di δn ).
Dimostrare che
h∗ ' h1 , . . . , n iC C(1 + · · · + n )
(5) Dimostrare che per un’algebra di Lie g le seguenti condizioni sono equivalenti (se sono
soddisfatte, diremo che g `e riduttiva):
(i) g = Z(g) ⊕ [g, g], somma diretta di ideali, e [g, g] `e semisemplice.
(ii) g = Z(g) ⊕ I1 ⊕ · · · ⊕ Is , `e somma diretta del centro Z(g) e di ideali semplici
I1 , . . . , Is ;
(iii) la rappresentazione aggiunta di g `e completamete riducibile come somma diretta
di sottorappresentazioni irriducibili;
(iv) ad(g) ⊂ gl(g) `e un’algebra di Lie semisemplice.
(6) (Hum.6.9) Sia g un’algebra di Lie semisemplice, e sia g1 ⊂ g una sottoalgebra semisemplice. Dato x ∈ g1 , dimostrare che la decomposizione di Jordan astratta di x in g1
coincide con la decomposizione di Jordan astratta si x in g.
(7) (Hum.7.2) L’algebra di Lie sl3 contiene una copia di sl2 nel blocco 2×2 in alto a sinistra.
Vedendo sl3 come rappresentazione di sl2 ⊂ sl3 (tramite l’azione aggiunta), trovare la
decomposizione di sl3 come somma diretta di sottorappresentazioni irriducibili di sl2 .
Mercoled`ı 5 novembre.
Lettura: Humphreys 8.1
• Esempio 1: algebra di Cartan, sistema delle radici, e decomposizione in spazi radice di
sln .
• Teorema: sia g ⊂ sl(V ) una sottoalgebra di Lie tale che la rappresentazione di definizione
(su V ) sia irriducibile. Allora g `e semisemplice.
• Proposizione: se g ⊂ gln `e una sottoalgebra semisemplice che contiene almeno una
matrice diagonale con elementi diagonali distinti, allora h = g ∩ δn `e una sottoalgebra
di Cartan di g.
• Esempio 2: algebra di Cartan, sistema delle radici, e decomposizione in spazi radice di
spn , per n = 2`.
Gioved`ı 9 novembre. Lezione annullata per emergenza meteo.
6
Venerd`ı 10 novembre.
Lettura: Humphreys 8.2
• Proposizione: sia g un’algebra di Lie semisemplice, sia h ⊂ g una sottoalgebra di Cartan,
e sia g = g0 ⊕ ⊕α∈Φ gα ) la corrispondente decomposizione in spazi radice.
(a) per ogni α, β ∈ h∗ , vale [gα , gβ ] ⊂ gα+β ;
(b) ogni elemento x ∈ h `e un elemento semisemplice di g, mentre ogni elemento x ∈ gα ,
con α 6= 0, `e un elemento nilpotente di g;
(c) κ(gα , gβ ) = 0 se α + β 6= 0.
• Teorema: g0 = h.
• Dimostrazione del Teorema data da una successione di lemmi:
L1. se x = s + n `e la decomposizione di Jordan astratta in g di x ∈ g0 , allora s, n ∈ g0 ;
L2. se s ∈ g0 `e un elemento semisemplice di g, allora s ∈ h;
L3. g0 `e un’algebra nilpotente;
L4. la forma di killing κ ristretta a h × h `e non-degenere;
L5. h ∩ [g0 , g0 ] = 0;
L6. g0 `e un’algebra abeliana;
L7. g0 = h.
Esercizi (Settimana 6):
(1) (a) Sia S `e una matrice simmetrica non-degenere n × n e si consideri la sottoalgebra di
Lie
so(n, S) = A ∈ Matn×n (C) AT S = −SA ⊂ gln .
Esibire un isomorfismo di algebre di Lie so(n, S) ' son (= so(n, 1I)).
(b) Sia S `e una matrice antisimmetrica non-degenere n × n (n `e pari) e si consideri la
sottoalgebra di Lie
sp(n, S) = A ∈ Matn×n (C) AT S = −SA ⊂ gln .
(2)
(3)
(4)
(5)
Esibire un isomorfismo di algebre di Lie sp(n, S) ' spn (= sp(n, J)).
Dimostrare che le rappresentazioni di definizione di son , per n ≥ 3, e di spn , per n ≥
4 pari, su V = Cn sono irriducibili. Dedurre che le algebra di Lie son e spn sono
semisemplici.
01×` 01×`
1
(a) Per n = 2` + 1, si consideri la matrice simmetrica S = 0`×1 0`×` 1I`×` e
0`×1 1I`×` 0`×`
la corrispondente algebra di Lie so(n, S) ' son . Descrivere i suoi elementi, specificando una base. Trovare una sottoalgebra di Cartan h ⊂ so(n, S). Studiare il
corrispondente sistema di radici Φ ⊂ h∗ , e la corrispondente decomposizione in spazi
radice so(n, S) = g0 ⊕ (⊕α∈Φ gα ).
0`×` 1I`×`
e la corrispon(b) Per n = 2`, si consideri la matrice simmetrica S =
1I`×` 0`×`
dente algebra di Lie so(n, S) ' son . Descrivere i suoi elementi, specificando una
base. Trovare una sottoalgebra di Cartan h ⊂ so(n, S). Studiare il corrispondente sistema di radici Φ ⊂ h∗ , e la corrispondente decomposizione in spazi radice
so(n, S) = g0 ⊕ (⊕α∈Φ gα ).
(Hum.7.5) Sia F `e un campo di caratteristica p. Si consideri la rappresentazione di
sl2 (F) su Vn = F[x, y][n], lo spazio dei polinomi in x e y omogenei di grado n, data da
∂
∂
∂
∂
e = x ∂y
, f = y ∂x
, h = x ∂x
− y ∂y
. Dimostrare che Vn `e irriducibile se e solo se n `e
strettamente minore di p.
(Hum.7.7) Dato λ ∈ C, si consideri la seguente rappresentazione Wλ di sl2 . Come spazio
vettoriale Wλ `e lo spazio (infinito dimensionale) con base v0 , v1 , v2 , . . . . L’azione di sl2
`e data da:
h(vi ) = (λ − 2i)vi , e(vi ) = (λ − i + 1)vi−1 , f (vi ) = (i + 1)vi+1 ,
per ogni i ≥ 0, dove abbiamo posto v−1 = 0.
7
(a) Dimostrare che queste formula definiscono una rappresentazione di sl2 su Wλ .
(b) Dimostrare che la rappresentazione di sl2 su Wλ `e irriducibile per ogni λ ∈ C\N.
(c) Sia ora λ = n ∈ N. Dimostare che vn+1 `e un vettore massimale (ovvero e(vn+1 ) = 0),
che c’e’ un omomorfismo iniettivo di rappresentazioni φ : W−n−2 → Wn definito da
φ(v0 ) = vn+1 , e che il quoziente Wn /φ(W−n−2 ) `e isomorfo alla rappresentazione Vn
irriducibile di sl2 di dimensione n + 1.
(6) (Hum.8.5) Se g `e un’algebra di Lie semisemplice e h ⊂ g `e una sottoalgebra di Cartan,
dimostrare che h `e autonormalizzante, ovvero Ng (h) = h.
Venerd`ı 14 novembre 2014: I prova in itinere
Mercoled`ı 19 novembre.
Lettura: Humphreys 8.3
• Proposizione: data la decomposizione in spazi radice g = h ⊕ ⊕α∈Φ gα dell’algebra di
Lie semisemplice g, abbiamo:
(a) [gα , gβ ] ⊂ gα+β ;
(b) κ(gα , gβ ) = 0 se β 6= −α;
(c) κh×h `e non-degenere;
ˆ α , tale che
• Identificazione h ' h∗ data da h 7→ κ(h, ·), con mappa inversa α 7→ h
ˆ
κ(hα , h) = α(h).
ˆ ˆ
ˆ
• Prodotto scalare indotto in h∗ , P
definito da
P (α|β) = κ(hα , hβ ) = α(hβ ).
P
∗
• Esempio: in sln abbiamo h = { i xi i | i xi = 0}, e Φ = {i −j }i6=j . Per α = i xi i
P
P
P
1
ˆα = 1
e β = j yj j , abbiamo h
i xi Eii , e (α|β) = 2n
i x i yi .
2n
• Proposizione (continuo):
(d) Span Φ = h∗ ;
(e) se α ∈ Φ, allora −α ∈ Φ;
ˆ α.
(f) se x ∈ gα e y ∈ g−α , allora [x, y] = κ(x, y)h
Gioved`ı 20 novembre.
Lettura: Humphreys 8.4
∗
• Proposizione: sia Φ ⊂ h \{0} il sistema di radici di un’algebra di Lie semisemplice g.
Allora (α|α) 6= 0 per ogni α ∈ Φ.
ˆα
2h
• Costruzione della tripla sl2 [α] = hhα , eα , fα i per ogni α ∈ Φ, con hα = (α|α)
∈ h,
eα ∈ gα , fα ∈ g−α .
• Proposizione (usando la teoria delle rappresentazioni di sl2 ):
(a) per ogni α ∈ Φ, abbiamo dim(gα ) = 1 e Φ ∩ Cα = {±α};
(b) per ogni α, β ∈ Φ con β 6= ±α, abbiamo 2(α|β)
(α|α) ∈ Z ed abbiamo la α-stringa per β:
Φ ∩ (β + Zα) = {β + nα | − r ≤ n ≤ q}, dove r, q ≥ 0 sono tali che r − q =
• Corollario: per ogni α, β ∈ Φ, abbiamo rα = β −
• Esempio: α-stringhe in sln .
2(α|β)
(α|α) α
2(α|β)
(α|α) .
∈ Φ.
Venerd`ı 21 novembre.
Lettura: Humphreys 8.5, 9.1
∗
• Teorema: sia Φ ⊂ h il sistema di radici di un’algebra semisemplice g. Allora:
(a) se α1 , . . . , α` ∈ Φ formano una base di h∗ , allora ogni α ∈ Φ `e combinazione lineare
delle αi con coefficienti razionali;
(b) lo spazio vettoriale razionale h∗Q = SpanQ Φ, lo spazio vettoriale reale h∗R = SpanR Φ,
e lo spazio vettoriale complesso h∗ hanno tutti la stessa dimensione ` (sui rispettivi
campi);
P
(c) per ogni λ, µ ∈ h∗ vale (λ|µ) = α∈Φ (α|λ)(α|µ);
(d) per ogni α, β ∈ Φ vale (α|β) ∈ Q;
(e) abbiamo un prodotto scalare simmetrico definito positivo (· | ·) a valori razionali su
h∗Q , ed un prodotto Euclideo (· | ·) su h∗R .
• Riflessioni in uno spazio Euclideo E, (· | ·): rα (β) = β −
8
2(α|β)
(α|α) α.
• Definizione: un sistema di radici (astratto) (E, Φ) `e uno spazio Euclideo E con un
sistema di generatori finito Φ ⊂ E\{0} tale che
(i) per ogni α ∈ φ vale Φ ∩ Rα = {±α};
(ii) per ogni α, β ∈ Φ, vale rα (β) ∈ Φ.
• Esempio: sistema di radici di sl3 .
Esercizi (Settimana 7):
(1) Sia Vn la rappresentazione irriducibile di sl2 di dimensione n + 1. Per ogni m, n ≥ 0
trovare la decomposizione di Vm ⊗ Vn come somma diretta di irriducibili.
(2) Per le algebre di Lie semisemplici g = so2`+1 (tipo B` ), sp2` (tipo C` ) e so2` (tipo D` ):
(a) ricordare la decomposizione in spazi radice;
(b) calcolare la restrizione della forma di Killing alla sottoalgebra di Cartan: κ|h×h ;
(3) Continuo:
ˆ α;
(c) determinare la mappa h∗ ' h, α 7→ h
(d) determinare il prodotto scalare su h∗ indotto dalla forma di Killing.
(e) Determinare la lunghezza ||α||2 = (α|α) di tutte le radici α ∈ Φ.
(4) Continuo:
(f) per ogni α, β ∈ Φ con β 6= ±α, determinare la α-stringa per β (ovvero i numeri r e
q).
Mercoled`ı 26 novembre.
Lettura: Humphreys 9.1, 9.2, 9.3
• Definizione di sistema di radice Φ ⊂ E nello spazio Euclideo E: `e un sottoinsieme finito
di generatori, tale che:
(i) per ogni α ∈ Φ, si ha Rα ∩ Φ = {±α};
(ii) per ogni α, β ∈ Φ, si ha 2(α|β)
(α|α) ∈ Z;
(iii) per ogni α ∈ Φ, si ha rα (Φ) = Φ, dove rα `e la riflessione ortogonale rispetto
all’iperpiano α⊥ , ovvero rα (v) = v − 2(α|v)
(α|α) α.
• Sistemi di radice classici in dimensione 2: A2 , D2 = A1 × A1 , B2 (= C2 ).
• Prodotto di sistemi di radice. Sistemi di radice irriducibili.
• Proposizione: se g = g1 ⊕ g2 `e somma diretta di ideali semisemplici, e Φ1 ⊂ E1 e
Φ2 ⊂ E2 sono i sistemi di radice associati a g1 e g2 , allora il sistema di radice di g `e
Φ1 ∪ Φ2 ⊂ E1 × E2 . (Dimostrazione per esercizio).
Gioved`ı 27 novembre.
Lettura: Humphreys 9.4
• Osservazioni sui sistemi di radici: se α, β ∈ Φ, con β 6= ±α e (β|β) ≥ (α|α), abbiamo le
seguenti possibilit`
a (mutuamente esclusive):
||β||
2(α|β)
1 c
c
αβ = ± π3 , ± 23 π;
(i) (α|α) = ±1, 2(α|β)
(β|β) = ±1, ||α|| = 1, cos(αβ) = ± 2 , √
√
2(α|β)
||β||
c = ± 2 , αβ
c = ± π , ± 3 π;
(ii) 2(α|β)
2, cos(αβ)
2
4
4
(α|α) = ±2, (β|β) = ±1, ||α|| =
√
√
2(α|β)
2(α|β)
||β||
3 c
π
c
(iii) (α|α) = ±3, (β|β) = ±1, ||α|| = 3, cos(αβ) = ± 2 , αβ = ± 6 , ± 56 π.
• Classificazione dei sistemi di radice in dimensione 2: sistema di radici G2 .
• Gruppo di Weyl di un sistema di radice: W = hrα | α ∈ Φi ⊂ O(E).
• Osservazione: W ,→ Perm(Φ) ' SN . In particolare, W `e un gruppo finito.
• Esempi: gruppo di Weyl dei sistemi di radice classici:
(i) W (A` ) = Perm(1 , . . . , n ) ' S`+1 ;
±1 . . 0
(ii) W (B` ) = W (C` ) = Perm(1 , . . . , n ) o
' S` o (Z/2)` .
.±1
0
Venerd`ı 28 novembre.
Lettura: Humphreys 10.1
• Gruppo di Weyl di G2 : W (G2 ) = { simmetrie dell’esagono regolare } ' D6 .
• Definizione: una base ∆ = {α1 , . . . , α` } ⊂ Φ `e tale che:
(i) ∆ `e una base di E;
P
(ii) ∀α ∈ Φ si ha α = `i=1 ki αi , con ki ∈ Z≥0 per ogni i, oppure −ki ∈ Z≥0 per ogni i.
9
• Dato γ ∈ E\ ∪ α ∈ Φα⊥ , abbiamo la decomposizione in radici positive e negative:
Φ = Φ+ (γ) t (−Φ+ (γ)).
• Radici decomponibili e radici indecomponibili. Denotiamo ∆(γ) = {α ∈ Φ+ (γ) , indecomponibili }.
• Teorema: ∆(γ) `e una base di Φ, ed ogni altra base di Φ `e di questa forma.
• Camera di Weyl fondamentale.
Esercizi (Settimana 8):
(1) Siano gi , i = 1, 2, algebre di Lie semisemplici. Siano hi ⊂ gi , i = 1, 2, sottoalgebre di
Cartan. Siano h∗i gli spazi duali, con i prodotti scalari (· | ·)i : h∗i × h∗i → C indotti
dalla forma di Killing. Siano Φi ⊂ h∗i , i = 1, 2 i corrispondenti insiemi delle
radici. Ovvero abbiamo le decomposizioni in spazi radice gi = h ⊕ ⊕α∈Φi gi,α . Siano
Ei = SpanR Φi i corrispondenti spazi Euclidei, con prodotti Euclidei restrizioni di (· | ·)i .
Quindi (Ei , Φi ), i = 1, 2, sono i corrispondenti sistemi di radice. Si consideri l’algebra
di Lie g = g1 ⊕ g2 (somma diretta di ideali). Dimostrare che:
(a) una sottoalgebra di Cartan di g `e h = h1 ⊕ h2 (e quindi h∗ = h∗1 ⊕ h∗2 );
(b) la forma di killing κg `e tale che κg g ×g = κgi , i = 1, 2, e κg (g1 , g2 ) = 0;
i
i
(c) il prodotto scalare indotto su h∗ `e tale che (· | ·)|h∗i ×h∗i = (· | ·)i , i = 1, 2, e (h∗1 |h∗2 ) = 0;
(d) l’insieme delle radici di g (corrispondente alla sottoalgebar di Cartan h) `e Φ =
Φ1 t Φ2 ;
(e) lo spazio Euclideo E = SpanR Φ coincide con E1 × E2 , (prodotto di spazi Euclidei
ortogonali tra loro);
(f) il corrispondente sistema di radici (E, Φ) `e (isomorfo a) il prodotto (E1 , Φ1 ) ×
(E2 , Φ2 ).
(2) Dimostrare che so4 ' sl2 ⊕ sl2 .
(3) Dimostrare che so5 ' sp4 .
(4) Determinare il gruppo di Weyl di D` e dimostrare che W (D` ) ' S` o (Z/2)`−1 .
2α
| α ∈ Φ}.
(5) Dato un sistema di radici Φ ⊂ E, sia Φˇ= {ˇ
α = (α|α)
(a) Dimostrare che Φˇ⊂ E `e un sistema di adice.
(b) Determinare A`ˇ, B`ˇ, D`ˇ, G2ˇ.
(6) Sia Φ ⊂ E un sistema di radici e sia c = (α|α) per una qualche α ∈ Φ. Dimostrare che
Φc = {α ∈ Φ | (α|α) = c} `e un sistema di radici.
Mercoled`ı 3 dicembre.
Lettura: Humphreys 10.1, 10.3
⊥
• Camere di Weyl: C ⊂ E\(∪α∈Φ α ).
• Azione di un gruppo su un insieme. Azione transitiva, ed azione semplice.
• Azione del gruppo di Weyl sull’insieme delle camere di Weyl C ⊂ E\(∪α∈Φ α⊥ ) e
sull’insieme delle basi ∆ ⊂ Φ.
• Teorema (solo enunciato): l’azione del gruppo di Weyl sull’insieme delle camere di Weyl
(o, equivalentemente, sull’insieme delle basi di Φ) `e semplicemente transitiva.
Gioved`ı 4 dicembre.
Lettura: Humphreys 10.2, 10.3
• Proposizione: data un sistema di radici Φ ⊂ E ed una base ∆ = {α1 , . . . , α` } ⊂ Φ, ogni
radice α ∈ Φ si pu`
o scrivere come somma di radici semplici (∈ ∆) α = αi1 +αi2 +· · ·+αis ,
P
in modo che ogni somma parziale sia una radice: kh=1 αih ∈ Φ+ per ogni k.
• Per ogni radice semplice αiP
∈ ∆, la riflessione rαi permuta Φ+ \{αi }.
• Lemma: se αi ∈ ∆ e δ = 12 α∈Φ+ α, allora rαi (δ) = δ − αi .
• Teorema: sia ∆ ⊂ Φ una base di Φ, e sia C ⊂ E\(∪α∈Φ α⊥ ) la corrispondente camera di
Weyl fondamentale.
e esiste w ∈ W tale che w(C) = Ce
(a) Per ogni camera di Weyl Ce (rispettivamente, base ∆)
e
(risp. w(∆) = ∆).
(b) Se w ∈ W `e tale che w(C) = C (risp. w(∆) = ∆), allora w = 1.
(c) Per ogni α ∈ Φ, esiste w ∈ W tale che w(α) ∈ ∆.
10
(d) Il gruppo di Weyl W `e generato dalle riflessioni semplici rαi , αi ∈ ∆.
Venerd`ı 5 dicembre.
Lettura: Humphreys 10.4
• Proposizione: dato un sistema di radici Φ ed una base ∆ ⊂ Φ, abbiamo che Φ `e riducibile
come Φ = Φ1 t Φ2 , con Φ1 , Φ2 6= ∅ e Φ1 ⊥ Φ2 , se e solo se ∆ lo `e, ovvero ∆ = ∆1 t ∆2 ,
con ∆1 , ∆2 6= ∅ e ∆1 ⊥ ∆2 .
• Ordinamento parziale in E (associato ad una base fissata ∆ di Φ): se v = x1 α1 +· · ·+x` α`
e w = y1 α1 + · · · + y` α` , allora v 4 w se e solo se x1 ≤ y1 , . . . , x` ≤ y` .
• Teorema: se Φ `e irriducibile e ∆ `e una base di Φ, allora esiste un unico elemento
massimale (rispetto all’ordinamento parziale 4) θ ∈ Φ, e se scriviamo θ = k1 α1 + · · · +
k` α` , allora ki ≥ 1 per ogni i.
• Proposizione: l’azione del grupop di Weyl su E `e irriducibile.
• Proposizione: se Φ `e irriducibile, allora le radici sono tutte della stessa lunghezza, di due
sole possibili lunghezze (“corte” e “lunghe”). Inoltre, l’azione di W sull’insieme delle
radici corte (o lunghe) `e transitiva.
Esercizi (Settimana 9):
(1) Ricordare la corrispondenza tra camere di Weyl C ⊂ E\(∪α∈Φ α⊥ ) e le basi ∆ ⊂ Φ.
Dimostrare che tale corrispondenza definisce una corrispondenza biunivoca
∼
ψ : A −→ B
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
tra l’insieme A delle camere di Weyl e l’insieme B delle basi.
Dimostrare che se ∆ `e una base di Φ e w ∈ W , allora w(∆) `e una base di Φ. Dedurre
che abbiamo un’azione del gruppo di Weyl sull’insieme B.
Dimostrare che la corrispondenza biunivoca Ψ : A → B definita nell’esercizio 1 `e
un’isomorfismo di W -insiemi.
(Hum. 10.9) Dimostrare che esiste un unico elemento w ∈ W tale che w(Φ+ ) = −Φ+ .
Determinare una base di A` (` ≥ 1), B` (` ≥ 2), C` (` ≥ 3), D` (` ≥ 4) e G2 .
Per ciascuno dei sistemi di radice A` (` ≥ 1), B` (` ≥ 2), C` (` ≥ 3), D` (` ≥ 4) e G2 ,
determinare la radice massimale θ (rispetto alla base trovata nell’esercizio precedente).
Mercoled`ı 10 dicembre.
Lettura: Humphreys 11.2, 11.2
• Matrice di Cartan e diagramma di Dynkin di un sistema di radici.
• Esempi: matrice di Cartan e diagramma di Dynkin di G2 , A` , D` .
• Costruzione del sistema di radici a partire dal diagramma di Dynkin (o dalla matrice di
Cartan).
• Osservazione 1: Φ `e irriducibile se e solo se il diagramma di Dynkin `e connesso.
• Osservazione 2: un sottodiagramma completo di un diagramma di Dynkin (associato ad
un sistema di radici Φ) `e ancora un diagramma di Dynkin (associato ad un sistema di
radici Φ1 ⊂ Φ). (Segue dall’esercizio (3)).
Gioved`ı 11 dicembre.
Lettura: Humphreys 11.3, 11.4
• Osservazione 3: in un diagramma di Dynkin non ci sono cicli.
• Osservazione 4: da ogni vertice di un diagramma di Dynkin escono al massimo tre lati.
• Osservazione 5: i seguenti diagrammi non sono diagrammi di Dynkin (con qualunque
orientazione di frecce):
;
(a)
(b)
;
11
(c)
.
• Osservazione 6:
(a) se in un diagramma di Dynkin connesso c’e’ una connessione tripla, allora `e necessariamente G2 :
;
(b) se in un diagramma di Dynkin connesso c’e’ una connessione doppia, allora `e del
tipo:
;
(c) se in un diagramma di Dynkin connesso c’e’ un vertice trivalente, allora `e del tipo:
.
(d) se in un diagramma di Dynkin connesso non ci sono n`e connessioni doppie n`e vertici
trivalenti, allora `e A` :
;
• Osservazione 7: gli unici diagrammi di Dynkin connessi con una connessione doppia
sono:
(a) B` :
;
(b) C` :
;
(c) F4 :
.
Venerd`ı 12 dicembre.
Lettura: Humphreys 11.4
• Osservazione 7: gli unici diagrammi di Dynkin connessi con un vertice trivalente sono:
(a) D` :
;
(b) E6 :
;
(c) E7 :
;
;
(d) E8 :
• Teorema: classificazione dei diagrammi di Dynkin: A` (` ≥ 1), B` (` ≥ 2), C` (` ≥
3), D` (` ≥ 4), E6 , E7 , E8 , F4 , G2 .
• Costruzione del sistema di radici di E8 :
8
– spazio Euclideo
PE = ⊕i=1 Ri ;
P
– reticolo Γ = { i ki i | ki ∈ Z ∀i o ki ∈ 21 + Z ∀i e
i ki : pari}
– sistema di radici: Φ = {α ∈ Γ | (α|α) = 2} = Φ1 t Φ2 , dove Φ1 = {±i ± j }i6=j e
Φ2 = { 12 (±1 ± · · · ± 8 ) | #{−} : pari}; base: ∆ = {αi }8i=1 , con α1 = 12 (1 − 2 −
12
3 − 4 − 5 − 6 − 7 + 8 , α2 = 2 − 3 , . . . , α7 = 7 − 8 , α8 = 7 + 8 .
Esercizi (Settimana 10):
(1) Trovare la matrice di Cartan ed il diagramma di Dynkin di B` e C` .
(2) Sia E uno spazio Euclideo, sia Φ ⊂ E un sistema di radici, e sia ∆ ⊂ Φ una sua base;
sia ∆1 ⊂ ∆ un sottoinsieme qualunque, sia Φ1 = Φ ∩ Span ∆1 , e sia E1 = Span ∆1 .
Dimostrare che E1 `e uno spazio Euclideo, Φ1 ⊂ E1 `e un sistema di radici, e ∆1 ⊂ Φ1 `e
una sua base. Dedurre che un sottodiagramma completo di un diagramma di Dynkin `e
ancora un diagramma di Dynkin.
(3) Si consideri lo spazio Euclideo di dimensione 4: E = ⊕i Ri , ed i seguenti sottoinsiemi:
P
Γ = { 4i=1 ki i | ki ∈ Z ∀i o ki ∈ 21 + Z ∀i} ⊂ E, e Φ = {α ∈ Γ | (α|α) = 1 o 2}.
(a) Dimostrare che Γ ⊂ E `e un reticolo (sottogruppo additivo discreto).
(b) Descrivere tutti gli elementi di Φ.
(c) Dimostrare che Φ `e un sistema di radici.
(d) Trovare una base ∆ ⊂ Φ.
(e) Trovare la matrice di Cartan ed il diagramma di Dynkin di ∆ ⊂ Φ.
(4) (Hum.11.2) Scrivere la matrice di Cartan per i sistemi di radice di tipo A` , B` , C` , D` , G2
e calcolarne il determinante. (Risposte: A` : ` + 1; B` : 2; C` : 2; D` : 4; G2 : 1.)
(5) (Hum.11.4) Dimostrare che il gruppo di Weyl di un sistema di radici `e isomorfo al
prodotto diretto dei gruppi di Weyl delle sue componenti irriducibili.
Mercoled`ı 17 dicembre.
Lettura: Humphreys cap 18 e 19
• Teoremi (senza dimostrazione):
(i) Due sottoalgebre di Cartan h, h0 di un’algebra di Lie semplice g sono coniugate da
un automorfismo di g.
(ii) Dato un elemento w ∈ W del gruppo di Weyl dell’algebra di Lie semplice g, la sua
azione su h si estende ad un automorfismo di g.
• Conseguenza: la matrice di Cartan (o il diagramma di Dynkin) di g `e indipendente
dalle scelte della sottoalgebra di Cartan h ⊂ g e della base ∆ ⊂ Φ del sistema di radici
corrispondente.
• Osservazione: la funzione Ψ : {g: alg.di Lie semplici } → {D = A` (` ≥ 1), B` (` ≥
2), C` (` ≥ 3), D` (` ≥ 4), E` (6 ≤ ` ≤ 8), F4 , G2 }, che associa all’algebra di Lie g il suo
diagramma di Dynkin, `e ben definita.
• Algebra di Lie e
g(A) generata dai generatori di Chevalley con le reazioni di Serre “ovvie”.
• Teorema: esiste un unico ideale massimale Je ⊂ e
g(A).
e
• Algebra di Lie semplice g(A) = e
g(A)/J.
• Osservazione: la funzione Ψ(g) = D `e iniettiva.
Gioved`ı 18 dicembre.
Lettura: Humphreys cap 18 e 19
• Costruzione dell’algebra di Lie associata a E8 : siaP
(Φ, E, (· | ·)) is sistema di radici di
E8 e sia ∆ ⊂ Φ una sua base; denotiamo Γ =
i Zαi ⊂ E il reticolo intero pari
corrispondente; poniamo h = SpanC Φ con il prodotto scalare (· | ·) indotto; definiamo
g = h ⊕ ⊕α∈Φ CEα ), con relazioni di commutazione: [h1 , h2 ] = 0 per h1 , h2 ∈ h,
[h, Eα ] = (α|h)Eα , e
se β = −α
c(α, −α)α ,
c(α, β)Eα+β , se α + β ∈ Φ
(1)
[Eα , Eβ ] =
0
altrimenti
dove la funzione c : Γ × Γ → {±1} `e definita da c(αi , αi ) = −1, c(αi , αj ) = 1 se i < j, e
c(αi , αj ) = (−1)(αi |αj ) se i > j, ed `e estesa per bimoltiplicativit`a.
• Verifica degli assiomi di algebra di Lie.
• Algebre di Lie per E6 e E7 .
• Algebra di Lie per G2 , ottenuta come subquoziente dell’algebra di Lie di D4 .
13
Venerd`ı 19 dicembre.
Lettura: Humphreys cap 17
• Algebra inviluppante universale U (g) di un’algebra di Lie g.
• Propriet`
a universale di U (g).
• Teorema PBW.
Esercizi (Settimana 11):
(1) Sia A la matrice di Cartan associata ad uno dei seguenti diagrammi:
(a)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
, (b)
;.
Sia E = ⊕`i=1 Rαi , spazio Euclideo (con prodotti scalari compatibili con il diagramma
corrispondente). Definiamo gli insieme Φh ⊂ E, h ≥ 1, induttivamente nel seguente
modo:
(i) Φ1 = {α1 , . . . α` },
(ii) supposto noto Φh , definiamo Φh+1 nel seguente modo: se α ∈ Φh e αi ∈ Φ1 , sia
r ≥ 0 il massimo intero tale che α − rαi ∈ Φh−r ; diciamo allora che α + αi ∈ Φh+1
i |α)
se e solo se q := r − 2(α
(α1 |αi ) ≥ 1 (e Φh+1 consiste di elementi ottenuti in questo
modo).
∞
Descrivere l’insieme S =
th=1 Sh ⊂ E nei due casi (a) e (b).
Sia g = h ⊕ ⊕α∈Φ gα un’algebra di Lie semplice, con sottoalgebra di Cartan h ⊂ g
e corrispondente sistema di radici Φ. Sia ∆ = {α1 , . . . , α` } ⊂ Φ una basi del sistema
di radici, e sia A la corrispondente matrice di Cartan A. Si considerino le sl2 -triple
ei = eαi , fi = fαi , hi = hαi , associate alle radici semplici.
(a) Dimostrare che gli elementi {ei , fi , hi }`i=1 generano g.
(b) Dimostrare che valgono le seguenti relazioni di commutazione (i, j = 1, . . . , `):
[hi , hj ] = 0, [hi , ej ] = aij ej , [hi , fj ] = −aij fj , [ei , fj ] = δij hj .
Sia A la matrice ` × ` associata ad un (qualunque) diagramma con ` vertici. Sia
e
g(A) l’algebra di Lie con generatori {Ei , Fi , Hi }`i=1 , soggetti alle relazioni [Hi , Hj ] =
0, [Hi , Ej ] = aij Ej , [Hi , Fj ] = −aij Fj , [Ei , Fj ] = δij Hj . Siano e
n+ ⊂ e
g(A), e
n− ⊂ e
g(A)
`
`
e e
h ⊂e
g(A) le sottoalgebra generate, rispettivamente, da {Ei }i=1 , {Fi }i=1 e {Hi }`i=1 .
Abbiamo osservato a lezione che e
g(A) = e
n+ + e
n− + e
h (somma diretta di sottospazi ma
non di ideali). Sia J ⊂ e
g(A) un ideale.
(a) Dimostrare che J = (J ∩ e
n+ ) + (J ∩ e
n− ) + (J ∩ e
h).
(b) Dimostrare che, se il diagramma associato alla matrice A `e connesso e se J `e un
ideale proprio, allora J ∩ e
h = 0.
L`
Zα
un
reticolo
intero pari (ovvero (αi |αj ) ∈ Z per ogni i, j, e (αi |αi ):
Sia Γ =
i
i=1
1
pari per ogni i). Sia c : Γ × Γ → {±1} la funzione definita da c(αi , αi ) = (−1) 2 (αi |αi ) ,
c(αi , αj ) = 1 se i < j, e c(αi , αj ) = (−1)(αi |αj ) se i > j, ed estesa per bimoltiplicativit`
a
1
(γ|γ)
(γ|δ)
, e c(γ, δ)c(δ, γ) = (−1)
per ogni
su tuto Γ. Dimostrare che c(γ, γ) = (−1) 2
γ, δ ∈ Γ.
Dimostrare che i bracket (1) soddisfano l’identit`a di Jacobi di tipo (Eα , Eβ , Eγ ), per
ogni α, β, γ ∈ Φ.
Dimostrare che l’algebra di Lie g costruita per E8 `e semplice, nel seguente modo:
(a) simotrare che se J ⊂ g `e un ideale, allora J = (J ∩ h) ⊕ ⊕α∈Φ J ∩ CEα ;
(b) dimostrare che se J ∩ h 6= 0, allora J = g, e se Eα ∈ J, allora J = g.
Dimostrare l’algebra di Lie per F4 si pu`o ottere come subquoziente dell’algebra di Lie
di E6 .
Dimostrare che la propriet`
a universale dell’algebra inviluppante universale U (g) definisce
l’algebra U in modo unico (a meno di isomorfismo).
Mercoled`ı 7 gennaio.
Lettura: Humphreis
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• Pesi di una rappresentazione.
• Moduli di peso pi´
u alto.
• Modulo di Verma di peso pi´
u alto Λ: MΛ = U (g) ⊗U (b) CΛ , dove CΛ `e il modulo su
b = h ⊕ n+ con azione nulla di n+ e con h che agisce tramite Λ ∈ h∗ .
• Propriet`
a universale del modulo di Verma: una qualunque rappresentazione di peso pi´
u
alto Λ `e V ' MΛ /J per qualche sottomodulo J ⊂ MΛ .
• Teorema: esiste un unico ideale massimale J˜ ⊂ MΛ . Esiste un unico modulo irriducibile
LΛ di peso pi´
u alto Λ.
• Pesi fondamentali.
• Proposizione: se VP`e irriducibile di dimensione finita, allora `e una rappresentazione di
peso pi´
u alto Λ ∈ i Z+ πi .
Gioved`ı 8 gennaio.
Lettura: Humphreys
• Carattere di una rappresentazione.
• Formula dei caratteri di Weyl.
• Esempio: caratteri dei moduli irriducibili di sl2 .
• Formula della dimensione di Weyl.
• Classificazione delle rappresentazioni irriducibili di dimensione finita di un algebra di
Lie semplice.
Venerd`ı 9 gennaio.
• Dimostrazione della formula dei caratteri di Weyl.
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Lettura: Humphreys
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