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D.I.I. - Dipartimento di Ingegneria Industriale

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G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
D.I.I.
Dipartimento di Ingegneria Industriale e Meccanica
Facoltà di Ingegneria – Università degli Studi di Catania
APPUNTI DELLE LEZIONI SU:
- COMPORTAMENTO ELASTOPLASTICO DEI
MATERIALI
- DANNO DUTTILE
G. MIRONE
Ultimo aggiornamento bozza : mar. 2011
- 17 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
INDICE:
Riepilogo tensori stress-strain, tensioni principali, invarianti
Generalità sul comportamento elastoplastico
Hardening e path dependence
Necking e caratterizzazione stress-strain
Introduzione a danno duttile e modello di Rice & Tracey
Approccio alla Lemaitre, alla Gurson
fenomenologici
Modelli di Bao-Wierzbicki e Xue-Wierzbicki
- 18 -
e
modelli
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
1. (L 1A CMM / 1-5 CM) - COMPORTAMENTO ELASTOPLASTICO
GENERICO
AGGIUNGERE INTRO TENSORI (VEDI FOGLI A PENNA!!!!!)
Il legame costitutivo elasto-plastico
Quando un materiale viene sollecitato oltre lo snervamento, risponde con un tensore di
deformazione totale le cui componenti sono somma di deformazioni elastiche (che si annullano
alla rimozione del carico) e di deformazioni plastiche (che permangono dopo che il carico viene
rimosso), indicate di seguito senza apice:
(1)
ε ij TOT = ε ij EL + ε ij
Contrariamente a quanto accade per il legame elastico, nel caso di legame plastico o elastoplastico non esiste la possibiltà di associare in maniera diretta ed univoca il tensore di tensione e
quello di deformazione ad un generico stadio della vita del materiale.
ε EL i =
σ i = λ (ε EL i + ε EL j + ε EL k ) + 2µε EL i
1
σ i −ν (σ j + σ k )
E
[
]
(2)
σ i = ...................
ε i = ...............
Per questi materiali, la correlazione tra tensori sforzo e deformazione esiste solamente in forma
incrementale, e il calcolo di tali tensori è possibile solo in via numerica (analisi non lineari con il
metodo degli elementi finiti) ricostruendo passo per passo la storia di tensioni e deformazioni in
tutti i punti del materiale ed in tutti gli istanti, dall’inizio della storia di carico sino al generico
istante di interesse.
Questo accade perché il legame differenziale che regola il comportamento elastoplastico,
fortemente dissipativi e quindi dipendente dalla storia deformativa, non è integrabile in forma
chiusa se non in particolari condizioni ideali.
Quando un materiale vergine sottoposto a tensioni crescenti gradualmente da zero, reagisce
inizialmente con deformazioni perfettamente elastiche, fino alla soglia del primo snervamento
(yielding iniziale), mentre risponde con deformazioni elastoplastiche a partire dal raggiungimento
della soglia suddetta.
- 19 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Appena il primo snervamento viene superato e si verificano deformazioni plastiche, la tensione di
snervamento può rimanere costante (materiale elastoplastico ideale, si pensi allo stucco, alla
plastilina) oppure aumentare rispetto al valore iniziale (metalli da costruzione duttili ed
incrudenti).
La condizione di soglia dello yelding è individuata dal valore che una determinata funzione
scalare delle tensioni, detta funzione di snervamento (quella di Von Mises è solo una delle
possibili), assume per i diversi materiali. Lo stesso valore di tensione equivalente è raggiungibile
ovviamente con infinite combinazioni delle sei componenti del tensore degli sforzi ovvero,
ragionando nel sistema di riferimento principale del generico punto materiale, delle tre tensioni
principali. In quest’ultimo caso, il luogo dei possibili valori delle tensioni principali che
comportano lo stesso valore generico della funzione di snervamento, è costituito da una superficie,
sempre convessa, nello spazio delle tensioni principali stesse.
Il comportamento elastoplastico può essere visualizzato come segue: quando il materiale viene
caricato progressivamente da zero con un qualsivoglia sistema di carichi, il punto che descrive lo
stato tensionale tramite la terna principale (σ1, σ2, σ3) è inizialmente coincidente con l’origine
(stress nullo), quindi si allontana dall’origine man mano che aumenta il carico, muovendosi
inizialmente all’interno della superficie di snervamento (comportamento elastico) fino a che si
raggiunge la condizione di snervamento ed il punto “aderisce” a tale superficie.
σ3
σ1
σ2
Figura 1: moving material point within stress space and yield surface
- 20 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Dopo che è stata raggiunta la condizione di snervamento, man mano che le componenti del tensore
di stress ovvero le σ1, σ2, σ3 continuano a variare possono verificarsi tre possibilità:,
A) il valore della tensione equivalente diminuisce, il punto nello spazio delle tensioni si sposta
verso l’interno della superficie e non è più addossato ad essa, in altre parole si ha uno scarico
~, X~ ) < 0 .
elastico ed f (σ
B) la tensione equivalente rimane constante, quindi anche se cambiano gli stress e gli strain
~, X~ ) = 0 e non si verificano deformazioni plastiche. Una trasformazione di questo tipo
elastici f (σ
è rappresentata da un punto che si muove nello spazio delle tensioni principali rimanendo
aderente alla superficie di snervamento.
C) la tensione di snervamento continua a crescere, il materiale risponde con l’incrudimento ovvero
l’aumento della tensione di snervamento che viene aggiornata al valore corrente della funzione f:
~, X~ ) = 0 . Questa trasformazione è rappresentabile da un punto che tende ad attraversare la
f (σ
superficie di snervamento portandosi al suo esterno, e dalla stessa superficie che si espande
( )
(incrudimento-hardening isotropico R ε Eq ) e/o trasla (incrudimento – hardening cinematico
~
X (α~ ) ) in modo che il punto in movimento rimane sempre aderente alla sua superficie.
~
Le grandezze X , α~ hanno le dimensioni di una tensione e di una deformazione tensoriale (X è un
vettore spostamento se siamo nel SDR principale), mentre R, ε Eq hanno le dimensioni di una
tensione (aumento di dimensioni della yield surface) e di una deformazione scalari;
riepilogando le tensioni e le deformazioni duali che entrano in gioco sono:
~ , Stress
σ
ε~ , Plastic Strain
~
X , Hardening cinematico
R , Hardening isotropico
STATO DEL PUNTO MATERIALE
ε~ , Back strain
ε Eq , Equiv. pl. strain
TRASLAZIONI YIELD SURFACE
ESPANSIONE YIELD SURFACE
L’”effetto collaterale” dell’incrudimento (modifica yield surface ed aumento equivalent stress) è
la deformazione plastica, come dire che l’aumento della tensione di snervamento dal valore
originario a quello incrudito ha per contropartita la comparsa o la crescita di deformazioni
permanenti.
- 21 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
La forma generica di una funzione di snervamento si esprime solitamente come
~
segue: f = σ~(ε~ ) − X (α~ ) Eq − R ε Eq − σ y ≤ 0
(
)
( )
(3)
dove σ y è la tensione di snervamento del materiale vergine, invece, sia l’operatore “equivalenza”
applicato alle tensioni, sia quello applicato alle deformazioni plastiche, sia la coppia di funzioni di
hardening, possono avere espressioni molto diverse per diverse categorie di materiali. Un
operatore equivalenza molto noto per lo stress in caso di materiali metallici è quello di von Mises,
ma ne possono esistere molti altri. Più avanti verranno analizzati in dettaglio questi aspetti.
In definitiva dato il modo di trasformarsi della superficie di snervamento può solo essere
~, X~ , R) ≤ 0 , quando vale il si ha carico-scarico elastico e quando vale il segno = si ha carico
f (σ
elastoplastico; in nessun caso il punto che individua lo stato tensionale potrà mai trovarsi
all’esterno della superficie di yelding.
Se il materiale è elastoplastico ideale l’incrudimento è nullo, ovvero la tensione equivalente non
può mai superare il valore dello snervamento iniziale, raggiunto il quale le deformazioni plastiche
fluiscono anche a tensione costante. In questo caso il luogo delle tensioni che generano lo
snervamento-deformazioni plastiche resta immutato in forma e posizione e si dice che il materiale
non è caratterizzato da alcun hardening.
Le funzioni di hardening o incrudimento descrivono come si modifica il valore di soglia della
~, X~ ) nello
funzione di snervamento, ovvero come si ingrandisce e se muove la superficie f (σ
spazio delle tensioni principali, man mano che il materiale si deforma plasticamente.
Definito il campo di esistenza dei possibili stati di stress del materiale ed suo evolvere tramite la
funzione di hardening, resta da definire il legame incrementale tra lo stato tensionale e quello
deformativi, ovvero la “Flow Rule”.
Un incremento tensionale comporta un incremento dello stato deformativo che è in parte elastico
ed in parte plastico, e la correlazione diretta è possibile solo tra i primi due termini tramite il
concetto di matrice di rigidezza, ovvero:
(
~ = Cd~ε EL = C d~ε TOT − d~ε
dσ
)
(4)
Essendo σ il tensore degli sforzi, C la matrice di elasticità del materiale, εΤΟΤ ed ε i tensori di
deformazione rispettivamente totale e plastica.
- 22 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
La parte plastica dell’incremento di deformazione è legata all’incremento di tensione dalla flow
rule o normalty rule la cui forma è genericamente:
∂g (σ, X , R )
dε Eq
~
∂σ
ovvero
∂g (σ, X , R )
dε i =
dε Eq
∂σ i
d ~ε =
(5)
In generale la funzione g è un potenziale plastico, ovvero un funzionale (funzione delle funzioni
tensoriali σ, X) che lega gli incrementi tensoriali di tensione e di deformazione plastica,
analogamente a quanto fa il potenziale elastico con i tensori finiti di tensione e deformazione, ed il
termine dεεEq è invece l’incremento della deformazione plastica equivalente detta anche
moltiplicatore di plasticità.
Quando come potenziale g viene utilizzata la funzione di snervamento, i modelli di
comportamento cosiddetti vengono detti di “plasticità associata”; in questi casi la flow rule
definita precedentemente comporta che il vettore di deformazione plastica incrementale ha
direzione normale alla superficie di snervamento nel punto della superficie individuato dal vettore
delle tensioni principali, (da cui il nome di “normality rule” ) e modulo pari all’incremento del
moltiplicatore di plasticità.
La normalità rule implica che l’incremento def. Plastica è un vettore con direzione normale alla
superficie di snervamento nel punto “d’arrivo” della trasformazione, e modulo pari all’incremento
di strain equivalente dεEq:
dε~
σ3
dσ~
σ1
σ2
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G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Analogamente a quanto accade tra stress e strain nel punto, la normalità rule lega anche le coppi di
grandezze duali relative a hardening isotropico ed hardening cinematico:
~, X~ , R )
∂g (σ
~
dε =
dε Eq
~
∂X
~, X~ , R )
∂g (σ
dε Eq =
dε Eq
∂R
(6)
La plasticità associata, definita dalla scelta della funzione di snervamento come potenziale
plastico, si è rivelata calzante per la descrizione del comportamento plastico dei materiali
metallici, mentre per la ricostruzione analitica del comportamento di materiali come suoli e
materiali granulari in genere per il potenziale plastico si devono utilizzare funzioni diverse.
~
~ , X , R ) diventa la
Pertanto nel campo di interesse di questa trattazione, il generico potenziale g (σ
~
~, X , R) .
funzione di snervamento f (σ
Una ulteriore condizione al problema è posta dalla cosiddetta condizione di consistenza,
(consistency condition) che esprime il fatto che le trasformazioni della superficie di snervamento
non dipendono direttamente dal tensore degli sforzi ma da quello di deformazione plastica e/o dal
lavoro plastico accumulato, infatti se varia lo stress ma non la deformazione plastica (scarico
elastico) NON si avranno modificazioni dalla superficie di yelding sino a quando non verrà di
nuovo raggiunto lo snervamento e saranno avvenute ulteriori deformazioni plastiche.
Analiticamente tale condizione è:
df = (
∂f
∂f
) dσ + ( ) dR = 0
∂σ
∂R
(7)
Le tensioni di hardening non sono variabili indipendenti ma dipendono dalla deformazione
plastica, tenendo conto di questo nel secondo termine della (7) si ha:
df =
∂f
∂f ∂R
∂f
∂f
⋅ dσ +
⋅
⋅ dε Eq =
⋅ dσ +
⋅ dε Eq = 0
∂σ
∂R ∂ε Eq
∂σ
∂ε Eq
(8)
Da cui si può ricavare dσ
σ:
∂f
⋅ dε Eq
∂ε Eq
dσ = −
∂f
∂σ
(9)
- 24 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Se nella legge di Hooke sostituiamo la def. Plastica ottenuta dalla Normality Rule ed il dσ
σ ottenuto
dalla Consist. Cond. si ha:
−
∂f
∂f
∂g


⋅ dε Eq =
⋅ C dε TOT − dε Eq 
∂ε Eq
∂σ 
∂σ

(10)
Ovvero, ricavando il deEq:
dε Eq
∂f
⋅ C ⋅ dε TOT
∂σ
=
∂f
∂f
∂g
−
+
⋅C ⋅
∂ε Eq ∂σ
∂σ
Dove il termine −
(11)
∂f
∂f ∂R
∂f
=−
⋅
=−
⋅ H (ε Eq ) contiene la funzione di hardening
∂ε Eq
∂R ∂ε Eq
∂R
isotropico H.
Sostituendo il dε Eq appena ricavato nella legge di Hooke si ottiene la forma finale del legame
elastoplastico che usualmente viene integrata per via numerica, ad es. tramite elementi finiti:


 ∂g  ∂f 
C
C






 ∂σ  ∂σ 
 dε = [C EP ]dε
dσ = C −
∂
f
∂
f
∂
g







−  h(ε Eq ) +  C  

 ∂R 
 ∂σ   ∂σ  
(12)
La forma del legame costitutivo è diventata del tipo dσ = C EP (σ, α )dε , in cui CEP è la matrice
costitutiva elastoplastica ovvero la matrice di rigidezza tangente, variabile durante la storia
evolutiva del materiale. Si tratta quindi di un legame incrementale, la cui espressione è integrabile
quasi esclusivamente per via numerica (metodo agli elementi finiti) anche in considerazione del
fatto che, di solito, l’insorgere del comportamento non lineare di una struttura dovuto a
plasticizzazione, si verifica in concomitanza o successivamente all’insorgere delle nonlinearità
dovute a grandi deformazioni.
Premessa quindi la necessità di ricorrere a strumenti di calcolo automatico, per la soluzione di
problemi di elastoplasticità occorre individuare i modelli di snervamento più idonei e determinare
i dati caratteristici del materiale: si vedrà che per materiali metallici da costruzione la funzione di
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G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
snervamento accettabilmente adatta è quella di von Mises ed i dati caratteristici che identificano il
singolo materiale sono le costanti elastiche, la tensione di primo snervamento e le funzioni di
hardening.
Per capire come viene integrato il legame elastoplastico con il metodo agli elementi finiti (FEM)
occorre prima dare un accenno al modo in cui il FEM lavora in campo lineare elastico (materiale
elastico lineare e piccoli spostamenti-deformazione infinitesima), ed in campo nonlineare elastico
(materiale elastico e nonlinearità geometriche = grandi spostamenti-deformazione finita).
Facciamo riferimento al caso semplice di trave incastrata soggetta a forza su estremo libero:
COMPORTAMENTO ELASTICO LINEARE:
Essendo gli spostamenti piccoli, la rigidezza della struttura a fine deformazione è circa uguale a
quella della struttura indeformata, quindi:
{u} = [K ]−1 ⋅ {F }
(13)
Con u vettore spostamenti nodali, K matrice di rigidezza della struttura dipendente da forma,
dimensioni vincoli e materiale della trave, ed F vettore forze nodali.
Dallo spostamento si ricavano le deformazioni (elastiche!!)
{ε } = [B]⋅ {u}
(14)
Con B matrice dipendente da forma dimensioni della struttura.
E dalle deformazioni si ricavano le tensioni:
{σ } = [C ]⋅ {ε }
(15)
Dove C è la matrice dei coefficienti elastici del materiale.
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G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
COMPORTAMENTO ELASTICO CON NONLINEARITA’ GEOMETRICHE:
Gli spostamenti sono troppo grandi per approssimare la rigidezza a fine deformazione con quella
iniziale (per es. il braccio della forza è diminuito microscopicamente !!), quindi la forzante esterna
và divisa in varie frazioni e l’analisi spezzata in altrettanti passi:
Se ognuno dei passi è abbastanza piccolo da poter ritenere lineare il campo spostamentideformazioni, allora si applicano le (13)-(15) ricalcolando all’inizio di ogni passo la matrice di
rigidezza e quella delle deformazioni in funzione della forma assunta dalla struttura a fine passo
precedente, mentre la matrice elastica del materiale C rimane immutata nei vari passi.
COMPORTAMENTO CON NONLINEARITA’ DEL MATERIALE (ELASTOPLASTICITA’) E
NONLINEARITA’ GEOMETRICHE:
Ad ogni passo dell’analisi, la matrice del materiale diventa la CEP definita in (12) ed anche le
matrici K e B dipendono da essa; ovvero la matrice di rigidezza, necessaria all’inizio di ogni
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G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
passo dell’analisi, dipende dallo stato del materiale alla fine dello stesso passo: pertanto in questo
caso ogni passo viene risolto tramite iterazioni, stimando gli aggiornamenti di ad inizio passo in
base ai risultati del passo precedente, utilizzando tali matrici aggiornate in maniera predittiva
secondo le (13)-(15), e verificando che lo stato pensionale di fine iterazione stia sulla superficie di
snervamento aggiornata: ovviamente tale verifica non và mai in porto all prima iterazione, quindi
si aggiusta la stima di CEP, K e B ed eventualmente anche l’ampiezza del passo, e si ripete
l’iterazione. Quando la verifica và in porto il passo si considera compiuto e si passa al successivo.
L’algoritmo usuale per l’integrazione implicita è il seguente:
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G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
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G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
2. (L 1B+1C CMM / 1-5 CM) - MODELLI DI HARDENING E FUNZIONE
DI SNERVAMENTO ALLA VON MISES
Una funzione di snervamento o “yelding function” serve a delimitare il campo dei possibili stati
tensionali elastici di un materiale nelle varie fasi della sua evoluzione sotto qualsiasi tipo di carico.
Se il materiale considerato è isotropo, la condizione di snervamento dipende dalla intensità delle
tre tensioni principali ma non dal loro orientamento, quindi si può dire che le variabili della
yelding function possono essere solo i tre invarianti di tensione, scalari legati biunivocamente alle
tensioni principali e che, analogamente ad esse, caratterizzano completamente lo stato tensionale a
meno dell’orientamento. Le espressioni dei tre invarianti J1, J2 e J3, nel sistema di riferimento
principale sono:
J1 = σ 1 + σ 2 + σ 3
J 2 = −(σ 1σ 2 + σ 1σ 3 + σ 2σ 3 )
J 3 = σ 1σ 2σ 3
(1)
Considerato che, nel caso dei metalli, l’effetto di stati idrostatici di tensione sullo snervamento è in
prima approssimazione ininfluente sulla deformazione plastica (che avviene a volume quasi
costante), ecco che il primo invariante di tensione può essere eliminato dal gruppo delle variabili
che governano lo yelding.
Ciò significa che lo stato tensionale individuato da un generico vettore nello spazio delle tensioni
principali, agli effetti dello snervamento ha lo stesso effetto di un altro stato tensionale individuato
dal vettore che è la proiezione del precedente sul piano σ1+σ2+σ3=0, ovvero che sullo
snervamento influisce solo la parte deviatorica del tensore degli sforzi;
Da questa considerazione si evince che rappresentando nello spazio delle tensioni principali il
luogo dei punti {σ1, σ2, σ3} che siano il limite elastico del materiale secondo un generico criterio
di snervamento “insensibile” a
stati tensionali idrostatici, si ottiene sempre e comunque la
superficie laterale di un cilindro, di raggio incognito, avente per asse la retta di versore {1,1,1}
trisettrice dell’ottante positivo (Figura 2.4.1), e quindi ogni superficie di snervamento di questo
tipo è individuata univocamente dalla curva d’intersezione che la superficie stessa ha con il piano
di normale {1,1,1} (Figura 2.4.2). All’interno della famiglia di funzioni di snervamento
indipendenti dalla componente idrostatica dello stress, le differenziazioni consisteranno nella
forma della curva d’intersezione ovvero, se si vuole, nella forma che assume la sezione retta del
cilindro di snervamento.
- 30 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
σ3
1,1,1
σ1
σ2
π
Figura 1 (Hill, pag 17)
Tresca
σ3
Von Mises
σ1
σ2
Figura 2 (Hill, pag 19)
Il più realistico criterio di snervamento per materiale plastico ideale (privo di hardening) è quello
di Von Mises, secondo cui la soglia tra il comportamento elastico e quello elasto-plastico viene
raggiunta quando il secondo invariante di tensione assume un certo valore costante, legato al
carico di snervamento.
Il secondo invariante di tensione, espresso rispettivamente in termini di componenti deviatoriche
delle tensioni principali σ1,2,3’ (primo invariante nullo), tensioni principali σ1,2,3 e tensioni in un
sistema di riferimento generico σx,y,z e τxy,yz,xz, diventa rispettivamente:
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G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
3
2
2
2
(σ 1′ + σ 2′ + σ 3′ )
2
1
2
2
2
= (σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 1 − σ 3 )
2
1
2
2
2
2
2
2
= (σ x − σ y ) + (σ y − σ z ) + (σ x − σ z ) + 2 τ xy + τ yz + τ xz
2
3J 2 = σ 2 Eq =
3J 2 = σ 2 Eq
3J 2 = σ 2 Eq
[
[
]
(
(2)
)]
Il criterio di Von Mises stabilisce che si è in condizioni di comportamento plastico ideale quando
la tensione equivalente σeq data dal termine
3J 2 , è pari alla tensione di snervamento σY costante,
ovvero quando, nello spazio delle tensioni principali, il punto che individua lo stato di
sollecitazione ricade sulla superficie individuata dalla seconda delle espressioni 2.4.2, ovvero
ancora quando la proiezione del suddetto punto sul piano Π di equazione σ1+σ2+σ3=0, cade
esattamente sulla intersezione circolare di raggio
2
σY tra la superficie di snervamento
3
2J 2 =
ed il piano Π stesso.
Applicando il modello di Von Mises alla relazione 2.3.1 del paragrafo precedente, per la funzione
di snervamento in un materiale che si deforma plasticamente resta definita la seguente forma
espressa nel sistema di riferimento principale:
f (σ ) = σ eq − σ Y =
[
]
1
(σ 1 − σ 2 )2 + (σ 2 − σ 3 )2 + (σ 1 − σ 3 )2 − σ Y = 0
2
(3)
Per verificare che diverse combinazioni significative di tensioni possono avere la stessa σEq si
considerino le seguenti trasformazioni:
Stato tensionale A:
σ A = {100,0,0} ⇒
⇒ σ eq _ A = 100;
Stato tensionale B:
⇒ σ eq _ B =
σ B = σ A + σ HYDR (50) = {100,0,0} + {50,50,50} = {150,50,50} ⇒
1
100 2 + 100 2 + 0 2 = 100;
2
[
Stato tensionale C:
]
σ C = σ A + σ DEV = {100,0,0} + {− 100,100,0} = {0,100,50} ⇒
⇒ σ EQ _ C = 100;
Nello spazio delle tensioni tali punti ad uguale σ Eq sono disposti come segue:
- 32 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
σ3
B
C
σ1
A
σ3
σ2
Α=Β
C
σ1
σ2
Figura 3: Superficie di snervamento alla von Mises.
Ovvero, aggiungere una tensione idrostatica ad una tensione qualsiasi, comporta una traslazione
del punto rappresentativo dello stato tensionale lungo una generatrice del cilindro, mentre
l’aggiunta di una tensione puramente deviatorica comporta lo spostamento dello stesso punto
lungo una sezione retta circolare del cilindro.
Su un piano principale la funzione di snervamento di von Mises diventa un’ellisse, per esempio
sul piano σ3 =0 (quando una delle tensioni principali è nullo lo stato tnsionale si dice di “biassiale”
o di “ tensione piana”), si ha:
- 33 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
σ2
σ3=0
0
σ1
Figura 4: dominio di snervamento sul piano s3=0.
L’ espressione (3) non consente ancora di ricostruire in maniera realistica il comportamento dei
materiali metallici in quanto implica che la superficie di snervamento, essendo la tensione di
snervamento σY una costante del materiale, non si modifica in dimensione, forma o posizione
nello spazio delle tensioni. Ciò equivale ad ipotizzare che, una volta raggiunte le condizioni di
snervamento, la deformazione plastica fluisce senza la necessità di alcun incremento della tensione
equivalente. Nella realtà invece, anche raggiunta la condizione di snervamento, affinchè la
deformazione plastica continui a fluire occorrono incrementi di tensione equivalente ovvero,
considerato che in ogni caso per essere in campo plastico il punto {σ1,σ2,σ3} deve ricadere sempre
sulla superficie di snervamento, occorre che quest’ultima subisca continue modificazioni nella sua
dimensione e posizione, che consentano e/o assecondino l’incremento di tensione equivalente
necessario. Per interpretare in maniera visiva la realtà fisica del comportamento elastoplastico
reale, si può immaginare che in campo plastico lo stato tensionale è rappresentato da un punto,
nello spazio delle tensioni, che si muove allontanandosi dall’origine mentre la superficie di
snervamento si ingrandisce e si sposta in modo tale che il punto le stia sempre aderente, in un
susseguirsi di infinite condizioni di snervamento ognuna diversa ma infinitamente vicina alla
precedente. Le modifiche alle quali va incontro la superficie di snervamento costituiscono il
fenomeno dell’hardening, dipendente dal percorso deformativo seguito (traiettoria del punto nel
suo allontanarsi dall’origine a partire dal contatto con il primo snervamento) e quindi dalla storia
pregressa del materiale in termini di lavoro plastico accumulato.
Per quanto riguarda i due tipi di hardening più comune, si parla di hardening isotropico riferendosi
all’aumento di raggio del cilindro di snervamento, di hardening cinematico per indicare la sua
- 34 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
traslazione che comunque mantiene l’asse parallelo alla trisettrice positiva (almeno fintanto che
resta verificata l’insensibilità dello yelding a stati tensionali idrostatici).
Facendo riferimento al piano Π ed allo snervamento alla Von Mises, l’hardening equivale a
modificazioni del cerchio di snervamento come quelle in Figura 2.4.3, in cui l’hardening
isotropico è una funzione scalare R, quello cinematico una funzione vettoriale X:
dX
σy +R(t)
σy
dR
X(t)
t+dt
t
Primo snervamento
FIGURA 5 (Lemaitre pag 40)
La funzione di snervamento, per un materiale che presenta hardening isotropico e cinematico
(spesso, in base al materiale o al tipo di carico, si può considerare trascurabile l’una o l’altra delle
due componenti dell’hardening), diventa quindi:
(4)
f (σ, R, X) = (σ − X) eq − R − σ Y
In tale espressione, l’operatore che associa uno scalare “equivalente” ad un tensore (nel senso
visto in precedenza), agisce su una differenza tra i tensori di stress e di hardening cinematico.
Resta da definire quali sono le variabili delle due funzioni di hardening, e la loro evoluzione con la
storia deformativa. Individuata la necessità di tenere conto dei due tipi di hardening menzionati, le
funzioni X ed R, introdotte nella formulazione della plasticità generica, adesso possono essere
definite considerando che il termine α è in realtà una coppia di funzioni (la funzione scalare R di
hardening isotropico, e la funzione vettoriale X di hardening cinematico) che dimensionalmente
sono degli stress
mentre la funzione h(εEq) ne descrive il loro legame differenziale con dεEq e dει e quindi la loro
evoluzione. Analogamente a quanto accade tra lo stress e la deformazione plastica, le funzioni R
- 35 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
ed X (quest’ultima detta anche back-stress), le cui dimensioni sono quelle di uno stress
rispettivamente scalare e tensoriale, sono associate alle variabili, adimensionali come una
deformazione, dette cumulated o natural plastic strain “εEq” e backstrain “ε”. La deformazione
plastica equivalente εEq è definita come la deformazione duale alla tensione equivalente nel senso
del lavoro di deformazione (la deformazione che, moltiplicata per la tensione di Von Mises,
restituisce la stessa quantità di lavoro plastico data dal prodotto dei tensori di deformazione
plastica e di tensione). Analiticamente si ha:
ε Eq
∫σ
ε ij
eq
.ε Eq .dε Eq = ∫ σ ij .ε ij dε ij
0
o
dε Eq
2

2

=  (dε ij dε ij )  =  ( dε i − dε j ) 2 + (dε j − dε k ) 2 + ( dε i − dε k ) 2 
3

9

[
(5)
]
Il tipo di legame associativo è lo stesso per tutte e tre le coppie di funzioni e variabili, quindi,
secondo quanto visto per il legame incrementale tra stress e deformazione plastica, valgono le
seguenti relazioni:
dε ij =
δf
∂σ ij
dε Eq
∂f
dε Eq
∂R
δf
dε ij = −
dε Eq
δX ij
dε Eq = −
δf
ovvero
∂σ ij
=−
δf
δX ij
(6)
∂f
−
=1
∂R
Stante la forma scelta per il potenziale plastico ovvero per la funzione di snervamento, dalla prima
delle 2.4.5 si ricava che l’incremento di deformazione plastica è:
1


′
′
′ 
∂ 3 / 2(σ i − X i ) + (σ j − X j ) (σ k − X k )  
∂f



dε i =
dε Eq =
∂σ i
∂σ i
′
−1
1
3
′ 3 (σ i − X i )
= ⋅ ( ) 2 ⋅ 2 ⋅ ⋅ (σ i − X i )dε Eq = ⋅
dε Eq
2
2
2 (σ ij − X ij ) eq
2
2
- 36 -
2
2
dε Eq =
(7)
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
In definitiva i due stress che costituiscono l’hardening, R(scalare) ed X (tensoriale), dipendono
rispettivamente dalla variabile scalare “εEq” e dalla variabile tensoriale εij,.
La caratterizzazione del comportamento elastoplastico di un materiale è costituita proprio dalla
individuazione sperimentale delle leggi di hardening, oltre che della prima tensione di
snervamento.
Visto che durante il flusso delle deformazioni plastiche vale f = (σ − X) eq − R − σ Y = 0 , per
determinare le leggi di hardening basta misurare la tensione equivalente σEq al variare di εEq da
prove sperimentali.
Le prove sperimentali che permettono di ricavare tali grandezze in maniera + semplice possibile
sono quelle di trazione su provini lisci, per i quali lo stato tensionale è monoassiale ed uniforme su
tutto il volume del provino, e l’unica tensione non nulla è facilmente ricavabile come rapporto tra
forza ed area resistente del provino.
Infatti quando la tensione è uniassiale (σ1,0,0), dimostreremo avanti che la deformazione è del tipo
(ε1,- ε1/2,- ε1/2), e quindi, date le definizioni (2) e (5) di questa sezione, si vede facilmente che σEq
=σ1 ed εEq =ε1
Per caratterizzare un materiale con solo hardening isotropico si esegue un test monotonico
ottenendo una curva come in Figura 6:
- 37 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
σEq
R(εEq
)
σy
σy
εEq
Figura 6: Hardening Isotropico
data la simmetria della tensione di snervamento istantanea a trazione-compressione, non serve
effettuare cicli di scarico, quindi una volta determinata la tensione equivalente “facile” dalla prova
di trazione si ricava
R(ε Eq ) = σ eq (ε Eq ) − σ Y = σ 1 (ε 1 ) − σ Y
Se invece si deve determinare l’hardening cinematico, si usano provini di trazione sui quali
occorre eseguire cicli di carico-scarico ottenendo una curva come in Figura 7:
- 38 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
σEq
σy
σy
XEq(ε) εEq
Figura 6: Hardening Cinematico
In questo caso, l’hardening cinematica si ottiene sottraendo la semidifferenza tra snervamento a
trazione ed a compressione di ogni ciclo, dallo snervamento a trazione di inizio scarico. Tale
valore di hardening si associa al plastic strain iniziale di quel ciclo di scarico. Così x ogni ciclo si
ottiene un punto della curva di hardening X.
Quando il materiale esibisce entrambi i tipi di hardening la situazione è quella di Figura 7:
σ
R(p)
σy
X(p)
p
Figura 7: Hardening Isotropico e Cinematico
- 39 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Unendo i concetti precedenti si caratterizzano entrambi gli hardening: X si ottiene dalla differenza
tra snervamento inizio scarico e semiampiezza carico-scarico, invece R si ottiene come incremento
delle semiampiezze tra un ciclo ed i successivi.
Lemaitre ha proposto delle leggi-tipo per esprimere i due tipi di hardening sulla base di
considerazioni pratiche, per cui essi crescono all’inizio della plasticizzazione ma la crescita
diminuisce gradualmente fino ad assestarsi sui valori X∞ ed R∞ per strain virtualmente infiniti. La
rapidità di crescita iniziale ed assestamento è data dalle costanti γ e b.
[
X ij = X ∞ 1 − e
[
R = R∞ 1 − e
− γε ij
− bε Eq
]
]
I parametri X∞, R∞, γ e b vanno determinati tramite “best fit”, ovvero vanno scelti in modo da
approssimare meglio possibile le curve sperimentali “per punti” ottenute da prove monotoniche o
prove con cicli di carico-scarico.
Due funzioni molto più conosciute sono largamente utilizzate in letteratura per approssimare i dati
sperimentali relativamente al caso di solo hardening isotropico, che è realistico per la maggior
parte dei metalli duttili quando subiscono storie di carico monotoniche o comunque non cicliche:
Hollomon Law (Power Law):
σ Eq = K ⋅ ε Eq N
Ludwig Law:
σ Eq = σ 0 + K ⋅ ε Eq N
E’ importante tener presente che queste sono approssimazioni comunemente usate per
approssimare dati sperimentali tramite best fitting, ma, per approssimare con una curva continua
l’hardening sperimentale ottenuto solitamente come sequenza di punti, si può usare qualunque
funzione approssimate polinomiale, trigonometrica etc. etc.!!
- 40 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Tra le possibili modellizzazioni che esistono al variare della scelta del potenziale, quella che è
stata esposta, detta “Plasticità Associata”, prevede che la funzione potenziale sia la stessa che
individua le condizioni di snervamento, ovvero la yelding function.
Tale costruzione analitica è al momento quella universalmente accettata e diffusa per quanto
riguarda il comportamento dei materiali metallici, dato che il suo utilizzo in numerosi codici di
calcolo FEM si è rivelato di semplice gestione ed in grado di fornire risultati in buon accordo con
la sperimentazione. All’interno della categoria di modelli che fanno capo alla plasticità associata,
esiste comunque una ulteriore differenziazione legata alla scelta della funzione di snervamento,
infatti si potrebbero utilizare funzioni più semplici o più evolute di quella vista in questa sede. Ad
esempio, la più elementare funzione di snervamento alla Von Mises potrebbe prevedere l’assenza
totale di hardening (materiali plastici ideali) oppure potrebbe tenerne in considerazione solo uno
dei due tipi visti, oppure, come accade per alcune rappresentazioni analitiche molto sofisticate,
rivolte perlopiù ad applicazioni nel campo della ricerca scientifica avanzata, si fa ricorso a forme
della funzione di snervamento più complesse di quella vista, per tenere conto di forme di
hardening sempre più precise (ad esempio l’hardening cinematico non lineare) o di fenomeni fisici
come il danneggiamento dovuto alla evoluzione di vuoti all’interno del materiale.
Esercizio su irreversibilita’ & path dependence delle deformazioni plastiche
Il legame incrementale tra tensioni e deformazioni ed il modello costitutivo dissipativi-non
conservativo comportano che la deformazione plastica NON dipende dallo stato attuale delle
tensioni ma dal percorso seguito nello spazio delle tensioni per arrivare a tale stato.
ESEMPIO :
Consideriamo una lamiera metallica piana (direzioni x,y) il cui materiale soddisfa il criterio di
snervamento di Von Mises, ha snervamento iniziale σ Eq −0 = 65MPa e la curva costitutiva
seguente:
σ Eq (ε Eq ) = 65 + 200 ⋅ ε Eq 0.3
Tale lamiera deve essere sottoposta ad una sequenza di due tensioni uniformi, ognuna da applicare
gradualmente fino al raggiungimento di 150 MPa in direzione X e 250 MPa in direzione Y.
- 41 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Y
X
120 MPa
150 MPa
Determinare la deformazione plastica equivalente del materiale alla fine delle due possibili
sequenze di sollecitazioni ottenibili applicando prima la tensione lungo X e dopo quella lungo Y, e
viceversa.
Schematizzare le superfici di snervamento durante le due possibili trasformazioni.
Assumere infinitesime le singole trasformazioni plastiche e trascurare quelle elastiche, ovvero gli
spostamenti nello spazio delle tensioni sono così piccoli da essere considerati per forza rettilinei
(proportional loading!) .
SOLUZIONE:
Lo stato tensionale finale è sempre
σ~ = (120,150,0 ) ,
ma può essere ottenuto con le
trasformazioni O-A-C oppure O-B-C schematizzate di seguito:
200
σY
B
C
O
A
150
100
50
-200
-150
-100
-50
σX
50
-50
-100
-150
-200
- 42 -
100
150
200
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
1)
PERCORSO O-A-C:
TRATTO O-A
Applicando prima la σX = 120 MPa (trasformazione O-A) la tensione equivalente è:
(
)
1
2
2
⋅ (120 ) + (120 ) = 120 MPa
2
σ EqO − A =
ed essendo maggiore della tensione di primo snervamento (65 MPa) si ha che la nuova tensione di
snervamento è diventata 120 MPa e produce deformazione plastica. Sostituendo 120 MPa nella
legge costitutiva ed ipotizzando che la deformazione prodotta è infinitesima (altrimenti si
dovrebbe integrare su deformazioni infinitesime etc. etc.) si ottiene:
 120 − 65 

 200 
ε EqO− A = 
(1/ 0.3)
= 0.0135
La superficie di snervamento è cambiata (rosso = snerv. Iniziale, blu = snerv. dopo O-A) e la
trasformazione O-A indicata dalla freccia è elastica fino a 65 MPa, elastoplastica (infinitesima) tra
65 e 120 MPa:
200
σYσY
150
100
50
ο
-200
-150
-100
-50
A
50
100
σX
150
200
Proiez (dε1, dε2, dε3)O-A
sul piano σZ=0.
-50
-100
2 ~
⋅ dε = dε Eq
3
-150
-200
- 43 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Le tre componenti del tensore incremento di deformazione plastica (ε1, ε2, ε3) devono avere i
seguenti requisiti:
1) descrivono un vettore perpendicolare alla sup di snervamento 3D nel punto A (ellisse sul
piano XY con semiassi a 45 gradi rispetto SDR ha tangente di +-30 o +- 60 gradi
all’intersezione con gli assi del SDR etc. etc…., quindi generalizzando al 3D si ottiene):
(dε X , dε Y , dε Z ) =  dε X ,− dε X

2
,−
dε X 

2 
2) il modulo del vettore incremento di deformazione, moltiplicato per
2
3 dev’essere pari a
dεEq :
dε~ ⋅
2
= dε Eq ⇒
3
2
2
dε
dε
2
⇒ dε X + X + X ⋅
= dε Eq ⇒
4
4
3
⇒ dε X = dε Eq = 0.0135
2
L’incremento di deformazione plastica di O-A avviene a partire dal materiale indeformato, quindi
la deformazione totale in A coincide con l’incremento di deformazione O-A.:
(ε X , ε Y , ε Z )A = (0,0,0 ) + d (ε X , ε Y , ε Z )O − A = (0.0135,−0.0675,−0.0675 )
TRATTO A-C
Applicando adesso la σy = 150 MPa (trasformazione A-C) la tensione equivalente diventa:
σ EqO − A−C =
(
)
1
2
2
2
⋅ (120 − 150 ) + (120 ) + (150 ) ≈ 137.5MPa
2
La nuova tensione equivalente è ancora > dello yield stress precedente (120 MPa), quindi lo
snervamento diventa 137.5 MPa e si ha ancora deformazione plastica:
- 44 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
 137.5 − 65 

 200 
ε EqO− A−C = 
(1 / 0.3)
= 0.034
Quindi a fine del percorso O-A-C si ha una tensione di snervamento pari a 137.5 MPa, una
deformazione plastica equivalente del 3.4 %.
La superficie di snervamento si è modificata nuovamente e la trasformazione A-C è inizialmente
elastica (linea tratteggiata) ed elastoplastica nella parte finale:
200
σY
C
Proiez (dε1, dε2, dε3)A-C
sul piano σZ=0.
150
100
50
-200
-150
-100
-50
σX
A
O
50
100
150
200
-50
-100
-150
-200
Il
vettore
“incremento
di
deformazione”
A-C
ha
modulo
dε~A−C = 3 ⋅ dε Eq − A−C = 3 ⋅ (0.034 − 0.0135) = 0.0251 e direzione perpendicolare alla
2
2
superficie di snervamento cilindrica in C: queste condizioni sono sufficienti a determinare le tre
componenti di dε~A−C = (dε X , dε Y , dε Z ) A−C , ma il calcolo via “carta e penna” della direzione
normale alla superficie di snervamento in C è meno immediato che in A, quindi in questa sede
evitiamo di svolgerlo (comunque tale calcolo è facile concettualmente ed elementare per via
numerica tramite codici di calcolo automatici).
Il tensore di deformazione plastica totale alla fine di OAC sarebbe la somma dei due vettori
= dε~ + dε~
incrementali infinitesimi: ε~
O − A− C
O− A
A−C
- 45 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
2)
Percorso O-B-C:
TRATTO O-B
Applicando prima la σy = 150 MPa (trasformazione O-B) tensione e deformazione equivalenti
sono:
σ EqO − B =
ε EqO − B
(
)
1
2
2
⋅ (150 ) + (150 ) = 150 MPa
2
 150 − 65 
=

 200 
(1 / 0.3 )
= 0.058
Ed essendo la tensione equivalente maggiore di quella di primo snervamento, fino a 65 MPa si ha
trasformazione elastica, tra 65 e 150 MPa elastoplastica, e la nuova tensione di snervamento
diventa ovviamente 150 MPa:
200
Proiez (dε1, dε2, dε3)O-B
sul piano σZ=0.
150
σY
B
100
50
O
-200
-150
-100
-50
σX
50
-50
-100
-150
-200
- 46 -
100
150
200
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Visto che la normale alla sup di snervamento cilindrica all’intersezione con gli assi ha versore del
tipo (1, -1/2, -1/2), e visto che il modulo del vettore incremento di plastic strain dev’essere pari a
dε~ O − B =
3
dε Eq A−C = 0.071 , ne deriva che il tensore incremento di strain O-B è:
2
dε Eq −O − B
 dε Eq −O − B
dε~O − B =  −
, dε Eq −O − B ,−
2
2


 = (− 0.029, 0.058, − 0.029 )

TRATTO B-C
Applicando adesso la tensione di 120 MPa lungo x (trasform. B-C) si ha:
σ EqO − B −C =
(
)
1
2
2
2
⋅ (120 − 150 ) + (120 ) + (150 ) ≈ 137.5MPa
2
Che stavolta è minore dello snervamento di 150 MPa, quindi: aggiungere la σX allo stato
tensionale precedente ha significato effettuare uno scarico elastico, la superficie di snervamento
non si modifica, la tensione di snervamento rimane pari a 150 MPa (non può diminuire!) e non si
hanno deformazioni plastiche, quindi la deformazione plastica totale a fine percorso O-B-C è pari
= (− 0.029, 0.058, − 0.029 ) :
al solo incremento dε~
O− B
200
150
B
C
100
50
O
-200
-150
-100
-50
50
-50
-100
-150
-200
- 47 -
100
150
200
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
In definitiva, seguendo i due percorsi si arriva allo stesso stato tensionale C (120,150,0), però il
materiale ha acquisito due diverse tensioni di snervamento (137 MPa contro 150 MPa) ed è stato
deformato in maniera sia qualitativamente diversa (deformazioni sia lungo X sia lungo Y per O-AC, deformazioni solo lungo Y per O-B-C) sia quantitativamente diversa (equivalent plastic strain
del 3.4% nel primo caso, del 5.8 nel secondo). Se fossero state calcolate le componenti di dε~ e
A− C
quindi il tensore di deformazione completo del percorso O-A-C si sarebbe visto che anche
ε~O − A−C ≠ ε~O − B −C
Sulla curva costitutiva i due percorsi sono i seguenti:
160
O-B
sigma_eq
140
O-A-C
O-A
O-B-C
120
100
80
60
εEq
O
40
0
0.01
0.02
0.03
0.04
- 48 -
0.05
0.06
0.07
0.08
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
3.
(L
2
CMM
/
6
CM)
-
CARATTERIZZAZIONE
STATICA
ELASTOPLASTICA DEI MATERIALI
Utilità della caratterizzazione post snervamento
La caratterizzazione statica del materiale è indispensabile ai fini della progettazione in campo sia
elastico che plastico. Contrariamente a quanto accadeva sino a qualche decennio fa, oggi la
tendenza a progettare in campo plastico, previa la approfondita conoscenza del comportamento del
materiale in tale fase, assume una importanza sempre maggiore in tutte quelle applicazioni ad alto
contenuto tecnologico in cui è necessario ridurre pesi, ingombri e costi, e contemporaneamente
assicurare elevati standard di sicurezza strutturale.
I due aspetti non sono necessariamente in contraddizione, infatti i coefficienti di sicurezza
vengono spesso visti come coefficienti di ignoranza sul materiale, quindi diventa chiaro che
riducendo la nostra poca consapevolezza su di esso si riduce anche la necessità del coefficiente di
sicurezza e del sovradimensionamento che ne consegue.
In pratica, potendo prevedere con ragionevole certezza il massimo carico che agisce
eccezionalmente su una struttura, e conoscendo a sufficienza il comportamento del materiale nel
campo di funzionamento che va dallo snervamento alla rottura è possibile, oltre che decisamente
sensato, fare in modo che sotto tale carico estremo la struttura arrivi in prossimità del limite di
rottura piuttosto che restare lontana da tale condizione.
Spesso infatti è più dispendioso sovradimensionare una struttura piuttosto che dimensionarla in
maniera appropriata per i carichi che sopporta e sostituirla tutta o in parte appena il “termometro
del danneggiamento” indica che la rottura è prossima.
In alcune applicazioni in cui il fattore peso è determinante diventa addirittura indispensabile
sfruttare il materiale quanto più possibile, si pensi alle applicazioni aeronautiche in cui i
coefficienti di sicurezza devono per forza di cose essere resi più bassi possibile (occorre utilizzare
“poco” materiale ma “bene”) per permettere il raggiungimento di specifiche e prestazioni di un
certo rilievo.
Se poi si pensa alla nuova categoria di strutture che nel settore veicolistico vengono oggi
progettate per assorbire elevati quantitativi di energia negli urti, si capisce come la stessa finalità
- 49 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
della struttura si impernia totalmente sul comportamento in fase plastica avanzata del materiale
che la costituisce.
In sostanza la riduzione dei pesi permessa dallo sfruttamento ottimale dei materiali è in alcuni casi
utile per un fatto economico, in altri casi necessaria per un fatto tecnico.
E’ inoltre accertato che l’apparente sicurezza data dalla tecnica del sovradimensionamento in
campo elastico a volte può rivelarsi, se analizzata ala luce dei nuovi criteri di danneggiamento dei
materiali, meno cautelativa della progettazione in campo plastico in cui ci si avvalga dei suddetti
metodi di previsione del danno.
Il concetto di caratterizzazione elastoplastica
Una premessa indispensabile riguarda la definizione di cosa significa caratterizzare il materiale in
campo plastico: si è visto che in tale fase del comportamento non è più possibile stabilire un
legame univoco tra tensioni e deformazioni plastiche, ma si è visto anche che, in ogni caso, per
ogni stato deformativo è possibile conoscere almeno una informazione che limita il numero dei
possibili stati tensionali. Infatti per un certo materiale esisterà una ed una sola legge di hardening
che, definendo il valore della tensione equivalente di Von Mises corrispondente ad ogni
deformazione plastica equivalente, pone un primo vincolo limitando il numero dei possibili stati
tensionali.
Infatti, senza alcun vincolo costitutivo o di altro tipo, i possibili stati tensionali in un punto sono
∞3 dati dalle combinazioni possibili delle tre tensioni principali, imponendo che tali tensioni
debbano “produrre” un ben preciso valore di tensione equivalente (dato dall’hardening
corrispondente al generico valore di deformazione plastica considerato) le combinazioni diventano
∞2. Le ulteriori condizioni date dalla normality rule e dalla consistency condition rendono definito,
sia pure in maniera incrementale, il problema della determinazione della tensione corrispondente
ad una certa deformazione plastica. Se poi si tiene conto anche della deformazione elastica e del
corrispondente legame costitutivo si introduce una variabile ed una equazione in più che lasciano
il probelma ancora determinato, sempre in termini incrementali.
E’ quindi chiaro che caratterizzare un materiale in campo elastoplastico significa determinare la
relazione che fa corrispondere un valore di tensione equivalente (ovvero un campo di esistenza per
una infinità doppia di stati tensionali) ad ogni valore di deformazione plastica equivalente. Ciò, nei
- 50 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
limiti che saranno evidenziati avanti, è perseguibile in maniera relativamente semplice tramite
prove di trazione o più generalmente monoassiali in cui rilevare l’unica tensione non nulla tra le
tre principali corrisponde a rilevare proprio la tensione equivalente oggetto della caratterizzazione.
Caratterizzazione elastoplastica tradizionale – curva ingengeristica
A questo punto, evidenziata la necessità di caratterizzare il materiale dal punto di vista statico
anche al di là della condizione di snervamento, e definita la caratterizzazione come la
determinazione della legge tensione equivalente-deformazione plastica equivalente, si deve
valutare se e quanto la tradizionale procedura di valutazione della curva tensione-deformazione è
adatta allo scopo.
Tale curva (detta “Ingegneristica”) è ottenuta riportando rispettivamente in ordinata ed in ascissa, i
valori di tensione e deformazione assiali ottenuti come segue dalla prova di trazione monotonica
su provini di geometria standard, del tipo circolare riportato in Figura:
L0
z
2a0
r
-
la tensione è data dal rapporto tra il carico istantaneo applicato e la sezione resistente
nominale, ovvero quella che ha il provino appena costruito;
-
la deformazione è data dal rapporto tra l’allungamento DL0 della lunghezza di misura (gage
lenght) e la sua lunghezza originale L0.
Queste grandezze danno luogo alla classica curva del tipo:
σ
σu
σy
- 51 -
ε
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
dove le tensioni caratteristiche riportate sono quella di snervamento sy e quella su detta “ultimate”
che, come si vedrà avanti, non è assolutamente la vera tensione massima sul provino.
Questi valori di tensione e di deformazione corrispondono alla tensione equivalente e
deformazione equivalente solo nella idealizzazione secondo cui istante per istante sono verificate
le seguenti ipotesi:
1)
in ogni punto interno al volume “utile” del provino (quello cilindrico definito dalla
lunghezza L0) si hanno distribuzioni di tensione perfettamente uniformi e monoassiali,
ovvero le componenti del tensore di tensione sono del tutto indipendenti dal punto
materiale considerato, e sono tutte nulle tranne quella normale in direzione del carico
applicato.
2)
l’allungamento (o l’aumento di carico) imposto dalla macchina di prova in controllo di
spostamento (o in controllo di carico) avvengono a velocità talmente basse da non
innescare fenomeni detti di “strain rate”. E’ noto infatti che condurre prove con velocità di
deformazione elevata fa nascere nei materiali un effetto viscoso di irrigidimento detto
appunto strain rate effect. Pertanto per prove in cui non si voglia valutare la caratteristica
viscoplastica del material, la velocità dev’essere talmente bassa da potersi considerare
quasi statica.
3)
la differenza tra le configurazioni iniziale ed istantanea della geometria del provino
(differenza tra valori istantanei e valori iniziali del diametro e della lunghezza del tratto
cilindrico) siano così piccole da poter essere trascurate.Si fa riferimento al tratto utile del
provino perché, ovviamente, all’esterno di tale tratto le distribuzioni di tensione e
deformazione non sono più monoassiali per la presenza di raccordi e gli aumenti di
diametro necessari ad afferrare il provino nella macchina di prova.
Le prime due ipotesi sono pressochè vere se si ha la cura di realizzare rispettivamente provini di
geometria sufficientemente “indisturbata” nel tratto utile (le norme forniscono indicazioni valide
in merito) e di impostare la macchina di prova su velocità sufficientemente basse. La terza ipotesi
invece, è realistica solo per piccolissime deformazioni, dell’ordine di quelle elastiche o poco
maggiori, infatti, come verrà specificato avanti, il tratto utile del provino in realtà subisce
- 52 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
elongazioni e contrazioni di diametro che rendono troppo imprecisa la determinazione di tensioni
e deformazioni secondo le (1).
Pertanto nel campo di validità delle tre ipotesi descritte (poco oltre il campo elastico), la tensione e
la deformazione equivalenti (seq e p) coincidono rispettivamente con tensione e deformazione in
direzione assiale perché queste ultime sono le uniche componenti non nulle nel tensore di tensione
e di deformazione, ed in tutti i punti utili del provino si hanno i valori seguenti di tensione e
deformazione:
σ eq =σ z =
p =εz =
F
πa 0 2
L0 + ∆L0
∫
L0
(1)
(L + ∆L0 ) − L0 ∆L0
∂w
dz = 0
=
∂z
L0
L0
in cui la forza istantanea w è lo spostamento in direzione z, e l’allungamento istantaneo DL0
vengono registrati durante il test dalla macchina di prova.
Caratterizzazione elastoplastica di seconda approssimazione – curva true
Il grado di approssimazione successivo a quello della curva ingegneristica, permette di porre
rimedio alle imprecisioni che l’ipotesi 3) fatta precedentemente introduce in campo plastico.
Infatti sia la tensione che la deformazione, possono essere definite rispetto all’area elementare
indeformata solo per piccoli spostamenti e deformazioni. Quando le deformazioni non possono
più essere considerate infinitesime, affinchè tensioni e deformazioni siano ancora significative
occorre riferirle non più alla configurazione indeformata ma a quella istantanea, ovvero deformata.
Per tenere conto di ciò sulla deformazione è necessario ricordare che la seconda delle relazioni 1)
è valida solo nell’ipotesi di piccole deformazioni, pertanto nelle espressioni da utilizzare
formalmente la deformazione occorre utilizzare la seconda delle 1) solo a patto di “spezzettare” la
deformazione finita tra L0 ed L in tante deformazioni infinitesime. Pertanto si ha:
σ eq =σ z =
p = ez =
F
(2)
πa 2
L dL
 L
∆Ln ∆Ln −1
∆L
∆L
+
+ ....... + 1 + 0 = ∫
= Log 
L
Ln
L2
L1
L0 L
 L0



essendo a ed L le dimensioni istantanee rispettivamente del semidiametro e della lunghezza del
tratto utile.
- 53 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
In sostanza in questo modo si tiene conto della riduzione di area per la tensione, e delle
deformazioni non più approssimabili ad infinitesime, eliminando quindi la causa che rendeva la
caratterizzazione tramite curva “ingengeristica” realistica solo per ridottissimi valori di
deformazione.
La deformazione definita adesso è legata a quella vista “classica”, vista precedentemente, dalla
seguente relazione:
 L
p = e z = Log 
 L0

 L + ∆L 
 = Log  0
 = Log (1 + ε z )

 L0 
(3)
Le espressioni (2) definiscono rispettivamente i cosiddetti “true stress” e “true strain” o
“logarithmic plastic strain”, dove l’aggettivo true (vero) è legittimo, come vedremo, solo fino ad
un certo punto.
Siccome per deformazioni plastiche piuttosto ridotte, in materiali metallici con hardening non
troppo elevati, si hanno deformazioni elastiche qualche ordine di grandezza più piccole, è lecito
trascurare queste ultime e quindi considerare che la deformazione logaritmica, (che a rigore
esprime la deformazione totale somma di quella elastica e quella plastica), esprima invece
solamente la deformazione plastica. Questo permette di fare una interessante considerazione che
rende “più facile” la vita di chi deve ricavare la curva true di un materiale. Infatti è noto che le
deformazioni plastiche avvengono a volume costante, quindi il volume cilindrico della parte utile
di provino, per un dato valore di deformazione plastica avrà conservato il suo volume (a meno
dell’effetto elastico che abbiamo detto essere trascurabile). Allora la conservazione del volume su
scala macroscopica (appunto il cilindro di dimensioni finite di cui si parla) impone che:
Volumeindeformato = πa 0 2 L0 = Volume deformato = πa 2 L ⇒
⇒
2
L a0
= 2 ⇒
L0 a
(4)
 a02 
 L 
a 
⇒ p = e z = Log   = Log  2  = 2 Log  0 


 a 
 L0 
a 
L’espressione (4) permette quindi di calcolare la deformazione plastica logaritmica tramite
misurazioni di raggio (diametro), sperimentalmente più semplici e meno affette da errore di
quanto avvenga con le misure di allungamento.
- 54 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
La curva true di un materiale è molto più realistica ed esplicativa di quella ingegneristica, e anche
la forma che assume per un materiale duttile è completamente diversa. Nella Figura seguente sono
riportate curve qualitative che danno un’idea di quanto detto.
σz
Curva true
Curva ingegneristica
ez
Facendo riferimento alla curva ingegneristica si ricavano informazioni falsate sia per le
deformazioni che per le tensioni, a meno di non limitarsi a considerare bassissime deformazioni
(la parte elastica della deformazioni non è ancora trascurabile), per le quali di fatto le due curve
coincidono. Ad esempio infatti, la deformazione ingengeristica alla frattura del provino (detta
anche allungamento percentuale a rottura), per materiali comuni varia tra ipochi percento dei
materiali fragili ed i valori dell’ordine del 20-30% dei materiali duttili, mentre la deformazione
logaritmica degli stessi materiali, decisamente più significativa, a rottura raggiunge valori anche
10 volte superiori. Ad esempio, per provini in acciao AISI304 aventi diametro nominale di 9 mm e
gage lenght di 55 mm, l’allungamento a rottura è del 15-20 % mentre la deformazione plastica a
rottura arriva al 130% circa.
Per quanto riguarda la tensione poi, è chiaro che la riduzione di sollecitazione riportata dalla curva
ingengeristica in corrispondenza dell’ “Ultimate Tensile Stress” non è reale, in quanto il carico
dall’U.T.S. in poi diminuisce davvero, però la sezione resistente in quella fase inizia a ridursi con
una velocità maggiore di quella con cui avviene la riduzione di carico, dando in ogni caso luogo
all’andamento crescente di tensione che la curva true più obiettivamente riproduce.
Caratterizzazione di terza approssimazione – il necking e le problematiche relative
- 55 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
La caratterizzazione mediante curva true, pur rappresentando un gigantesco passo avanti rispetto
alla curva ingegneristica ed essendo significativa fino a notevoli deformazioni plastiche, non è
ancora del tutto esatta perchè non può tenere conto delle perturbazioni che, ad un certo punto della
vita del materiale, vengono innescate dall’insorgere del necking.
I valori di deformazione a cui nasce il necking variano da materiale a materiale, ma gli ordini di
grandezza vanno dall’1-2% (materiali a basso hardening) al 35-40% (materiali molto duttili e con
spiccate doti di hardening). Sino al raggiungimento di questi valori di deformazione la curva true è
perfettamente indicativa del legame tra tensione equivalente e deformazione plastica equivalente,
pertanto è del tutto idonea a caratterizzare il materiale in campo elastoplastico.
Il necking è il fenomeno della strizione (quindi deformazione plastica) concentrata in una
particolare sezione del volume utile del provino, (quella in cui la somma delle imperfezioni interne
è anche infinitesimamente superiore a quella delle altre sezioni), strizione che determina la
classica forma “a clessidra” della zona di provino circostante e che segna l’inizio della fase che
abbastanza rapidamente porta alla rottura proprio nella sezione “neckizzata”.
Un andamento tipico della deformazione in tali condizioni è riportato nella figura seguente:
- 56 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
E’ evidente che la deformazione calcolata tramite allungamenti del tratto utile, in queste
condizioni rappresenta solo il valore medio di una grandezza che localmente si discosta di gran
lunga da tale valore medio.
La sagoma assunta dal provino nella zona in questione provoca una sorta di intaglio “naturale” ed
inevitabile, ed è quindi ovvio che la presenza di questa perturbazione geometrica, come qualunque
intaglio che si rispetti, comporta una modifica dello stato tensionale e deformativo.
L’insorgere del necking coincide con il verificarsi della condizione di carico massimo,
corrispondente all’U.T.S. descritto a proposito della curva ingegneristica.
Matematicamente la condizione da imporre sulla curva true per ricavare il valore di deformazione
plastica a cui inizia il necking è:
∂σ true
= σ true
∂e z
(5)
Per valori di deformazione logaritmica compresi tra zero ed il valore ricavato dalla (4), la curva
true si costruisce con misure di campi tensionali e deformativi uniformi e monoassiali, quindi è
davvero indicativa del legame tra tensione equivalente e deformazione plastica equivalente ovvero
caratterizza correttamente il materiale per una parte della sua “vita” plastica.
- 57 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Per caratterizzare il materiale nel range di deformazioni plastiche successivo al necking, occorre
tenere conto dei cambiamenti che esso provoca nelle distribuzioni di stress e strain.
Un primo aspetto della modifica delle distribuzioni suddette è quello della variabilità lungo l’asse,
infatti la sezione neckizzata, in ogni istante sta subendo tensioni e deformazioni più elevate che in
qualunque altra sezione. E se questo fosse l’unico fatto di cui tener conto, sarebbe semplice
caratterizzare ancora tramite curva true, calcolando le riduzioni di area sulla sezione significativa
che è quella ristretta.
Invece il necking fa cadere due delle ipotesi che stanno alla base della curva true, e precisamente
quella di monoassialità dello campo tensionale, e quella di uniformità dello stesso campo.
Infatti sulla sezione ristretta (che comunque resta la sezione più sollecitata e quindi significativa
per la caratterizzazione) ed in quelle circostanti, nascono tensioni sia radiali che circonferenziali
variabili lungo l’ascissa radiale, e anche l’andamento della tensione assiale (l’unica ad essere non
nulla ed uniforme anche prima del necking) adesso non è più uniforme.
In questa situazione, i problemi da risolvere per ricavare i massimi valori della tensione
equivalente e della deformazione plastica equivalente nel volume del provino diventano due,
infatti è necessario sia capire quale punto della sezione ristretta è quello in cui si verifica il
massimo di tensione e deformazione, sia valutare l’entità delle singole componenti dei tensori di
tensione e deformazione per poi calcolarne gli scalari equivalenti. E chiaro che i due problemi
considerati si traducono in quello nella determinazione delle distribuzioni di stress e strain sulla
sezioni di necking.
- 58 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Un metodo esatto per rilevare le tali distribuzioni non è stato sino ad oggi trovato, però esistono
alcuni modelli matematici che descrivono il fenomeno in maniera approssimata fornendo pur
sempre un grado di precisione migliore di quello ottenibile con la curva true. Il più attendibile di
tali modelli è quello di Bridgman, che verrà descritto successivamente.
In merito agli effetti del necking sullo stress nella sezione ristretta è comunque possibile fare
alcune considerazioni qualitative prima di descrivere il modello di Bridgman.
Si è fatto notare che la geometria che caratterizza il necking è assimilabile ad un intaglio, quindi è
ragionevole pensare che anche le modifiche che la strizione localizzata induce sullo stato
tensionale siano qualitativamente uguali a quelle introdotte da un intaglio: la nascita di tensioni
compressive nelle direzioni ortogonali al carico implica un aumento della triassialità dello stato
tensionale, ovvero un aumento “percentuale” della parte idrostatica del tensore.
Un utilissimo fattore di triassialità è rappresentato dal rapporto tra tensione idrostatica e tensione
equivalente:
T .F . =
σH
σ eq
(6)
Questo termine vale tipicamente 1/3 per stati tensionali perfettamente monoassiali, e cresce sino a
raggiungere il valore di infinito per tensori idrostatici.
Tornando alla modifica dello stato tensionale dovuto al necking si può dire che una parte del
carico assiale viene “sprecata” per creare tensioni idrostatiche che assecondino la geometria
assunta nella zona del necking, pertanto non tutta la tensione assiale calcolabile dal rapporto
carico/area si traduce in tensione equivalente. Allora è possibile prevedere che la curva costitutiva
del materiale, che esprime la tensione equivalente rispetto alla deformazione plastica equivalente,
a partire dalla deformazione di avvio del necking si discosta dalla curva true (sino a prima del
necking curva true e curva del materiale coincidono) restandone al disotto, secondo un andamento
simile a quello della seguente figura:
- 59 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
σ
σtrue(p)
σeq(p)
σing(p)
p
pn
Come si vede, in corrispondenza del carico massimo si ha l’inizio del necking e quindi la
biforcazione tra curva costitutiva e curva true che da tale condizione in poi fornisce valori sempre
maggiori di quelli della tensione equivalente del materiale.
Fino a questo momento le considerazioni fatte sono solo di tipo qualitativo, si può aggiungere che
l’ordine di grandezza della differenza tra tensione true e tensione equivalente, a rottura è
dell’ordine del 10-20% della tensione true, ma per determinare la funzione seq(p), magari tramite
una legge che modifichi la curva true, occorre fare riferimento ai modelli matematici, ancora una
volta approssimati, a cui si è accennato in precedenza.
- 60 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
4. (L 3 CMM / 7 CM) - METODO DI BRIDGMAN PER LA STIMA DELLA
FLOW CURVE DALLA CURVA TRUE
Il problema analitico delle distribuzioni di stress sul necking
Si è visto in precedenza che il true stress in un provino di trazione, essendo costruito con il
rapporto tra valori istantanei di carico e sezione resistente, indica il valore medio della tensione
assiale (tensione normale in direzione del carico). Prima del verificarsi del necking, sul provino
non intagliato esiste una distribuzione uniforme di stress solamente in direzione assiale, pertanto il
true stress coincide con la tensione equivalente di Von Mises che, insieme al true strain
caratterizza egregiamente il comportamento plastico del materiale. Anche per la deformazione,
prima del necking, valgono le stesse considerazioni. Pertanto la curva true che lega true stress e
true strain è perfettamente coincidente con la curva tensione equivalente-deformazione plastica
equivalente prima che inizi a formarsi il necking.
Dall’inizio tale fenomeno la distribuzione sia di stress che di strain smette di essere sia uniforme
che monoassiale. Tale disuniformità è ovviamente maggiore nella sezione ristretta che sulle altre
sezioni, ma anche all’interno della stessa sezione ristretta si è accertato che esistono gradienti di
tensione, deformazione plastica e triassialità. Quindi, per individuare le distribuzioni di stress e
palstic strain equivalenti sul neck, occorre prima ricavare le distribuzioni delle singole
defomazioni e tensioni principali sulla stessa sezione.
- 61 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Rigorosamente, fintanto che la teoria della plasticità associata si ritiene valida, la determinazione
delle componenti principali di stress e plastic strain sul neck dovrebbe essere ricavata dalle
equazioni indefinite di equilibrio a cui si accoppiano le relazioni che esprimono il legame
elastoplastico incrementale e le condizioni al contorno tipiche del neck. Nel caso di provino
cilindrico le equazioni indefinite vanno scritte nel sistema di riferimento cilindrico {z, r, θ} ed
hanno la forma:
∂σ r ∂τ rz σ r − σ ϑ
+
+
=0
∂r
∂z
r
∂τ rz ∂σ z τ rz
+
+
=0
∂r
∂z
r
(1)
Le boundary conditions impongono:
-
l’annullarsi della tensione radiale al raggio esterno del necking,
-
l’annullarsi della tensione tangenziale τrz su tutta la sezione ristretta
-
che, per simmetria, la derivata di qualunque grandezza fisica rispetto all’asse z sia nulla per
zeta nullo (ovvero sul piano della sezione ristretta)
-
che al centro della sezione di necking, (ovvero sul punto che appartiene sia all’asse che alla
sezione suddetta), la tensione circonferenziale e quella radiale hanno lo stesso valore per
un ovvi fatto geometrico.
Queste quattro condizioni permettono di trasformare il sistema di equazioni differenziali (1) nella
singola equazione seguente.
r
∂ 2σ 
∂
[r ⋅ σ r ] = σ ϑ + ∫ r ⋅ 2 z dr
∂r
∂z 
0
(2)
L’equazione (2) ha come incognite tre funzioni (le tensioni principali) ed una costante
d’integrazione. Servono quindi altre tre relazioni perché il problema divenga determinato.
Tenendo conto del legame costitutivo plastico e della “carta d’identità” del materiale plastico
(normality rule, consistency condition e legge di hardening del singolo materiale che lega tensione
equivalente alla deformazione plastica equivalente) si ottiene il cercato pareggio tra numero
d’incognite e numero di equazioni. Nel nostro caso però, la curva del materiale è proprio il
- 62 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
risultato a cui arrivare, infatti la distribuzione di tensioni assiali è definita dalla conoscenza del
carico istantaneo tramite la condizione seguente:
a
∫ [σ z ⋅ 2πr ]dr = Load
(3)
0
e le funzioni incognite sono quindi le tensioni normali in direzione radiale, circonferenziale, e la
tensione equivalente (σr, σθ, σeq).
Il modello approssimato di Bridgman
La gestione di tale sistema di equazioni è impraticabile dal punto di vista analitico, pertanto alcune
semplificazioni sono state introdotte da Bridgman per arrivare ad una soluzione del problema che
fosse approssimata ma gestibile dal punto di vista pratico.
HP. I)
La prima approssimazione che viene introdotta è quella di considerare trascurabili le deformazioni
elastiche rispetto a quelle plastiche, ovvero far coincidere le deformazioni totali con quelle
plastiche; in questo modo il legame costitutivo diventa del tipo:
ε ij ≅ ε ij p =
∂f
3 σ ij′
dp =
dp
∂σ ij
2 σ eq
(4)
con f funzione di snervamento, σ’ parte deviatorica del tensore di stress, p deformazione pastica
equivlente. Da notare che nella (4) si sta ipotizzando che l’unica forma di hardening sia quella
isotropica, infatti l’operatore “deviatorico” agisce solo sullo stress e non anche sul backstress Xij.
HP. II)
La seconda approssimazione pone la normality rule non più in termini incrementali ma in termini
finiti:
ε ij ≅
3 σ ij′
3 σ ij′
dp ≅
p
2 σ eq
2 σ eq
(5)
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G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
L’uguaglianza (5) è lecita solo in quelle trasformazioni in cui il rapporto tra le varie tensioni
principali rimane costante, nel punto o nei punti materiali considerati, durante tutta la storia
deformativa considerata. Nel caso del necking ciò non avviene di certo perché addirittura nascono
tensioni principali che nella fase pre-necking erano nulle, quindi questa è un’altra delle ipotesi che
causano approssimazione nei risultati ottenibili.
HP. III)
L’ultima ipotesi semplificativa di carattere fisico che Bridgman introduce riguarda l’uniformità
della deformazione plastica assiale sulla sezione ristretta.
 a0 

 a 
ε z p (r ) = e z = 2 Log 
(6)
Secondo questa ipotesi, la distribuzione di strain assiale ha un diagramma che cresce con il carico
rimanendo però sempre “piatto” e pari al valore ez che si modifica durante il flusso plastico.
Anche questa ipotesi, sperimentalmente si è mostrata non del tutto vera .
La conservazione del volume, applicabile alla deformazione totale grazie alla ipotesi (4), impone
che il primo nvariante di tensione sia nullo:
(7)
e z + e r + eϑ = 0
E’ chiaro che il termine ez, in ogni istante della prova di trazione è ricavabile sperimentalmente in
maniera molto semplice perché è pari al termine 2 Log(a0/a) visto in precedenza, essendo a0 ed a
rispettivamente il raggio indeformato e quello attuale della sezione ristretta.
Esprimendo la (7) in termini dello spostamento radiale ρ(r) si ha pertanto:
ez +
∂ (r ) ρ (r )
+
=0
∂r
r
(8)
- 64 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
L’equazione differenziale (8) fornisce per lo spostamento radiale la legge seguente:
ρ (r ) = −
ez
c
⋅r +
2
r
(9)
Imponendo la condizione al contorno secondo cui lo spostamento radiale è nullo sull’asse (per
r=0), si ricava il valore della costante d’integrazione c che risulta essere nulla.
ρ (r ) = −
ez
⋅r
2
(10)
Nota la legge dello spostamento radiale si possono ricavare le leggi di deformazione plastica
radiale e circonferenziale:
e
∂ρ (r )
=− z
∂r
2
e
ρ (r )
eϑ (r ) =
=− z
r
2
e r (r ) =
(11)
Le deformazioni trovate risultano essere anch’esse uniformi sul necking, inoltre sono anche uguali
tra loro e pari a metà della deformazione plastica assiale.
Dati questi valori delle tre deformazioni plastiche principali, è possibile ricavare la deformazione
plastica equivalente p che risulta coincidere esattamente con la deformazione ez.
p (r ) =
2
2
2 2
2  2  ez   ez  
2 6 2 
a 
2
2
ez + ez + ez =
e z  = e z = 2 Log  0 
e z +  −  +  −   =

3
3 
3 4

 2   2  
a
[
]
Come si vede dalla (12), l’ipotesi di uniformità della deformazione plastica assiale provoca
l’uniformità della p e, di conseguenza, l’uniformità della tensione equivalente. Infatti la σeq è
funzione esclusivamente della p che la (12) dice non variare lungo il raggio ovvero, data la
simmetria cilindrica, su tutta la sezione ristretta.
- 65 -
(12)
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Visto che le deformazioni plastiche principali e quella equivalente sono note tramite semplici
misurazioni geometriche, è possibile scrivere la (5) nella forma seguente che rende la parte
deviatorica di tensione nota a meno di un termine indipendente dall’ascissa radiale:
2
3
σ ij′ = σ eq
ε ij
p
(13)
Il termine a meno del quale è nota la tensione deviatorica è proprio la tensione equivalente che si
vuole ricavare e di cui si sa già, per la (12), che la distribuzione sul neck è uniforme istante per
istante.
Sino a questo punto si è determinato l’intero stato deformativo (tre componenti della
deformazione plastica – elastoplastica), e la sola porzione di quello deviatorico a meno di una
costante.
Serve un’altra equazione che introduca la condizione in più per risalire anche alla parte idrostatica
della tensione e quindi conoscere la tensione totale.
Qui è entrata in gioco la vera idea di Bridgman che è riuscito ad scrivere l’equazione mancante
che fosse fisicamente significativa di condizioni reali, ma approssimata abbastanza da non
presentare le difficoltà di analisi delle equazioni rigorose descritte in precedenza. Le
considerazioni da fare partono dal rivedere il tipo di condizioni e vincoli utilizzati sino ad ora:
Si è applicato il legame elastoplastico con alcune approssimazioni, si è applicata la congruenza
delle deformazioni (conservaz. del volume), e si sono utilizzate alcune altre ipotesi sulla forma
della distribuzione di strain, ma non si è ancora verificato in alcun modo l’equilibrio.
E’ proprio una equazione di equilibrio quella che Bridgman ha ricavato per risolvere il problema,
e vista la simmetria cilindrica e l’assenza di carichi perpendicolari all’asse, l’equilibrio va imposto
solo in direzione radiale ed in direzione assiale, essendo quello in direzione circonferenziale
identicamente verificato.
La trovata principale di tutto il modello è consistita nel definire un volume elementare su cui le
equazioni di equilibrio da applicare fossero particolarmente semplici. Una semplificazione molto
importante è quella di non dover tenere conto delle tensioni tangenziali τ, ma per fare ciò senza
introdurre errore occorre lavorare su superfici (e quindi sui volumi elementari corrispondenti) che
siano perpendicolari alle direzioni principali di tensione e deformazione, cosa che Bridgman è
riuscito a fare secondo il seguente ragionamento.
- 66 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
B
C
D
A
R
O
G
F
E
φ
r
dr
a
φ
φ’
R’=a/φ
Il profilo del necking costituisce ovviamente un inviluppo di direzioni principali, quindi, facendo
riferimento alla Figura 1, il punto A avrà una direzione principale tangente al profilo in A, data la
simmetria cilindrica un’altra direzione principale giace sicuramente sul piano del disegno, quindi
la terza sarà perpendicolare alle prime due. Tale terza direzione venga presa come tangente di un
generico arco tra gli infiniti passanti per A, e tale arco venga definito dall’ulteriore condizione che,
prolungato, incroci l’asse del provino perpendicolarmente allo stesso, nel punto chiamato B. In
tale punto, una direzione principale è certamente quella dello stesso asse, un’altra è ancora
perpendicolare al piano del disegno per la simmetria cilindrica, quindi la terza sarà perpendicolare
alle prime due ovvero sarà proprio la tangente all’arco AB appena tracciato.
Consideriamo adesso un segmento sul neck, definito dai punti di ascisse radiali r ed r+dr. Su
questi punti, per la simmetria del provino rispetto alla sezione trasversale di neck, una direzione
principale è sicuramente quella perpendicolare al piano del neck stesso ovvero quella parallela
all’asse del provino. Tracciamo allora due archi, passanti per r ed r+dr , che abbiano in tali punti
- 67 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
tangente perpendicolare al neck, e che incrocino l’arco AB in due punti in cui le loro tangenti
siano erpendicolari all’arco AB. I punti in cui avvengono le intersezioni siano detti C e D. Ancora
una volta, gli archi CE e DF, alle loro estremità descrivono direzioni principali.
Visto che gli archi AB, CE e DF descrivono alle loro estremità direzioni principali, è realistico
ipotizzare che anche nei punti interni le tangenti a questi archi descrivano direzioni principali. Il
segmento OG semi-traccia del neck, è anch’esso inviluppo di direzioni principali data la simmetria
del profilo di necking. Allora anche le porzioni di tali archi e segmenti definite da EF, FD, DC e
CE descriveranno direzioni principali.
Il volume elementare ottenuto dalla rivoluzione del quadrilatero suddetto attorno all’asse del
provino, sarà caratterizzato proprio dall’avere le superfici esterne costituite da direzioni principali,
ovvero sulle facce di tale volume le tensioni agenti saranno esclusivamente normali alle facce
stesse. Questo volume, raffigurato in Figura 2, è proprio quello più adatto a scrivere l’equazione di
equilibrio col minor numero di termini possibile.
Fz(r,z)
90−φ’
Fr(r,0)
Fθ(r,0)
h
h’
θ
r
Fθ(r,0)
Fr(r+dr,0)
dr
Fz(r,0)
- 68 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
I termini F sono le risultanti delle tensioni normali sulle facce del volume, di ognuna delle quali
dev’essere valutata l’area. Le variabili geometriche che definiscono il volume e le sue misure sono
il raggio di curvatura R del profilo che costituisce il nuovo termine introdotto da Bridgman,
misurabile sperimentalmente senza grosse difficoltà, l’angolo φ che essendo arbitrario e “piccolo a
piacere” non dovrà comparire dall’equazione finale, e l’ascissa radiale r che resterà la variabile
indipendente delle distribuzioni di tensione.
L’equilibrio che viene imposto è quello radiale, da cui si ottiene una equazione differenziale che
come incognite ha tre funzioni (le tensioni) ed una costante d’integrazione.
Tale equazione di equilibrio radiale è:
ϑ 
Fr ( r,0) + 2 ⋅ Fϑ ⋅ Sin   + Fr ( r + dr,0) + Fz ⋅ Sin (φ ′) = 0
2
(14)
I veri termini F , calcolati come prodotto della tensione per l’area della faccia su cui agiscono,
sono:
Fr ( r,0) = σ r ⋅ h ⋅ r ⋅ϑ
Fr ( r + dr,0) = (σ r +
∂σ r
dr ) ⋅ h ′( r + dr )ϑ
∂r
Fϑ ( r,0) = σ ϑ ⋅ h ⋅ dr
Fz ( r, z ) = (σ z +
∂σ z
dr
h ) ⋅ ( r + ) ⋅ϑ ⋅ dr
∂z
2
(15)
Un’ulteriore approssimazione è introdotta nelle (15), quando si valuta la forza Fz(r,z) in base alla
tensione assiale. In realtà tale forza nasce dal contributo di tensione assiale e tensione radiale, in
proporzioni dipendenti dall’entità dell’angolo φ. Per piccoli valori di tale angolo però,
l’approssimazione viene considerata accettabile.
E’ da notare che la forza elementare Fz(r,0) , stavolta risultante rigorosamente delle sole tensioni
assiali, non entra in gioco nell’equilibrio radiale è priva di componenti disposte lungo il raggio.
I termini h ed h’ valgono rispettivamente:
h = Rϕ + R ′[Cos(ϕ ′) − Cos(ϕ )]
h ′ = Rϕ + R ′[Cos(ϕ ′ + dϕ ′) − Cos(ϕ )]
(16)
- 69 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Sostituendo la (16) e la (15) nella (14), e prendendo in considerazione solo i termini di ordine più
elevato, l’equazione di equilibrio radiale diventa come segue:
σz ⋅
r2
−σr
a
 3r 2 a
  ∂σ r

 a 2 − r 2
⋅ 
− − R  +  r ⋅
− σ ϑ 
+ R  = 0
∂r
 2 a
 2a 2
 

(17)
L’equazione (17) è l’espressione formale dell’idea alla base dell’importantissimo lavoro del
premio Nobel P.W. Bridgman (1882-1961).
Inserendo la relazione (13) nella (17), le tre tensioni diventano note a meno della funzione di
tensione idrostatica σH(r) e del termine costante (rispetto ad r) che è la tensione equivalente σeq.

 2 σ eq
 r 2  2 σ eq
  3r 2 a
 εz


⋅
(
)
(
)
+
r
⋅
−
+
r
− − R  +
σ
ε
σ
H
r
H
3




p
p

 a 3
  2a 2

 ∂  2 σ eq

  2 σ eq
  a 2 − r 2
+ r ⋅  εr
+ σ H (r ) −  ε ϑ
+ σ H (r ) 
+ R  = 0
 ∂r 3

p
p

 3
  2 a


(18)
Raccogliendo i termini, sostituendo le deformazioni secondo le (6), (11) e (12), e considerato che
la derivata della tensione deviatorica radiale è nulla (visto che tutti e tre i termini della (13) che la
compongono sono indipendenti dall’ascissa radiale) si ottiene:
2 ⋅ r ⋅ σ eq
∂σ H (r )
= 2
∂r
r − a 2 − 2aR
(19)
In questo modo le incognite da ricavare si sono ridotte ad una funzione (stress idrostatico) e due
costanti (la tensione equivalente e la costante d’integrazione).
La funzione viene ricavata dalla risoluzione dell’equazione differenziale di equilibrio radiale, e le
costanti rimanenti si ricavano imponendo l’equilibrio assiale (equaz. (3)) e la prima delle
condizioni al contorno riportate subito dopo la (1), che esprime l’annullarsi della tensione radiale
sulla superficie esterna del neck. Le altre condizioni al contorno sono già state utilizzate più o
meno implicitamente nelle ipotesi fatte da Bridgman, infatti:
- 70 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
-
l’annullarsi della derivata di σz rispetto a z su tutto il neck è verificato avendo utilizzato la
condizione di simmetria rispetto al neck, ovvero avendo considerato gli archi Ce e DF
come direzioni principali;
-
L’annullarsi di tensioni tangenziali è stato messo in conto non inserendo nel computo delle
forze sul volume elementare di Fig. 2, alcun termine derivante appunto da tensioni
tangenziali.
-
L’uguaglianza delle tensioni radiali e circonferenziali sull’asse è verificata dal fatto che le
deformazioni plastiche in tale punto coincidono (11): allora coincidono anche le tensioni
deviatoriche (13) e quindi quelle totali, visto che quest’ultime si ottengono dalle
deviatoriche sommando un valore di tensione comune a tutte le direzioni (ovvero la
tensione idrostatica).
La (19) è integrabile semplicemente, e fornisce:
[
σ H (r ) = C + σ eq ⋅ Log r 2 − a 2 − 2aR
]
La condizione al contorno sulla tensione radiale al raggio esterno r=a fornisce il valore di C:
σ r ′ + σ H (a ) =
2
3
σ eq
a
Log   + C + σ eq ⋅ Log a 2 − a 2 − 2aR = 0 ⇒
a 
 a0 
2 ⋅ Log  0 
a
[
]
1

⇒ C = σ eq  − Log [− 2aR ]
3


1
3

(20)
 a − r + 2aR  
 
2aR


σ H (r ) = σ eq  + Log 
2
2
a questo punto, tutte e tre le tensioni principali sono note a meno della tensione equivalente, infatti
esse sono date dalla somma della parte deviatorica nota in precedenza, e quella idrostatica appena
determinata:
2
3
1

 a 2 − r 2 + 2aR  
 a 2 − r 2 + 2aR  
  = σ eq 1 + Log 
 
2
aR
2
aR





σ z (r ) = σ z ′ + σ H (r ) = σ eq + σ eq  + Log 
3
1
 a 2 − r 2 + 2aR  
 a 2 − r 2 + 2aR 
1

σ r (r ) = σ ϑ (r ) = − σ eq + σ eq  + Log 
=
σ
Log
eq



3
2aR
2aR




3
- 71 -
(21)
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Per ricavare l’ultimo termine, la tensione equivalente, si impone che la risultante delle tensioni
assiali, integrata sulla sezione ristretta, sia pari all’altra delle tre grandezze da rilevare durante una
prova di trazione, e cioè al carico:
a
 a 2 − r 2 + 2aR  
∫ [σ z (r ) ⋅ 2π ⋅ r ]dr = 2π ⋅ σ eq ∫  r + r ⋅ Log 
  dr =
2aR
0
0

 

a
a2
a 

2π ⋅ σ eq  − aR ⋅ Log 1 +
 = Load ⇒
 2 R  
 2
⇒ σ eq =
(22)
σ true
a 
 2R 

1 +
 ⋅ Log 1 +
a 

 2 R 
La relazione ottenuta in (22), oltre a permettere di determinare le tre distribuzioni di tensioni
principali a partire da parametri sperimentali facilmente misurabili in tempo reale o a posteriori,
(raggio della sezione a, raggio di curvatura del profilo R e carico Load), definisce in sostanza il
fattore di conversione che trasforma la curva true in una stima della tensione equivalente.
L’accuratezza di questa stima è tutt’ora oggetto di numerosi studi, il dato certo è che essa
costituisce un netto miglioramento della precisione ottenibile con la curva true tradizionale.
Gli andamenti della distribuzione di stress ottenibili dal modello di Bridgman sono tipicamente
andamenti curvi con un massimo sull’asse e valori decrescenti verso la periferia della sezione di
neck:
σz
σzAvg
σeq
σr= σθ
a
0
- 72 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Mentre gli andamenti reali, non determinabili in maniera esatta, hanno andamenti qualitativi come
segue:
σeq
σTrue = σzAvg
=σ
σz
σr
a
0
σθ
Le principali approssimazioni nelle distribuzioni di Bridgman sono:
-
σΕθ uniforme: invece è vrescente verso l’asse del provino
-
σθ nulla al raggi oesterno com e la σρ: in realtà è leggermente negativa
Anche l’andamento del fattore di triassialità lungo l’ascissa radiale del neck qualitativamente è
simile a quello della tensione assiale:
TF
1/3
a
0
- 73 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Essendo l’espressione del TF adesso esprimibile secondo il modello di Bridgman come:
TF (r ) =
σ H (r )
=
σ eq

 a 2 − r 2 + 2aR  
1
σ eq 1 + 3 ⋅ Log 

3
2aR


 
σ eq
=
 a 2 − r 2 + 2aR 
1
+ Log 

3
2aR


(23)
Si può notare che sulla superficie esterna del neck, l’unica tensione non nulla è quella assiale che
pertanto coindice con quella equivalente. In tali punti siamo pertanto in regime di monoassialità
dello stato tensionale, caratterizzata infatti da valori del TF tipicamente pari ad 1/3.
Le distribuzioni di stress e di triassialità descritte, rendono anche conto del fatto universalmente
accettato che la frattura ha origine sempre al centro della sezione ristretta (almeno su geometrie
prive di intaglio). Questo fatto è confermato dal picco di triassialità che si raggiunge sull’asse,
infatti se d’un canto è vero che la tensione idrostatica non ha alcun ruolo nel legame stress-strain
in campo plastico, è altrettanto vero e sarà approfondito in seguito, che la tensione idrostatica e
quindi il valore del TF sono determinanti agli effetti della frattura, in quanto il danneggiamento è
fortemente accelerato da alti valori di triassialità ovvero rallentato da valori bassi.
In definitiva se il metodo di Bridgman è utilizzato per determinare la sola curva del materiale, le
equazioni essenziali sono le seguenti:
 a0 

 a 
1
= σ true ⋅
a 
 2R 

1 +
 ⋅ Log 1 +
a 

 2 R 
ε eq = ε True = 2 ⋅ Ln
σ eq
Il fattore correttivo di Bridgman và calcolato per ogni istante della prova, dopo aver misurato il
relativo raggio istantaneo di curvatura del profilo di necking: ogni valore calcolato fornisce un
punto della curva del materiale. Se si pensa che un raggio di curvatura va determinato per es.
fissando svariati punti sul profilo, approssimandoli con una funzione di best fit e derivando 2 volte
tale funzione, si capisce che l’applicazione di tale metodo richiede un notevole lavoro
sperimentale. Inoltre l’errore ottenibile con questo metodo può superare il 15%.
Una recente alternativa al metodo di Bridgman, denominata metodo MLR, è stata messa a punto
presso il DIIM dell’Università di Catania ed è descritta in G. Mirone, A new model for the
- 74 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
elastoplastic characterization and the stress–strain determination on the necking section of a
tensile specimen, International Journal of Solids and Structures 41 (2004) 3545–3564 .
Senza entrare nel dettaglio della trattazione, si può dire che tramite l’esecuzione di numerose
analisi agli elementi finiti è stata accertata l’esistenza di una funzione correttiva in grado di
trasformare il true stress in una stima del Mises stress medio sulla sezione di necking, e si è visto
che tale funzione è indipendente dal materiale e permette di stimare la tensione equivalente con
una approssimazione inferiore al 5%, senza richiedere alcuna misura sperimentale oltre quelle già
necessarie per la curva true:
La funzione MLR è ottenuta dal fitting di dati numerici relativi a svariate analisi ed è attendibile
fino a post-necking strains di 1.1 – 1.2.
 a0 

 a 
= σ true ⋅ MLR (ε − ε N )
ε eq = ε True = 2 ⋅ Ln
σ eq
MLR(ε − ε N ) = 1 − 0.6058 ⋅ (ε − ε N ) + 0.6317 ⋅ (ε − ε N ) − 0.2107 ⋅ (ε − ε N )
2
3
4
Svolgendo analisi F.E. protratte fino a deformazioni post-necking più elevate, è possibile
identificare funzioni di best fit valevoli su ranges di post-necking strains oltre l’ 1.2.
- 75 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
5. (L 4 CMM / 8-9 CM) - ROTTURA DEI MATERIALI DUTTILI –
INEFFICACIA CRITERI STRESS CRITICO E STRAIN CRITICO–
EFFETTO QUALITATIVO E MACROSCOPICO FORMA E CARICO
La rottura nei materiali duttili non avviene mai contemporaneamente in tutti i punti della sezione
resistente di una struttura, ma avviene secondo il seguente concatenarsi di fasi successive:
-
Fracture initiation, usually occurs at a critical material point, sometimes in more critical
points at the same time. It is a discrete event and has a null time duration:
-
Fracture propagation = fracture of material points close to the fracture initiation point: the
envelope of failed material points is the fracture surface. It is a continuous process and,
although can be very quick depending on the load, in principle it can be always stopped
before complete propagation ad structure breaking; in this case the structure is partially
damaged but macroscopically still intera, If the damage involves only internal points
within the structure, it may seem apparently undamaged:
-
Complete fracture = macroscopic breaking and separation of the structure/component in
two halves or in more than two fragments. It is a discrete event corresponding to the
completion of the propagation phase :
- 76 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
For ductile metals, fracture initiation at the local scale never occurs at constant values of stress or
strain: depending on the component shape, on the load type and the imposed constraint, failure
may initiate at very different values of stress and strain for a given material;
A
B
C
E
D
σ~ A ≠ σ~ B ≠ σ~C ≠ σ~ D ≠ σ~E
ε~A ≠ ε~B ≠ ε~C ≠ ε~D ≠ ε~E
Also in the “classic” viewpoint of mechanical design, it is easy to understand that stress and strain
tensors at failure for a given material may be very different each other depending on the
combination of shape, load and constraints, but the new concept which might not be accepted
easily is that also the equivalent values of stress and strain at failure are NOT material constants:
σ Eq A ≠ σ Eq B ≠ σ Eq C ≠ σ Eq D ≠ σ Eq E
ε Eq A ≠ ε Eq B ≠ ε Eq C ≠ ε Eq D ≠ ε Eq E
- 77 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
In other words, the classical and reassuring concept that every material has its own Failure Stress,
which can be used as a material constant for predicting-identifying failure initiation under
whatever stress-strain history, cannot be considered true anymore !!!
And also the strains are of no use for predicting failure or for designing a structure with known
failure limits, because neither Failure strain at failure is a material constant!!!!
So the (big) question which arises is: how can we do to design a structure (shape, size and
constraints) capable of withstanding
a certain set of loads, without knowing
any critical
admissible value of the equivalent stress and/or of the equivalent strain?
The search of the answer to the above question promoted the birth of the Fracture Mechanics
(about 1920) and successively of the Damage Mechanics (about 1970), two close-related areas of
modern Material Science, of great relevance in all high tech structural problems related to
aerospace, aeronautics, nuclear, automotive, ballistic- protecting armour structures etc. etc..
DEFINIZIONE DI DANNEGGIAMENTO DUTTILE E PARAMETRO DI DANNO.
Il danneggiamento di un materiale duttile è un fenomeno che porta il materiale alla frattura in
maniera più o meno progressiva a secondo delle caratteristiche del materiale e delle modalità in
cui esso è deformato o stressato. La gradualità con cui ciò avviene implica che anche un
componente apparentemente integro ed in grado di svolgere la propria funzione, può in realtà
essere danneggiato e quindi la rottura essere imminente. La separazione in due o più parti che
“avverte” macroscopicamente della rottura di un materiale duttile, è causata dal propagarsi
generalmente rapidissimo di una fessurazione (cricca) la quale, a sua volta, deriva dalla crescita e
coalescenza di vuoti o porosità, sia presenti già nel materiale vergine appena uscito dalla fonderia
che nati (nucleati) successivamente, a seguito di deformazioni, attorno alle inclusioni sempre
presenti nella matrice metallica:.
- 78 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Il parametro con cui si misura analiticamente il danno è il rapporto percentuale tra l’area (o il
volume) dei vuoti contenuti nella cella elementare, e l’area (volume) nominale della stessa. Il
valore di tale parametro, cresce in ogni punto materiale durante la storia deformativa, grazie (o
“per colpa”) dei due contributi suddetti di crescita di vuoti esistenti e nucleazione di nuovi vuoti
che inizieranno a loro volta a crescere.
Infatti una certa quantità di bolle di gas all’interno del materiale è tipica dei processi di fonderia, e
questa costituisce la porosità iniziale.
Inoltre qualunque materiale metallico contiene sempre, disseminate al suo interno, una certa
quantità di impurità sotto forma di scaglie di materiale di consistenza diversa (inclusioni) immerse
nel materiale circostante (matrice). Quando lo stress o la deformazione superano certi valori, la
coesione tra inclusione e matrice non è più sufficiente a garantire continuità tra i due
micromateriali, e quindi la superficie di separazione tra l’inclusione e la matrice diventa la
superficie di un microvuoto all’interno del quale, magari, vaga l’inclusione ormai libera. Il
fenomeno per cui alcuni vuoti nascono al raggiungimento di certi valori di tensione o
deformazione, è appunto quello della nucleazione.
Quando poi alcuni vuoti contigui sono cresciuti abbastanza, il sottile strato di materiale che li
separa (ligament) viene a subire una specie di necking su scala ridotta, collassa, ed i vuoti vengono
messi in comunicazione formandone uno di dimensioni maggiori. La condizione in cui ciò si
verifica diffusamente in alcune zone del materiale è della condizione di coalescenza dei vuoti.
Tale fase è quella che provoca la nascita della microcricca (frutto della coalescenza di numerosi
vuoti) che degenera rapidamente in frattura del materiale.
La scala alla quale ha senso parlare di volume elementare (all’interno del quale è cioè ragionevole
assegnare un valore costante a tutte le variabili di stato), per metalli e ceramiche è dell’ordine di
0.1 mm3, quindi è chiaro che su qualunque componente di dimensioni finite anche la funzione
danno assumerà valori diversi da punto a punto, e sarà sempre uno solo di tali punti a raggiungere
prima degli altri la condizione di nucleazione, innescare la cricca coinvolgendo punti vicini ad
esso, per poi estendere in maniera quasi istantanea la frattura a tutta la superficie di rottura.
Il problema con cui ci si confronta tuttora è quello di valutare delle leggi idonee alla comprensione
e sopratutto alla previsione di come tale funzione evolve nei materiali e nelle strutture reali.
Una premessa, che sarà approfondita avanti, è che adesso, volendo analizzare il comportamento di
materiali in avanzato campo plastico, non ha più senso parlare di carico di rottura bensì di
deformazione di rottura. Infatti mentre in campo elastico la tensione di snervamento è un limite
- 79 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
progettuale signifcativo per un materiale indipendentemente dalla forma dell’oggetto realizzato o
da come esso viene caricato, in campo plastico ciò non è più vero in quanto il carico macroscopico
non è più significativo del reale stato tensionale e deformativo del materiale.
STUDIO DELLA EVOLUZIONE DEI VUOTI, MODELLI DI MC CLINTOCK E DI RICETRACEY
La ricostruzione analitica del comportamento dei materiali metallici duttili, riproduce la realtà in
maniera più che soddisfacente solo per quegli scopi in cui non è necessario tenere conto del
fenomeno della frattura. Ciò è dovuto al fatto che sino a questo punto, tra le variabili di cui si è
tenuto conto nelle leggi della plasticità associata, non ne compare nessuna che sia indicativa di una
qualsiasi forma di danneggiamento o di “distanza” dalla condizione di rottura.
La principale caratteristica dei materiali di cui non si è tenuto conto è la sua discontinuità su
scala relativamente grande, dovuta alla presenza di vuoti che conferiscono una certa porosità a
tutti i metalli ricavati con le normali tecniche di fonderia, tanto che solo alcuni materiali ottenuti
per sinterizzazione di polveri riescono ad arrivare a porosità più basse di un paio di percentili in
volume. In teoria quindi, considerare le variabili spaziali che individuano il solido come variabili
continue all’interno del dominio costituito dal volume dello stesso, porta ad una prima
imperfezione nella schematizzazione di quanto è seguito. Inoltre, come è stato ampiamente
accertato, i vuoti che costituiscono la porosità del materiale, crescono in numero e dimensioni
quando il materiale viene sottoposto a deformazioni plastiche, ed è proprio questa crescita della
porosità che, in funzione di una serie di condizioni al contorno, “aziona l’interruttore” della
rottura istantanea e catastrofica del pezzo danneggiato. Quindi si può dire che l’aver trascurato
la presenza iniziale e la successiva crescita di una porosità caratteristica del materiale ha
comportato che non si siano potute fare ipotesi su tempi e modi della rottura duttile, e si sia anche
interpretata in maniera non esatta la capacità del materiale di rispondere a sollecitazioni esterne
al campo elastico.
In effetti, per quanto riguarda quest’ultimo aspetto è da sottolineare che, stanti i valori realistici
che il volume di vuoti assume in un materiale metallico durante la sua storia deformativa, l’errore
commesso considerando il materiale come un continuo non poroso è piuttosto ridotto, soprattutto
per valori di deformazione plastica non eccessivamente alti. Probabilmente tale errore, in termini
di risposta del materiale ad una determinata sollecitazione in campo plastico, è paragonabile a
- 80 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
quello dovuto alla schematizzazione dell’hardening sotto le due semplici forme a cui si è
accennato in precedenza, trascurandone altre possibili forme più sofisticate.
Da quanto detto emerge che, per un approfondimento della comprensione del comportamento
plastico e soprattutto del limite che esso trova nel fenomeno della rottura, occorreva indagare
specificamente sui meccanismi di crescita dei vuoti interni al materiale, cosa che ha portato, alla
fine degli anni ’60, ai primi lavori in tal senso ad opera di MC CLINTOCK (1968) e di Rice e
Tracey (1969).
Nel primo di questi lavori si presentava una ipotesi di crescita ed evoluzione di schiere di vuoti
cilindrici a sezione ellittica distribuiti in maniera regolare all’interno di una matrice costituita da
materiale con hardening e sottoposto a trazione in direzione parallela e perpendicolare all’asse di
tali vuoti , comunque in maniera tale da comportare una condizione di plane strain sui piani
perpendicolari al suddetto asse. Detti a e b i semiassi minore e maggiore della sezione trasversale
del vuoto, ed lb la spaziatura dei vuoti in direzione del semiasse maggiore, l’incremento di
danneggiamento associato alla coalescenza dei vuoti in tale direzione, in funzione di un generico
“fattore di crescita Fzb” è:
lb
a
la
dη zb
b
 2b 
d  ln 
 lb 
=
ln Fzb
3.1.1
- 81 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Considerato che a coalescenza completa l’indice di danno dev’essere pari all’unità e il semiasse b
è diventato pari a metà spaziatura l, il fattore di crescita vale circa l0/2b0 dove l’apice 0 indica i
valori della configurazione iniziale, non danneggiata.
La deformazione plastica equivalente a rottura, quando questa avviene per coalescenza dei vuoti
secondo il loro semiasse a, vale:
pf =
(1 − n) Ln(l0 / b0 )

 σ + σ b  3  σ b − σ a 
sinh 0.5 3 (1 − n ) a
 + 

 σ
 4  σ


Dove σa , σb e
3.1.2
σ sono rispettivamente le tensioni in direzione a, b ed equivalente, mentre n è
l’esponente del legame tra tensione e deformazione plastica equivalenti:
σ Eq = k ⋅ ε n Eq
σa + σb
è
proporzionale
alla
tensione
σ H = σ a + σ b + 0 , ed
inoltre:
σa +σb σH
=
= TF
σ Eq
σ Eq
gradi di triassialità.
idrostatica
in
caso
di
tensione
piana
:
Ovviamente tale approccio era molto primordiale in quanto, a parte le ipotesi sul modo di
deformarsi del materiale, si erano considerate geometrie dei vuoti particolarmente adatte alla
semplificazione dei calcoli ma poco realistiche, e si era trascurata la nucleazione di ulteriori vuoti
che si aggiungono a quelli presenti già nel materiale non stressato. Il risultato saliente di tale
modello è stato quello di evidenziare per la prima volta, che la crescita dei vuoti, ovvero
l’evoluzione dei termini a, e b e la deformazione plastica equivalente in condizioni di rottura, è
fortemente legata alla componente idrostatica del tensore di stress, la quale invece non è
significatica agli effetti della deformazione plastica.
Il modello successivo, dovuto a RICE E TRACEY, eliminava alcune delle grosse semplificazioni
introdotte da Mc Clintock, infatti teneva conto di materiale con hardening deformato in maniera
generica e non più in condizioni di plane strain, di geometria dei vuoti non più cilindrica ma
sferica, e di una cella elementare contenente un solo vuoto, cosa che eliminava la necessità di
ipotizzare distribuzioni regolari di vuoti. In effetti dal modello sferico gli autori fecero scaturire il
- 82 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
caso particolare di vuoto cilindrico, più per fare un raffronto con quello precedente che per il
grado di esattezza che si sarebbe potuto ottenere.
Il dominio di riferimento utilizzato era costituito da un volume sferico di materiale, la cui
superficie esterna era concentrica con quella del vuoto all’interno. Questo volume elementare era
considerato sottoposto ad un campo di velocità di deformazione ( e quindi di stress) composto
dalla somma di un campo remoto generico (corrispondente a quello indotto da punti del materiale
lontani, indisturbati dal vuoto), e del campo dovuto alla perturbazione costituita dal vuoto.
R0
Le uniche caratteristiche note o ipotizzabili sul campo di velocità perturbante erano che questo
dovesse smorzarsi in punti via via più lontani dal vuoto (in prima approssimazione si pensò ad una
legge del tipo R/r2, con r ed R rispettivamente distanza dal centro del vuoto e sua dimensione
radiale) e che per l’incomprimibilità, il primo invariante di deformazione fosse nullo.
u
r
Per individuare completamente il campo di velocità ui gli autori fecero ricorso alla
minimizzazione del potenziale Q(ui) cosrrispondente alla differenza degli stati tensionali (remoto e
locale perturbativo) per il campo deformativo perturbante.
- 83 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
(
)
Q = ∫ σ~ ∞ − σ~ L ⋅ dε L Eq
Nel caso di stato deformatvo-tensionale remoto corrispondente ad una prova di trazione su
materiale plastico rigido, la funzione ui da ricavare venne scomposta in tre aliquote di forma nota
(una costante, una legata a variazioni di forma e la terza a variazioni di volume) definite a meno
di una funzione arbitraria che caratterizza la seconda delle tre componenti, e dei parametri da
determinare dalla minimizzazione del potenziale, perseguita dagli autori col metodo di RaileghRitz. Per la funzione arbitraria furono scelte sei diverse espressioni che comunque rivelarono non
portare la integrazione numerica a risultati sensibilmente diversi.
Metodo analogo portò alla valutazione della crescita dei vuoti sferici anche nel caso di stato
tensionale-deformativo remoto di tipo qualsiasi, e materiali con e senza hardening.
Il risultato di tale lavoro è riassumibile nelle seguenti considerazioni:
In un generico stato tensionale triassiale, la superficie di un vuoto inizialmente sferico si modifica
aumentando il volume al proprio interno e tendendo ad assumere la forma di un ellissoide con i
semiassi diretti lungo le direzioni principali del punto in cui risiede il vuoto. Pertanto la velocità di
accrescimento dello stesso è individuata completamente solo se si conoscono le velocità di
spostamento dei punti del vuoto giacenti sui semiassi, ovvero la velocità di crescita di questi.
L’espressione generica della velocità con cui cresce un vuoto sferico lungo la direzione principale
k, è:
[
]
∞
∞
R&k (R0 , ε& ∞ ) = cε&k + Dε&Eq ⋅ R0
3.1.2
- 84 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
L’apice ∞ indica che lo stato deformativo preso in considerazione è quello remoto ovvero indotto
da zone del materiale distanti dal microvuoto e pertanto indisturbate da esso: praticamente si tratta
dello stato deformativo nominale che si avrebbe nel punto occupato dal vuoto qualora questo non
ci fosse.
Il primo termine in parentesi quadra è quello che modifica la forma del vuoto da sferico ad
ellissoidale in funzione del termine c, che è stato valutato essere pari a 5/3 per materiali dotati di
hardening (nello studio si è considerato uno strain hardening isotropico lineare con la
deformazione equivalente) o senza hardening ma per bassa triassialità, ed a 2 per materiali aventi
superficie di snervamento fissa e sollecitati ad elevata triassialità. Per quest’ultima categoria di
materiali in effetti il valore della costante è realistico per un range di valori di triassialità (definita
come rapporto tra tensione idrostatica e tensione equivalente) esteso ma non infinito.
E’ evidente che l’effetto dell’hardening sulla componente deviatorica della deformazione in
prossimità del vuoto è pressochè trascurabile, dato che il termine deviatorico della crescita del
microvuoto è costituito da un semplice fattore di amplificazione della deformazione il quale,
2
C =(
3
)
X
A
I
R
T
W
O
L
o
/
e
G
N
I
N
E
D
R
A
H
O
N
C =(
2
X
A
I
R
T
H
G
I
H
o
/
e
G
N
I
N
E
D
R
A
H
variando tra 5/3 e 2, è quasi indipendente dal tipo di comportamento plastico della matrice.
)
Il secondo termine tra parentesi quadra è invece responsabile delle modificazioni subite
(incrementi) dalla componente di dilatazione del tensore di deformazione a causa della
perturbazione del microvuoto, ed il fattore D che quantifica tale incremento assume le espressioni
seguenti a seconda che la matrice del materiale sia o meno caratterizzata da hardening:
3σ ∞(
4σ ∞ eq
G
N
I
N
E
D
R
A
H
D=
)
σ∞
D = 0.558 sinh 
 2τ
 y
G
N
I
N
E
D
R
A
H
O
N

 ∞
 + 0.008ν cosh  σ  ≈

 2τ 

 y
 3σ ∞ 
(
≈ (0.279 + 0.004ν )Exp
 2σ 
 y
)
.1.3
- 85 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
In questa espressione i termini σ∞, τeq∞ e τy indicano rispettivamente la tensione idrostatica
remota, la tensione equivalente remota e la tensione di snervamento del materiale sottoposto a
sollecitazione di taglio.
E’ evidente che la presenza o meno di hardening influenza grandemente la componente idrostatica
della crescita del vuoto dal momento che agisce su un termine che è esponenziale rispetto alla
triassialità nel caso di comportamento plastico rigido, lineare nel caso di comportamento
caratterizzato da hardening.
Volendo quantificare separatamente i due effetti della amplificazione del vuoto sulla deformazione
locale (ovvero i due termini interni alla parentesi quadra della 3.1.2) si è visto che il secondo dei
due, relativo alla componente dilatante della deformazione, è notevolmente maggiore del primo
qualunque sia il comportamento plastico della matrice, ciò equivale a dire che il grosso
dell’aumento delle dimensioni del microvuoto è dovuto alla componente dilatante della
deformazione, infatti la geometria del vuoto tende ad essere un ellissoide ma, a meno di grandi
deformazioni a bassissima triassialità, non si discosta eccessivamente dalla geometria sferica
iniziale. Questa considerazione fa nascere e conferma l’osservazione che a tutt’oggi guida lo
studio della frattura duttile, infatti è ben visibile nelle espressioni 3.1.3 che la componente
dilatante dell’aumento di volume dei vuoti, preponderante rispetto a quella che provoca
distorsioni, è fortemente dipendente dal grado di triassialità dello stato tensionale, definito dal
rapporto tra tensione idrostatica e tensione equivalente o, se si vuole, tra tensione idrostatica e
tensione di snervamento.
Questa dipendenza rende conto del fatto che la presenza di stati tensionali idrostatici,
assolutamente ininfluenti dal punto di vista della deformazione plastica secondo il modello di Von
Mises, è un fattore determinante nella crescita dei vuoti interni al materiale ovvero del
danneggiamento e della frattura di un materiale.
Dal punto di vista pratico questo spiega perché lo stesso materiale, soggetto a differenti tipi di
sollecitazione, arriva al collasso dopo aver accumulato quantità di deformazione plastica
equivalente anche sensibilmente diverse, come ad esempio succede sottoponendo a trazione
provini dello stesso metallo con differenti tipi di intaglio: intagli accentuati originano triassialità e
tensioni idrostatiche rilevanti che a loro volta implicano ad una rapida crescita dei vuoti e quindi
una rottura anticipata rispetto al caso di intagli meno bruschi o assenti.
A conferma di ciò di seguito sono riportate le curve “true” sperimentali di diversi materiali,
ottenute tramite prove eseguite presso il DIIM su provini con geometria seguente:
- 86 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Le misure fisse per tutti i provino sono D=9mm, d= 6 mm ed L=55 mm, invece il raggio di
raccordo dell’intaglio R è indicato nel nome di ogni provino e la lunghezza L’ varia con R.
Aluminium 2011 F.E. - EXP. COMPARISON
600
True stress [MPa]
500
400
300
Unn
R10
200
R5
F.E.
100
0
0
0.1
0.2
0.3
2 Ln(a0/a)
0.4
0.5
0.6
1
1.2
AISI 1040 F.E. - EXP. COMPARISON
900
True stress [MPa]
800
700
600
Unn
500
R 20
400
R 10
300
F.E.
200
100
0
0
0.2
0.4
0.6
2 Ln(a0/a)
- 87 -
0.8
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Copper 99.9% F.E. - EXP. COMPARISON
600
True stress [MPa]
500
400
Unn
300
R10
200
R5
100
F.E.
0
0
0.2
0.4
0.6
2 Ln(a0/a)
0.8
1
1.2
Copper 99.97% F.E. - EXP. COMPARISON
600
True stress [MPa]
500
400
300
Unn
R4
200
R1
F.E.
100
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
2Ln(a0/a)
1
1.2
1.4
ASTM A284 F.E. - EXP. COMPARISON
1000
900
True stress [MPa]
800
700
600
Unn
R20
R 10
Serie3
Serie4
Serie5
500
400
300
200
100
0
0
0.2
0.4
2Ln(a0/a)
- 88 -
0.6
0.8
1
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
AISI T304 F.E. - EXP. COMPARISON
1800
1600
True stress [MPa]
1400
1200
1000
800
Unn
R 30
R 15
R5
R2
F.E.
600
400
200
0
0
0.3
0.6
0.9
1.2
1.5
2 Ln(a0/a)
Curve true per provini di trazione lisci ed intagliati su Alluminio 2011, Acciaio C40, Rame 99.9
trafilato, Acciaio AISI304, Acciaio Fe360 (Tesi D. DiMari, S. Di Stefano, S. Di Stefano), e Rame
99.97 ricotto (Articolo Alves-Jones 1999)
Si vede bene che il true strain a rottura diminuisce per tutti i materiali man mano che l’intaglio
diventa più acuto. E’ vero che il true strain in ascissa nei grafici di sopra rappresenta una
deformazione media sulla sezione ristretta, così come anche il true stress è solo il valor medio
istantaneo della tensione assiale su tutto il neck, però si sa che gli scostamenti tra deformazione
equivalente locale al centro del neck e deformazione true (media sul tutto il neck) non sono
elevatissimi, quindi le curve sperimentali, indicando che il true strain a rottura diminuisce con
l’acutezza dell’intaglio, confermano che anche l’equivalent plastic strain locale al centro del neck
ha lo stessa dipendenza dall’intaglio.
Se le ipotesi di McClintock a di Rice-tracey sono anche qualitativamente corrette, si dovrebbe
adesso verificare che gli intagli provocano un aumento di triassialità crescente con l’auctezza
(ovvero col diminuire del raggio di curvatura R).
Per verificare ciò, a seguire sono riportati gli andamenti del TF nei punti significativi dei vari
provini testati (solitamente, ma non sempre, al centro del neck), calcolati tramite analisi FE
preventivamente validate tramite il confronto numerico-sperimentale.
Visto che anche la deformazione plastica equivalente influisce sulla rottura, la scelta del pnto
significativo deve tenere conto di tale parametro oltre che del TF, e tali grandezze hanno i seguenti
andamenti qualitativi per provini lisci ed intagliati:
- 89 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
εEq
εEq
r/a
r/a
1
0
TF
TF
0.33
r/a
0
1
0
1
0.33
r/a
0
1
E’ chiaro che per i provini lisci o poco intagliati, al centro del neck è massima sia la εEq sia il TF,
pertanto la rottura avverrà sicuramente in tale posizione ed è lì che il danno va valutato. Invece per
provini intagliati, εEq è massima al raggio esterno del neck ed il Tf sull’asse del provino: in questo
caso non è possibile dire a priori se prevale l’effetto del TF e la rottura inizia all’interno della
sezione come per i provini lisci, oppure prevale la εEq e la rottura parte all’esterno. Comunque
solitamente, per intagli non troppo bruschi e materiali non molto fragili, il TF prevale e la rottura
si innesca al centro della sezione ristretta. In tale posizione, gli andamenti del TF sono i seguenti:
- 90 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
- 91 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Grado di triassialità calcolato al centro del neck tramite FEM,
E’ evidente che la triassialità al centro del neck è sempre maggiore per intagli più acuti, e si vede
anche che, indipendentemente dalla presenza e acutezza dell’intaglio, le deformazioni plastiche
che modificano la forma del provino in prossimità della sezione ristretta provocano anche la
crescita del TF rispetto al valore relativo alla geometria iniziale, valida solamente poco oltre il
campo elastico.
- 92 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Sintetizzando si può dire che i lavori di Mc-Clintok e Rice-Tracey fornirono quindi:
1) una prima conferma del’evidenza sperimentale per cui lo stesso materiale può esibire rottura
sotto stati di stress e di strain molto diversi tra loro (visibile dalle curve true sperimentali x i nostri
6 metalli);
2) una prima spiegazione di quanto sopra, ovvero: il parametro che causa le variabilità della
rottura sia “locale” che globale, (cioè sui singoli volumi elementari del materiale e su tutta la
sezione resistente) è la triassialità dello stato di sollecitazione (parametro TF), che comporta un
aumento della velocità di crescita dei vuoti col procedere della deformazione, e quindi un locale
infragilimento del materiale, che si rompe a deformazioni piùttosto basse quando la triassialità è
alta e viceversa.
Da questi concetti hanno preso avvio e continuano ad essere avviate numerose ricerche per
definire la giusta relazione tra evoluzione del TF e deformazione di rottura dei materiali duttili.
MICROVUOTI,
DANNEGGIAMENTO
ED
INTRODUZIONE
AI
MODELLI
DI
EVOLUZIONE
Nel paragrafo precedente si è visto come la crescita dei vuoti interni al materiale fosse stata messa
per la prima volta in relazione allo stato tensionale-deformativo, ma non si era ancora arrivati ad
avere una visione approfondita delle interazioni tra la crescita della porosità, l’evoluzione del
danneggiamento ed il comportamento del materiale.
Anche se in ritardo rispetto alla enorme crescita che ebbe la meccanica della frattura lineare
elastica (LEF), circa a metà degli anni settanta si riprese “il filo” del discorso avviato da Mc
Clintock, Rice e Tracey o ancora prima da Kachanov , per tentare di inquadrare in una trattazione
organica i processi della rottura duttile che non perfettamente si prestavano alla rappresentazione
tradizionale della LEF.
Si era arrivati alla conclusione che la rottura dei materiali duttili avviene a causa della perdita di
sezione resistente costituita inizialmente dalla crescita di vuoti presenti nel materiale vergine e di
vuoti nucleati successivamente durante la deformazione plastica, che coalescono sino a creare
vuoti su scala maggiore (microcricche) la cui evoluzione è rapidissima e difficilmente
controllabile sino a totale separazione delle superfici di frattura. Quindi, da un punto di vista
pratico, la rottura del materiale è la cosiddetta “fracture initiation”, ovvero il raggiungimento della
- 93 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
situazione in cui i vuoti hanno originato una microcricca di dimensioni paragonabili a quelle
dell’intera sezione resistente.
In un lavoro del 1976 Mackenzie, Hancock e Brown espongono i risultati di una estensiva
campagna di prove sperimentali tese ad evidenziare le differenze di comportamento di provini
cilindrici di trazione dello stesso materiale aventi differenti tipi di intaglio e quindi differenti gradi
di triassialità della sollecitazione. Tra le loro conclusioni si legge che “….la misura tradizionale di
duttilità riflette scarsamente la performance a rottura dei materiali….” , e dai loro risultati
sperimentali si può vedere in Figura 3.2.1 che lo stesso materiale, a rottura può passare da una
deformazione plastica equivalente superiore al 70% in condizioni di assenza di intaglio
(monoassialità assoluta sino alla condizione di necking, più o meno lieve triassialità localizzata nel
neck durante le fasi successive della prova) sino a deformazioni plastiche equivalenti dell’ordine
del 20% quando il provino è intagliato (triassialità notevole già dall’inizio della prova, di valore
legato al rapporto tra raggio d’intaglio e raggio della sezione resistente).
Figura 3.2.1
FIGURA INTAGLI HANCOCK !!!!!!!!!!!!
In tali curve è evidente il raggiungimento della condizione di fracture initiation, a cui
corrispondono i rapidi decrementi della tensione assiale media.
Su tutti i provini cilindrici sottoposti a trazione, il fattore di triassialità ha un andamento simile a
quello calcolabile anche con il metodo di Bridgman o con il metodo MLR: determinato, il grado di
triassialità di ogni configurazione d’intaglio provata, e misurata la corrispondente deformazione
plastica a rottura, gli autori menzionati ottennero gli inviluppi di Figura 3.2.2 che, data la
- 94 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
relativamente ridotta dispersione potevano costituire il prodromo di un criterio di rottura empirico
per i vari materiali testati,.
Figura 3.2.2
Per ottenere una espressione analitica che giustificasse e riproducesse tali andamenti, Hanckock e
Mackenzie partirono dal risultato di Rice e Tracey che forniva la velocità di accrescimento di
vuoti sferici in funzione della triassialità dello stato di sollecitazione, ipotizzando che la
deformazione di rottura variasse con tale triassialità in maniera inversa rispetto a quanto facesse la
velocità di accrescimento dei vuoti:
 − 3σ H
p f = p n + α exp
 2σ eq





3.2.1
Dove α è un fattore di proporzionalità generico,
σ H è la tensione idrostatica, mentre pn è la
deformazione a partire dalla quale inizia la nucleazione di nuovi vuoti che affianca il meccanismo
di danneggiamento costituito dalla crescita della porosità già esistente.
Ricavato il coefficiente α e lo strain di nucleazione pn da prove su provini di un materiale con
diversi intagli, fu ricostruita la curva che secondo H&MC permetteva di determinare la
deformazione di rottura di quel materiale per qualsiasi altro valore di triassialità. Gli andamenti
sperimentali e le curve che riproducono la funzione vista sono riportati in Figura 3.2.3.
- 95 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Figura 3.2.3
Come evidenziato dagli stessi autori, alcuni limiti di tale visione stanno nel fatto che è basata su
misurazioni di grandezze che non sono del tutto indicative dello stato del materiale in prossimità
della rottura, infatti ad es. il grado di triassialità è calcolato tramite un modello matematico
realistico ma non del tutto verificato, (quello di Bridgman), ed a partire da valori di raggio
d’intaglio e della sezione resistente che caratterizzano la geometria iniziale del provino ma non
quella deformata al generico istante della prova.
In lavori successivi, prevalentemente di tipo sperimentale, gli autori della scuola inglese hanno
continuato a fornire evidenze della correlazione che lega la triassialità della sollecitazione e
l’apparente infragilimento del materiale, cercando di ricavare anche correlazioni semi empiriche
tra i parametri che quantificano tali caratteristiche, ovvero grado di triassialità e deformazione
plastica equivalente raggiungibile a rottura nelle diverse condizioni.
The triaxiality factor TF in a cylindrical tensile specimen without any notch (smooth bar) is
always maximum at the neck center, in fact failure often initiates at that material point.
Propagation of fracture to the entire cross section is quite fast but further strain occurs in the
points surrounding the center area. So, when the specimen is completely broken in two halves, the
fracture in the center area occurs earlier than it does in the neighbours, so, in other words, fracture
in center zone of the neck section is somehow more fragile than it is in the outer points of the
neck section.
Then fracture surface of smooth bars has the typical “cup and cone” shape below:
- 96 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Late fracture, shear-like,
surface at 45 degrees to
load.
Early fracture, cleavagelike, flat surface normal to
load.
In Figure above is shown the half of the specimen exhibiting the cup-like surface, the other half
obviously has a cone-like fracture………….
Below is also reported a couple of micrographs taken at DIIM of the University of Catania from a
smooth specimen of 99.9 Copper and from an R2-notched specimen of AISIT304 steel.
Large and more circular voids are always located close to the neck center (high triaxiality ensures
that void volume increase is greater than the void shape variation), while, at outer radii of the neck
section, no voids (notched bar fails too soon) or just smaller elongated voids (smooth bar fails late
enough to nucleate and distort voids close to the outer surface) are present. This also is in
agreement with the overall explanation provided by Rice and Tracey.
- 97 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
La vera e propria trattazione organica del fenomeno del danneggiamento così come viene inteso
oggi, è stata intrapresa a partire da circa a metà degli anni settanta secondo due percorsi logici
riconducibili rispettivamente a Gurson ed a Lemaitre.
Altri approcci sono stati sviluppati di recente e promettono risultati analoghi o, secondo alcuni,
maggiormente efficaci.
Tutte le teorie si poggiano sulla certezza acquisita secondo cui la rottura duttile è la conseguenza
della nascita e della crescita di vuoti interni al materiale la cui evoluzione è fortemente influenzata
da condizioni esterne riconducibili al tipo di sollecitazione ovvero al peso che la componente
idrostatica dello stress riveste sul totale della sollecitazione.
Studi recenti ipotizzano che l’angolo di Lode (terzo invariante del tensore di stress deviatorico) ha
un ruolo sulla crescita del danno del tutto analogo a quello rivestito dalla triassialità. Tale ipotesi,
supportata da evidenze sperimentali, verrà discussa nei paragrafi successivi quando si esporranno
brevemente i principali risultati di alcuni modelli di danno e frattura duttile.
- 98 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
6. (L 5-6 CMM / 10-13 CM) DANNEGGIAMENTO E MODELLI DI
EVOLUZIONE
Continuous Damage Mechanics, definizioni e modello di Lemaitre
In tutti i modelli derivati dalla trattazione di Lemaitre la variabile che quantifica il
danneggiamento, pur essendo intimamente legata alla frazione di volume dei vuoti nel materiale
non è definita esattamente come la porosità istantanea ma piuttosto come la frazione di superficie
resistente elementare occupata da vuoti, quindi è legata alla intersezione (bidimensionale) che la
sezione resistente ha con i vuoti tridimensionali all’interno del materiale, come indicato in Figura
4.1.1.
Definite come in figura le superfici attive e quelle “vuote”, l’espressione analitica della variabile
di danneggiamento D è:
D=
SD
S
4.1.1
Il valore che può assumere tale variabile ovviamente è compreso nell’intervallo (0,1), anche se i
valori estremi, corrispondenti rispettivamente a materiale assolutamente compatto ed a materiale
totalmente fratturato, non sono raggiungibili nella pratica considerato che, come accennato in
precedenza, le condizioni di rottura si considerano raggiunte nell’istante in cui nel materiale
ancora parzialmente integro e quindi caratterizzato da D<1, si innesca il processo incontrollabile e
- 99 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
rapidissimo che comporta la caduta della tensione “true” sopportabile e la separazione fisica delle
parti di materiale. Nel caso di comportamento isotropico del materiale anche in termini di
evoluzione dei vuoti, il danno è quantificabile con lo scalare D ma, la stessa definizione è
estensibile a variabili tensoriali quando le caratteristiche del materiale lo richiedano.
Da questa identificazione della variabile di danno segue che la tensione che sollecita i vari punti
della sezione resistente elementare non è più pari a quella “macroscopica” F/S ma, in prima
approssimazione, si può supporre che i vuoti interni costituiscano una riduzione di sezione non
accompagnata dalle concentrazioni tensionali (FIGURA) caratteristiche di ogni discontinuità,
F
hi
F
∑ b ⋅ hi
H
F
b⋅H
b
per cui la tensione effettiva diventa
(
σ=
F
F
F
σ
=
=
=
S − SD
 S  S (1 − D ) 1 − D
S 1 − D 
S 

- 100 -
4.1.2
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Una utile conseguenza di come sono state definite queste variabili, è che da misurazioni del
modulo elastico “apparente” in prove di trazione si può risalire al valore di danno secondo il
criterio seguente:
ε
el
(
=
σ
E
quindi
=
σ
σ
= (
E (1 − D ) E
4.1.3
(
E
D = 1−
E
Il modulo elastico soprasegnato è il modulo apparente nel senso che è quello misurato localmente
in direzione longitudinale (tramite strain gages ) durante il generico ciclo di scarico del provino
in avanzata fase plastica, per cui è indicativo di una rigidezza che corrisponde al materiale
contenente una certa quantità di vuoti ovvero danneggiato, mentre E è il modulo elastico del
materiale vergine, in cui la porosità è solamente quella intrinseca del materiale.
σZ
(
E1
E
(
E2
(
E3
(
E4
εZ
Ovviamente, la curva sperimentale ottenuta con gli estensimetri assomiglia alla curva true solo se
l’estensimetro è applicato sulla sezione ristretta, e la coindicenza perfetta tra curva estensimetrica
e curva true si avrebbe solamente per estensimetro di dimensioni infinitesime.
- 101 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Inoltre un solo estensimetro non può seguire le deformazioni tipiche di materiali duttili (a qualche
% perde efficacia e/o si scolla) quindi vengono incollati vari estensimetri in successione sulla
stessa zone di provino.
La determinazione del legame che intercorre tra la variabile D e le altre che caratterizzano il
comportamento del materiale, passa attraverso la identificazione di un potenziale che,
analogamente a quanto visto nei capitoli precedenti relativi al modello di comportamento elastoplastico, metta in relazione tutte le variabili termodinamiche del fenomeno.
A questo proposito, per cominciare si riporta la distinzione fatta da Lemaitre tra variabili
osservabili, variabili interne e variabili associate, secondo lo schema seguente:
VARIABILI ASSOCIATE
VARIABILI DI STATO
Osservabili
Interne
ε
σ
T
S
εe
σ
εp
−σ
r
R
a
X
D
Y
Le singole variabili, a parte quelle già definite come il tensore degli sforzi σ o il danno D, sono:
-
εe tensore di deformazione elastica, è la componente elastica del tensore di deformazione
totale;
-
εp tensore di deformazione plastica, componente plastica del tensore di deformazione
totale;
-
ε=εe+εp tensore di deformazione totale;
-
r deformazione plastica cumulativa, scalare, ha le dimensioni di una deformazione
(adimensionale) ed è la variabile che “pilota” l’evoluzione dell’hardening isotropico;
- 102 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
-
a tensore di backstrain, è il tensore che rappresenta la deformazione che “pilota”
l’evoluzione dell’hardening cinematico;
-
R tensione di hardening isotropico, scalare, dimensionalmente è uno stress;
-
X tensore di hardening cinematico, detto backstress, dimensioni di una tensione;
-
Y densità di potenza di deformazione rilasciata, dimensionalmente è un lavoro, e
corrisponde alla quanttà di energia liberata dal volume elementare a causa della perdita di
rigidezza conseguente al crescere del danno.
-
T temperatura del punto materiale;
-
S entropia del punto materiale;
Il potenziale che, nell’ambito della “State Kinetic Coupling Theory”, è utilizzato per ricavare il
legame costitutivo elastoplastico di un materiale dotato di hardening isotropico e cinematico
lineare, e soggetto a danneggiamento, ha la forma seguente:
(
(
F = σD − X
)
eq
− R − σ y + FD
4.1.4
Chiaramente la forma è la stessa del potenziale visto nel Cap. 2, a meno del fatto che adesso la
variabile D influisce sulla tensione e che compare un nuovo termine FD che è responsabile della
evoluzione del danneggiamento.
Considerato che una ipotesi preliminare sul termine FD è che in esso non compaiono
esplicitamente i termini σ, X ed R, il legame di dualità tra variabili interne e variabili associate che
resta determinato dal potenziale considerato è, per quanto riguarda le correlazioni tra deformazioni
(plastica ed elastica), tensioni ed hardening, pressoché identico a quello già visto nel Cap. 2, solo
che adesso è entrata in gioco la variabile D per cui:
dε ij =
∂F
dε Eq (1 − D )
∂σ ij
4.1.5
Il moltiplicatore di plasticità λ resta sempre individuato dalla:
- 103 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
 ∂f 
C 
 ∂σ 
dλ =
dε
 ∂f 
 ∂f   ∂g 
−  h(α, σ ) +  C  
 ∂α 
 ∂σ   ∂σ 
Con f funzione di snervamento ed F potenziale dissipativo che adesso contiene qualcos’altro
(legato alla presenza del danno), oltre alla suddetta funzione.
Il potenziale FD deve poter esprimere la generica forma della legge di evoluzione del danno
secondo una normality rule:
4.1.9
∂F
∂F
dD = D ⋅ dλ = D ⋅ dε Eq ⋅ (1 − D )
∂Y
∂Y
Dove la grandezza Y non ancora identificata dev’essere “duale” del danno nel senso dello stesso
potenziale Fd.
The Lemaitre damage is related to something similar to the release of elastic strain energy (it’s not
a case if strain gage
misurements can be used for measuring damage), then, a reasonable
candidate for the function Y is expressed as follows:
1
Y = − ⋅ Cijkl ⋅ ε e ij ⋅ ε e kl
2
4.1.6
Considerando che l’espressione dell’energia di deformazione elastica nel materiale danneggiato è:
1
2
ωe = ∫ σ ij dε e ij = ∫ Cijkl ε e kl (1 − D )dε e ij = Cijkl ε e kl ε e ij (1 − D )
4.1.7
diventa facile verificare che
Y=
1 ∂ωe
2 ∂D
4.1.8
σ =cos t
ovvero la variabile Y è proprio pari alla riduzione di energia elastica che si ha nel materiale
quando questo subisce un incremento infinitesimo di danno mentre è sottoposto ad una tensione
costante. SIMILAR TO THE G PARAMETER OF FRACTURE MECHANICS !!!!!
- 104 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
In pratica, per ricavare l’evoluzione del parametro di danno si è scelta una variabile duale che è
funzione dell’energia di deformazione elastica perché l’effetto macroscopico del danno è, come
visto, una riduzione del modulo di elasticità della sezione lorda e quindi proprio una perdita di
energia di deformazione elastica.
Quindi, sulla base delle seguenti considerazioni pratiche Lemaitre ha costruito la prima forma di
funzionale in grado di far scaturire la variabile danno.
-
L’ammontare del danno è sempre correlato ad una forma di deformazione accumulata
εEq che compare nella
irreversibilmente, e di questo si tiene già conto con il termine
4.1.9.
-
Quando la deformazione plastica equivalente inizia a crescere, è ragionevole pensare che la
porosità del materiale ed il danno correlato non crescano sino al raggiungimento di una
soglia di deformazione p0. Precedentemente a tale situazione, le irreversibilità legate alla
deformazione plastica servono a far accumulare micro-stress o dislocazioni che
successivamente genereranno microcricche. Questo aspetto può essere riprodotto inserendo
in FD una funzione gradino o “Heavyside Function” del tipo H|p0.
-
La velocità di crescita del danno è fortemente dipendente dal fattore di triassialità della
sollecitazione agente, definito come il rapporto tra tensione idrostatica
equivalente
σ eq . Questa dipendenza è già presente nel termine Y, infatti scomponendo il
generico tensore degli sforzi nelle sue componenti idrostatica
[
σ H e deviatorica σ d si ha:
]
1
1
d
e
σ
ε
d
=
σ d ij ⋅ dεe ij + δ ijδ ij ∫ σ H ⋅ dε e H =
ij
ij
∫
∫
1− D
1− D
2
1 1 +ν σ d ijσ d ij
1 − 2ν σ H 
=
⋅
+ 3⋅
⋅

=
2(1 − D)  E 1 − D
E 1− D 
2
σH  
σ eq 2  2
σ eq 2
 =
 (1 +ν ) + 3(1 − 2ν )
=
R
2

  2E(1 − D)2 ν
σ
2E(1 − D)  3
 eq  

Y=
σ H e tensione
- 105 -
4.1.10
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Il termine Rν è detto funzione di triassialità dato che contiene al suo interno il fattore di triassialità
TF (σH/σeq) definito precedentemente.
-
Una relazione generica e qualitativa tra la velocità di danneggiamento e l’energia rilasciata
è ottenibile considerando lineare il loro legame, per cui il potenziale sarà quadratico
rispetto ad Y;
Tenendo conto di quanto esposto sopra il potenziale proposto da Lemaitre è:
Y2
FD =
⋅H ε
Eq 0
2S (1 − D )
4.1.11
dove il termine al numeratore 2S è scelto come costante di scala del materiale.
Pertanto, applicando la 4.1.9 alla 4.1.11 si ottiene la legge evolutiva del danno secondo Lemaitre,
a partire dalla quale si sono sviluppate e continuano a nascere a tutt’oggi numerose varianti nelle
quali si ritrovano piccoli o grandi “improvements” con i quali si tende a svincolare la trattazione
dalle ipotesi semplificative che idealizzano il modello:
dD =
∂FD
Y
⋅ dε Eq ⋅ (1 − D ) = dε Eq ⋅ H (ε Eq − ε Eq 0 )
∂Y
S
D(ε Eq ) =
ε Eq
∫
0
Y
dε Eq H ε =
Eq 0
S
ε Eq
∫
0
σ eq 2
2 ES (1 − D )
2
Rν ⋅dε Eq ⋅ H ε
4.1.12
Eq 0
Come caso particolare, se il materiale è plastico ideale oppure il danno comincia a crescere
“tardi”, quando l’hardening è piuttosto saturato (σeq quasi indipendente da εeq) e se la
sollecitazione rientra nella categoria del “proportional loading” (direzioni principali e quindi
fattore di triassialità costanti), allora il danno risulta crescere linearmente con la deformazione
plastica equivalente:
D (ε Eq ) =
ε Eq
σ eq 2
2 ES (1 − D )
2
∫ ⋅dε
0
Eq
⋅H ε
=
Eq 0
σ~eq 2
2 ES
- 106 -
⋅ (ε Eq − ε Eq 0 )
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
I parametri che compaiono, S e εeq0, caratterizzano il materiale agli effetti del
danneggiamento e sono da ricavare sperimentalmente, ad esempio, per quanto riguarda il
termine S, tramite misurazioni del modulo di elasticità durante fasi di scarico all’interno di
una prova di trazione.
Per quanto riguarda invece la determinazione del valore εeq0 , deformazione di soglia a partrire
dalla quale cui inizia a crescere il danno, come quasi tutte le grandezze relative alla crescita dei
vuoti, anche questa secondo Lemaitre è variabile con la triassialità della sollecitazione. Pertanto,
una volta determinato il valore εUni_0 relativo alla prova di trazione semplice sul materiale, per
ricavare il valore εTri_0 corrispondente al generico carico triassiale occorre individuare
analiticamente il fenomeno che comporta l’inizio della crescita di D.
In tal senso Lemaitre ipotizza che l’avvio del danneggiamento è legato al raggiungimento di un
valore dell’energia di deformazione plastica immagazzinata irreversibilmente dal materiale (pari a
quella complessivamente introdotta con la deformazione plastica meno la parte che viene dissipata
in calore) che è caratteristico del materiale ovvero indipendente dalla triassialità.
ε ij
ε Eq
ωth = ∫ σ ij dε ij − ∫ σ y dε Eq =
0
0
ε Eq
∫ (σ
eq
− σ y )dε Eq
0
In alcuni casi, lo yield stress su scala locale è approssimabile con il limite di fatica.
Se il materiale è plastico ideale (σeq costante) sollecitato in campo rispettivamente monoassiale e
pluriassiale, nell’ipotesi che lo stress di soglia monoassiale sia l’ultimate strength, la 4.14
all’istante in cui si raggiunge la deformazione di soglia sarà:
ωth = (σ u _ 1 − σ f )ε Th _ Uni = (σ u − σ f )ε Th _ Tri
La costanza del valore di soglia di tale energia permette, misuratone sperimentalmente il valore
per il caso monodimensionale, di ottenere la deformazione di innesco del danno per qualsiasi altro
valore di triassialità imponendo che l’energia plastica non dissipata in calore abbia un unico valore
comune.
- 107 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
σU_Tri
Notched bar,
TF>>1/3
Smooth bar,
TF=1/3
σU_Uni
σFat
ε Th_ Tri
εTh_Uni
In caso di hardening non nullo non si fa più ricorso all’ultimate load ma si ricava ancora il
threshold strain solo x il caso uniassiale, derivando gli altri con la costanza delle aree sottese dalla
curva true:
Notched bar,
TF>>1/3
σTh_Tri
σTh_Uni
Smooth bar,
TF=1/3
σFat
ε
ε
Uni_th
Tri_th
A questo punto, se la rottura della cella elementare di materiale avvenisse solo quando la
superficie elementare è totalmente separata e D=1, allora il modello di danno così com’è
basterebbe a prevedere la rottura ed a progettare di conseguenza
Invece la rottura su scala microscopica avviene quando il danno raggiunge un valore critico
Dcr<1, che pertanto và ricavato per un dato materiale ed, eventualmente, anche per le diverse
condizioni di rottura dello stesso materiale.
- 108 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Secondo Lemaitre la rottura è determinato dal raggiungimento di un plafond nel rilascio di energia
elastica, che è caratteristico del materiale. Secondo questa interpretazione, l’energia necessaria a
formare o ad aumentare le superfici libere dei vuoti è esattamente quella fornita dalla perdita di
rigidezza, ovvero l’energia elastica diventa un serbatoio di energia che viene quindi trasformata ad
opera del fenomeno di danneggiamento. Non appena l’energia liberata dalla riduzione di rigidezza
è cresciuta a tal punto da non poter essere tutta trasformata in nuove superfici di microvuoti o di
decoesione delle impurità dalla matrice, il surplus di tale energia innesca l’instabilità che porta alla
frattura della cella elementare. Nel modello di Lemaitre, l’andamento della densità energetica Y al
variare della deformazione plastica, tende a stabilizzarsi in prossimità della rottura sul valore
caratteristico di cui sopra, indipendentemente dalla storia di carico del materiale. Analiticamente,
la relazione ricavabile dalla ipotesi fatta è:
Dc
∫
Dc
YdD =
∫
0
σ eq 2
2 E (1 − D )2
4.1.15
Rν dD = const.
0
Dopo aver determinato sperimentalmente un valore critico del danno, per esempio quello D1c
relativo al caso monoassiale, la 4.1.15 permette di ottenere il valore del danno critico per
qualunque altro andamento della triassialità del carico applicato: infatti uguagliando l’integrale
precedente calcolato nel caso monoassiale a quello del caso multiassiale generico, si ricava la
relazione che intercorre tra D1c ed il generico Dc al variare del parametro Rν ovvero della
triassialità.
Nel caso particolare di proportional loading uniassiale (trazione semplice con Rν=1) si ha:
D1c
∫ YdD =
0
σ~ 2 eq _ u _ Uni
2E
Dc _ Uni
4.1.16
Per lo stesso materiale plastico ideale ma sottoposto adesso ad una generica triassialità costante
(quindi sempre proprotional loading anche se non uniassiale):
Dc
∫ YdD =
0
σ~ 2 eq _ u _ Tri
2E
Rν Dc _ Tri
4.1.17
Uguagliando il valore ottenuto nel caso uniassiale ed in quello generico si ottiene:
- 109 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Dc _ Tri
σ 2 s _ u _ Uni
= Dc _ Uni ⋅
Rν σ 2 s _ u _ Tri
4.1.18
2
2
Dove le tensioni equivalenti σ~ eq _ u1 e σ~ eq _ u si riferiscono al valore che la curva costitutiva
(unica per il dato materiale) assume a rottura del nelle due condizioni a differente triassialità:
σ
ε Eq
In questo caso, l’andamento del danno critico al variare della triassialità e dell’hardening
(quest’ultimo influisce sulla differenza tra le tensioni), è il seguente:
- 110 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
DC
1
σ 2 s _ u _ Uni
Rν σ 2 s _ u _ Tri
DC _ Uni
1
Se il materiale è plastico ideale ovvero ha hardening nullo, restando nella ipotesi di proportional
loading si ha che la tensione equivalente a rottura ha un unico valore per qualunque triassialità,
quindi :
Dc =
D1c
Rν
E la relazione diventa un ramo d’iperbole.
Noti sperimentalmente deformazione di soglia, deformazione critica e danno critico in caso
monoassiale,
ε Th _ 1 , ε Cr _ 1, DC _ 1 , se il materiale è plastico ideale allora il modello di danno di
Lemaitre può essere espresso direttamente sotto forma di Criterio di Rottura per tutte le storie
deformative a triassialità costante (proportional loading), ovvero legge che esprime direttamente la
deformazione di Rottura locale al variare delle grandezze da cui essa dipende (strain plastico e
triassialità):
L’espressione grezza della legge di danno in caso monoassiale e triassiale generico è:
DUni (ε Eq ) =
D(ε Eq ) =
σ S _ Uni 2
2 ES
σS2
2 ES
⋅ (ε Eq − ε Th _ Uni )
⋅ Rυ ⋅ (ε Eq − ε Th )
Esprimendo il valore a rottura della funzione di danno si ha:
- 111 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
DC _ Uni = DUni (ε C _ Uni ) =
DC = D(ε C ) =
σS2
2 ES
σ S _ Uni 2
2 ES
⋅ (ε C _ Uni − ε Th _ Uni ) ⇒
⋅ Rυ ⋅ (ε C − ε Th )
⇒
σS2
=
2 ES
σ S _ Uni 2
2 ES
=
(ε
DC _ Uni
C _ Uni
− ε Th _ Uni )
DC
Rυ ⋅ (ε C − ε Th )
Quindi sostituendo si ha la legge di danno “raffinata” per il caso particolare in esame (materiale
perfettamente plastico e TF costante):
(ε
(ε
DUni (ε Eq ) = DC _ Uni ⋅
D(ε Eq ) = DC ⋅ Rυ ⋅
(ε
Eq
Eq
− ε Th _ Uni )
C _1
− ε Th _ 1 )
− ε Th )
(ε C − ε Th )
D
Rυ = b
Rυ = a
Rυ =1
ε Th_ b ε C _ b
ε
ε Th_ a Th_Uni εC_a
ε Eq
ε C _Uni
Se DC = DC _ Uni = 1 allora le deformazione a rottura soddisfa la seguente relazione:
(ε
(ε C − ε Th )
C _ Uni
− ε Th _ Uni )
=
1
Rυ
e descrive i seguenti andamenti al variare di ν:
:
- 112 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
ε C − εTh
ε C _1 − εTh_1
υ
Rυ
Si noti come le curve soprastanti assomigliano qualitativamente a quelle proposte in precedenza da
Rice e Tracey ovvero da Hanckock e Mackenzie.
Se mai fosse stato necessario, ecco una ulteriore evidenza del fatto che elevate triassialità limitano
la vita del materiale abbassandone la percentuale di vuoti compatibile con la capacità di sopportare
carichi.\
4.2 Evoluzione e recenti modelli nell’ambito della CDM
- 113 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
A partire dalla data di creazione dei primi modelli di evoluzione del danno ad opera di Lemaitre,
nella prima metà degli anni 80, se ne sono succeduti numerosi altri da parte di autori inquadrabili
nella stessa scuola di pensiero, ognuno dei quali ha proposto variazioni alla forma di quella parte
del potenziale dissipativo da cui deriva l’andamento della funzione D, ed al criterio di variazione
del danno critico a causa delle diverse triassialità possibili.
Di seguito vengono discussi quattro tra i vari modelli che costituiscono lo sviluppo della
trattazione di Lemaitre, e precisamente, in ordine cronologico, quelli dovuti agli autori W. H. Tai
& B. X. Yang del 1986, W.T. Jun del 1992, S. Chandrakanth & P. Pandey del 1995, ed N. Bonora
del 1997. Si premette che in tutti i modelli descritti di seguito vengono date per scontate le
premesse che portano alla definizione del legame espresso dalla 4.1.9 in cui vengono associate le
variabili di danno e di densità di energia elastica rilasciata, tramite il potenziale FD.
Modello di Bonora
Il più recente dei modelli riportati risale al 1997 ed è dovuto ad un ricercatore Italiano, N. Bonora.
Il potenziale dissipativo funzione del danno è:
IV
FD
2
Y
=
2 ES
IV
(Dc − D )
(1 − D ) ε Eq
α −1
α
4.2.22
2 N +1
Il significato dei simboli è quello già descritto precedentemente ma, ovviamente, il fatto che le
costanti S ed α vengano differenziati da un modello all’altro tramite apici serve a sottolineare che
sono costanti che hanno espressioni analitiche e significati fisici diversi in ognuna delle teorie
esposte. Applicando la normality rule tra funzione di danno e densità energetica Y , e
successivamente sostituendo a tale fattore la sua espressione in termini di tensione equivalente,
modulo elastico e danno D, si ottiene:
dD =
σ eq
2 ES
IV
2
(1 − D )2
Rν
(Dc − D )
ε Eq
2 N +1
α −1
α
dε Eq
4.2.23
N
Se la curva costitutiva è di tipo esponenziale σ Eq = K ⋅ ε Eq , nella 4.2.23, si ottiene:
- 114 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
dD =
K
(Dc − D )
2
2 ES
Rν
IV
α −1
α
dε Eq
ε Eq
4.2.24
Nel solito caso ideale in cui la prova di trazione su un provino liscio consenta di mantenere
uniassialità perfetta ovvero il fattore di triassialità TF costante e pari ad 1/3 (Rν=1), la
determinazione della costante di scala del modello si ottiene integrando la 4.2.24 tra l’innesco del
danno e la rottura:
DC _ Uni
∫ (D
− D)
c _ Uni
−
α −1
α
ε C _ Uni
∫
ε
dD =
D=
Th
K2
2 ES
(D
=
− D0 )
c _ Uni
IV
α ⋅ Ln
K2
2 ES
IV
Rυ
1
dε Eq
ε Eq
1
α
4.2.25
ε C _ Uni
ε
Th
in cui compare la deformazione di innesco del danno senza pedice perché, secondo Bonora, tale
deformazione è una costante del materiale e non dipende dallo stato di sollecitazione.
Sostituendo questa espressione nella precedente si ottiene la legge di evoluzione del danno nel
caso di materiale con curva costitutiva esponenziale e carico a triassialità generica:
(D
(
)
D
−
D
dD
=
∫
DC
−
α
α −1
c _ Uni
− D0 )
1
α
ε
α ⋅ Ln( c _ Uni )
ε Th
c
D0
εC
⋅
R
∫ε ε ν
Th
⋅ dε Eq
4.2.26
Eq
Integrando questa espressione tra inizio danneggiamento e rottura, una volta per carico uniassiale
puro e l’altra per carico triassiale costante generico, si ottiene che:
1
α
(Dc − D0 )
α
=
(Dc − D0 )
α
ε
α ⋅ Ln C _ Uni
ε
(
)
Ln ε C _ Uni − ε Th (
Y
T
I
T
N
E
D
I
1
1
)
Th
1
(Dc − D0 ) = (Dc − εD0 )
Ln
4.2.27
α
Ln(ε C − ε Th )Rν
C
ε
Th
- 115 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
e dividendo membro a membro le due espressioni precedenti resta definita una relazione che
costituisce il criterio di rottura:
ε
Ln C
 ε Th
 1
 ε C _ Uni
 =
Ln
 Rν
 ε Th



4.2.28
ovvero
 ε C _ Uni 

ε
 Th 
ε C = ε Th 
1
Rν
4.2.29
I parametri del modello di Bonora da determinare sperimentalmente con delle prove di trazione
sono, analogamente a quanto vale per gli atri modelli, la costante di scala S’’’, le deformazioni di
innesco e fine del danneggiamento, e l’esponente α’’’ tramite misurazioni del valore di danno in
punti interni al range di deformazioni suddetto e successivo best fitting.
All models derived from the Lemaitre idea have the main weakness: it is the way the model
constants are derived. In fact, they assume that tension tests induce proportional loading so that,
for example, Rν = 1 all over the strain history of a smooth tensile specimens. This is not true
because necking greatly changes the traxiality and, if these changes are not included in the
calculation of damage constants, large approximations are expected.
Di seguito si riportano i risultati sperimentali di prove di trazione a differenti triassialità effettuate
in passato presso il DIIM (La Rosa, G., Mirone, G., Risitano, A., 2001. Effect of stress triaxiality
corrected plastic flow on ductile damage evolution in the framework of continuum damage
mechanics. Eng. Fract. Mech. 68 (4), 417–434), ed i relativi andamenti simulati di triaxialità,
danno e deformazione di rottura.
- 116 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Si vede ad esempio che il TF, calcolato tramite misure sperimentali ottiche del raggio di curvatura
del necking ed applicazione della formula di Bridgman, per provini lisci in C40 ed FE370, arriva
quasi a triplicare il suo valore nominale di 0.33 prima di rompersi.
Il modello di Bonora è stato quindi applicato sia con l’ipotesi di TF costante pari a quello
nominale, sia con una stima alla Bridgman della suaeffettiva variazione, ottenendo l’effetto
seguente:
- 117 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
in alcuni casi (acciaio D98 che è un AISI 304 inox), l’aumento di triassialità messo in conto con il
necking, produce un rallentamento della crescita del danno e quindi un aumento della
deformazione di rottura: questo è chiaramente impossibile ed evidenzia che i modelli derivati dalla
formulazione di Lemaitre sembrano richiedere alcuni miglioramenti.
- 118 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
MODELLI FENOMENOLOGICI
MODELLO – BAO-WIERZBICKI
Il gruppo di ricerca del Prof. Wierzbicki all’Impact and Crashworthiness Lab. del MIT, dal 2005
circa è uno dei più attivi nel campo dei modelli avanzati di danno nei materiali metallici e
superleghe, ed è l’attuale riferimento principale di numerosi studi congiunti e consorzi di ricerca
con l’industria aeronautica-aerospace, navale ed automobilistica.
In Y. Bao, T. Wierzbicki / On fracture locus in the equivalent strain and stress triaxiality space,
International Journal of Mechanical Sciences 46 (2004) 81– 98, è stato presentato un modello di
danno “fenomenologico”, nel senso che, invece di partire da principi fisici esatti per derivare le
formule di previsione del danno e della rottura, mette in relazione grandezze misurabili che le
osservazioni sperimentali hanno dimostrato influenzarsi a vicenda, cercando espressioni
qualitativamente ragionevoli e verificando se-quanto esse permettono di simulare fedelmente la
realtà.
Calcolando tramite simulazioni FE il grado di triassialità nei punti critici di provini tensione e
compressione (upsetting tests) di alluminio 2024-T351 hanno determinato il valore medio della
funzione TF(εEq) durante l’intera storia deformativi locale:
- 119 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Correlando il TF medio e la deformazione a rottura per le diverse storie di carico hanno trovato la
seguente relazione:
Che è approssimata con una certa precisione da tre differenti leggi in altrettanti ranges di
triassialità media:
- 120 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
ovvero, per un materiale generico,
r
o
f
A2
TFAVG ∈(− 0.33,0)
r
o
f
1

ε f = A1 ⋅ TFAVG + 
3

TFAVG ∈(0,0.4)
εf =
r
o
f
ε f = B0 + B1 ⋅ TFAVG + B2 ⋅ TFAVG2
C
TFAVG
TFAVG > 0.4
con A, B0, B1, B2, C costanti del materiale che definiscono la rottura in diversi intervalli di
triassialità.
Queste leggi di Bao–Wierzbicki (B-W) sembrano molto “comode” in quanto, una volta
determinate le costanti del materiale, permettono di calcolarne la deformazione di rottura al
variare del grado di triassialità.
In realtà l’utilizzo del modello di B-W sotto questa forma (criterio di rottura suddiviso in tre
intervalli di TFAvg) è praticamente impossibile, perché per conoscere il TFAvg di una storia di
carico occorre eseguire l’integrale TFdeEq fino a rottura, e per fare ciò serve conoscere la
deformazione di rottura che invece è l’incognita da determinare. Questa considerazione limitativa
smette di essere valida solamente in caso di proportional loading, perché quando il TF è costante
coincide con il suo valor medio TFAvg che quindi è noto indipendentemente da ef, e la
deformazione di rottura ef può essere determinata tramite i criteri descritti.
Purtroppo quasi nessuna storia di carico reale appartiene alla categoria del proportional loading,
perché le deformazioni plastiche modificano la forma geometrica dei componenti (necking,
barreling grandi deformazioni in genere) e questa a sua volta modifica lo stato di stress, quindi il
modello W-B, invece di essere utilizzato sotto forma di criterio di rottura, nei casi reali và
utilizzato sotto forma di legge di danno, secondo il seguente approccio che non ne cambia in
nessun modo la logica di base ma lo rende di validità generale.
Per esempio, nel caso di TF superiore a 0.3 (uniassialità), si ha che:
C
εf =
=
TF AVG
1
εf
C
εf
⋅ ∫ TFd ε Eq
εf
⇒
∫ TFd ε
Eq
=C
0
0
come dire che la rottura di un punto materiale avviene quando l’integrale del TF in deEq
raggiunge il valore critico C, tipico del materiale.
- 121 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
ε Eq
Allora l’ integrale
∫ TFd ε
Eq
, esteso ad un generico valore di eEq precedente la rottura,
0
rappresenta una funzione variabile tra zero e C, il cui valore esprime vicinanza alla rottura locale
tanto maggiore quanto il valore della funzione è più vicino al valore C: allora l’integrale diventa
un indice di danno o funzione di danno, ed il valore C ha il ruolo di valore critico della funzione di
danno:
D (ε Eq ) =
ε Eq
∫ TFd ε
Eq
0
εf
D (ε f ) = ∫ TFd ε Eq = C = Dcr
0
In altre parole, per sapere quando e dove avviene la rottura di un componente, occorre simulare la
sua storia deformativa (tipicamente al FEM), calcolando la funzione D in ogni punto (nodo) del
modello e ad ogni livello di carico intermedio tra inizio e fine storia di carico; così sarà possibile
spegnere gli elementi o sganciare i nodi appena il loro danno raggiungerà il valore critico, D=DCr.
, ed i corrispondenti valori di deformazione plastica saranno le deformazioni di rottura per quel
materiale e per le varie storie deformative (triassialità) dei suoi diversi punti materiali.
Quando questo si verifica per la prima volta sul modello si ha l’innesco della frattura del
componente, man mano che i successivi elementi o nodi vengono via via rimossi, si sta simulando
la propagazione della frattura.
Occorre dire che, mentre l’innesco della frattura è determinabile accuratamente quando il modello
di danno è accurato, la simulazione della propagazione di frattura tende spesso ad essere in
accurata anche se il modello di danno è preciso: ciò avviene perché la propagazione è fortemente
dipendente dalla dimensione della mesh utilizzata per il modello ad elementi finiti.
MODELLO XUE-WIERZBICKI
- 122 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Nel 2008 un altro modello proposto dalla scuola di Wierzbicki ha ipotizzato che, oltre al TF,
un’altra variabile influenzasse il danno e la rottura locale dei materiali metallici duttili.
Intanto serve esprimere lo stato corrente di stress in funzione di grandezze che hanno significato
particolare e che siano facilmente visualizzabili nello spazio delle tensioni principali: un punto,
oltre che con le coordinate cartesiane (componenti principali tensore di stress, s1, s3, s3), può
essere indicato con le coordinate cilindriche rispetto al sistema di riferimento (cilindrico!) centrato
nell’origine ed avente asse coincidente con l’asse del cilindro di Von Mises (trisettrice ottante
positivo):
σ3
.
θ
ρ
ξ
σ1
σ3
θ
σ2
ρ
σ2
σ1
Le coordinate cilindriche assiali e radiali possono essere definite univocamente come distanze del
punto dall’origine, misurate rispettivamente parallelamente e perpendicolarmente all’asse
idrostatico:
- 123 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
y
t
i
l
a
i
x
a
i
r
T
&
s
s
e
r
t
s
c
i
t
a
t
s
o
r
d
y
H
σ +σ2 +σ3
I1
( ∝
= 1
3
3⋅ 3
′
∝
ρ = 2 ⋅ J 2 = σ 1′ + σ 2′ + σ 3(
)
ξ =
n
i
a
r
t
s
c
i
t
s
a
l
P
&
s
s
e
r
t
s
s
e
s
i
M
)
Con I1 primo invariante del tensore di stress, tensione deviatorica σ i ′ = σ i − I 1 e J2 secondo
invariante di tensione deviatorica
La terza coordinata cilindrica, per via dell’intercambiabilità delle tre tensioni principali, (l’effetto
di (0,50,100) dev’essere uguale a quello di (0,100,50), di (50,100,10) di (50,10,100), di
(100,10,50) e di (100,50,10)), dev’essere definita su un dominio pari ad 1/6 dell’angolo giro:
 3 3 J3
1
ArcCos 
⋅ 3/ 2
3
2
J2


( ∝


y
t
i
c
i
r
o
t
a
i
v
e
D
&
e
l
g
n
A
e
d
o
L
ϑ=
)
Con J 3 = σ 1′ ⋅ σ 2′ ⋅ σ 3′ terzo invariante del tensore deviatorico di stress.
Infatti l’angolo teta varia tra +/- 30 gradi attorno alla proiezione di ogni asse principale sul piano
idrostatico !!
Le tre coordinate cilindriche descritte si chiamano coordinate di Haigh-Wetsergaard, e, a meno di
termini o combinazioni mutue, sono indicative di altrettanti parametri noti come il grado di
triassialità, la tensione equivalente e l’angolo di Lode.
In particolare il TF parametro di triassialità esprime il rapporto I1/J2, il L’angolo di Lode esprime
il rapporto J3/J2.
Quest’ultimo termine è stato proposto da Xue e Wierzbicki come il terzo parametro che determina
il danno e quindi la frattura locale, secondo meccanismi discussi in dettaglio avanti.
Spesso, invece dell’Angolo di Lode, è + comodo utilizzare una sua versione non trigonometrica e
y
t
i
c
i
r
o
t
a
i
v
e
D
&
e
l
g
n
A
e
d
o
L
27
( ∝
⋅
2 σ3
)
q
E
X = Cos (3ϑ ) =
J3
normalizzata, ovvero il parametro di deviatoricità X:
Il parametro X così definito varia tra 0 ed 1, vale 0 per i casi di “generalized plastic plane strain”,
ovvero quando uno stress principale è la somma degli altri 2 cambiata di segno (caso particolare è
la torsione pura con tensioni principali (0, σ,-σ)); vale invece 1 quando due tensioni principali
sono uguali tra loro come in condizioni di assialsimmetria, (caso particolare lo stress uniassiale
(σ,0,0)).
- 124 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Definiti in questo modo i parametri che individuano lo stato di stress ed influenzano danno e la
rottura, Wierzbicki et al. (L Xue and T. Wierzbicki, Ductile fracture characterization of aluminum
alloy 2024-t351 using damage plasticity theory, International Journal of Applied Mechanics, Vol.
1, No. 2 (2009) 267–304, OPPURE T. Wierzbicki_, Y. Bao, Y. Lee, Y. Bai, Calibration and
evaluation of seven fracture models, International Journal of Mechanical Sciences 47 (2005) 719–
743) hanno ipotizzato che la deformazione di rottura locale abbia andamenti, rispetto a TFAvg,
analoghi a quello di Bao e Wierzbicki, solo che adesso và messo in conto anche il parametro
deviatorico XAvg ; in altre parole. secondo Wierzbicki et al. esistono diverse curve funzione di
TFAvg, parametrizzate in funzione di XAvg:
εf
X Avg = 1, Upper bound
X Avg
TF Avg
X Avg = 0, Lower bound
In generale per una data triassialità si possono avere diverse deformazioni a rottura variabili in un
certo intervallo: la massima si ha per assialsimmetria ed X=1, invece la minima si ha per plane
strain generalizzato ovvero X=0. Valori di XAvg intermedi per una data triassialità, comportano
deformazioni a rottura intermedie.
Pertanto Wierzbicki et al. hanno indicato le curve relative ai valori estremi X = 1 ed X=0
rispettivamente come “upper bound” (limite superiore) e “lower bound” (limite inferiore) curves.
Che il grado di deviatoricità influisca sulla rottura è noto a qualunque sperimentatore, e la più
semplice evidenza pratica di questo risiede nella notevole differenza tra deformazione a rottura di
provini lisci a trazione ed a torsione:
TRAZIONE = TF=1/3, X=1, TORSIONE = TF=0, X=0,
quindi se il danno dipendesse
solamente dal TF, a trazione si avrebbe crescita del danno più rapida e deformazione di rottura
- 125 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
inferiore che a torsione. Invece le cose stanno al contrario, e anche tra il 1800 ed il 1900 si tentò di
spiegare tale differenza con la necessità di utilizzare i due differenti criteri di rottura di von Mises
e Tresca.
In realtà la ragione dell’apparente “infragilimento” del materiale soggetto a taglio o torsione sta
nella riduzione del parametro deviatorico X che causa un abbassamento della deformazione di
rottura di un materiale, anche a parità di triassialità della storia di carico.
ε f Axi = C1 ⋅ Exp(C2 ⋅ TFAvg )
ε f PS = C3 ⋅ Exp(C4 ⋅ TFAvg )
r r
o f
o
f
In Wierzbicki et al. si suppone che le due curve limite abbiano le epsressioni seguenti:
X Avg = 1
X Avg = 0
Con C2 e C4 costanti negative x avere fracture strain funzione decrescente di TFAvg.
Nello stesso articolo, per passare ai livelli intermedi tra l’una e l’altra curva quando la
deviatoricità media della storia di carico è 0 < X Avg < 1 viene proposta la funzione seguente:
 ε Axi − ε 1/ N

f
f
1
/
N
 +X 

Axi
PS
 ε f − ε f 


TF
=1
Avg =Costante
dove N è l’esponente di hardening ovvero lo strain di inizio necking, ed ε f è il fracture strain che
si ha a quel TFAvg fissato quando XAvg vale X.
Ricavando ε f si ottiene:
(
)
ε f = ε f Axi − ε f Axi − ε f PS ⋅ (1− X 1/ N )
e sostituendo al posto di ε f
N
Axi
ed ε f
PS
le relative funzioni esponenziali si ottiene infine
l’espressione generale del criterio di frattura, che fornisce il valore del fracture strain per la coppia
di valori triassialità - deviatoricità di una generica storia di carico:
ε f (TFAvg, X Avg ) = C1 ⋅ e
C2 ⋅TFAvg
(
C2 ⋅TFAvg
− C1 ⋅ e
C4 ⋅TFAvg
− C3 ⋅ e
- 126 -
)⋅ (1− X
)
1/ N N
Avg
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Questa funzione di due variabili ha l’andamento seguente:
I
in cui è possibile notare le curve nello spazio che rappresentano le famiglie di storie di carico
particolari come assialsimmetria, plane stress e plane strain.
In Xue e Wierzbicki il criterio di frattura è uguale a Wierzbicki et al., ma l’esponente N viene
indicato come costante del materiale da determinare piuttosto che come esponente di hardening.
La superficie di cui sopra ed il criterio di frattura che essa esprime graficamente sono utilizzabili
solamente in caso di proportional loading (storie deformative a triassialità costante), e, in questo
caso, lo stesso criterio di frattura può essere rappresentato nello spazio delle deformazioni
plastiche principali come la figura seguente, orientata con il proprio asse lungo la trisettrice
dell’ottante positivo :
- 127 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Visto che le direzioni principali sono comuni a tensioni e deformazioni plastiche,
si può
immaginare che lo spazio cartesiano sia unico e che la superficie del criterio di frattura abbia
l’asse coincidente con quello della superficie di snervamento, solo che la superficie del criterio di
frattura non cambia durante la storia deformativa, quella di snervamento sì; inoltre, i punti della
superficie del criterio di frattura indicano componenti del tensore di deformazione plastica a
rottura invece che indicare componenti del tensore di stress.
MODELLO DI COPPOLA-CORTESE-FOLGARAIT
In T. Coppola, L. Cortese, P. Folgarait, The effect of stress invariants on ductile fracture limit in
steels, Engineering Fracture Mechanics 76 (2009) 1288–1302, si propone una variazione sul tema
del danno con Upper e Lower bound: queste due curve limite esistono e sono le stesse proposte da
Xue-Wierzbicki, cambia leggermente il modo di definire le curve intermedie per valori di
deviatoricità 0<X<1.
Coppola et al. ipotizzano che per ogni data triassialità TF fissata (quindi su una sezione fissata del
cilindro di von Mises), i valori di tensione equivalente estremi a rottura (per X=0 ed X=1) stanno
tra loro nello stesso rapporto in cui stanno le tensioni equivalenti di von Mises e di Tresca:
- 128 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
σ Axi
3
=
σ PS
2
N
Se la curva costitutiva del materiale ha la forma σ Eq = k ⋅ ε Eq , il rapporto di sopra tra tensioni
equivalenti a rottura definisce anche un rapporto tra deformazioni equivalenti a rottura:
ε f Axi
ε f PS
3
=
2
1/ N
E in questo modo resta definito il legame tra upper e lower bounds, ovvero tra la curva εf-TFAvg
relativa ad X=1 e quella relativa ad X=0.
La legge proposta da Coppola et al. Per assegnare una curva ef-TFAvg anche a valori intermedi di
X, è la seguente:
g (X ) =
α
π 1


Cos  β ⋅ − ArcCos (γ ⋅ X )
6 3


RIVEDERE QUESTA FUNZIONE PER VALORI ESTREMI DI BETA GAMMA ED X !!!!!
Con α, β e γ costanti del materiale. Quando β = 1 e γ =1 si ricade nel criterio di Tresca e sparisce
la dipendenza da X.
In sostanza la g(X) è una funzione riduttiva dell’upper bound che vale 1 per X=0 e cresce con X.
In generale,
εf =εf
Axi
⋅ g (X Avg
)
1/ N
C ⋅TF
C 1 ⋅ e 2 Avg ⋅ α
=
π 1


Cos  β ⋅ − ⋅ ArcCos (γ ⋅ X )
6 3


E gli andamenti della funzione riduttiva g per due acciai testati da Coppola et al. sono:
- 129 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
Per ricavare le costanti α, β e γ occorrono i valori sperimentali per almeno tre condizioni di rottura
tipicamente: tensione su provini lisci (stress uniax. con TF circa =0.33 ed X=1), torsione su
provini lisci (plane strain con TF=0 ed X=0), ed una terza condizione apiacere intermedia con
XAvg e TFAVg più diversi possibile dai precedenti.
OSSERVAZIONI SPERIMENTALI E CONSIDERAZIONI SUI MODELLI DI DANNO
DUTTILE
CRITERI DI FRATTURA E FUNZIONI DI DANNO
- 130 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
L’esatta descrizione matematica della frattura duttile a tutt’oggi non è nota e forse neanche esiste
un unico tipo di funzione che possa descrivere il fenomeno per tutti i metalli; peraltro i modelli di
Wierzbicki et al. e le relative derivazioni proposte da altri autori, rappresentano la migliore
descrizione disponibile del fenomeno, sostanzialmente completa dal punto di vista qualitativo ed
abbastanza vicina alla realtà dal punto di vista quantitativo.
Per tutti i modelli che includono la dipendenza del danno da X vale il ragionamento già fatto per il
primo modello Bao-Wierzbicki (con sola dipendenza da TF), ovvero, nella pratica non è possibile
usare tali modelli sotto forma di criterio di frattura se non nei casi particolari e poco realistici di
proportional loading, perché in tutti gli altri casi la variabilità del TF e della X durante la storia
deformativi non permette di ricavare i valori medi TFAvg ed XAvg se non si conosce la
deformazione a rottura di quello specifica storia di carico, e tale deformazione è ovviamente
l’incognita da ricavare con il modello stesso di danno.
(
)
Pertanto, l’uso più realistico di tali modelli è sotto forma di funzione di danno D ε Eq,TF, X ≤ DCr ,
da implementare nel calcolo FEM e determinare ad ogni passo dell’analisi su ogni elemento e/o
nodo.
La
logica
D=
ε Eq
εf*
per
=
passare
da
criterio
di
ε Eq
ε Eq
 ε Eq

ε f  ∫ TFdε Eq , ∫ Xdε Eq 
0

0


rottura
a funzione
di danno
è
semplice:
≤1
in sostanza, ad ogni passo dell’analisi si calcola la deformazione di rottura virtuale εf* che
corrisponde a TF ed X mediati sulla storia di carico che và da zero alla deformazione corrente εEq:
se εEq < εf* allora NON si ha rottura e l’elemento finito rimane attivo per il passo successivo
dell’analisi.
Prima o poi si raggiungerà la condizione εEq = εf*, quindi εf*= εf, ovvero la deformazione di
rottura da virtuale diventa reale per quell’elemento che quindi viene rimosso.
Sulla base dei valori della funzione D precedenti la rottura si può indebolire gradualmente ed in
maniera diversificata il materiale dei vari elementi fino ad eliminarli quando D=Dcr (soluzione
graduale e + raffinata) oppure lasciare indisturbato il materiale degli elementi fino al passo in cui
D=Dcr ed avviene la loro rimozione (soluzione + brusca e grezza).
- 131 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
VARIABILI SIGNIFICATIVE E VISUALIZZAZIONE STORIE DI CARICO
Le variabili che determinano la rottura duttile sono TF, X ed εEq ; i valori limite di εEq sono le
deformazioni a rottura εf ed esprimono proprio il fenomeno della rottura e quantificano la duttilità
dei materiali.
Il criterio di frattura dev’essere quindi una funzione del tipo εf(TFAvg, XAvg) rappresentabile
tramite una superficie nello spazio TF, X, εf.
Su tale spazio possono essere individuate:
- Curve εf vs. TF (per es. Upper e Lower bounds) = intersezioni superficie criteri frattura con piani
XAvg =cost.
- Curve εf / εf_Uni vs. X (funzione µ(X) di Wierzbicki, g(X) di coppola) = intersezioni superficie
criterio frattura con piani TFAvg = cost.
- Curve XAvg - TFAvg = proiezione superficie criterio frattura su piano ef=0, NON indicano
deformaz. di rottura, utili x pianificare esperimenti.
Il comportamento a rottura di un materiale potrebbe essere caratterizzato completamente per via
sperimentale realizzando prove che portino a rottura il materiale sotto combinazioni XAvg-TFAvg
disposte su una griglia di punti sul piano XAvg - TFAvg :
- 132 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
εf
TFAvg
X Avg
Ovviamente per ricavare la superficie senza conoscere l’aspetto analitico delle funzioni servirebbe
un enorme numero di prove, e inoltre, la difficoltà non indifferente sta nel prevedere la geometria
di provino ed il tipo di carico che permette di ottenere la rottura in corrispondenza del punto
desiderato sul piano XAvg - TFAvg .
In G. Mirone, D. Corallo, A local viewpoint for evaluating the influence of stress triaxiality and
Lode angle on ductile failure and hardening, International Journal of Plasticity 26 (2010) 348–
371, si dimostra che le considerazioni tipiche riguardo a TF ed X prevedibili per le prove più
comuni a volte portino a valutare in maniera errata i risultati sperimentali ottenibili, e come anche
prove molto semplici se opportunamente progettate possono fornire risultati più utili di prove
complicate e costose.
Secondo le considerazioni che in letteratura derivano dal ragionare in termini di triassialità e Lode
angle medi, il legame tra tipologia di prova e triassialità-Lode angle ottenibili, è quello seguente
(Wierzbicki et al.):
- 133 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
AGGIUNGERE:
1) SINTESI SRTICOLI EFM 2007, IJP 2010, EFM 2013
2) EFFETTO LODE ANGLE SU YIELD SURFACE (BAI-WIERZ. , BIGONI, MIO)
3) ANISOTROPIA PLASTICA E CRITERIO DI HILL
4) METODO MC X CURVA TRUE EXP. ANISOTROPA
- 134 -
G. MIRONE – APPUNTI DI MECCANICA DEI MATERIALI
PLASTICITA’ + DANNO STATICO: 13 lezioni + 2 labo + 3 fem = 10 lez. = 18 Lez. = 6 sett.
piene
SMA 3 lezioni + 1 labo = 4 Lez
STRAIN RATE 3 lezioni + 3 Labo + 2 FEM = 8 Lez
- 135 -
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