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1 Esercizi di EML (con soluzioni), Induzione Es. 1. Provare per

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1
Esercizi di EML (con soluzioni),
C.S. in Informatica, a.a.2014-2015.
Induzione
Es. 1. Provare per induzione su n che n3 − n + 6 `e multiplo di 3 per ogni n ≥ 0 .
Es. 2. Provare per induzione su n che
1.
n
X
2k = 2n+1 − 1 per ogni n ≥ 1 .
k=0
2.
n
X
(2k + 1) = n(n + 2) per ogni n ≥ 1 .
k=1
3.
n
X
(1 + 3k) =
k=0
4.
n
X
3
k =
k=0
3n2 + 5n + 2
per ogni n ≥ 1 .
2
n+1
2
2
per ogni n ≥ 1 .
Es. 3. Dato un numero reale q 6= 1 provare per induzione su n che
n
X
qk =
k=0
q n+1 − 1
per ogni n ≥ 0 .
q−1
Es. 4. Provare per induzione su n che 2n + 1 < 2n per ogni n ≥ 3 .
Es. 5. Provare per induzione su n che 22n − 1 `e divisibile per 3 , per ogni n ≥ 0 .
Es. 6. Sia a ∈ R . Provare che per ogni n, m ∈ N si ha an · am = an+m .
Es. 7. Si consideri la successione di numeri interi a0 , a1 , . . . definiti ricorsivamente ponendo
a0 = 0,
a1 = 4,
an = 6an−1 − 5an−2
per n ≥ 2 .
Provare, usando l’induzione forte, che per ogni n ≥ 0 si ha an = 5n − 1 .
Es. 8. Si consideri la successione di numeri interi x1 , x2 , . . . definiti ricorsivamente ponendo
x1 = 5,
x2 = 11,
xn+1 = 5xn − 6xn−1
per n ≥ 2 .
Provare, usando l’induzione forte, che per ogni n ≥ 1 si ha xn = 2n+1 + 3n−1 .
2
Soluzione di alcuni esercizi
Soluzione di alcuni esercizi
Es. 1
Passo base: per n = 0 l’espressione n3 − n + 6 vale 6 che `e un multiplo di 3 .
Passo induttivo: se n ≥ 0 e n3 − n + 6 `e un multiplo di 3 cio`e n3 − n + 6 = 3a con a ∈ N si ha
(n + 1)3 − (n + 1) + 6 = n3 + 3n2 + 3n + 1 − n − 1 + 6
= (n3 − n + 6) + 3(n2 + n)
= 3a + 3(n2 + n)
= 3(a + n2 + n)
con a + n2 + n ∈ N e quindi (n + 1)3 − (n + 1) + 6 `e un multiplo di 3 .
Es. 3 Passo base: per n = 0 l’affermazione `e chiaramente vera avendosi
q 0+1 − 1
= 1.
q−1
J
P0
k=0
qk = q0 = 1 e
Passo induttivo: supponiamo che l’affermazione sia vera per s ≥ 0 e proviamo che `e vera anche per
s
s+1
X
X
q s+1 − 1
q s+2 − 1
s + 1 , cio`e assumiamo che
e proviamo che
. Si ha
qk =
qk =
q−1
q−1
k=0
s+1
X
k
q =
s
X
k=0
q k + q s+1
k=0
s+1
k=0
−1
+ q s+1
q−1
q s+1 − 1 + q s+1 (q − 1)
=
q−1
s+2
q
−1
=
q−1
=
q
per l’ipotesi induttiva
quindi l’affermazione `e vera per s + 1 e quindi `e vera per ogni n ≥ n .
J
Es. 4 Sia P (n) l’asserzione 2n + 1 < 2n .
Passo base: per n = 3 dobbiamo provare che 2 · 3 + 1 < 23 . Ma 2 · 3 + 17 e 23 = 8 , quindi P (3) `e vera.
Passo induttivo: sia k `e un intero ≥ 3 tale che 2k + 1 < 2k e proviamo che 2(k + 1) < 2k+1 , ovvero
che 2k + 3 < 2k+1 .
Ma dall’ipotesi induttiva e dal fatto che 2 < 2k per ogni k ≥ 2 si ha
2k + 3 = (2k + 1) + 2 < 2k + 2k = 2 · 2k = 2k+1 .
J
Es. 5 Passo base: per n = 0 si ha 20 − 1 = 1 − 1 = 0 `e divisibile per 3 perch´e 0 = 3 · 0 .
Passo induttivo: se 22s − 1 = 3t con t ∈ N , si ha
22(s+1) − 1 = 22s+2 = 22s · 4 − 1
= 22s (1 + 3) − 1
= 22s + 3 · 22s − 1 = (22s − 1) + 3 · 22s
= 3t + 3 · 22s = 3 · (t + 2s )
Siccome t + 2s ∈ N , 22(s+1) − 1 `e un multiplo di 3 e la prova per induzione `e completa.
J
Soluzione di alcuni esercizi
3
Es. 6 Ricordiamo che le potenze naturali di a sono definite induttivamente ponendo:
a0 = 1;
an+1 = a · an
per ogni n ≥ 0
(1)
Proviamo che l’affermazione P (n) : se m ∈ N allora an · am = an+m vale per ogni n ∈ N . Procediamo
per induzione su n .
Passo base: per n = 0 si ha a0 · am = 1 · am = am = a0+m quindi P (0) `e vera.
Passo induttivo: supponiamo ora che n ≥ 0 e che P (n) sia vera e proviamo che anche P (n + 1) cio`e
an+1 · am = an+1+m `e vera . Si ha
an+1 · xm = (a · xn ) · am
n
per la definizione (1)
m
= a · (a · a )
associativit`
a del prodotto
= a · (an+m )
1+n+m
=a
ipotesi induttiva
n+1+m
=a
per la definizione (1)
e quindi per il principio di induzione la propriet`a P (n) `e vera per ogni n ∈ N .
J
Es. 7 Per ogni numero naturale n > 0 sia P(n) l’asserzione an = 5n − 1 . Allora P(0) e P(1) sono
ovviamente vere.
Supponiamo ora che s ≥ 1 e che P(i) sia vera per ogni i ≤ s cio`e supponiamo che ai = 5i − 1 per ogni
i ≤ s . Allora
as+1 = 6as − 5as−1
= 6(6s − 1) − 5(5s−1 − 1)
ipotesi induttive con i = s e i = s − 1
= 6 · 5s − 5s − 6 + 5 = (6 − 1)5s − 1
= 5s+1 − 1
quindi P(s + 1) `e vera e, per il principio di induzione, P(n) `e vera per ogni n ≥ 0 .
J
Es. 8 Per ogni numero naturale n > 0 sia P(n) l’asserzione xn = 2n+1 + 3n−1 . Allora P(1) e P(2) sono
banalmente vere.
Supponiamo ora che n ≥ 2 e che P(m) sia vera per ogni m ≤ n , cos`ı xm = 2m+1 + 3m−1 per ogni
m ≤ n . Allora
xn+1 = 5xn − 6xn−1 = 5(2n+1 + 3n−1 ) − 6(2n−1+1 + 3n−1−1 )
= 2n (10 − 6) + 3n−2 (15 − 6)
= 2n+2 + 3n
quindi P(n + 1) `e vera e, per il principio di induzione, P(n) `e vera per ogni n ≥ 1 .
J
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